周期函数,复合函数,分段函数的精讲与练习(快速提高解函数题的能力)

周期函数通俗定义对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。

事实上，任何一个常数kT （k∈Z且k≠0）都是它的周期。

严格定义设f(x）是定义在数集M上的函数，如果存在非零常数T具有性质：f （x+T）=f（x）；则称f（x）是数集M上的周期函数，常数T称为f（x）的一个周期。

如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数f（x）的最小正周期。

由定义可得：周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。

正弦函数图象编辑本段周期函数性质⑴若T（≠0）是f(X）的周期，则-T也是f(X）的周期。

⑵若T（≠0）是f(X）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(X）的周期。

⑶若T1与T2都是f(X）的周期，则T1±T2也是f(X）的周期。

⑷若f(X）有最小正周期T*，那么f(X）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。

⑸若T1、T2是f(X）的两个周期，且是无理数，则f(X）不存在最小正周期⑹若T1、T2是f(X）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f(X）不存在最小正周期。

⑺周期函数f(X）的定义域M必定是至少一方无界的集合。

编辑本段判定定理1若f(X）是在集M上以T*为最小正周期的周期函数则K f(X)+C（K≠0）和1/ f(X）分别是集M和集{X/ f(X) ≠0，X }上的以T*为最小正周期的周期函数。

[1]证：∵T*是f(X）的周期，∴对有X±T* 且f(X+T*)= f(X），∴K f(X)+C=K f(X+T*)+C，∴K f(X)+C也是M上以T*为周期的周期函数。

假设T* 不是Kf(X)+C的最小正周期，则必存在T’（0<T’<T*）是K f(X)+C的周期，则对，有K f(X+T’）+C=K f(X) +C K[f(X+T’）- f(X)]=0，∵K≠0，∴f(X+T’）- f(X)=0，∴f(X+T’）= f(X），∴T’是f(X）的周期，与T*是f(X）的最小正周期矛盾，∴T*也是K f(X)+C 的最小正周期。

同理可证1/ f(X）是集{X/ f(X) ≠0，X }上的以T*为最小正周期的周期函数。

定理2若f(X）是集M上以T*为最小正周期的周期函数，则f(aX+n）是集{X/aX+ n }上的以T*/ a为最小正周期的周期函数，（其中a、b为常数）。

证：先证是f(ax+b）的周期∵T*是f(X）的周期，∴ ，有X±T*∈M，∴a（X）+b=ax+b ±T*∈M，且f[a（X+ T）+b]=f（ax+b±T*）=f（ax+b）∴ 是f（ax+b）的周期。

再证是f（ax+b）的最小正周期假设存在T’（0<T’<；）是f（ax+b）的周期，则f（a（x+T’）+b）=f（ax+b），即f（ax+b+aT’）=f（ax+b），因当X取遍{X/X∈M,ax+b∈M}的各数时,ax+b就取遍M所有的各数，∴aT’是f(X）的周期，但 <=T*这与T*是f(X）的最小正周期矛盾。

定理3设f(u）是定义在集M上的函数u=g（x）是集M1上的周期函数，且当X∈M1时，g(x）∈M，则复合函数f(g(x））是M1上的周期函数。

证：设T是u=g(x）的周期，则 1有（x±T）∈M1且g（x+T）=g(x)∴f(g(x+T))=f(g(x))∴=f(g(x)）是M1上的周期函数。

例1设=f(u)=u2是非周期函数，u= g(X)=cosx是实数集R上的周期函数，则f(g(x))=cos2x是R上的周期函数。

同理可得：⑴f(X)=Sin(cosx），⑵f(X)=Sin(tgx），⑶f(X)=Sin2x，⑷f(n)=Log2Sinx(sinx>0）也都是周期函数。

例2f(n)=Sinn是周期函数，n=g(x)=ax+b(a≠0）是非周期函数，f(g(x))=Sin(ax+b)是周期函数（中学数学中已证）。

例3f(n)=cosn是周期函数，n=g(x)= （非周期函数）而f(g(x))=cos 是非周期函数。

证：假设cos 是周期函数，则存在T>0使cos （k∈Z）与定义中T是与X无关的常数矛盾，∴cos 不是周期函数。

由例2、例3说明，若f(u)是周期函数，u= g(X）是非周期函数，这时f(g(x））可能是，也可能不是周期函数。

定理4设f1(X）、f2(X）都是集合M上的周期函数，T1、T2分别是它们的周期，若T1/T2∈Q则它们的和差与积也是M上的周期函数，T1与T2的公倍数为它们的周期。

证：设（（p·q)=1）设T=T1q=T2p则有：有（x±T）=（x±T1q）=（x±T2p）∈M，且f1(x+T) ±f2（x+T）= f1(x+T1q) ±f2（x+T2p）= f1(X）±f2(X) ∴f1(X) ±f2(X）是以T1和T2的公倍数T为周期的周期函数。

同理可证：f1(X) 、f2(X）是以T为周期的周期函数。

定理4推论设f1(X) 、f2(X）……fn(X) 是集M上的有限个周期函数T1、T2……Tn 分别是它们的周期，若，… （或T1，T2……Tn中任意两个之比）都是有理数，则此n个函数之和、差、积也是M上的周期函数。

例4f(X)=Sinx-2cos2x+sin4x是以2π、π、π/2的最小公倍数2π为周期的周期函数。

例5讨论f(X)= 的周期性解：2tg3 是以T1= 为最小正周期的周期函数。

5tg 是以T2 为最小正周期的周期函数。

tg2 是以T3= 为最小正周期的周期函数。

又都是有理数∴f(X）是以T1、T2、T3最小公倍数（T1、T2、T3）= 为最小正周期的周期函数。

同理可证：⑴f(X)=cos ;⑵f(x)=sin2xcos2x+cos2xcos3x+cos3xsin3x。

是周期函数。

定理5设f1(x)=sin a1x，f2(x)=cosa2x，则f1(x）与f2(x）之和、差、积是周期函数的充要条件是a1/a2∈Q。

证先证充分性：若a1/a2∈Q，设T1、T2分别为f1(x）与f2(x）的最小正周期，则T1= 、T2= ，又∈Q由定理4可得f1(x）与f2(x）之和、差、积是周期函数。

再证必要性（仅就f1(x）与f2(x）的差和积加以证明）。

⑴设sina1x-cosa2x为周期函数，则必存在常数T>0，使sina1(x+T)-sina1x=cosa2(x+T)-cosa2x 2cos(a1x+)sin = -2sins(a2x+) sin ⑴。

令x= 得2cos（a1x+），则（K∈Z）。

⑵或C∈Z⑶又在⑴中令 2sin（a2x+）sin =-2sin =0由⑷由sin ⑸由上述⑵与⑶，⑷与⑸都分别至少有一个成立。

由⑶、（5得）⑹∴无论⑵、⑷、⑹中那一式成立都有a1/a2。

⑵设sinaxcosa2x为周期函数，则是周期函数。

编辑本段非周期函数的判定[1]⑴若f(X）的定义域有界例：f(X)=cosx（≤10）不是周期函数。

⑵根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T在关系式f(X+T)= f(X）中是与X无关的，故讨论时可通过解关于T的方程f(X+T)- f(X)=0，若能解出与X无关的非零常数T便可断定函数f(X）是周期函数，若这样的T不存在则f(X）为非周期函数。

例：f(X)=cos 是非周期函数。

⑶一般用反证法证明。

（若f(X）是周期函数，推出矛盾，从而得出f(X）是非周期函数）。

例：证f(X)=ax+b(a≠0）是非周期函数。

证：假设f(X)=ax+b是周期函数，则存在T（≠0），使对，a（x+T）+b=ax+b ax+aT-ax=0 aT=0 又a≠0，∴T=0与T≠0矛盾，∴f(X）是非周期函数。

例：证f(X)= 是非周期函数。

证：假设f(X）是周期函数，则必存在T（≠0）对，有（x+T)= f(X），当x=0时，f(X)=0，但x+T≠0，∴f(x+T)=1，∴f(x+T) ≠f(X）与f(x+T)= f(X）矛盾，∴f(X）是非周期函数。

例：证f(X)=sinx2是非周期函数证：若f(X)= sinx2是周期函数，则存在T（>0），使对，有sin(x+T)2=sinx2，取x=0有sinT2=sin0=0，∴T2=Kπ（K∈Z），又取X= T 有sin(T+T)2=sin（T）2=sin2kπ=0，∴（+1）2T2=Lπ（L∈Z+），∴与3+2 是无理数矛盾，∴f(X)=sinx2是非周期函数。

复合函数目录依y=f(u)，μ=φ(x)的增减性决定。

即“增增得增，减减得增，增减得减”，可以简化为“同增异减”判断复合函数的单调性的步骤如下：⑴求复合函数定义域；⑵将复合函数分解为若干个常见函数（一次、二次、幂、指、对函数）；⑶判断每个常见函数的单调性；⑷将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；⑸求出复合函数的单调性。

例如：讨论函数y=0.8^(x^2-4x+3)的单调性。

复合函数的导数解：函数定义域为R。

令u=x^2-4x+3,y=0.8^u。

指数函数y=0.8^u在（-∞，+∞）上是减函数，u=x^2-4x+3在（-∞,2]上是减函数，在[2,+∞）上是增函数，∴函数y=0.8^(x2-4x+3)在（-∞,2]上是增函数，在[2,+∞）上是减函数。

利用复合函数求参数取值范围求参数的取值范围是一类重要问题，解题关键是建立关于这个参数的不等式组，必须将已知的所有条件加以转化。

求导复合函数求导的前提：复合函数本身及所含函数都可导法则1：设u=g(x)f'(x)=f'(u)*g'(x)法则2：设u=g(x),a=p(u)f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)例如：1、求：函数f(x)=(3x+2)^3+3的导数设u=g(x)=3x+2f(u)=u^3+3f'(u)=3u^2=3(3x+2)^2g'(x)=3f'(x)=f'(u)*g'(x)=3(3x+2)^2*3=9(3x+2)^22、求f(x)=√[(x-4)^2+25]的导数设u=g(x)=x-4,a=p(u)=u^2+25f(a)=√af'(a)=1/(2√a)=1/{2√[(x-4)^2+25]}p'(u)=2u=2(x-4)g'(x)=1f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)=2(x-4)/{2√[(x-4)^2+25]}=(x-4)/√[(x-4)^2+25]目录定义分段函数;对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数.它是一个函数,而不是几个函数:分段函数的定义域是各段函数定义域的并集,值域也是各段函数值域的并集.类型1、分界点左右的数学表达式一样，但单独定义分界点处的函数值(例1）2、分界点左右的数学表达式不一样（例2）例子例1 某商场举办有奖购物活动，每购100元商品得到一张奖券，每1000张奖券为一组，编号为1号至1000号，其中只有一张中特等奖，特等奖金额5000元，开奖时，中特等奖号码为328号，那么，一张奖券所得特等奖金y元与号码x号的函数关系表示为0 ,x≠328y={ 5000, x=328例2 某商店卖西瓜，一个西瓜的重量若在4kg以下，则销售价格为0.6元/kg；若在4kg 或4kg 以上，则销售价格为0.8元/kg，那么，一个西瓜的销售收入y元与重量xkg的函数关系表示为0.6x 0〈x〈4y={ 0.8x, x≥4分段函数题型由于课本没有明确给出分段函数的定义，只以例题的形式出现，不少学生对它认识肤浅模糊，以致学生解题常常出错。