几种常见的曲面及其方程精
常用曲线和曲面的方程及其性质
常用曲线和曲面的方程及其性质曲线和曲面在三维空间中是常见的数学对象。
它们的方程可以通过几何性质描述它们的性质。
本文将介绍一些常用的曲线和曲面方程及其性质。
一、曲线方程1. 直线方程直线是一种最基本的曲线，它的方程可以写成一般式和斜截式两种形式。
一般式：$Ax+By+C=0$；斜截式：$y=kx+b$，其中$k$是直线的斜率，$b$是截距。
直线的斜率表示的是直线倾斜的程度，斜率越大表示直线越陡峭。
斜率等于零表示直线水平，而无限大则表示直线垂直于$x$轴。
2. 圆的方程圆是一种具有球面对称性质的曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。
标准式：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径长度。
一般式：$x^2+y^2+Ax+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。
圆的标准式方程可以通过圆心和半径来描述圆的几何性质；而一般式方程则可以通过求圆的中心和半径来转化为标准式方程。
3. 椭圆的方程椭圆是一种内离于两个焦点的平面曲线，它的方程可以写成一般式和标准式两种形式。
标准式：$\frac{(x-a)^2}{a^2}+\frac{(y-b)^2}{b^2}=1$，其中$(a,b)$为椭圆中心坐标，$a$是横轴半径，$b$是纵轴半径。
一般式：$Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0$，其中$A,B,C,D,E$是常数。
椭圆的标准式方程中的$a$和$b$决定了椭圆的形状和大小。
当$a=b$时，椭圆变成了圆。
4. 抛物线的方程抛物线是一种开口朝上或朝下的U形曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。
标准式：$y=ax^2$，其中$a$是抛物线的参数。
一般式：$Ax^2+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。
抛物线的标准式方程中的参数$a$可以决定抛物线的开口方向，当$a>0$时开口向上，$a<0$时则开口向下。
5. 双曲线的方程双曲线是一种形状类似于抛物线的曲线，但它却有两个分支。
曲面及其方程总结
曲面及其方程总结曲面是数学中的一个重要概念，它是一个二维的、有界的、有形的几何形体。
曲面可以由多个平面片拼接而成，也可以通过参数方程进行描述。
在数学中，曲面的研究与计算具有广泛的应用，涉及到多个学科领域，如微分几何、微分方程、物理学等。
本文将对曲面及其方程进行总结，主要从曲面的定义、分类、表示、性质以及在实际应用中的相关问题进行讨论。
首先，曲面的定义。
曲面可以被理解为三维空间中的一个平面形体，它有长度、宽度和厚度。
曲面可以由平面片拼接而成，每个平面片都是一个二维平面，它可以由一个或多个方程来表示。
曲面的形状可以是平坦的，如平面、球面，也可以是弯曲的，如圆柱面、抛物面等。
曲面的形状取决于其方程的具体形式。
其次，曲面的分类。
曲面可以根据其方程的特点进行分类。
常见的曲面包括平面、球面、二次曲面等。
平面是最简单的曲面，它的方程形式为Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C、D为实数常数。
球面是由一个点到空间中所有点的距离相等的曲面，其方程为(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=r²，其中(a, b, c)为球心的坐标，r为球的半径。
二次曲面是由二次方程来表示的曲面，常见的二次曲面有椭球面、双曲面、抛物面等。
然后，曲面的表示。
曲面的表示可以通过参数方程或隐式方程来进行。
参数方程是指用参数来表示曲面上的点的坐标，其中参数可以是一个、二个或三个，具体取决于曲面的维度。
例如，球面可以由两个参数θ和φ来表示，其参数方程为x=r·sinθ·cosφ，y=r·sinθ·sinφ，z=r·cosθ，其中r为球的半径，θ和φ为参数的取值范围。
隐式方程是指用一个或多个变量的关系式来表示曲面的方程，例如，平面的隐式方程为Ax+By+Cz+D=0，球面的隐式方程为(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=r²。
高等数学-曲面及其方程
平面曲线绕某轴旋转，轴坐标变量不变， 而将曲线方程中的另一变量改写成该变量与 第三个变量的平方和的正负平方根。
例 5 直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，
所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的
顶点，两直线的夹角
0
2
叫圆锥面的半顶
角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，半顶
曲面及其方程
一、曲面方程的概念
曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等． 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹． 曲面方程的定义：
如果曲面S 与三元方程F ( x, y, z) 0有下述关系： （1）曲面S 上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程； 那么，方程F ( x, y, z) 0就叫做曲面S 的方程， 而曲面S 就叫做方程的图形．
思考题
指出下列方程在平面解析几何中和空 间解析几何中分别表示什么图形？
(1) x 2;
(2) x2 y2 4;
(3) y x 1.
思考题解答
方程
平面解析几何中 空间解析几何中
x2
平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面
圆心在(0,0)，
x2 y2 4
半径为 2 的圆
以z 轴为中心轴的圆柱面
特殊地：球心在原点时方程为 x2 y2 z2 R2
例 2 求与原点O 及 M0 (2,3,4)的距离之比为1 : 2的
点的全体所组成的曲面方程.
解 设M ( x, y, z)是曲面上任一点，
根据题意有 | MO | 1 , | MM0 | 2
x2 y2 z2
1
,
x 22 y 32 z 42 2
空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱 面，其准线为xoy面上曲线C . （其他类推）
曲面及其方程
曲面及其方程曲面是三维空间中的一个概念，它是三维空间中的一个二维曲面。
曲面可以用方程来描述，方程可以是显式的或者隐式的，根据方程的不同形式，我们可以得到不同类型的曲面。
一、曲面的定义和基本概念曲面是指在三维空间中，由一连串的点组成的集合，这些点满足一定的条件。
通常情况下，我们可以通过方程来描述曲面。
曲面上的点可以用三个坐标来表示，也就是(x, y, z)。
曲面的方程可以是显式的，也可以是隐式的。
二、曲面方程的分类1. 平面方程：平面是一种特殊的曲面，它可以通过一个点和一个法向量来唯一确定。
平面方程通常有两种形式：点法式和一般式。
点法式的形式为Ax+By+Cz+D=0，表示平面上的任意一点(x, y, z)都满足这个方程。
一般式的形式为Ax+By+Cz+D=0，表示平面上的任意一点(x, y, z)都满足这个方程。
2. 圆锥曲线方程：圆锥曲线是由一个点和一个与之不重合的定直线（称为准线）决定的。
根据准线与曲线的位置关系，圆锥曲线可以分为椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
椭圆的方程通常有两种形式：标准方程和一般方程。
双曲线的方程也有两种形式：标准方程和一般方程。
抛物线的方程也有两种形式：标准方程和一般方程。
3. 曲面方程：曲面方程可以分为显式方程和隐式方程两种。
显式方程通常以z = f(x, y)的形式表示，其中f(x, y)是一个关于x和y 的函数。
隐式方程通常以F(x, y, z) = 0的形式表示，其中F(x, y, z)是一个关于x、y和z的函数。
三、曲面方程的应用曲面方程在数学和物理学中有广泛的应用。
在数学中，曲面方程是研究曲面性质的基础。
它可以帮助我们了解曲面的形状、方向和曲率等信息。
在物理学中，曲面方程可以用来描述物体的形状和运动轨迹。
例如，在光学中，曲面方程可以用来描述光线在透镜或者反射面上的传播规律。
总结：曲面是三维空间中的一个二维曲面，可以用方程来描述。
曲面方程可以分为平面方程、圆锥曲线方程和曲面方程三种类型。
大学数学_7_4 曲面与曲线
O
x 图7-34
y
例 6 一动点 M 在圆柱面 x 2 y 2 a 2 上以角速度 绕 z 轴旋转时，同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方 向上升，( , v都是常数) ， 则点 M 的几何轨迹叫做螺旋线 （7-35） ，试建立其参数方程. z 解 取时间 t 为参数，设t 0 时动 点在点 A( a,0,0) 处，在 t 时刻，动点在 点 M ( x, y , z ) 处.过点 M 作 xOy 面的 ' 垂线，则垂足为 M ( x, y,0) .由于 O My AOM ' t , MM ' vt , M’ x 故 x a cos AOM ' a cos t , 图7-35 y a sin AOM ' a sin t , z MM ' vt , x a cos t , 所以螺旋线的参数方程为： y a sin t , z vt.
求曲线： 2 2 z x y 2 2 z x y 在 xOy 面上的投影方程. 例7
从曲线 的方程中消去 z，得 x2 y 2 x2 y 2 , 化简后，得 ( x 2 y 2 )( x 2 y 2 1) 0, 因为 x 2 y 2 0 ，所在曲线 关于 xOy 面的投影柱面方程为 x2 y2 1 （是圆柱面） ，在 xOy 面的投影方程为 1 2 2 x y 2 z 0 （是 xOy 面上的圆）. 解
Hale Waihona Puke y2 z2 例 2 将 yOz 面上的椭圆 2 2 1分别绕 z 轴和 y 轴 a b 旋转，求所形成的旋转曲面方程. 解 绕 z 轴旋转而形成的旋转曲面（图 7-28）方程 为 x2 y 2 z 2 z 1 ， a2 b2 b x2 y 2 z 2 2 2 1. 即 2 a a b a 绕 y 轴旋转而形成的旋转曲面方程为 y y 2 x2 z 2 a 1， 2 2 x a b 图7-28 x2 y 2 z 2 2 2 1. 即 2 b a b
空间解析几何的曲线与曲面曲线方程曲面方程的性质
空间解析几何的曲线与曲面曲线方程曲面方程的性质空间解析几何是研究几何空间中曲线和曲面的性质和关系的一门学科。
在空间解析几何中，我们经常使用曲线方程和曲面方程来描述和分析几何对象。
本文将探讨曲线方程和曲面方程的性质以及它们在空间解析几何中的应用。
一、曲线方程曲线是空间中的一条连续的弯曲线段，可以用参数方程或者一般方程来表示。
在空间解析几何中，常用的曲线方程形式有点斜式和一般式。
1. 点斜式对于空间中的一条曲线，如果已知曲线上一点的坐标和曲线在该点的切线的斜率，就可以使用点斜式来表示该曲线。
点斜式的一般形式为：(x-x₁)/a = (y-y₁)/b = (z-z₁)/c其中(x₁, y₁, z₁)是曲线上的一点，a、b、c分别表示曲线在该点处的切线在x、y、z轴上的斜率。
2. 一般式一般式是指空间中曲线方程的一般形式，即使用x、y和z的关系式来表示曲线。
一般式的形式如下：F(x, y, z) = 0其中F(x, y, z)是关于x、y和z的多项式函数，代表了曲线上的点满足的条件。
曲线方程的性质在空间解析几何中具有重要的意义。
曲线的性质可以通过方程的形式和参数方程等来确定，包括曲线的形状、方向、长度等。
二、曲面方程曲面是空间中的一个二维平面，可以用一般方程或者双曲线、抛物线和椭圆等几何图形的方程来表示。
在空间解析几何中，常见的曲面方程有一般方程、一般球面方程和柱面方程以及圆锥曲线的方程。
1. 一般方程一般方程是指空间中曲面方程的一般形式，使用x、y和z的关系式来表示曲面。
一般方程的形式如下：F(x, y, z) = 0其中F(x, y, z)是关于x、y和z的函数，代表了曲面上的点满足的条件。
2. 一般球面方程和柱面方程一般球面方程和柱面方程是描述曲面的特殊形式。
一般球面方程的形式为：(x-a)² + (y-b)² + (z-c)² = R²其中(a, b, c)是球心的坐标，R是球的半径。
常见曲面方程总结(一)
常见曲面方程总结(一)前言•引言：曲面是数学中的重要概念，广泛应用于计算机图形学、工程设计等领域。
在形状设计和模拟中，掌握常见曲面方程是非常重要的基础知识。
本文将介绍几种常见的曲面方程，并分析其特性和应用场景。
正文一、球面方程•定义：球面是由到定点距离相等于固定半径的点所组成的曲面。
它的方程一般可以表示为：(x-a)² + (y-b)² + (z-c)² = r²，其中(a,b,c)为球心坐标，r为半径。
•特性：球面是空间中对称性最高的曲面，具有旋转对称性、轴对称性和平面对称性。
•应用：球面方程广泛应用于计算机图形学中的三维建模，如球体、球形光源等。
二、圆柱面方程•定义：圆柱面是围绕某条直线旋转而形成的曲面。
它的方程可以表示为：(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。
•特性：圆柱面在与旋转轴垂直的方向上是无限延伸的，而在旋转轴方向上是有限长度的。
•应用：圆柱面方程常用于描述圆柱体、柱形物体等实际物体的几何特征。
三、锥面方程•定义：锥面是由定点到平面上所有点的连线所组成的曲面。
它的方程可以表示为：(x-a)² + (y-b)² = z²，其中(a,b)为锥顶坐标。
•特性：锥面在平面上形成对称的圆锥形状，而在垂直于平面的方向上是无限延伸的。
•应用：锥面方程常用于描述圆锥体、棱锥体等实际物体的几何特征。
四、椭球面方程•定义：椭球面是由到两个定点的距离之和等于常数的点所组成的曲面。
它的方程可以表示为：(x-a)²/r₁² + (y-b)²/r₂² + (z-c)²/r₃² = 1，其中(a,b,c)为椭球中心坐标，r₁、r₂、r₃为轴长。
•特性：椭球面可以是旋转椭球、扁椭球或球体等不同形状，取决于轴长的比值。
常见曲线曲面方程与图形
结束
伯努利双纽线
或 • 结点(同拐点) : 在该点的切线斜率为±1 •顶 点:
B
y O
A x
• 双纽面积:
结束
三叶玫瑰线
a
O
a x
O
x
结束
圆锥面:
椭圆锥面:
2 2
z x y
2
z
x y 2 2 z 2 a b
z
2
2
O
y
O
x
x
y
结束
单叶双曲面:
双叶双曲面:
x y z 2 2 1 2 a b c
三次抛物线
y
半立方抛物线
y
O
x
O
x
• 拐点: (0, 0) • 关于原点对称
• 尖点: (0, 0) • 在尖点处与 x 轴相切 • 关于 x 轴对称
结束
x a( sin ) y a(1 cos )摆线
y
• 轨迹:
M
O
a
x
8a
半径为 a 的圆周沿直线 无滑动地滚动时 , 其上
y
x
结束
圆柱面：
z
2 2
x y R
2
O
y
x
结束
椭球面：
x2 y2 z 2 2 2 1 ( a, b, c 为正数 ) 2 a b c
O
结束
椭圆抛物面
x2 y2 z ( p , q 同号) 2 p 2q
双曲抛物面（马鞍面）
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
结束
两个曲面的交线：
z 1 x2 y2 1 2 1 2 2 ( x ) y ( ) 2 2
第四节曲面及其方程
1 h2 b2
— —椭圆
y h
(b h b)
YZc z h
y
-b
a XY
b
x
-c
1
. S位椭置：ax
2 2
by一22、椭球cz面22 1
3. 注意
(1)椭球面可以看成由一变形椭圆运动所产生的轨迹，这椭 圆两对顶点分别在一对有共同顶点的两个正交椭圆ΓXY、ΓYZ上 运动，且 这个动椭圆的平面总是垂直于Y轴；
4
4
S是由曲线y2 z2 1绕Y轴而成的旋转曲面。 4
z
y x
2. 在ZOX 平面内曲线Cf：(x, z) 0
y0
①绕X轴旋转
②绕Z轴旋转
f (x, y2 z2 ) 0
f ( x2 y2 , z) 0
例：作S：x2 y2 z2 1的草图。
xz
解：原式 x2 ( y2 z2 )2 1
2. 截痕(作图) S椭关于各坐标面、轴和原点对称。
S椭
YOZ
交线
YZ
： by
2 2
z2 c2
1
x 0
YZc z h y
S椭
XOY
交线
XY
： ax
2 2
y2 b2
1
z 0
-b x
a XY -c
b
一、椭球面S椭：ax
2 2
y2 b2
z2 c2
1
S椭
：y
h
交线
h： ax
2 2
z2 c2
• 空间曲线 • 求投影曲线
三元方程组 或参数方程 (如, 圆柱螺线)
思考与练习
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空间区域在坐标平面上的投影草图画法
常见的九种二次曲面方程
常见的九种二次曲面方程二次曲面方程是解析几何的重点内容，它被广泛涉及于数学、物理、工程、计算机等多个学科中。
本文将介绍九种常见的二次曲面方程，以帮助读者更好的理解和应用。
一、圆锥面方程圆锥面方程可以表示为 F(x,y,z)=0，其中 F(x,y,z)是二次型方程，或表示为 (x/a)^2+(y/b)^2-(z/c)^2=1，其中a、b、c分别为锥面三个坐标轴上椭圆截面的半轴长度，这种圆锥面称为椭圆锥面。
当a=b时，圆锥面变成圆锥面；当a=b=c时，称为圆锥体。
二、双曲面方程双曲面方程可以表示为 F(x,y,z)=0，其中 F(x,y,z)是二次型方程，或表示为 (x/a)^2+(y/b)^2-(z/c)^2=1，其中a、b、c分别为双曲面三个坐标轴上双曲截面的半轴长度，这种双曲面称为双曲抛物面或椭圆双曲面。
当a=b时，双曲面变成双曲抛物面；当a=b=c时，称为双曲球面。
三、抛物面方程抛物面方程可以表示为 F(x,y,z)=0，其中 F(x,y,z)是二次型方程，或表示为 z=ax^2+by^2+c，这种抛物面被称为旋转抛物面。
四、球面方程球面方程可以表示为 (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2，其中(a,b,c)是球中心坐标，r是球半径。
球面是最常见的几何形体，可以在多个方面得到应用。
五、椭球面方程椭球面方程可以表示为 (x/a)^2+(y/b)^2+(z/c)^2=1，其中a、b、c分别为椭圆三个坐标轴上椭圆截面的半轴长度。
与圆锥体类似，当a=b=c时，椭球面变成球面。
六、单叶双曲面方程单叶双曲面方程可以表示为 (x/a)^2+(y/b)^2-(z/c)^2=1，其中a、b、c分别为双曲面三个坐标轴上双曲截面的半轴长度。
单叶双曲面只有一个部分，并非所有双曲面都是单叶的。
七、双叶双曲面方程双叶双曲面方程可以表示为 (x/a)^2+(y/b)^2-(z/c)^2=-1，其中a、b、c分别为双曲面三个坐标轴上双曲截面的半轴长度。
几种常见的曲面及其方程二次曲面曲线
x y z 2 2 1 2 a a b
y 2 x2 z 2 1 2 2 a b
222aFra biblioteka y
绕 y轴旋转而成的旋转曲面方程为 即
x
x2 y 2 z 2 2 2 1 2 b a b
例3 求
旋转所形成的旋转抛物面（图7-28）的方程。 解 方程 便得到旋转抛物线的方程为
就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
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1. 椭球面 x2 y 2 z 2 2 2 1 ( a, b, c 为正数) 2 a b c
(1)范围： x a,
y b,
z c
(2)与坐标面的交线：椭圆
x2 y 2 2 2 1 , 黄a b z0
xoy 面上的抛物线 x ay 2 (a 0) 绕x轴
x ay 2 中的x 不变， 换成 y 2 z 2
x a( y z )
2 2
例4 求 yoz 面上的直线 z ky(k 0) 绕z轴 z 旋转一周而成的圆锥面的方程。
解 所求圆锥面的方程为
即
y
z k x2 y 2
x
l1
y
z
l2
y
母线 平行于 x 轴; 准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H ( z, x) 0 表示 柱面,
z
x
l3
x
母线 平行于 y 轴;
y
准线 xoz 面上的曲线 l3.
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3.旋转曲面
定义2. 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转
一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转
高等数学几种常见的曲面及其方程
一、二次曲面
1-1球面
(X-X0)2+(Y-Y0)2+(Z-Z0)2=R2
球心为M0(X0,Y0,Z0)
1-2椭圆锥面
1-3椭球面
其中，表示xOz平面上的椭圆绕z轴旋转而成的椭球面。
1-4单叶双曲面
其中，表示xOz平面上的双曲线绕z轴旋转而成的单叶双曲面。
1-5双叶双曲面
其中，表示xOz平面上的双曲线绕x轴旋转而成的双叶双曲面。
1-6椭圆抛物面
1-7双曲抛物面（马鞍面）
二、柱面
2-1圆柱面
X2+Y2=R2
2-2椭圆柱面
2-3双曲柱面
2-4抛物柱面
y2=2px
注：形如二、柱面只含x,y而缺少z的方程F(x,y)=0在空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱面，其准线为xOy平面上的曲线C：F(x,y)=0
特别地，
1.球x2+y2+z2=R2
2.圆柱面x2+y2=R2
3.旋转抛物面X2+Y2=z(以原点为顶点，上下两个开口分别向上向下的抛物线旋转而成的图形)
4.X2+Y2=z2(以原点为顶点，上下两个开口分别向上向下的圆锥，锥顶角为90。
)。
曲面方程总结
曲面方程总结一、曲面方程的基本概念曲面是三维空间中的一个二维曲线在第三个维度上的延伸，可以被表示为一种方程形式。
曲面方程描述了曲面上所有点的性质和关系，是数学中重要的工具之一。
二、曲面方程的分类根据曲面的性质和方程的形式，我们可以将曲面方程分为以下几类：2.1 隐式曲面方程隐式曲面方程是最基本的曲面方程形式，可以用一个等式来表示。
例如，一个球体的隐式曲面方程可以表示为：x^2 + y^2 + z^2 - r^2 = 0其中，x、y、z是三维空间中的坐标变量，r是球体的半径。
2.2 参数曲面方程参数曲面方程使用参数表示曲线上的点的位置。
例如，一个圆柱体的参数曲面方程可以表示为：x = r * cos(theta)y = r * sin(theta)z = z其中，theta是参数，r是圆柱体的半径，z是高度。
2.3 二次曲面方程二次曲面方程是指由二次多项式定义的曲面方程。
常见的二次曲面包括球面、椭球面和双曲面等。
例如，一个椭球面的二次曲面方程可以表示为：Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0其中，A、B、C、D、E、F、G、H、I、J是参数。
三、曲面方程的应用曲面方程在数学和科学中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用领域：3.1 几何学曲面方程在几何学中起着重要的作用，可以描述各种形状的曲面，如球体、圆柱体、圆锥体等。
通过分析曲面方程，可以研究曲面的性质，如曲率、法向量等。
3.2 物理学曲面方程在物理学中有着广泛的应用，可以描述电磁场、流体流动、声波传播等现象。
通过求解曲面方程，可以得到物理系统的解析解，进而分析系统的行为和性质。
3.3 计算机图形学曲面方程在计算机图形学中被广泛应用于建模和渲染。
通过定义曲面方程，可以描述并生成各种复杂的三维物体，如人物角色、场景等。
曲面方程的求解和优化也是计算机图形学中的重要研究内容之一。
曲面及其方程 柱面、锥面、旋转曲面
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二、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线. 观察柱面的形 成过程:
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考察方程 F(x,y)=0 F(x,y)=0表示母线平行于z轴的柱面
(不含z)
z
0 2
过原点和椭圆上任一点的直线的方向向量为 v {a cos , b sin , c }
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过原点和椭圆上任一点的直线族方程为：
x0 y0 z0 t a cos b sin c
即
x (a cos )t y (b sin )t z ct
y
x G ( y , z ) 0 准线 是 yoz 面上的曲线 z x 0 方程 H ( z , x ) 0 表示 柱面， l3 母线 平行于 y 轴; H ( z, x) 0 x 准线是 xoz 面上的曲线 y 0
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y
椭圆柱面
第六节
第七章
曲面及其方程
一、基本概念 二、柱面、锥面、旋转曲面 三、二次曲面
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一、基本内容
曲面方程的定义：
如果曲面S 与三元方程 F ( x , y , z ) 0 有下述关系：
(1) 曲面S 上任一点的坐标都满足方程；
(2) 不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程；
那么，方程 F ( x , y , z ) 0 就叫做曲面 S 的 方程，而曲面 S 就叫做方程的图形.
解析几何中的曲面方程与参数方程
解析几何中的曲面方程与参数方程在解析几何中，曲面是一个重要的概念。
曲面可以通过方程或参数方程来描述。
本文将详细解析曲面方程与参数方程的概念、特点和应用。
一、曲面方程曲面方程是通过方程来表示曲面的方法。
一般来说，曲面可以用二元方程或者三元方程来表示。
下面我们将分别介绍这两种情况。
1. 二元方程二元方程是指含有两个变量的方程。
在解析几何中，我们通常用二元方程来表示二次曲面。
常见的二次曲面方程有球面方程、圆柱面方程、抛物面方程等。
以球面方程为例，球面方程可以表示为：(x-a)² + (y-b)² + (z-c)² = r²，其中(a, b,c)是球心坐标，r是球的半径。
2. 三元方程三元方程是指含有三个变量的方程。
在解析几何中，我们通常用三元方程来表示高次曲面。
常见的高次曲面方程有椭球面方程、双曲面方程、二次曲面方程等。
以椭球面方程为例，椭球面方程可以表示为：(x/a)² + (y/b)² + (z/c)² = 1，其中a、b、c分别代表x、y、z轴上的半轴长。
二、参数方程参数方程是通过参数来表示曲面上的点的方法。
参数方程可以将曲面上的点的坐标表示为参数的函数形式。
参数方程的形式通常为：x = f(u, v)，y = g(u, v)，z =h(u, v)。
参数方程的优点是可以直观地描述曲面的形状。
通过改变参数的取值范围，可以得到曲面上不同的点。
参数方程常用于描述曲面的形状、求曲面的切向量和法向量等。
三、曲面方程与参数方程的关系曲面方程与参数方程是等价的，可以相互转化。
通过曲面方程，可以得到参数方程，反之亦然。
转化的过程需要根据具体情况进行代数运算。
例如，以球面方程为例，通过参数方程可以得到球面方程。
假设球面的参数方程为：x = a + rcosθsinφ，y = b + rsinθsinφ，z = c + rcosφ，其中(a, b, c)是球心坐标，r是球的半径，θ和φ是参数。
几种常见的曲面及其方程(精)
母线 平行于 z 轴; 准线 xoy 面上的曲线 l1.
方程 G( y, z) 0 表示柱面,
母线 平行于 x 轴;
准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H (z, x) 0 表示柱面,
母线 平行于 y 轴; 准线 xoz 面上的曲线 l3. 0表示母线平行 z 轴的柱面.
又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .
2. 二次曲面
三元二次方程
• 椭球面
• 抛物面:
( p, q 同号)
椭圆抛物面
x2 y2 z 2 p 2q
双曲抛物面
• 双曲面: 单叶双曲面
双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
1
• 椭圆锥面:
(二次项系数不全为 0 ) 的图形通常为二次曲面. 其基本类型有:
椭球面、抛物面、双曲面、锥面 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
1. 椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a,b, c为正数)
(1)范围：
ay
ay
x
x2 z2 a2 (x 0, z 0) y0
作业
P32 3， 4，5，6， 7， 8， 9，10，11，12
y z l2
x z l3
x
y y
3、旋转曲面
一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转 轴.
例如 :
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z) 0
曲面及其方程
l o o x M(x, y, 0) y
xoy面上的圆 x2 + y2 = R2 叫做柱面的准线. 平行于 z 轴的直线 L 叫做柱面的母线.
(1) 定义: 平行于定直线并沿定曲线C移动 直线 L 形成的轨迹叫做柱面. 定曲线C叫做柱面的准线. 动直线 L 叫做柱面的母线.
例2: 方程 y2 =2x 表示.母线平行于 z 轴的柱面, 它的准线是xoy面上的抛物线y2 =2x,该柱 面叫做抛物柱面. z y
y2 =2x
o
x
例2: 方程 x−y = 0表示. 母线平行于 z 轴的柱面, 它的准线是xoy面上 的直线x−y = 0, 所以它是过z轴的平面.
z
o x
y x−y = 0
(2) 母线平行于坐标轴的柱面方程. 1° 方程F (x, y) =0 表示: 母线平行于 z 轴的柱面, 准线为xoy面上的曲线 C: F (x, y) = 0 . 2° 方程F (x, z) =0 表示: 母线平行于 y 轴的柱面, 准线为xoz面上的曲线 C: F (x, z) = 0 . 3° 方程F (y, z) =0 表示: 母线平行于 x 轴的柱面, 准线为yoz面上的曲线 C: F (y, z) = 0 .
y
那末, 方程F (x, y, z) =0叫做曲面S的方程, 而曲面S 叫做方程F (x, y, z) =0的图形.
二、几种常见曲面的方程. 几种常见曲面的方程.
M
1. 球面 考虑球心为M0(x0, y0, z0), 半径为R的球面. 对于球面上任 一点M(x, y, z), 都有|M M0|2 =R2. 即: (x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = R2 称方程(1)为球面的标准方程. 特别: 当球心在原点O(0, 0, 0)时, 球面方程: x2 + y2 + z2 =43; y 2 )
曲面及其方程总结
曲面及其方程总结
曲面是三维空间中的一种物体，它受有限个参数的控制，其表面
受复杂的非线性关系的约束。
它的形状可以由初始的几何参数决定，
其曲面函数是由这些参数和变量组成的方程组。
曲面可分为椭圆曲线、高曲线、螺旋曲线、平面曲线、双曲曲线等。
这些曲面的方程大体可分为两类：一类是曲线函数的方程，包括
直线方程、圆方程、椭圆方程、双曲线方程等；另一类是参数方程，
包括抛物线方程、螺线方程、环形曲线方程和螺旋线方程等。
平面曲线与曲面曲线相比，曲面曲线在曲面上具有一个切线，即
曲率方向，它以曲率场来描述曲面曲线，曲面曲线的曲率和曲率半径
及其相关系数是描述曲面的关键性的标准，它们的方程可以表述为曲
率场的偏微分方程。
本文总结了曲面及其方程，包括椭圆曲线、高曲线、螺旋曲线、
平面曲线、双曲曲线等，将曲面曲线分为曲线函数的方程和参数方程；曲面曲线描述为曲率场，由曲率及其相关系数给出曲面曲线的偏微分
方程。
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z
f ( y1, z1) ? 0
C
当绕 z 轴旋转时, 该点转到
M(x, y, z) , 则有
z ? z1, x2 ? y2 ? y1
故旋转曲面方程为
M (x, y, z)
o x
M1(0, y1, z1)
y
f ( ? x2 ? y2 , z) ? 0
思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？
z C : f ( y, z) ? 0
x2 a2
?
y2 b2
?
z2 c2
?
1 单叶双曲面 ? 1 双叶双曲面
图形
z
4. 椭圆锥面
z
x2 a2
?
y2 b2
?
z2
( a, b 为正数)
在平面 z ? t 上的截痕为椭圆
x2 (at)2
?
y2 (bt ) 2
?
1,
z? t
①
xx
o yy
在平面 x＝0 或 y＝0 上的截痕为过原点的两直线 .
z
x l1
y z l2
x z l3
x
y y
3、旋转曲面
一条平面曲线 绕其平面上一条 定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做 旋转曲面. 该定直线称为 旋转 轴.
例如 :
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程 :
给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z) ? 0
若点 M1(0, y1, z1) ? C, 则有
可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上 .
(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换
得到, 见书 P316 )
分别绕 x
轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程 .
解:绕 x 轴旋转 所成曲面方程为
x2 a2
?
y2 ? z2 c2
?
1
绕 z 轴旋转所成曲面方程为
x2 ? y2 a2
?
z2 c2
?1
x
y
z
这两种曲面都叫做 旋转双曲面 .
二、二次曲面
三元二次方程
Ax2 ? By2 ? Cz2 ? Dxy? Eyx? Fzx ? Gx ? Hy ? Iz ? J ? 0
y ? y1
?0
(实轴平行于 z 轴;
虚轴平行于 x 轴）
z
x
y
Hale Waihona Puke zxy(2) 双叶双曲面
z
x2 a2
?
y2 b2
?
z2 c2
?
?1
( a, b,c 为正数)
平面 y ? y1 上的截痕为 双曲线
平面 x ? x1 上的截痕为双曲线
x
平面 z ? z1 ( z1 ? c)上的截痕为椭圆
oy
注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别 :
一般地 ,在三维空间
方程 F (x, y) ? 0 表示柱面,
母线 平行于 z 轴; 准线 xoy 面上的曲线 l1.
方程 G( y, z) ? 0 表示柱面,
母线 平行于 x 轴;
准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H (z, x) ? 0 表示柱面,
母线 平行于 y 轴; 准线 xoz 面上的曲线 l3.
(二次项系数不全为 0 ) 的图形通常为 二次曲面. 其基本类型有 :
椭球面、抛物面、双曲面、锥面 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程 ,下面仅
就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法 : 截痕法
1. 椭球面
x2 a2
?
y2 b2
?
z2 c2
?1
( a,b, c为正数)
(1)范围：
o y
x
f ( y, ? x2 ? z2 ) ? 0
例3. 试建立顶点在原点 , 旋转轴为z 轴, 半顶角为
的圆锥面方程 . 解: 在yoz面上直线L 的方程为
z L
绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
M (0, y, z)
?
y
两边平方
x
z2 ? a 2 ( x2 ? y2 )
例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线
第四节
第七章
曲面与曲线
一、几种常见的曲面及其方程
二、二次曲面 三、曲线
1. 空间一动点到定点的距离为定值，该动点轨 迹叫球面。 定点叫球心，定值叫半径。
设轨迹上动点为
定点
定值为R，由两点间距离公式
(x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? (z ? z0 )2 ? R
(x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? (z ? z0 )2 ? R2
特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面 . x
y
(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）
z
? x2 ? y2 ? z ( p , q 同号) 2p 2q
x
y
3. 双曲面
z
(1)单叶双曲面
x2 a2
?
y2 b2
?
z2 c2
?1
( a,b, c 为正数)
x
y
平面 z ? z1 上的截痕为椭圆.
平面 y ? y1上的截痕情况 :
1) y1 ? b 时, 截痕为双曲线:
x2 a2
?
z2 c2
? 1?
y12 b2
y ? y1
(实轴平行于 x 轴； 虚轴平行于 z 轴）
2) y1 ? b 时, 截痕为相交直线:
x? z? 0 ac
y ? b (或 ? b)
3) y1 ? b时, 截痕为双曲线:
x2 a2
?
z2 c2
? 1?
y12 b2
2、柱面. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成
的轨迹叫做 柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.
?x2 ? y2 ? R2 圆柱面
z
M
x2 a2
?
y2 b2
?
1
椭圆柱面C.
o
M1 x
o
y
抛物柱面 ,
lz
x ? y ? 0 经过z 轴的平面.
以上的柱面母线 都平行于Z轴
o
y
x
x
C
z o
y
x ? a, y ? b, z ? c
(2)与坐标面的交线：椭圆
?? x2 ?a 2
?
y2 b2
?
1,
?? z ? 0
?? y2 ?b2
?
z2 c2
?
1,
?? x ? 0
?? x2 ?a2
?
z2 c2
?
1
?? y ? 0
x2 a2
?
y2 b2
?
z2 c2
?
1
( a,b,c为正数)
(3) 截痕: 与 z ? z1 ( z1 ? c)的交线为椭圆：
特别,当M0在原点时 ,球面方程为
x2 ? y2 ? z2 ? R2
z M0
表示上(下)球面 .
M
o
y
x
例2. 研究方程 的曲面 .
表示怎样
解: 配方得
此方程表示 : 球心为 M0 (1,? 2, 0) , 半径为 5 的球面.
说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
都可通过配方研究它的图形 . 其图形可能是 一个球面 , 或点 , 或虚轨迹.
a2 c2
x2 (c2 ?
z12 )
?
b2 c2
y2 (c2 ?
z12 )
?
1
z
z ? z1
同样 y ? y1 ( y1 ? b ) 及
的截痕
也为椭圆 .
(4) 当 a＝b 时为旋转椭球面 ; 当a＝b＝c 时为球面.
2. 抛物面
z
(1) 椭圆抛物面
x2 ? y2 ? z ( p , q 同号) 2p 2q