模运算及其应用(附C++功能实现代码)

模运算即求余运算。

“模”是“Mod”的音译，模运算多应用于程序编写中。

Mod的含义为求余。

模运算在数论和程序设计中都有着广泛的应用，从奇偶数的判别到素数的判别，从模幂运算到最大公约数的求法，从孙子问题到凯撒密码问题，无不充斥着模运算的身影。

例如11 Mod 2，值为1
上述模运算多用于程序编写，举一例来说明模运算的原理：
Turbo Pascal对mod的解释是这样的：
A Mod B=A-(A div B) *
B （div含义为整除）
基本理论
基本概念：
给定一个正整数p，任意一个整数n，一定存在等式n = kp + r ；
其中k、r是整数，且0 ≤ r < p，称呼k为n除以p的商，r为n除以p的余数。

对于正整数p和整数a,b，定义如下运算：
取模运算：a % p（或a mod p），表示a除以p的余数。

模p加法：(a + b) % p ，其结果是a+b算术和除以p的余数，也就是说，(a+b) = kp +r，则(a + b) % p = r。

模p减法：(a-b) % p ，其结果是a-b算术差除以p的余数。

模p乘法：(a * b) % p，其结果是a * b算术乘法除以p的余数。

说明：
1. 同余式：正整数a，b对p取模，它们的余数相同，记做a ≡ b % p或者a ≡ b (mod p)。

2. n % p得到结果的正负由被除数n决定,与p无关。

例如：7%4 = 3，-7%4 = -3，7%-4 = 3，-7%-4 = -3。

基本性质
（1）若p|(a-b)，则a≡b (% p)。

例如11 ≡ 4 (% 7)，18 ≡ 4(% 7)
（2）(a % p)=(b % p)意味a≡b (% p)
（3）对称性：a≡b (% p)等价于b≡a (% p)
（4）传递性：若a≡b (% p)且b≡c (% p) ，则a≡c (% p)
运算规则
模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。

其规则如下：
(a + b) % p = (a % p + b % p) % p （1）
(a - b) % p = (a % p - b % p) % p （2）
(a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3）
(a^b) % p = ((a % p)^b) % p （4）
结合率：((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p （5）
((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p （6）
交换率：(a + b) % p = (b+a) % p （7）
(a * b) % p = (b * a) % p （8）
分配率：((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p （9）
重要定理：若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a + c) ≡ (b + c) (%p)；（10）
若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) (%p)；（11）
若a≡b (% p)，c≡d (% p)，则(a + c) ≡ (b + d) (%p)，(a - c) ≡ (b - d) (%p)，
(a * c) ≡ (b * d) (%p)，(a / c) ≡ (b / d) (%p)；（12）
若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有ac≡ bc (%p)；（13）
基本应用
1.判别奇偶数
奇偶数的判别是模运算最基本的应用，也非常简单。

易知一个整数n对2取模，如果余数为0，则表示n为偶数，否则n为奇数。

2.判别素数
一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。

例如2，3，5，7 是质数，而4，6，8，9 则不是，后者称为合成数或合数。

判断某个自然数是否是素数最常用的方法就是试除法：用比该自然数的平方根小的正整数去除这个自然数，若该自然数能被整除，则说明其非素数。

C++实现功能函数：
/*
函数名：IsPrime
函数功能：判别自然数n是否为素数。

输入值：int n，自然数n
返回值：bool，若自然数n是素数，返回true，否则返回false
*/
bool IsPrime(unsigned int n)
{
unsigned maxFactor = sqrt(n); //n的最大因子
for (unsigned int i=2; i<=maxFactor; i++)
{
if (n % i == 0) //n能被i整除，则说明n非素数
{
return false;
}
}
return true;
}
3. 最大公约数
求最大公约数最常见的方法是欧几里德算法（又称辗转相除法），其计算原理依赖于定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b
假设d是a,b的一个公约数，则有d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公约数
假设d 是(b,a mod b)的公约数，则d | b , d |r ，但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公约数
因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。

C++实现功能函数：
[cpp]view plaincopyprint?
1./*
2.函数功能：利用欧几里德算法，采用递归方式，求两个自然数的最大公约数
3.函数名：Gcd
4.输入值：unsigned int a，自然数a
5.unsigned int b，自然数b
6.返回值：unsigned int，两个自然数的最大公约数
7.*/
8.unsigned int Gcd(unsigned int a, unsigned int b)
9.{
10.if (b == 0)
11.return a;
12.return Gcd(b, a % b);
13.}
14./*
15.函数功能：利用欧几里德算法，采用迭代方式，求两个自然数的最大公约数函数名：Gcd
16.输入值：unsigned int a，自然数a
17.unsigned int b，自然数b
18.返回值：unsigned int，两个自然数的最大公约数
19.*/
20.unsigned int Gcd(unsigned int a, unsigned int b)
21.{
22.unsigned int temp;
23.while (b != 0)
24.{
25.temp = a % b;
26. a = b;
27. b = temp;
28.}
29.return a;
30.}
4．模幂运算
利用模运算的运算规则，我们可以使某些计算得到简化。

例如，我们想知道3333^5555的末位是什么。

很明显不可能直接把3333^5555的结果计算出来，那样太大了。

但我们想要确定的是3333^5555（%10），所以问题就简化了。

根据运算规则（4）a^b% p = ((a % p)^b) % p ，我们知道3333^5555（%10）= 3^5555（%10）。

由于3^4 = 81，所以3^4（%10）= 1。

根据运算规则（3）(a * b) % p = (a % p * b % p) % p ，由于5555 = 4 * 1388 + 3，我们得到3^5555（%10）=（3^(4*1388) * 3^3）（%10）=（（3^(4*1388)（%10）* 3^3（%10））（%10）
=（1 * 7）（%10）= 7。

计算完毕。

利用这些规则我们可以有效地计算X^N(% P)。

简单的算法是将result初始化为1，然后重复将result乘以X，每次乘法之后应用%运算符（这样使得result的值变小，以免溢出），执行N次相乘后，result就是我们要找的答案。

这样对于较小的N值来说，实现是合理的，但是当N的值很大时，需要计算很长时间，是不切实际的。

下面的结论可以得到一种更好的算法。

如果N是偶数，那么X^N =（X*X）^[N/2]；
如果N是奇数，那么X^N = X*X^(N-1) = X *（X*X）^[N/2]；
其中[N]是指小于或等于N的最大整数。

C++实现功能函数：
[cpp]view plaincopyprint?
1./*
2.函数功能：利用模运算规则，采用递归方式，计算X^N(% P)
3.函数名：PowerMod
4.输入值：unsigned int x，底数x
5.unsigned int n，指数n
6.unsigned int p，模p
7.返回值：unsigned int，X^N(% P)的结果
8.*/
9.unsigned int PowerMod(unsigned int x, unsigned int n, unsigned int p)
10.{
11.if (n == 0)
12.{
13.return 1;
14.}
15.unsigned int temp = PowerMod((x * x)%p, n/2, p); //递归计算（X*X）^[N/2]
16.if ((n & 1) != 0) //判断n的奇偶性
17.{
18.temp = (temp * x) % p;
19.}
20.return temp;
21.}
5.《孙子问题(中国剩余定理)》
在我国古代算书《孙子算经》中有这样一个问题：
“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”意思是，“一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2.求适合这个条件的最小数。

”
这个问题称为“孙子问题”.关于孙子问题的一般解法，国际上称为“中国剩余定理”.
我国古代学者早就研究过这个问题。

例如我国明朝数学家程大位在他著的《算法统宗》（1593年）中就用四句很通俗的口诀暗示了此题的解法：
三人同行七十稀，五树梅花甘一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。

"正半月"暗指15。

"除百零五"的原意是，当所得的数比105大时，就105、105地往下减，使之小于105；这相当于用105去除，求出余数。

这四句口诀暗示的意思是：当除数分别是3、5、7时，用70乘以用3除的余数，用21乘以用5除的余数，用15乘以用7除的余数，然后把这三个乘积相加。

加得的结果如果比105大，就除以105，所得的余数就是满足题目要求的最小正整数解。

根据剩余定理，我把此种解法推广到有n(n为自然数）个除数对应n个余数，求最小被除数的情况。

输入n 个除数（除数不能互相整除）和对应的余数，计算机将输出最小被除数。

C++实现功能函数：
[cpp]view plaincopyprint?
1./*
2.函数名：ResidueTheorem
3.函数功能：运用剩余定理，解决推广了的孙子问题。

通过给定n个除数（除数不能互相整除）和对应的余数，返回最小
被除数
4.输入值：unsigned int devisor[]，存储了n个除数的数组
5.unsigned int remainder[]，存储了n个余数的数组
6.int length，数组的长度
7.返回值：unsigned int，最小被除数
8.*/
9.
unsigned int ResidueTheorem(const unsigned int devisor[], const unsigned int remainder[], int le ngth)
10.{
11.unsigned int product = 1; //所有除数之乘积
12.for (int i=0; i<length; i++)//计算所有除数之乘积
13.{
14.product *= devisor[i];
15.}
16.//公倍数数组，表示除该元素（除数）之外其他除数的公倍数
17.unsigned int *commonMultiple = new unsigned int(length);
18.for (int i=0; i<length; i++)//计算除该元素（除数）之外其他除数的公倍数
19.{
monMultiple[i] = product / devisor[i];
21.}
22.unsigned int dividend = 0; //被除数，就是函数要返回的值
23.for (int i=0; i<length; i++)//计算被除数，但此时得到的不是最小被除数
24.{
25.unsigned int tempMul = commonMultiple[i];
26.//按照剩余理论计算合适的公倍数，使得tempMul % devisor[i] == 1
27.while (tempMul % devisor[i] != 1)
28.{
29.tempMul += commonMultiple[i];
30.}
31.dividend += tempMul * remainder[i]; //用本除数得到的余数乘以其他除数的公倍数
32.}
33.delete []commonMultiple;
34.return (dividend % product); //返回最小被除数
35.}
6. 凯撒密码
凯撒密码（caeser）是罗马扩张时期朱利斯o凯撒（Julius Caesar）创造的，用于加密通过信使传递的作战命令。

它将字母表中的字母移动一定位置而实现加密。

注意26个字母循环使用，z的后面可以看成是a。

例如，当密匙为k = 3，即向后移动3位时，若明文为”How are you!”，则密文为”Krz duh btx!”。

凯撒密码的加密算法极其简单。

其加密过程如下：
在这里，我们做此约定：明文记为m，密文记为c，加密变换记为E(key1,m)（其中key1为密钥），解密变换记为D(key2,m)（key2为解密密钥）（在这里key1=key2,不妨记为key）。

凯撒密码的加密过程可记为如下一个变换：c≡m+key (mod n）（其中n为基本字符个数）
同样，解密过程可表示为：m≡c+key (mod n）（其中n为基本字符个数）
C++实现功能函数：
[cpp]view plaincopyprint?
1./*
2.函数功能：使用凯撒密码原理，对明文进行加密，返回密文函数名：Encrypt
3.输入值：const char proclaimedInWriting[]，存储了明文的字符串
4.char cryptograph[]，用来存储密文的字符串
5.int keyey，加密密匙，正数表示后移，负数表示前移
6.返回值：无返回值，但是要将新的密文字符串返回
7.*/
8.void Encrypt(const char proclaimedInWriting[], char cryptograph[], int key)
9.{
10.const int NUM = 26; //字母个数
11.int len = strlen(proclaimedInWriting);
12.for (int i=0; i<len; i++)
13.{
14.if (proclaimedInWriting[i] >= 'a' && proclaimedInWriting[i] <= 'z')
15.{//明码是大写字母，则密码也为大写字母
16.cryptograph[i] = (proclaimedInWriting[i] - 'a' + key) % NUM + 'a';
17.}
18.else if (proclaimedInWriting[i] >= 'A' && proclaimedInWriting[i] <= 'Z')
19.{//明码是小写字母，则密码也为小写字母
20.cryptograph[i] = (proclaimedInWriting[i] - 'A' + key) % NUM + 'A';
21.}
22.else
23.{//明码不是字母，则密码与明码相同
24.cryptograph[i] = proclaimedInWriting[i];
25.}
26.}
27.cryptograph[len] = '\0';
28.}
29./*
30.函数功能：使用凯撒密码原理，对密文进行解密，返回明文函数名：Decode
31.输入值：char proclaimedInWriting[]，用来存储明文的字符串
32.const char cryptograph[]，存储了密文的字符串
33.int keyey，解密密匙，正数表示前移，负数表示后移（与加密相反）
34.返回值：无返回值，但是要将新的明文字符串返回
35.*/
36.void Decode(const char cryptograph[], char proclaimedInWriting[], int key)
37.{
38.const int NUM = 26; //字母个数
39.int len = strlen(cryptograph);
40.for (int i=0; i<len; i++)
41.{
42.if (cryptograph[i] >= 'a' && cryptograph[i] <= 'z')
43.{//密码是大写字母，则明码也为大写字母，为防止出现负数，转换时要加个NUM
44.proclaimedInWriting[i] = (cryptograph[i] - 'a' - key + NUM) % NUM + 'a';
45.}
46.else if (cryptograph[i] >= 'A' && cryptograph[i] <= 'Z')
47.{//密码是小写字母，则明码也为小写字母
48.proclaimedInWriting[i] = (cryptograph[i] - 'A' - key + NUM) % NUM + 'A';
49.}
50.else
51.{//密码不是字母，则明码与明密相同
52.proclaimedInWriting[i] = cryptograph[i];
53.}
54.}
55.proclaimedInWriting[len] = '\0';
56.}
"差同减差，和同加和，余同取余，最小公倍加"
所谓同余问题，就是给出“一个数除以几个不同的数”的余数，反求这个数，称作同余问题。

首先要对这几个不同的数的最小公倍数心中有数，下面以4、5、6为例，请记住它们的最小公倍数是60。

1、差同减差：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的差相同，
此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，减去这个相同的差数，称为：“差同减差”。

例：“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，因为4-1=5-2=6-3=3，所以取-3，表示为60n-3。

2、和同加和：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的和相同，
此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的和数，称为：“和同加和”。

例：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，因为4+3=5+2=6+1=7，所以取+7，表示为60n+7。

3、余同取余：用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同，
此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的余数，称为：“余同取余”。

例：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，因为余数都是1，所以取+1，表示为60n+1。

4、最小公倍加：所选取的数加上除数的最小公倍数的任意整数倍（即上面1、2、3中的60n）都满足条件，称为：“最小公倍加”，也称为：“公倍数作周期”。