D_2010年全国高考理科数学试题及答案-重庆
2010年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)(含解析版)
0.1，故没有发芽的种子数 ξ 服从二项分布，即 ξ～B（1000，0.1）．又没发芽的补种 2 个，故补 种的种子数记为 X=2ξ，根据二项分布的期望公式即可求出结果． 【解答】解：由题意可知播种了 1000 粒，没有发芽的种子数 ξ 服从二项分布，即 ξ～B（1000， 0.1）． 而每粒需再补种 2 粒，补种的种子数记为 X 故 X=2ξ，则 EX=2Eξ=2×1000×0.1=200． 故选：B． 【点评】本题主要考查二项分布的期望以及随机变量的性质，考查解决应用问题的能力．属于基础 性题目． 7．（5 分）如果执行如图的框图，输入 N=5，则输出的数等于（ ）
A．q1，q3
B．q2，q3
C．q1，q4
D．q2，q4
【考点】2E：复合命题及其真假；4Q：指数函数与对数函数的关系． 菁优网版权所有
【专题】5L：简易逻辑． 【分析】先判断命题 p1 是真命题，P2 是假命题，故 p1∨p2 为真命题，（﹣p2）为真命题，p1∧
【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CN：二项分布与 n 次独立重复试验的模型． 菁优网版权所有
2，…，N）的点数 N1，那么由随机模拟方案可得积分
的近似值为 ．
14．（5 分）正视图为一个三角形的几何体可以是 （写出三种） 15．（5 分）过点 A（4，1）的圆 C 与直线 x﹣y=1 相切于点 B（2，1），则圆 C 的方程为 ． 16．（5 分）在△ABC 中，D 为边 BC 上一点，BD= DC，∠ADB=120°，AD=2，若△ADC 的面积为
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解
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2010年重庆卷理科数学高考试卷(原卷 答案)
绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)理综化学本试卷共21题，共150分。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）在等比数列}{n a 中，201020078a a =，则公比q 的值为（ ）A 、2B 、3C 、4D 、8（2）已知向量b a ,满足2||,1||,0===⋅b a b a ，则=−|2|b a （ ） A 、0B 、22C 、4D 、8（3）=⎪⎭⎫⎝⎛−−−→2144lim 22x x x （ ）A 、1−B 、41−C 、41 D 、1（4）设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤−+≥+−≥,03,01,0y x y x y 则y x z +=2的最大值为（ ）A 、2−B 、4C 、6D 、8（5）函数xx x f 214)(+=的图象（ ）A 、关于原点对称B 、关于直线x y =对称C 、关于x 轴对称D 、关于y 轴对称（6）已知函数sin()y x ωϕ=+（0,||2πωϕ><）的部分图象如题（6）图所示，则（ ）A 、6,1πϕω==B 、6,1πϕω−==C 、6,2πϕω==D 、6,2πϕω−==（7）已知0x >，0y >，228x y xy ++=，y x 2+的最小值是（ ）A 、3B 、4C 、29 D 、211 （8）直线233+=x y 与圆心为D的圆,1,x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（[0,2)θπ∈）A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为（ ）A 、π67 B 、π45 C 、π34 D 、π35（9）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天. 若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有（ ）A 、504种B 、960种C 、1008种D 、1108种（10）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（ ） A 、直线 B 、椭圆 C 、抛物线 D 、双曲线 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填写在答题卡相应位置上. （11）已知复数,1i z +=则=−z z2____________. （12）设}0|{},3,2,1,0{2=+∈==mx x U x A U ，若}2,1{=A C U ，则实数=m _________. （13）某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为2516，则该队员每次罚球的命中率为_____________.（14）已知以F 为焦点的抛物线x y 42=上的两点B A 、满足3AF FB =，则弦AB 的中点到准线的距离为___________.（15）已知函数)(x f 满足：1(1)4f =，4()()()()f x f y f x y f x y =++−（,x y R ∈），则=)2010(f __________. 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分.） 设函数22()cos()2cos 32xf x x π=++，x R ∈. （Ⅰ）求)(x f 的值域；（Ⅱ）记ABC ∆的内角C B 、、A 的对边长分别为c b a 、、，若3,1,1)(===c b B f ，求a 的值.（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起. 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，…，6），求： （Ⅰ）甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率； （Ⅱ）甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与期望.M题（20）图GENHO （18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.） 已知函数)1ln(1)(+++−=x ax x x f ，其中实数1−≠a . （Ⅰ）若2=a ，求曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程；（Ⅱ）若)(x f 在1=x 处取得极值，试讨论)(x f 的单调性.（19）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.） 如题（19）图，四棱锥ABCD P −为矩形，⊥PA 底面ABCD ，6==AB PA ，点E 是棱PB 的中点.（Ⅰ）求直线AD 与平面PBC 的距离；（Ⅱ）若3=AD ，求二面角D EC A −−的平面角的余弦值.（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.） 25=e . 已知以原点O 为中心，)0,5(F 为右焦点的双曲线C 的离心率 （Ⅰ）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；（Ⅱ）如题（20）图，已知过点),(11y x M 的直线44:111=+y y x x l 与过点),(22y x N （其中12x x ≠）的直线44:222=+y y x x l 的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与两条渐近线分别交于H G 、两点，求OGH ∆的面积.（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）在数列}{n a 中，11a =，11(21)n n n a ca cn ++=++（n N *∈），其中实数0≠c . （Ⅰ）求}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若对一切*∈N k 有122−>k k a a ，求c 的取值范围.2010年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)理科数学(参考答案)1.【命题意图】本题考查等比数列的概念，基础题. 【解析】∵8320072010==q a a ，∴2q =，选A. 2.【命题意图】本题考查向量的有关概念和基本运算.【解析】∵|2|(2a b a −=−===，∴选B.3.【命题意图】本题考查函数极限的概念、运算法则、型极限的求法以及转化与化归思想. 【解析】2222241211lim lim lim 42(4)(2)24x x x x x x x x x →→→−−⎛⎫−===−⎪−−−++⎝⎭，选B. 4.【命题意图】本题考查线性规划的求解问题.作为选择题，要准确快速求解，可利用端点处取得最值（函数的思想）来求解则更好，从而要求考生对性规划的问题有较深刻的认识.【解析】不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤−+≥+−≥,03,01,0y x y x y 表示的平面区域是如图所示的ABC ∆，当直线y x z +=2过点(3,0)A 的时，z 取得最大值6，故选C. 5.【命题意图】本题考查函数的概念和奇偶性、幂的运算性质和计算能力.【解析】∵)(241214)(x f x f xxx x =+=+=−−−，∴()f x 是偶函数，图像关于y 轴对称，选D 6.【命题意图】本题考查sin()y A x ωϕ=+的图像和性质，数形结合思想等，这是高考的常考题型，但又是学生的软肋，注意复习，多加训练. 【解析】由图像可知，周期74()123T πππ=−=，∴2ω=，由五点作图法知232πϕπ=+⨯，解得6πϕ=−，所以2ω=，6πϕ=−，选D.7.【命题意图】本题考查均值不等式的灵活应用、一元二次不等式的解法以及整体思想.【解析】由均值不等式，得2228)2(82⎪⎭⎫⎝⎛+−≥⋅−=+y x y x y x ，整理，得()()0322422≥−+++y x y x ，即()()08242≥++−+yx y x ，又02>+y x ，所以24x y +≥，选B.8.【命题意图】本题考查直线的倾斜角、斜率、方程，圆的标准方程和参数方程，直线与圆的位置关系以及数形结合的思想方法.【解析】画出图形，301−=∠α，βπ−+=∠302由圆的性质可知21∠=∠βπα−+=−∴ 3030，故=+βα43π，选C. 9.【命题意图】此题是一个排列组合问题.既考查了分析问题，解决问题的能力，更侧重于考查学生克服困难解决实际问题的能力和水平.【解析】分两类：①甲乙排1、2号或6、7号，共有4414222A A A ⨯种不同的安排方法；②甲乙排中间，丙排7号或不排7号，共有)(43313134422A A A A A +种方法，故共有1008种不同的排法，选C.10.【命题意图】本题考查空间中线与线，线与面的垂直，动点的轨迹的求法，同时考查空间想象力.【解析】（直接法）记这两直线为1l ，2l ，异面直线的距离为k ，平面α为过1l 且平行于2l 的平面，设α上某个点P 满足条件。
2010年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)及解析
2010年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={x∈R||x|≤2}}，，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，2}D．{0，1，2}2．（5分）已知复数，是z的共轭复数，则=（）A．B．C．1 D．23．（5分）曲线y=在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x﹣24．（5分）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．5．（5分）已知命题p1：函数y=2x﹣2﹣x在R为增函数，p2：函数y=2x+2﹣x在R为减函数，则在命题q：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：（￢p1）∨1p2和q4：p1∧（￢p2）中，真命题是（）A．q1，q3 B．q2，q3 C．q1，q4 D．q2，q46．（5分）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X 的数学期望为（）A．100 B．200 C．300 D．4007．（5分）如果执行右面的框图，输入N=5，则输出的数等于（）A．B．C．D．8．（5分）设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（）A．{x|x＜﹣2或x＞4}B．{x|x＜0或x＞4} C．{x|x＜0或x＞6} D．{x|x＜﹣2或x＞2}9．（5分）若，α是第三象限的角，则=（）A．B．C．2 D．﹣210．（5分）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．πa2B． C．D．5πa211．（5分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）12．（5分）已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（）A． B． C． D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设y=f（x）为区间[0，1]上的连续函数，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组N个）区间[0，1]上的均匀随机数x1，x2，…x N和y1，y2，…y N，由此得到N个点（x i，y i）（i=1，2，…，N），再数出其中满足y i≤f（x i）（i=1，2，…，N）的点数N 1，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为．14．（5分）正视图为一个三角形的几何体可以是（写出三种）15．（5分）过点A（4，1）的圆C与直线x﹣y=1相切于点B（2，1），则圆C的方程为．16．（5分）在△ABC中，D为边BC上一点，BD=DC，∠ADB=120°，AD=2，若△ADC的面积为，则∠BAC=．三、解答题（共8小题，满分90分）17．（12分）设数列满足a1=2，a n+1﹣a n=3•22n﹣1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=na n，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点（1）证明：PE⊥BC（2）若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．19．（12分）为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由．附：20．（12分）设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1斜率为1的直线ℓ与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求E的离心率；（2）设点P（0，﹣1）满足|PA|=|PB|，求E的方程．21．（12分）设函数f（x）=e x﹣1﹣x﹣ax2．（1）若a=0，求f（x）的单调区间；（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．22．（10分）如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．（Ⅱ）BC2=BE•CD．23．（10分）已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α=时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．24．（10分）设函数f（x）=|2x﹣4|+1．（Ⅰ）画出函数y=f（x）的图象：（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．2010年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2010•宁夏）已知集合A={x∈R||x|≤2}}，，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，2}D．{0，1，2}【分析】先化简集合A和B，注意集合B中的元素是整数，再根据两个集合的交集的意义求解．【解答】解：A={x∈R||x|≤2，}={x∈R|﹣2≤x≤2}，故A∩B={0，1，2}．应选D．2．（5分）（2010•宁夏）已知复数，是z的共轭复数，则=（）A．B．C．1 D．2【分析】因为，所以先求|z|再求的值．【解答】解：由可得．另解：故选A．3．（5分）（2010•宁夏）曲线y=在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x﹣2【分析】欲求在点（﹣1，﹣1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=﹣1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵y=，∴y′=，所以k=y′|x=﹣1=2，得切线的斜率为2，所以k=2；所以曲线y=f（x）在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为：y+1=2×（x+1），即y=2x+1．故选A．4．（5分）（2010•新课标）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【分析】本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点P的位置到到x轴距离来确定答案．【解答】解：通过分析可知当t=0时，点P到x轴距离d为，于是可以排除答案A，D，再根据当时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0，排除答案B，故应选C．5．（5分）（2010•宁夏）已知命题p1：函数y=2x﹣2﹣x在R为增函数，p2：函数y=2x+2﹣x在R为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：（￢p1）∨p2和q4：p1∧（￢p2）中，真命题是（）A．q1，q3 B．q2，q3 C．q1，q4 D．q2，q4【分析】先判断命题p1是真命题，P2是假命题，故p1∨p2为真命题，（﹣p2）为真命题，p1∧（﹣p2）为真命题．【解答】解：易知p1是真命题，而对p2：y′=2x ln2﹣ln2=ln2（），当x∈[0，+∞）时，，又ln2＞0，所以y′≥0，函数单调递增；同理得当x∈（﹣∞，0）时，函数单调递减，故p2是假命题．由此可知，q1真，q2假，q3假，q4真．故选C．6．（5分）（2010•宁夏）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（）A．100 B．200 C．300 D．400【分析】首先分析题目已知某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，即不发芽率为0.1，故没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B（1000，0.1）．又没发芽的补种2个，故补种的种子数记为X=2ξ，根据二项分布的期望公式即可求出结果．【解答】解：由题意可知播种了1000粒，没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B（1000，0.1）．而每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X故X=2ξ，则EX=2Eξ=2×1000×0.1=200．故选B．7．（5分）（2010•新课标）如果执行右面的框图，输入N=5，则输出的数等于（）A．B．C．D．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值．∵S==1﹣=故选D．8．（5分）（2010•新课标）设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（）A．{x|x＜﹣2或x＞4}B．{x|x＜0或x＞4} C．{x|x＜0或x＞6}D．{x|x＜﹣2或x＞2}【分析】由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f （|x|）=2|x|﹣4，根据偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，再求解不等式，可得答案．【解答】解：由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，则f（x﹣2）=f（|x﹣2|）=2|x﹣2|﹣4，要使f（|x﹣2|）＞0，只需2|x ﹣2|﹣4＞0，|x﹣2|＞2解得x＞4，或x＜0．应选：B．9．（5分）（2010•宁夏）若，α是第三象限的角，则=（）A．B．C．2 D．﹣2【分析】将欲求式中的正切化成正余弦，还要注意条件中的角α与待求式中角的差别，注意消除它们之间的不同．【解答】解：由，α是第三象限的角，∴可得，则，应选A．10．（5分）（2010•宁夏）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．πa2B． C．D．5πa2【分析】由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，则其外接球的半径为，球的表面积为，故选B．11．（5分）（2010•新课标）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）【分析】画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc的范围即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则ab=1，则abc=c∈（10，12）．故选C．12．（5分）（2010•宁夏）已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（）A． B． C． D．【分析】已知条件易得直线l的斜率为1，设双曲线方程，及A，B 点坐标代入方程联立相减得x1+x2=﹣24，根据=，可求得a 和b的关系，再根据c=3，求得a和b，进而可得答案．【解答】解：由已知条件易得直线l的斜率为k=k PN=1，设双曲线方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），则有，两式相减并结合x1+x2=﹣24，y1+y2=﹣30得=，从而==1即4b2=5a2，又a2+b2=9，解得a2=4，b2=5，故选B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2010•宁夏）设y=f（x）为区间[0，1]上的连续函数，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组N个）区间[0，1]上的均匀随机数x1，x2，…x N和y1，y2，…y N，由此得到N个点（x i，y i）（i=1，2，…，N），再数出其中满足y i≤f（x i）（i=1，2，…，N）的点数N1，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为．【分析】要求∫f（x）dx的近似值，利用几何概型求概率，结合点数比即可得．【解答】解：由题意可知得，故积分的近似值为．故答案为：．14．（5分）（2010•宁夏）正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱、圆锥（其他正确答案同样给分）（写出三种）【分析】三棱锥一个侧面的在正视图为一条线段的情形；圆锥；四棱锥有两个侧面在正视图为线段的情形，即可回答本题．【解答】解：正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱（放倒的情形）、圆锥、四棱锥等等．故答案为：三棱锥、圆锥、三棱柱．15．（5分）（2010•宁夏）过点A（4，1）的圆C与直线x﹣y=1相切于点B（2，1），则圆C的方程为（x﹣3）2+y2=2．【分析】设圆的标准方程，再用过点A（4，1），过B，两点坐标适合方程，圆和直线相切，圆心到直线的距离等于半径，求得圆的方程．【解答】解：设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，则，解得，故所求圆的方程为（x﹣3）2+y2=2．故答案为：（x﹣3）2+y2=2．16．（5分）（2010•宁夏）在△ABC中，D为边BC上一点，BD=DC，∠ADB=120°，AD=2，若△ADC的面积为，则∠BAC=60°．【分析】先根据三角形的面积公式利用△ADC的面积求得DC，进而根据三角形ABC的面积求得BD和BC，进而根据余弦定理求得AB．最后在三角形ABC中利用余弦定理求得cos∠BAC，求得∠BAC的值．【解答】解：由△ADC的面积为可得解得，则．AB2=AD2+BD2﹣2AD•BD•cos120°=，，则=．故∠BAC=60°．三、解答题（共8小题，满分90分）17．（12分）（2010•宁夏）设数列满足a1=2，a n+1﹣a n=3•22n﹣1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=na n，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（Ⅰ）由题意得a n+1=[（a n+1﹣a n）+（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）]+a1=3（22n﹣1+22n﹣3+…+2）+2=22（n+1）﹣1．由此可知数列{a n}的通项公式为a n=22n﹣1．（Ⅱ）由b n=na n=n•22n﹣1知S n=1•2+2•23+3•25++n•22n﹣1，由此入手可知答案．【解答】解：（Ⅰ）由已知，当n≥1时，a n+1=[（a n+1﹣a n）+（a n﹣a n）+…+（a2﹣a1）]+a1﹣1=3（22n﹣1+22n﹣3+…+2）+2=3×+2=22（n+1）﹣1．而a1=2，所以数列{a n}的通项公式为a n=22n﹣1．（Ⅱ）由b n=na n=n•22n﹣1知S n=1•2+2•23+3•25+…+n•22n﹣1①从而22S n=1•23+2•25+…+n•22n+1②①﹣②得（1﹣22）•S n=2+23+25+…+22n﹣1﹣n•22n+1．即．18．（12分）（2010•宁夏）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点（1）证明：PE⊥BC（2）若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．【分析】以H为原点，HA，HB，HP分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系．（1）表示，，计算，就证明PE⊥BC．（2）∠APB=∠ADB=60°，求出C，P的坐标，再求平面PEH的法向量，求向量，然后求与面PEH的法向量的数量积，可求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．【解答】解：以H为原点，HA，HB，HP分别为x，y，z轴，线段HA 的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则A（1，0，0），B（0，1，0）（Ⅰ）设C（m，0，0），P（0，0，n）（m＜0，n＞0）则．可得．因为所以PE⊥BC．（Ⅱ）由已知条件可得m=，n=1，故C（﹣），设=（x，y，z）为平面PEH的法向量则即因此可以取，由，可得所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为．19．（12分）（2010•新课标）为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由．附：【分析】（1）由列联表可知调查的500位老年人中有40+30=70位需要志愿者提供帮助，两个数据求比值得到该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估算值．（2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，得到观测值的结果，把观测值的结果与临界值进行比较，看出有多大把握说该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．（3）从样本数据老年人中需要帮助的比例有明显差异，调查时，可以先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．【解答】解：（1）∵调查的500位老年人中有40+30=70位需要志愿者提供帮助，∴该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估算值为．（2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，．∵9.967＞6.635，∴有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．（3）由（2）的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．20．（12分）（2010•宁夏）设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1斜率为1的直线ℓ与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求E的离心率；（2）设点P（0，﹣1）满足|PA|=|PB|，求E的方程．【分析】（I）根据椭圆的定义可知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，进而根据|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数表示出|AB|，进而可知直线l的方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），代入直线和椭圆方程，联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2进而根据，求得a和b的关系，进而求得a和c的关系，离心率可得．（II）设AB的中点为N（x0，y0），根据（1）则可分别表示出x0和y0，根据|PA|=|PB|，推知直线PN的斜率，根据求得c，进而求得a和b，椭圆的方程可得．【解答】解：（I）由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得，l的方程为y=x+c，其中．设A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B两点坐标满足方程组化简的（a2+b2）x2+2a2cx+a2（c2﹣b2）=0则因为直线AB斜率为1，|AB|=|x 1﹣x2|=，得，故a2=2b2所以E的离心率（II）设AB的中点为N（x0，y0），由（I）知，．由|PA|=|PB|，得k PN=﹣1，即得c=3，从而故椭圆E的方程为．21．（12分）（2010•宁夏）设函数f（x）=e x﹣1﹣x﹣ax2．（1）若a=0，求f（x）的单调区间；（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．【分析】（1）先对函数f（x）求导，导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减．（2）根据e x≥1+x可得不等式f′（x）≥x﹣2ax=（1﹣2a）x，从而可知当1﹣2a≥0，即时，f′（x）≥0判断出函数f（x）的单调性，得到答案．【解答】解：（1）a=0时，f（x）=e x﹣1﹣x，f′（x）=e x﹣1．当x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0．故f（x）在（﹣∞，0）单调减少，在（0，+∞）单调增加（II）f′（x）=e x﹣1﹣2ax由（I）知e x≥1+x，当且仅当x=0时等号成立．故f′（x）≥x﹣2ax=（1﹣2a）x，从而当1﹣2a≥0，即时，f′（x）≥0（x≥0），而f（0）=0，于是当x≥0时，f（x）≥0．由e x＞1+x（x≠0）可得e﹣x＞1﹣x（x≠0）．从而当时，f′（x）＜e x﹣1+2a（e﹣x﹣1）=e﹣x（e x﹣1）（e x﹣2a），故当x∈（0，ln2a）时，f'（x）＜0，而f（0）=0，于是当x∈（0，ln2a）时，f（x）＜0．综合得a的取值范围为．22．（10分）（2010•新课标）如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．（Ⅱ）BC2=BE•CD．【分析】（I）先根据题中条件：“”，得∠BCD=∠ABC．再根据EC 是圆的切线，得到∠ACE=∠ABC，从而即可得出结论．（II）欲证BC2=BE x CD．即证．故只须证明△BDC～△ECB即可．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以∠BCD=∠ABC．又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE=∠ABC所以∠ACE=∠BCD．（5分）（Ⅱ）因为∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD，所以△BDC～△ECB，故．即BC2=BE×CD．（10分）23．（10分）（2010•新课标）已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α=时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【分析】（I）先消去参数将曲线C1与C2的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可，（II）设P（x，y），利用中点坐标公式得P点轨迹的参数方程，消去参数即得普通方程，由普通方程即可看出其是什么类型的曲线．【解答】解：（Ⅰ）当α=时，C1的普通方程为，C2的普通方程为x2+y2=1．联立方程组，解得C1与C2的交点为（1，0）．（Ⅱ）C1的普通方程为xsinα﹣ycosα﹣sinα=0①．则OA的方程为xcosα+ysinα=0②，联立①②可得x=sin2α，y=﹣cosαsinα；A点坐标为（sin2α，﹣cosαsinα），故当α变化时，P点轨迹的参数方程为：，P点轨迹的普通方程．故P点轨迹是圆心为，半径为的圆．24．（10分）（2010•新课标）设函数f（x）=|2x﹣4|+1．（Ⅰ）画出函数y=f（x）的图象：（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．【分析】（I）先讨论x的范围，将函数f（x）写成分段函数，然后根据分段函数分段画出函数的图象即可；（II）根据函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知先寻找满足f（x）≤ax的零界情况，从而求出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）由于f（x）=，函数y=f（x）的图象如图所示．（Ⅱ）由函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知，极小值在点（2，1）当且仅当a＜﹣2或a≥时，函数y=f（x）与函数y=ax的图象有交点．故不等式f（x）≤ax的解集非空时，a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪[，+∞）．。
2010年普通高考数学试题(重庆)
2010年普通高考数学试题（重庆）数学 (文史类)数学试题卷（文史类）共4页。
满分150分。
考试时间l20分钟。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中．只有一项是符合题目要求的． （1）4(1)x +的展开式中2x 的系数为（A ）4（B ）6（C ）10（D ）20（2）在等差数列{}n a 中，1910a a +=，则5a 的值为（A ）5（B ）6（C ）8（D ）10（3）若向量(3,)a m =，(2,1)b =-，0a b =，则实数m 的值为（A ）32-（B ）32（C ）2 （D ）6（4）函数y =（A ）[0,)+∞（B ）[0,4]（C ）[0,4)（D ）(0,4)（5）某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（A ）7（B ）15（C ）25（D ）35（6）下列函数中，周期为π，且在[,]42ππ上为减函数的是（A ）sin(2)2y x π=+（B ）cos(2)2y x π=+（C ）sin()2y x π=+（D ）cos()2y x π=+（7）设变量,x y 满足约束条件0,0,220,x x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩则32z x y =-的最大值为（A ）0（B ）2（C ）4（D ）6（8）若直线y x b =-与曲线2cos ,sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（[0,2)θπ∈）有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围为（A ）(2（B ）[2（C ）(,2(2)-∞+∞（D ）(2（9）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点（A ）只有1个（B ）恰有3个（C ）恰有4个（D ）有无穷多个（10）某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天；若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有（A ）30种（B ）36种（C ）42种（D ）48种二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上． （11）设{}{}|10,|0A x x B x x =+>=<，则A B =____________ .（12）已知0t >，则函数241t t y t-+=的最小值为____________ .（13）已知过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，2AF =，则BF =_ _ .（14）加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品 率分别为170、169、168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为____________ .（15）如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ，各段弧所在的圆经过同一点P （点P 不在C 上）且半径相等. 设第i 段弧所对的圆心角为(1,2,3)i i α=，则232311coscossinsin3333αααααα++-=____________ .三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分. ）已知{}n a 是首项为19，公差为-2的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和. （Ⅰ）求通项n a 及n S ；（Ⅱ）设{}n n b a -是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n项和n T .（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分. ）在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起. 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1,2，……，6），求：（Ⅰ）甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率； （Ⅱ）甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率.（18）（本小题满分13分），（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c,且32b +32c -32a(Ⅰ) 求sinA 的值；(Ⅱ)求2sin()sin()441cos 2A B C Aππ+++-的值.(19) (本小题满分12分), (Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问7分.)已知函数32()f x ax x bx =++(其中常数a,b ∈R),()()()g x f x f x '=+是奇函数. (Ⅰ)求()f x 的表达式;(Ⅱ)讨论()g x 的单调性，并求()g x 在区间上的最大值和最小值.（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分. ）如题（20）图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB ==，点E 是棱PB 的中点.（Ⅰ）证明：AE ⊥平面PBC ；（Ⅱ）若1AD =，求二面角B EC D --的平面角的余弦值.（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分. ）已知以原点O 为中心，F 为右焦点的双曲线C 的离心率e =（Ⅰ）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程； （Ⅱ）如题（21）图，已知过点11(,)M x y 的直线1l ：1144x x y y +=与过点22(,)N x y （其中21x x ≠）的直线2l ：2244x x y y +=的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与双曲线的两条渐近线分别交于G 、H 两点，求OG OH的值.参考答案1-10 BADCB ACDDC二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上． （11）解析：{}{}{}|1|0|10x x x x x x >-⋂<=-<<（12）解析：241142(0)t t y t t t t-+==+-≥-> ，当且仅当1t =时，min 2y =-（13）解析：由抛物线的定义可知12AF AA KF === AB x ∴⊥轴 故AF =BF =2（14）解析：加工出来的零件的次品的对立事件为零件是正品，由对立事件公式得加工出来的零件的次品率6968673170696870p =-⨯⨯=（15）解析：232312311cos cos sin sin cos 33333ααααααααα++++-= 又1232αααπ++=，所以1231cos 32ααα++=-三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （16）解：（I ）因为}{n a 是首项为,191=a 公差2-=d 的等差数列，所以,212)1(219+-=--=n n a n2)1(19++=∆n n n S （II ）由题意,31+=-n n n a b 所以,1+=n n b b.21320)331(21-++-=++++=-n n n n n n S T（17）解：考虑甲、乙两个单位的排列，甲、乙两单位可能排列在6个位置中的任两个，有3026=A 种等可能的结果。
2010年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)(答案解析版)
2010年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={x∈R||x|≤2}}，，则A∩B=（ ）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，2}D．{0，1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题．【分析】先化简集合A和B，注意集合B中的元素是整数，再根据两个集合的交集的意义求解．【解答】解：A={x∈R||x|≤2，}={x∈R|﹣2≤x≤2}，故A∩B={0，1，2}．应选D．【点评】本题主要考查集合间的交集运算以及集合的表示方法，涉及绝对值不等式和幂函数等知识，属于基础题．2．（5分）已知复数，是z的共轭复数，则=（ ）A．B．C．1D．2【考点】A5：复数的运算．【分析】因为，所以先求|z|再求的值．【解答】解：由可得．另解：故选：A．【点评】命题意图：本题主要考查复数的运算，涉及复数的共轭复数知识，可以利用复数的一些运算性质可以简化运算．3．（5分）曲线y=在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（ ）A．y=2x+1B．y=2x﹣1C．y=﹣2x﹣3D．y=﹣2x﹣2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】1：常规题型；11：计算题．【分析】欲求在点（﹣1，﹣1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=﹣1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵y=，∴y′=，所以k=y′|x=﹣1=2，得切线的斜率为2，所以k=2；所以曲线y=f（x）在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为：y+1=2×（x+1），即y=2x+1．故选：A．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．4．（5分）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（ ）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【分析】本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点P的位置到到x轴距离来确定答案．【解答】解：通过分析可知当t=0时，点P到x轴距离d为，于是可以排除答案A，D，再根据当时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0，排除答案B，故选：C．【点评】本题主要考查了函数的图象，以及排除法的应用和数形结合的思想，属于基础题．5．（5分）已知命题p1：函数y=2x﹣2﹣x在R为增函数，p2：函数y=2x+2﹣x在R 为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：（￢p1）∨p2和q4：p1∧（￢p2）中，真命题是（ ）A．q1，q3B．q2，q3C．q1，q4D．q2，q4【考点】2E：复合命题及其真假；4Q：指数函数与对数函数的关系．【专题】5L：简易逻辑．【分析】先判断命题p1是真命题，P2是假命题，故p1∨p2为真命题，（﹣p2）为真命题，p1∧（﹣p2）为真命题．【解答】解：易知p1是真命题，而对p2：y′=2x ln2﹣ln2=ln2（），当x∈[0，+∞）时，，又ln2＞0，所以y′≥0，函数单调递增；同理得当x∈（﹣∞，0）时，函数单调递减，故p2是假命题．由此可知，q1真，q2假，q3假，q4真．故选：C．【点评】只有p1与P2都是真命题时，p1∧p2才是真命题．只要p1与p2中至少有一个真命题，p1∨p2就是真命题．6．（5分）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（ ）A．100B．200C．300D．400【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CN：二项分布与n次独立重复试验的模型．【专题】11：计算题；12：应用题．【分析】首先分析题目已知某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，即不发芽率为0.1，故没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B（1000，0.1）．又没发芽的补种2个，故补种的种子数记为X=2ξ，根据二项分布的期望公式即可求出结果．【解答】解：由题意可知播种了1000粒，没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B（1000，0.1）．而每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X故X=2ξ，则EX=2Eξ=2×1000×0.1=200．故选：B．【点评】本题主要考查二项分布的期望以及随机变量的性质，考查解决应用问题的能力．属于基础性题目．7．（5分）如果执行如图的框图，输入N=5，则输出的数等于（ ）A．B．C．D．【考点】EF：程序框图．【专题】28：操作型．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值．∵S==1﹣=故选：D．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．8．（5分）设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（ ）A．{x|x＜﹣2或x＞4}B．{x|x＜0或x＞4}C．{x|x＜0或x＞6}D．{x|x＜﹣2或x＞2}【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】11：计算题．【分析】由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，根据偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，再求解不等式，可得答案．【解答】解：由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，则f（x﹣2）=f（|x﹣2|）=2|x﹣2|﹣4，要使f（|x﹣2|）＞0，只需2|x﹣2|﹣4＞0，|x﹣2|＞2解得x＞4，或x＜0．应选：B．【点评】本题主要考查偶函数性质、不等式的解法以及相应的运算能力，解答本题的关键是利用偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，从而简化计算．9．（5分）若，α是第三象限的角，则=（ ）A．B．C．2D．﹣2【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值；GW：半角的三角函数．【专题】11：计算题．【分析】将欲求式中的正切化成正余弦，还要注意条件中的角α与待求式中角的差别，注意消除它们之间的不同．【解答】解：由，α是第三象限的角，∴可得，则，应选A．【点评】本题主要考查三角恒等变换中的倍角公式的灵活运用、同角的三角函数关系等知识以及相应的运算能力．10．（5分）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A．πa2B．C．D．5πa2【考点】LR：球内接多面体．【专题】11：计算题．【分析】由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，则其外接球的半径为，球的表面积为，故选：B．【点评】本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力．11．（5分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（ ）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）【考点】3A：函数的图象与图象的变换；3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；4H：对数的运算性质；4N：对数函数的图象与性质．【专题】13：作图题；16：压轴题；31：数形结合．【分析】画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc 的范围即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则ab=1，则abc=c∈（10，12）．故选：C．【点评】本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力．12．（5分）已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（ ）A．B．C．D．【考点】KB：双曲线的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】已知条件易得直线l的斜率为1，设双曲线方程，及A，B点坐标代入方程联立相减得x1+x2=﹣24，根据=，可求得a和b的关系，再根据c=3，求得a和b，进而可得答案．【解答】解：由已知条件易得直线l的斜率为k=k PN=1，设双曲线方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），则有，两式相减并结合x1+x2=﹣24，y1+y2=﹣30得=，从而k==1即4b2=5a2，又a2+b2=9，解得a2=4，b2=5，故选：B．【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设y=f（x）为区间[0，1]上的连续函数，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组N个）区间[0，1]上的均匀随机数x1，x2，…x N和y1，y2，…y N，由此得到N个点（x i，y i）（i=1，2，…，N），再数出其中满足y i≤f（x i）（i=1，2，…，N）的点数N1，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为 ．【考点】69：定积分的应用；CE：模拟方法估计概率；CF：几何概型．【专题】11：计算题．【分析】要求∫f（x）dx的近似值，利用几何概型求概率，结合点数比即可得．【解答】解：由题意可知得，故积分的近似值为．故答案为：．【点评】本题考查几何概型模拟估计定积分值，以及定积分在面积中的简单应用，属于基础题．14．（5分）正视图为一个三角形的几何体可以是 三棱锥、三棱柱、圆锥（其他正确答案同样给分） （写出三种）【考点】L7：简单空间图形的三视图．【专题】21：阅读型．【分析】三棱锥一个侧面的在正视图为一条线段的情形；圆锥；四棱锥有两个侧面在正视图为线段的情形，即可回答本题．【解答】解：正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱（放倒的情形）、圆锥、四棱锥等等．故答案为：三棱锥、圆锥、三棱柱．【点评】本题主要考查三视图以及常见的空间几何体的三视图，考查空间想象能力．15．（5分）过点A（4，1）的圆C与直线x﹣y=1相切于点B（2，1），则圆C 的方程为 （x﹣3）2+y2=2 ．【考点】J1：圆的标准方程；J9：直线与圆的位置关系．【专题】16：压轴题．【分析】设圆的标准方程，再用过点A（4，1），过B，两点坐标适合方程，圆和直线相切，圆心到直线的距离等于半径，求得圆的方程．【解答】解：设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，则（4﹣a）2+（1﹣b）2=r2，（2﹣a）2+（1﹣b）2=r2，=﹣1，解得a=3，b=0，r=，故所求圆的方程为（x﹣3）2+y2=2．故答案为：（x﹣3）2+y2=2．【点评】命题意图：本题主要考查利用题意条件求解圆的方程，通常借助待定系数法求解．16．（5分）在△ABC中，D为边BC上一点，BD=DC，∠ADB=120°，AD=2，若△ADC的面积为，则∠BAC= 60° ．【考点】HR：余弦定理．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先根据三角形的面积公式利用△ADC的面积求得DC，进而根据三角形ABC的面积求得BD和BC，进而根据余弦定理求得AB．最后在三角形ABC中利用余弦定理求得cos∠BAC，求得∠BAC的值．【解答】解：由△ADC的面积为可得解得，则．AB2=AD2+BD2﹣2AD•BD•cos120°=，，则=．故∠BAC=60°．【点评】本题主要考查解三角形中的边角关系及其面积等基础知识与技能，分析问题解决问题的能力以及相应的运算能力．三、解答题（共8小题，满分90分）17．（12分）设数列满足a1=2，a n+1﹣a n=3•22n﹣1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=na n，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】11：计算题．【分析】（Ⅰ）由题意得a n+1=[（a n+1﹣a n）+（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）]+a1=3（22n﹣1+22n﹣3+…+2）+2=22（n+1）﹣1．由此可知数列{a n}的通项公式为a n=22n﹣1．（Ⅱ）由b n=na n=n•22n﹣1知S n=1•2+2•23+3•25++n•22n﹣1，由此入手可知答案．【解答】解：（Ⅰ）由已知，当n≥1时，a n+1=[（a n+1﹣a n）+（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）]+a1=3（22n﹣1+22n﹣3+…+2）+2=3×+2=22（n+1）﹣1．而a1=2，所以数列{a n}的通项公式为a n=22n﹣1．（Ⅱ）由b n=na n=n•22n﹣1知S n=1•2+2•23+3•25+…+n•22n﹣1①从而22S n=1•23+2•25+…+n•22n+1②①﹣②得（1﹣22）•S n=2+23+25+…+22n﹣1﹣n•22n+1．即．【点评】本题主要考查数列累加法（叠加法）求数列通项、错位相减法求数列和等知识以及相应运算能力．18．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD ，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点（Ⅰ）证明：PE⊥BC（Ⅱ）若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．【考点】MA：向量的数量积判断向量的共线与垂直；MI：直线与平面所成的角．【专题】11：计算题；13：作图题；14：证明题；35：转化思想．【分析】以H为原点，HA，HB，HP分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系．（1）表示，，计算，就证明PE⊥BC．（2）∠APB=∠ADB=60°，求出C，P的坐标，再求平面PEH的法向量，求向量，然后求与面PEH的法向量的数量积，可求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．【解答】解：以H为原点，HA，HB，HP分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则A（1，0，0），B（0，1，0）（Ⅰ）设C（m，0，0），P（0，0，n）（m＜0，n＞0）则．可得．因为所以PE⊥BC．（Ⅱ）由已知条件可得m=，n=1，故C（﹣），设=（x，y，z）为平面PEH的法向量则即因此可以取，由，可得所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为．【点评】本题主要考查空间几何体中的位置关系、线面所成的角等知识，考查空间想象能力以及利用向量法研究空间的位置关系以及线面角问题的能力． 19．（12分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：性别是否需要志愿者男女需要 40 30 不需要160270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由． P （K 2≥k ）0.050 0.010 0.0013.8416.63510.828附：K 2=．【考点】BL ：独立性检验．【专题】11：计算题；5I ：概率与统计．【分析】（1）由样本的频率率估计总体的概率， （2）求K 2的观测值查表，下结论；（3）由99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，则可按性别分层抽样．【解答】解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此在该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为（2）K2的观测值因为9.967＞6.635，且P（K2≥6.635）=0.01，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．（3）根据（2）的结论可知，该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，并且从样本数据能够看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男女两层，并采取分层抽样方法比简单随机抽样方法更好．【点评】本题考查了抽样的目的，独立性检验的方法及抽样的方法选取，属于基础题．20．（12分）设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1斜率为1的直线ℓ与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求E的离心率；（2）设点P（0，﹣1）满足|PA|=|PB|，求E的方程．【考点】83：等差数列的性质；K3：椭圆的标准方程；K4：椭圆的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题．【分析】（I）根据椭圆的定义可知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，进而根据|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数表示出|AB|，进而可知直线l的方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），代入直线和椭圆方程，联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2进而根据，求得a和b的关系，进而求得a和c的关系，离心率可得．（II）设AB的中点为N（x0，y0），根据（1）则可分别表示出x0和y0，根据|PA|=|PB|，推知直线PN的斜率，根据求得c，进而求得a和b，椭圆的方程可得．【解答】解：（I）由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得，l的方程为y=x+c，其中．设A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B两点坐标满足方程组化简的（a2+b2）x2+2a2cx+a2（c2﹣b2）=0则因为直线AB斜率为1，|AB|=|x1﹣x2|=，得，故a2=2b2所以E的离心率（II）设AB的中点为N（x0，y0），由（I）知，．由|PA|=|PB|，得k PN=﹣1，即得c=3，从而故椭圆E的方程为．【点评】本题主要考查圆锥曲线中的椭圆性质以及直线与椭圆的位置关系，涉及等差数列知识，考查利用方程思想解决几何问题的能力及运算能力21．（12分）设函数f（x）=e x﹣1﹣x﹣ax2．（1）若a=0，求f（x）的单调区间；（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】32：分类讨论．【分析】（1）先对函数f（x）求导，导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减．（2）根据e x≥1+x可得不等式f′（x）≥x﹣2ax=（1﹣2a）x，从而可知当1﹣2a≥0，即时，f′（x）≥0判断出函数f（x）的单调性，得到答案．【解答】解：（1）a=0时，f（x）=e x﹣1﹣x，f′（x）=e x﹣1．当x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0．故f（x）在（﹣∞，0）单调减少，在（0，+∞）单调增加（II）f′（x）=e x﹣1﹣2ax由（I）知e x≥1+x，当且仅当x=0时等号成立．故f′（x）≥x﹣2ax=（1﹣2a）x，从而当1﹣2a≥0，即时，f′（x）≥0（x≥0），而f（0）=0，于是当x≥0时，f（x）≥0．由e x＞1+x（x≠0）可得e﹣x＞1﹣x（x≠0）．从而当时，f′（x）＜e x﹣1+2a（e﹣x﹣1）=e﹣x（e x﹣1）（e x﹣2a），故当x∈（0，ln2a）时，f'（x）＜0，而f（0）=0，于是当x∈（0，ln2a）时，f（x）＜0．综合得a的取值范围为．【点评】本题主要考查利用导数研究函数性质、不等式恒成立问题以及参数取值范围问题，考查分类讨论、转化与划归解题思想及其相应的运算能力．22．（10分）如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．（Ⅱ）BC2=BE•CD．【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明；NB：弦切角．【专题】14：证明题．【分析】（I）先根据题中条件：“”，得∠BCD=∠ABC．再根据EC是圆的切线，得到∠ACE=∠ABC，从而即可得出结论．（II）欲证BC2=BE x CD．即证．故只须证明△BDC～△ECB即可．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以∠BCD=∠ABC．又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE=∠ABC所以∠ACE=∠BCD．（5分）（Ⅱ）因为∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD，所以△BDC～△ECB，故．即BC2=BE×CD．（10分）【点评】本题主要考查圆的切线的判定定理的证明、弦切角的应用、三角形相似等基础知识，考查运化归与转化思想．属于基础题．23．（10分）已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α=时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【考点】J3：轨迹方程；JE：直线和圆的方程的应用；Q4：简单曲线的极坐标方程；QJ：直线的参数方程；QK：圆的参数方程．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（I）先消去参数将曲线C1与C2的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可，（II）设P（x，y），利用中点坐标公式得P点轨迹的参数方程，消去参数即得普通方程，由普通方程即可看出其是什么类型的曲线．【解答】解：（Ⅰ）当α=时，C1的普通方程为，C2的普通方程为x2+y2=1．联立方程组，解得C1与C2的交点为（1，0）．（Ⅱ）C1的普通方程为xsinα﹣ycosα﹣sinα=0①．则OA的方程为xcosα+ysinα=0②，联立①②可得x=sin2α，y=﹣cosαsinα；A点坐标为（sin2α，﹣cosαsinα），故当α变化时，P点轨迹的参数方程为：，P点轨迹的普通方程．故P点轨迹是圆心为，半径为的圆．【点评】本题主要考查直线与圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，利用参数方程研究轨迹问题的能力．24．（10分）设函数f（x）=|2x﹣4|+1．（Ⅰ）画出函数y=f（x）的图象：（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．【考点】3A：函数的图象与图象的变换；7E：其他不等式的解法；R5：绝对值不等式的解法．【专题】11：计算题；13：作图题；16：压轴题．【分析】（I）先讨论x的范围，将函数f（x）写成分段函数，然后根据分段函数分段画出函数的图象即可；（II）根据函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知先寻找满足f（x）≤ax的零界情况，从而求出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）由于f（x）=，函数y=f（x）的图象如图所示．（Ⅱ）由函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知，极小值在点（2，1）当且仅当a＜﹣2或a≥时，函数y=f（x）与函数y=ax的图象有交点．故不等式f（x）≤ax的解集非空时，a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪[，+∞）．【点评】本题主要考查了函数的图象，以及利用函数图象解不等式，同时考查了数形结合的数学思想，属于基础题．。
2010年高考理科数学试题及答案(全国一卷)含答案
第1/10页2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（含答案）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷1至2页。
第II 卷3至4页。
考试结束后，将本草纲目试卷和答题卡一并交回。
第I 卷注意事项： 1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无交通工效．．．．．．．．．．．．。
3.第I 卷共12小题，第小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式)(()()P A BP A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 )(()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 343v R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生K 次的概率 其中R 表示球的半径 ())((10,1,2,,C ηκηηρκρρκη-AA=-=⋅⋅⋅一． 选择题（1）复数3223ii+-=（A ）．i （B ）.-i （C ）.12—13i （D ）.12+13i （2） 记cos （-80°）=k ，那么tan100°=（A ）（B ）. —（C.）（D ）.第2/10页（3）若变量x ，y 满足约束条件则z=x —2y 的最大值为（A ）．4 （B ）3 （C ）2 （D ）1(4) 已知各项均为正数比数列{a n }中，a 1a 2a 3=5，a 7a 8a 9=10，则a 4a 5a 6=(B) 7(C) 6(5)35的展开式中x 的系数是(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4(6) 某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门。
2010年重庆市高考数学试卷(理科)答案与解析
2010年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2010•重庆）在等比数列{a n}中，a2010=8a2007，则公比q的值为（）A．2 B．3 C．4 D．8【考点】等比数列的性质．【专题】计算题．【分析】利用等比数列的通项公式，分别表示出a2010和a2007，两式相除即可求得q3，进而求得q．【解答】解：∴q=2故选A【点评】本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．2．（5分）（2010•重庆）已知向量，满足•=0，||=1，||=2，则|2﹣|=（）A．0 B． C．4 D．8【考点】向量的模．【专题】计算题．【分析】利用题中条件，把所求|2|平方再开方即可【解答】解：∵=0，||=1，||=2，∴|2|====2故选B．【点评】本题考查向量模的求法，考查计算能力，是基础题．3．（5分）（2010•重庆）=（）A．﹣1 B．﹣C．D．1【考点】极限及其运算．【专题】计算题．【分析】先进行通分，然后消除零因子，可以把简化为，由此可得答案．【解答】解：===﹣，故选B．【点评】本题考查函数的极限，解题时要注意消除零因子．4．（5分）（2010•重庆）设变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．﹣2 B．4 C．6 D．8【考点】简单线性规划的应用．【专题】计算题．【分析】先根据约束条件画出可行域，利用几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过点B时，z最大值即可．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示，设z=2x+y，∵直线z=2x+y过可行域内B（3，0）的时候z最大，最大值为6，故选C．【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．5．（5分）（2010•重庆）函数的图象（）A．关于原点对称 B．关于直线y=x对称C．关于x轴对称 D．关于y轴对称【考点】奇偶函数图象的对称性．【专题】计算题．【分析】题设条件用意不明显，本题解题方法应从选项中突破，由于四个选项中有两个选项是与奇偶性有关的，故先验证奇偶性较好，【解答】解：，∴f（x）是偶函数，图象关于y轴对称故选D．【点评】考查函数的对称性，宜从奇偶性入手研究．6．（5分）（2010•重庆）已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则（）A．ω=1，φ= B．ω=1，φ=﹣C．ω=2，φ= D．ω=2，φ=﹣【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；综合题．【分析】通过图象求出函数的周期，再求出ω，由（，1）确定φ，推出选项．【解答】解：由图象可知：T==π，∴ω=2；（，1）在图象上，所以2×+φ=，φ=﹣．故选D．【点评】本题考查y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查视图能力，逻辑推理能力．7．（5分）（2010•重庆）已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（）A．3 B．4 C．D．【考点】基本不等式．【专题】计算题．【分析】首先分析题目由已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用代入已知条件，化简为函数求最值．【解答】解：考察基本不等式，整理得（x+2y）2+4（x+2y）﹣32≥0即（x+2y﹣4）（x+2y+8）≥0，又x+2y＞0，所以x+2y≥4故选B．【点评】此题主要考查基本不等式的用法，对于不等式在求最大值最小值的问题中应用非常广泛，需要同学们多加注意．8．（5分）（2010•重庆）直线y=与圆心为D的圆（θ∈[0，2π））交与A、B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为（）A． B． C． D．【考点】圆的参数方程；直线的倾斜角；直线和圆的方程的应用．【专题】计算题．【分析】根据题目条件画出圆的图象与直线的图象，再利用圆的性质建立两个倾斜角的等量关系，化简整理即可求出．【解答】解：数形结合，∠1=α﹣30°，∠2=30°+π﹣β，由圆的性质可知∠1=∠2，∴α﹣30°=30°+π﹣β，故α+β=，故选C．【点评】本题主要考查了圆的参数方程，以及直线的倾斜角和直线和圆的方程的应用，属于基础题．9．（5分）（2010•重庆）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有（）A．504种B．960种C．1008种D．1108种【考点】排列及排列数公式；排列、组合的实际应用．【专题】压轴题．【分析】本题的要求比较多，有三个限制条件，甲、乙排在相邻两天可以把甲和乙看做一个元素，注意两者之间有一个排列，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则可以甲乙排1、2号或6、7号，或是甲乙排中间，丙排7号或不排7号，根据分类原理得到结果．【解答】解：分两类：第一类：甲乙相邻排1、2号或6、7号，这时先排甲和乙，有2×种，然后排丁，有种，剩下其他四个人全排列有种，因此共有2×A22A41A44=384种方法第二类：甲乙相邻排中间，若丙排7号，先排甲和乙，因为相邻且在中间，则有4×种，然后丙在7号，剩下四个人全排列有种，若丙不排7号，先排甲和乙，因为相邻且在中间，则有4×种，然后排丙，丙不再1号和7号，有种，接着排丁，丁不排在10月7日，有种，剩下3个人全排列，有种，因此共有（4A22A44+4A22A31A31A33）=624种方法，故共有1008种不同的排法故选C．【点评】本题主要考查分类计数原理，分类要做到“不重不漏”．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．本题限制条件比较多，容易出错，解题时要注意．10．（5分）（2010•重庆）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（）A．直线 B．椭圆 C．抛物线D．双曲线【考点】抛物线的定义；双曲线的标准方程．【专题】计算题；压轴题；分类讨论．【分析】先做出两条异面直线的公垂线，以其中一条直线为x轴，公垂线与x轴交点为原点，公垂线所在直线为z轴，过x且垂直于公垂线的平面为xoy平面，建立空间直角坐标系，则两条异面直线的方程可得，设空间内任意点设它的坐标是（x，y，z）根据它到两条异面直线的距离相等，求得z的表达式，把z=0和z=a代入即可求得x和y的关系，根据其方程判断轨迹．【解答】解：先做出两条异面直线的公垂线，以其中一条直线为x轴，公垂线与x轴交点为原点，公垂线所在直线为z轴，过x且垂直于公垂线的平面为xoy平面，建立空间直角坐标系，则两条异面直线的方程就分别是y=0，z=0 和x=0，z=a（a是两异面直线公垂线长度，是个常数）空间内任意点设它的坐标是（x，y，z）那么由已知，它到两条异面直线的距离相等，即=两边平方，化简可得z=（y2﹣x2+a2）过一条直线且平行于另一条直线的平面是z=0和z=a分别代入所得式子z=0时代入可以得到y2﹣x2=﹣a2，图形是个双曲线z=a时代入可以得到y2﹣x2=a2，图形也是个双曲线故选D【点评】本题主要考查了双曲线的方程．考查了学生分析归纳和推理的能力．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2010•重庆）已知复数z=1+i，则= ﹣2i ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】把复数z=1+I代入要求的式子，应用复数相除的法则化简得到结果．【解答】解：=，故答案为﹣2i．【点评】本题考查复数代数形式的运算法则．12．（5分）（2010•重庆）设U={0，1，2，3}，A={x∈U|x2+mx=0}，若∁U A={1，2}，则实数m= ﹣3 ．【考点】补集及其运算．【专题】计算题．【分析】由题意分析，得到A={0，3}，后由根与系数直接间的关系求出m的值【解答】解；∵U={0，1，2，3}、∁U A={1，2}，∴A={0，3}，∴0、3是方程x2+mx=0的两个根，∴0+3=﹣m，∴m=﹣3，故答案为：﹣3．【点评】本题考查集合的运算即补集的运算及根与系数之间的关系，关键是由题意得出集合A．13．（5分）（2010•重庆）某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为．【考点】互斥事件的概率加法公式．【分析】在两次罚球中至多命中一次的对立事件是两次都命中，设出命中的概率P，由对立事件的概率公式列出方程，求出命中一次的概率．【解答】解：设罚球的命中的概率为P，由两次罚球中至多命中一次的概率为，得∴，故答案为：．【点评】对立事件公式的应用经常在概率计算中出现，从正面做包含的事件较多，可以从反面来解决，注意区分互斥事件和对立事件之间的关系．14．（5分）（2010•重庆）已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足=3，则弦AB的中点到准线的距离为．【考点】抛物线的简单性质；点到直线的距离公式；抛物线的定义．【专题】计算题；压轴题．【分析】设BF=m，由抛物线的定义知AA1和BB1，进而可推断出AC和AB，及直线AB的斜率，则直线AB 的方程可得，与抛物线方程联立消去y，进而跟韦达定理求得x1+x2的值，则根据抛物线的定义求得弦AB的中点到准线的距离．【解答】解：设BF=m，由抛物线的定义知AA1=3m，BB1=m∴△ABC中，AC=2m，AB=4m，直线AB方程为与抛物线方程联立消y得3x2﹣10x+3=0所以AB中点到准线距离为故答案为【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了直线与抛物线的关系及焦点弦的问题．常需要利用抛物线的定义来解决．15．（5分）（2010•重庆）已知函数f（x）满足：，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x﹣y）（x，y∈R），则f（2010）= ．【考点】抽象函数及其应用；函数的周期性．【专题】计算题；压轴题．【分析】由于题目问的是f（2010），项数较大，故马上判断函数势必是周期函数，所以集中精力找周期即可；周期的寻找方法可以是不完全归纳推理出，也可以是演绎推理得出．【解答】解：取x=1，y=0得法一：根据已知知取x=1，y=1得f（2）=﹣取x=2，y=1得f（3）=﹣取x=2，y=2得f（4）=﹣取x=3，y=2得f（5）=取x=3，y=3得f（6）=猜想得周期为6法二：取x=1，y=0得取x=n，y=1，有f（n）=f（n+1）+f（n﹣1），同理f（n+1）=f（n+2）+f（n）联立得f（n+2）=﹣f（n﹣1）所以f（n）=﹣f（n+3）=f（n+6）所以函数是周期函数，周期T=6，故f（2010）=f（0）=故答案为：．【点评】准确找出周期是此类问题（项数很大）的关键，分别可以用归纳法和演绎法得出周期，解题时根据自己熟悉的方法得出即可．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（13分）（2010•重庆）设函数f（x）=cos（x+π）+2cos2，x∈R．（1）求f（x）的值域；（2）记△ABC内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，若f（B）=1，b=1，c=，求a的值．【考点】正弦函数的定义域和值域；正弦定理；余弦定理．【专题】计算题．【分析】（I）将f（x）=cos（x+π）+2化简，变形后可以用三角函数的有界性求值域．（II）由f（B）=1 求出∠B，利用余弦定理建立关于a的方程求出a．【解答】解：（I）f（x）=cos（x+π）+2=cosxcosπ﹣sinxsinπ+cosx+1=﹣cosx﹣sinx+cosx+1=cosx﹣sinx+1=sin（x+）+1因此函数f（x）的值域为[0，2]（II）由f（B）=1 得sin（B+）+1=1，即sin（B+）=0，即B+=0或π，B=或﹣又B是三角形的内角，所以B=由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB即1=a2+3﹣3a，整理a2﹣3a+2=0解得a=1或a=2答：（I）函数f（x）的值域为[0，2]（II）a=1或a=2【点评】考查利用三角函数的有界性求值域与利用余弦定理解三角形，属基本题型，用来训练答题者熟练三角恒等变形公式与余弦定理．17．（13分）（2010•重庆）在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起．若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，…，6），求：（Ⅰ）甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率；（Ⅱ）甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率．【考点】等可能事件的概率；排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题．【分析】（1）考虑甲和乙两个单位的排列，甲、乙两个单位可能排列在6个位置中的任两个，有A62=30种等可能的结果，满足条件的事件是甲和乙的演出序号都是偶数，根据等可能事件的概率公式得到结果．（2）考虑甲和乙两个单位的排列，甲、乙两个单位可能排列在6个位置中的任两个，有A62=30种等可能的结果，甲和乙两个单位的演出序号不相邻，的对立事件是甲和乙两个单位的演出序号相邻，根据对立事件的概率公式得到结果．【解答】解：（1）考虑甲和乙两个单位的排列，甲、乙两个单位可能排列在6个位置中的任两个，有A62=30种等可能的结果，设A表示甲和乙的演出序号都是偶数，共有A32=6种结果，∴所求的概率P（A）==（2）考虑甲和乙两个单位的排列，甲、乙两个单位可能排列在6个位置中的任两个，有A62=30种等可能的结果，设B表示甲和乙两个单位的演出序号不相邻，则表示甲和乙两个单位的演出序号相邻，共有5A22=10种结果∴P（B）=1﹣P（）=1﹣=．【点评】本题主要考查古典概型和对立事件，正难则反是解题时要时刻注意的，我们尽量用简单的方法来解题，这样可以避免一些繁琐的运算，使得题目看起来更加容易．18．（13分）（2010•重庆）已知函数，其中实数a≠1．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）若f（x）在x=1处取得极值，试讨论f（x）的单调性．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义．【分析】首先求出函数的导数及在点f（0）处的值，然后求出在该点的切线方程，第二问根据函数的导数与极值的关系求出a的值，然后根据函数的导数与单调性的关系讨论函数的单调性．【解答】解：（1）=，当a=2时，f′（0）=，而f（0）=﹣，所以曲线在点（0，f（0））处的切线方程为：y﹣（﹣）=（x﹣0），即7x﹣4y﹣2=0．（2）因为a≠1，由（1）可知=；又因为f（x）在x=1处取得极值，所以，解得a=﹣3；此时，定义域（﹣1，3）∪（3，+∞）；=，由f′（x）=0得x1=1，x2=7，当﹣1＜x＜1或x＞7时f′（x）＞0；当1＜x＜7且x≠3时f′（x）＜0；由上讨论可知f（x）在（﹣1，1]，[7，+∞）时是增函数，在[1，3），（3，7]上是减函数．【点评】掌握函数的导数与极值和单调性的关系．19．（12分）（2010•重庆）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=，点E是棱PB的中点．（1）求直线AD与平面PBC的距离；（2）若AD=，求二面角A﹣EC﹣D的平面角的余弦值．【考点】点、线、面间的距离计算；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】计算题；综合题；空间角．【分析】（1）先根据AD∥BC，推断出AD∥平面PBC，进而可知直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC 的距离，根据PA⊥底面ABCD，判断出PA⊥AB，知△PAB为等腰直角三角形，又点E是棱PB的中点，进而可知AE⊥PB，又在矩形ABCD中，BC⊥AB，而AB是PB的底面ABCD内的射影，由三垂线定理得BC⊥PB，从而BC⊥平面PAB，故BC⊥AE，从而AE⊥平面PBC，进而可推断出AE之长即为直线AD与平面PBC的距离．Rt△PAB中，根据PA和AB求得AE．（2）过点D作DF⊥CE，过点F做FG⊥CE，交AC于G，则∠DFG为所求的二面角的平面角．由（1）知BC⊥平面PAB，又AD∥BC，得AD⊥平面PAB，故AD⊥AE，从而求得DE在Rt△CBE中，利用勾股定理求得CE，进而可知CE=CD推断出△CDE为等边三角形，求得DF，因为AE⊥平面PBC，故AE⊥CE，又FG⊥CE，知FG 平行且等于AE的一半，从而求得FG，且G点为AC的中点，连接DG，则在Rt△ADC中，求得DG，最后利用余弦定理求得答案．【解答】解：（1）在矩形ABCD中，AD∥BC，从而AD∥平面PBC，故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离，因PA⊥底面ABCD，故PA⊥AB，知△PAB为等腰直角三角形，又点E是棱PB的中点，故AE⊥PB，又在矩形ABCD中，BC⊥AB，而AB是PB的底面ABCD内的射影，由三垂线定理得BC⊥PB，从而BC⊥平面PAB，故BC⊥AE，从而AE⊥平面PBC，故AE之长即为直线AD与平面PBC的距离，在Rt△PAB中，PA=AB=，所以AE=PB==（2）过点D作DF⊥CE于F，过点F做FG⊥CE，交AC于G，则∠DFG为所求的二面角的平面角．由（1）知BC⊥平面PAB，又AD∥BC，得AD⊥平面PAB，故AD⊥AE，从而DE==在Rt△CBE中，CE==，由CD=，所以△CDE为等边三角形，故F为CE的中点，且DF=CD•s in=因为AE⊥平面PBC，故AE⊥CE，又FG⊥CE，知FG∥AE．且FG=AE，从而FG=，且G点为AC的中点，连接DG，则在Rt△ADC中，DG==，所以cos∠DFG==【点评】本题主要考查了点，线，面的距离计算．在求两面角问题时关键是找到两个面的平面角．20．（12分）（2010•重庆）已知以原点O为中心，为右焦点的双曲线C的离心率．（1）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；（2）如图，已知过点M（x1，y1）的直线l1：x1x+4y1y=4与过点N（x2，y2）（其中x2≠x1）的直线l2：x2x+4y2y=4的交点E在双曲线C上，直线MN与两条渐近线分别交与G、H两点，求△OGH的面积．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）设C的标准方程为（a＞0，b＞0），由题意知a=2，b=1，由此可求出C的标准方程和渐近线方程．（2）由题意知，点E（x E，y E）在直线l1：x1x+4y1y=4和l2：x2x+4y2y=4上，因此直线MN的方程为x E x+4y E y=4．设G，H分别是直线MN与渐近线x﹣2y=0及x+2y=0的交点，则，设MN 与x轴的交战为Q，则，由此可求△OGH的面积．【解答】解：（1）设C的标准方程为（a＞0，b＞0），则由题意知，，∴a=2，b=1，∴C的标准方程为．∴C的渐近线方程为，即x﹣2y=0和x+2y=0．（2）由题意知，点E（x E，y E）在直线l1：x1x+4y1y=4和l2：x2x+4y2y=4上，因此有x E x+4y E y=4上，因此直线MN的方程为x E x+4y E y=4．设G，H分别是直线MN与渐近线x﹣2y=0及x+2y=0的交点，由方程组及，解得，设MN与x轴的交点为Q，则在直线x E x+4y E y=4k，令y=0得，∵x E2﹣4y E2=4，∴==．【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，难度较大，解题时要认真审题，注意挖掘隐含条件，仔细解答．21．（12分）（2010•重庆）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=ca n+c n+1（2n+1）（n∈N*），其中实数c≠0．（1）求{a n}的通项公式；（2）若对一切k∈N*有a2k＞a zk﹣1，求c的取值范围．【考点】数列递推式；数学归纳法．【专题】计算题；压轴题；探究型；归纳法．【分析】（1）根据a1，a2和a3猜测a n=（n2﹣1）c n+c n﹣1，进而用数学归纳法证明．（2）把（1）中求得的a n代入a2k＞a zk﹣1，整理得（4k2﹣1）c2﹣（4k2﹣4k﹣1）c﹣1＞0，分别表示c k和又c k'，根据c k＜＜1求得c≥1，再根据c k'＜0，判断出单调递增知c k'≥c1'求得＜﹣，最后综合答案可得．【解答】解：（1）由a1=1，a2=ca1+c23=（22﹣1）c2+ca3=ca2+c3•5=（32﹣1）c3+c2，猜测a n=（n2﹣1）c n+c n﹣1，下面用数学归纳法证明，当n=1是，等式成立假设当n=k，等式成立即a k=（k2﹣1）c k+c k﹣1，则当n=k+1时a k+1=ca k+c k+1（2k+1）=（k2+2k）c k+1+c k=[（k+1）2﹣1]c k+1+c k，综上a n=（n2﹣1）c n+c n﹣1，对任意n∈N都成立．（2）由a2k＞a zk﹣1得[（2k）2﹣1]c2k+c2k﹣1＞[（2k﹣1）2﹣1]c2k﹣1+c2k﹣2，因c2k﹣2＞0，所以（4k2﹣1）c2﹣（4k2﹣4k﹣1）c﹣1＞0解此不等式得c＞c k，或c＜c k'，其中c k=c k'=易知c k=1又由＜=4k2+1，知c k＜＜1因此由c＞c k对一切k∈N成立得c≥1又c k'=＜0，可知单调递增，故c k'≥c1'对一切k∈N*成立，因此由c＜c k'对一切k∈N*成立得c＜﹣从而c的取值范围是（﹣∞，﹣）∪[1，+∞]【点评】本题主要考查了数列的递推式．考查了学生综合运用所学知识和实际的运算能力．。
2010年高考新课标全国卷理科数学试题(附答案)
2010年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷)理科数学试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合{||2}A x R x =∈≤},{|4}B x Z x =∈≤,则A B ⋂=(A)(0,2) (B)[0,2] (C){0,2] (D){0,1,2} (2)已知复数23(13)iz i +=-，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅= (A)14 (B)12(C) 1 (D)2 (3)曲线2xy x =+在点(1,1)--处的切线方程为(A)21y x =+ (B)21y x =- (C) 23y x =-- (D)22y x =-- (4)如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为0(2,2)P -，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为tdπ42OA B C D(5)已知命题1p ：函数22x x y -=-在R 为增函数， 2p ：函数22x x y -=+在R 为减函数，则在命题1q ：12p p ∨，2q ：12p p ∧，3q ：()12p p ⌝∨和4q ：()12p p ∧⌝中，真命题是（A ）1q ，3q （B ）2q ，3q （C ）1q ，4q （D ）2q ，4q(6)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为 (A)100 （B ）200 (C)300 （D ）400(7)如果执行右面的框图，输入5N =，则输出的数等于(A)54 （B ）45(C)65 （D ）56(8)设偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥， 则{|(2)0}x f x ->=(A) {|24}x x x <->或 (B) {|04}x x x <>或 (C) {|06}x x x <>或 (D) {|22}x x x <->或(9)若4cos 5α=-，α是第三象限的角，则1tan21tan 2αα+=- (A) 12- (B) 12(C) 2 (D) 2-(10)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 (A) 2a π(B)273a π (C)2113a π (D) 25a π (11)已知函数|lg |,010,()16,10.2x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若,,a b c 互不相等，且()()(),f a f b f c ==则abc的取值范围是(A) (1,10) (B) (5,6)(C) (10,12)(D) (20,24)(12)已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为(A)22136x y -= (B) 22145x y -= (C) 22163x y -= (D) 22154x y -=第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答。
2010年高考全国数学卷(全国Ⅱ.理)(含详解答案)
2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷II ）数学(理科）【教师简评】按照“保持整体稳定，推动改革创新，立足基础考查，突出能力立意”命题指导思想，本套试卷的总体印象是:题目以常规题为主，难度较前两年困难，得高分需要扎扎实实的数学功底.1.纵观试题，小题起步较低，难度缓缓上升，除了选择题11、12、16题有一定的难度之外，其他题目难度都比较平和.2.解答题中三角函数题较去年容易，立体几何难度和去年持平，数列题的难度较去年有所提升，由去年常见的递推数列题型转变为今年的数列求极限、数列不等式的证明，不易拿满分，概率题由去年背景是“人员调配”问题，转变为今年的与物理相关的电路问题，更体现了学科之间的联系.两道压轴题以解析几何和导数知识命制，和去年比较更有利于分步得分.3.要求考生有比较强的计算能力，例如立体几何问题，题目不难，但需要一定的计算技巧和能力.不管题目难度如何变化，“夯实双基(基础知识、基本方法)”，对大多数考生来说，是以不变应万变的硬道理.（1）复数231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭（A ）34i -- （B ）34i -+ （C ）34i - （D ）34i + 【答案】A【命题意图】本试题主要考查复数的运算.【解析】231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭22(3)(1)(12)342i i i i --⎡⎤=-=--⎢⎥⎣⎦. （2）.函数1ln(1)(1)2x y x +-=>的反函数是（A ） 211(0)x y e x +=-> （B ）211(0)x y e x +=+> （C ）211(R)x y e x +=-∈ （D ）211(R)x y e x +=+∈【答案】D【命题意图】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。
【解析】由原函数解得，即，又；∴在反函数中，故选D.（3）.若变量,x y 满足约束条件1,,325x y x x y -⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤，则2z x y =+的最大值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】C【命题意图】本试题主要考查简单的线性规划问题.【解析】可行域是由A(1,1),B(1,4),C(1,1)---构成的三角形，可知目标函数过C 时最大，最大值为3，故选C.（4）.如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++= （A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35 【答案】C【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质. 【解析】173454412747()312,4,7282a a a a a a a a a a a +++===∴+++=== （5）不等式2601x x x ---＞的解集为 （A ）{}2,3x x x -＜或＞ （B ）{}213x x x -＜，或＜＜（C ） {}213x x x -＜＜，或＞ （D ）{}2113x x x -＜＜，或＜＜【答案】C【命题意图】本试题主要考察分式不等式与高次不等式的解法.【解析】利用数轴穿根法解得-2＜x ＜1或x ＞3，故选C（6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A ）12种 （B ）18种 （C ）36种 （D ）54种【答案】B【命题意图】本试题主要考察排列组合知识，考察考生分析问题的能力.【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选B.（7）为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像（A ）向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4π个长度单位 （C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2π个长度单位【答案】B【命题意图】本试题主要考查三角函数图像的平移.【解析】s i n (2)6y x π=+=sin 2()12x π+，sin(2)3y x π=-=sin 2()6x π=-，所以将s i n (2)6y x π=+的图像向右平移4π个长度单位得到sin(2)3y x π=-的图像，故选B.（8）ABC V 中，点D 在AB 上，CD 平方ACB ∠．若C B a =u u r ，CA b =uu r，1a =，2b =，则CD =u u u r（A ）1233a b +（B ）2133a b + （C ）3455a b + （D ）4355a b + 【答案】B【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理. 【解析】因为CD 平分ACB ∠，由角平分线定理得AD CA2=DBCB 1=，所以D 为AB 的三等分点，且22AD AB (CB CA)33==- ，所以2121CD CA+AD CB CA a b 3333==+=+，故选B.（9）已知正四棱锥S ABCD -中，SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（A ）1 （B （C ）2 （D ）3【答案】C【命题意图】本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题.【解析】设底面边长为a ，则高所以体积，设，则，当y 取最值时，，解得a=0或a=4时，体积最大，此时，故选C.（10）若曲线12y x -=在点12,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a =（A ）64 （B ）32 （C ）16 （D ）8【答案】A【命题意图】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力..【解析】332211',22y x k a --=-∴=-，切线方程是13221()2y a a x a ---=--，令0x =，1232y a -=，令0y =，3x a =，∴三角形的面积是121331822s a a -=⋅⋅=，解得64a =.故选A.（11）与正方体1111ABCD A BC D -的三条棱AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点 （A ）有且只有1个 （B ）有且只有2个 （C ）有且只有3个 （D ）有无数个【答案】D【解析】直线上取一点，分别作垂直于于则分别作，垂足分别为M ，N ，Q ，连PM ，PN ，PQ ，由三垂线定理可得，PN ⊥PM ⊥；PQ ⊥AB ，由于正方体中各个表面、对等角全等，所以，∴PM=PN=PQ ，即P 到三条棱AB 、CC 1、A 1D 1.所在直线的距离相等所以有无穷多点满足条件，故选D.（12）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =（A ）1 （B （C （D ）2【答案】B【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义.【解析】设直线l 为椭圆的有准线，e 为离心率，过A ，B 分别作AA 1，BB 1垂直于l ，A 1，B 为垂足，过B 作BE 垂直于AA 1与E ，由第二定义得，，由，得，∴即k=，故选B.第Ⅱ卷注意事项：1．用0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上作答。
2010年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷)数学试题 (理科)(解析版)
2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，其中第II 卷第（22）-（24）题为选考题，其他题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2、选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。
5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差锥体体积公式s =13V Sh=其中x 为样本平均数其中S 为底面面积，h 为高柱体体积公式球的表面积，体积公式V Sh=24S R π=343V R π=其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{}2,R A x x x =≤∈，{}4,Z B x =≤∈，则A B = （）（A）()0,2（B）[]0,2（C）{}0,2（D）{}0,1,2【答案】D【解析】{22},{0,1,2,3,4}A B={0,1,2}A x x B =-≤≤=∴⋂，,选D 命题意图：考察集合的基本运算（2）已知复数z =，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（）（A）14（B）12（C）1（D）2【答案】A 命题意图：考察复数的四则运算【解析】2323244i iz ===-⨯4z =，14z z ⋅=（3）曲线2xy x =+在点()1,1--处的切线方程为（）（A）21y x =+（B）21y x =-（C）23y x =--（D）22y x =--【答案】A【解析】''122,|2(2)x y k y x =-=∴==+ ，切线方程为[](1)2(1)y x --=--，即21y x =+.命题意图：考察导数的几何意义（4）如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为0P ，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为（）【答案】C【解析】当点P 在0P ，即0t =，P 到x。
2010年高考重庆理科数学试题及答案(精校版)
绝密★启用前 解密时间：2010年6月7日17：00 【考试时间：6月7日15：00—17：00】2010年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学（理工农医类）解析数学试题卷（理工农医类）共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）在等比数列}{n a 中，201020078a a =，则公比q 的值为（ ）A 、2B 、3C 、4D 、8（2）已知向量,满足2||,1||,0===⋅，则=-|2|（ ） A 、0B 、22C 、4D 、8（3）=⎪⎭⎫⎝⎛---→2144lim 22x x x （ ）A 、1-B 、41-C 、41 D 、1（4）设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥,03,01,0y x y x y 则y x z +=2的最大值为（ ）A 、2-B 、4C 、6D 、8（5）函数xx x f 214)(+=的图象（ ）A 、关于原点对称B 、关于直线x y =对称C 、关于x 轴对称D 、关于y 轴对称（6）已知函数sin()y x ωϕ=+（0,||2πωϕ><）的部分图象如题（6）图所示，则（ ）A 、6,1πϕω==B 、6,1πϕω-==C 、6,2πϕω==D 、6,2πϕω-==（7）已知0x >，0y >，228x y xy ++=，y x 2+的最小值是（ ）A 、3B 、4C 、29 D 、211 （8）直线233+=x y 与圆心为D的圆,1,x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（[0,2)θπ∈）A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为（ ） A 、π67B 、π45 C 、π34D 、π35（9）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天. 若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有（ ）A 、504种B 、960种C 、1008种D 、1108种（10）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（ ） A 、直线B 、椭圆C 、抛物线D 、双曲线二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填写在答题卡相应位置上. （11）已知复数,1i z +=则=-z z2____________. （12）设}0|{},3,2,1,0{2=+∈==mx x U x A U ，若}2,1{=A C U ，则实数=m _________.（13）某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为2516，则该队员每次罚球的命中率为_____________.（14）已知以F 为焦点的抛物线x y 42=上的两点B A 、满足3AF FB =，则弦AB 的中点到准线的距离为___________.（15）已知函数)(x f 满足：1(1)4f =，4()()()()f x f y f x y f x y =++-（,x y R ∈），则=)2010(f __________.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分.）设函数22()cos()2cos 32xf x x π=++，x R ∈.（Ⅰ）求)(x f 的值域；（Ⅱ）记ABC ∆的内角C B 、、A 的对边长分别为c b a 、、，若3,1,1)(===c b B f ，求a 的值.（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起. 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，…，6），求： （Ⅰ）甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率； （Ⅱ）甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与期望.（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.） 已知函数)1ln(1)(+++-=x ax x x f ，其中实数1-≠a . （Ⅰ）若2=a ，求曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程； （Ⅱ）若)(x f 在1=x 处取得极值，试讨论)(x f 的单调性.（19）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）如题（19）图，四棱锥ABCD P -为矩形，⊥PA 底面ABCD ，6==AB PA ，点E 是棱PB 的中点.（Ⅰ）求直线AD 与平面PBC 的距离； （Ⅱ）若3=AD ，求二面角D EC A --的平面角的余弦值.（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）已知以原点O 为中心，)0,5(F 为右焦点的双曲线C 的离心率25=e . （Ⅰ）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；（Ⅱ）如题（20）图，已知过点),(11y x M 的直线44:111=+y y x x l 与过点),(22y x N （其中12x x ≠）的直线44:222=+y y x x l 的交点E 在双曲线OGH ∆的面积.（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.） 在数列}{n a 中，11a =，11(21)n n n a ca c n ++=++（n N *∈），其中实数0≠c .（Ⅰ）求}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若对一切*∈N k 有122->k k a a ，求c 的取值范围.2010年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学（理工农医类）解析数学试题卷（理工农医类）共4页。
2010年高考全国数学卷(全国Ⅰ.理)(含详解答案)
绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第I 卷1至2页。
第Ⅱ卷3 至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。
3．第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)k k n kn n P k C p p k n -=-=…一．选择题 (1)复数3223ii+=- (A)i (B)i - (C)12-13i (D) 12+13i1．A 【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧.【解析1】32(32)(23)694623(23)(23)13i i i i i i i i i +++++-===--+. 【解析2】232322323i i ii i i+-+==-- (2)记cos(80)k -︒=,那么tan100︒=A.kB. -kC.D.2.B 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用.【解析1】sin 80=== ,所以tan100tan80︒=-sin80cos80=-=【解析2】cos(80)k -︒=cos(80)k⇒︒=，()()00000sin 18080sin100sin80tan1001008018080oo ocon con con -︒===--k=-(3)若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为(A)4 (B)3 (C)2 (D)13.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力.【解析1】画出可行域（如右图），由图可知,当直线l 经过点A(1,-1)时，z 最大，且最大值为max 12(1)3z =-⨯-=.【解析2】11222z x y y x z =-⇒=-，画图知过点()1,1-是最大，()1213Max z =--= （4）已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =x +20y -=(A) 4.A 【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.【解析1】由等比数列的性质知31231322()5a a a a a a a === ，37897988()a a a a a a a === 10,所以132850a a =,所以133364564655()(50)a a a a a a a ===== 【解析2】123a a a =5325a ⇒=；789a a a =103810,a ⇒=6333528456550a a a a a a a ⇒==⇒==(5)35(1(1+的展开式中x 的系数是 (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4 5.C 【解析】12451335333322(1(1161281510105x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+++-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x 的系数是 -10+12=2(6)某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 (A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种6.A 【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想.【解析1】:可分以下2种情况:(1)A 类选修课选1门,B 类选修课选2门,有1234C C 种不同的选法;(2)A 类选修课选2门,B 类选修课选1门,有2134C C 种不同的选法.所以不同的选法共有1234C C +2134181230C C =+=种.【解析2】33373430C C C --=(7)正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为AB C DA 1B1C 1D1 OA3B 3C 23D 37.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D 到平面AC 1D 的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.与【解析1】因为BB 1//DD 1,所以B 1B 与平面AC 1D 所成角和DD 1平面AC 1D 所成角相等,设DO ⊥平面AC 1D ，由等体积法得11D ACD D ACD V V --=,即111133ACD ACD S DO S DD∆∆⋅=⋅.设DD 1=a,则122111sin 60)22ACD S AC AD ∆==⨯= ,21122ACDS AD CD a ∆== . 所以1313A C D A C D S D D D O a S ∆∆== ,记DD 1与平面AC 1D 所成角为θ,则1sin DO DD θ==,所以cos 3θ=. 【解析2】设上下底面的中心分别为1,O O ；1O O 与平面AC 1D 所成角就是B 1B 与平面AC 1D所成角，1111cos O O O OD OD ∠=== （8）设a=3log 2,b=In2,c=125-,则A a<b<c Bb<c<a C c<a<b D c<b<a8.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. 【解析1】 a=3log 2=21log 3, b=In2=21log e,而22log 3log 1e>>,所以a<b, c=125-222log 4log 3>=>,所以c<a,综上c<a<b.【解析2】a =3log 2=321log ,b =ln2=21log e, 3221log log 2e <<< ，32211112log log e <<<； c=12152-=<=，∴c<a<b (9)已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点p 在C 上，∠1F p 2F =060，则P 到x 轴的距离为(A)(C)(D) 9.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.【解析1】不妨设点P 00(,)x y 在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得21000||[()]1a PF e x a ex c =--=+=，22000||[)]1a PF e x ex a c=-=-=-.由余弦定理得cos ∠1F P 2F =222121212||||||2||||PF PF F F PF PF +-,即cos 060=, 解得2052x =,所以2200312y x =-=，故P 到x轴的距离为0||2y = 【解析2】由焦点三角形面积公式得：120226011cot 1cot 22222F PF S b c h h h θ∆=====⇒=（10）已知函数F(x)=|lgx|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b 的取值范围是(A))+∞(B))+∞ (C)(3,)+∞ (D)[3,)+∞10.A 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a 的取值范围，而利用均值不等式求得a+2b 2a a=+>从而错选A,这也是命题者的用苦良心之处.【解析1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或1b a =，所以a+2b=2a a+ 又0<a<b,所以0<a<1<b ，令2()f a a a=+,由“对勾”函数的性质知函数()f a 在a ∈(0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)=1+21=3,即a+2b 的取值范围是(3,+∞).【解析2】由0<a<b,且f (a )=f (b )得：0111a b ab <<⎧⎪<⎨⎪=⎩，利用线性规划得：0111x y xy <<⎧⎪<⎨⎪=⎩，求2z x y=+的取值范围问题，11222z x y y x z =+⇒=-+，2111y y x x'=⇒=-<-⇒过点()1,1时z 最小为3,∴(C)(3,)+∞（11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB ∙的最小值为(A) 4-(B)3-(C) 4-+(D)3-+11.D 【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 【解析1】如图所示：设PA=PB=x (0)x >,∠APO=α,则∠APB=2α，，sin α=||||cos2PA PB PA PB α∙=⋅ =22(12sin )x α-=222(1)1x x x -+=4221x x x -+，令PA PB y ∙= ，则4221x x y x -=+，即42(1)0x y x y -+-=，由2x 是实数，所以2[(1)]41()0y y ∆=-+-⨯⨯-≥，2610y y ++≥，解得3y ≤--3y ≥-+.故min ()3PA PB ∙=-+此时x =【解析2】法一： 设,0APB θθπ∠=<<，()()2cos 1/tan cos 2PA PB PA PB θθθ⎛⎫∙== ⎪⎝⎭ 2222221sin 12sin cos 22212sin 2sin sin22θθθθθθ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=⋅-=⎪⎝⎭ 法二：换元：2sin ,012x x θ=<≤，()()1121233x x PA PB x x x --∙==+-≥ 或建系：园的方程为221x y +=，设11110(,),(,),(,0)A x y B x y P x -，()()2211101110110,,001AO PA x y x x y x x x y x x ⊥⇒⋅-=⇒-+=⇒=()222222221100110110221233PA PB x x x x y x x x x x ∙=-+-=-+--=+-≥（12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为(A)3(B)3(C)(D) 312.B 【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.【解析1】过CD 作平面PCD ，使AB ⊥平面PCD,交AB 与P,设点P 到CD 的距离为h ,则有ABCD 11222323V h h =⨯⨯⨯⨯=四面体,当直径通过AB 与CD 的中点时,max h =故max V =. 【解析2】()()22210110111001,,2PA PB x x y x x y x x x x y ∙=-⋅--=-+-绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。
2010年重庆高考数学理科卷带详解
2010年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学试题卷(理工农医类)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中．只有一项是符合题目要求的．1.在等比数列{}n a 中，201020078a a =，则公比q 的值为 ( ) A ．2 B. 3C. 4D. 8【测量目标】等比数列的性质. 【难易程度】容易【考查方式】利用等比数列的通项公式分别表示出2010a ，2007a ，两式相除即可求得3q ，进而求得q . 【参考答案】A 【试题解析】8320072010==q a a 2=∴q 2．已知向量a ，b 满足 a b ＝0，|a |=1，|b |=2，则|2-a b |＝ ( )A ． 0C. 4D. 8【测量目标】平面向量的数量积运算. 【考查方式】把所求式平方再开方即可. 【难易程度】容易 【参考答案】B 【试题解析】2-=ab === 3. 2241lim 42x x x →⎛⎫-⎪--⎝⎭＝ ( ) A ． －1B. －14C.14D.1【测量目标】极限及其运算.【考查方式】通分后消除相同因子，由此得到答案. 【难易程度】容易 【参考答案】B 【试题解析】：2241lim 42x x x →⎛⎫-⎪--⎝⎭=222211lim lim 424x x x x x →→--==--+ 4. 设变量x ,y 满足约束条件01030y x y x y ⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥≥≤，则z ＝2x ＋y 的最大值为 ( )A. －2B. 4C. 6D. 8【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】先根据约束条件画出可行域，利用几何意义求最值，只需求出直线过点B 时，z 最大值即可. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】不等式组表示的平面区域如图所示 当直线过点(3,0)B 的时候，z 取得最大值6.第4题图5. 函数41()2x xf x +=的图象( )A.关于原点对称B.关于直线y ＝x 对称C.关于x 轴对称D.关于y 轴对称 【测量目标】函数奇偶性的综合运用.【考查方式】先验证奇偶性，然后判断图象性质. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】)(241214)(x f x f xxx x =+=+=---)(x f ∴是偶函数，图象关于y 轴对称. 6. 已知函数πsin(),(0,||)2y x ωϕωϕ=+><的部分图象如图所示，则 ( )第6题图A. π1,6ωϕ==B. π1,6ωϕ==- C. π2,6ωϕ== D. π2,6ωϕ==-【测量目标】三角函数的图象、由图象求解析式.【考查方式】先求出周期，然后求出ω，由（0,1）确定ϕ. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】π2T ω=∴= ,由五点作图法知ππ232ϕ⨯+=，ϕ= π6-. 7. 已知0x >，0y >，228x y xy ++=，则2x y +的最小值是 ( ) A. 3B. 4C.92D.112【测量目标】基本不等式求最值.【考查方式】根据基本不等式性质逐步推导求出结果. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】2228(2)82x y x y x y +⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭≥，整理得()()2242320x y x y +++-≥ 即()()24280x y x y +-++≥，又02>+y x ，24x y ∴+≥8.直线3y x =+D的圆,([0,2π))1x y θθθ⎧=⎪∈⎨=⎪⎩交于A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为 ( ) A.7π6 B. 5π4C.4π3D.5π3【测量目标】圆的参数方程；直线的倾斜角.【考查方式】画出圆的图象与直线的图象，再利用圆的性质建立2个倾斜角的等量关系，化简求出结果.【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】数形结合301-=∠α，230πβ∠=+-由圆的性质可知21∠=∠,3030παβ∴-=+- 故=+βα4π3第8题图9. 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有 ( )A. 504种B. 960种C. 1008种D. 1108种 【测量目标】排列、组合的实际应用.【考查方式】针对实际问题运用分类原理的相关性质求解得出结果. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】分两类：甲乙排1、2号或6、7号 共有2142442A A A ⨯种方法甲乙排中间,丙排7号或不排7号，共有24113243334A (A A A A )+种方法,故共有1008种不同的排法.10. 到两互相垂直的异面的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是A. 直线B. 椭圆C. 抛物线D. 双曲线 【测量目标】抛物线的定义；双曲线的标准方程. 【考查方式】根据题意采用排除法逐个排除得到结果. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】排除轨迹是轴对称图形，排除A 、C ，轨迹与已知直线不能有交点，排除B. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上． 11. 已知复数1i z =+，则2z z-=____________． 【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】把1i z =+代入化简计算得到结果. 【难易程度】容易 【参考答案】2i - 【试题解析】21i 1i 1i 2i 1i--=---=-+. 12. 设{0,1,2,3}U =，2{|0}A x U x mx =∈+=，若{1,2}U A =ð，则实数m =________． 【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】由题意分析得到A 点坐标，进而求出m 值. 【难易程度】容易 【参考答案】3-【试题解析】 {1,2}U A =ð,∴{}0,3A =,故3m =-. 13. 某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至少命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为____________． 【测量目标】互斥事件的概率.【考查方式】根据互斥事件的性质求出结果. 【难易程度】容易 【参考答案】35【试题解析】由251612=-p 得53=p 14. 已知以F 为焦点的抛物线24y x =上的两点A 、B 满足3AF FB =，则弦AB 的中点到准线的距离为____________．【测量目标】抛物线的简单几何性质；点到直线的距离公式；抛物线的定义.【考查方式】先求出1AA 和1BB ，进而判断出直线AB 斜率求出方程，联立方程求得结果.【难易程度】容易 【参考答案】83【试题解析】设BF m =,由抛物线的定义知m BB m AA ==11,3ABC ∴△中，AC =2m ,AB =4m ,3=AB k （步骤1）直线AB 方程为)1(3-=x y ,与抛物线方程联立消y 得031032=+-x x 所以AB 中点到准线距离为381351221=+=++x x . （步骤2）第14题图15. 已知函数()f x 满足：1(1)4f =，4()()()(),(,)f x f y f x y f x y x y =++-∈R ，则(2010)f =____________．【测量目标】函数的周期性；抽象函数及其应用.【考查方式】先推理函数周期性，然后根据周期性求出结果. 【难易程度】容易 【参考答案】12【试题解析】取1,0x y ==得21)0(=f （步骤1） 法一：通过计算(2),(3),(4),f f f …，寻得周期为6 （步骤2） 法二：取,1,x n y ==有()(1)(1)f n f n f n =++-, 同理(1)(2)()f n f n f n +=++（步骤3）联立得(2)(1)f n f n +=--所以6T =故()12010(0)2f f ==. （步骤4） 三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16. (本小题满分13分，(Ⅰ)小问7分，(Ⅱ)小问6分．) 设函数22()cos(π)2cos ,32xf x x x =++∈R ．(Ⅰ) 求()f x 的值域；(Ⅱ) 记ABC △的内角A B C 、、的对边长分别为a b c 、、，若()1f B =，1b =，c =a 的值．【测量目标】三角函数的定义域、值域；正弦定理；余弦定理.【考查方式】化简求出()f x 最简式，然后求出值域；利用余弦定理求解. 【难易程度】中等【试题解析】(Ⅰ) 22()cos(π)2cos ,32xf x x x =++∈R =22()cos cosπsin sin πcos 133f x x x x =-++=1cos cos 12x x x -++=1cos 12x x +=5πsin()16x ++ （步骤1）因此()f x 的值域为[0,2]. （步骤2）(Ⅱ)由()1f B =得5πsin()116B ++=，即5πsin()06B +=， 又因为0πB <<，故π6B =. （步骤3）解法一：余弦定理2222cos b a c ac B =+-得2320a a -+=，解得1a =或2.（步骤4）解法二：由正弦定理sin sin b c B C =，得πsin 23C C ==或2π3. （步骤5）当π3C =时，π2A =，从而2a ==； （步骤6） 当2π3C =时，π6A =,又π6B =，从而1a b ==. （步骤7）17. (本小题满分13分，(Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问8分．)在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读传讲”赛出活动中，每个单位的节目集中安排在一起．若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，…，6），求：(Ⅰ) 甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率； (Ⅱ) 甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与期望． 【测量目标】排列、组合及其应用；离散型随机分布列和期望.【考查方式】根据等可能事件的概率公式求出结果；根据对立事件性质求出结果. 【难易程度】中等【试题解析】(Ⅰ)只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数. 设A 表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则A 表示“甲、乙的序号均为偶数”， 由等可能事件的概率计算公式得()()2326C 14111C 55P A P A =-=-=-=. （步骤1）(Ⅱ)ξ的所有可能值为0，1, 2, 3, 4，且()26510C 3P ξ===,()26441C 15P ξ===,()26312C 5P ξ===, ()26223C 15P ξ===,()26114C 15P ξ===. （步骤2） 从而知ξ有分布列所以01234315515153E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（步骤3） 18. (本小题满分13分，(Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问8分．)已知函数1()ln(1)x f x x x a-=+++，其中实数1a ≠-.(Ⅰ) 若2a =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (Ⅱ) 若()f x 在1x =处取得极值，试讨论()f x 的单调性． 【测量目标】利用导数判断函数的单调性；导数的几何意义.【考查方式】根据导数在点(0,(0))f 处值求出切线方程；先求出a 值，然后利用导数研究单调性.【难易程度】中等 【试题解析】 (Ⅰ)()22(1)111=()1()1x a x a f x x a x x a x +--+'+=+++++.（步骤1） 当2a =时，()221170(02)014f +'=+=++，而()102f =-，（步骤2） 因此曲线()y f x =在点(0,(0)f 处的切线方程为17()(0)24y x --=- ，即7420x y --=. （步骤3）(Ⅱ)因1a ≠-，由(Ⅰ)知()2111(1)11a f a +'=+++,又因()f x 在1x =处取得极值，所以()10f '=，（步骤4）即11012a +=+，解得3a =-. （步骤5） 此时()1ln(1)3x f x x x -=++-，其定义域为(1,3)(3,)-+∞ ，且()2221(1)(7)(3)1(3)(1)x x f x x x x x ---'=+=-+-+，由()0f x '=得11x =，27x =. （步骤6） 当11x -<<或7x >时，()0f x '>； 当17x <<且3x ≠时，()0f x '<. （步骤7） 综上所述，()f x 在区间(1,1]-,[7,)+∞上是增函数， 在区间[1,3)，(3,7]上是减函数.（步骤8）19. (本小题满分12分，(Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问7分．)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB E 是棱PB 的中点．(Ⅰ) 求直线AD 与平面PBC 的距离；(Ⅱ) 若AD A －EC －D 的平面角的余弦值．第19题图【测量目标】线面垂直的判定；点、线、面间的距离计算；二面角；空间直角坐标系. 【考查方式】先证线面垂直然后求出距离；根据法向量求出二面角余弦值. 【难易程度】中等【试题解析】解法一：(Ⅰ) 如图1 ，在矩形ABCD 中，//AD BC ，从而//AD 平面PBC ， 故直线AD 与平面PBC 的距离为点A 到平面PBC 的距离. （步骤1）因⊥PA 底面ABCD ，故P A A B ⊥，由AB PA =知PAB △为等腰直角三角形，又点E 是棱PB 中点，故PB AE ⊥. （步骤2）又在矩形ABCD 中，AB BC ⊥，而AB 是PB 在底面ABCD 内的射影，由 三垂线定理得PB BC ⊥，从而⊥BC 平面PAB ，（步骤3） 故AE BC ⊥.从而⊥AE 平面PBC ，故AE 之长即为直线AD 与平面PBC 的距离 （步骤4）在Rt PAB △中，PA PB ==12AE PB ===（步骤6）第19题图1(Ⅱ)过点D 作CE DF ⊥，交CE 于F ，过F 点作CE FG ⊥，交AC 于G ，则DFG ∠为所求的二面角的平面角.由（Ⅰ）知⊥BC 平面PAB ，又AD BC ，得⊥AD 平面PAB ，故AE AD ⊥，从而622=+=AD AE DE .（步骤7）在Rt CBE △中，622=+=BC BE CE .由6=CD ，所以CDE △为等边三角形，故F 为CE 的中点，且πsin32DF CD ==. （步骤8） 因为⊥AE 平面PBC ，故CE AE ⊥，又CE FG ⊥，知12FG A E ，从而23=FG ，且G 点为AC 的中点. （步骤9）连接DG ，则在Rt ADC △中，23212122=+==CD AD AC DG .所以222cos 2DF FG DG DFG DF FG +-∠== （步骤10）解法二：（Ⅰ）如图2，以A 为坐标原点，射线AB 、AD 、AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴正半轴，建立空间直角坐标系xyz A -. （步骤11）设)0,,0(a D ，则)0,,6(),0,0,6(a C B ，)26,0,26(),6,0,0(E P . 因此)6,0,6(),0,,0(),26,0,26(-===a ，则0,0AE BC AE PC == ，所以⊥AE 平面PBC .又由BC AD //知//AD 平面PBC ，故直线AD 与平面PBC 的距离为点A 到平面PBC 的距离，即为3||=. （步骤12）第19题图2（Ⅱ）因为3||=，则)0,3,6(),0,3,0(C D . 设平面AEC 的法向量1111(,,)x y z =n ，则110,0AC AE ==n n .又)26,0,26(),0,3,6(==，故⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,02626,0361111z x y x （步骤13） DEC 所以1111,2x z x y -=-=. 可取21-=z，则(=n .设平面的法向量2222(,,)x y z =n ，则220,0DC DE ==n n .又)26,3,26(),0,0,6(-==，故222200x x z =⎧-= 所以2222,0y z x ==. 可取12=y，则2(0,1=n .故121212cos ,||||==n n n n n n （步骤14） 所以二面角D EC A --的平面角的余弦值为36. （步骤15） 20. (本小题满分12分，(Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问7分．)已知以原点O为中心，F 为右焦点的双曲线C的离心率e =（Ⅰ）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；（Ⅱ）如图，已知过点11(,)M x y 的直线1l ：1144x x y y +=与过点22(,)N x y （其中21x x ≠）的直线2l ：2244x x y y +=的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与双曲线的两条渐近线分别交于G 、H 两点，求OGH △的面积．第20题图【测量目标】双曲线的标准方程；双曲线的简单几何性质.【考查方式】设出标准方程，根据已知条件求出未知参数；根据直线方程联立求出面积.【难易程度】较难【试题解析】（I ）设C 的标准方程是)0,0(12222>>=-b a by a x ，(步骤1) 则由题意.25,5===a c e c 因此,1,222=-==a c b a C 的标准方程为.1422=-y x （步骤2） C 的渐近线方程为,21x y ±=即02=-y x 和02=+y x .（步骤3） （II ）解法一：由题意点),(E E y x E 在直线111:44l x x y y +=和44:122=+y y x x l 上，因此有E E E x x y y x x 211,44=+442=+E y y （步骤4）设G 、H 分别是直线MN 与渐近线02=-y x 及02=+y x 的交点，由方程组44,20E E x x y y x y +=⎧⎨-=⎩及44,20,E E x x y y x y +=⎧⎨+=⎩解得4,22,2G E E G E E x x y y x y ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩42.22H E E H E E x x y y x y ⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩ （步骤5）解得22,22G H E E E Ey y x y x y ==-+-设MN 与x 轴的交点为Q ，则在直线44E E x x y y +=中，令0y =得4Q E x x =（易知0E x ≠）.注意到2244E E x y -= 得：1411222OGH G H E E E E ES OQ y y x x y x y =-=++- △ =222424EE E Ex x x y =- .解法二：设),(E E y x E ，由方程组得⎩⎨⎧=+=+,44,442211yy x x y y x x （步骤6） 解得,,)(4122121122112y x y x x x y y x y x y y x E E --=--=（步骤7）因21x x ≠，则直线MN 的斜率21214EEy y x k x x y -==--.故直线MN 的方程为11()4EEx y y x x y -=--，注意到1144x x y y +=，因此直线MN 的方程为44E E x x y y +=.下同解法一. （步骤8）21. (本小题满分12分，(Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问7分．)在数列{}n a 中，11a =，1*1(21),()n n n a ca c n n ++=++∈N 其中实数0c ≠．(Ⅰ) 求{}n a 的通项公式；(Ⅱ) 若对一切*k ∈N 有221k k a a ->，求c 的取值范围．【测量目标】数学归纳法.【考查方式】根据归纳法求出通项公式；分类讨论求出c 的取值范围．【难易程度】较难【试题解析】(Ⅰ)解法一：由11a =，22222133(21)a ca c c c c c =+=+=-+ . 3322323258(31)a ca c c c c c =+=+=-+ ,44324343715(41)a ca c c c c c =+=+=-+ ,猜测21*(1),n n n a n c c n -=-+∈N .下面用数学归纳法证明.当1n =时，等式成立；假设当n k =时，即21(1)k k k a k c c -=-+， （步骤1）则当1n k =+时，12111(21)(1)(21)k k k k k k a ca c k c k c c c k +-++⎡⎤=++=-+++⎣⎦21(2)k k k k c c +=++21(1)1k k k c c +⎡⎤=+-+⎣⎦. 综上，21(1)n n n a n c c -=-+对任何*n ∈N 都成立. （步骤2） 解法二：由原式得11(21)n n n n a a n c c++=++. （步骤3） 令n n n a b c =，则11b c =，1(21)n n b b n +=++，因此对n 2…有 112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+…1(21)(23)3n n c =-+-+++…=211n c-+， 因此21(1)n n n a n c c -=-+，2n ….又当1n =时上式成立，所以21*(1),n n n a n c c n -=-+∈N . （步骤4）(Ⅱ)解法一：由221k k a a ->，得222122122(2)1(21)1k k k k k c c k c c ---⎡⎤⎡⎤-+>--+⎣⎦⎣⎦， 因022>-k c ，所以01)144()14(222>-----c k k c k . （步骤5）解此不等式得：对一切k *∈N ，有k c c >或k c c '<，其中 )14(2)14(4)144()144(22222--+--+--=k k k k k k c k ，k c '=. （步骤6）易知1lim =∞→k k c ，又由144)14(4)14()14(4)144(2222222+=+-+-<-+--k k k k k k ，知12848)14(214)144(22222<--=-++--<k k k k k k k c k ， 因此由k c c >对一切k *∈N 成立得1c …. （步骤7）又0k c '=<，易知k c '单调递增，故1k c c ''…对一切k *∈N 成立，因此由k c c '<对一切k *∈N 成立得116c c +'<=-从而c 的取值范围为),1[)6131,(+∞+--∞ . （步骤8）解法二：由122->k k a a ，得221221222]1)12[(]1)2[(---+-->+-k k k k c c k c c k ，因022>-k c ，所以014)(4222>-+-+-c c ck k c c 对k *∈N 恒成立.（步骤9）记14)(4)(222-+-+-=c c cx x c c x f ，下分三种情况讨论.（ⅰ）当02=-c c 即0=c 或1=c 时，代入验证可知只有1=c 满足要求. （ⅱ）当02<-c c 时，抛物线)(x f y =开口向下，因此当正整数k 充分大时，0)(<x f不符合题意，此时无解.（ⅲ）当02>-c c 即0<c 或1>c 时，抛物线)(x f y =开口向上，其对称轴 )1(21c x -=必在直线1=x 的左边. 因此，)(x f 在),1[+∞上是增函数. 所以要使0)(>k f 对k *∈N 恒成立，只需0)1(>f 即可.（步骤10）由013)1(2>-+=c c f 解得6131--<c 或6131+->c . 结合0<c 或1>c 得6131+-<c 或1>c .综合以上三种情况，c 的取值范围为),1[)6131,(+∞+--∞ （步骤11）。
2010年高考新课标全国卷理科数学试题(附答案)
2010年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）理科数学试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1）已知集合{||2}A x R x =∈≤}，{|4}B x Z x =∈≤,则A B ⋂=（A)(0，2) (B)［0,2］ (C ）{0，2] (D){0,1,2｝ (2)已知复数23(13)iz i +=-，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅= (A ）14 (B ）12（C ） 1 （D ）2 （3）曲线2xy x =+在点(1,1)--处的切线方程为（A ）21y x =+ （B)21y x =- （C) 23y x =-- （D ）22y x =-- （4)如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为0(2,2)P -,角速度为1,那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为tdπ42OA B C D（5）已知命题1p ：函数22x x y -=-在R 为增函数, 2p ：函数22x x y -=+在R 为减函数,则在命题1q ：12p p ∨，2q :12p p ∧，3q ：()12p p ⌝∨和4q ：()12p p ∧⌝中，真命题是（A ）1q ，3q （B ）2q ,3q (C)1q ，4q (D ）2q ，4q（6)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ,则X 的数学期望为 （A ）100 （B ）200 (C)300 （D ）400（7)如果执行右面的框图，输入5N =，则输出的数等于（A ）54 （B ）45(C ）65 （D ）56（8）设偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥， 则{|(2)0}x f x ->=(A ） {|24}x x x <->或 （B ） {|04}x x x <>或 （C ） {|06}x x x <>或 (D ） {|22}x x x <->或(9)若4cos 5α=-,α是第三象限的角，则1tan21tan 2αα+=- (A ） 12- （B ） 12（C ） 2 (D ） 2-(10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 （A) 2a π(B)273a π （C)2113a π (D) 25a π（11)已知函数|lg |,010,()16,10.2x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若,,a b c 互不相等,且()()(),f a f b f c ==则abc 的取值范围是(A) (1,10) (B) (5,6)(C ） (10,12)（D ） (20,24)（12）已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点,过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为(A ）22136x y -= （B ） 22145x y -= (C ） 22163x y -= （D) 22154x y -=第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答,第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答。
2010年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷
2010年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）理科化学部分测试模拟试卷（一）理科综合能力测试试题卷分选择题和非选择题两部分．第一部分（选择题）第二部分（非选择题）．满分300分，考试时间150分钟．第一部分（选择题 126分）本题包括21小题．每小题6分，共126分．每小题只有一个．．．．选项符合题意．6．已知单位体积的稀溶液中，溶质的分子数或离子数越多，该溶液的凝固点就越低．则下列溶液凝固点最低的是A．0.02mol/L的蔗糖溶液B．0.01mol/L的硫酸银溶液C．0.01mol/L的氯化铝溶液D．0.02mol/L的氨水溶液7．氧化还原反应实际上包含氧化和还原两个过程．(1)向氯酸钠的酸性水溶液中通入二氧化硫，该反应中氧化过程的反应式为：SO2 + 2H2O – 2e-→ SO42- + 4H+;(2)向亚氯酸钠(NaClO2)固体中通入用空气稀释的氯气，该反应中还原过程的反应式为：Cl2+ 2e-→2Cl-．在(1)和(2)反应中均会生成产物X，则X的化学式为A．NaClO B．ClO2C．HClO D．NaClO48．在化学反应中，有时存在“一种物质过量，另一种物质仍不能完全反应”的情况．下列反应中属于这种情况的是①过量的锌与浓硫酸反应；②过量的氢气与少量的N2在工业生产条件下；③过量的浓盐酸与碳酸钙反应；④过量的乙酸和少量乙醇在浓硫酸、加热条件下；⑤过量二氧化锰与浓盐酸在加热条件下；⑥过量的铜与浓硫酸在加热条件下A．②③④⑥B．②④⑤⑥C．①②④⑤D．③④⑤⑥9．表示下列变化的式子正确的是A．NaHCO 3水解的离子方程式：HCO3－＋H2O H3O++CO32－B．石灰石溶于醋酸的离子方程式：CaCO3＋2H+＝Ca2+＋CO2↑＋H2OC．钢铁电化学腐蚀的负极反应：4OH－-4e－＝2H2O ＋O2↑D．1L0.5mol/L H2SO4溶液与1L1.0mol/L NaOH溶液反应，放出57.3 kJ的热量：1/2 H2SO4(aq) ＋ NaOH(aq)＝1/2 Na2SO4(aq) ＋ H2O(l)；ΔH=-57.3kJ/mol 10．常见的晶体有如下类型：①分子晶体；②离子晶体；③原子晶体；④金属晶体，在非金属元素所形成的单质或化合物中，固态时的晶体类型可以是A．①②③④B．只有①③④C．只有①②③ D．只有①③11．对于平衡体系2SO 2(g) + O2(g) 2SO3(g)；ΔH<0．下列结论中正确的是A. 若温度不变，将容器的体积增大一倍，此时的SO2浓度变为原来的0.48倍B. 若平衡时SO2、O2的转化率相等，说明反应开始时，两者的物质的量之比为2:1C. 若从平衡体系中分离出SO3，则有利于提高SO2的转化率和加快正反应速率D. 平衡状态时SO2、O2、SO3的物质的量之比一定为2:1:212．肉桂醛是一种实用香精，它广泛用于牙膏、洗涤剂、糖果以及调味品中．工业上可通过下列反应制备：CHO CH＝CHCHOCHO＋H2O＋CHA B下列相关叙述正确的是题27图① B 的相对分子质量比A 大28；② A 、B 可用酸性高锰酸钾溶液鉴别；③ B 中含有的含氧官能团是醛基、碳碳双键；④ A 、B 都能发生加成反应、还原反应；⑤ A 能发生银镜反应； ⑥ B 的同类同分异构体（含苯环、包括B ）共有5种；⑦ A 中所有原子一定处于同一平面A ．只有①②⑤B ．只有③④⑤C ．只有④⑤⑥D ．只有②⑤⑥⑦13．下列有关工业生产的叙述正确的是A ．用明矾净水是因为Al 3＋水解生成Al(OH)3胶粒具有很强的吸附性B ．合成氨生成过程中，采用高温高压都是为了提高N 2、H 2转化率C ．硫酸工业中，在接触室安装热交换器是为了利用硫铁矿燃烧时放出的热量D ．电解饱和食盐水制烧碱采用离子交换膜法，可防止阴极室产生的Cl 2进入阳极室第二部分（非选择题 174分）26．（15分）现有A 、B 、C 、D 四种常见的短周期主族元素，其原子序数依次增大．其中A 、B 是同周期相邻元素，且A 单质及其氢化物是重要的工业生产原料；C 、D 是同周期元素，且在该周期中，分别为原子半径最大和最小的元素，C 、D 最外层电子数之和与B 的原子序数相等，回答下列问题：（1）B 元素的名称为 ，C 元素在周期表中位于第 周期第 族．（2）工业上由A 单质合成其氢化物的化学反应方程式为： ．（3）当今工业电解CD 饱和水溶液的装置名称是 ，阳极电极反应式为 ，溶液的pH 将 （填“增大”、“减小”或“不变”），若有1mol电子转移，生成气体体积之和是 L （标准状况下）．27．(14分)A ～H 是纯净物或溶液中的溶质，其中A 是日常生活中常用的金属单质．它们之间有如下关系：(部分产物和反应条件略)根据上述信息，回答下列问题： （1）写出下列物质的化学式B ，E ．（2）H 和 SO 2生成强酸F ，此反应中氧化剂是 .（3）写出①的离子方程式： .（4）写出②的化学方程式： .（5）C 溶液中滴入NaOH 溶液有何现象？ .28．（15分）实验室通过实验测定NaOH 溶液和盐酸反应的中和热．实验需用约450mL 0.50mol/L NaOH溶液．容量瓶（100mL ，250mL ，500mL 各一个）（1）配制0.50 mol/L NaOH 溶液：将NaOH 固体放在 （填实验用品题28图 题29图或仪器的名称），用托盘天平 g NaOH 固体．在使用容量瓶前必须进行的操作是 ．（2）下列操作会使所配溶液的浓度偏高的是（填序号） ．A ．烧杯、玻璃棒没有洗涤B ．转移时有溶液溅出容量瓶外C ．定容时，将容量瓶上、下颠倒摇匀后发现液面低于刻度线再加水D ．容量瓶用蒸馏水洗涤后再用相同溶质的溶液润洗E ．定容时俯视容量瓶刻度线．（3）将50mL 0.50mol/L 盐酸与60mL 0.50mol/L NaOH 溶液在右图所示的装置中进行中和反应．从实验装置上看，图中尚缺少的一种玻璃仪器是 ．（4）一定量的稀盐酸和过量的NaOH 溶液反应，当生成1mol H 2O 时放出的热量为57.3 kJ ，则该反应的热化学方程式为 ．已知：① HCl(aq)＋NH 3·H 2O(aq)＝NH 4Cl(aq)＋H 2O(l)；△H＝-a kJ·mol -1② HCl(aq)＋NaOH(s)＝NaCl(aq)＋H 2O(l)；△H＝-b kJ·mol -1③ HNO 3(aq)＋KOH(aq)＝NaNO 3(aq)＋H 2O(l)；△H＝-c kJ·mol -1则a 、b 、c 三者的大小关系为 （填字母）．A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．a=b=cD ．无法比较29.（16分）快乐是什么？精神病学专家通过实验发现：在大脑的相应部位——“奖赏中心”，给予柔和的电击，便会处于似乎极度快乐的状态．人们已经将“奖赏中心”各部分的脑电图绘制出来，并认为，在各区域之间传递信息的化学物质是多巴胺，所以“奖赏中心”又称为多巴胺系统．多巴胺结构如右图：（1）多巴胺分子式： ．（2）试判断多巴胺能发生的化学反应 ． A ．加成 B ．取代 C ．氧化 D ．水解（3）写出与多巴胺互为同分异构体且满足下列三个条件的所有物质的结构简式：① 属于1、3、5三取代苯 ② 苯环上直接连有一个羟基和一个氨基③ 分别能与钠和氢氧化钠反应，消耗钠与氢氧化钠的物质的量之比为2:1 ．（4）多巴胺可由香兰素与硝基甲烷缩合，再经锌汞齐还原水解而得．合成过程表示如下：催化剂(Ⅰ) 写出下列反应类型：反应① ，反应⑤ ． (Ⅱ) A 的结构简式： ． (Ⅲ) 写出②的化学方程式： ．2010年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）理科综合能力测试模拟试卷（一）（参考答案）化学部分6、C7、B8、B9、D 10、C 11、B 12、C 13、A26. （15分）（1）氧（2分） 三（1分） IA （1分）（2）N2+3H2 2NH3（3分）（不写可逆号及反应条件扣2分） （3）离子交换膜电解槽（2分）2Cl —－2e —=Cl2↑（2分），增大（2分），22.4（2分）27. （14分） (1) HNO3，NO2，（各2分）(2) H 2O 2（2分）(3) 3 Fe 2++4H ++NO 3-=3 Fe 3++NO↑+2H 2O ．（3分）(4) 2H 2O 22H 2O+O 2↑（3分） (5) 先产生白色沉淀，然后迅速变为灰绿色，最后变为红褐色沉淀．（2分）28．（15分）（1）小烧杯（或玻璃器皿）（2分）10.0 g （2分） 检查容量瓶是否漏水（2分）（2）D E （2分）（3）环形玻璃搅拌器（2分）（4）H ＋(aq)＋OH －(aq)＝H 2O(l)；△H ＝－57.3kJ·mol －1（3分）B （2分）29．（16分）（1）C 8H 11NO 2 （2分）（2）ABC （3分）（3）（各2分）(4 )Ⅰ、加成反应 取代反应 （各1分） Ⅱ、（2分）A ：Ⅲ、（3分）催化剂加热，加压。
2010年重庆市高考数学试卷(理科)及答案
2010年重庆市高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）在等比数列{a n}中，a2010=8a2007，则公比q的值为（）A．2 B．3 C．4 D．82．（5分）已知向量，满足•=0，||=1，||=2，则|2﹣|=（）A．0 B．C．4 D．83．（5分）=（）A．﹣1 B．﹣ C．D．14．（5分）设变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．﹣2 B．4 C．6 D．85．（5分）函数f（x）=的图象（）A．关于原点对称B．关于直线y=x对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称6．（5分）已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则（）A．ω=1，φ= B．ω=1，φ=﹣C．ω=2，φ= D．ω=2，φ=﹣7．（5分）已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（）A．3 B．4 C．D．8．（5分）直线y=与圆心为D的圆（θ∈[0，2π））交与A、B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为（）A．B．C．D．9．（5分）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有（）A．504种B．960种C．1008种D．1108种10．（5分）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（）A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）已知复数z=1+i，则=．12．（5分）设U={0，1，2，3}，A={x∈U|x2+mx=0}，若∁U A={1，2}，则实数m=．13．（5分）某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为．14．（5分）已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足=3，则弦AB的中点到准线的距离为．15．（5分）已知函数f（x）满足：，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x﹣y）（x，y∈R），则f（2010）=．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（13分）设函数f（x）=cos（x+π）+2cos2，x∈R．（1）求f（x）的值域；（2）记△ABC内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，若f（B）=1，b=1，c=，求a的值．17．（13分）在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起．若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，…，6），求：（Ⅰ）甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率；（Ⅱ）甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率．18．（13分）已知函数，其中实数a≠1．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）若f（x）在x=1处取得极值，试讨论f（x）的单调性．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=，点E是棱PB的中点．（1）求直线AD与平面PBC的距离；（2）若AD=，求二面角A﹣EC﹣D的平面角的余弦值．20．（12分）已知以原点O为中心，为右焦点的双曲线C的离心率．（1）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；（2）如图，已知过点M（x1，y1）的直线l1：x1x+4y1y=4与过点N（x2，y2）（其中x2≠x1）的直线l2：x2x+4y2y=4的交点E在双曲线C上，直线MN与两条渐近线分别交与G、H两点，求△OGH的面积．21．（12分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=ca n+c n+1（2n+1）（n∈N*），其中实数c ≠0．（1）求{a n}的通项公式；（2）若对一切k∈N*有a2k＞a zk﹣1，求c的取值范围．2010年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2010•重庆）在等比数列{a n}中，a2010=8a2007，则公比q的值为（）A．2 B．3 C．4 D．8【分析】利用等比数列的通项公式，分别表示出a2010和a2007，两式相除即可求得q3，进而求得q．【解答】解：∴q=2故选A2．（5分）（2010•重庆）已知向量，满足•=0，||=1，||=2，则|2﹣|=（）A．0 B．C．4 D．8【分析】利用题中条件，把所求|2|平方再开方即可【解答】解：∵=0，||=1，||=2，∴|2|====2故选B．3．（5分）（2010•重庆）=（）A．﹣1 B．﹣ C．D．1【分析】先进行通分，然后消除零因子，可以把简化为，由此可得答案．【解答】解：===﹣，故选B．4．（5分）（2010•重庆）设变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．﹣2 B．4 C．6 D．8【分析】先根据约束条件画出可行域，利用几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y 过点B时，z最大值即可．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示，设z=2x+y，∵直线z=2x+y过可行域内B（3，0）的时候z最大，最大值为6，故选C．5．（5分）（2010•重庆）函数f（x）=的图象（）A．关于原点对称B．关于直线y=x对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称【分析】题设条件用意不明显，本题解题方法应从选项中突破，由于四个选项中有两个选项是与奇偶性有关的，故先验证奇偶性较好，【解答】解：，∴f（x）是偶函数，图象关于y轴对称故选D．6．（5分）（2010•重庆）已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则（）A．ω=1，φ= B．ω=1，φ=﹣C．ω=2，φ= D．ω=2，φ=﹣【分析】通过图象求出函数的周期，再求出ω，由（，1）确定φ，推出选项．【解答】解：由图象可知：T==π，∴ω=2；（，1）在图象上，所以2×+φ=，φ=﹣．故选D．7．（5分）（2010•重庆）已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（）A．3 B．4 C．D．【分析】首先分析题目由已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用代入已知条件，化简为函数求最值．【解答】解：考察基本不等式，整理得（x+2y）2+4（x+2y）﹣32≥0即（x+2y﹣4）（x+2y+8）≥0，又x+2y＞0，所以x+2y≥4故选B．8．（5分）（2010•重庆）直线y=与圆心为D的圆（θ∈[0，2π））交与A、B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为（）A．B．C．D．【分析】根据题目条件画出圆的图象与直线的图象，再利用圆的性质建立两个倾斜角的等量关系，化简整理即可求出．【解答】解：数形结合，∠1=α﹣30°，∠2=30°+π﹣β，由圆的性质可知∠1=∠2，∴α﹣30°=30°+π﹣β，故α+β=，故选C．9．（5分）（2010•重庆）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有（）A．504种B．960种C．1008种D．1108种【分析】本题的要求比较多，有三个限制条件，甲、乙排在相邻两天可以把甲和乙看做一个元素，注意两者之间有一个排列，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则可以甲乙排1、2号或6、7号，或是甲乙排中间，丙排7号或不排7号，根据分类原理得到结果．【解答】解：分两类：第一类：甲乙相邻排1、2号或6、7号，这时先排甲和乙，有2×种，然后排丁，有种，剩下其他四个人全排列有种，因此共有2×A22A41A44=384种方法第二类：甲乙相邻排中间，若丙排7号，先排甲和乙，因为相邻且在中间，则有4×种，然后丙在7号，剩下四个人全排列有种，若丙不排7号，先排甲和乙，因为相邻且在中间，则有4×种，然后排丙，丙不再1号和7号，有种，接着排丁，丁不排在10月7日，有种，剩下3个人全排列，有种，因此共有（4A22A44+4A22A31A31A33）=624种方法，故共有1008种不同的排法故选C．10．（5分）（2010•重庆）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（）A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线【分析】先做出两条异面直线的公垂线，以其中一条直线为x轴，公垂线与x轴交点为原点，公垂线所在直线为z轴，过x且垂直于公垂线的平面为xoy平面，建立空间直角坐标系，则两条异面直线的方程可得，设空间内任意点设它的坐标是（x，y，z）根据它到两条异面直线的距离相等，求得z的表达式，把z=0和z=a代入即可求得x和y的关系，根据其方程判断轨迹．【解答】解：先做出两条异面直线的公垂线，以其中一条直线为x轴，公垂线与x轴交点为原点，公垂线所在直线为z轴，过x且垂直于公垂线的平面为xoy平面，建立空间直角坐标系，则两条异面直线的方程就分别是y=0，z=0 和x=0，z=a（a是两异面直线公垂线长度，是个常数）空间内任意点设它的坐标是（x，y，z）那么由已知，它到两条异面直线的距离相等，即=两边平方，化简可得z=（y2﹣x2+a2）过一条直线且平行于另一条直线的平面是z=0和z=a分别代入所得式子z=0时代入可以得到y2﹣x2=﹣a2，图形是个双曲线z=a时代入可以得到y2﹣x2=a2，图形也是个双曲线故选D二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2010•重庆）已知复数z=1+i，则=﹣2i．【分析】把复数z=1+I代入要求的式子，应用复数相除的法则化简得到结果．【解答】解：=，故答案为﹣2i．12．（5分）（2010•重庆）设U={0，1，2，3}，A={x∈U|x2+mx=0}，若∁U A={1，2}，则实数m=﹣3．【分析】由题意分析，得到A={0，3}，后由根与系数直接间的关系求出m的值【解答】解；∵U={0，1，2，3}、∁U A={1，2}，∴A={0，3}，∴0、3是方程x2+mx=0的两个根，∴0+3=﹣m，∴m=﹣3，故答案为：﹣3．13．（5分）（2010•重庆）某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为．【分析】在两次罚球中至多命中一次的对立事件是两次都命中，设出命中的概率P，由对立事件的概率公式列出方程，求出命中一次的概率．【解答】解：设罚球的命中的概率为P，由两次罚球中至多命中一次的概率为，得∴，故答案为：．14．（5分）（2010•重庆）已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足=3，则弦AB的中点到准线的距离为．【分析】设BF=m，由抛物线的定义知AA1和BB1，进而可推断出AC和AB，及直线AB的斜率，则直线AB的方程可得，与抛物线方程联立消去y，进而跟韦达定理求得x1+x2的值，则根据抛物线的定义求得弦AB的中点到准线的距离．【解答】解：设BF=m，由抛物线的定义知AA1=3m，BB1=m∴△ABC中，AC=2m，AB=4m，直线AB方程为与抛物线方程联立消y得3x2﹣10x+3=0所以AB中点到准线距离为故答案为15．（5分）（2010•重庆）已知函数f（x）满足：，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x﹣y）（x，y∈R），则f（2010）=．【分析】由于题目问的是f（2010），项数较大，故马上判断函数势必是周期函数，所以集中精力找周期即可；周期的寻找方法可以是不完全归纳推理出，也可以是演绎推理得出．【解答】解：取x=1，y=0得法一：根据已知知取x=1，y=1得f（2）=﹣取x=2，y=1得f（3）=﹣取x=2，y=2得f（4）=﹣取x=3，y=2得f（5）=取x=3，y=3得f（6）=猜想得周期为6法二：取x=1，y=0得取x=n，y=1，有f（n）=f（n+1）+f（n﹣1），同理f（n+1）=f（n+2）+f（n）联立得f（n+2）=﹣f（n﹣1）所以f（n）=﹣f（n+3）=f（n+6）所以函数是周期函数，周期T=6，故f（2010）=f（0）=故答案为：．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（13分）（2010•重庆）设函数f（x）=cos（x+π）+2cos2，x∈R．（1）求f（x）的值域；（2）记△ABC内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，若f（B）=1，b=1，c=，求a的值．【分析】（I）将f（x）=cos（x+π）+2化简，变形后可以用三角函数的有界性求值域．（II）由f（B）=1 求出∠B，利用余弦定理建立关于a的方程求出a．【解答】解：（I）f（x）=cos（x+π）+2=cosxcosπ﹣sinxsinπ+cosx+1=﹣cosx﹣sinx+cosx+1=cosx﹣sinx+1=sin（x+）+1因此函数f（x）的值域为[0，2]（II）由f（B）=1 得sin（B+）+1=1，即sin（B+）=0，即B+=0或π，B=或﹣又B是三角形的内角，所以B=由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB即1=a2+3﹣3a，整理a2﹣3a+2=0解得a=1或a=2答：（I）函数f（x）的值域为[0，2]（II）a=1或a=217．（13分）（2010•重庆）在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起．若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，…，6），求：（Ⅰ）甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率；（Ⅱ）甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率．【分析】（1）考虑甲和乙两个单位的排列，甲、乙两个单位可能排列在6个位置中的任两个，有A62=30种等可能的结果，满足条件的事件是甲和乙的演出序号都是偶数，根据等可能事件的概率公式得到结果．（2）考虑甲和乙两个单位的排列，甲、乙两个单位可能排列在6个位置中的任两个，有A62=30种等可能的结果，甲和乙两个单位的演出序号不相邻，的对立事件是甲和乙两个单位的演出序号相邻，根据对立事件的概率公式得到结果．【解答】解：（1）考虑甲和乙两个单位的排列，甲、乙两个单位可能排列在6个位置中的任两个，有A62=30种等可能的结果，设A表示甲和乙的演出序号都是偶数，共有A32=6种结果，∴所求的概率P（A）==（2）考虑甲和乙两个单位的排列，甲、乙两个单位可能排列在6个位置中的任两个，有A62=30种等可能的结果，设B表示甲和乙两个单位的演出序号不相邻，则表示甲和乙两个单位的演出序号相邻，共有5A22=10种结果∴P（B）=1﹣P（）=1﹣=．18．（13分）（2010•重庆）已知函数，其中实数a≠1．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）若f（x）在x=1处取得极值，试讨论f（x）的单调性．【分析】首先求出函数的导数及在点f（0）处的值，然后求出在该点的切线方程，第二问根据函数的导数与极值的关系求出a的值，然后根据函数的导数与单调性的关系讨论函数的单调性．【解答】解：（1）=，当a=2时，f′（0）=，而f（0）=﹣，所以曲线在点（0，f（0））处的切线方程为：y﹣（﹣）=（x﹣0），即7x﹣4y ﹣2=0．（2）因为a≠1，由（1）可知=；又因为f（x）在x=1处取得极值，所以，解得a=﹣3；此时，定义域（﹣1，3）∪（3，+∞）；=，由f′（x）=0得x1=1，x2=7，当﹣1＜x＜1或x＞7时f′（x）＞0；当1＜x＜7且x≠3时f′（x）＜0；由上讨论可知f（x）在（﹣1，1]，[7，+∞）时是增函数，在[1，3），（3，7]上是减函数．19．（12分）（2010•重庆）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=，点E是棱PB的中点．（1）求直线AD与平面PBC的距离；（2）若AD=，求二面角A﹣EC﹣D的平面角的余弦值．【分析】（1）先根据AD∥BC，推断出AD∥平面PBC，进而可知直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离，根据PA⊥底面ABCD，判断出PA⊥AB，知△PAB为等腰直角三角形，又点E是棱PB的中点，进而可知AE⊥PB，又在矩形ABCD中，BC⊥AB，而AB是PB的底面ABCD内的射影，由三垂线定理得BC ⊥PB，从而BC⊥平面PAB，故BC⊥AE，从而AE⊥平面PBC，进而可推断出AE 之长即为直线AD与平面PBC的距离．Rt△PAB中，根据PA和AB求得AE．（2）过点D作DF⊥CE，过点F做FG⊥CE，交AC于G，则∠DFG为所求的二面角的平面角．由（1）知BC⊥平面PAB，又AD∥BC，得AD⊥平面PAB，故AD⊥AE，从而求得DE在Rt△CBE中，利用勾股定理求得CE，进而可知CE=CD推断出△CDE为等边三角形，求得DF，因为AE⊥平面PBC，故AE⊥CE，又FG⊥CE，知FG平行且等于AE的一半，从而求得FG，且G点为AC的中点，连接DG，则在Rt△ADC中，求得DG，最后利用余弦定理求得答案．【解答】解：（1）在矩形ABCD中，AD∥BC，从而AD∥平面PBC，故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离，因PA⊥底面ABCD，故PA⊥AB，知△PAB为等腰直角三角形，又点E是棱PB的中点，故AE⊥PB，又在矩形ABCD中，BC⊥AB，而AB是PB 的底面ABCD内的射影，由三垂线定理得BC⊥PB，从而BC⊥平面PAB，故BC⊥AE，从而AE⊥平面PBC，故AE之长即为直线AD与平面PBC的距离，在Rt△PAB中，PA=AB=，所以AE=PB==（2）过点D作DF⊥CE于F，过点F做FG⊥CE，交AC于G，则∠DFG为所求的二面角的平面角．由（1）知BC⊥平面PAB，又AD∥BC，得AD⊥平面PAB，故AD⊥AE，从而DE==在Rt△CBE中，CE==，由CD=，所以△CDE为等边三角形，故F为CE的中点，且DF=CD•sin=因为AE⊥平面PBC，故AE⊥CE，又FG⊥CE，知FG∥AE．且FG=AE，从而FG=，且G点为AC的中点，连接DG，则在Rt△ADC中，DG==，所以cos∠DFG==20．（12分）（2010•重庆）已知以原点O为中心，为右焦点的双曲线C的离心率．（1）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；（2）如图，已知过点M（x1，y1）的直线l1：x1x+4y1y=4与过点N（x2，y2）（其中x2≠x1）的直线l2：x2x+4y2y=4的交点E在双曲线C上，直线MN与两条渐近线分别交与G、H两点，求△OGH的面积．【分析】（1）设C的标准方程为（a＞0，b＞0），由题意知a=2，b=1，由此可求出C的标准方程和渐近线方程．（2）由题意知，点E（x E，y E）在直线l1：x1x+4y1y=4和l2：x2x+4y2y=4上，因此直线MN的方程为x E x+4y E y=4．设G，H分别是直线MN与渐近线x﹣2y=0及x+2y=0的交点，则，设MN与x轴的交战为Q，则，由此可求△OGH的面积．【解答】解：（1）设C的标准方程为（a＞0，b＞0），则由题意知，，∴a=2，b=1，∴C的标准方程为．∴C的渐近线方程为，即x﹣2y=0和x+2y=0．（2）由题意知，点E（x E，y E）在直线l1：x1x+4y1y=4和l2：x2x+4y2y=4上，因此有x E x+4y E y=4上，因此直线MN的方程为x E x+4y E y=4．设G，H分别是直线MN与渐近线x﹣2y=0及x+2y=0的交点，由方程组及，解得，设MN与x轴的交点为Q，则在直线x E x+4y E y=4k，令y=0得，∵x E2﹣4y E2=4，∴==．21．（12分）（2010•重庆）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=ca n+c n+1（2n+1）（n∈N*），其中实数c≠0．（1）求{a n}的通项公式；（2）若对一切k∈N*有a2k＞a zk﹣1，求c的取值范围．【分析】（1）根据a1，a2和a3猜测a n=（n2﹣1）c n+c n﹣1，进而用数学归纳法证明．（2）把（1）中求得的a n代入a2k＞a zk﹣1，整理得（4k2﹣1）c2﹣（4k2﹣4k﹣1）c﹣1＞0，分别表示c k和又c k'，根据c k＜＜1求得c≥1，再根据c k'＜0，判断出单调递增知c k'≥c1'求得＜﹣，最后综合答案可得．【解答】解：（1）由a1=1，a2=ca1+c23=（22﹣1）c2+ca3=ca2+c3•5=（32﹣1）c3+c2，猜测a n=（n2﹣1）c n+c n﹣1，下面用数学归纳法证明，当n=1是，等式成立假设当n=k，等式成立即a k=（k2﹣1）c k+c k﹣1，则当n=k+1时a k=ca k+c k+1（2k+1）=（k2+2k）c k+1+c k=[（k+1）2﹣1]c k+1+c k，+1综上a n=（n2﹣1）c n+c n﹣1，对任意n∈N都成立．（2）由a2k＞a zk﹣1得[（2k）2﹣1]c2k+c2k﹣1＞[（2k﹣1）2﹣1]c2k﹣1+c2k﹣2，因c2k﹣2＞0，所以（4k2﹣1）c2﹣（4k2﹣4k﹣1）c﹣1＞0解此不等式得c＞c k，或c＜c k'，其中c k=c k'=易知c k=1又由＜=4k2+1，知c k＜＜1因此由c＞c k对一切k∈N成立得c≥1又c k'=＜0，可知单调递增，故c k'≥c1'对一切k∈N*成立，因此由c＜c k'对一切k∈N*成立得c＜﹣从而c的取值范围是（﹣∞，﹣）∪[1，+∞]。
(完整word)2010年高考新课标全国卷理科数学试题(附答案)
2010年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷)理科数学试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合{||2}A x R x =∈≤},{|4}B x Z x =∈≤,则A B ⋂=(A)(0,2) (B)[0,2] (C){0,2] (D){0,1,2} (2)已知复数23(13)iz i +=-，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅= (A)14 (B)12(C) 1 (D)2 (3)曲线2xy x =+在点(1,1)--处的切线方程为(A)21y x =+ (B)21y x =- (C) 23y x =-- (D)22y x =-- (4)如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为0(2,2)P -，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为tdπ2OA B C D(5)已知命题1p ：函数22x x y -=-在R 为增函数， 2p ：函数22x x y -=+在R 为减函数，则在命题1q ：12p p ∨，2q ：12p p ∧，3q ：()12p p ⌝∨和4q ：()12p p ∧⌝中，真命题是（A ）1q ，3q （B ）2q ，3q （C ）1q ，4q （D ）2q ，4q(6)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为 (A)100 （B ）200 (C)300 （D ）400(7)如果执行右面的框图，输入5N =，则输出的数等于(A)54 （B ）45(C)65 （D ）56(8)设偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥， 则{|(2)0}x f x ->=(A) {|24}x x x <->或 (B) {|04}x x x <>或 (C) {|06}x x x <>或 (D) {|22}x x x <->或(9)若4cos 5α=-，α是第三象限的角，则1tan21tan 2αα+=- (A) 12- (B) 12(C) 2 (D) 2-(10)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 (A) 2a π(B)273a π (C)2113a π (D) 25a π (11)已知函数|lg |,010,()16,10.2x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若,,a b c 互不相等，且()()(),f a f b f c ==则abc的取值范围是(A) (1,10) (B) (5,6)(C) (10,12)(D) (20,24)(12)已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为(A)22136x y -= (B) 22145x y -= (C) 22163x y -= (D) 22154x y -=第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答。
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2
1
)
6
B、 1,
6
3
7 12
x
6
D、 2,
6
题（6）图 ） D、
（7）已知 x 0, y 0, x 2 y 2 xy 8 ，则 x 2 y 的最小值是（ A、3 （8）直线 y B、4 C、
9 2
11 2
3 x 3 3 cos , x 2 与圆心为 D 的圆 ( [0,2 )) 交于 A、B 两 3 y 1 3 sin ,
A、 2 （5）函数 f ( x) B、4 C、6 ） D、8
）
4x 1 的图象（ 2x
A、关于原点对称
B、关于直线 y x 对称
y
C、关于 x 轴对称 D、关于 y 轴对称 （6）已知函数 y sin(x )( 0, | | 的部分图象如题（6）图所示，则（ A、 1, C、 2, ）
） C、
点，则直线 AD 与 BD 的倾斜角之和为（ A、
7 6
B、
5 4
4 3
D、
5 3
（9）某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班，每天安排 1 人，每人值班 1 天、若 7 位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在 10 月 1 日，丁不排在 10 月 7 日，则不同的安 排方案共有（ A、504 种 ） B、960 种 C、1008 种 D、1108 种
（Ⅰ）求 f ( x) 的值域； （Ⅱ）记 ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c ，若
f ( B ) 1, b 1, c 3 ，求 a 的值.
（17） （本小题满分 13 分， （Ⅰ）小问 5 分， （Ⅱ）小问 8 分.） 在甲、乙等 6 个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排 在一起、若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为 1，2，…，6） ，求： （Ⅰ）甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率； （Ⅱ）甲、乙两单位之间的演出单位个数 的分布列与期望.
（19） （本小题满分 12 分， （Ⅰ）小问 5 分， （Ⅱ）小问 7 分.） 如题（19）图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， PA 底面 ABCD ，
PA AB 6 ，点 E 是棱 PB 的中点.
（2）已知向量 a, b 满足 a b 0, | a | 1, | b | 2 ，则 | 2a b | （ A、0 （3） lim A、 1 B、 2 2 ） C、4
1 4 （ 2 x2 x 4 x 2
B、
1 4
C、
1 4
D、1
y 0, （4）设变量 x, y 满足约束条件 x y 1 0, 则 z 2 x y 的最大值为（ x y 3 0,
2
（14）已知以 F 为焦点的抛物线 y 4 x 上的两点 A、B 满足 AF 3FB ，则弦 AB 的 中点到准线的距离为___________.
（15）已知函数 f ( x) 满足： f (1)
1 ,4 f ( x) f ( y ) f ( x y ) f ( x y )( x, y R ) ，则 4
绝密★启用前 解密时间：2010 年 6 月 7 日 17：00 【考试时间：6 月 7 日 15：00—17：00】
2010 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷） 数学试题卷（理工农医类）
数学试题卷（理工农医类）共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个备选项中，只 有一项是符合题目要求的. （1）在等比数列 {a n } 中， a 2010 8a 2007 ，则公比 q 的值为（ A、2 B、3 C、4 ） D、8 ） D、8
（10）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线 的平面内的轨迹是（ A、直线 ） B、椭圆 C、抛物线 D、双曲线
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分、把答案填写在答题卡相应位置上. （11）已知复数 z 1 i, 则
2 z ____________. z
（18） （本小题满分 13 分， （Ⅰ）小问 5 分， （Ⅱ）小问 8 分.） 已知函数 f ( x)
x 1 ln( x 1) ，其中实数 a 1 . xa
（Ⅰ）若 a 2 ，求曲线 y f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程； （Ⅱ）若 f ( x) 在 x 1 处取得极值，试讨论 f ( x) 的单调性.
f (2010) __________.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （16） （本小题满分 13 分， （Ⅰ）小问 7 分， （Ⅱ）小问 6 分.） 设函数 f ( x) cos( x
2 x ) 2 cos 2 , x R . 3 2
2
（12）设 U {0,1,2,3}, A {x U | x mx 0} ，若 CU A {1,2} ，则实数
m _________.
（13）某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率 为
16 ，则该队员每次罚球的命中率为_____________. 25