中考数学动点问题(含答案)

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中考数学动点问题(含答案)

中考数学动点问题(含答案)

中考数学之动点问题一、选择题:1. 如图,在矩形ABCD中,动点P从点B出发,沿BC、CD、DA运动至点A停顿,设点P运动的路程为*,△ABP的面积为y,如果y关于*的函数图象如图2所示,则△ABC的面积是〔〕A、10B、16C、18D、20二、填空题:1. 如上右图,C为线段AE上一动点〔不与点A,E重合〕,在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连结PQ.以下五个结论:①AD=BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④DE=DP;⑤∠AOB=60°.恒成立的结论有_______________________〔把你认为正确的序号都填上〕。

三、解答题:1.〔2008年大连〕如图12,直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠A = 90°,CD = 3,AD = 4,tan B = 2,过点C作CH⊥AB,垂足为H.点P为线段AD上一动点,直线PM∥AB,交BC、C H于点M、Q.以PM为斜边向右作等腰Rt△PMN,直线MN交直线AB于点E,直线PN交直线A B于点F.设PD的长为*,EF的长为y.⑴求PM的长(用*表示);⑵求y与*的函数关系式及自变量*的取值范围(图13为备用图);⑶当点E在线段AH上时,求*的取值范围(图14为备用图).2.〔2008年福建宁德〕如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=8厘米,点D在AC上,CD=3厘米.点P、Q分别由A、C两点同时出发,点P沿AC方向向点C匀速移动,速度为每秒k厘米,行完AC全程用时0<x<,△DCQ的8秒;点Q沿CB方向向点B匀速移动,速度为每秒1厘米.设运动的时间为*秒()8面积为y1平方厘米,△PCQ的面积为y2平方厘米.⑴求y1与*的函数关系,并在图2中画出y1的图象;⑵如图2,y2的图象是抛物线的一局部,其顶点坐标是〔4,12〕,求点P的速度及AC的长;⑶在图2中,点G是*轴正半轴上一点〔0<OG<6=,过G作EF垂直于*轴,分别交y1、y2于点E、F.①说出线段EF的长在图1中所表示的实际意义;②当0<*<6时,求线段EF长的最大值.3.〔2008年白银〕如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC 是矩形,点B 的坐标为〔4,3〕.平行于对角线AC 的直线m 从原点O 出发,沿*轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,设直线m 与矩形OABC 的两边..分别交于点M 、N ,直线m 运动的时间为t 〔秒〕. (1) 点A 的坐标是__________,点C 的坐标是__________; (2) 当t=秒或秒时,MN=21AC ; (3) 设△OMN 的面积为S ,求S 与t 的函数关系式;(4) 探求(3)中得到的函数S 有没有最大值?假设有,求出最大值;假设没有,要说明理由.参考答案一、选择 A二、填空:〔1〕〔2〕〔3〕〔5〕 三、解答: 2、解:⑴∵CD CQ S DCQ ⋅⋅=∆21,CD =3,CQ =*, ∴x y 231=. 图象如下图.⑵方法一:CP CQ S PCQ ⋅⋅=∆21,CP =8k -*k ,CQ =*, ∴()kx kx x kx k y 42182122+-=⋅-⨯=.∵抛物线顶点坐标是〔4,12〕,∴12444212=⋅+⋅-k k . 解得23=k .图1C Q → B图2则点P 的速度每秒23厘米,AC =12厘米. 方法二:观察图象知,当*=4时,△PCQ 面积为12. 此时PC =AC -AP =8k -4k =4k ,CQ =4.∴由CP CQ S PCQ ⋅⋅=∆21,得 12244=⨯k .解得23=k . 则点P 的速度每秒23厘米,AC =12厘米.方法三:设y 2的图象所在抛物线的解析式是c bx ax y ++=2. ∵图象过〔0,0〕,〔4,12〕,〔8,0〕,∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=.0864124160c b a c b a c ,, 解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=.0643c b a ,, ∴x x y 64322+-=. ①∵CP CQ S PCQ ⋅⋅=∆21,CP =8k -*k ,CQ =*,∴kx kx y 42122+-=. ②比拟①②得23=k .则点P 的速度每秒23厘米,AC =12厘米.⑶①观察图象,知线段的长EF =y 2-y 1,表示△PCQ 与△DCQ 的面积差〔或△PDQ 面积〕. ②由⑵得 x x y 64322+-=.〔方法二,x x x x y 643232382122+-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯=〕∵EF =y 2-y 1, ∴EF =x x x x x 29432364322+-=-+-, ∵二次项系数小于0,∴在60<x<范围,当3=x 时,427=EF 最大. 3、解:(1)〔4,0〕,〔0,3〕; 2分 (2) 2,6; 4分 (3) 当0<t ≤4时,OM =t .由△OMN ∽△OAC ,得OCONOA OM =, ∴ ON =t 43,S=283t . 6分 当4<t <8时,如图,∵ OD =t ,∴ AD = t-4. 方法一:由△DAM ∽△AOC ,可得AM =)4(43-t ,∴ BM =6-t 43. 7分 由△BMN ∽△BAC ,可得BN =BM 34=8-t ,∴ CN =t-4. 8分S=矩形OABC 的面积-Rt △OAM 的面积- Rt △MBN 的面积- Rt △NCO 的面积=12-)4(23-t -21〔8-t 〕〔6-t 43〕-)4(23-t =t t 3832+-. ·························· 10分方法二:易知四边形ADNC 是平行四边形,∴ CN =AD =t-4,BN =8-t .7分 由△BMN ∽△BAC ,可得BM =BN 43=6-t 43,∴ AM =)4(43-t .8分 以下同方法一. (4) 有最大值.方法一: 当0<t ≤4时,∵ 抛物线S=283t 的开口向上,在对称轴t=0的右边, S 随t 的增大而增大, ∴ 当t=4时,S 可取到最大值2483⨯=6; 11分当4<t <8时, ∵ 抛物线S=t t 3832+-的开口向下,它的顶点是〔4,6〕,∴ S <6. 综上,当t=4时,S 有最大值6. 12分 方法二:∵ S=22304833488t t t t t ⎧<⎪⎪⎨⎪-+<<⎪⎩,≤,∴ 当0<t <8时,画出S 与t 的函数关系图像,如下图. 11分显然,当t=4时,S有最大值6. 12分说明:只有当第〔3〕问解答正确时,第〔4〕问只答复"有最大值〞无其它步骤,可给1分;否则,不给分.。

中考数学动点问题(单向直线)

中考数学动点问题(单向直线)

B
M
C
自我检测
1.如图 梯形 如图,梯形 如图 梯形ABCD中,AD∥ BC, 中 ∥ 开始沿AD ∠B=90° ,AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从A开始沿 ° 点 从 开始沿 边以1cm/秒的速度移动,点Q从C开始沿 向点B以2 cm/秒的 边以 秒的速度移动, 从 开始沿CB向点 以 秒的 秒的速度移动 开始沿 向点 速度移动,如果P,Q分别从 分别从A,C同时出发,设移动时间为 秒。 同时出发, 速度移动,如果 分别从 同时出发 设移动时间为t秒 当t= 当t=
A
分 类 讨 论
M
C(P)
B
M
P
B
A M P C B
例2:在等腰梯形 :在等腰梯形ABCD中,AD‖BC,E为 中 ‖ 为 AB的中点 过点 作EF‖BC交CD于点 的中点,过点 的中点 过点E作 ‖ 交 于点 F.AB=4,BC=6, ∠ B=60° ° (1)求点 到BC的距离 )求点E到 的距离
3 ,MG=1.5 2
∴NG=4-1.5=2.5 Rt △PGN中,由勾股定理得 由勾股定理得,PN= 7 中 由勾股定理得 的形状不发生改变,周长为 ∴ △PMN的形状不发生改变 周长为 = 3 + 7 的形状不发生改变 周长为4+
在线段DC上时 ②当点N在线段 上时,是否存在点 , 当点 在线段 上时,是否存在点P, 为等腰三角形? 使△PMN为等腰三角形?若存在,请求 为等腰三角形 若存在, 出所有满足要求的X的值 若不存在, 的值, 出所有满足要求的 的值,若不存在, 请说明理由。 请说明理由。 存在
P
y
E
B o y A C
C
P
N F

(中考数学)动点问题专题训练(含答案)

(中考数学)动点问题专题训练(含答案)

中考专题训练 动点问题例1. 如图, 在ABC ∆中,AB AC =,AD BC ⊥于点D ,10BC cm =,8AD cm =. 点P 从点B 出发, 在线段BC 上以每秒3cm 的速度向点C 匀速运动, 与此同时, 垂直于AD 的直线m 从底边BC 出发, 以每秒2cm 的速度沿DA 方向匀速平移, 分别交AB 、AC 、AD 于E 、F 、H ,当点P 到达点C 时, 点P 与直线m 同时停止运动, 设运动时间为t 秒(0)t >.(1) 当2t =时, 连接DE 、DF ,求证: 四边形AEDF 为菱形;(2) 在整个运动过程中, 所形成的PEF ∆的面积存在最大值, 当PEF ∆的面积最大时, 求线段BP 的长;(3) 是否存在某一时刻t ,使PEF ∆为直角三角形?若存在, 请求出此时刻t 的值;若不存在, 请说明理由 .【解答】(1) 证明: 当2t =时,4DH AH ==,则H 为AD 的中点, 如答图 1 所示 . 又EF AD ⊥ ,EF ∴为AD 的垂直平分线,AE DE ∴=,AF DF =.AB AC = ,AD BC ⊥于点D ,AD BC ∴⊥,B C ∠=∠.//EF BC ∴,AEF B ∴∠=∠,AFE C ∠=∠,AEF AFE ∴∠=∠,AE AF ∴=,AE AF DE DF ∴===,即四边形AEDF 为菱形 .(2) 解: 如答图 2 所示, 由 (1) 知//EF BC ,AEF ABC ∴∆∆∽, ∴EF AH BC AD =,即82108EF t -=,解得:5102EF t =-. 221155510(10)210(2)10(0)222223PEF S EF DH t t t t t t ∆==-=-+=--+<< , ∴当2t =秒时,PEF S ∆存在最大值, 最大值为210cm ,此时36BP t cm ==.(3) 解: 存在 . 理由如下:①若点E 为直角顶点, 如答图 3①所示,此时//PE AD ,2PE DH t ==,3BP t =.//PE AD ,∴PE BP AD BD =,即2385t t =,此比例式不成立, 故此种情形不存在; ②若点F 为直角顶点如答图 3②所示,此时//PF AD ,2PF DH t ==,3BP t =,103CP t =-.//PF AD ,∴PF CP AD CD =,即210385t t -=,解得4017t =;③若点P 为直角顶点,如答图③所示 .过点E 作EM BC ⊥于点M ,过点F 作FN BC ⊥于点N ,则2EM FN DH t ===,////EM FN AD .//EM AD ,∴EM BM AD BD =,即285t BM =,解得54BM t =, 57344PM BP BM t t t ∴=-=-=. 在Rt EMP ∆中, 由勾股定理得:2222227113(2)()416PE EM PM t t t =+=+=. //FN AD ,∴FN CN AD CD =,即285t CN =,解得54CN t =, 5171031044PN BC BP CN t t t ∴=--=--=-. 在Rt FNP ∆中, 由勾股定理得:22222217353(2)(10)85100416PF FN PN t t t t =+=+-=-+. 在Rt PEF ∆中, 由勾股定理得:222EF PE PF =+, 即:2225113353(10)()(85100)21616t t t t -=+-+ 化简得:21833508t t -=, 解得:280183t =或0t =(舍 去) 280183t ∴=. 综上所述, 当4017t =秒或280183t =秒时,PEF ∆为直角三角形 .例2. 如图, 在同一平面上, 两块斜边相等的直角三角板Rt ABC ∆和Rt ADC ∆拼在一起,使斜边AC 完全重合, 且顶点B ,D 分别在AC 的两旁,90ABC ADC ∠=∠=︒,30CAD ∠=︒,4AB BC cm ==(1) 填空:AD = )cm ,DC = ()cm(2) 点M ,N 分别从A 点,C 点同时以每秒1cm 的速度等速出发, 且分别在AD ,CB 上沿A D →,C B →方向运动, 当N 点运动到B 点时,M 、N 两点同时停止运动, 连接MN ,求当M 、N 点运动了x 秒时, 点N 到AD 的距离 (用 含x 的式子表示)(3) 在 (2) 的条件下, 取DC 中点P ,连接MP ,NP ,设PMN ∆的面积为2()y cm ,在整个运动过程中,PMN ∆的面积y 存在最大值, 请求出y 的最大值 .(参考数据sin 75︒=sin15︒=【解答】解: (1)90ABC ∠=︒ ,4AB BC cm ==,AC ∴===,90ADC ∠=︒ ,30CAD ∠=︒,12DC AC ∴==,AD ∴==;故答案为:,;(2) 过点N 作NE AD ⊥于E ,作NF DC ⊥,交DC 的延长线于F ,如图所示:则NE DF =,90ABC ADC ∠=∠=︒ ,AB BC =,30CAD ∠=︒,45ACB ∴∠=︒,60ACD ∠=︒,180456075NCF ∴∠=︒-︒-︒=︒,15FNC ∠=︒,sinFC FNCNC ∠=,NC x=,FC x∴=,NE DF x∴==+,∴点N到ADx+;(3)sinFN NCFNC ∠=,FN x∴=,P为DC的中点,PD CP∴==PF x∴=PMN∴∆的面积y=梯形MDFN的面积PMD-∆的面积PNF-∆的面积111)) 222x x x x=+-+--+2x x=+,即y是x的二次函数,0<,y∴有最大值,当x==时,y=.例3. 如图,BD 是正方形ABCD 的对角线,2BC =,边BC 在其所在的直线上平移, 将通过平移得到的线段记为PQ ,连接PA 、QD ,并过点Q 作QO BD ⊥,垂足为O ,连接OA 、OP .(1) 请直接写出线段BC 在平移过程中, 四边形APQD 是什么四边形?(2) 请判断OA 、OP 之间的数量关系和位置关系, 并加以证明;(3) 在平移变换过程中, 设OPB y S ∆=,(02)BP x x =……,求y 与x 之间的函数关系式,并求出y 的最大值 .【解答】(1) 四边形APQD 为平行四边形;(2)OA OP =,OA OP ⊥,理由如下:四边形ABCD 是正方形,AB BC PQ ∴==,45ABO OBQ ∠=∠=︒,OQ BD ⊥ ,45PQO ∴∠=︒,45ABO OBQ PQO ∴∠=∠=∠=︒,OB OQ ∴=,在AOB ∆和OPQ ∆中,AB PQABO PQO BO QO=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AOB POQ SAS ∴∆≅∆,OA OP ∴=,AOB POQ ∠=∠,90AOP BOQ ∴∠=∠=︒,OA OP ∴⊥;(3) 如图, 过O 作OE BC ⊥于E .①如图 1 ,当P 点在B 点右侧时,则2BQ x =+,22x OE +=, 1222x y x +∴=⨯,即211(1)44y x =+-, 又02x ……,∴当2x =时,y 有最大值为 2 ;②如图 2 ,当P 点在B 点左侧时,则2BQ x =-,22x OE -=, 1222x y x -∴=⨯ ,即211(1)44y x =--+, 又02x ……,∴当1x =时,y 有最大值为14; 综上所述,∴当2x =时,y 有最大值为 2 .例4. 如图, 在平面直角坐标系中,O 为原点, 四边形ABCO 是矩形, 点A ,C 的坐标分别是(0,2)A 和C ,0),点D 是对角线AC 上一动点 (不 与A ,C 重合) ,连结BD ,作DE DB ⊥,交x 轴于点E ,以线段DE ,DB 为邻边作矩形BDEF .(1) 填空: 点B 的坐标为 ;(2) 是否存在这样的点D ,使得DEC ∆是等腰三角形?若存在, 请求出AD 的长度;若不存在, 请说明理由;(3)①求证:DE DB =; ②设AD x =,矩形BDEF 的面积为y ,求y 关于x 的函数关系式 (可 利用①的结论) ,并求出y 的最小值 .【解答】解: (1) 四边形AOCB 是矩形,2BC OA ∴==,OC AB ==90BCO BAO ∠=∠=︒,B ∴2).故答案为2).(2) 存在 . 理由如下:2OA = ,OC =,tan AO ACO OC ∠== , 30ACO ∴∠=︒,60ACB ∠=︒①如图 1 中, 当E 在线段CO 上时,DEC ∆是等腰三角形, 观察图象可知, 只有ED EC =,30DCE EDC ∴∠=∠=︒,60DBC BCD ∴∠=∠=︒,DBC ∴∆是等边三角形,2DC BC ∴==,在Rt AOC ∆中,30ACO ∠=︒ ,2OA =,24AC AO ∴==,422AD AC CD ∴=-=-=.∴当2AD =时,DEC ∆是等腰三角形 .②如图 2 中, 当E 在OC 的延长线上时,DCE ∆是等腰三角形, 只有CD CE =,15DBC DEC CDE ∠=∠=∠=︒,75ABD ADB ∴∠=∠=︒,AB AD ∴==,综上所述, 满足条件的AD 的值为 2 或(3)①如图 1 ,过点D 作MN AB ⊥交AB 于M ,交OC 于N ,(0,2)A 和C ,0),∴直线AC 的解析式为2y x =+,设(,2)D a +,2DN ∴=+,BM a =90BDE ∠=︒ ,90BDM NDE ∴∠+∠=︒,90BDM DBM ∠+∠=︒,DBM EDN ∴∠=∠,90BMD DNE ∠=∠=︒ ,BMD DNE ∴∆∆∽,∴DE DN BD BM ===②如图 2 中, 作DH AB ⊥于H .在Rt ADH ∆中,AD x = ,30DAH ACO ∠=∠=︒,1122DH AD x ∴==,AH x ==,BH x ∴=, 在Rt BDH ∆中,BD ==,DE ∴==, ∴矩形BDEF的面积为22612)y x x ==-+,即2y x =-+,23)y x ∴=-+,0>,3x ∴=时,y .例5. 已知Rt OAB ∆,90OAB ∠=︒,30ABO ∠=︒,斜边4OB =,将Rt OAB ∆绕点O 顺时针旋转60︒,如图 1 ,连接BC .(1) 填空:OBC ∠= 60 ︒;(2) 如图 1 ,连接AC ,作OP AC ⊥,垂足为P ,求OP 的长度;(3) 如图 2 ,点M ,N 同时从点O 出发, 在OCB ∆边上运动,M 沿O C B →→路径匀速运动,N 沿O B C →→路径匀速运动, 当两点相遇时运动停止, 已知点M 的运动速度为 1.5 单位/秒, 点N 的运动速度为 1 单位/秒, 设运动时间为x 秒,OMN ∆的面积为y ,求当x 为何值时y 取得最大值?最大值为多少?【解答】解: (1) 由旋转性质可知:OB OC =,60BOC ∠=︒,OBC ∴∆是等边三角形,60OBC ∴∠=︒.故答案为 60 .(2) 如图 1 中,4OB = ,30ABO ∠=︒,122OA OB ∴==,AB ==11222AOC S OA AB ∆∴==⨯⨯=BOC ∆ 是等边三角形,60OBC ∴∠=︒,90ABC ABO OBC ∠=∠+∠=︒,AC ∴==2AOC S OP AC ∆∴===.(3)①当803x <…时,M 在OC 上运动,N 在OB 上运动,此时过点N 作NE OC ⊥且交OC 于点E .则sin 60NE ON x =︒= ,11 1.522OMN S OM NE x x ∆∴==⨯ ,2y x ∴=.83x ∴=时,y 有最大值, 最大值=. ②当843x <…时,M 在BC 上运动,N 在OB 上运动 .作MH OB ⊥于H . 则8 1.5BM x =-,sin 60 1.5)MH BM x =︒=- ,212y ON MH x ∴=⨯⨯=+.当83x =时,y 取最大值,y < ③当4 4.8x <…时,M 、N 都在BC 上运动, 作OG BC ⊥于G .12 2.5MN x =-,OG AB ==,12y MN OG ∴== ,当4x =时,y 有最大值, 最大值=,综上所述,y 有最大值, .。

中考数学总复习《动点问题》专项提升训练(带答案)

中考数学总复习《动点问题》专项提升训练(带答案)

中考数学总复习《动点问题》专项提升训练(带答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________例题1.如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,AB=4,动点M,N同时从A点出发,点M以每秒2个单位长度沿折线A﹣B﹣C向终点C运动;点N以每秒1个单位长度沿线段AD向终点D运动,当其中一点运动至终点时,另一点随之停止运动.设运动时间为x秒,△AMN的面积为y个平方单位,则下列正确表示y与x函数关系的图象是()A B C D解:连接BD,过B作BE⊥AD于E,当0≤x<2时,点M在AB上在菱形ABCD中,∠A=60°,AB=4∴AB=AD∴△ABD是等边三角形∴AE=ED=12AD=2,BE=√3AE=2√3∵AM=2x,AN=x∴AMAN=ABAE=2∵∠A=∠A∴△AMN∽△ABE∴∠ANM=∠AEB=90°∴MN=√AM2−AN2=√3xx×√3x=√32x2∴y=12当2≤x≤4时,点M在BC上y=12AN⋅BE=12x×2√3=√3x综上所述,当0≤x<2时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分,当2≤x≤4时,函数图象是直线的一部分故选:A.2.如图1,矩形ABCD中,点E为BC的中点,点P沿BC从点B运动到点C,设B,P两点间的距离为x,P A﹣PE=y,图2是点P运动时y随x变化的关系图象,则BC=.解:由函数图象知:当x=0,即P在B点时,BA﹣BE=1.利用两点之间线段最短,得到P A﹣PE≤AE.∴y的最大值为AE∴AE=5.在Rt△ABE中,由勾股定理得:BA2+BE2=AE2=25设BE的长度为t则AB=t+1∴(t+1)2+t2=25即:t2+t﹣12=0∴(t+4)(t﹣3)=0解得t=﹣4或t=3由于t>0∴t=3∴AB=t+2=3+2=5,AD=BC=3×2=6.故答案为:6.3.如图①,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D(BD>AD),动点P从B点出发,沿折线BA→AC方向运动,运动到点C停止,设点P的运动路程为x,△BPD的面积为y,y与x的函数图象如图②,则BC的长为.解:由题意得:AB+AC=2√13,△ABD的面积=3∵AB=AC∴AB=AC=√13∵AD⊥BC∴∠ADB=90°,BC=2BD∴AD2+BD2=AB2∴AD2+BD2=13∵△ABD的面积=3∴12AD•BD=3∴AD•BD=6∴(AD+BD)2=AD2+2BD•AD+BD2=13+2×6=25∴AD+BD=5或AD+BD=﹣5(舍去)∵AD2+BD2=AB2∴BD2+(5﹣BD)2=13∴BD=2或BD=3当BD=2时,AD=5﹣BD=3(舍去)当BD=3时,AD=5﹣BD=2∴BC=2BD=6故答案为:6.4.如图,在平面直角坐标系中,菱形AOCB的边OC在x轴上,∠AOC=60°,OC的长是一元二次方程x2﹣4x﹣12=0的根,过点C作x轴的垂线,交对角线OB于点D,直线AD分别交x轴和y 轴于点F和点E,动点M从点O以每秒1个单位长度的速度沿OD向终点D运动,动点N从点F 以每秒2个单位长度的速度沿FE向终点E运动.两点同时出发,设运动时间为t秒.(1)求直线AD的解析式;(2)连接MN,求△MDN的面积S与运动时间t的函数关系式;(3)点N在运动的过程中,在坐标平面内是否存在一点Q,使得以A,C,N,Q为顶点的四边形是矩形.若存在,直接写出点Q的坐标,若不存在,说明理由.(1)解:解方程x2﹣4x﹣12=0得:x1=6,x2=﹣2∴OC=6∵四边形AOCB是菱形,∠AOC=60°∴OA=OC=6,∠BOC=1∠AOC=30°2∴CD=OC•tan30°=6×√3=2√33∴D(6,2√3)过点A作AH⊥OC于H∵∠AOH=60°OA=3,AH=OA•sin60°=6×√32=3√3∴OH=12∴A(3,3√3)设直线AD的解析式为y=kx+b(k≠0)代入A(3,3√3),D(6,2√3)得:{3k+b=3√36k+b=2√3解得:{k=−√3 3b=4√3∴直线AD的解析式为y=−√33x+4√3;(2)解:由(1)知在Rt△COD中,CD=2√3,∠DOC=30°∴OD=2CD=4√3,∠EOD=90°﹣∠DOC=90°﹣30°=60°∵直线y=−√33x+4√3与y轴交于点E∴OE=4√3∴OE=OD∴△EOD是等边三角形∴∠OED=∠EDO=∠BDF=60°,ED=OD=4√3∴∠OFE=30°=∠DOF∴DO=DF=4√3①当点N在DF上,即0≤t≤2√3时由题意得:DM=OD−OM=4√3−t,DN=4√3−2t过点N作NP⊥OB于P则NP=DN×sin∠PDN=DN×sin60°=(4√3−2t)×√32=6−√3t∴S=12DM×NP=12(4√3−t)×(6−√3t)=√32t2﹣9t+12√3;②当点N在DE上,即2√3<t≤4√3时由题意得:DM=OD﹣OM=√3−t,DN=2t﹣4√3过点N作NT⊥OB于T则NT =DN •sin ∠NDT =DN •sin60°=(2t ﹣4√3)×√32=√3t −6 ∴S =12DM ⋅NT =12(4√3−t)(√3t −6)=−√32t 2+9t −12√3; 综上,S ={√32t 2−9t +12√3(0≤t ≤2√3)−√32t 2+9t −12√3(2√3<t ≤4√3);(3)解:存在,分情况讨论:①如图,当AN 是直角边时,则CN ⊥EF ,过点N 作NK ⊥CF 于K∵∠NFC =30° OE =4√3 ∴∠NCK =60° OF =√3OE =12 ∴CF =12﹣6=6 ∴CN =12CF =3∴CK =CN ×cos60°=3×12=32 NK =CN ×sin60°=3×√32=3√32 ∴将点N 向左平移32个单位长度,再向下平移3√32个单位长度得到点C ∴将点A 向左平移32个单位长度,再向下平移3√32个单位长度得到点Q∵A(3,3√3) ∴Q (32,3√32); ②如图,当AN 是对角线时,则∠ACN =90°,过点N 作NL ⊥CF 于L∵OA =OC ,∠AOC =60° ∴△AOC 是等边三角形 ∴∠ACO =60°∴∠NCF=180°﹣60°﹣90°=30°=∠NFC∴CL=FL=12CF=3∴NL=CL•tan30°=3×√33=√3∴将点C向右平移3个单位长度,再向上平移√3个单位长度得到点N ∴将点A向右平移3个单位长度,再向上平移√3个单位长度得到点Q ∵A(3,3√3)∴Q(6,4√3);∴存在一点Q,使得以A,C,N,Q为顶点的四边形是矩形,点Q的坐标是(32,3√32)或(6,4√3).练习题1.如图1,在Rt△ABC中,动点P从A点运动到B点再到C点后停止,速度为2单位/s,其中BP 长与运动时间t(单位:s)的关系如图2,则AC的长为()A.15√52B.√427C.17D.5√32.如图1,正方形ABCD的边长为4,E为CD边的中点.动点P从点A出发沿AB→BC匀速运动,运动到点C时停止.设点P的运动路程为x,线段PE的长为y,y与x的函数图象如图2所示,则点M的坐标为()A.(4,2√3)B.(4,4)C.(4,2√5)D.(4,5)3.如图,在正方形ABCD中,AB=4,动点M,N分别从点A,B同时出发,沿射线AB,射线BC 的方向匀速运动,且速度的大小相等,连接DM,MN,ND.设点M运动的路程为x(0≤x≤4),△DMN的面积为S,下列图象中能反映S与x之间函数关系的是()A B C D4.如图,在边长为4的菱形ABCD中,∠A=60°,点P从点A出发,沿路线A→B→C→D运动.设P点经过的路程为x,以点A,D,P为顶点的三角形的面积为y,则下列图象能反映y与x的函数关系的是()A B C D5.如图,四边形ABCD中,已知AB∥CD,AB与CD之间的距离为4,AD=5,CD=3,∠ABC=45°,点P,Q同时由A点出发,分别沿边AB,折线ADCB向终点B方向移动,在移动过程中始终保持PQ⊥AB,已知点P的移动速度为每秒1个单位长度,设点P的移动时间为x秒,△APQ 的面积为y,则能反映y与x之间函数关系的图象是()A B C D6.如图(1),在平面直角坐标系中,矩形ABCD在第一象限,且BC∥x轴,直线y=2x+1沿x轴正方向平移,在平移过程中,直线被矩形ABCD截得的线段长为a,直线在x轴上平移的距离为b,a、b间的函数关系图象如图(2)所示,那么矩形ABCD的面积为.7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,点P是平面内一个动点,且AP=3,Q 为BP的中点,在P点运动过程中,设线段CQ的长度为m,则m的取值范围是.8.如图1,E为矩形ABCD的边AD上一点,点P从点B出发沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C停止,点Q从点B出发沿BC运动到点C停止,它们运动的速度都是1cm/s.若点P、点Q同时开始运动,设运动时间为t(s),△BPQ的面积为y(cm2),已知y与t之间的函数图象如图2所示.=48cm2;③当14<t<22时,y 给出下列结论:①当0<t≤10时,△BPQ是等腰三角形;②S△ABE=110﹣5t;④在运动过程中,使得△ABP是等腰三角形的P点一共有3个;⑤△BPQ与△ABE相似时,t=14.5.其中正确结论的序号是.9.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(9,0),点C的坐标为(0,3),以OA,OC为边作矩形OABC.动点E,F分别从点O,B同时出发,以每秒1个单位长度的速度沿OA,BC向终点A,C移动.当移动时间为4秒时,求AC•EF的值.10.在平面直角坐标系中,O为原点,菱形ABCD的顶点A(√3,0),B(0,1),D(2√3,1),矩形EFGH的顶点E(0,12),F(−√3,12),H(0,32).(1)填空:如图①,点C的坐标为点G的坐标为;(2)将矩形EFGH沿水平方向向右平移,得到矩形E′FG′H′,点E,F,G,H的对应点分别为E′,F′,G′,H′,设EE′=t,矩形E′F′G′H′与菱形ABCD重叠部分的面积为S.①如图②,当边E′F′与AB相交于点M、边G′H′与BC相交于点N,且矩形E′F′G′H′与菱形ABCD重叠部分为五边形时,试用含有t的式子表示S,并直接写出t的取值范围;②当2√33≤t≤11√34时,求S的取值范围(直接写出结果即可).11.已知正方形ABCD与正方形AEFG,正方形AEFG绕点A旋转一周.(1)如图①,连接BG、CF,求CFBG的值;(2)当正方形AEFG旋转至图②位置时,连接CF、BE,分别取CF、BE的中点M、N,连接MN、试探究:MN与BE的关系,并说明理由;(3)连接BE、BF,分别取BE、BF的中点N、Q,连接QN,AE=6,请直接写出线段QN扫过的面积.12.已知四边形ABCD是边长为1的正方形,点E是射线BC上的动点,以AE为直角边在直线BC 的上方作等腰直角三角形AEF,∠AEF=90°,设BE=m.(1)如图,若点E在线段BC上运动,EF交CD于点P,AF交CD于点Q,连接CF 时,求线段CF的长;①当m=13②在△PQE中,设边QE上的高为h,请用含m的代数式表示h,并求h的最大值;(2)设过BC的中点且垂直于BC的直线被等腰直角三角形AEF截得的线段长为y,请直接写出y 与m的关系式.参考答案1.C.2.C.3.A.4.A.5.B.6.8.7.72≤m≤132.8.①③⑤.9.30.10.(1)(√3,2)(−√3,32);(2)当2√33≤t≤11√34时,则√316≤S≤√3.11.(1)√2;(2)BE=2MN MN⊥BE (3)9π.12.(1)①√23;②h=﹣m2+m=﹣(m−12)2+14,∴m=12时,h最大值是14;(2)y={1−12m−1−m2(1+m)+m2(0≤m≤12) 1+m22m2+2m(m>12).。

初中数学动点问题大全

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初中数学动点问题大全动点问题一直是中考热点题型,近几年考察探究运动中的特殊性:等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数值、线段或面积的最值问题等,下面就此问题的常见题型作简单介绍。

题型一动点形成的面积问题1.面积公式:三角形面积用12S ah =来表示,利用未知数的代数式来表示底和高。

2.面积比等于相似比的平方:面积无法用底和高表示时,利用相似三角形的面积比等于相似比的平方来求解,只需要知道相似比和另一个三角形面积即可表示。

3.相似三角形:当面积公式和面积比等于相似比的平方不能有效解题时,利用相似三角形的比例关系求解。

角度1:利用公式法解决动点面积问题例题1:在平面直角坐标系xOy 中,抛物线2y x bx c =-++经过点30A (,)和23B (,).过点A 的直线与y 轴的负半轴相交于点C ,且1tan 3CAO ∠=.(1)求这条抛物线的表达式及对称轴;(2)连接AB 、BC ,求ABC ∠的正切值;(3)若点D 在x 轴下方的对称轴上,当ABC ADC S S ∆∆=时,求点D 的坐标.变式1:如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知点A 的坐标为(,3)a (其中4a >),射线O 与反比例函数12y x =的图像交于点P ,点B 、C 分别在函数12y x=的图像上,且//AB x 轴,//AC y 轴.(1)当点P 横坐标为6,求直线AO 的表达式;(2)联结BO ,当AB BO =时,求点A 坐标;(3)联结BP 、CP ,试猜想:ABP ACP S S ∆∆的值是否随a 的变化而变化?如果不变,求出ABP ACP S S ∆∆的值;如果变化,请说明理由.O x y (备用图)O xy解析:(1)∵反比例函数12y x=的图像经过横坐标为6的点P ,∴点P 的坐标为(6,2).设直线AO 的表达式为y kx =(0k ≠).将点P (6,2)代入y kx =,解得13k =.∴所求反比例函数的解析式为13y x =.(2)∵AB //x 轴,∴点B 纵坐标为3,将3y =代入12y x=,得4x =.∴B 坐标为(4,3).∵AB =BO ,∴224(40)(30)a -=-+-9a =.∴点A 坐标为(9,3).(3)不变.延长AB 交y 轴于点D ,延长AC 交x 轴于点E ,∴32ADO AEO S S a ∆∆==.∵点C 坐标为(a ,12a ).∴6CEO S ∆=,同理6BDO S ∆=,∴ADO BDO AEO CEO S S S S ∆∆∆∆-=-,即ABO ACO S S ∆∆=.∵△ABP 与△ABO 同高,∴ABP ABO S AP S AO ∆∆=.同理ACP ACO S AP S AO ∆∆=.∴1ABP ACP S S ∆∆=.即当a 变化时,ABP ACPS S ∆∆的值不变,且恒为1变式2:如图,在直角坐标系中,一条抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点,其中(3,0)B ,(0,4)C ,点A 在x 轴的负半轴上,4OC OA =;(1)求这条抛物线的解析式,并求出它的顶点坐标;(2)联结AC 、BC ,点P 是x 轴正半轴上一个动点,过点P 作//PM BC 交射线AC 于点M ,联结CP ,若CPM ∆的面积为2,则请求出点P 的坐标;解析:(1)设这条抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠它的顶点坐标为16(1,)3(2)过点P 作PH AC ⊥,垂足为H .∵P 点在x 轴的正半轴上,∴设0P x (,).∵A )0,1(-,∴1PA x =+.∵在Rt AOC ∆中,222OA OC AC +=;又∵14OA OC ==,∴17AC =90sin 117PH PH PHA CAO AP x ∠=︒∴∠===+ 17PH =//BP CM PM BC AB AC ∴= ;300B P x (,),(,)1点P 在点B 的左侧时,3BP x =-,∴3417x -=17(3)4x CM -=∵2PCM S =△∴122CM PH ⋅⋅=,∴17(3)12217x -=解得110x .P =∴(,)2点P 在点B 的右侧时,3BP x =-,∴3417x -=17(3)x CM -=∵2PCM S =△∴122CM PH ⋅⋅=,∴17(3)122417x -=解得11x =+,21x =-(不合题意,舍去)∴P(1+0).综上所述,P 的坐标为(1,0)或(1+0)角度2:利用面积比等于相似比的平方解决动点面积问题例题2:如图,已知在梯形ABCD 中,//AD BC ,5AB DC ==,4AD =.M 、N 分别是边AD 、BC 上的任意一点,联结AN 、DN .点E 、F 分别在线段AN 、DN 上,且//ME DN ,//MF AN ,联结EF .(1)如图1,如果//EF BC ,求EF 的长;(2)如果四边形MENF 的面积是ADN ∆的面积的38,求AM 的长;解析:(1)∵AD //BC ,EF //BC ,∴EF //A D .又∵ME //DN ,∴四边形EF DM 是平行四边形.∴EF =DM .同理可证,EF =AM .∴AM =DM .∵AD =4,∴122EF AM AD ===.(2)∵38ADN MENF S S ∆=四边形,∴58AME DMF ADN S S S ∆∆∆+=.即得58AME DMF ADN ADN S S S S ∆∆∆∆+=.∵ME //DN ,∴△AME ∽△AN D .∴22AME ADN S AM S AD∆∆=.同理可证,△DM F ∽△DN A .即得22DMF ADN S DM S AD ∆∆=.设AM =x ,则4DM AD AM x =-=-.∴22(4)516168x x -+=.即得2430x x -+=.解得11x =,23x =.∴AM 的长为1或3.A B CD M N EF (图1)AB C D M N E F变式3:已知直线1l 、2l ,12//l l ,点A 是1l 上的点,B 、C 是2l 上的点,AC BC ⊥,60ABC ∠=︒,4AB =,O 是AB 的中点,D 是CB 延长线上的点,将DOC ∆沿直线CO 翻折,点D 与'D 重合.(1)如图1,当点'D 落在直线1l 上时,求DB 的长;(2)延长DO 交1l 于点E ,直线'OD 分别交1l 、2l 于点M 、N .①如图2,当点E 在线段AM 上时,设x AE =,y DN =,求y 关于x 的函数解析式及其定义域;②若DON ∆的面积为323时,求AE 的长.解析:变式4:如图1,在梯形ABCD 中,//AD BC ,对角线BC AC ⊥,4AD =cm ,︒=∠45D ,3=BC cm .(1)求B ∠cos 的值;(2)点E 为BC 延长线上的动点,点F 在线段CD 上(点F 与点C 不重合),且满足ADE AFC ∠=∠,如图2,设x BE =,y DF =,求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域;(3)点E 为射线BC 上的动点,点F 在射线CD 上,仍然满足ADE AFC ∠=∠,当AFD ∆的面积为2cm 2时,求BE 的长.解析:(1)∵//AD BC ,∴ACB DAC ∠=∠.∵AC BC ⊥,∴90ACB ∠=︒.∴90DAC ∠=︒.∵45D ∠=︒,∴45ACD ∠=︒.∴AD AC =.∵4AD =,∴4AC =.∵3=BC ,∴5AB ==.∴3cos 5BC B AB ∠==.(2)∵//AD BC ,∴ADF DCE ∠=∠.∵AFC FDA FAD ∠=∠+∠,ADE FDA EDC ∠=∠+∠,又AFC ADE ∠=∠,∴FAD EDC ∠=∠.∴ADF DCE ∆~∆.∴AD DF DC CE =.在Rt ADC ∆中,222AC AD DC +=,又4==AC AD ,∴24=DC .∵x BE =,∴3-=x CE .y DF =,∴3244-=x y .22322-=x y .定义域为113<<x .(3)当点E 在BC 的延长线上,由(2)可得:ADF DCE ∆~∆,∴2(DC AD S S DCE ADF =∆∆.∵2AFD S ∆=,4=AD ,24=DC ,∴4=∆DCE S .∵AC CE S DCE ⨯⨯=∆21,∴44)3(21=⨯-⨯BE ,∴5BE =.当点E 在线段BC 上,同理可得:44)3(21=⨯-⨯BE .∴1BE =.所以BE 的长为5或1.角度3:利用锐角三角比法解决动点面积问题例题3:已知在平面直角坐标系xoy (如图)中,抛物线212y x bx c =++经过点(4,0)A 、点(0,4)C -,点B 与点A 关于这条抛物线的对称轴对称;(1)用配方法求这条抛物线的顶点坐标;(2)联结AC 、BC ,求ACB ∠的正弦值;(3)点P 是这条抛物线上的一个动点,设点P 的横坐标为(0)m m >,过点P 作y 轴的垂线PQ ,垂足为Q ,如果QPO BCO ∠=∠,求m 的值;解析:变式5:已知在平面直角坐标系xoy 中,抛物线2(0)y ax bx c a =++>与x 轴相交于(1,0),(3,0)A B -两点,对称轴l 与x 轴相交于点C ,顶点为点D ,且ADC ∠的正切值为12.(1)求顶点D 的坐标;(2)求抛物线的表达式;(3)F 点是抛物线上的一点,且位于第一象限,联结AF ,若FAC ADC ∠=∠,求F 点的坐标.解析:(1)∵抛物线与x 轴相交于()1,0A -,()3,0B 两点,∴对称轴l :直线1x =,2AC =∵90ACD ∠=︒,1tan 2ADC ∠=,∴4CD =,∵0a >,∴()1,4D -(2)设()214y a x =--将1,0x y =-=代入上式,得,1a =所以,这条抛物线的表达为223y x x =--(3)过点F 作FH x ⊥轴,垂足为点H设()2,23F x x x --,∵FAC ADC ∠=∠,∴tan tan FAC ADC ∠=∠,∵1tan 2ADC ∠=,∴1tan 2FH FAC AH ∠==∵223FH x x =--,1AH x =+,∴223112x x x --=+解得172x =,21x =-(舍),∴79,24F ⎛⎫ ⎪⎝⎭巩固1:如图,在直角坐标系xOy 中,抛物线c ax ax y +-=22与x 轴的正半轴相交于点A 、与y 轴的正半轴相交于点B ,它的对称轴与x 轴相交于点C ,且OBC OAB ∠=∠,3AC =.(1)求此抛物线的表达式;(2)如果点D 在此抛物线上,DF OA ⊥,垂足为F ,DF 与线段AB 相交于点G ,且2:3:=∆∆AFG ADG S S ,求点D 的坐标.解析:(1)∵抛物线c ax ax y +-=22的对称轴为直线12=--=a a x ,∴OC =1,OA =OC +AC =4,∴点A (4,0).∵∠OBC =∠OAB ,∴tan ∠OAB =tan ∠OBC ,∴OBOC OA OB =,∴OB OB 14=,∴OB =2,∴点B (0,2),∴⎩⎨⎧+-==,8160,2c a a c ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=.2,41c a ∴此抛物线的表达式为221412++-=x x y .(2)由2:3:=∆∆AFG ADG S S 得DG :FG =3:2,DF :FG =5:2,设m OF =,得m AF -=4,221412++-=m m DF ,由FG //OB ,得OA AF OB FG =,∴24m FG -=,∴2:524:)22141(2=-++-m m m ,∴01272=+-m m ,∴4,321==m m (不符合题意,舍去),∴点D 的坐标是(3,45)巩固2:如图,已知ABC ∆与BDE ∆都是等边三角形,点D 在边AC 上(不与A 、C 重合),DE 与AB 相交于点F .(1)求证:BCD DAF ∆∆∽;(2)若1BC =,设CD x =,AF y =;①求y 关于x 的函数解析式及定义域;②当x 为何值时,79BEF BCD S S ∆∆=?(1)证明:∵ABC ∆与BDE ∆都是等边三角形,∴60A C BDE ∠=∠=∠=︒A C BO yx∵ADF BDE C DBC ∠+∠=∠+∠,∴ADF DBC ∠=∠,∴BCD ∆∽DAF∆(2)∵BCD ∆∽DAF ∆,∴BC CD AD AF=∵1BC =,设CD x =,AF y =,∴11x x y=-,∴()201y x x x =-<<(3)解法一:∵ABC ∆与BDE ∆都是等边三角形,∴60E C ∠=∠=︒,60EBD CBA ∠=∠=︒,∴EBF CBD∠=∠∴EBF ∆∽CBD ∆,∴BE BF BC BD=,∵BE BD =,1BC =,∴2BE BF =∵EBF ∆∽CBD ∆,79BEF BCD S S ∆∆=,∴2279BEF BCD S BE S BC ∆∆==,∴279BE BF ==,∴29AF =∴229x x -=,解得1221,33x x ==,∴当13x =或23时,79BEF BCD S S ∆∆=解法二:∵△ABC 与BDE ∆都是等边三角形,∴60E C ∠=∠=︒,60EBD CBA ∠=∠=︒,∴EBF CBD∠=∠∴EBF ∆∽CBD ∆,∵79BEF BCD S S ∆∆=,∴2279BEF BCDS BE S BC ∆∆==∵1BC =,BE BD =,∴279BD =过点B 作BH AC ⊥于点H ,∵60C ∠=︒,∴BH =16DH =,12CH =当点D 在线段CH 上时,111263CD CH DH =-=-=当点D 在线段CH 的延长线上时,112263CD CH DH =+=+=综上所述,当13x =或23时,79BEF BCD S S ∆∆=.巩固3:在矩形ABCD 中,4AB =,6AD =,点P 是射线DA 上一动点,将三角板直角顶点重合于点P ,三角板两直角边中的一边始终经过点C ,另一直角边交射线BA 于点E .(1)判断EAP ∆与PDC ∆一定相似吗?请证明你的结论;(2)设PD x =,AE y =,求y 与x 的函数关系式,并写出它的定义域;(3)是否存在这样的点P ,是EAP ∆周长等于PDC ∆周长的2倍?若存在,请求出PD 的长度;若不存在,请简要说明理由.解析:(1)△EAP ∽△PDC①当P 在AD 边上时,如图(1):∵矩形ABCD ,==90D A ∠∠ ,∴1+2=90∠∠据题意=90CPE ∠ ∴3+2=90∠∠ ,∴1=3∠∠,∴△EAP ∽△PDC②当P 在AD 边上时,如图(2):同理可得△EAP ∽△PDC(2)若点P 在边AD 上,据题意:PD x =6PA x =-4DC =AE y =又∵△EAP ∽△PDC ,∴AE PA PD DC =,∴64y x x -=,∴22613442x x y x x -==-+()06x <<若点P 在边DA 延长线上时,据题意PD x =,则6PA x =-,4DC =,AE y =,∵△EAP ∽△PDC ,∴AE PA PD DC =,∴64y x x -=,∴()2664x x y x -=>(3)假如存在这样的点P ,使△EAP 周长等于PDC ∆的2倍①若点P 在边AD 上∵△EAP ∽△PDC ∴():6:4EAP PDC C C x =- ,∴()6:42x -=,∴2x =-不合题意舍去;②若点P 在边DA 延长线上,同理得()6:42x -=,∴14x =综上所述:存在这样的点P 满足题意,此时14PD =巩固4:如图,已知抛物线2y ax bx c =++经过点(0,4)A -,点(2,0)B -,点(4,0)C .(1)求这个抛物线的解析式,并写出顶点坐标;(2)已知点M 在y 轴上,OMB OAB ACB ∠+∠=∠,求点M 的坐标.解析:(1)∵抛物线2y ax bx c =++经过点(0,4)A -,点(2,0)B -,点(4,0)C ∴44201640c a b c a b c =-⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩解得方程组的解为1214a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩∴这个抛物线的解析式为:2142y x x =--顶点为9(1,)2-(2)如图:取OA 的中点,记为点N ∵OA =OC =4,∠AOC =90°∴∠ACB =45°∵点N 是OA 的中点∴ON =2又∵OB =2∴OB =ON又∵∠BON =90°∴∠ONB =45°∴∠ACB =∠ONB∵∠OMB +∠OAB =∠ACB ∠NBA +∠OAB =∠ONB ∴∠OMB =∠NBA1°当点M 在点N 的上方时,记为M 1∵∠BAN =∠M 1AB ,∠NBA =∠OM 1B ,∴△ABN ∽△AM 1B ∴1AN AB AB AM =又∵AN =2,AB =∴110AM =又∵A (0,—4)∴1(0,6)M 2°当点M 在点N 的下方时,记为M 2,点M 1与点M 2关于x 轴对称,∴2(0,6)M -综上所述,点M 的坐标为(0,6)或(0,6)-题型二动点形成的相切问题1.直线和圆相切:圆心到直线距离等于半径构造直角三角形,利用三角比、勾股定理等来表示圆心到直线距离及半径,建立等量关系2.圆和圆相切:两圆半径和等于圆心距.利用平行线分线段成比例、勾股定理、三角比、相似等表示相关线段,建立等量关系角度4:直线与圆相切问题例题4:如图,在ABC ∆中,10,12,AB AC BC ===点E F 、分别在边BC AC 、上(点F 不与点A 、C 重合)//EF AB .把ABC ∆沿直线EF 翻折,点C 与点D 重合,设FC x =.(1)求B ∠的余切值;(2)当点D 在ABC ∆的外部时,DE DF 、分别交AB 于M 、N ,若MN y =,求y 关于x 的函数关系式并写出定义域;(3)(下列所有问题只要直接写出结果即可)以E 为圆心、BE 长为半径的E 与边AC 1没有公共点时,求x 的取值范围.2一个公共点时,求x 的取值范围.3两个公共点时,求x 的取值范围.AE CB FA B D GC EF变式6:已知:矩形ABCD 中,过点B 作BG ⊥AC 交AC 于点E ,分别交射线AD 于F 点、交射线CD 于G 点,BC =6.(1)当点F 为AD 中点时,求AB 的长;(2)联结AG ,设AFG AB x S y ∆==,,求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围;(3)是否存在x 的值,使以D 为圆心的圆与BC 、BG 都相切?若存在,求出x 的值;若不存在,请说明理由.解析:(1)∵点F 为AD 中点,且AD =BC =6,∴AF =3∵矩形ABCD 中,∠ABC =90°,BG ⊥AC 于点E ,∴∠ABE +∠EBC =90°,∠AC ∠EBC =90°∴∠ABE =∠ACB ,∴△ABF ∽△BCF ,∴AB AF BC AB =∴AB =23(2)由(1)可得△ABF ∽△BCF ∴AB AF BC AB =∵AB =x ,BC =6∴AF =62x ;同理可得:CG =x36①当F 点在线段AD 上时DG =CG -CD =x x x x 23636-=-∴S ⊿AFG =1236213x x CG AF -=⋅。

2023年九年级中考数学专题培优训练: 三角形的动点问题【含答案】

2023年九年级中考数学专题培优训练: 三角形的动点问题【含答案】

2023年九年级中考数学专题培优训练:三角形的动点问题一、单选题1.如图,在钝角三角形ABC中,AB=6cm,AC=12cm,动点D从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B运动,同时动点E从点C出发沿CA以2cm/s的速度向点A运动,当以A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似时,运动时间是()A.3s或4.8s B.3s C.4.5s D.4.5s或4.8s2.如图,在平面直角坐标系中,等边△OBC的边OC在x轴正半轴上,点O为原点,点C坐标为(12,0),D是OB上的动点,过D作DE⊥x轴于点E,过E作EF⊥BC于点F,过F作FG⊥OB于点G.当G与D重合时,点D的坐标为()A.(1,√3)B.(2,2√3)C.(4,4√3)D.(8,8√3)3.如图,在等腰三角形ACB中,AC=BC=5,AB=8,D为底边AB上一动点(不与点A,B重合),DE△AC,DF△BC,垂足分别为E,F,则DE+DF的值等于()A.125B.3C.245D.64.如图,点C是线段AB上一点,分别以AC,BC为边在线段AB的同侧作等边△ACD和等边△BCE,连结DE,点F为DE的中点,连结CF.若AB=2a(a为常数,a>0),当点C在线段AB上运动时,线段CF的长度l的取值范围是()A.√3a3≤l≤√3a2B.√3a2≤l≤aC.a2≤l≤√3a3D.√3a3≤l≤a5.如图,在等边△ABC中,BC=12,D、E是BC边上的两点,BD=CE=2,点M,N,P分别是线段AB,AC,DE上的一动点,连接MN、AP,MN与AP交于点G,若四边形AMPN是平行四边形,则点P由点D移动到点E的过程中,下列结论正确的是()①MG=NG;②△NPC∼△ABC;③当P运动到BC中点时,四边形AMPN是菱形,且菱形面积为18√3;④点P由点D移动到点E的过程中,点G所走的路径长为4A.1个B.2个C.3个D.4个6.如图:已知AB=10,点C、D在线段AB上且AC=DB=2;P是线段CD上的动点,分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB,连接EF,设EF的中点为G;当点P从点C运动到点D时,则点G移动路径的长是()A.5B.4C.3D.07.在四边形ABCD中,△A=45°,△D=90°,AD△BC,BC=1,CD=3.点P,Q同时从点A出发,点P以√2个单位长度/秒向点B运动,到达点B停止运动;点Q以2个单位长度/秒沿着AD→DC向点C运动,到达点C停止运动.设点Q运动时间为ts,△APQ的面积为S,则S随t变化的函数图象大致为()A.B.C.D.8.如图,在直角坐标系中,等腰直角△ABO的O点是坐标原点,A的坐标是(﹣4,0),直角顶点B在第二象限,等腰直角△BCD的C点在y轴上移动,我们发现直角顶点D点随之在一条直线上移动,这条直线的解析式是()A.y=﹣2x+1B.y=﹣x+2C.y=﹣3x﹣2D.y=﹣x+2二、填空题9.在△ABC中,AB=AC,BC=5,∠BAC=90°,点D为直线BC上一动点,以AD为直角边在AD的右侧作等腰Rt△ADE,使∠DAE=90°,AD=AE,A、E两点间的最小距离为.10.如图,在Rt△ABC中,△C=90°,AC=6,△B=30°,点F在边AC上,并且CF=2,点E为边BC上的动点,将△CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是.11.如图,在矩形ABCD中,边AB,AD的长分别为3和2,点E在CD上,点F在AB的延长线上,且EC=BF,连接FC。

中考数学压轴专题动点问题解析版

中考数学压轴专题动点问题解析版

1..如图,在平面直角坐标系中,点C的坐标为(0,4),动点A以每秒1个单位长的速度,从点O出发沿x轴的正方向运动,M是线段AC的中点.将线段AM以点A 为中心,沿顺时针方向旋转,得到线段AB.过点B作x轴的垂线,垂足为E,过点C作y轴的垂线,交直线BE于点D.运动时间为t秒.(1)当点B及点D重合时,求t的值;(2)设△BCD的面积为S,当t为何值时,S25=?4(3)连接MB,当MB∥OA时,如果抛物线2=-的顶点y ax10ax在△ABM内部(不包括边),求a的取值范围.3,抛物线2.如图,⊙C的内接△AOB中,AB=AO=4,tan∠AOB=42=+经过点A(4,0)及点(-2,6)y ax bx(1)求抛物线的函数解析式.(2)直线m及⊙C相切于点A交y轴于点D,动点P在线段OB 上,从点O出发向点B运动;同时动点Q在线段DA上,从点D出发向点A运动,点P的速度为每秒1个单位长,点Q的速度为每秒2个单位长,当PQ⊥AD时,求运动时间t的值(3)点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上,当△ROB面积最大时,求点R的坐标.3.如图甲,四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上,顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D,交y轴于点E,连接AB、AE、BE.已知tan∠CBE=1,A(3,0),D(﹣1,0),E(0,33).(1)求抛物线的解析式及顶点B的坐标;(2)求证:CB是△ABE外接圆的切线;(3)试探究坐标轴上是否存在一点P,使以D、E、P为顶点的三角形及△ABE相似,若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由;(4)设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度(0<t≤3)时,△AOE及△ABE重叠部分的面积为s,求s及t之间的函数关系式,并指出t的取值范围.4.已知,如图,在平面直角坐标系中,点A坐标为(-2,0),点B坐标为(0,2 ),点E为线段AB上的动点(点E不及点A,B 重合),以E为顶点作∠OET=45°,射线ET交线段OB于点F,C 为y轴正半轴上一点,且OC=AB,抛物线y=2-x2+mx+n的图象经过A,C两点.(1)求此抛物线的函数表达式;(2)求证:∠BEF=∠AOE;(3)当△EOF为等腰三角形时,求此时点E的坐标;(4)在(3)的条件下,当直线EF交x轴于点D,P为(1)中抛物线上一动点,直线PE交x轴于点G,在直线EF上方的抛物线上是否存在一点P,使得△EPF的面积是△EDG面积的(122+)倍.若存在,请直接..写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.温馨提示:考生可以根据题意,在备用图中补充图形,以便作答.5.如图,直线AB交x轴于点B(4,0),交y轴于点A(0,4),直线D M⊥x轴正半轴于点M,交线段AB于点C,DM=6,连接DA,∠DAC=90°.(1)直接写出直线AB的解析式;(2)求点D的坐标;(3)若点P是线段MB上的动点,过点P作x轴的垂线,交AB 于点F,交过O、D、B三点的抛物线于点E,连接CE.是否存在点P,使△BPF及△FCE相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.6.(10分)(2019•常州)如图,一次函数y=﹣x+4的图象及x 轴、y轴分别相交于点A、B,过点A作x轴的垂线l,点P为直线l上的动点,点Q为直线AB及△OAP外接圆的交点,点P、Q 及点A都不重合.(1)写出点A的坐标;(2)当点P在直线l上运动时,是否存在点P使得△OQB及△APQ 全等?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.(3)若点M在直线l上,且∠POM=90°,记△OAP外接圆和△OAM 外接圆的面积分别是S1、S2,求的值.7.(10分)(2019•常州)如图,反比例函数y=的图象及一次函数y=x 的图象交于点A 、B ,点B 的横坐标是4.点P 是第一象限内反比例函数图象上的动点,且在直线AB 的上方.(1)若点P 的坐标是(1,4),直接写出k 的值和△PAB 的面积;(2)设直线PA 、PB 及x 轴分别交于点M 、N ,求证:△PMN 是等腰三角形;(3)设点Q 是反比例函数图象上位于P 、B 之间的动点(及点P 、B 不重合),连接AQ 、BQ ,比较∠PAQ 及∠PBQ 的大小,并说明理由.1.【答案】解:(1)∵CAO BAE 90∠+∠=︒,∴CAO ABE ∠=∠。

2023中考数学-压轴专题训练之动点问题(含答案)

2023中考数学-压轴专题训练之动点问题(含答案)

中考数学 压轴专题训练之动点问题1. 如图1,在平面直角坐标系中,四边形OABC 各顶点的坐标分别为O (0,0),A (3,33),B (9,53),C (14,0).动点P 与Q 同时从O 点出发,运动时间为t 秒,点P 沿OC 方向以1单位长度/秒的速度向点C 运动,点Q 沿折线OA -AB -BC 运动,在OA ,AB ,BC 上运动的速度分别为3,3,52(单位长度/秒).当P ,Q 中的一点到达C 点时,两点同时停止运动. (1)求AB 所在直线的函数表达式.(2)如图2,当点Q 在AB 上运动时,求△CPQ 的面积S 关于t 的函数表达式及S 的最大值.(3)在P ,Q 的运动过程中,若线段PQ 的垂直平分线经过四边形OABC 的顶点,求相应的t 值.图1 图21. 【答案】【思维教练】(1)设一次函数解析式,将已知点A 、B 的坐标值代入求解即可;(2)S△CPQ=12·CP ·Q y ,CP =14-t ,点Q 在AB 上,Q y 即为当x =t 时的y 值,代入化简得出S 与t 的函数关系式,化为顶点式得出最值;(3)垂直平分线过顶点需以时间为临界点分情况讨论,当Q 在OA 上时,过点C ;当Q 在AB 上时,过点A ;当Q 在BC 上时,过点C 和点B ,再列方程并求解.解图1解:(1)把A(3,33),B(9,53)代入y =kx +b , 得⎩⎪⎨⎪⎧3k +b =33,9k +b =53,解得⎩⎨⎧k =33,b =23,∴y=33x+23;(3分)(2)在△PQC中,PC=14-t,∵OA=32+(33)2=6且Q在OA上速度为3单位长度/s,AB=62+(23)2=43且Q点在AB上的速度为3单位长度/s,∴Q在OA上时的横坐标为t,Q在AB上时的横坐标为32 t,PC边上的高线长为33t+2 3.(6分)所以S=12(14-t)(32t+23)=-34t2+532t+143(2≤t≤6).当t=5时,S有最大值为8134.(7分)解图2(3)①当0<t≤2时,线段PQ的中垂线经过点C(如解图1).可得方程(332t)2+(14-32t)2=(14-t)2.解得t1=74,t2=0(舍去),此时t=74.(8分)解图3②当2<t≤6时,线段PQ的中垂线经过点A(如解图2).可得方程(33)2+(t-3)2=[3(t-2)]2.解得t1=3+572,∵t2=3-572(舍去),此时t=3+572.③当6<t≤10时,(1)线段PQ的中垂线经过点C(如解图3).可得方程14-t=25-52t,解得t=223.(10分)解图4(2)线段PQ的中垂线经过点B(如解图4).可得方程(53)2+(t-9)2=[52(t-6)]2.解得t1=38+2027,t2=38-2027(舍去).此时t=38+2027.(11分)综上所述,t的值为74,3+572,223,38+2027.(12分)【难点突破】解决本题的关键点在于对PQ的垂直平分线过四边形顶点的情况进行分类讨论,在不同阶段列方程求解.2. 如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),与y轴交于点N,过A点的直线l:y=kx+n与y轴交于点C,与抛物线y=-x2+bx+c的另一个交点为D,已知A(-1,0),D(5,-6),P点为抛物线y=-x2+bx+c上一动点(不与A,D重合).(1)求抛物线和直线l的解析式;(2)当点P在直线l上方的抛物线上时,过P点作PE∥x轴交直线l于点E,作PF∥y轴交直线l于点F,求PE+PF的最大值;(3)设M为直线l上的点,探究是否存在点M,使得以点N,C,M,P为顶点的四边形为平行四边形.若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.2. 【答案】[分析] (1)将点A,D的坐标分别代入直线表达式、抛物线的表达式,即可求解;(2)设出P点坐标,用参数表示PE,PF的长,利用二次函数求最值的方法.求解;(3)分NC是平行四边形的一条边或NC是平行四边形的对角线两种情况,分别求解即可.解:(1)将点A,D的坐标代入y=kx+n得:解得:故直线l的表达式为y=-x-1.将点A,D的坐标代入抛物线表达式,得解得故抛物线的表达式为:y=-x2+3x+4.(2)∵直线l的表达式为y=-x-1,∴C(0,-1),则直线l与x轴的夹角为45°,即∠OAC=45°,∵PE∥x轴,∴∠PEF=∠OAC=45°.又∵PF∥y轴,∴∠EPF=90°,∴∠EFP=45°.则PE=PF.设点P坐标为(x,-x2+3x+4),则点F(x,-x-1),∴PE+PF=2PF=2(-x2+3x+4+x+1)=-2(x-2)2+18,∵-2<0,∴当x=2时,PE+PF有最大值,其最大值为18.(3)由题意知N(0,4),C(0,-1),∴NC=5,①当NC是平行四边形的一条边时,有NC∥PM,NC=PM.设点P坐标为(x,-x2+3x+4),则点M的坐标为(x,-x-1),∴|y M-y P|=5,即|-x2+3x+4+x+1|=5,解得x=2±或x=0或x=4(舍去x=0),则点M坐标为(2+,-3-)或(2-,-3+)或(4,-5);②当NC是平行四边形的对角线时,线段NC与PM互相平分.由题意,NC的中点坐标为0,,设点P坐标为(m,-m2+3m+4),则点M(n',-n'-1),∴0==,解得:n'=0或-4(舍去n'=0),故点M(-4,3).综上所述,存在点M,使得以N,C,M,P为顶点的四边形为平行四边形,点M 的坐标分别为:(2+,-3-),(2-,-3+),(4,-5),(-4,3).3. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-2, -4 )、O(0, 0)、B(2, 0)三点.(1)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式;(2)若点M 是该抛物线对称轴上的一点,求AM +OM 的最小值.3. 【答案】(1)212y x x =-+。

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中考数学之 动点问题一、选择题:1. 如图,在矩形ABCD 中,动点P 从点B 出发,沿BC 、CD 、DA 运动至点A 停止,设点P 运动的路程为x ,△ABP 的面积为y ,如果y 关于x 的函数图象如图2所示,则△ABC 的面积是( )94xyOPDA 、10B 、16C 、18D 、20二、填空题:1. 如上右图,C 为线段AE 上一动点(不与点A ,E 重合),在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE 、AD 与BE 交于点O ,AD 与BC 交于点P ,BE 与CD 交于点Q ,连结PQ.以下五个结论:①AD=BE ;②PQ ∥AE ;③AP=BQ ;④DE=DP ;⑤∠AOB=60°.恒成立的结论有_______________________(把你认为正确的序号都填上)。

三、解答题:1.(2008年大连)如图12,直角梯形ABCD 中,AB ∥CD ,∠A = 90°,CD = 3,AD = 4,tan B = 2,过点C 作CH ⊥AB ,垂足为H .点P 为线段AD 上一动点,直线PM ∥AB ,交BC 、C H 于点M 、Q .以PM 为斜边向右作等腰Rt △PMN ,直线MN 交直线AB 于点E ,直线PN 交直线A B 于点F .设PD 的长为x ,EF 的长为y .⑴求PM 的长(用x 表示);⑵求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围(图13为备用图); ⑶当点E 在线段AH 上时,求x 的取值范围(图14为备用图).Q POBED CA图 13图 14图 12AHBCDA HBCDHM QP DCBA2.(2008年福建宁德)如图1,在Rt △ABC 中,∠C =90°,BC =8厘米,点D 在AC 上,CD =3厘米.点P 、Q 分别由A 、C 两点同时出发,点P 沿AC 方向向点C 匀速移动,速度为每秒k 厘米,行完AC 全程用时8秒;点Q 沿CB 方向向点B 匀速移动,速度为每秒1厘米.设运动的时间为x 秒()80<x<,△DCQ 的面积为y 1平方厘米,△PCQ 的面积为y 2平方厘米. ⑴求y 1与x 的函数关系,并在图2中画出y 1的图象;⑵如图2,y 2的图象是抛物线的一部分,其顶点坐标是(4,12),求点P 的速度及AC 的长;⑶在图2中,点G 是x 轴正半轴上一点(0<OG <6=,过G 作EF 垂直于x 轴,分别交y 1、y 2于点E 、F . ①说出线段EF 的长在图1中所表示的实际意义; ②当0<x <6时,求线段EF 长的最大值.3.(2008年白银)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC 是矩形,点B 的坐标为(4,3).平行于对角线AC 的直线m 从原点O 出发,沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,设直线m 与矩形OABC 的两边..分别交于点M 、N ,直线m 运动的时间为t (秒). (1) 点A 的坐标是__________,点C 的坐标是__________; (2) 当t= 秒或 秒时,MN=21AC ; (3) 设△OMN 的面积为S ,求S 与t 的函数关系式;(4) 探求(3)中得到的函数S 有没有最大值?若有,求出最大值;若没有,要说明理由.图1C Q → BDAP ↓ 图2G 2 4 6 8 10 1210 8 6 4 2 y Ox参考答案一、选择 A二、填空:(1)(2)(3)(5) 三、解答:2、解:⑴∵CD CQ S DCQ ⋅⋅=∆21,CD =3,CQ =x , ∴x y 231=. 图象如图所示.⑵方法一:CP CQ S PCQ ⋅⋅=∆21,CP =8k -xk ,CQ =x , ∴()kx kx x kx k y 42182122+-=⋅-⨯=.∵抛物线顶点坐标是(4,12),∴12444212=⋅+⋅-k k . 解得23=k .则点P 的速度每秒23厘米,AC =12厘米.方法二:观察图象知,当x=4时,△PCQ 面积为12. 此时PC =AC -AP =8k -4k =4k ,CQ =4.∴由CP CQ S PCQ ⋅⋅=∆21,得 12244=⨯k .解得23=k .则点P 的速度每秒23厘米,AC =12厘米.方法三:设y 2的图象所在抛物线的解析式是c bx ax y ++=2. ∵图象过(0,0),(4,12),(8,0),∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=.0864124160c b a c b a c ,, 解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=.0643c b a ,, ∴x x y 64322+-=. ①∵CP CQ S PCQ ⋅⋅=∆21,CP =8k -xk ,CQ =x ,∴kx kx y 42122+-=. ②比较①②得23=k .则点P 的速度每秒23厘米,AC =12厘米.⑶①观察图象,知线段的长EF =y 2-y 1,表示△PCQ 与△DCQ 的面积差(或△PDQ 面积). ②由⑵得 x x y 64322+-=.(方法二,x x x x y 643232382122+-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯=)∵EF =y 2-y 1, ∴EF =x x x x x 29432364322+-=-+-,∵二次项系数小于0,∴在60<x<范围,当3=x 时,427=EF 最大. 3、解:(1)(4,0),(0,3); ······························································································ 2分 (2) 2,6; ············································································································································ 4分 (3) 当0<t ≤4时,OM =t . 由△OMN ∽△OAC ,得OCONOA OM =, ∴ ON =t 43,S=283t . ················································ 6分 当4<t <8时,如图,∵ OD =t ,∴ AD = t-4. 方法一:由△DAM ∽△AOC ,可得AM =)4(43-t ,∴ BM =6-t 43. ···································· 7分 由△BMN ∽△BAC ,可得BN =BM 34=8-t ,∴ CN =t-4. ··········································· 8分S=矩形OABC 的面积-Rt △OAM 的面积- Rt △MBN 的面积- Rt △NCO 的面积=12-)4(23-t -21(8-t )(6-t 43)-)4(23-t =t t 3832+-. ··························································································································· 10分方法二:易知四边形ADNC 是平行四边形,∴ CN =AD =t-4,BN =8-t . ·········································· 7分 由△BMN ∽△BAC ,可得BM =BN 43=6-t 43,∴ AM =)4(43-t . ····················· 8分 以下同方法一. (4) 有最大值.方法一: 当0<t ≤4时,∵ 抛物线S=283t 的开口向上,在对称轴t=0的右边, S 随t 的增大而增大, ∴ 当t=4时,S 可取到最大值2483⨯=6; ································································ 11分当4<t <8时, ∵ 抛物线S=t t 3832+-的开口向下,它的顶点是(4,6),∴ S <6. 综上,当t=4时,S 有最大值6. ····························································································· 12分 方法二:∵ S=22304833488t t t t t ⎧<⎪⎪⎨⎪-+<<⎪⎩,≤,∴ 当0<t <8时,画出S 与t 的函数关系图像,如图所示. ········································ 11分 显然,当t=4时,S 有最大值6. ························································································· 12分说明:只有当第(3)问解答正确时,第(4)问只回答“有最大值”无其它步骤,可给1分;否则,不给分.。

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