刚体的定轴转动定律教材
大学物理 第5章刚体定轴转动
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赵 承 均
转动平面 某质点所在的圆周平面,称为转动平面。
参考线
转心 矢径
转动平面内任一过转轴的直线,如选 x 轴。
某质点所在的轨迹圆的圆心,称为转心。 某质点对其转心的位矢,称为该质点的矢径。
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
显然:转动刚体内所有点有相同的角量,故用角量描述刚体 的转动更方便,只需确定转动平面内任一点的角量即可。 1.角坐标— 描写刚体转动位臵的物理量。 角坐标 转动平面内刚体上任一点 P 到转轴 O 点的连线与 参考线间的夹角 。
赵 承 均
第二类问题:已知J和力矩M:求出运动情况和 b及 F 。
第三类问题:已知运动情况和力矩M,求刚体转动惯量 J 。
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
第一类问题:已知运动情况和 J ,确定运动学和动力学的联 系 例 :长为 l,质量为 m 的细杆,初始时的角速 度为 ωo ,由于细杆与 桌面的摩擦,经过时间 t 后杆静止,求摩擦力 矩 Mf 。
Fi cos i Fi cos i mi ain mi ri 2 法向:
e i
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
由于法向力的作用线穿过转轴,其力矩为零。可在切向 方程两边乘以 ri ,得到:
Fi e ri sin i Fi i r i sin i mi ri 2
4.角加速度— 描写角速度变化快慢和方向的物理量。 ⑴ 平均角加速度 t
即:刚体的角速度变化与发生变化所用的时间之比。
赵 承 均
⑵ 角加速度 ①用平均角加速度代替变化的角加速度; ②令 t 0 取极限;
d d lim 2 t 0 t dt dt
刚体的简单运动—刚体绕定轴的转动(理论力学)
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主轴转动两圈后停止 0
2 02 2
0 10π2 2 4π
负号表示 的转向与主轴转动方向相反,故为减速运动。
小结
1.刚体绕定轴转动 刚体运动时,有上或其扩展部分有两点保持不动,这种运动
为刚体的绕定轴转动。通过两点的直线称为转轴,不在转轴上 的各点都在垂直于转轴的平面内做圆周运动。
2.角速度
三、定轴转动的角速度和角加速度
1、角速度
lim
Δt 0
Δ Δt
d
dt
代数量 正负与转角相同
若已知转动方程 f (t)
f (t)
刚体转动的快慢和方向 单位为 rad/s
2、角加速度
设当t 时刻为 , t +△t 时刻为 +△
角加速度
lim
t 0
t
d
dt
d2
dt2
f (t)
表征角速度变化的快慢 单位:rad/s2 (代数量)
§6-2 刚体绕定轴的转动
一、刚体绕定轴转动
刚体运动时,其上或其扩展部分有两点保持不动, 这种运动为刚体的绕定轴转动。通过两点的直线称为 转轴,不在转轴上的各点都在垂直于转轴的平面内做 圆周运动。
二、转角和转动方程
____ 转角,单位弧度(rad)
=f(t)
转动方程
方向规定: 从Z轴正向看
逆时针为正
f (t) 刚体转动的快慢和方向 单位为 rad/s (代数量)
3.角加速度
f (t)
如果与同号,则转动是加速的;如果与异号,则转动是减
速的。
如果与同号,则转动是加速的; 如果与异号,则转动是减速的。
与同号,转动加速
与异号,转动减速
O
大学物理 刚体的定轴转动
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⑶ t =6 ·0 s 时转过的角度为
6s
0
6s
d t 0
0(1et)dt
0 [te t]6 0 s 9 [6 ( 2 0 0) 5 (0 2 )]369rad
则 t =6 ·0 s
时电动机转过的圈数
N 587圈 2
5.2 5.4 刚体的转动定律及应用
5.2.1力对转轴的力矩
转轴
§5.1 刚体的运动的描述 §5.2 刚体定轴转动 §5.3 转动惯量的计算 §5.4 转动定律应用 §5.5 角动量守恒 §5.6 定轴转动中的功和能
5.1 刚体的运动的描述
•刚体(rigid body)
任何情况下形状和体积都不改变的物体(理想化模型)。 刚体是特殊的质点系。 刚体可以看作是由许多质点组成,每一个质点叫做 刚体的一个质元,刚体这个质点系的特点是,在外 力作用下各质元之间的相对位置保持不变。
2、刚体定轴转动的转动定律
M d(J )dL J
dt dt
刚体绕定轴转动时,它的角加速度与作用于刚体上的 合外力矩成正比,与刚体对转轴的转动惯量成反比。
刚体定轴转动的转动定律
M=J 与 F ma地位相当 m反映质点的平动惯性,J 反映刚体的转动惯性
力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因。力
ri
即 F itfitΔ m iri
则刚体转动定律为
变形有 F ir tifir tiΔm iri2
M J
对所有质元求和:
F ir ti fir ti (m ir i2 ) 上式表明:
这里 FitriM i M外
刚体绕定轴转动时,刚
fitri 0 定义 JΔmiri2 叫转动惯量
体的角加速度与它所 受的合外力矩成正比.
3.刚体的定轴转动
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2 3 2
2
6.16 10
3
2
3.14 m / s
2
2
6.16 10 m / s
例3-2:一飞轮在时间t 内转过角度 at bt 3 ct 4式中a、b、c都 是常量。求它的角加速度。 解:飞轮上某点的角位置可用θ 表示为: at bt 3 ct 4 将此式对t 求导数,即得飞轮角速度的表达式为:
O
刚体定轴转动的描述
(1) 定轴转动的角量描述
角位置: (t )
角位移: (t ) (t 0 ) 角速度:
d dt d
dt d
2
角加速度:
dt
2
角速度和角加速度均为矢量,定轴转动中其方向沿转轴的
方向并满足右手螺旋定则。
说明:在刚体的定轴转动中加速度、角加速度和角位移通常用 代数量表示。通常规定:当刚体作逆时针转动时,这些角量均 取正值;反之,取负值。
观察圆盘O和圆盘上一点P的运动:
O点的运动:沿着直线向前移动 圆盘上其他点的运动:除向前移动外,还绕圆盘中心O且垂直于盘面的轴转动。
1.刚体的平动:在运动过程中,若刚体上任意一条直线在各个时 刻的位置始终彼此平行,则这种运动叫做平动。
特点:刚体内所有点具有相同的位移、速度和加速度。 --刚体上任一点的运动规律即代表刚体的平动规律。
2
2
则整个刚体的转动动能为:
Ek
1 2
m i vi
2
1 2
m i ri
2
2
1 2
J
2
二、 力矩的功和功率
1.力矩的功
刚体的定轴转动
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第3章 刚体的定轴转动刚体定轴转动所遵从的力学规律,实际上是质点运动的基本概念和原理在刚体中的应用。
重要的概念有转动惯量和力矩。
刚体的动能和角动量都有其特殊的表达式,但守恒定律同样适用于包括刚体的系统。
§1 刚体的运动一 刚体刚体是固体物件的理想化模型。
实际的固体在受力作用时总是要发生或大或小的形状和体积的改变。
如果在讨论一个固体的运动时,这种形状或体积的改变可以忽略,我们就把这个固体当做刚体处理。
这就是说,刚体是受力时不改变形状和体积的物体。
刚体可以看成由许多质点组成,每一个质点叫做刚体的一个质元,刚体这个质点系的特点是,在外力作用下各质元之间的相对位置保持不变。
既然是一个质点系。
所以关于质点系的基本定律就都可以应用。
当然,由于刚体这一质点系有其特点,所以这些基本定律就表现为更适合于研究刚体运动的特殊形式。
二 刚体的运动形式刚体的运动可以是平动、转动或二者的结合。
如果刚体在运动中,连结体内两点的直线在空间的指向总保持平行,这样的运动就叫平动。
在平动时,刚体内各质元的运动轨迹都一样,而且在同一时刻的速度和加速度都相等。
因此在描述刚体的平动时,就可以用一点的运动来代表,通常就用刚体质心的运动来代表整个刚体的平动。
平动是刚体的基本运动形式之一。
转动也是刚体的基本运动形式之一,它又可分为定轴转动和定点转动。
定轴转动:运动中各质元均做圆周运动,且各圆心都在同一条固定的直线(转轴)上。
定点转动:运动中刚体上只有一点固定不动,整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动。
刚体不受任何限制的的任意运动。
它可分解为以下两种刚体的基本运动:随基点(可任选)的平动,绕通过基点的瞬时轴的定点转动。
三 刚体定轴转动的运动学描述刚体的定轴转动是最简单的转动情况。
在这种运动中各质元均做圆周运动,而且各圆的圆心都在一条固定不动的直线上,这条直线叫转轴。
刚体绕某一固定转轴转动时,各质元作圆周运动的轨道半径不同,所以各质元的线速度、加速度一般是不同的。
大学物理上册《刚体定轴转动》PPT课件
![大学物理上册《刚体定轴转动》PPT课件](https://img.taocdn.com/s3/m/b19a24d8dbef5ef7ba0d4a7302768e9951e76ee5.png)
刚体是一个理想化的物理模型,实际物体在受到力的作用时, 都或多或少地会变形,但如果变形很小,对研究问题的影响可 以忽略不计时,就可以把这个物体看成刚体。
定轴转动描述
定轴转动
刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动,这种运 动叫做刚体的定轴转动。这条直线叫做刚体的转轴。
转动的快慢
用角速度ω来描述刚体转动的快慢,单位时间内转 过的角度θ越大,角速度ω就越大。
转动能定理
刚体定轴转动时,合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增 量。
转动动能的计算
转动动能Ek等于刚体的转动惯量I与角速度ω平方的一半的乘积,即 Ek=1/2Iω²。
应用举例
通过计算合外力矩对刚体所做的功,可以求解刚体在某个过程中的角 速度、角加速度等物理量。
动力学普遍定理在转动中应用
动力学普遍定理
VS
误差分析
分析实验过程中可能产生的误差来源,如 测量误差、仪器误差等,并提出减小误差 的方法。
实验结果讨论和改进建议
实验结果讨论
根据实验数据和分析结果,讨论刚体定轴转动的基本规律以及实验过程中存在的问题和不足之处。
改进建议
提出改进实验方法和提高实验精度的建议,如优化实验器材、改进测量方法等。
05
动能定理揭示了力对刚体所做 的功与刚体动能变化之间的关 系;机械能守恒定律则指出在 只有重力或弹力做功的情况下, 刚体的机械能保持不变。
常见题型解题技巧分享
选择题答题技巧
注意审清题意,明确题目要求;对于概念性选择题,要准确理解相关概念;对于计算性选择题,要善于运用 物理规律和公式进行推理和计算。
填空题答题技巧
未来发展趋势预测
高效能源利用
随着能源问题的日益突出,未来旋转机构将更加注重高效能 源利用,如采用新型材料、优化结构等降低能耗。
第3章刚体的定轴转动
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绕通过质心 由合外力矩决定(应用
轴的转动
转动定律)
第3章 刚体的定轴转动
例3 质量为 mA 的物体 A 静止在光滑水平面上,
和一质量不计的绳索相连接,绳索跨过一半径为 R、质
量为 的圆mC柱形滑轮 C,并系在另一质量为 的物mB
体 B 上. 滑轮与绳索间没有滑动, 且滑轮与轴承间的摩
擦力可略去不计. 问:(1) 两物体的线加速度为多少?
dt
M
dL
作用于质点的合力对参考点 O 的力矩 ,等于质点对该点 O 的角
dt 动量随时间的变化率.
第3章 刚体的定轴转动
M
dL
dt
t2 t1
Mdt
L2
L1
冲量矩
t2
Mdt
t1
质点的角动量定理:对同一参考点 O ,质点所受
的冲量矩等于质点角动量的增量.
3 质点的角动量守恒定律
M 0, L 恒矢量
的大小与角速度的平方成正比,比例系数为 k
( k 为大于零的常数).当 1 30 时,飞轮的角
加速度为
,所经历的时间为
M k2
M J
k 2
J
k
2 0
9J
第3章 刚体的定轴转动
M k2
M J J d
k 2 J d
dt
dt
t dt J
1
3
0
1
d
0
k 0 2
2J t
M mr 2
2)刚体
质量元受外力 Fej,内力 Fij
Mej Mij mjrj2
外力矩
内力矩
第3章 刚体的定轴转动
z
M
F
F
O
刚体定轴转动的转动定律
![刚体定轴转动的转动定律](https://img.taocdn.com/s3/m/8268f14769eae009581bec60.png)
R
M
h
Hale Waihona Puke 解法一 用牛顿第二运动 定律及转动定律求解.分 析受力如图所示. 对物体m用牛顿第二 运动定律得 mg T ma 对匀质圆盘形滑轮用 转动定律有 TR J 物体下降的加速度的 大小就是转动时滑轮边缘 上切向加速度,所以
o R M
T
h
a
G
a R 物体m 落下h 高度时的速率为
2
3.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆环 对垂直于平面且过中心轴的转动惯量. 解 作示意图如右,由于质 量连续分布,所以由转动 惯量的定义得
J R 2dm
m
dm
o
R
2R 0
m R dl 2R
2
mR 2
4.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆盘 对垂直于平面且过中心轴的转动惯量. dr 解 如图所示, 由于质 量连续分布,设圆盘的 R l o r 厚度为l,则圆盘的质量 密度为 m 2 R l
r近日 r远日
v近日
解 彗星受太阳引力的作用,而引力通过了 太阳,所以对太阳的力矩为零,故彗星在运 行的过程中角动量守恒. 于是有 r近日 v近日 r远日 v远日 因为 r近日 v近日 ,r远日 v远日
r近日v近日 所以 r远日 v远日
代入数据可, 得
J r 2dm
m
R 0
1 1 4 r 2r ldr R l mR 2 2 2
2
5. 如图所示,一质 量为M 、半径为R 的匀 质圆盘形滑轮,可绕一 无摩擦的水平轴转动. 圆盘上绕有质量可不计 绳子,绳子一端固定在 滑轮上,另一端悬挂一 质量为m 的物体,问物 体由静止落下h 高度时, 物体的速率为多少?
大学物理课课件第3章_刚体的定轴转动
![大学物理课课件第3章_刚体的定轴转动](https://img.taocdn.com/s3/m/8daeb80af78a6529647d5352.png)
(m1-m2)g R(m1+ m2+ m 2) (m1-m2)g R(m1+ m2+ m 2)
a
gt 2
(rad)
两匀直细杆
两者瞬时角加速度之比 转动定律例题五
θ
θ
根据
1 2 1 2
θ θ
1 3 1 3
地面 从等倾角 处静止释放
短杆的角加速度大 且与匀质直杆的质量无关
第3节 机械能守恒定律
用两个对 转的顶浆
(支奴干 CH47)
A、B两轮共轴 A以ωΑ作惯性转动
守恒例题一
两轮啮合后 一起作惯性转动的角速度
ωΑΒ
以A、B为系统,忽略轴摩擦,脱离驱动力矩后,系 统受合外力矩为零,角动量守恒。
初态角动量 末态角动量
得
守恒例题二
木棒 弹
以弹、棒为系统 击入阶段 子弹击入木棒瞬间,系统在
铅直位置,受合外力矩为零,角动量守恒。 该瞬间之始 该瞬间之末 棒 弹 棒
对 质点运动和刚体转动定律
m 1 m 2 和 m 分别应用
及
β
R
T2 T2
m
T1 T1 m1
m1 g – T1 = m1a T2 – m2 g = m2a ( T1 – T2 ) R = Iβ
得 故
a = Rβ
1 I = 2 mR2 常量
β
(m1-m2)g = R(m1+ m2+ m 2) 由
m2
a
定轴转动物理量
1. 角位置
描述刚体(上某点)的位置 刚体定轴转动 的运动方程 刚体
刚体中任 一点
(t+△t) (t) 参考 方向
2. 角位移
3-2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律
![3-2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律](https://img.taocdn.com/s3/m/5b9b86df71fe910ef02df854.png)
t2 t1
M
dt
J
J11
3 – 2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律
二、刚体定轴转动的角动量守恒定律
t2 t1
M
dt
J2
J1
若M 0 , 则J 常量
如果刚体所受合外力矩等于零,或者不受外力矩的 作用,则刚体的角动量守恒.此即角动量守恒定律.
茹科夫斯基转椅
第三章 刚体与流体
3 – 2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律
第三章 刚体与流体
3 – 2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律
例4 一根长度为L=0.60m的均匀棒,绕其端点O转
动时的转动惯量为J=0.12kgm2.当棒摆到竖直位置
时,其角速度为0=2.4rad/s.此时棒的下端和一质量
第三章 刚体与流体
3 – 2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律
M d L d(J) t2 M d t 2d(J)
dt
dt
t1
1
t2 t1
M
dt
J2
J1
——角动量定理
合外力矩的冲量矩(角冲量)
刚体所受合外力矩的冲量矩等于在这段时间内刚体 角动量的增量.
t1 t2时间内,J1 J2
3 – 2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律
3-2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律 一、刚体定轴转动的角动量 角动量定理
转动定律 M J J d d(J)
dt dt
令 L J,称为绕定轴转动刚体的角动量,则
M dL dt
刚体绕定轴转动时,作用于刚体的合外力矩 M 等于 刚体绕此轴的角动量 L 随时间的变化率.
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律课件
![刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律课件](https://img.taocdn.com/s3/m/69ba0ce7294ac850ad02de80d4d8d15abe230092.png)
只与刚体的质量和各质点到转动轴 的距离有关,与转动角速度的大小 无关。
02
角动量定理
角动量的定义与性质
角动量的定义
角动量是描述刚体转动状态的物理量 ,等于刚体的转动惯量乘以角速度。
角动量的性质
角动量是矢量,具有方向和大小;对 于定轴转动,角动量位于转轴上;角 动量是相对量,与参考系的选择有关 。
理解角动量守恒定律的证明方法是深入理解该定律的重要途径。
详细描述
证明角动量守恒定律的方法主要有两种,一种是基于牛顿第二定律和转动定理推导,另一种是通过分析系统的能 量变化来证明。通过这些证明方法,可以更深入地理解角动量守恒定律的物理意义和适用条件。
04
刚体定轴转动的实例 分析
刚体定轴转动的实例介绍
角动量守恒定律的内容及应用
总结词
掌握角动量守恒定律的内容及应用是解决实际问题的关键。
详细描述
角动量守恒定律表明,对于不受外力矩或所受外力矩的矢量和为零的系统,其总角动量保持不变。这 一原理在日常生活、工程技术和科学研究中有广泛的应用,如行星运动、陀螺仪、火箭飞行等。
角动量守恒定律的证明方法
总结词
陀螺仪
风扇
陀螺仪是一个典型的刚体定轴转动实 例,其工作原理就是角动量守恒定律 。
当风扇的扇叶旋转时,可以将其视为 刚体定轴转动,这个过程涉及到角动 量定理的应用。
自行车轮
自行车轮在转动时,也是一个刚体定 轴转动的例子,其转动惯量对于理解 角动量定理和角动量守恒定律非常有 帮助。
刚体定轴转动的角动量定理应用实例
舞蹈演员在进行旋转动作时,可以通过改变身体的姿势来改变转动惯量,从而控制旋转的 速度。
刚体定轴转动的角动量守恒定律应用实例
《刚体的定轴转动》课件
![《刚体的定轴转动》课件](https://img.taocdn.com/s3/m/677d8fb1aff8941ea76e58fafab069dc50224792.png)
实例二
陀螺在受到外力矩作用后发生定轴转动。分析过程中应用了转动定 律,解释了陀螺的进动现象。
实例三
电风扇在启动时,叶片的角速度从零逐渐增大到稳定值。分析过程中 应用了转动定律,解释了电风扇叶片角速度的变化规律。
CHAPTER
03
刚体的定轴转动的动能与势能
动能与势能的定义
动能定义
物体由于运动而具有的能量,用 符号E表示,单位是焦耳(J)。
势能定义
物体由于相对位置或压缩状态而 具有的能量,常用符号PE表示, 单位是焦耳(J)。
刚体的定轴转动动能与势能的计算
转动动能计算
刚体的转动动能等于刚体绕定轴转动的动能,等于刚体质量与角速度平方乘积的一半, 即E=1/2Iω^2。
势能计算
刚体的势能等于刚体各质点的势能之和,等于各质点的位置坐标与相应的势能函数的乘 积之和。
01
数学表达式:Iα=M
02
转动惯量的计算:根据刚体的质量和形状,可以计算出其转动
惯量。
角加速度的计算:根据作用在刚体上的外力矩和刚体的转动惯
03
量,可以计算出其角加速度。
转动定律的实例分析
实例一
匀速转动的飞轮在受到阻力矩作用后,角速度逐渐减小,直至停止 转动。分析过程中应用了转动定律,解释了飞轮减速直至停止的原 因。
CHAPTER
02
刚体的定轴转动定律
转动定律的内容
刚体定轴转动定律
对于刚体绕固定轴的转动,其转动惯量与角加速度乘积等于作用 在刚体上的外力矩之和。
转动定律的物理意义
描述了刚体在力矩作用下绕固定轴转动的运动规律。
转动定律的适用范围
适用于刚体在力矩作用下的定轴转动,不适用于质点和弹性体的转 动。
大学物理学第三版 第5章 刚体的定轴转动2011
![大学物理学第三版 第5章 刚体的定轴转动2011](https://img.taocdn.com/s3/m/38010ab2fd0a79563c1e72c9.png)
vi θ
P
Δmi
o
转动平面
x
op r
2.定轴转动的角量描述 1.角位置θ
2.角位移
P 方向与转动方向成右手螺旋法则。 o θ X 转动平面 op r P点线速度 v r d ( rad / s 2 ) 4. 角加速度矢量 dt 由于在定轴转动中轴的 当加速转动时, 与 方向相同; 方位不变,故 , 只 有沿轴的正负两个方向, 当减速转动时, 与 方向相反;
Δmj
质元
Δmi
r ij
2. 刚体的运动形式: ⑴平动: 在描述刚体的平动时,可以用一点的运 动来代表,通常就用刚体的质心的运动来 代表整个刚体的平动。
⑵转动: 转动是刚体的基本运动形式之一。 刚体转动时各质元均做圆周运动,而且 各圆的圆心都在一条固定不动的直线上, 这条直线叫转轴。如果转轴方向不随时间 变化, 则称定轴转动。
d 3.角速度: 单位:rad/s dt 角速度是矢量 。
Z
ω 转动方向 v
可以用标量代替。
5.当角加速度是常量时: 0 t
( 0 ) t 1 t 2 2
2 2 0 2 ( 0 )
P点线加速度 a r
an r
转轴
⑶ 刚体的一般运动都可以认为是平动和绕某一转轴转动 的结合。如图,车轮的转动。
二、刚体定轴转动的描述 1.特点: 其上各质元都在垂直于转轴的平面内作圆周运动, 且所有质元的矢径在相同的时间内转过的角度相同. 一般用角量描述。 转动平面: 取垂直于转轴 的平面为参考系, 称转动平面。,
转轴 Z
转动方向
刚体的角动量
L J
4第四章 刚体的定轴转动
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第 1 讲 刚体的定轴转动
预习要点 1. 理解刚体的运动; 2. 掌握描述刚体定轴转动的运动学方法; 3. 理解力矩的概念及力矩的功;
式中 mi ri2 表示第i个质点对转轴的转动惯量;
对质量连续分布的刚体,任取质量元 dm ,其到轴的
距离为 r ,则转动惯量:
J r2dm 单位:kg ·m2
若系统由多个刚体组成,则系统对转轴的总转动惯量, 等于各部分对同一转轴的转动惯量之和
一个长为4L的轻杆,连有两个质量都是m的小球(大小可 忽略),此系统可绕垂直于杆的轴转动,求下列转动惯量;
在转动平面内,O为转动平面与转轴的焦点,r 为从O 点指向
M 力的作用点 A 的位矢,两矢量的夹角为 ;
力 F 对定轴 OZ 的力矩 :
(力臂:力的作用线到转轴的距离)
z
M Z Fd Fr sin
通常,从OZ轴正向俯视,有 逆时针转动(趋势)力矩为正, 反之为负;
单位:牛·米(N ·m)
F
Or
例:一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮,绳的两端分别悬
有质量为m1和m2的物体,滑轮可视为均质圆盘, 质量 为m,半径为r,绳子不可伸长而且与滑轮之间无相对 滑动.求物体加速度、滑轮转动的角加速度和绳子的张
力. 设 m2 m1
解: 受力分析如图:
FT1 m1g m1a m2g FT2 m2a
FT2R FT1R J a r
m2
)
gl
sin
α
《大学物理》第三章 刚体的定轴转动
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P
t
=
1 2
ω J 2 自
t
=
ω J 2 自 2P
=
2×105× (30π)
2×736×103
2
=
1.21×103s
(2) ω进 = 1度 秒 = 0.0175rad/s
ω进 =
M
Jω自
M = Jω进ω自
M = 2×105×0.0175×30π= 3.3×105 N返回.m退出
3-14 在如图所示的回转仪中,转盘的 质量为 0.15kg , 绕其轴线的转动惯量为: 1.50×10-4 kg.m2 ,架子的质量为 0.03kg, 由转盘与架子组成的系统被支持在一个支柱 的尖端O,尖端O到转盘中心的距离为0.04 m , 当转盘以一定角速度ω 绕其轴旋转时, 它便在水平面内以1/6 rev/s的转速进动。
为25cm,轴的一端 A用一根链条挂起,如
果原来轴在水平位置,并使轮子以ω自=12 rad/s的角速度旋转,方向如图所示,求:
(1)该轮自转的角动量;
(2)作用于轴上的外力矩;
(3)系统的进动角速度, ω
并判断进动方向。
AO
B
R
l 返回 退出
解:
(1)
J
=
m
R
2
回
=
5×(0.25 )2
ω
= 0.313 kg.m2
a
=
m
1+
m m
1g 2+
J
r2
T1 =
m 1g (m 2+ J m 1+m 2 + J
r 2) r2
T2 =
m 1m 2g m 1+m 2 + J
《大学物理》第五章刚体的定轴转动
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偏转角为30°。问子弹的初速度为多少。
o
解: 角动量守恒:
30°
mva 1 Ml 2 ma 2
la
3
v
机械能守恒:
1 1 Ml 2 ma 2 2 mga1 cos 30 Mg l 1 cos 30
23
2
v 1 g 2 3 Ml 2ma Ml 2 3ma 2 ma 6
刚体可以看成是很多质元组成的质点系,且在外力 作用下,各个质元的相对位置保持不变。 因此,刚体的运动规律,可通过把牛顿运动定律应 用到这种特殊的质点系上得到。
3
2.刚体的运动
平动:刚体在运动过程中,其上任意两点的连线 始终保持平行。
刚体的平动可看做刚体质心 的运动。
转动:刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动. 转动又分定轴转动和非定轴转动 .
r2dm
L
r2 dl
L
(线质量分布)
12
3 平行轴定理
如果刚体的一个轴与过质 心轴平行并相距d,则质量 为 m 的刚体绕该轴的转动 惯量,等于刚体绕过质心 轴的转动惯量与 md2 之和:
J z Jc md 2
请同学们自己证明平行轴定理的。
提示:利用余弦定理 ri2 ri '2 d 2 2dxi 13
hc hi
若A外+ A内非=0
Ep=0
则Ek +Ep =常量。
例13 一均质细杆可绕一水平轴旋转,开始时处于 水平位置,然后让它自由下落。求: ( )
解 方法一 动能定理
M mg L cos
2
W
Md
mg
L cosd
0
0
2
mg L sin
2
θ
刚体的定轴转动力矩课件
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大小
力矩的大小与力的大小、力臂长 度以及力和转动轴之间的夹角有
关。
转动效应
力矩能够使刚体绕固定轴转动, 改变刚体的角速度和角动量。
定轴转动力矩的应用
机械传动
在机械传动中,如齿轮、蜗轮等,定轴转动力矩 是实现能量传递和运动转换的关键因素。
航空航天
在航空航天领域,定轴转动力矩用于控制飞机的 飞行姿态和稳定飞行状态。
平衡条件
为了保持刚体的定轴转动,必须满足力矩平衡条件,即重力矩与阻力矩相等。
实例分析
以钟摆为例,钟摆在重力作用下绕轴转动,为了保持钟摆的定轴转动,钟摆的长度和重 力的作用点必须满足一定的条件,否则钟摆会发生摆动。
THANKS
感谢观看
力矩平衡条件
对于旋转机械,力矩平衡是保持机械稳定运转的重要条件,即作用 在刚体上的所有力矩之和为零。
实例分析
以电动机为例,电动机在运转过程中,作用在电动机转子上的电磁力 矩与转子受到的阻力矩平衡,使得电动机能够稳定运转。
刚体在重力作用下的定轴转动
重力对刚体的作用
重力是作用在刚体上的恒力,当刚体在重力作用下绕轴转动时,重力会产生一个力矩。
刚体的动态平衡
总结词
刚体在运动状态下,受到的力矩和力矩的冲量之和为零。
详细描述
刚体的动态平衡是指刚体在运动状态下,受到的力矩和力矩的冲量之和为零。这意味着作用在刚体上 的所有力矩和力矩的冲量在某一时间段内相互抵消,使刚体保持匀速直线运动或匀速转动状态。
刚体的稳定性和失稳条件
总结词
刚体在受到微小扰动后能恢复到原来的平衡状态的性质。
刚体的分类
可分为固定刚体和活动刚 体。
刚体的定轴转动
定轴转动定义
刚体绕某一固定轴线作转动。
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t 0
方向:
t dt
右手螺旋方向
z (t)
x
参考平面
参考轴
刚体定轴转动(一
维转动)的转动方向可
以用角速度的正负来表
示.
角加速度
d
dt
定轴转动的特点
z
>0
z
<0
1) 2)
每一质点均作圆周运动,圆面为转动平面;
任一质点运动
,
,
均相同,但
v,
a不同;
3) 运动描述仅需一个坐标 .
三、 匀变速转动公式
➢ 刚体的平面平行运动 .
+ ➢ 刚体平面平行运动 质心的平动 绕质心的转动
+ ➢ 刚体平面平行运动 质心的平动 绕质心的转动
二、 刚体定轴转动的角速度和角加速度
角坐标 (t)
约定
rr沿沿逆逆时时针 针方 方向 向转 转动动
> <
0 0
角位移
(t t) (t)
角速度矢量
lim d
X x
dx
X x
dx
hC
X
x dx
平行轴定理
质量为 m 的刚
体,如果对其质心轴
的转动惯量为 IC ,
则对任一与该轴平行,
相距为 的转d 轴的
转动惯量
IO IC md 2
注意
d
C
O
m
z
y
I
Iy
x
ry
Ix x
I r2dm (x2 y2 )dm Ix I y
V
V
y
l sin
m l0
刚体平动 质点运动
刚体在平动时,在任意一段时间内,刚体中 所有质点的位移都是相同的。而且在任何时刻, 各个质点的速度和加速度也都是相同的。所以刚 体内任何一个质点的运动,都可代表整个刚体的 运动。因此,此时可将刚体视为一个质点。
➢ 定轴转动:刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动.
定轴转动的刚体上各点都绕同一转轴 作不同半径的圆周运动,且具有相同的角 位移、角速度和角加速度,但是,线速度 、切向加速度和法向加速度不同。即角量 相同而线量不同。因此,定轴转动的刚体 通常要用角量来描述。
ma
I miri2
i
转动惯量
转动惯量是刚体转动惯性大小的量度,转动 惯量大,则刚体的转动惯性大;转动惯量小, 则刚体的转动惯性小。
转动惯量一般与两个因素有关:
(1)转动轴的位置;
(2)转动刚体的质量;
m3 r3 m4 r4
r2
m2
r1 m1 ri
r5
mi m5
➢ 质量离散分布系统的转动惯量
I miri2 m1r12 m2r22
竿
子
长
些
还
是
短
些
较
安
飞轮的质量为什么
全
大都分布于外轮缘?
?
刚体定轴转动的转动定律的应用
例、如图所示,一个质量为M, 半径为R的圆盘形定滑轮,上面 绕有细绳,绳子一端固定在滑轮 上,另一端悬挂一个质量为m的 物体而下垂,忽略轴处的摩擦, 绳子与滑轮间无相对滑动,求物 体m下落的加速度。
a
例题、一根长为l、质量为m的均匀直棒,其一端固定在光滑 水平轴上,因而可以在竖直平面内转动,假设最初棒处于水 平位置,求棒从初始位置下摆到时的角速度和角加速度。
边缘上的切向加速度和物体的加速度相等,即
a r
从以上各式即可解得
a m2 m1
m2
而
T1 m1g
g
m1
a
Mr J
r2
/
r
m2
m2
m1 g M
m1
1 2
m
/
r
m1 2m2
1 2
m
g
M
/
r
m2
m1
1 2
m
T2
m1g-a
m2
2m1
1 2
m
g+M
m2
m1
1 2
m
/
r
a m2 m1g M / r
的圆环
圆环质量 dm 2π rdr
O
RR
r
dr
圆环对轴的转动惯量
dI r 2dm 2 πr3dr
I R 2 πr3dr π R4
0
2
而 m π R2
所以 I 1 mR2 2
例题、均匀分布的质量为m、半径为R的球体绕其直径做定
轴转动的转动惯量。
Z
R2 z2
dz
z
R
x
例 有两个半径相同、质量相等的细圆环A和B, A环的质量均匀分布,B环的质量分布不均匀, 它们对通过环心且垂直于环面的轴的转动惯量 分别为IA和IB,则:【 】 (A)A环的转动惯量大于B环的转动惯量; (B)A环的转动惯量小于B环的转动惯量; (C)两个圆环的转动惯量相等; (D)无法判断。
体 B 上. 滑轮与绳索间没有滑动, 且滑轮与轴承间的摩
擦力可略去不计. 问:(1) 两物体的加速度为多少?
水平和竖直两段绳索的张力各为多少?(2) 物体 B 从
静止落下距离 y 时,
A mA
C
mC
其速率是多少?(3) 若滑轮与轴承间的摩 擦力不能忽略,并设
它们间的摩擦力矩为
mB B
M f 再求加速度及绳 的张力.
FT1 mAa
mBg FT2 mBa RFT2 RFT1 M f J
a R
A mA
FT1
C mC FT2
mB B
a mBg M f R mA mB mC / 2
FT1
mA (mBg M f / R) mA mB mC / 2
FT2
mB
(mA mC 2) g mA mB mC
分别悬有质量为m1和m2的物体1和2,m1< m2 如图所示
。设滑轮的质量为m ,半径为r,所受的摩擦阻力矩为 Mf。绳与滑轮之间无相对滑动。试求物体的加速度和绳 的张力。
解:滑轮具有一定的转动惯 量。在转动中受到阻力矩 的作用,两边的张力不再 相等,设物体1这边绳的张 力为T1、 T1’(T1’= T1) ,
竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态,当其受到微小 扰动时,细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转
动 .试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度
和角速度 .
解 细杆受重力和
铰链对细杆的约束力
FN
作用,由转动定律得
1 mgl sin J
2
1 mgl sin J
2 式中 J 1 ml2
3
得 3g sin
2mB gy
mA mB mC / 2
(3) 考虑滑轮与轴承间的摩
擦力矩 M f ,转动定律
RFT2 RFT1 Mf J
结合(1)中其它方程
FT1 mAa
mBg FT2 mBa
RFT2 RFT1 M f J
a R
FT1
M f FT2
FT2
FN
mB PB
mAFT1 PA
a R
a
mB g
mA mB mC 2
FT1
mA
mAmB g mB mC
2
A mA
FT1
C mC FT2
FT2
(mA mC 2)mB g mA mB mC 2
如令 mC 0,可得
mB B
FT1
FT2
mAmB g mA mB
(2) B由静止出发作匀加速直线运动,下落的速率
v 2ay
2l
由角加速度的定义
d d d d dt d dt d
d 3g sind
2l
代入初始条件积分 得
3g (1 cos )
l
例:一转动惯量为J的圆盘绕一固定轴转动, 初始为角速度为ω0,它所受阻力矩与转动角 速度的平方成正比,即M=-kω2(k为正的 常数),求:
(1)圆盘开始转动时的角加速度。 (2)圆盘的角速度从ω0变为1/3ω0时所需的时 间。
绳的两端分别悬挂着物体A和B,A的质量为m,B的质量为 2m,这一系统由静止开始转动,忽略滑轮轴的摩擦,绳子与 滑轮间无相对滑动,求两滑轮的角加速度和它们之间的绳的张 力。
2r r
m 2m
例 质量为 mA 的物体 A 静止在光滑水平面上,
和一质量不计的绳索相连接,绳索跨过一半径为 R、质
量为 mC 的圆柱形滑轮 C,并系在另一质量为 mB 的物
当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时,刚体做 匀变速转动 .
刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比
质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
v v0 at
x
x0
v0t
1 2
at 2
0 t
0
0t
1 2
t 2
v2
v
2 0
2a(x
x0 )
2 02 2 ( 0 )
四、角量与线量的关系
Mf 2
R
例、如图所示,圆盘形滑轮的质量为M,半径为R, 通过滑轮连接的两个物体质量分别为m1和m2 (m1>m2),若斜面是光滑的,倾角为,绳与滑轮 间无相对滑动,不计滑轮轴上的摩擦,求(1)绳子 中的张力;(2)m1、m2的加速度。
m2 m1
例 一长为 l 质量为 m 匀质细杆竖直放置,其
下端与一固定铰链 O 相接,并可绕其转动 . 由于此
d
dt
d
dt
d 2
d2t
v r
a
an r
a v
a r an r 2
a r r 2n
r
v
v r
a
r
五、力矩