2009年高考重庆数学(理科)试题及参考答案

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2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅱ)及答案

2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）=（）A．﹣2+4i B．﹣2﹣4i C．2+4i D．2﹣4i2．（5分）设集合A={x||x|＞3}，B={x|＜0}，则A∩B=（）A．φB．（3，4） C．（﹣2，1）D．（4，+∞）3．（5分）已知△ABC中，cotA=﹣，则cosA=（）A．B．C．D．4．（5分）函数在点（1，1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2=0 B．x+y﹣2=0 C．x+4y﹣5=0 D．x﹣4y+3=05．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB=2，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A．B． C．5 D．257．（5分）设a=log3π，b=log2，c=log3，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a8．（5分）若将函数y=tan（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx+）的图象重合，则ω的最小值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F 为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A．B．C．D．10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A．6种 B．12种C．24种D．30种11．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A、B两点，若=4，则C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位（）A．南B．北C．西D．下二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）4的展开式中x3y3的系数为．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5=5a3，则=．15．（5分）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C的面积等于，则球O的表面积等于．16．（5分）求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB=，b2=ac，求B．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C 的中点，DE⊥平面BCC1．（Ⅰ）证明：AB=AC；（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．20．（12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（Ⅲ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望．21．（12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．22．（12分）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：f（x2）＞．2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2009•全国卷Ⅱ）=（）A．﹣2+4i B．﹣2﹣4i C．2+4i D．2﹣4i【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母进行乘法运算，整理成最简形式，得到结果．【解答】解：原式=，故选A2．（5分）（2009•全国卷Ⅱ）设集合A={x||x|＞3}，B={x|＜0}，则A∩B=（）A．φB．（3，4） C．（﹣2，1）D．（4，+∞）【分析】先化简集合A和B，再根据两个集合的交集的意义求解．【解答】解：A={x||x|＞3}⇒{x|x＞3或x＜﹣3}，B={x|＜0}={x|1＜x＜4}，∴A∩B=（3，4），故选B．3．（5分）（2009•黑龙江）已知△ABC中，cotA=﹣，则cosA=（）A．B．C．D．【分析】利用同角三角函数的基本关系cosA转化成正弦和余弦，求得sinA和cosA 的关系式，进而与sin2A+cos2A=1联立方程求得cosA的值．【解答】解：∵cotA=∴A为钝角，cosA＜0排除A和B，再由cotA==，和sin2A+cos2A=1求得cosA=，故选D．4．（5分）（2009•全国卷Ⅱ）函数在点（1，1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2=0 B．x+y﹣2=0 C．x+4y﹣5=0 D．x﹣4y+3=0【分析】欲求切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：依题意得y′=，因此曲线在点（1，1）处的切线的斜率等于﹣1，相应的切线方程是y﹣1=﹣1×（x﹣1），即x+y﹣2=0，故选B．5．（5分）（2009•黑龙江）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB=2，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求．还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解．本题采用几何法较为简单：连接A1B，则有A1B∥CD1，则∠A1BE就是异面直线BE与CD1所成角，由余弦定理可知cos ∠A1BE的大小．【解答】解：如图连接A1B，则有A1B∥CD1，∠A1BE就是异面直线BE与CD1所成角，设AB=1，则A1E=AE=1，∴BE=，A1B=．由余弦定理可知：cos∠A1BE=．故选C．6．（5分）（2009•黑龙江）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A．B． C．5 D．25【分析】根据所给的向量的数量积和模长，对|a+b|=两边平方，变化为有模长和数量积的形式，代入所给的条件，等式变为关于要求向量的模长的方程，解方程即可．【解答】解：∵|+|=，||=∴（+）2=2+2+2=50，得||=5故选C．7．（5分）（2009•全国卷Ⅱ）设a=log3π，b=log2，c=log3，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a【分析】利用对数函数y=log a x的单调性进行求解．当a＞1时函数为增函数当0＜a＜1时函数为减函数，如果底a不相同时可利用1做为中介值．【解答】解：∵∵，故选A8．（5分）（2009•黑龙江）若将函数y=tan（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx+）的图象重合，则ω的最小值为（）A．B．C．D．【分析】根据图象的平移求出平移后的函数解析式，与函数y=tan（ωx+）的图象重合，比较系数，求出ω=6k+（k∈Z），然后求出ω的最小值．【解答】解：y=tan（ωx+），向右平移个单位可得：y=tan[ω（x﹣）+]=tan （ωx+）∴﹣ω+kπ=∴ω=k+（k∈Z），又∵ω＞0∴ωmin=．故选D．9．（5分）（2009•黑龙江）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A．B．C．D．【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN ⊥l于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，进而可知，进而推断出|OB|=|BF|，进而求得点B的横坐标，则点B 的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．【解答】解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=﹣2直线y=k（x+2）（k＞0）恒过定点P（﹣2，0）如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则，∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，故点B的坐标为，故选D10．（5分）（2009•黑龙江）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A．6种 B．12种C．24种D．30种【分析】根据题意，分两步，①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，进而由事件间的相互关系，分析可得答案．【解答】解：根据题意，分两步，①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C42C42=36，②两人所选两门都相同的有为C42=6种，都不同的种数为C42=6，故只恰好有1门相同的选法有36﹣6﹣6=24种．11．（5分）（2009•全国卷Ⅱ）已知双曲线的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A、B两点，若=4，则C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】设双曲线的有准线为l，过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD ⊥AM于D，由直线AB的斜率可知直线AB的倾斜角，进而推，由双曲线的第二定义|AM|﹣|BN|=|AD|，进而根据，求得离心率．【解答】解：设双曲线的右准线为l，过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，由直线AB的斜率为，知直线AB的倾斜角为60°∴∠BAD=60°，由双曲线的第二定义有：=∴，∴故选A．12．（5分）（2009•黑龙江）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位（）A．南B．北C．西D．下【分析】本题考查多面体展开图；正方体的展开图有多种形式，结合题目，首先满足上和东所在正方体的方位，“△”的面就好确定．【解答】解：如图所示．故选B二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2009•黑龙江）（x﹣y）4的展开式中x3y3的系数为6．【分析】先化简代数式，再利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x，y 的指数都为1求出x3y3的系数【解答】解：，只需求展开式中的含xy项的系数．∵的展开式的通项为令得r=2∴展开式中x3y3的系数为C42=6故答案为6．14．（5分）（2009•全国卷Ⅱ）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5=5a3，则=9．【分析】根据等差数列的等差中项的性质可知S9=9a5，S5=5a3，根据a5=5a3，进而可得则的值．【解答】解：∵{a n}为等差数列，S9=a1+a2+…+a9=9a5，S5=a1+a2+…+a5=5a3，∴故答案为915．（5分）（2009•黑龙江）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C的面积等于，则球O的表面积等于8π．【分析】本题可以设出球和圆的半径，利用题目的关系，求解出具体的值，即可得到答案．【解答】解：设球半径为R，圆C的半径为r，．因为．由得R2=2故球O的表面积等于8π故答案为：8π，16．（5分）（2009•全国卷Ⅱ）求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．【分析】如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，菱形ABCD各边中点分别为M、N、P、Q，根据菱形的性质得到AC⊥BD，垂足为O，且AB=BC=CD=DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OM=ON=OP=OQ=AB，得到M、N、P、Q四点在以O为圆心OM为半径的圆上．【解答】已知：如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O．求证：菱形ABCD各边中点M、N、P、Q在以O为圆心的同一个圆上．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，垂足为O，且AB=BC=CD=DA，而M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴OM=ON=OP=OQ=AB，∴M、N、P、Q四点在以O为圆心OM为半径的圆上．所以菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2009•黑龙江）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB=，b2=ac，求B．【分析】本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sinB=（负值舍掉），从而求出答案．【解答】解：由cos（A﹣C）+cosB=及B=π﹣（A+C）得cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=，∴cosAcosC+sinAsinC﹣（cosAcosC﹣sinAsinC）=，∴sinAsinC=．又由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC，故，∴或（舍去），于是B=或B=．又由b2=ac知b≤a或b≤c所以B=．18．（12分）（2009•黑龙江）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D、E 分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1．（Ⅰ）证明：AB=AC；（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．【分析】（1）连接BE，可根据射影相等的两条斜线段相等证得BD=DC，再根据相等的斜线段的射影相等得到AB=AC；（2）求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可，作AG⊥BD于G，连GC，∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，在三角形AGC中求出GC即可．【解答】解：如图（I）连接BE，∵ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴∠B1BC=90°，∵E为B1C的中点，∴BE=EC．又DE⊥平面BCC1，∴BD=DC（射影相等的两条斜线段相等）而DA⊥平面ABC，∴AB=AC（相等的斜线段的射影相等）．（II）求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可．作AG⊥BD于G，连GC，∵AB⊥AC，∴GC⊥BD，∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，∠AGC=60°不妨设，则AG=2，GC=4在RT△ABD中，由AD•AB=BD•AG，易得设点B1到面BDC的距离为h，B1C与平面BCD所成的角为α．利用，可求得h=，又可求得，∴α=30°．即B1C与平面BCD所成的角为30°．19．（12分）（2009•全国卷Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．【分析】（1）由题设条件知b1=a2﹣2a1=3．由S n+1=4a n+2和S n=4a n﹣1+2相减得a n+1=4a n﹣4a n﹣1，即a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），所以b n=2b n﹣1，由此可知{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（2）由题设知．所以数列是首项为，公差为的等差数列．由此能求出数列{a n}的通项公式．【解答】解：（1）由a1=1，及S n+1=4a n+2，得a1+a2=4a1+2，a2=3a1+2=5，所以b1=a2﹣2a1=3．=4a n+2，①由S n+1则当n≥2时，有S n=4a n﹣1+2，②=4a n﹣4a n﹣1，所以a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），①﹣②得a n+1又b n=a n+1﹣2a n，所以b n=2b n﹣1，所以{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（6分）（2）由（I）可得b n=a n+1﹣2a n=3•2n﹣1，等式两边同时除以2n+1，得．所以数列是首项为，公差为的等差数列．所以，即a n=（3n﹣1）•2n﹣2（n∈N*）．（13分）20．（12分）（2009•全国卷Ⅱ）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（Ⅲ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望．【分析】（Ⅰ）这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可．另外要注意此分层抽样与性别无关．（Ⅱ）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难．直接在男工里面抽取一人，在女工里面抽取一人，除以在总的里面抽取2人的种数即可得到答案．（Ⅲ）求ξ的数学期望．因为ξ的可能取值为0，1，2，3．分别求出每个取值的概率，然后根据期望公式求得结果即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）因为甲组有10名工人，乙组有5名工人，从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，根据分层抽样的原理可直接得到，在甲中抽取2名，乙中抽取1名．（Ⅱ）因为由上问求得；在甲中抽取2名工人，故从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率（Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，3，，，23ξ01P故Eξ==．21．（12分）（2009•黑龙江）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l 的距离为，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F 转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．【分析】（I）设F（c，0），则直线l的方程为x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l的距离求得c，进而根据离心率求得a和b．（II）由（I）可得椭圆的方程，设A（x1，y1）、B（x2，y2），l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得方程△＞0．由韦达定理可求得y1+y2和y1y2的表达式，假设存在点P ，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），代入椭圆方程；把A，B两点代入椭圆方程，最后联立方程求得c，进而求得P点坐标，求出m的值得出直线l的方程．【解答】解：（I）设F（c，0），直线l：x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l的距离为则，解得c=1又，∴（II）由（I）知椭圆的方程为设A（x1，y1）、B（x2，y2）由题意知l的斜率为一定不为0，故不妨设l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得（2m2+3）y2+4my﹣4=0，显然△＞0．由韦达定理有：，，①假设存在点P，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），点P在椭圆上，即．整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6．又A、B在椭圆上，即2x12+3y12=6，2x22+3y22=6、故2x1x2+3y1y2+3=0②将x1x2=（my1+1）（my2+1）=m2y1y2+m（y1+y2）+1及①代入②解得∴，x1+x2=，即当；当22．（12分）（2009•全国卷Ⅱ）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：f（x2）＞．【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），令g（x）=2x2+2x+a，由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于﹣1的不相等的实根，建立不等关系解之即可，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间；（2）x2是方程g（x）=0的根，将a用x2表示，消去a得到关于x2的函数，研究函数的单调性求出函数的最大值，即可证得不等式．【解答】解：（I）令g（x）=2x2+2x+a，其对称轴为．由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于﹣1的不相等的实根，其充要条件为，得（1）当x∈（﹣1，x1）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，x1）内为增函数；（2）当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（x1，x2）内为减函数；（3）当x∈（x2，+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（x2，+∞）内为增函数；（II）由（I）g（0）=a＞0，∴，a=﹣（2x22+2x2）∴f（x2）=x22+aln（1+x2）=x22﹣（2x22+2x2）ln（1+x2）设h（x）=x2﹣（2x2+2x）ln（1+x），（﹣＜x＜0）则h'（x）=2x﹣2（2x+1）ln（1+x）﹣2x=﹣2（2x+1）ln（1+x）（1）当时，h'（x）＞0，∴h（x）在单调递增；（2）当x∈（0，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）在（0，+∞）单调递减．∴故．。

2009年重庆高考数学理科卷带详解

2009年高考数学重庆卷理科一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线1y x =+与圆221x y +=的位置关系为（）A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离【测量目标】直线与圆的位置关系．【考查方式】给出直线和圆的方程，判断它们的位置关系．【难易程度】容易. 【参考答案】B【试题解析】圆心(0,0)为到直线1y x =+，即10x y -+=的距离2d ==，而01<<，选B ． 2．已知复数z 的实部为1-，虚部为2，则5iz=（） A ．2i - B ．2i + C ．2i --D ．2i -+【测量目标】复数代数形式的四则运算．【考查方式】给出复数的实部和虚部，计算求解．【难易程度】容易. 【参考答案】A【试题解析】因为由条件知12i z =-+，则5i 5i(12i)5i 102i (12i)(12i)5z ---+===--+--，所以选A ． 3．282()x x+的展开式中4x 的系数是（） A ．16 B ．70 C ．560 D ．1120 【测量目标】二项式定理．【考查方式】给出二项式根据二项展开式的公式特点计算二项式系数．【难易程度】容易. 【参考答案】D【试题解析】设含4x 的为第2816318821,C ()()C 2rrr r r r r r T x x x--++==，1634r -=，所以4r =，故系数为：448C 21120=，选D ．4．已知1,6,()2==-= a b a b a ，则向量a 与向量b 的夹角是（） A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2【测量目标】平面向量的夹角问题．【考查方式】给出两个向量的模和它们满足的关系式，求两向量的夹角．【难易程度】容易. 【参考答案】C【试题解析】因为由条件得222,23cos 16cos αα-==+===⨯⨯所以g g g a b a a b a a b ，1πcos 23αα==所以，所以．5．不等式2313x x a a +---…对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．(,1][4,)-∞-+∞ B ．(,2][5,)-∞-+∞C ．[1,2]D ．(,1][2,)-∞+∞【测量目标】不等式恒成立问题．【考查方式】给出不等式及其恒成立的条件，求取值范围．【难易程度】中等. 【参考答案】A【试题解析】因为2314313x x x x a a +--+---对剟对任意x 恒成立，所以2234340a a a a ---即厖，解得41a a -或厔．6．锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同．从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（） A ．891 B ．2591 C ．4891 D ．6091【测量目标】随机事件与概率．【考查方式】已知不同馅料汤圆的个数，由取法规则求概率．【难易程度】中等. 【参考答案】C【试题解析】因为总的方法415C ,而所求事件的取法分为三类，即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆．豆沙馅汤圆取得个数分别按1，1，2；1，2，1；2，1，1三类，故所求概率为112121211654654654415C C C C C C C C C 48C 91⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=． 7．设ABC △的三个内角,,A B C，向量,sin )A B =m，(cos )B A =n ，若1cos()A B =++m n ，则C =（） A ．π6 B ．π3C ．2π3 D ．5π6【测量目标】向量的坐标运算、三角函数．【考查方式】给出两向量及其坐标与三角形内角关系式，求未知角．【难易程度】中等.【参考答案】C【试题解析】cos sin )1cos()A B A B A B A B ==+=++m n g g g ，πA B C ++=1cos C C =-cos 1C C +=，π2sin 16C +=（）π1sin(62C ⇒+=），由题π5π66C +=，即2π3C =．8．已知22lim()21x x ax b x →∞--=+，其中,a b ∈R ，则a b -的值为（） A ．-6 B ．2- C ．2D ．6【测量目标】函数的极限．【考查方式】给出函数的极限，求其中的未知量．【难易程度】中等. 【参考答案】D【试题解析】222lim 1x x ax ax bx bx →∞----+(2)()lim211x ba x ab x x→∞--+-==+．则20()2a ab -=⎧⎨-+=⎩，解得2,4a b ==-，故2(4)6a b -=--=．（删除）9．已知二面角l αβ--的大小为50︒，P 为空间中任意一点，则过点P 且与平面α和平面β所成的角都是25︒的直线的条数为（）A ．2B ．3C ．4D ．5 【测量目标】二面角、线面角．【考查方式】给出二面角的大小，求过空间中任意一点与两平面成固定角度的直线条数．【难易程度】中等. 【参考答案】B【试题解析】AFE ∠是度数为50︒的二面角的一个平面角，FG AFE ∠为的平分线，当过P 的直线与FG 平行时，满足条件，当过点P 的直线与AD 平行，也是满足条件直线，与AD 直线类似，过点的直线与BE 平行也是满足条件得共有3条．10．已知以4T =为周期的函数(1,1]()12,(1,3]x f x x x ⎧∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，其中0m >．若方程3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为（）A．8,)33B．(3C ．48(,)33D．4(3【测量目标】函数的周期性、函数图象的应用．【考查方式】给出函数及其周期，利用函数的图象判断取值范围．【难易程度】较难. 【参考答案】B 【试题解析】第10题图因为当(1,1]x ∈-时，将函数化为方程2221(0)y x y m+=…，实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，同时在坐标系中作出当(1,3]x ∈得图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，由图易知直线3x y =与第二个椭圆222(4)1(0)y x y m -+=…相交，而与第二个半椭圆222(4)1(0)y x y m -+=…无公共点时，方程恰有5个实数解，将3x y =代入222(4)1(0)y x y m-+=…得 2222(91)721350m x m x m +-+=，令29(0)t m t =>则2(1)8150t x tx t +-+=．（步骤1）由2(8)415(1)0t t t ∆=-⨯+>，得15t >，由2915m >，且0m >得m >（步骤2）同样由3x y =与第三个椭圆222(8)1(0)y x y m-+=…由0∆<可计算得m <综上知m ∈．（步骤3）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案写在答题卡相应位置上．11．若{}3A x x =∈<R ，{}21xB x =∈>R ，则A B = ．【测量目标】集合的基本运算．【考查方式】给出两个集合，求它们的交集．【难易程度】中等. 【参考答案】（0，3）【试题解析】因为{}{}|33,|0,A x x B x x =-<<=>所以(0,3)A B =I . 12．若1()21x f x a =+-是奇函数，则a = ．【测量目标】函数的奇偶性．【考查方式】给出函数的奇偶性，求其中的未知量．【难易程度】中等. 【参考答案】12【试题解析】12()2112xxxf x a a --=+=+--，()()f x f x -=- 2112()2112211212x xx x x xa a a ⇒+=-+⇒=-=----故12a =．13．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种（用数字作答）．【测量目标】排列组合及其应用．【考查方式】用排列组合求解概率问题．【难易程度】中等. 【参考答案】36【试题解析】分两步完成：第一步将4名大学生按，2，1，1分成三组，其分法有21142122C C C A g g ；第二步将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有33A 所以满足条件得分配的方案有2113421322C C C A 36A =g g g ． 14．设12a =，121n n a a +=+，21n n n a b a +=-，n *∈N ，则数列{}n b 的通项公式n b = ．【测量目标】等比数列的通项、等比数列的性质．【考查方式】给出数列的首项、第1n +项及两数列的关系式，求另一数列的通项公式．【难易程度】较难. 【参考答案】21n +【试题解析】由条件得111222+12222111+1n n n n n n n n a a a b b a a a ++++++====---且14b =所以数列{}n b 是首项为4，公比为2的等比数列，则11422n n n b -+==g ．15．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若双曲线上存在一点P 使1221sin sin PF F aPF F c=，则该双曲线的离心率的取值范围是．【测量目标】双曲线的简单几何性质．【考查方式】给出点和双曲线方程的关系式，求其离心率．【难易程度】较难.【参考答案】(11)【试题解析】解法一：因为在12PF F △中，由正弦定理得211221sin sin PF PF PF F PF F =．（步骤1）则由已知，得21a cP F P F =，即12aPF cPF =，且知点P 在双曲线的右支上，设点00(,)x y 由焦点半径公式，得1020,PF a ex PF ex a =+=-则00()()a a ex c ex a +=-，（步骤2）解得0()(1)()(1)a c a a e x e c a e e ++==--由双曲线的几何性质知0x a >则(1)(1)a e a e e +>-，整理得 2210,e e --<解得11(1,)e e <<∈+∞，又，故椭圆的离心率(11)e ∈（步骤3）解法二：由解析1知12cPF PF a=由双曲线的定义知 122PF PF a -=则222c PF PF a a -=即222a PF c a=-，（步骤1）由椭圆的几何性质知2PF c a >-，则22a c a c a>--，即2220c ac a --<，所以2210,e e --<以下同解析1．（步骤2）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．设函数2πππ()sin()2cos 1468x x f x =--+．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期．（Ⅱ）若函数()y g x =与()y f x =的图象关于直线1x =对称，求当4[0,]3x ∈时()y g x =的最大值．【测量目标】三角函数定义域、值域.【考查方式】给出函数式，求其最小正周期；根据直线方程求解与函数关于直线对称的另一函数在区间内的最大值．【难易程度】容易.【试题解析】（Ⅰ）()f x =πππππsincos cos sin cos 46464x x x --=π3πcos 2424x x -ππsin()43x -．（步骤1）故()f x 的最小正周期为2ππ4T = =8．（步骤2）(Ⅱ)解法一：在()y g x =的图象上任取一点(,())x g x ，它关于1x =的对称点(2,())x g x -．由题设条件，点(2,())x g x -在()y f x =的图象上，从而ππ()(2)sin[(2)]43g x f x x =-=--πππsin[]243x =--ππ)43x =+．（步骤3）当403x 剟时，πππ2π3433x +剟，因此()y g x =在区间4[0,]3上的最大值为max π32g ==．（步骤4）解法二：因区间4[0,]3关于1x =的对称区间为2[,2]3，且()y g x =与()y f x =的图象关于1x =对称，故()y g x =在4[0,]3上的最大值为()y f x =在2[,2]3上的最大值．（步骤1）由（Ⅰ）知()f xππsin()43x -，当223x 剟时，ππππ6436x --剟，因此()y g x =在4[0,]3上的最大值为max π6g ==（步骤2）17．某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为23和12，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：（Ⅰ）两种大树各成活1株的概率；（Ⅱ）成活的株数ξ的分布列与期望．【测量目标】离散型随机变量的期望和方差．【考查方式】给出事件的概率，由独立重复试验的概率公式求事件概率并求解随机变量的期望和方差．【难易程度】中等.【试题解析】设k A 表示甲种大树成活k 株，k ＝0，1，2，l B 表示乙种大树成活l 株，l ＝0，1，2，则k A ，l B 独立．由独立重复试验中事件发生的概率公式有 2221()C ()()33kkkk P A -=，2211()C ()()22llll P B -=．（步骤1）据此算得01()9P A = ， 14()9P A = ， 24()9P A =． 01()4P B = ， 11()2P B =， 21()4P B =．（步骤2） (Ⅰ) 所求概率为1111412()()()929P A B P A P B ==⨯= ．（步骤3） (Ⅱ) 解法一：ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，且0000111(0)()()()9436P P A B P A P B ξ====⨯= ，（步骤4）011011411(1)()()92946P P A B P A B ξ==+=⨯+⨯= ，（步骤5） 021120114141(2)()()()949294P P A B P A B P A B ξ==++=⨯+⨯+⨯ 1336=，（步骤6）122141411(3)()()94923P P A B P A B ξ==+=⨯+⨯= ．（步骤7）22411(4)()949P P A B ξ===⨯= ．（步骤8）综上知ξ有分布列（步骤9）从而，ξ的期望为111311012343663639E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯73=（步骤10）解法二：分布列的求法同上．令12ξξ，分别表示甲乙两种树成活的株数，则1221(2,),(2,)32B B ξξ::，（步骤1）故有122412,21332E E ξξ=⨯==⨯=，从而知1273E E E ξξξ=+=．（步骤2）18．设函数2()(0)f x ax bx k k =++>在0x =处取得极值，且曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于直线210x y ++=．（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）若函数e ()()xg x f x =，讨论()g x 的单调性．【测量目标】利用倒数求函数的极值、曲线的切线方程、利用导数求函数的单调区间．【考查方式】给出函数、其极值点的取值和某点的切线方程，求未知量；根据两函数的关系式讨论另一函数的单调性．【难易程度】中等.【试题解析】（Ⅰ）因2()(0),()2f x ax bx k k f x ax b '=++>=+故．（步骤1）又()f x 在0x =处取得极值，故()0,f x '=从而0b =，（步骤2）由曲线y =()f x 在(1,(1))f 处的切线与直线+210x y +=相互垂直可知该切线斜率为2，即(1)2f '=，有22a =，从而1a =．（步骤3）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2e ()(0)xg x k x k=>+， 222e (2)()(0)()x x x k g x k x k -+'=>+，（步骤5）令2()0,20g x x x k '=-+=有，（步骤6）（1）当440k ∆=-<，即当1k >时，()0g x '>在R 上恒成立，故函数()g x 在R 上为增函数．（步骤7）（2）当440k ∆=-=，即当1k =时，222e (1)()0(1)()x x g x x x k -'=>≠+， 1k =时，()g x 在R 上为增函数．（步骤8）（3）440k ∆=->，即当01k <<时，方程220x x k -+=有两个不相等实根，11x =21x =（步骤9）当(,1()0,(),1x g x g x '∈-∞>-∞是故在（上为增函数，当1x ∈（时，()0,g x '<故()1g x 在（上为减函数，当1x ∈∞（+）时，()0,g x '>故()1g x ∞在（+）上为增函数．（步骤10）19．如图，在四棱锥S ABCD -中，AD BC 且AD CD ⊥；平面CSD ⊥平面ABCD ，,22CS DS CS AD ⊥==；E 为BS 的中点，CE AS ==（Ⅰ）点A 到平面BCS 的距离；（Ⅱ）二面角E CD A --的大小．第19题图(1)【测量目标】二面角、空间立体几何中平行与垂直关系的综合问题．【考查方式】给出四棱锥及其线面关系，求点到平面的距离和二面角．【难易程度】中等.【试题解析】解法一：（Ⅰ）因为AD BC ，且,BC BCS ⊂平面所以AD BCS 平面，从而A 点到平面BCS 的距离等于D 点到平面BCS 的距离．（步骤1）因为平面,CSD ABCD AD CD ⊥⊥平面，故AD CSD ⊥平面，从而AD SD ⊥，（步骤2）由AD BC ，得B C D S ⊥，又由CS DS ⊥知DS BCS ⊥平面，从而DS 为点A 到平面BCS 的距离，（步骤3）因此在Rt ADS △中，DS ==（步骤4） (Ⅱ)如图，第19题图（Ⅱ）过E 点作,EG CD ⊥交CD 于点G ，又过G 点作GH CD ⊥，交AB 于H ，故EGH ∠为二面角E CD A --的平面角，记为θ，过E 点作EF BC ，交CS 于点F ，连结GF ，（步骤5）因平面ABCD CSD ⊥平面，GH CD ⊥，易知GH GF ⊥，故π2EGF θ=-∠．（步骤6）由于E 为BS 边中点，故112CF CS ==，在Rt CFE △中1EF ===，（步骤7）因EF CSD ⊥平面，又EG CD ⊥，,故由三垂线定理的逆定理得FG CD ⊥，从而又可得CGF CSD △△:，（步骤8）因此GF CFDS CD=而在Rt CSD △中，CD （步骤9）故CF GF DS CD ===g （步骤10）在Rt FEG △中，tan EFEGF FG==可得π3EGF ∠=，故所求二面角的大小为π6θ=．（步骤11）解法二：（Ⅰ）如图，第19题图以()S O 为坐标原点，射线,OD OC 分别为x 轴，y 轴正向，建立空间坐标系，设(,,)A A A A x y z ，因为平面COD ABCD ⊥平面，AD CD ⊥，故AD COD ⊥平面．（步骤1）即点A 在xOz 平面上，因此0A y =，1A z AD ==uuu r，（步骤2）又22213,AA x AS x +===uu rA ，）．（步骤3）因AD BC ，故BC ⊥平面CSD ，即BCS 与平面yOz 重合，从而点A 到平面BCS的距离为A x （步骤4）(Ⅱ)易知(0,2,0)C，D ．因E 为BS 的中点．BCS △为直角三角形，知2BS CE ==uu r uu r（步骤5）设(0,2,)B B z ，0B z >，则2A z =，故(0,2,2)B ，所以(0,1,1)E ．（步骤6）在CD 上取点G ，设11(,,0)G x y ，使GE CD ⊥．由2,0)CD =-u u u r，11(,1,1)GE x y =--+uu u r ，0CD GE =uu u r uu u r g ．112(1)0y --= ①（步骤7）又点G 在直线CD 上，即CG CD u u u r u u u r，由CG =u u u r 11(,2,0)x y -，122y -=- ②（步骤8）联立①、②，解得4(,0)33G =，（步骤9）故GE uu ur 1(,1)33=--．又由AD CD ⊥，所以二面角E CD A --的平面角为向量GE uu u r与向量DA uu u r 所成的角，记此角为θ．（步骤10）因为GE uu u r=3，(0,0,1)DA =u u u r ，1DA =uu u r ，1GE DA =u u u r u u u r g ，所以cos 2GE DA GE DAθ==uu u r uu u r g uu u r uu u r g 故所求的二面角的大小为π6．（步骤11） 20．已知以原点O为中心的椭圆的一条准线方程为y =e =M 是椭圆上的动点．（Ⅰ）若,C D的坐标分别是(0,，求MC MD 的最大值；（Ⅱ）如图，点A 的坐标为(1,0)，B 是圆221x y +=上的点，N 是点M 在x 轴上的射影，点Q 满足条件：OQ OM ON =+ ，0QA BA =．求线段QB 的中点P 的轨迹方程．第20题图【测量目标】椭圆的标准方程和简单几何性质、基本不等式求最值、圆锥曲线中的轨迹问题．【考查方式】给出椭圆的一条准线方程和离心率，利用基本不等式求最值；利用向量的坐标运算求点的轨迹方程．【难易程度】较难.【试题解析】：（Ⅰ）由题设条件知焦点在y 轴上，故设椭圆方程为22221x y b a+=(0)a b >>．设c =由准线方程3y =得．由2e =2ca =，解得2,a c =，从而1b =，椭圆方程为2214y x +=．（步骤1）又易知,C D 两点是椭圆2214y x +=的焦点，所以，24MC MD a +==，（步骤2）从而22242MC MD MC MD ⎛+⎫== ⎪⎝⎭…g ，（步骤3）当且仅当MC MD =，即点M 的坐标为(1,0)±时上式取等号，MC MD g 的最大值为4．（步骤4）（II ）如图，第20题图设(,)M M M x y ，(,)B B B x y ，(,)Q Q Q x y ．因为(,0),M N x OM ON OQ +=，故2,Q M Q M x x y y ==，2222(2)4Q Q M M x y x y +=+=， ① （步骤5）因为0QA BA = ，(1,)(1,)Q Q B B x y x y ----(1)(1)0Q B Q B x x y y =--+=所以 1Q B Q B B Q x x y y x x +=+-． ② （步骤6）记P 点的坐标为(,)P P x y ，因为P 是BQ 的中点，所以 2,2P Q B P Q B x x x y y y =+=+．（步骤7）又因为 221B B x y +=，结合①，②得22221(()())4B B Q B Q B x y x x y y +=+++22221(2())4Q B Q B Q B Q B x x y y x x y y =+++++ 1(52(1))4Q B x x =++-34P x =+．（步骤8）故动点P 的估计方程为221()12x y -+=．（步骤9）21．设m 个不全相等的正数12,,,(7)m a a a m …依次围成一个圆圈．（Ⅰ）若2009m =，且121005,,,a a a 是公差为d 的等差数列，而120092008,,,,a a a a 是公比为q d =的等比数列；数列12,,,m a a a 的前n 项和()n S n m …满足：320092007115,12S S S a ==+，求通项()n a n m …；（Ⅱ）若每个数()n a n m …是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：2216712m m a a a a ma a a +++++> ．【测量目标】等差等比数列的综合应用．【考查方式】给出条件，综合利用等差等比数列的相关知识求解．【难易程度】较难.【试题解析】（I ）因1200920081006,,,,a a a a ⋅⋅⋅是公比为d 的等比数列，从而20091a a d =，220081a a d =，由 200920071200820091212S Sa a a a =++=得，故解得3d =或4d =-（舍去），因此3d =．（步骤1）又 313315S a d =+=．解得12a =．（步骤2）从而当1005n …时，1(1)23(1)31n a a n d n n =+-=+-=-；（步骤3）当10062009n剟时，由1200920081006,,,,a a a a ⋅⋅⋅是公比为d 的等比数列得2009(1)201011(10062009)n n n a a d a d n---==剟．因此201031,100523,10062009n nn n a n--⎧=⎨⎩…剟．（步骤4）（II ）由题意222222222111112(1),,n n n m m m a a a n m a a a a a a -+-=<<==得111112(1),n n n m m m a a a n m a a a a a a -+-=<<⎧⎪=⎨⎪=⎩ ①②③（步骤5）有①得413456112211,,,a a a a a a a a a a ====， ④ （步骤6）由①，②，③得21212()n n a a a a a a ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，故121n a a a ⋅⋅⋅=． ⑤ （步骤7）又2131111(13)r r r r r r ra a a r m a a a a +++++===- 剟，故有631(16)r r r a a r m a ++==-剟． ⑥ （步骤8）下面反证法证明：6m k =．若不然，设6,15m k p p=+其中剟．若取1p =即61m k =+，则由⑥得611m k a a a +==，而由③得11122,,m a aa a a a ==故（步骤9）得21a =，由②得11m m a a a -=，从而661k m a a a -==，而162aa a =，121a a ==故，由④及⑥可推得1n a =（1nm 剟）与题设矛盾．（步骤10）同理若p =2，3，4，5均可得1n a =（1n m 剟）与题设矛盾，因此6m k =为6的倍数，由均值不等式得21123612121211()()()6a a a a a a a a a a a a ++++=+++++…L ．（步骤11）由上面三组数内必有一组不相等（否则1231a a a ===，从而451m a a a ====L 与题设矛盾），故等号不成立，从而12366a a a a ++++>L ，（步骤12）又6m k =，由④和⑥得2222227712656()()m k k a a a a a a -++=++++++L L L L 2216(1)()k a a =-+222123222123111(1)()6(1)k a a a k a a a =-+++++-…．（步骤13）因此由⑤得221236712366(1)6m m a a a a a a k k m ma a a a +++++++>+-===L L L ．（步骤14）。

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(重庆卷,解析版)讲解

2009 年一般高等学校招生全国一致考试数学理（重庆卷，分析版）本试卷满分150 分，考试时间120 分钟第Ⅰ卷考生注意：1．答题前，务势必自己的姓名、准考据号、填写清楚，并贴好条形码．请仔细批准条形码上的准考据号、姓名和科目．2．每题选出答案后，用 2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号．在试题卷上作答无效．3．本卷共 12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．4．全部题目一定在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．参照公式：假如事件 A ，B 互斥，那么 P(AB) P( A) P(B)假如事件A ，B 互相独立，那么 P( A B) P( A) P(B)假如事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ，那么 n 次独立重复试验中恰巧发生k 次的概率P n (k ) C n k P k (1 P) n k ( k 0，1,2，， n)以 R 为半径的球体积：V4 π 3R3一、选择题：本大题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分。

在每题给出的四个备选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的。

1．直线 y x 1与圆 x 2y 2 1的地点关系为（）A ．相切B．订交但直线可是圆心C．直线过圆心D ．相离【答案】 B【解析】圆心 (0, 0)为到直线 yx 1 ，即 x y 1 0 的距离 d1 22 ，而22 1，选 B 。

22．已知复数 z 的实部为1 ，虚部为 2，则5i=（）zA ． 2 iB ． 2 iC ． 2 iD ． 2 i【答案】 A【分析】因为由条件知z 1 2i ，则5i5i( 1 2i) 5i 10 2 i ，所以z (1 2i )( 1 2i ) 5选 A 。

3． (x 22 )8 的睁开式中 x 4 的系数是（）A ．16x B ．70C ．560D ．1120【答案】【分析】设含 x 4的为第 r1,T1C r ( x 2 )6 r ( 2) rC r 2r x 16 3r ， 16 3r 4r 6 x6所以 r4 ，故系数为： C 64 24 1120 ，选 D 。

2009年高考重庆理科综合试题及参考答案

= A.进入该生态系统的CO2量与各h产生的CO2总量相等B.生产者i的量大于被初级消费者同化有机物的量C.流向分解者的k可悲生产这直接吸收利用6.材料与化学密切相关，表中对应系错误的是材料主要化学成分A 刚玉、金刚石三氧化二铝B 大理石、石灰石碳酸钙C 普通水泥、普通玻璃硅酸盐D 沙子、石英二氧化硅7.有关实验的叙述，正确的是A.将固体加入容量瓶中溶解并稀释至刻度，配置成一定物质的量浓度的溶液B.用玻璃棒蘸取溶液，点在湿润的pH是指上测定其pHC.用NaOH溶液洗涤并灼烧铂丝后，再进行焰色反应D.读取滴定管内液体的体积，俯视读数导致读数偏小8.下列各组离子，能在溶液中大量共存的是A.Na+、Mg2+、AlO2-、Br-B.H+、Fe2+、SO42-、NO3-C.K+、NH4+、CO32-、OH-D.Ca2+、Al3+、NO3-、Cl-9.下列叙述正确的是A.SO2具有还原性，故可作漂白剂B.Na的金属活性比Mg强，故可用Na与MgCl2溶液反应制MgC.浓硝酸中的HNO3见光会分解，故有时在实验室看到的浓硝酸呈黄色D.Fe在Cl2中燃烧生成FeCl3，故在与其它非金属反应的产物中的Fe也显+3价10.物质的量浓度相同的下列溶液，pH由大到小排列正确的是A.Ba(OH)2、 Na2SO3、FeCl3、KClB.Na2SiO3、Na2SO3、KNO3、NH4ClC.NH3·H2O、H3PO4、Na2SO4、H2SO4D.NaHCO3、C6H5COOH、C2H5OH、HCl11.下列对有机物结构或性质的描述，错误的是A.一定条件下，Cl2可在甲苯的苯环或侧链上发生取代反应B.苯酚钠溶液中通入CO2生成苯酚，则碳酸的酸性比苯酚弱C.乙烷和丙烯的物质的量各1mol，完成燃烧生成3molH2OD.光照下2，2—二甲基丙烷与Br2反应其一溴取代物只有一种12.下列热化学方程式数学正确的是(△H的绝对值均正确)A.C2H5OH(l)+3O2(g)==2CO2(g)+3H2O(g)；△H=—1367.0 kJ/mol(燃烧热)B. NaOH(aq)+HCl(aq)==NaCl(aq)+H2O(l)；△H=+57.3kJ/mol(中和热)C.S(s)+O2(g)==SO2(g)；△H=-269.8kJ/mol(反应热)D. 2NO2==O2+2NO；△H=+116.2kJ/mol(反应热)13.各可逆反应达平衡后，改变反应条件，其变化趋势正确的是14.密闭有空气的薄塑料瓶因降温而变扁，此过程中瓶内空气(不计分子势能)A.内能增大，放出热量B.内能减小，吸收热量C.内能增大，对外界做功D.内能减小，外界对其做功15.同一音叉发出的声波同时在水和空气中传播，某时刻的波形曲线见题15图，以下说法正确的是A.声波在水中波长较大，b是水中声波的波形曲线.B.声波在空气中波长较大，b是空气中声波的波形曲线C.水中质点振动频率较高，a是水中声波的波形曲线D.空气中质点振动频率较高，a是空气中声波的波形曲线16.某科学家提出年轻热星体中核聚变的一种理论，其中的两个核反应方程为方程式中Q1、Q2表示释放的能量，相关的原子核质量见下表：原子核质量/u 1.0078 3.0160 4.0026 12.0000 13.0057 15.0001A.X是，Q2＞Q1B.X是，Q2＞Q1C.X是，Q2＜Q1D.X是，Q2＜Q117.据报道，“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行器的圆形轨道距月球表面分别约为200Km和100Km，运动速率分别为v1和v2，那么v1和v2的比值为(月球半径取1700Km)A. B. C. D.18.某实物投影机有10个相同的强光灯L1～L10(24V/200W)和10个相同的指示灯X1～X10(220V/2W),将其连接在220V交流电源上，电路见题18图，若工作一段时间后，L2灯丝烧断，则A.X1的功率减小，L1的功率增大B.X1的功率增大，L1的功率增大C.X2功率增大，其它指示灯的功率减小D.X2功率减小，其它指示灯的功率增大19.在题19图所示电路中，电池均相同，当电键S分别置于a、b两处时，导线MM′与NN′之间的安培力的大小为f a、f b，判断这两段导线A.相互吸引，f a＞f bB.相互排斥，f a＞f bC.相互吸引，f a＜f bD.相互排斥，f a＜f b20.题20图为一种早期发电机原理示意图，该发电机由固定的圆形线圈和一对用铁芯连接的圆柱形磁铁构成，两磁极相对于线圈平面对称，在磁极绕转轴匀速转动过程中，磁极中心在线圈平面上的投影沿圆弧运动，(O是线圈中心)，则A.从X到O,电流由E经G流向F，先增大再减小B.从X到O,电流由F经G流向E，先减小再增大C.从O到Y,电流由F经G流向E，先减小再增大D.从O到Y,电流由E经G流向F，先增大再减小21.用a、b、c、d表示四种单色光，若①a、b从同种玻璃射向空气，a的临界角小于b的临界角；②用b、c和d在相同条件下分别做双缝干涉实验，c的条纹间距最大③用b、d照射某金属表面，只有b能使其发射电子.则可推断a、b、c、d可能分别是A.紫光、蓝光、红光、橙光B.蓝光、紫光、红光、橙光C.紫光、蓝光、橙光、红光D.紫光、橙光、红光、蓝光22.(19分)(1)某同学在探究影响单摆周期的因素时有如下操作，请判断是否恰当(填“是”或“否”).①把单摆从平衡位置拉开约5°释放；____②在摆球经过最低点时启动秒表计时；____③把秒表记录摆球一次全振动的时间作为周期.____该同学改进测量方法后，得到的部分测量数据见表. 用螺旋测微器测量其中一个摆球直径的示数见题22图1.该球的直径为____mm.根据表中数据可以初步判断单摆周期随____的增大而增大.数据组摆长摆球周期编号/mm 质量/g /s1 999.3 32.2 2.02 999.3 16.5 2.03 799.2 32.2 1.84 799.2 16.5 1.85 501.1 32.2 1.4(2)硅光电池是一种可将光能转换为电能的器件.某同学用题22图2所示电路探究硅光电池的路端电压U与总电流I的关系.图中R0为已知定值电阻，电压表视为理想电压表.①请根据题22图2，用笔画线代替导线将题22图3中的实验器材连接成实验电路.②若电压表V2的读数为U0，则I=____mA；③实验一：用一定强度的光照射硅光电池，调节滑动变阻器，通过测量得到该电池的U-I曲线a.见题22图4，由此可知电池内阻____(填“是”或“不是”)常数，短路电流为____mA，电动势为____V.④实验二：减小实验一中光的强度，重复实验，测得U-I曲线b，见题22图4.当滑动变阻器的电阻为某值时，若实验一中的路端电压为1.5V.则实验二中外电路消耗的电功率为____mW(计算结果保留两位有效数字).23.(16分)2009年中国女子冰壶队首次获得了世界锦标赛冠军，这引起了人们对冰壶运动的关注.冰壶在水平冰面上的一次滑行可简化为如下过程：如题23图，运动员将静止于O点的冰壶(视为质点)沿直线OO′推到A点放手，此后冰壶沿AO′滑行，最后停于C点.已知冰面与各冰壶间的动摩擦因数为μ，冰壶质量为m，AC＝L，CO′＝r,重力加速度为g，(1)求冰壶在A 点的速率；(2)求冰壶从O点到A点的运动过程中受到的冲量大小；(3)若将BO′段冰面与冰壶间的动摩擦因数减小为0.8μ，原只能滑到C点的冰壶能停于O′点，求A点与B点之间的距离.24.(18分)探究某种笔的弹跳问题时，把笔分为轻质弹簧、内芯和外壳三部分，其中内芯和外壳质量分别为m和4m.笔的弹跳过程分为三个阶段：①把笔竖直倒立于水平硬桌面，下压外壳使其下端接触桌面(见题24图a)；②由静止释放，外壳竖直上升至下端距桌面高度为h1时，与静止的内芯碰撞(见题24图b)；③碰后，内芯与外壳以共同的速度一起上升到外壳下端距桌面最大高度为h2处(见题24图c).设内芯与外壳的撞击力远大于笔所受重力、不计摩擦与空气阻力，重力加速度为g.求：(1)外壳与内芯碰撞后瞬间的共同速度大小；(2)从外壳离开桌面到碰撞前瞬间，弹簧做的功；(3)从外壳下端离开桌面到上升至h2处，笔损失的机械能.25.(19分)如题25图，离子源A产生的初速为零、带电量均为e、质量不同的正离子被电压为U0的加速电场加速后匀速通过准直管，垂直射入匀强偏转电场，偏转后通过极板HM上的小孔S离开电场，经过一段匀速直线运动，垂直于边界MN进入磁感应强度为B的匀强磁场.已知HO=d，HS=2d，∠MNQ=90°.(忽略粒子所受重力)(1)求偏转电场场强E0的大小以及HM与MN的夹角φ；(2)求质量为m的离子在磁场中做圆周运动的半径；(3)若质量为4m的离子垂直打在NQ的中点S1处，质量为16m的离子打在S2处.求S1和S2之间的距离以及能打在NQ上的正离子的质量范围.26.(14分)工业上电解饱和食盐能制取多种化工原料，其中部分原料可用于制备多晶硅.(1)题26图是离子交换膜法电解饱和食盐水示意图，电解槽阳极产生的气体是____；NaOH溶液的出口为____(填字母)；精制饱和食盐水的进口为____(填字母)；干燥塔中应使用的液体是____.(2)多晶硅主要采用SiHCl3还原工艺生产，其副产物SiCl4的综合利用收到广泛关注.①SiCl4可制气相白炭黑(与光导纤维主要原料相同)，方法为高温下SiCl4与H2和O2反应，产物有两种，化学方程式为____.②SiCl4可转化为SiHCl3而循环使用.一定条件下，在20L恒容密闭容器中的反应：达平衡后，H2与SiHCl3物质的量浓度分别为0.140mol/L和0.020mol/L，若H2全部来源于离子交换膜法的电解产物，理论上需消耗纯NaCl的质量为 kg.(3)采用无膜电解槽电解饱和食盐水，可制取氯酸钠，同时生成氢气，现制得氯酸钠213.0kg，则生成氢气 m3(标准状况).27.(15分)两个学习小组用题27图装置探究乙二酸(HOOC—COOH)受热分解的部分产物.(1)甲组：①按接口顺序：a—b—c—d—e—f—g—h连接装置进行实验.B中溶液变浑浊，证明分解产物有____；装置C的作用是____；E中溶液变浑浊，D中的现象是____，证明分解产物有____.②乙二酸受热分解的化学方程式为____.(2)乙组：①将接口a与j连接进行实验，观察到F中生成的气体可使带火星的木条复燃，则F 中最主要反应的化学方程式为____.②从A～F中选用装置进行实验，证明甲组通入D的气体能否与Na2O2反应.最简单的装置接口连接顺序是____；实验后用F中的固体进行验证的方法是____(可另选试剂).28.(16分)星形聚合物SPLA可经下列反应路线得到(部分反应条件未注明).(1)淀粉是____糖(填“单”或“多”)；A的名称是____.(2)乙醛由不饱和烃制备的方法之一是____(用化学方程式表示，可多步).(3)D→E的化学反应类型属于反应；D结构中有3个相同的基团，且1molD能与2molAg(NH3)2OH反应，则D的结构简式是____；D与银氨溶液反应的化学方程式为____.(4)B的直链同分异构体G的分子中不含甲基，G既不能与NaHCO3溶液反应，又不能与新制Cu(OH)2反应，且1molG与足量Na反应生成1mol H2，则G的结构简式为____.(5)B有多种脱水产物，其中两种产物的结构简式为____和____.29.(15分)化合物A由周期不同的短周期元素X、Y组成，是良好的耐热冲击材料(1)X的单质既可与盐酸反应，又可与NaOH溶液反应，X的原子结构示意图为____.(2)X的硫酸盐溶液与过量NaOH溶液反应的离子方程式为____.(3)一定条件下，A和水缓慢作用生成含Y的化合物Z，Z分子含有10个电子.①Z与H2O2反应，其产物之一是Y的单质，Y的单质地电子式为____；Z分子的结构呈____.②A的化学式是____(4)X的单质、石墨和二氧化钛(TiO2)按比例混合，高温下反应得到的化合物均由两种元素组成，且都是新型陶瓷材料(在火箭和导弹上有重要应用)，其反应的化学方程式是____.30.(26分)I.在春末晴朗白天，重庆某蔬菜基地测定了某大棚蔬菜在不同条件下的净光合作用强度(实际光和作用强度与呼吸作用强度之差)，结果见题30图1(假设塑料大棚外环境条件相同；植株大小一致、生长正常，栽培管理条件相同)(1)在曲线a中，与11时相比13，时植株叶绿体内C3与C5化和物相对含量较高的是(C3或C5);在11时和13时分别摘取植株上部成熟叶片用碘蒸气处理，13时所取叶片显色较 (深或浅)(2)曲线b 的峰值低于曲线a，其中两个主要决定因素是____(光照强度、环境温度、空气中CO2含量).曲线c高于曲线b，原因是补充光照能使叶绿体产生更多的____用于CO2还原；若在棚内利用豆料植物做绿肥，可明显增加土壤中____元素的含量，主要促进植株体内____和____等生物大分子的合成.(3)6-9时和16-18时，曲线b高于曲线a，主要原因是此时段棚内____较高.Ⅱ.题30图2是反射弧结构模式图，a、b分别是放置在传出神经和骨骼肌上的电极，用于刺激神经和骨骼肌；c是放置在传出神经上的电位计，用于记录神经兴奋电位；d为神经与肌细胞接头部位，是一种突触.(1)用a刺激神经，产生的兴奋传到骨骼肌引起的收缩____(属于或不属于)反射.(2)用b刺激骨骼肌，____(能活不能)在c处记录到电位.(3)正常时，用a刺激神经会引起骨骼肌收缩；传出部分的某处受损时，用a刺激神经，骨骼肌不再收缩，根据本题条件，完成下列判断实验：①如果____，表明传出神经受损.②如果____，表明骨骼肌受损.③如果____，表明部位d受损.31.(16分)小鼠基因敲除技术获得2007年诺贝尔奖，该技术采用基因工程、细胞工程、杂交等手段使小鼠体内的某一基因失去功能，以研究基因在生物个体发育和病理过程中的作用.例如现有基因型为BB的小鼠，要敲除基因B，可先用体外合成的突变基因b取代正常基因B，使BB细胞改变为Bb细胞，最终培育成为基因敲除小鼠.(1)基因敲除过程中外源基因是否导入受体细胞，可利用重组质粒上的____检测.如果被敲除的是小鼠抑癌基因，则可能导致细胞内的____被激活，使小鼠细胞发生癌变.(2)通过基因敲除，得到一只AABb小鼠.假设棕毛基因A、白毛基因a、褐齿基因B和黄齿基因b均位于常染色体上，现要得到白毛黄齿新类型小鼠，用来与AABb小鼠杂交的纯合亲本的基因型是____，杂交子代的基因型是 .让F1代中双杂合基因型的雌雄小鼠相互交配，子代中带有b基因个体的概率是____.不带B基因个体的概率是____.(3)在上述F1代中只考虑齿色这对性状，假设这对性状的遗传属X染色体伴性遗传，则表现黄齿个体的性别是____，这一代中具有这种性别的个体基因是____.参考答案及评分标准第一部分1.C2.D3.D4.B5.B6.A7.D8.D9.C 10.B11.B 12.C 13.D 14.D 15.A 16.B 17.C 18.C 19.D 20.D 21.A22.(1)①是，②是，③否，20.685(20.683-20.687)，摆长(2)①见22题答案图，②，③不是，0.295(0.293-0.297)，2.67(2.64-2.70)，④0.065(0.060-0.070)23.(1)对冰壶，从A点放手到停止于C点，设在A点时的速度为V1，应用动能定理有，解得；(2)对冰壶，从O到A，设冰壶受到的冲量为I，应用动量定理有I=mV1-0，解得；(3)设AB之间距离为S，对冰壶，从A到O′的过程，应用动能定理，，解得S=L-4r.24.设外壳上升高度h1时速度为V1，外壳与内芯碰撞后瞬间的共同速度大小为V2，(1)对外壳和内芯，从撞后达到共同速度到上升至h2处，应用动能定理有，解得；(2)外壳和内芯，碰撞过程瞬间动量守恒，有4mV1＝(4mg＋m)V2，解得，设从外壳离开桌面到碰撞前瞬间弹簧做功为W，在此过程中，对外壳应用动能定理有，解得；(3)由于外壳和内芯达到共同速度后上升高度h2的过程，机械能守恒，只是在外壳和内芯碰撞过程有能量损失，损失的能量为，联立解得.25.(1)正离子被电压为U0的加速电场加速后速度设为V1，设对正离子，应用动能定理有，正离子垂直射入匀强偏转电场，作类平抛运动受到电场力F＝qE0、产生的加速度为，即，垂直电场方向匀速运动，有2d＝V1t，沿场强方向：，联立解得又，解得φ＝45°；(2)正离子进入磁场时的速度大小为，解得正离子在匀强磁场中作匀速圆周运动，由洛仑兹力提供向心力，，解得离子在磁场中做圆周运动的半径；(3)根据可知，质量为4m的离子在磁场中的运动打在S1，运动半径为，质量为16m的离子在磁场中的运动打在S2，运动半径为，又ON＝R2－R1，由几何关系可知S1和S2之间的距离，联立解得；由R′2＝(2 R1)2+( R′－R1)2解得，再根据，解得m＜m x＜25m.26.(1)氯气；a；d；浓硫酸(2)①②0.35(3)134.427.(1)①CO2；充分除去CO2；溶液褪色或变浅，CO②(2)①2Na2O2+2CO2=2Na2CO3+O2②a-d-e-j；取F中的固体，滴加稀硫酸，将生成的气体通入澄清石灰水中，若变浑浊，则发生了反应；若不变浑浊，则未发生反应.28.答案：(1)多；葡萄糖(2)①或②CH2=CH2+HBr→CH3CH2BrCH3CH2Br+H2O→CH3CH2OH+HBr或CH3CH2Br+NaOH→CH3CH2OH+NaBr(3)加成(或还原)；C(CH2OH)3CHO；(4)(5)①CH2=CH-COOH②③④29.答案：(1)(2)(3)①；三角锥形②AIN(4)30.答案：I.(1)C5；深(2)光照强度、空气中CO2含量；ATP、NADPH([H])；氮(N)；蛋白质；核酸(3)温度II.(1)不属于(2)不能(3)①用a刺激神经，在c处不能记录到电位②用b刺激骨骼肌，骨骼肌不收缩③用a刺激神经，在c处记录到电位，骨骼肌不收缩，用b刺激骨骼肌，骨骼肌收缩31.答案：(1)标记基因；原癌基因(2)aaBB；AaBB、AaBb；12/16(3/4)；4/16(1/4)(3)雄性()；X B Y、X b Y。

2009年重庆市高考数学试卷(理科)及答案

2009年重庆市高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为（）A．相切B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心D．相离2．（5分）已知复数z的实部为﹣1，虚部为2，则=（）A．2﹣i B．2+i C．﹣2﹣i D．﹣2+i3．（5分）（x+2）6的展开式中x3的系数是（）A．20 B．40 C．80 D．1604．（5分）已知||=1，||=6，•（﹣）=2，则向量与向量的夹角是（）A．B．C．D．5．（5分）不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞）C．[1，2] D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）6．（5分）锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同．从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）设△ABC的三个内角A，B，C，向量，，若=1+cos（A+B），则C=（）A．B．C． D．8．（5分）已知，其中a，b∈R，则a﹣b的值为（）A．﹣6 B．﹣2 C．2 D．69．（5分）三个互不重合的平面把空间分成六个部份时，它们的交线有（）条．A．1 B．2 C．3 D．1或210．（5分）已知三角函数f（x）=sin2x﹣cos2x，其中x为任意的实数．求此函数的周期为（）A．2πB．πC．4πD．﹣π二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）若A={x∈R||x|＜3}，B={x∈R|2x＞1}，则A∩B=．12．（5分）若f（x）=a+是奇函数，则a=．13．（5分）将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种（用数字作答）．14．（5分）设a1=2，，b n=，n∈N+，则数列{b n}的通项公式b n=．15．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若双曲线上存在一点P使，则该双曲线的离心率的取值范围是．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（13分）设函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期．（Ⅱ）若y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求当时y=g （x）的最大值．17．（13分）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：（1）两种大树各成活1株的概率；（2）成活的株数ξ的分布列与期望．18．（13分）设函数f（x）=ax2+bx+k（k＞0）在x=0处取得极值，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线x+2y+1=0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若函数，讨论g（x）的单调性．19．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，AD∥BC且AD⊥CD；平面CSD⊥平面ABCD，CS⊥DS，CS=2AD=2；E为BS的中点，CE=，求：（Ⅰ）点A到平面BCS的距离；（Ⅱ）二面角E﹣CD﹣A的大小．20．（12分）已知以原点O为中心的椭圆的一条准线方程为，离心率，M是椭圆上的动点（Ⅰ）若C，D的坐标分别是，求|MC|•|MD|的最大值；（Ⅱ）如题（20）图，点A的坐标为（1，0），B是圆x2+y2=1上的点，N是点M 在x轴上的射影，点Q满足条件：，、求线段QB的中点P 的轨迹方程．21．（12分）设m个不全相等的正数a1，a2，…，a m（m≥7）依次围成一个圆圈，（Ⅰ）若m=2009，且a1，a2，…，a1005是公差为d的等差数列，而a1，a2009，a2008，…，a1006是公比为q=d的等比数列；数列a1，a2，…，a m的前n项和S n（n≤m）满足：S3=15，S2009=S2007+12a1，求通项a n（n≤m）；（Ⅱ）若每个数a n（n≤m）是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：a1+…+a6+a72+…+a m2＞ma1a2a m．2009年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2009•重庆）直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为（）A．相切B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心D．相离【分析】求出圆心到直线的距离d，与圆的半径r比较大小即可判断出直线与圆的位置关系，同时判断圆心是否在直线上，即可得到正确答案．【解答】解：由圆的方程得到圆心坐标（0，0），半径r=1则圆心（0，0）到直线y=x+1的距离d==＜r=1，把（0，0）代入直线方程左右两边不相等，得到直线不过圆心．所以直线与圆的位置关系是相交但直线不过圆心．故选B2．（5分）（2009•重庆）已知复数z的实部为﹣1，虚部为2，则=（）A．2﹣i B．2+i C．﹣2﹣i D．﹣2+i【分析】由题意求出复数z，代入，复数分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，可得选项．【解答】解：因为由条件知z=﹣1+2i，则=，故选A．3．（5分）（2009•重庆）（x+2）6的展开式中x3的系数是（）A．20 B．40 C．80 D．160【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为3求出展开式中x3的系数．【解答】解：设含x3的为第r+1，则Tr+1=C6r x6﹣r•2r，令6﹣r=3，得r=3，故展开式中x3的系数为C63•23=160．故选D．4．（5分）（2009•重庆）已知||=1，||=6，•（﹣）=2，则向量与向量的夹角是（）A．B．C．D．【分析】利用向量的运算法则及向量模的平方即是向量的平方求出，再利用向量的数量积公式求出向量的夹角余弦，求出向量夹角．【解答】解：∵==2．又，∴=3．即cos＜a，b＞=3=1×6cos＜a，b＞，得cos＜a，b＞=，∴a与b的夹角为，故选项为C．5．（5分）（2009•重庆）不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞）C．[1，2] D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）【分析】利用绝对值的几何意义，求出|x+3|﹣|x﹣1|的最大值不大于a2﹣3a，求出a的范围．【解答】解：因为|x+3|﹣|x﹣1|≤4对|x+3|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a对任意x恒成立，所以a2﹣3a≥4即a2﹣3a﹣4≥0，解得a≥4或a≤﹣1．故选A．6．（5分）（2009•重庆）锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同．从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（）A．B．C．D．【分析】本题考查的知识点是古典概型，我们计算出总的滔法种类，再计算满足条件“从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个”所包含的基本事件个数，然后代入古典概型公式计算，即可得到答案．【解答】解：因为总的滔法C154，而所求事件的取法分为三类，即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆、豆沙馅汤圆，取得个数分别按1，1，2；1，2，1；2，1，1三类，故所求概率P==．故选C．7．（5分）（2009•重庆）设△ABC的三个内角A，B，C，向量，，若=1+cos（A+B），则C=（）A．B．C． D．【分析】利用向量的坐标表示可求=1+cos（A+B），结合条件C=π﹣（A+B）可得sin（C+=，由0＜C＜π可求C【解答】解：因为=又因为所以又C=π﹣（B+A）所以因为0＜C＜π，所以故选C．8．（5分）（2009•重庆）已知，其中a，b∈R，则a﹣b的值为（）A．﹣6 B．﹣2 C．2 D．6【分析】先通分得，然后由极限的性质知，由此可以求出a﹣b的值．【解答】解：∵已知==2，∴，∴a=2，b=﹣4；∴a﹣b=6．故选D．9．（5分）（2009•重庆）三个互不重合的平面把空间分成六个部份时，它们的交线有（）条．A．1 B．2 C．3 D．1或2【分析】三个互不重合的平面把空间分成六个部份有两种情形：一是其中两个平面平行，第三个平面都与它们相交；二是三个平面交于一条直线，考虑到两类即可解决．【解答】解：分两类：①当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，有两条交线；②当三个平面交于一条直线时，有一条交线，故选D10．（5分）（2009•重庆）已知三角函数f（x）=sin2x﹣cos2x，其中x为任意的实数．求此函数的周期为（）A．2πB．πC．4πD．﹣π【分析】首先由题目中已知三角函数f（x）=sin2x﹣cos2x求周期，需要把函数化为标准型，然后根据周期公式求解即可得到答案．【解答】解：因为f（x）=sin2x﹣cos2x=，所以函数的周期T=，故答案选择B．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2009•重庆）若A={x∈R||x|＜3}，B={x∈R|2x＞1}，则A∩B={x|0＜x＜3} ．【分析】要求A与B的交集，先要求出两个集合的区间，解出绝对值不等式得到集合A，根据指数函数的增减性得到集合B，然后取两集合的公共部分即可得到交集．【解答】解：由|x|＜3解得﹣3＜x＜3；由2x＞1=20，根据指数函数y=2x为增函数得到x＞0∴A={x|﹣3＜x＜3}，B={x|x＞0}，则A∩B={x|0＜x＜3}．故答案为：{x|0＜x＜3}12．（5分）（2009•重庆）若f（x）=a+是奇函数，则a=﹣．【分析】充分不必要条件：若奇函数定义域为R（即x=0有意义），则f（0）=0．或用定义：f（﹣x）=﹣f（x）直接求a．【解答】解：函数的定义域为R，且为奇函数，则f（0）=a+=0，得a+=0，得a=﹣，检验：若a=﹣，则f（x）=+=，又f（﹣x）==﹣=﹣f（x）为奇函数，符合题意．故答案为﹣．13．（5分）（2009•重庆）将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有36种（用数字作答）．【分析】由题意知将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，需要先从4个人中选出2个作为一个元素看成整体，再把它同另外两个元素在三个位置全排列，根据分步乘法原理得到结果．【解答】解：∵将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，∴先从4个人中选出2个作为一个元素看成整体，再把它同另外两个元素在三个位置全排列，共有C24A33=36．故答案为：3614．（5分）（2009•重庆）设a1=2，，b n=，n∈N+，则数列{b n}的通项公式b n=2n+1．【分析】由题设条件得b n====2b n，由此能+1够导出数列{b n}的通项公式b n．【解答】解：由条件得：b n====2b n+1且b1=4所以数列{b n}是首项为4，公比为2的等比数列，则b n=4•2n﹣1=2n+1．故答案为：2n+1．15．（5分）（2009•重庆）已知双曲线的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若双曲线上存在一点P使，则该双曲线的离心率的取值范围是（1，）．【分析】不防设点P（x o，y o）在右支曲线上并注意到x o＞a．利用正弦定理求得，进而根据双曲线定义表示出|PF1|和|PF2|代入求得e 的范围．【解答】解：不防设点P（x o，y o）在右支曲线上并注意到x o＞a．由正弦定理有，由双曲线第二定义得：|PF1|=a+ex o，|PF2|=ex o﹣a，则有=，得x o=＞a，分子分母同时除以a2，易得：＞1，解得1＜e＜+1故答案为（1，）三、解答题（共6小题，满分75分）16．（13分）（2009•重庆）设函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期．（Ⅱ）若y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求当时y=g （x）的最大值．【分析】（1）利用两角差的正弦公式及二倍角公式及化简三角函数；再利用三角函数的周期公式求出周期．（2）在y=g（x）上任取一点，据对称行求出其对称点，利用对称点在y=f（x）上，求出g（x）的解析式，求出整体角的范围，据三角函数的有界性求出最值．【解答】解：（1）f（x）===故f（x）的最小正周期为T==8（2）在y=g（x）的图象上任取一点（x，g（x）），它关于x=1的对称点（2﹣x，g（x））．由题设条件，点（2﹣x，g（x））在y=f（x）的图象上，从而==当时，时，因此y=g（x）在区间上的最大值为17．（13分）（2009•重庆）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：（1）两种大树各成活1株的概率；（2）成活的株数ξ的分布列与期望．【分析】（1）甲两株中活一株符合独立重复试验，概率为，同理可算乙两株中活一株的概率，两值相乘即可．（2）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，分别求其概率，列出分布列，再求期望即可．【解答】解：设A k表示甲种大树成活k株，k=0，1，2B l表示乙种大树成活1株，1=0，1，2则A k，B l独立．由独立重复试验中事件发生的概率公式有P（A k）=C2k（）k（）2﹣k，P（B l）=C21（）l（）2﹣l．据此算得P（A0）=，P（A1）=，P（A2）=．P（B0）=，P（B1）=，P（B2）=．（1）所求概率为P（A1•B1）=P（A1）•P（B1）=×=．（2）解法一：ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，且P（ξ=0）=P（A0•B0）=P（A0）•P（B0）=×=，P（ξ=1）=P（A0•B1）+P（A1•B0）=×+×=，P（ξ=2）=P（A0•B2）+P（A1•B1）+P（A2•B0）=×+×+×=，P（ξ=3）=P（A1•B2）+P（A2•B1）=×+×=．P（ξ=4）=P（A2•B2）=×=．综上知ξ有分布列ξ01234P从而，ξ的期望为Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=（株）．解法二：分布列的求法同上，令ξ1，ξ2分别表示甲乙两种树成活的株数，则ξ1：B（2，），ξ2：B（2，）故有Eξ1=2×=，Eξ2=2×=1从而知Eξ=Eξ1+Eξ2=．18．（13分）（2009•重庆）设函数f（x）=ax2+bx+k（k＞0）在x=0处取得极值，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线x+2y+1=0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若函数，讨论g（x）的单调性．【分析】（Ⅰ）因为”函数在x=0处取得极值“，则有f'（0）=0，再由“曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x﹣2y+1=0相互垂直”，则有f'（1）=2，从而求解．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得到：，令g'（x）=0，有x2﹣2x+k=0，因为还有参数k，由一元二次方程，分三种情况讨论，（1）当△=4﹣4k＜0，函数g （x）在R上为增函数，（2）当△=4﹣4k=0，g（x）在R上为增函数（3）△=4﹣4k＞0，方程x2﹣2x+k=0有两个不相等实根，则由其两根来构建单调区间．【解答】解：（Ⅰ）因f（x）=ax2+bx+k（k＞0），故f'（x）=2ax+b又f（x）在x=0处取得极值，故f'（x）=0，从而b=0，由曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x+2y+1=0相互垂直可知该切线斜率为2，即f'（1）=2，有2a=2，从而a=1（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知：、令g'（x）=0，有x2﹣2x+k=0（8分）（1）当△=4﹣4k＜0，即当k＞1时，g'（x）＞0在R上恒成立，故函数g（x）在R上为增函数（10分）（2）当△=4﹣4k=0，即当k=1时，，K=1时，g（x）在R上为增函数（12分）（3）△=4﹣4k＞0，即当0＜k＜1时，方程x2﹣2x+k=0有两个不相等实根当是g'（x）＞0，故g（x）在上为增函数当时，g'（x）＜0，故g（x）在上为减函数当时，g'（x）＞0，故g（x）在上为增函数（14分）19．（12分）（2009•重庆）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，AD∥BC且AD⊥CD；平面CSD⊥平面ABCD，CS⊥DS，CS=2AD=2；E为BS的中点，CE=，求：（Ⅰ）点A到平面BCS的距离；（Ⅱ）二面角E﹣CD﹣A的大小．【分析】（Ⅰ）根据线面平行的判定定理可知AD∥平面BCS，则从而A点到平面BCS的距离等于D点到平面BCS的距离，从而DS为点A到平面BCS的距离，在Rt△ADS中求出DS即可；（Ⅱ）过E点作EG⊥CD，交CD于点G，又过G点作GH⊥CD，交AB于H，根据二面角平面角的定义可知∠EGH为二面角E﹣CD﹣A的平面角，过E点作EF ∥BC，交CS于点F，连接GF，在Rt△FEG中，求出此角即可．【解答】解：（Ⅰ）因为AD∥BC，且BC⊂平面BCS，所以AD∥平面BCS，从而A点到平面BCS的距离等于D点到平面BCS的距离．因为平面CSD⊥平面ABCD，AD⊥CD，故AD⊥平面CSD，从而AD⊥SD，由AD∥BC，得BC⊥DS，又由CS⊥DS知DS⊥平面BCS，从而DS为点A到平面BCS的距离，因此在Rt△ADS中（Ⅱ）如图，过E电作EG⊥CD，交CD于点G，又过G点作GH⊥CD，交AB于H，故∠EGH为二面角E﹣CD﹣A的平面角，记为θ，过E点作EF∥BC，交CS于点F，连接GF，因平面ABCD⊥平面CSD，GH⊥CD，易知GH⊥GF，故．由于E为BS边中点，故，在Rt△CFE中，，因EF⊥平面CSD，又EG⊥CD故由三垂线定理的逆定理得FG⊥CD，从而又可得△CGF～△CSD，因此而在Rt△CSD中，，在Rt△FEG中，可得，故所求二面角的大小为20．（12分）（2009•重庆）已知以原点O为中心的椭圆的一条准线方程为，离心率，M是椭圆上的动点（Ⅰ）若C，D的坐标分别是，求|MC|•|MD|的最大值；（Ⅱ）如题（20）图，点A的坐标为（1，0），B是圆x2+y2=1上的点，N是点M 在x轴上的射影，点Q满足条件：，、求线段QB的中点P 的轨迹方程．【分析】（Ⅰ）由题设条件知焦点在y轴上，故设椭圆方程为（a＞b ＞0）．设，由准线方程．由此能够求出椭圆方程．从而得到点M的坐标为（±1，0）时上式取等号，|MC|•|MD|的最大值为4．（Ⅱ）设M（x m，y m），B（x B，y B）Q（x Q，y Q）．因为，故x Q=2x N，y Q=y M，x Q2+y Q2=（2x M）2+y y=4．因为，（1﹣x Q﹣y Q）•（1﹣x N﹣y n）=（1﹣x Q）（1﹣x N）+y Q y N=0，所以x Q x N+y Q y N=x N+x Q﹣1．由此可导出动点P的轨迹方程为．【解答】解：（Ⅰ）由题设条件知焦点在y轴上，故设椭圆方程为（a＞b＞0）．设，由准线方程得．由得，解得a=2，c=，从而b=1，椭圆方程为．又易知C，D两点是椭圆的焦点，所以，|MC|+|MD|=2a=4从而|MC|•|MD|，当且仅当|MC|=|MD|，即点M的坐标为（±1，0）时上式取等号，|MC|•|MD|的最大值为4．（II）如图（20）图，设M（x m，y m），B（x B，y B）Q（x Q，y Q）．因为，故x Q=2x N，y Q=y M，x Q2+y Q2=（2x M）2+（y M）2=4 ①因为，（1﹣x Q，﹣y Q）•（1﹣x N，﹣y N）=（1﹣x Q）（1﹣x N）+y Q y N=0，所以x Q x N+y Q y N=x N+x Q﹣1．②记P点的坐标为（x P，y P），因为P是BQ的中点所以2x P=x Q+x B，2y P=y Q+y B由因为x N2+y N2=1，结合①，②得===故动点P的轨迹方程为21．（12分）（2009•重庆）设m个不全相等的正数a1，a2，…，a m（m≥7）依次围成一个圆圈，（Ⅰ）若m=2009，且a1，a2，…，a1005是公差为d的等差数列，而a1，a2009，a2008，…，a1006是公比为q=d的等比数列；数列a1，a2，…，a m的前n项和S n（n≤m）满足：S3=15，S2009=S2007+12a1，求通项a n（n≤m）；（Ⅱ）若每个数a n（n≤m）是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：a1+…+a6+a72+…+a m2＞ma1a2a m．【分析】（1）利用等比数列的性质，用a1、d表示出a2009、a2008，结合已知，列方程即可解出a1、d，进而求出a n．（2）通过探求数列的周期性或利用反证法求解．【解答】解：（I）因a1，a2009，a2008，a1006是公比为d的等比数列，从而a2009=a1d，a2008=a1d2，由S2009=S2007+12a1得a2008+a2009=12a1，解得d=3或d=﹣4（舍去）．∴d=3，又S3=3a1+3d=15．解得a1=2从而当n≤1005时，a n=a1+（n﹣1）d=2+3（n﹣1）=3n﹣1当1006≤n≤2009时，由a1，a2009，a2008，a1006是公比为d的等比数列得a n=a1d2009﹣（n﹣1）=a1d2010﹣n（1006≤n≤2009）因此（II）由题意a n2=a n﹣12a n+12（1＜n＜m），a m2=a m﹣12a12，a12=a m2a22得有①得④由①，②，③得a1a2a n=（a1a2a n）2，故a1a2a n=1．⑤又，故有．⑥下面反证法证明：m=6k若不然，设m=6k+p，其中1≤p≤5若取p=1即m=6k+1，则由⑥得a m=a6k+1=a1，而由③得，得a2=1，由②得，而④及⑥可推得a n=1（1≤n≤m）与题设矛盾同理若P=2，3，4，5均可得a n=1（1≤n≤m）与题设矛盾，因此m=6k为6的倍数由均值不等式得由上面三组数内必有一组不相等（否则a1=a2=a3=1，从而a4=a5═a m=1与题设矛盾），故等号不成立，从而a1+a2+a3++a6＞6又m=6k，由④和⑥得a72++a m2=（a72++a122）++（a6k﹣52++a6k2）=（k﹣1）（a12++a62）=因此由⑤得a1+a2+a3++a6+a72++a m2＞6+6（k﹣1）=6k=m=ma1a2a3a m。

2009年高考试题(全国新课标)数学(理科)试卷及答案

（新课标）2009年高考理科数学试题一、选择题（1）已知集合}{{}1,3,5,7,9,0,3,6,9,12A B ==,则N A C B =I （）(A) }{1,5,7 (B) }{3,5,7 (C) }{1,3,9 (D) }{1,2,3 (2) 复数32322323i ii i+--=-+（）（A ）0 （B ）2 （C ）-2i (D)2（3）对变量x, y 有观测数据理力争（1x ，1y ）（i=1,2,…，10），得散点图1；对变量u ，v 有观测数据（1u ，1v ）（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断。

（A ）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关（B ）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关（C ）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关（D ）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关（4）双曲线24x -212y =1的焦点到渐近线的距离为（）（A）（B ）2 （C（D ）1 （5）有四个关于三角函数的命题：1p ：∃x ∈R, 2sin 2x +2cos 2x =122p : ∃x 、y ∈R, sin(x-y)=sinx-siny 3p : ∀x ∈[]0,π4p : sinx=cosy ⇒x+y=2π其中假命题的是（）（A ）1p ，4p （B ）2p ，4p （3）1p ，3p （4）2p ，4p（6）设x,y 满足241,22x y x y z x y x y +≥⎧⎪-≥-=+⎨⎪-≤⎩则（）（A ）有最小值2，最大值3 （B ）有最小值2，无最大值（C ）有最大值3，无最小值（D ）既无最小值，也无最大值（7）等比数列{}n a 的前n 项和为n s ，且41a ，22a ，3a 成等差数列。

若1a =1，则4s =（）（A ）7 （B ）8 （3）15 （4）16（8）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱线长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且2EF =，则下列结论中错误的是（）（A ）AC BE ⊥ （B ）//EF ABCD 平面（C ）三棱锥A BEF -的体积为定值（D ）异面直线,AE BF 所成的角为定值（9）已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且P A P B P B P C P C P A ∙=∙=∙，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的（）（A ）重心外心垂心（B ）重心外心内心（C ）外心重心垂心（D ）外心重心内心（10）如果执行右边的程序框图，输入2,0.5x h =-=，那么输出的各个数的和等于（）（A ）3 （B ） 3.5 （C ） 4 （D ）4.5（11）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c 2m ）为（）（A ）（B ）（C ）（D ）（12）用min{a,b,c}表示a,b,c 三个数中的最小值，设f （x ）=min{2x, x+2,10-x} (x ≥ 0), 则f （x ）的最大值为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 二、填空题（13）设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点。

2009年全国高考重庆卷(数理)试题

2009年全国高考重庆卷（数理)试题shuli一、单项选择题：（本题共6小题，每小题3分，共18分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．两个大小分别为F1和F2（F1<F2）的力作用在同一质点上，它们的合力的大小F满足答案：C2．一根容易形变的弹性导线，两端固定。

导线中通有电流，方向如图中箭头所示。

当没有磁场时，导线呈直线状态：当分别加上方向竖直向上、水平向右或垂直于纸面向外的匀强磁场时，描述导线状态的四个图示中正确的是答案：D3．两刚性球a和b的质量分别为ma和mb、直径分别为da和db (da>db )。

将a、b球依次放入一竖直放置、内径为的平底圆筒内，如图所示。

设a、b两球静止时对圆筒侧面的压力大小分别为f1和f2,筒底所受的压力大小为F．已知重力加速度大小为g。

若所以接触都是光滑的，则A．F=(ma+mb)g,f1=f2B．F=(ma+mb)g,f1≠f2C．mag＜F＜(ma+mb)g,f1=f2D．mag＜F＜(ma+mb)g,f1≠f2答案：A4．一长直铁芯上绕有一固定线圈M，铁芯右端与一木质圆柱密接，木质圆柱上套有一闭合金属环N，N可在木质圆柱上无摩擦移动。

M连接在如图所示的电路中，其中R为滑线变阻器，E1和E2为直流电源，S为单刀双掷开关。

下列情况中，可观测到N向左运动的是A．在S断开的情况下，S向a闭合的瞬间B．在S断开的情况下，S向b闭合的瞬间C．在S已向a闭合的情况下，将R的滑动头向c端移动时D．在S已向a闭合的情况下，将R的滑动头向d端移动时答案：C5．一平行板电容器两极板间距为d、极板面积为S，电容为ε0s/d，其中ε0是常量。

对此电容器充电后断开电源。

当增加两板间距时，电容器极板间A．电场强度不变，电势差变大B．电场强度不变，电势差不变C．电场强度减小，电势差不变D．电场强度较小，电势差减小答案：A6．近地人造卫星1和2绕地球做匀速圆周运动的周期分别为T1和T2,设在卫星1、卫星2各自所在的高度上的重力加速度大小分别为g1、g2，则答案：B二、多项选择题：（本题共4小题，每小题4分，共16分，在每小题给出的四个选项中，有二个或三个选项是符合题目要求的。

2009年高考重庆数学(理科)试题及参考答案

金相组织
共析钢过共析钢轧钢
或
供货方式
锻钢铸钢
金属材料的定义及分类
金属材料的定义: 由金属元素或以金属元素为主构成的具有金属特性的材料的统称。包括纯金属、合金、金属间化合物和特种金属材料等。金属材料的分类：
黑色金属又称钢铁材料，包括含铁90％以上的工业纯铁，含碳 2％～4％的铸铁，含碳小于2％的碳钢，以及各种用途的结构钢、不锈钢、耐热钢、高温合金、精密合金等。广义的黑色金属还包括铬、锰及其合金。
黑色金属
金属材料
有色金属
有色金属是指除铁、铬、锰以外的所有金属及其合金，通常分为轻金属、重金属、贵金属、半金属、稀有金属和稀土金属等。有色合金的强度和硬度一般比纯金属高，并且电阻大、电阻温度系数小。

特种金属材料
特种金属材料包括不同用途的结构金属材料和功能金属材料。其中有通过快速冷凝工艺获得的非晶态金属材料，以及准晶、微晶、纳米晶金属材料等；还有隐身、抗氢、超导、形状记忆、耐磨、减振阻尼等特殊功能合金，以及金属基复合材料等。
钢的分类
平炉钢
冶炼方法
转炉钢电炉钢碳素钢
化学成分
合金钢普通钢磷≤0.045％、硫≤0.055％磷、硫≤0.035％磷、硫≤0.03％
品
质
优质钢高级优质钢
钢
用途
结构钢
工具钢特殊钢亚共析钢
用以制造各种承力结构件和机械零件
用以制造各种切削刀具、量具、模具和其他耐磨工具耐热钢、耐磨钢、不锈钢、电工钢、低温钢、易切削钢等铁素体加珠光体组织珠光体组织碳化物加珠光体组织珠光体钢贝氏体钢马氏体钢奥氏体钢铁素体钢
过饱和
铁素体+渗碳体

2009年高考重庆数学(理科)试题及参考答案

2009年高考重庆数学（理科)试题和参考答案本试卷满分150分，考试时间120分钟参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 ()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A B ，相互独立，那么 ()()()P A B P A P B =如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)(01,2)k kn k n n P k C P P k n -=-=，，，以R 为半径的球体积：34π3V R =一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线1y x =+与圆221x y +=的位置关系为（）A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离2．已知复数z 的实部为1-，虚部为2，则5iz=（） A ．2i - B ．2i + C ．2i -- D ．2i -+3．282()x x+的展开式中4x 的系数是（）A ．16B ．70C ．560D ．11204．已知1,6,()2==-=a b a b a ，则向量a 与向量b 的夹角是（）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 5．不等式2313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．(,1][4,)-∞-+∞B ．(,2][5,)-∞-+∞C ．[1,2]D ．(,1][2,)-∞+∞6．锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。

从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（）A ．891 B ．2591 C ．4891 D ．60917．设ABC ∆的三个内角,,A B C，向量,sin )A B =m，(cos )B A =n ，若1cos()A B =++m n ，则C =（）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 8．已知22lim()21x x ax b x →∞--=+，其中,a b R ∈，则a b -的值为（） A ．-6B ．2-C ．2D ．69．已知二面角l αβ--的大小为050，P 为空间中任意一点，则过点P 且与平面α和平面β所成的角都是025的直线的条数为（）A ．2B ．3C ．4D ．510．已知以4T =为周期的函数(1,1]()12,(1,3]x f x x x ⎧∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，其中0m >。

da2009年高考数学(重庆)理

4 0，上的最大值为 3
gmax 3 cos
解法二：
π 3 ． 3 2
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因区间 0, 关于 x 1 的对称区间为，且 y g ( x) 与 y f ( x) 的图象关于 x 1 对 2 ， 3 3 称，故 y g ( x) 在 0，上的最大值即为 y f ( x) 在， 2 上的最大值．

2 3

1 2
ex (k 0) ，（II）由（I）知， g ( x) 2 x k
g ( x)
ex ( x2 2 x k ) (k 0) ． ( x 2 k )2
2
令 g ( x) 0 ，有 x 2 x k 0 (k 0) ．（1）当 4 4 k 0 ，即当 k 1 时， g ( x) 0 在 R 上恒成立，故函数 g ( x) 在 R 上为增函数．
π π g ( x) f (2 x) 3 sin (2 x) 3 4 π π π 3 sin x 3 2 4 π π 3 cos x ， 3 4
当 0≤ x≤
4 π π π 2π 时， ≤ x ≤ ，因此 y g ( x) 在区间 3 3 4 3 3
4
2
4 3
2 3
由（I）知 f ( x) 3 sin 当
π π x ， 3 4
2 π π π π ≤ x ≤ 2 时， ≤ x ≤ ． 3 6 4 3 6
因此 y g ( x) 在 0，上的最大值为 g max 3 sin （17）（本小题 13 分）
解法二：分布列的求法同前．令 1 ， 2 分别表示甲、乙两种树成活的株数，则

重庆高考数学理科卷带详解

2009年高考数学重庆卷理科一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线1y x =+与圆221x y +=的位置关系为（）A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离【测量目标】直线与圆的位置关系．【考查方式】给出直线和圆的方程，判断它们的位置关系．【难易程度】容易. 【参考答案】B【试题解析】圆心(0,0)为到直线1y x =+，即10x y -+=的距离2d ==，而012<<，选B ． 2．已知复数z 的实部为1-，虚部为2，则5iz=（） A ．2i - B ．2i + C ．2i --D ．2i -+【测量目标】复数代数形式的四则运算．【考查方式】给出复数的实部和虚部，计算求解．【难易程度】容易. 【参考答案】A【试题解析】因为由条件知12i z =-+，则5i 5i(12i)5i 102i (12i)(12i)5z ---+===--+--，所以选A ．3．282()x x+的展开式中4x 的系数是（）A ．16B ．70C ．560D ．1120 【测量目标】二项式定理．【考查方式】给出二项式根据二项展开式的公式特点计算二项式系数．【难易程度】容易. 【参考答案】D【试题解析】设含4x 的为第2816318821,C ()()C 2r rr r r r r r T x x x--++==，1634r -=，所以4r =，故系数为：448C 21120=，选D ．4．已知1,6,()2==-=a b a b a ，则向量a 与向量b 的夹角是（） A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2【测量目标】平面向量的夹角问题．【考查方式】给出两个向量的模和它们满足的关系式，求两向量的夹角．【难易程度】容易. 【参考答案】C【试题解析】因为由条件得222,23cos 16cos αα-==+===⨯⨯所以g g g a b a a b a a b ，1πcos 23αα==所以，所以．5．不等式2313x x a a +---…对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．(,1][4,)-∞-+∞ B ．(,2][5,)-∞-+∞C ．[1,2]D ．(,1][2,)-∞+∞【测量目标】不等式恒成立问题．【考查方式】给出不等式及其恒成立的条件，求取值范围．【难易程度】中等. 【参考答案】A【试题解析】因为2314313x x x x a a +--+---对剟对任意x 恒成立，所以2234340a a a a ---即厖，解得41a a -或厔．6．锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同．从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（） A ．891 B ．2591 C ．4891 D ．6091【测量目标】随机事件与概率．【考查方式】已知不同馅料汤圆的个数，由取法规则求概率．【难易程度】中等. 【参考答案】C【试题解析】因为总的方法415C ,而所求事件的取法分为三类，即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆．豆沙馅汤圆取得个数分别按1，1，2；1，2，1；2，1，1三类，故所求概率为112121211654654654415C C C C C C C C C 48C 91⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=． 7．设ABC △的三个内角,,A B C，向量,sin )A B =m，(cos )B A =n ，若1cos()A B =++m n ，则C =（） A ．π6 B ．π3C ．2π3 D ．5π6【测量目标】向量的坐标运算、三角函数．【考查方式】给出两向量及其坐标与三角形内角关系式，求未知角．【难易程度】中等.【参考答案】C【试题解析】cos sin )1cos()A B A B A B A B =+=+=++m n g g g ，πA B C ++=1cos C C =-cos 1C C +=，π2sin16C +=（） π1sin(62C ⇒+=），由题π5π66C +=，即2π3C =． 8．已知22lim()21x x ax b x →∞--=+，其中,a b ∈R ，则a b -的值为（） A ．-6 B ．2- C ．2D ．6【测量目标】函数的极限．【考查方式】给出函数的极限，求其中的未知量．【难易程度】中等. 【参考答案】D【试题解析】222lim 1x x ax ax bx bx →∞----+(2)()lim211x ba x ab x x→∞--+-==+．则20()2a ab -=⎧⎨-+=⎩，解得2,4a b ==-，故2(4)6a b -=--=．（删除）9．已知二面角l αβ--的大小为50︒，P 为空间中任意一点，则过点P 且与平面α和平面β所成的角都是25︒的直线的条数为（）A ．2B ．3C ．4D ．5 【测量目标】二面角、线面角．【考查方式】给出二面角的大小，求过空间中任意一点与两平面成固定角度的直线条数．【难易程度】中等. 【参考答案】B【试题解析】AFE ∠是度数为50︒的二面角的一个平面角，FG AFE ∠为的平分线，当过P 的直线与FG 平行时，满足条件，当过点P 的直线与AD 平行，也是满足条件直线，与AD 直线类似，过点的直线与BE 平行也是满足条件得共有3条．10．已知以4T =为周期的函数(1,1]()12,(1,3]x f x x x ⎧∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，其中0m >．若方程3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为（）A．8)3B．C ．48(,)33D．4(3【测量目标】函数的周期性、函数图象的应用．【考查方式】给出函数及其周期，利用函数的图象判断取值范围．【难易程度】较难. 【参考答案】B 【试题解析】第10题图因为当(1,1]x ∈-时，将函数化为方程2221(0)y x y m+=…，实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，同时在坐标系中作出当(1,3]x ∈得图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，由图易知直线3x y =与第二个椭圆222(4)1(0)y x y m -+=…相交，而与第二个半椭圆222(4)1(0)y x y m -+=…无公共点时，方程恰有5个实数解，将3xy =代入222(4)1(0)y x y m-+=…得 2222(91)721350m x m x m +-+=，令29(0)t m t =>则2(1)8150t x tx t +-+=．（步骤1）由2(8)415(1)0t t t ∆=-⨯+>，得15t >，由2915m >，且0m >得3m >．（步骤2）同样由3x y =与第三个椭圆222(8)1(0)y x y m -+=…由0∆<可计算得m <综上知m ∈．（步骤3）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案写在答题卡相应位置上． 11．若{}3A x x =∈<R ，{}21xB x =∈>R ，则A B = ．【测量目标】集合的基本运算．【考查方式】给出两个集合，求它们的交集．【难易程度】中等. 【参考答案】（0，3）【试题解析】因为{}{}|33,|0,A x x B x x =-<<=>所以(0,3)A B =I . 12．若1()21x f x a =+-是奇函数，则a = ．【测量目标】函数的奇偶性．【考查方式】给出函数的奇偶性，求其中的未知量．【难易程度】中等. 【参考答案】12【试题解析】12()2112xxxf x a a --=+=+--，()()f x f x -=- 2112()2112211212x x x x x x a a a ⇒+=-+⇒=-=----故12a =． 13．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种（用数字作答）．【测量目标】排列组合及其应用．【考查方式】用排列组合求解概率问题．【难易程度】中等. 【参考答案】36【试题解析】分两步完成：第一步将4名大学生按，2，1，1分成三组，其分法有21142122C C C A g g ；第二步将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有33A 所以满足条件得分配的方案有2113421322C C C A 36A =g g g ． 14．设12a =，121n n a a +=+，21n n n a b a +=-，n *∈N ，则数列{}n b 的通项公式n b = ．【测量目标】等比数列的通项、等比数列的性质．【考查方式】给出数列的首项、第1n +项及两数列的关系式，求另一数列的通项公式．【难易程度】较难. 【参考答案】21n +【试题解析】由条件得111222+12222111+1n n n n n n n n a a a b b a a a ++++++====---且14b =所以数列{}n b 是首项为4，公比为2的等比数列，则11422n n n b -+==g ．15．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若双曲线上存在一点P 使1221sin sin PF F aPF F c=，则该双曲线的离心率的取值范围是．【测量目标】双曲线的简单几何性质．【考查方式】给出点和双曲线方程的关系式，求其离心率．【难易程度】较难.【参考答案】1)【试题解析】解法一：因为在12PF F △中，由正弦定理得211221sin sin PF PF PF F PF F =．（步骤1）则由已知，得21a c P F P F =，即12aPF cPF =，且知点P 在双曲线的右支上，设点00(,)x y 由焦点半径公式，得1020,PF a ex PF ex a =+=-则00()()a a ex c ex a +=-，（步骤2）解得0()(1)()(1)a c a a e x e c a e e ++==--由双曲线的几何性质知0x a >则(1)(1)a e a e e +>-，整理得 2210,e e --<解得11(1,)e e <<∈+∞，又，故椭圆的离心率1)e ∈（步骤3）解法二：由解析1知12cPF PF a=由双曲线的定义知 122PF PF a -=则222cPF PF a a-=即222a PF c a =-，（步骤1）由椭圆的几何性质知2PF c a >-，则22a c a c a>--，即2220c ac a --<，所以2210,e e --<以下同解析1．（步骤2）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．设函数2πππ()sin()2cos 1468x x f x =--+．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期．（Ⅱ）若函数()y g x =与()y f x =的图象关于直线1x =对称，求当4[0,]3x ∈时()y g x =的最大值．【测量目标】三角函数定义域、值域.【考查方式】给出函数式，求其最小正周期；根据直线方程求解与函数关于直线对称的另一函数在区间内的最大值．【难易程度】容易.【试题解析】（Ⅰ）()f x =πππππsincos cos sin cos 46464x x x --π3πcos 424x x -ππsin()43x -．（步骤1）故()f x 的最小正周期为2ππ4T = =8．（步骤2）(Ⅱ)解法一：在()y g x =的图象上任取一点(,())x g x ，它关于1x =的对称点(2,())x g x -．由题设条件，点(2,())x g x -在()y f x =的图象上，从而ππ()(2)sin[(2)]43g x f x x =-=--πππsin[]243x =--ππcos()43x =+．（步骤3）当403x 剟时，πππ2π3433x +剟，因此()y g x =在区间4[0,]3上的最大值为max π3g ==（步骤4）解法二：因区间4[0,]3关于1x =的对称区间为2[,2]3，且()y g x =与()y f x =的图象关于1x =对称，故()y g x =在4[0,]3上的最大值为()y f x =在2[,2]3上的最大值．（步骤1）由（Ⅰ）知()f xππsin()43x -，当223x 剟时，ππππ6436x --剟，因此()y g x =在4[0,]3上的最大值为max π62g ==．（步骤2）17．某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为23和12，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：（Ⅰ）两种大树各成活1株的概率；（Ⅱ）成活的株数ξ的分布列与期望．【测量目标】离散型随机变量的期望和方差．【考查方式】给出事件的概率，由独立重复试验的概率公式求事件概率并求解随机变量的期望和方差．【难易程度】中等.【试题解析】设k A 表示甲种大树成活k 株，k ＝0，1，2，l B 表示乙种大树成活l 株，l ＝0，1，2，则k A ，l B 独立．由独立重复试验中事件发生的概率公式有 2221()C ()()33kkkk P A -=，2211()C ()()22llll P B -=．（步骤1）据此算得01()9P A = ， 14()9P A = ， 24()9P A =． 01()4P B = ， 11()2P B = ， 21()4P B =．（步骤2）(Ⅰ) 所求概率为1111412()()()929P A B P A P B ==⨯=．（步骤3） (Ⅱ) 解法一：ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，且0000111(0)()()()9436P P A B P A P B ξ====⨯=，（步骤4）011011411(1)()()92946P P A B P A B ξ==+=⨯+⨯=，（步骤5） 021*********(2)()()()949294P P A B P A B P A B ξ==++=⨯+⨯+⨯1336=，（步骤6）122141411(3)()()94923P P A B P A B ξ==+=⨯+⨯=．（步骤7） 22411(4)()949P P A B ξ===⨯=．（步骤8）综上知ξ有分布列（步骤9）从而，ξ的期望为111311012343663639E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯73=（步骤10）解法二：分布列的求法同上．令12ξξ，分别表示甲乙两种树成活的株数，则 1221(2,),(2,)32B B ξξ::，（步骤1）故有122412,21332E E ξξ=⨯==⨯=，从而知1273E E E ξξξ=+=．（步骤2）18．设函数2()(0)f x ax bx k k =++>在0x =处取得极值，且曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于直线210x y ++=．（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）若函数e ()()xg x f x =，讨论()g x 的单调性．【测量目标】利用倒数求函数的极值、曲线的切线方程、利用导数求函数的单调区间．【考查方式】给出函数、其极值点的取值和某点的切线方程，求未知量；根据两函数的关系式讨论另一函数的单调性．【难易程度】中等.【试题解析】（Ⅰ）因2()(0),()2f x ax bx k k f x ax b '=++>=+故．（步骤1）又()f x 在0x =处取得极值，故()0,f x '=从而0b =，（步骤2）由曲线y =()f x 在(1,(1))f 处的切线与直线+210x y +=相互垂直可知该切线斜率为2，即(1)2f '=，有22a =，从而1a =．（步骤3）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2e ()(0)xg x k x k =>+， 222e (2)()(0)()x x x k g x k x k -+'=>+，（步骤5）令2()0,20g x x x k '=-+=有，（步骤6）（1）当440k ∆=-<，即当1k >时，()0g x '>在R 上恒成立，故函数()g x 在R 上为增函数．（步骤7）（2）当440k ∆=-=，即当1k =时，222e (1)()0(1)()x x g x x x k -'=>≠+， 1k =时，()g x 在R 上为增函数．（步骤8）（3）440k ∆=->，即当01k <<时，方程220x x k -+=有两个不相等实根，11x =21x =（步骤9）当(,1()0,(),1x g x g x '∈-∞>-∞-是故在（上为增函数，当1x ∈-（时，()0,g x '<故()1g x +在（上为减函数，当1x ∈+∞（+）时，()0,g x '>故()1g x ∞在（+）上为增函数．（步骤10）19．如图，在四棱锥S ABCD -中，ADBC 且AD CD ⊥；平面CSD ⊥平面ABCD ，,22CS DS CS AD ⊥==；E 为BS 的中点，CE AS ==（Ⅰ）点A 到平面BCS 的距离；（Ⅱ）二面角E CD A --的大小．第19题图(1)【测量目标】二面角、空间立体几何中平行与垂直关系的综合问题．【考查方式】给出四棱锥及其线面关系，求点到平面的距离和二面角．【难易程度】中等.【试题解析】解法一：（Ⅰ）因为ADBC ，且,BC BCS ⊂平面所以AD BCS 平面，从而A 点到平面BCS 的距离等于D 点到平面BCS 的距离．（步骤1）因为平面,CSD ABCD AD CD ⊥⊥平面，故AD CSD ⊥平面，从而AD SD ⊥，（步骤2）由ADBC ，得B C D S⊥，又由CS DS ⊥知DS BCS ⊥平面，从而DS 为点A 到平面BCS 的距离，（步骤3）因此在Rt ADS △中，DS ===（步骤4） (Ⅱ)如图，第19题图（Ⅱ）过E 点作,EG CD ⊥交CD 于点G ，又过G 点作GH CD ⊥，交AB 于H ，故EGH ∠为二面角E CD A --的平面角，记为θ，过E 点作EFBC ，交CS 于点F ，连结GF ，（步骤5）因平面ABCD CSD ⊥平面，GH CD ⊥，易知GH GF ⊥，故π2EGF θ=-∠．（步骤6）由于E 为BS 边中点，故112CF CS ==，在Rt CFE △中1EF ==，（步骤7）因EF CSD ⊥平面，又EG CD ⊥，,故由三垂线定理的逆定理得FG CD ⊥，从而又可得CGF CSD △△:，（步骤8）因此GF CFDS CD=而在Rt CSD △中，CD ===（步骤9）故CF GF DS CD ===g ．（步骤10）在Rt FEG △中，tan EFEGF FG==可得π3EGF ∠=，故所求二面角的大小为π6θ=．（步骤11）解法二：（Ⅰ）如图，第19题图以()S O 为坐标原点，射线,OD OC 分别为x 轴，y 轴正向，建立空间坐标系，设(,,)A A A A x y z ，因为平面COD ABCD ⊥平面，AD CD ⊥，故AD COD ⊥平面．（步骤1）即点A 在xOz 平面上，因此0A y =，1A z AD ==uuu r，（步骤2）又22213,AA x AS x +===uu r1A ，）．（步骤3）因ADBC ，故BC ⊥平面CSD ，即BCS 与平面yOz 重合，从而点A 到平面BCS的距离为A x =（步骤4） (Ⅱ)易知(0,2,0)C，D ．因E 为BS 的中点．BCS △为直角三角形，知2BS CE ==uu r uur5）设(0,2,)B B z ，0B z >，则2A z =，故(0,2,2)B ，所以(0,1,1)E ．（步骤6）在CD 上取点G ，设11(,,0)G x y ，使GE CD ⊥．由2,0)CD =-uu u r，11(,1,1)GE x y =--+uu u r ，0CD GE =uu u r uu u r g ．112(1)0y --= ①（步骤7）又点G 在直线CD 上，即CG CD u u u r u u u r，由CG =uuu r 11(,2,0)x y -，122y -=- ②（步骤8）联立①、②，解得,0)3G =，（步骤9）故GE uu ur 1(,1)3=-．又由AD CD ⊥，所以二面角E CD A --的平面角为向量GE uu u r 与向量DA uu u r所成的角，记此角为θ．（步骤10）因为GE uu u r，(0,0,1)DA =u u u r ，1DA =uu u r ，1GE DA =uu u r uu u r g ，所以cos GE DA GE DAθ==uu u r uu u r g uu u r uu u r g 故所求的二面角的大小为π6．（步骤11） 20．已知以原点O为中心的椭圆的一条准线方程为3y =，离心率2e =，M 是椭圆上的动点．（Ⅰ）若,C D的坐标分别是(0,，求MC MD 的最大值；（Ⅱ）如图，点A 的坐标为(1,0)，B 是圆221x y +=上的点，N 是点M 在x 轴上的射影，点Q 满足条件：OQ OM ON =+，0QA BA =．求线段QB 的中点P 的轨迹方程．第20题图【测量目标】椭圆的标准方程和简单几何性质、基本不等式求最值、圆锥曲线中的轨迹问题．【考查方式】给出椭圆的一条准线方程和离心率，利用基本不等式求最值；利用向量的坐标运算求点的轨迹方程．【难易程度】较难.【试题解析】：（Ⅰ）由题设条件知焦点在y 轴上，故设椭圆方程为22221x y b a+=(0)a b >>．设c =由准线方程y =得．由e =c a =，解得2,a c ==，从而1b =，椭圆方程为214x +=．（步骤1）又易知,C D 两点是椭圆2214y x +=的焦点，所以，24MC MD a +==，（步骤2）从而22242MC MD MC MD ⎛+⎫== ⎪⎝⎭…g ，（步骤3）当且仅当MC MD =，即点M 的坐标为(1,0)±时上式取等号，MC MD g 的最大值为4．（步骤4）（II ）如图，第20题图设(,)M M M x y ，(,)B B B x y ，(,)Q Q Q x y ．因为(,0),M N x OM ON OQ +=，故2,Q M Q M x x y y ==，2222(2)4Q Q M M x y x y +=+=， ① （步骤5）因为0QA BA =， (1,)(1,)Q Q B B x y x y ----(1)(1)0Q B Q B x x y y =--+=所以 1Q B Q B B Q x x y y x x +=+-． ② （步骤6）记P 点的坐标为(,)P P x y ，因为P 是BQ 的中点，所以 2,2P Q B P Q B x x x y y y =+=+．（步骤7）又因为 221B B x y +=，结合①，②得22221(()())4B B Q B Q B x y x x y y +=+++22221(2())4Q B Q B Q B Q B x x y y x x y y =+++++1(52(1))4Q B x x =++-34P x =+．（步骤8）故动点P 的估计方程为221()12x y -+=．（步骤9）21．设m 个不全相等的正数12,,,(7)m a a a m …依次围成一个圆圈．（Ⅰ）若2009m =，且1210,,,a a a 是公差为d 的等差数列，而120092008,,,,a a aa 是公比为q d =的等比数列；数列12,,,m a a a 的前n 项和()n S n m …满足：320092007115,12S S S a ==+，求通项()n a n m …；（Ⅱ）若每个数()n a n m …是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：2216712m m a a a a ma a a +++++>．【测量目标】等差等比数列的综合应用．【考查方式】给出条件，综合利用等差等比数列的相关知识求解．【难易程度】较难.【试题解析】（I ）因1200920081006,,,,a a a a ⋅⋅⋅是公比为d 的等比数列，从而20091a a d =，220081a a d =，由 200920071200820091212S Sa a a a =++=得，故解得3d =或4d =-（舍去），因此3d =．（步骤1）又 313315S a d =+=．解得12a =．（步骤2）从而当1005n …时，1(1)23(1)31n a a n d n n =+-=+-=-；（步骤3）当10062009n剟时，由1200920081006,,,,a a a a ⋅⋅⋅是公比为d 的等比数列得2009(1)201011(10062009)n n n a a d a d n---==剟．因此201031,100523,10062009n nn n a n --⎧=⎨⎩…剟．（步骤4）（II ）由题意222222222111112(1),,n n n m m m a a a n m a a a a a a -+-=<<==得111112(1),n n n m m m a a a n m a a a a a a -+-=<<⎧⎪=⎨⎪=⎩ ①②③（步骤5）有①得413456112211,,,a a a a a a a a a a ====， ④ （步骤6）由①，②，③得21212()n n a a a a a a ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，故121n a a a ⋅⋅⋅=． ⑤ （步骤7）又2131111(13)r r r r r r ra a a r m a a a a +++++===-剟，故有631(16)r r r a a r m a ++==-剟． ⑥ （步骤8）下面反证法证明：6m k =．若不然，设6,15m k p p =+其中剟．若取1p =即61m k =+，则由⑥得611m k a a a +==，而由③得11122,,m a aa a a a ==故（步骤9）得21a =，由②得11m m a a a -=，从而661k m a a a -==，而162aa a =，121a a ==故，由④及⑥可推得1n a =（1nm 剟）与题设矛盾．（步骤10）同理若p =2，3，4，5均可得1n a =（1n m 剟）与题设矛盾，因此6m k =为6的倍数，由均值不等式得21123612121211()()()6a a a a a a a a a a a a ++++=+++++…L ．（步骤11）由上面三组数内必有一组不相等（否则1231a a a ===，从而451m a a a ====L 与题设矛盾），故等号不成立，从而12366a a a a ++++>L ，（步骤12）又6m k =，由④和⑥得2222227712656()()m k k a a a a a a -++=++++++L L L L2216(1)()k a a =-+222123222123111(1)()6(1)k a a a k a a a =-+++++-…．（步骤13）因此由⑤得221236712366(1)6m m a a a a a a k k m ma a a a +++++++>+-===L L L ．（步骤14）。

2005-2009年高考数学试题(重庆·理)含答案

2005年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()(第一部分（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．圆5)2(22=++y x 关于原点（0，0）对称的圆的方程为（）A ．5)2(22=+-yxB ．5)2(22=-+y xC ．5)2()2(22=+++y xD ．5)2(22=++y x 2．=-+2005)11(ii（）A ．iB ．－iC ．20052D ．－200523．若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ，则使得0)(<x f 的x 的取值范围是（）A ．)2,(-∞B ．),2(+∞C ．),2()2,(+∞--∞D ．（－2，2）4．已知A （3，1），B （6，1），C （4，3），D 为线段BC 的中点，则向量AC 与DA 的夹角为（）A ．54arccos2-πB ．54arccosC ．)54arccos(-D ．－)54arccos(-5．若x ，y 是正数，则22)21()21(xy y x +++的最小值是（）A ．3B ．27 C ．4D ．296．已知α、β均为锐角，若q p q p 是则,2:),sin(sin :πβαβαα<++<的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ； ②存在平面γ，使得α、β都平行于γ； ③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l 、m ，使得l //α，l //β，m //α，m //β，其中，可以判定α与β平行的条件有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．若)12(xx -n展开式中含21x项的系数与含41x项的系数之比为－5，则n 等于（）A ．4B ．6C ．8D ．109．若动点（y x ,）在曲线)0(14222>=+b by x上变化，则y x 22+的最大值为（）A ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)4(2),40(442b b b bB ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)2(2),20(442b b b bC ．442+bD ．2b10．如图，在体积为1的三棱锥A —BCD 侧棱AB 、AC 、AD 上分别取点E 、F 、G ，使 AE : EB=AF : FC=AG : GD=2 : 1，记O 为三平面BCG 、CDE 、DBF 的交点，则三棱锥O —BCD 的体积等于（）A ．91B ．81C ．71D ．41第二部分（非选择题共100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填写在答题卡相应位置上. 11．集合∈=<--∈=x B x x R x A {},06|{2R| }2|2|<-x ，则B A = . 12．曲线)0)(,(33≠=a a a x y 在点处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为a 则,61= .13．已知α、β均为锐角，且αβαβαtan ),sin()cos(则-=+=.14．nnn n n 231233232lim+-+∞→= .15．某轻轨列车有4节车厢，现有6位乘客准备乘坐，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0，1，2，3的概率为 . 16．连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是（填写所有正确选项的序号）. ①菱形 ②有3条边相等的四边形 ③梯形 ④平行四边形 ⑤有一组对角相等的四边形三、解答题：本大题共6小题，共76分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分13分）若函数)2cos(2sin)2sin(42cos 1)(x x a x x x f --++=ππ的最大值为2，试确定常数a 的值.18．（本小题满分13分）在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽2张，求：（Ⅰ）该顾客中奖的概率；（Ⅱ）该顾客获得的奖品总价值ξ（元）的概率分布列和期望ξE . 19．（本小题满分13分）已知R a ∈，讨论函数)1()(2+++=a ax x e x f x的极值点的个数.20．（本小题满分13分）如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于C 、C 1的一点，EA ⊥EB 1，已知AB=2，BB 1=2，BC=1，∠BCC 1=3π，求：（Ⅰ）异面直线AB 与EB 1的距离；（Ⅱ）二面角A —EB 1—A 1的平面角的正切值. 21．（本小题满分12分）已知椭圆C 1的方程为1422=+yx，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点. （Ⅰ）求双曲线C 2的方程；（Ⅱ）若直线2:+=kx y l 与椭圆C 1及双曲线C 2都恒有两个不同的交点，且l 与C 2的两个交点A 和B 满足6<⋅OB OA （其中O 为原点），求k 的取值范围.22．（本小题满分12分）数列{a n }满足)1(21)11(1211≥+++==+n a nn a a nn n 且.（Ⅰ）用数学归纳法证明：)2(2≥≥n a n ；（Ⅱ）已知不等式)1(:,0)1ln(2≥<><+n e a x x x n 证明成立对，其中无理数e=2.71828….2005年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）一、选择题：每小题5分，满分50分.1．A 2．A 3．D 4．C 5．C 6．B 7．B 8．B 9．A 10．C 二、填空题：每小题4分，满分24分.11．}30|{<<x x 12．1± 13．1 14．－3 15．12845 16．②③⑤三、解答题：满分76分. 17．（本小题13分）.15,.444111sin ),sin(441sin 2cos 212cos2sin cos 4cos 2)(:2222±==++=++=+=+=a aax axa x x x a x xx f 解之得由已知有满足其中角解ϕϕϕ18．（本小题13分）解法一：（Ⅰ）324515121026=-=-=C C I P ，即该顾客中奖的概率为32.（Ⅱ）ξ的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）..151)60(,152)50(,151)20(,52)10(,31)0(2101311210161121023210161321026===============CC C P CC C P CC P CC C P C C P ξξξξξ且故ξ有分布列：从而期望.161516015250151205210310=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE解法二：（Ⅰ）,324530)(210241614==+=C C C C P（Ⅱ）ξ的分布列求法同解法一由于10张券总价值为80元，即每张的平均奖品价值为8元，从而抽2张的平均奖品价值ξE =2×8=16（元）. 19．（本小题13分）.0)12()2(0)()],12()2([)2()1()(:222=++++='++++=+++++='a x a x x f a x a x e a x e a ax x e x f x xx 得令解（1）当.0)4(4)12(4)2(22>-=-=+-+=∆a a a a a a:),)(()(,,,0)12()2(,402121212从而有下表于是不妨设有两个不同的实根方程时或即x x x x e x f x x x x a x a x a a x--='<=++++><x),(1x -∞x 1 ),(21x x 2x ),(2+∞x)(x f '+ 0－ 0 + )(x f)(1x f 为极大值)(2x f 为极小值即此时)(x f 有两个极值点.（2）当0)12()2(,4002=++++===∆a x a x a a 方程时或即有两个相同的实根21x x =于是21)()(x x e x f x -=')(,0)(,;0)(,21x f x f x x x f x x 因此时当时故当>'>>'<无极值.ξ 010205060P3152151152151（3）,0)12()2(,40,02>++++<<<∆a x a x a 时即当)(,0)]12()2([)(2x f a x a x e x f x 故>++++='为增函数，此时)(x f 无极值. 因此当)(,40,2)(,04x f a x f a a 时当个极值点有时或≤≤<>无极值点.20．（本小题13分）解法一：（Ⅰ）因AB ⊥面BB 1C 1C ，故AB ⊥BE.又EB 1⊥EA ，且EA 在面BCC 1B 1内的射影为EB.由三垂线定理的逆定理知EB 1⊥BE ，因此BE 是异面直线 AB 与EB 1的公垂线，在平行四边形BCC 1B 1中，设EB=x ，则EB 1=24x -，作BD ⊥CC 1，交CC 1于D ，则BD=BC ·.233sin=π在△BEB 1中，由面积关系得0)3)(1(,23221421222=--⋅⋅=-x x xx 即.3,1±=±=x x 解之得（负根舍去）,33cos21,,322=⋅-+∆=πCE CEBCE x 中在时当解之得CE=2，故此时E 与C 1重合，由题意舍去3=x .因此x =1，即异面直线AB 与EB 1的距离为1.（Ⅱ）过E 作EG//B 1A 1，则GE ⊥面BCC 1B ，故GE ⊥EB 1且GE 在圆A 1B 1E 内，又已知AE ⊥EB 1故∠AEG 是二面角A —EB 1—A 1的平面角. 因EG//B 1A 1//BA ，∠AEG=∠BAE ，故.2221tan ===ABBE AEG解法二：（Ⅰ）平面又由得由⊥=⋅⊥AB EB AE EB AE ,0,11 而BB 1C 1C 得AB ⊥EB 1从而1EB AB ⋅=0..,0)(111111的公垂线与是异面直线故线段即故EB AB BE EB EB EB AB EB EA EB AB EA EB EB ⊥=⋅+⋅=⋅+=⋅答（20）图1设O 是BB 1的中点，连接EO 及OC 1，则在Rt △BEB 1中，EO=21BB 1=OB 1=1，因为在△OB 1C 1中，B 1C 1=1，∠OB 1C 1=3π，故△OB 1C 1是正三角形，所以OC 1=OB 1=1，又因∠OC 1E=∠B 1C 1C －∠B 1C 1O=,3332πππ=-故△OC 1E 是正三角形，所以C 1E=1，故CE=1，易见△BCE 是正三角形，从面BE=1，即异面直线AB 与EB 1的距离是1.（Ⅱ）由（I ）可得∠AEB 是二面角A —EB 1—B 的平面角，在Rt △ABE 中，由AB=2， BE=1，得tanAEB=2.又由已知得平面A 1B 1E ⊥平面BB 1C 1C ，故二面角A —EB 1—A 1的平面角AEB ∠-=2πθ，故.22cot )2tan(tan ==∠-=AEB AEB πθ解法三：（I ）以B 为原点，1BB 、BA 分别为y 、z 轴建立空间直角坐标系. 由于BC=1，BB 1=2，AB=2，∠BCC 1=3π，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中有B （0，0，0），A （0，0，2），B 1（0，2，0），)0,23,23(),0,21,23(1C C -设即得由,0,),0,,23(11=⋅⊥EB EA EB EA a E)0,2,23()2,,23(0a a --⋅--= ,432)2(432+-=-+=a a a a.,04343)02323()0,21,23()0,21,23(),(2321,0)23)(21(11EB BE EB BE E a a a a ⊥=+-=⋅⋅-⋅=⋅===--即故舍去或即得又AB ⊥面BCC 1B 1，故AB ⊥BE. 因此BE 是异面直线AB 、EB 1的公垂线，则14143||=+=BE ，故异面直线AB 、EB 1的距离为1.（II ）由已知有,,1111EB A B EB EA ⊥⊥故二面角A —EB 1—A 1的平面角θ的大小为向量EA A B 与11的夹角..22tan ,32||||cos ),2,21,23(),2,0,0(111111==⋅=--===θθ即故因A B EA A B EA EA BA A B21．（本小题12分）解：（Ⅰ）设双曲线C 2的方程为12222=-by ax，则.1,31422222==+=-=bc ba a 得再由故C 2的方程为.1322=-yx（II ）将.0428)41(1422222=+++=++=kx x k yxkx y 得代入由直线l 与椭圆C 1恒有两个不同的交点得,0)14(16)41(16)28(22221>-=+-=∆kk k即 .412>k ①0926)31(1322222=---=-+=kx x k yxkx y 得代入将.由直线l 与双曲线C 2恒有两个不同的交点A ，B 得.131.0)1(36)31(36)26(,0312222222<≠⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+-=∆≠-k k k k k k 且即)2)(2(,66319,3126),,(),,(22+++=+<+<⋅--=⋅-=+B A B A B A B A B A B A B A B A B B A A kx kx x x y y x x y y x x OB OA kx x kk x x y x B y x A 而得由则设.1373231262319)1(2)(2)1(222222-+=+-⋅+--⋅+=++++=kk kk k kk x x k x x kB A B A.0131315,613732222>--<-+kk k k 即于是解此不等式得.31151322<>k k或 ③由①、②、③得.11513314122<<<<kk或故k 的取值范围为)1,1513()33,21()21,33()1513,1( ----22．（本小题12分）（Ⅰ）证明：（1）当n=2时，222≥=a ，不等式成立. （2）假设当)2(≥=k k n 时不等式成立，即),2(2≥≥k a k那么221))1(11(1≥+++=+kk k a k k a . 这就是说，当1+=k n 时不等式成立.根据（1）、（2）可知：22≥≥n a k 对所有成立. （Ⅱ）证法一：由递推公式及（Ⅰ）的结论有 )1.()2111(21)11(221≥+++≤+++=+n a nn a nn a n nnn n两边取对数并利用已知不等式得 n nn a nn a ln )2111ln(ln 21++++≤+.211ln 2nn nn a +++≤ 故nn n n n a a 21)1(1ln ln 1++≤-+ ).1(≥n上式从1到1-n 求和可得121212121)1(1321211ln ln -++++-++⨯+⨯≤-n n nn a a.22111121121121111)3121(211<-+-=--⋅+--++-+-=nnn nn即).1(,2ln 2≥<<n e a a n n 故（Ⅱ）证法二：由数学归纳法易证2)1(2≥->n n n n 对成立，故).2()1(1)1(11(21)11(21≥-+-+<+++=+n n n a n n a nn a n nn n令).2())1(11(),2(11≥-+≤≥+=+n b n n b n a b nn n n 则取对数并利用已知不等式得 n n b n n b ln ))1(11ln(ln 1+-+≤+).2()1(1ln ≥-+≤n n n b n上式从2到n 求和得 )1(1321211ln ln 21-++⨯+⨯≤-+n n b b n.11113121211<--++-+-=nn因).2(3,3ln 1ln .313ln 11122≥=<+<=+=+++n ee b b a b n n 故故1,,,2,132222121≥<<<≥<-<+n e a e a e a n e e a n n 对一切故又显然成立.2006年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学（理工农医类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分。

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(重庆卷,解析版)讲解

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学理（重庆卷，解析版）本试卷满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷考生注意：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号、填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 ()()()P A B P A P B +=+如果事件A B ，相互独立，那么 ()()()P A B P A P B =如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)(01,2)k kn k n n P k C P P k n -=-=，，，以R 为半径的球体积：34π3V R =一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线1y x =+与圆221x y +=的位置关系为（） A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．直线过圆心D ．相离【答案】B【解析】圆心(0,0)为到直线1y x =+，即10x y -+=的距离d ==，而01<<，选B 。

2．已知复数z 的实部为1-，虚部为2，则5iz=（） A ．2i - B ．2i + C ．2i -- D ．2i -+【答案】A【解析】因为由条件知12z i =-+，则55(12)5102(12)(12)5i i i i i z i i ---+===--+--，所以选A 。

3．282()x x+的展开式中4x 的系数是（） A ．16B ．70C ．560D ．1120【答案】【解析】设含4x 的为第2616316621,()()2rrr r r rr r T C x C xx--++==，1634r -= 所以4r =，故系数为：44621120C =，选D 。

高考试题——(重庆卷)数学理(有答案)

2009年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）本试卷满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷考生注意：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号、填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 ()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A B ，相互独立，那么 ()()()P A B P A P B =如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)(01,2)k k n k n n P k C P P k n -=-=，，，以R 为半径的球体积：34π3V R = 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线1y x =+与圆221x y +=的位置关系为（）A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离2．已知复数z 的实部为1-，虚部为2，则5i z=（） A ．2i - B ．2i + C ．2i -- D ．2i -+3．282()x x +的展开式中4x 的系数是（） A ．16 B ．70 C ．560 D ．11204．已知1,6,()2==-=a b a b a ，则向量a 与向量b 的夹角是（）A ．6πB ．4πC ．3π D ．2π 5．不等式2313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．(,1][4,)-∞-+∞B ．(,2][5,)-∞-+∞C ．[1,2]D ．(,1][2,)-∞+∞ 6．锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。

2009年高考重庆数学(理科)试题及参考答案

2009年高考重庆数学(理科)试题及参考答案
板块吸筹完毕一般发生在大盘启动初期，其主要特征是该板块大部分股票前期套牢筹码基本消失，股票启动时获利比例高于，板块大部分股票有启动迹象。

年月日——月日航天军工启动
凌云股份北方国际
二、板块洗盘完毕必将拉升
板块洗盘完毕一般发生在大盘拉升中期，是指该板块大部分股票拉升一波后进入洗盘阶段，主要特
板块二次吸筹后启动是指该板块经过一轮上涨后，大部分股票主力几乎全部出货，然后经过大幅下跌后（一般是大盘中期回调引起的）新的主力重新吸筹，吸筹完毕的特征是该板块大部分股票前期套牢
盘几乎割肉出局，上方套牢筹码消失转移到下方，股票经过的换手。

年月——月日发电设备启动
深圳惠程智光电气
板块，从该板块中寻找强势整理即将启动的个股。

、同步选股
大盘经过一波拉升后进入洗盘阶段的选股步骤：点击报价→点击热门板块分析→点鼠标右键→点
击区间热门板块→设置起止日期（上面填大盘启动日期，下面填大盘滞涨最后一天的日期）→点击确定→点击均涨幅，然后选取涨幅最大的板块，从该板块中寻找强势股，等待洗盘完毕后二次拉升时介入。

2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅰ)(含解析版)

2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个2．（5分）已知=2+i，则复数z=（）A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i3．（5分）不等式＜1的解集为（）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．5．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A．150种B．180种C．300种D．345种6．（5分）设、、是单位向量，且，则•的最小值为（）A．﹣2B．﹣2C．﹣1D．1﹣7．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．8．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣210．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）A．1B．2C．D．411．（5分）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是奇函数C．f（x）=f（x+2）D．f（x+3）是奇函数12．（5分）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF 交C于点B，若=3，则||=（）A．B．2C．D．3二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=81，则a2+a5+a8=．15．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于．16．（5分）若，则函数y=tan2xtan3x的最大值为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；（Ⅱ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．20．（12分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+．（1）设b n=，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．21．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．22．（12分）设函数f（x）=x3+3bx2+3cx有两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]．（1）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域；（2）证明：．2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据交集含义取A、B的公共元素写出A∩B，再根据补集的含义求解．【解答】解：A∪B={3，4，5，7，8，9}，A∩B={4，7，9}∴∁U（A∩B）={3，5，8}故选A．也可用摩根律：∁U（A∩B）=（∁U A）∪（∁U B）故选：A．【点评】本题考查集合的基本运算，较简单．2．（5分）已知=2+i，则复数z=（）A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i【考点】A1：虚数单位i、复数．【分析】化简复数直接求解，利用共轭复数可求z．【解答】解：，∴z=1﹣3i故选：B．【点评】求复数，需要对复数化简，本题也可以用待定系数方法求解．3．（5分）不等式＜1的解集为（）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】本题为绝对值不等式，去绝对值是关键，可利用绝对值意义去绝对值，也可两边平方去绝对值．【解答】解：∵＜1，∴|x+1|＜|x﹣1|，∴x2+2x+1＜x2﹣2x+1．∴x＜0．∴不等式的解集为{x|x＜0}．故选：D．【点评】本题主要考查解绝对值不等式，属基本题．解绝对值不等式的关键是去绝对值，去绝对值的方法主要有：利用绝对值的意义、讨论和平方．4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．【考点】KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题．【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a和b 的关系，从而推断出a和c的关系，答案可得．【解答】解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得ax2﹣bx+a=0，因渐近线与抛物线相切，所以b2﹣4a2=0，即，故选：C．【点评】本小题考查双曲线的渐近线方程直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题．5．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A．150种B．180种C．300种D．345种【考点】D1：分类加法计数原理；D2：分步乘法计数原理．【专题】5O：排列组合．【分析】选出的4人中恰有1名女同学的不同选法，1名女同学来自甲组和乙组两类型．【解答】解：分两类（1）甲组中选出一名女生有C51•C31•C62=225种选法；（2）乙组中选出一名女生有C52•C61•C21=120种选法．故共有345种选法．故选：D．【点评】分类加法计数原理和分类乘法计数原理，最关键做到不重不漏，先分类，后分步！6．（5分）设、、是单位向量，且，则•的最小值为（）A．﹣2B．﹣2C．﹣1D．1﹣【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】16：压轴题．【分析】由题意可得=，故要求的式子即﹣（）•+=1﹣cos=1﹣cos，再由余弦函数的值域求出它的最小值．【解答】解：∵、、是单位向量，，∴，=．∴•=﹣（）•+=0﹣（）•+1=1﹣cos=1﹣cos≥．故选：D．【点评】考查向量的运算法则；交换律、分配律但注意不满足结合律．7．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】首先找到异面直线AB与CC1所成的角（如∠A1AB）；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出A1B的长度即可；不妨设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求之．【解答】解：设BC的中点为D，连接A1D、AD、A1B，易知θ=∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角；并设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，则|AD|=，|A1D|=，|A1B|=，由余弦定理，得cosθ==．故选：D．【点评】本题主要考查异面直线的夹角与余弦定理．8．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．【考点】HB：余弦函数的对称性．【专题】11：计算题．【分析】先根据函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，令x=代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值．【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．∴∴由此易得．故选：A．【点评】本题主要考查余弦函数的对称性．属基础题．9．（5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程．【解答】解：设切点P（x0，y0），则y0=x0+1，y0=ln（x0+a），又∵∴x0+a=1∴y0=0，x0=﹣1∴a=2．故选：B．【点评】本题考查导数的几何意义，常利用它求曲线的切线10．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）A．1B．2C．D．4【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD 则∠ACQ=∠PBD=60°，在三角形APQ中将PQ表示出来，再研究其最值即可．【解答】解：如图分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD则∠ACQ=∠PDB=60°，，又∵当且仅当AP=0，即点A与点P重合时取最小值．故选：C．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．11．（5分）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是奇函数C．f（x）=f（x+2）D．f（x+3）是奇函数【考点】3I：奇函数、偶函数．【专题】16：压轴题．【分析】首先由奇函数性质求f（x）的周期，然后利用此周期推导选择项．【解答】解：∵f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，∴函数f（x）关于点（1，0）及点（﹣1，0）对称，∴f（x）+f（2﹣x）=0，f（x）+f（﹣2﹣x）=0，故有f（2﹣x）=f（﹣2﹣x），函数f（x）是周期T=[2﹣（﹣2）]=4的周期函数．∴f（﹣x﹣1+4）=﹣f（x﹣1+4），f（﹣x+3）=﹣f（x+3），f（x+3）是奇函数．故选：D．【点评】本题主要考查奇函数性质的灵活运用，并考查函数周期的求法．12．（5分）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF 交C于点B，若=3，则||=（）A．B．2C．D．3【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】过点B作BM⊥x轴于M，设右准线l与x轴的交点为N，根据椭圆的性质可知FN=1，进而根据，求出BM，AN，进而可得|AF|．【解答】解：过点B作BM⊥x轴于M，并设右准线l与x轴的交点为N，易知FN=1．由题意，故FM=，故B点的横坐标为，纵坐标为±即BM=，故AN=1，∴．故选：A．【点评】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，属基础题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于﹣240．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】首先要了解二项式定理：（a+b）n=C n0a n b0+C n1a n﹣1b1+C n2a n﹣2b2++C n r a n﹣r b r++C n n a0b n，各项的通项公式为：T r=C n r a n﹣r b r．然后根据题目已知求解即可．+1【解答】解：因为（x﹣y）10的展开式中含x7y3的项为C103x10﹣3y3（﹣1）3=﹣C103x7y3，含x3y7的项为C107x10﹣7y7（﹣1）7=﹣C107x3y7．由C103=C107=120知，x7y3与x3y7的系数之和为﹣240．故答案为﹣240．【点评】此题主要考查二项式定理的应用问题，对于公式：（a+b）n=C n0a n b0+C n1a n ﹣1b1+C n2a n﹣2b2++C n r a n﹣r b r++C n n a0b n，属于重点考点，同学们需要理解记忆．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=81，则a2+a5+a8=27．【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．【分析】由s9解得a5即可．【解答】解：∵∴a5=9∴a2+a5+a8=3a5=27故答案是27【点评】本题考查前n项和公式和等差数列的性质．15．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于20π．【考点】LR：球内接多面体．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】通过正弦定理求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，求出球的半径，然后求出球的表面积．【解答】解：在△ABC中AB=AC=2，∠BAC=120°，可得由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r=2，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，易得球半径，故此球的表面积为4πR2=20π故答案为：20π【点评】本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力．16．（5分）若，则函数y=tan2xtan3x的最大值为﹣8．【考点】3H：函数的最值及其几何意义；GS：二倍角的三角函数．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】见到二倍角2x 就想到用二倍角公式，之后转化成关于tanx的函数，将tanx看破成整体，最后转化成函数的最值问题解决．【解答】解：令tanx=t，∵，∴故填：﹣8．【点评】本题主要考查二倍角的正切，二次函数的方法求最大值等，最值问题是中学数学的重要内容之一，它分布在各块知识点，各个知识水平层面．以最值为载体，可以考查中学数学的所有知识点．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．【考点】HR：余弦定理．【分析】根据正弦定理和余弦定理将sinAcosC=3cosAsinC化成边的关系，再根据a2﹣c2=2b即可得到答案．【解答】解：法一：在△ABC中∵sinAcosC=3cosAsinC，则由正弦定理及余弦定理有：，化简并整理得：2（a2﹣c2）=b2．又由已知a2﹣c2=2b∴4b=b2．解得b=4或b=0（舍）；法二：由余弦定理得：a2﹣c2=b2﹣2bccosA．又a2﹣c2=2b，b≠0．所以b=2ccosA+2①又sinAcosC=3cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin（A+C）=4cosAsinC，即sinB=4cosAsinC由正弦定理得，故b=4ccosA②由①，②解得b=4．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．属基础题．18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（Ⅰ）法一：要证明M是侧棱SC的中点，作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，解RT△MNE即可得x的值，进而得到M为侧棱SC的中点；法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，并求出S点的坐标、C点的坐标和M点的坐标，然后根据中点公式进行判断；法三：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，构造空间向量，然后数乘向量的方法来证明．（Ⅱ）我们可以以D为坐标原点，分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，我们可以利用向量法求二面角S﹣AM﹣B的大小．【解答】证明：（Ⅰ）作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，在RT△MEB中，∵∠MBE=60°∴．在RT△MNE中由ME2=NE2+MN2∴3x2=x2+2解得x=1，从而∴M为侧棱SC的中点M．（Ⅰ）证法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，则．设M（0，a，b）（a＞0，b＞0），则，，由题得，即解之个方程组得a=1，b=1即M（0，1，1）所以M是侧棱SC的中点．（I）证法三：设，则又故，即，解得λ=1，所以M是侧棱SC的中点．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，，设分别是平面SAM、MAB的法向量，则且，即且分别令得z1=1，y1=1，y2=0，z2=2，即，∴二面角S﹣AM﹣B的大小．【点评】空间两条直线夹角的余弦值等于他们方向向量夹角余弦值的绝对值；空间直线与平面夹角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值；空间锐二面角的余弦值等于他的两个半平面方向向量夹角余弦值的绝对值；（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；（Ⅱ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题．【分析】（1）由题意知前2局中，甲、乙各胜1局，甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，根据各局比赛结果相互独立，根据相互独立事件的概率公式得到结果．（2）由题意知ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知ξ的可能取值是2、3，由于各局相互独立，得到变量的分布列，求出期望．【解答】解：记A i表示事件：第i局甲获胜，（i=3、4、5）B i表示第j局乙获胜，j=3、4（1）记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利，∵前2局中，甲、乙各胜1局，∴甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，∴B=A3A4+B3A4A5+A3B4A5由于各局比赛结果相互独立，∴P（B）=P（A3A4）+P（B3A4A5）+P（A3B4A5）×+××+××（2）ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知ξ的可能取值是2、3由于各局相互独立，得到ξ的分布列P（ξ=2）=P（A3A4+B3B4∴Eξ=2×+3×【点评】认真审题是前提，部分考生由于考虑了前两局的概率而导致失分，这是很可惜的，主要原因在于没读懂题．另外，还要注意表述，这也是考生较薄弱的环节．20．（12分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+．（1）设b n=，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】11：计算题；15：综合题．【分析】（1）由已知得=+，即b n=b n+，由此能够推导出所求的通+1项公式．（2）由题设知a n=2n﹣，故S n=（2+4+…+2n）﹣（1++++…+），设T n=1++++…+，由错位相减法能求出T n=4﹣．从而导出数列{a n}的前n项和S n．【解答】解：（1）由已知得b1=a1=1，且=+，即b n=b n+，从而b2=b1+，+1b3=b2+，b n=b n﹣1+（n≥2）．于是b n=b1+++…+=2﹣（n≥2）．又b1=1，故所求的通项公式为b n=2﹣．（2）由（1）知a n=2n﹣，故S n=（2+4+…+2n）﹣（1++++…+），设T n=1++++…+，①T n=+++…++，②①﹣②得，T n=1++++…+﹣=﹣=2﹣﹣，∴T n=4﹣．∴S n=n（n+1）+﹣4．【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要注意错位相减法的合理运用．21．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．【考点】IR：两点间的距离公式；JF：圆方程的综合应用；K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）先联立抛物线与圆的方程消去y，得到x的二次方程，根据抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是此方程有两个不相等的正根，可求出r的范围．（2）先设出四点A，B，C，D的坐标再由（1）中的x二次方程得到两根之和、两根之积，表示出面积并求出其的平方值，最后根据三次均值不等式确定得到最大值时的点P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）将抛物线E：y2=x代入圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）的方程，消去y2，整理得x2﹣7x+16﹣r2=0（1）抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根∴即．解这个方程组得，．（II）设四个交点的坐标分别为、、、．则直线AC、BD的方程分别为y﹣=•（x﹣x1），y+=（x﹣x1），解得点P的坐标为（，0），则由（I）根据韦达定理有x1+x2=7，x1x2=16﹣r2，则∴令，则S2=（7+2t）2（7﹣2t）下面求S2的最大值．由三次均值有：当且仅当7+2t=14﹣4t，即时取最大值．经检验此时满足题意．故所求的点P的坐标为．【点评】本题主要考查抛物线和圆的综合问题．圆锥曲线是高考必考题，要强化复习．22．（12分）设函数f（x）=x3+3bx2+3cx有两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]．（1）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域；（2）证明：．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；7B：二元一次不等式（组）与平面区域；R6：不等式的证明．【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题．【分析】（1）根据极值的意义可知，极值点x1、x2是导函数等于零的两个根，根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域即可；（2）先用消元法消去参数b，利用参数c表示出f（x2）的值域，再利用参数c 的范围求出f（x2）的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=3x2+6bx+3c，（2分）依题意知，方程f'（x）=0有两个根x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]等价于f'（﹣1）≥0，f'（0）≤0，f'（1）≤0，f'（2）≥0．由此得b，c满足的约束条件为（4分）满足这些条件的点（b，c）的区域为图中阴影部分．（6分）（Ⅱ）由题设知f'（x2）=3x22+6bx2+3c=0，则，故．（8分）由于x2∈[1，2]，而由（Ⅰ）知c≤0，故．又由（Ⅰ）知﹣2≤c≤0，（10分）所以．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及二元一次不等式（组）与平面区域和不等式的证明，属于基础题．。

2009年高考重庆数学试题参考答案

2009年高考重庆数学（理科)试题参考答案一、选择题：每小题5分，满分50分(1) B (2) A (3) D (4) C (5) A (6) C (7) C (8) D (9) B (10) B 二．填空题：每小题5分，满分25分 (11) (0,3) (12)12(13) 36 (14) 12n +1) 三．解答题：满分75分 (16)（本小题13分）解：（Ⅰ）()f x =sincoscossincos46464x x x πππππ--=3cos 2424x x ππ- sin()43x ππ-故()f x 的最小正周期为T =24ππ=8(Ⅱ)解法一：在()y g x =的图象上任取一点(,())x g x ，它关于1x =的对称点(2,())x g x - . 由题设条件，点(2,())x g x -在()y f x =的图象上，从而 ()(2)sin[(2)]43g x f x x ππ=-=-- sin[]243x πππ--cos()43x ππ+ 当304x ≤≤时，23433x ππππ≤+≤，因此()y g x =在区间4[0,]3上的最大值为m a xc o s 32g π== 解法二：因区间4[0,]3关于x = 1的对称区间为2[,2]3，且()y g x =与()y f x =的图象关于x = 1对称，故()y g x =在4[0,]3上的最大值为()y f x =在2[,2]3上的最大值由（Ⅰ）知()f x sin()43x ππ- 当223x ≤≤时，6436ππππ-≤-≤ 因此()y g x =在4[0,]3上的最大值为max 62g π==(17)（本小题13分）解：设k A 表示甲种大树成活k 株，k ＝0，1，2 l B 表示乙种大树成活l 株，l ＝0，1，2则k A ，l B 独立. 由独立重复试验中事件发生的概率公式有 2221()()()33kkkk P A C -= , 2211()()()22llll P B C -= .据此算得01()9P A = , 14()9P A = , 24()9P A = . 01()4P B = , 11()2P B =, 21()4P B = . (Ⅰ) 所求概率为2111412()()()929P A B P A P B ∙=∙=⨯= . (Ⅱ) 解法一：ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，且0000111(0)()()()9436P P A B P A P B ξ==∙=∙=⨯= , 011011411(1)()()92946P P A B P A B ξ==∙+∙=⨯+⨯= ,021*********(2)()()()949294P P A B P A B P A B ξ==∙+∙+∙=⨯+⨯+⨯=1336,122141411(3)()()94923P P A B P A B ξ==∙+∙=⨯+⨯= .22411(4)()949P P A B ξ==∙=⨯= . 综上知ξ有分布列从而，ξ的期望为111311012343663639E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 73=（株）解法二：分布列的求法同上令12ξξ，分别表示甲乙两种树成活的株数，则12ξξ::21B(2,)，B(2,)32故有121E E ξξ⨯=⨯=241=2=，2332从而知1273E E E ξξξ=+=18、（本小题13分）解：（Ⅰ）因2()(0),()2f x ax bx k k f x ax b '=++>=+故又()f x 在x=0处取得极限值，故()0,f x '=从而0b =由曲线y=()f x 在（1，f （1））处的切线与直线210x y -+=相互垂直可知该切线斜率为2，即(1)2,f '=有2a=2,从而a=1（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2()(0)xe g x k x k=>+ 222(2)()(0)()x e x x k g x k x k -+'=>+ 令()0g x '=，有220(0)x x k k -+=>（1）当440k ∆=-<，即当1k >时，()0g x '>在R 上恒成立，故函数()g x 在R 上位增函数（2）当440k ∆=-=，即当1k =时，有222(1)()0(1)(1)x e x g x x x -'=>≠+，从而当1k =时，()g x 在R 上为增函数（3）当440k ∆=->，即当01k <<时，方程220x x k -+=有两个不相等实根1211x x ==当(,1x ∈-∞时，()0g x '>，故()g x 在,1-∞（上为增函数；当1x ∈（时，()0,g x '<故()1g x 在（上为减函数；当1x ∈∞（+）时，()0,g x '>故()1g x ∞在（+）上为增函数（19）（本小题12分）解法一：（Ⅰ）因为AD//BC,且,BC BCS ⊂平面所以//,AD BCS 平面从而A 点到平面BCS 的距离等于D 点到平面BCS 的距离。