判定直线与圆相切

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圆与直线的切点与切线计算方法

圆与直线的切点与切线计算方法在几何学中，圆与直线的切点与切线是一个重要的概念。

切点是指直线与圆相交的点，而切线则是从切点出发与圆相切的直线。

本文将介绍如何计算圆与直线的切点以及相应的切线方程。

一、圆与直线的切点计算要计算圆与直线的切点，我们首先需要知道圆的方程和直线的方程。

圆的方程通常表示为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)表示圆心的坐标，r表示半径的长度。

直线的方程一般表示为y = mx + c，其中m为直线的斜率，c为常数。

下面我们来讲解两种情况下的切点计算方法。

1. 直线与圆相交（两个切点）当直线与圆相交时，即存在两个切点。

这种情况下，我们可以通过解方程组来求解切点的坐标。

首先，将直线方程代入圆的方程，得到一个关于x的二次方程。

然后，通过求解二次方程可以得到x的两个解。

将这两个解带入直线方程，即可求得对应的y坐标，得到两个切点的坐标。

2. 直线与圆相切（一个切点）当直线与圆相切时，即只存在一个切点。

这种情况下，我们可以通过判断直线到圆心的距离是否等于半径来确定切点的坐标。

首先，计算直线的斜率m。

然后，利用圆心坐标(a, b)和直线方程可以得到直线上过圆心的一条直线的方程。

接着，通过计算直线到圆心的距离（可以用点到直线的距离公式）和圆的半径的比较，确定是否存在切点。

如果直线到圆心的距离等于半径，那么切点即为圆心的坐标，否则不存在切点。

二、切线的计算方法切线是从切点出发与圆相切的直线。

切线的斜率可以通过切点处的圆的切线是圆上切点的切线垂直的来计算。

切线的斜率等于直线与圆的切点处切线的斜率的负倒数，即m = -1/m_t，其中m是直线的斜率，m_t是切点处切线的斜率。

知道切点的坐标和切线的斜率后，我们可以利用点斜式或一般式来表示切线的方程。

总结：圆与直线的切点计算方法可以通过解方程组或计算直线到圆心的距离来确定。

切线的斜率可以通过切点处切线的斜率的负倒数得到。

解析几何中的直线与圆的位置关系

解析几何中的直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系是解析几何中的重要概念之一。

在空间几何中，直线和圆可以有多种相互位置的情况，包括相离、相切和相交。

本文将对直线与圆的不同位置关系进行解析和讨论。

一、直线和圆相离的情况当一条直线与一个圆没有任何交点时，我们称直线和圆相离。

此时，直线与圆之间的最短距离等于两者之间的半径差。

直线作为一个无限延伸的曲线，在与圆相离的情况下，可能与圆的外部或内部都不存在交点。

二、直线和圆相切的情况直线和圆相切意味着它们只有一个公共点，即相切点。

在这种情况下，直线与圆的切点即为它们的交点，且直线垂直于通过切点的半径。

直线与圆相切的情况分为两种，一种是直线与圆外切，另一种是直线与圆内切。

1. 直线与圆外切当一条直线与一个圆外切时，直线与圆相交于切点。

此时，直线与圆的半径垂直并且共线，且直线和圆之间的最短距离等于圆的半径。

直线从切点开始离开圆，没有任何交点。

外切情况下，直线与圆的位置关系可以通过切线与圆的关系来理解。

2. 直线与圆内切直线与圆内切意味着直线与圆只有一个公共点，并且直线在此切点处与圆的内部相切。

如外切情况一样，直线与圆内切时，直线与通过切点的半径垂直并且共线。

直线从切点开始进入圆内，没有任何其他交点。

三、直线和圆相交的情况直线和圆可能有两个交点或者无穷多个交点。

直线与圆相交的情况分为两种，一种是直线穿过圆内部，另一种是直线截取了圆的一部分。

1. 直线穿过圆内部当一条直线穿过一个圆的内部时，直线与圆的交点有两个。

此时直线与圆的位置关系是直线既与圆的内部相交，又与圆的外部相交。

直线穿过圆的内部时，直线与圆的交点处于圆的两侧。

2. 直线截取圆的一部分当一条直线截取了一个圆的一部分时，直线与圆的交点有两个。

此时直线与圆的位置关系是直线既与圆的内部相交，又与圆的外部相交。

直线截取圆的一部分时，直线的两个交点分别位于圆上，相交点将圆分成了两部分。

总结：直线和圆的位置关系在解析几何中是一个重要的概念。

关于解决直线与圆的位置关系问题的几种常用方法

关于解决直线与圆的位置关系问题的几种常用方法李志民1 直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离。

判断直线与圆的位置关系常见的有三种方法：判别式相交1.1代数法：相切Δ=b2-4ac 相离1.2 几何法:利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系:d＜r 相交,d=r 相切,d＞r相离(三)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．此法适用于动直线问题。

2 计算直线被圆截得的弦长的常用方法2.1 几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算。

2.2 代数方法一是直接求出直线与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式得出；二是运用韦达定理及弦长公式|AB|= |x A-x B|=.]4))[(1(22BABAxxxxk-++说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法。

3 求过点P（x0,y0）的圆x2+y2=r2的切线方程3.1 若P（x0，y0）在圆x2+y2=r2上，则以P为切点的圆的切线方程为：x0x+y0y=r23.2 若P（x0，y0）在圆x2+y2=r2外，则过P的切线方程可设为：y-y0=k（x-x0），利用待定系数法求解。

说明：k为切线斜率，同时应考虑斜率不存在的情况.4 例题选讲：例1. 已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12。

(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；(2)求直线l被圆C截得的最短弦长。

(1)证明由消去y得(k2＋1)x2－(2－4k)x－7＝0，因为Δ＝(4k－2)2＋28(k2＋1)>0，所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．(2)解设直线与圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则直线l被圆C截得的弦长|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝28－4k＋11k21＋k2＝2 11－4k＋31＋k2，令t＝4k＋31＋k2，则tk2－4k＋(t－3)＝0，当t＝0时，k＝－34，当t≠0时，因为k∈R，所以Δ＝16－4t(t－3)≥0，解得－1≤t≤4，且t≠0，故t＝4k＋31＋k2的最大值为4，此时|AB|最小为27。

切线的性质和判定定理

D
解：BD是⊙O的切线
连接OD
A
∵ OD=OA
O
C
B ∴∠ODA=∠BAD=∠B
=300
∴∠ BOD=600
∴∠ODB=900
即： OD⊥DB
∴BD是⊙O的切线
变式练习练习3,△ABC中，以AB为直径的⊙O，
交边BC于P，BP=PC, PE⊥AC于E。
求证:PE是⊙O的切线。证明：连结OP。
∵ AB为直径
思∵考直线L是
⊙如O图的：切如果线直，线L
是A⊙是O的切切点线。,切点为
AL是,∴ 点那不么L是⊥半一径O定AO垂于A与直A直呢线?
.O
一定垂直(可用反证法来证）
切线的性质定理:
L A
圆的切线垂直于过切点的半径
简记为：“知切线，连半径，得垂直”
切线的性质定理反证法
假设切线l不垂直于过切点的半径OA，
想一想
过圆0内一点作直线，这条直线与圆有什么位置关系？过半径OA上一点（A除外）能作圆O的切线吗？过点A呢？
O
r
A
l
圆的切线判定定理：
经过半径的外端且垂于这条半径
的直线是圆的切线。
条件：(1)经过半径的外端；(2)垂直于过该点半径；
符
号语
∵l⊥OA，A点是⊙O上一点
言
表
达 ∴直线l是⊙O的切线
为什么?
解：AC与⊙O相切
连接OD,作OE⊥AC
E
∴∠OEC=900
∵ AB是⊙O的切线
∴OD⊥AB,
∴∠ODB=900=∠OEC
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵O是BC的中点
∴OB=OC
∴△OBD≌△OCE

直线与圆的位置关系及切线的性质与判定(编)

直线与圆的位置关系及切线的性质与判定【知识点一】：直线与圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d＝r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．【典例分析】1．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（）A．8≤AB≤10B．8＜AB≤10C．4≤AB≤5D．4＜AB≤52．如图，在平面直角坐标系中，x轴上一点A从点（﹣3，0）出发沿x轴向右平移，当以A为圆心，半径为1的圆与函数y＝x的图象相切时，点A的坐标变为（）A．（﹣2，0）B．（﹣，0）或（，0）C．（﹣，0）D．（﹣2，0）或（2，0）3．如图，∠ABC＝80°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，要使射线BA与⊙O相切，应将射线BA绕点B按顺时针方向旋转（）A．40°或80°B．50°或100°C．50°或110°D．60°或120°第1题图第2题图第3题图4．如图，在平面直角坐标系中，已知⊙O的半径为2，动直线AB与x轴交于点P（x，0），直线AB与x轴正方向夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x的取值范围是（）A．﹣2≤x≤2B．﹣2＜x＜2C．0≤x≤2D．﹣2≤x≤25．如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y＝x2﹣1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为．6．如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径1，直线l的解析式为y＝x+t．若直线l与半圆只有一个交点，则t的取值范围是．第4题图第5题图第6题图7．如图Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P是斜边AC上一个动点，以BP为直径作⊙O交BC于点D，与AC的另一个交点E，且＝，连接DE．（1）若＝140°，求∠C的度数．（2）求证AB＝AP．8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝6，BC＝8，OA＝2，求线段DE的长．【知识点二】：切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（3）切线性质的运用运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题．【典例分析】1．如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E、F、G三点，且AB∥CD，BO＝3，CO＝4，则OF的长为（）A．B．C．D．52．AB为⊙O的直径，延长AB到点P，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC，∠P＝40°，D为圆上一点，则∠D的度数为（）A．25°B．30°C．35°D．40°3．如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为（）A．1B．2C．D．第1题图第2题图第3题图4．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，AD＝CD，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠E ＝50°，则∠ACD等于（）A．40°B．50°C．55°D．60°5．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC 相交于点D．若⊙P的半径为5，点A的坐标是（0，8）．则点D的坐标是（）A．（9，2）B．（9，3）C．（10，2）D．（10，3）6．如图，已知一次函数y＝﹣x+2的图象与坐标轴分别交于A、B两点，⊙O的半径为1，P是线段AB上的一个点，过点P作⊙O的切线PM，切点为M，则PM的最小值为（）A．2B．C．D．第4题图第5题图第6题图7．如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为．8．如图，▱ABCD的两边AB、BC分别切⊙O于点A、C，若∠B＝50°，则∠DAE＝．第7题图第8题图9．如图，以BC为直径的⊙O交△ABC的边AB于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E，且AC＝BC．（1）求证：DE⊥AC；（2）若BC＝4cm，AD＝3cm，求AE的长．10．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD 的延长线于点E．（1）求证：AE＝AB；（2）若AB＝20，BC＝16，求CD的长．11．如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC．（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．（1）求证：∠A＝∠ADE；（2）若AD＝8，DE＝5，求BC的长．13．已知直线l与⊙O相切，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．（1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC＝30°，求∠BAC的大小；（2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E，F时，若∠DAE＝18°，求∠BAF的大小．【知识点三】：切线的判定（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（2）在应用判定定理时注意：①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．【典例分析】1．如图，AB为⊙O的直径，AC平分∠BAD交⊙O于点C，CD⊥AD，垂足为点D．求证：CD是⊙O的切线．2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AC相交于点E （1）求证：BC是⊙D的切线；（2）若AB＝5，BC＝13，求CE的长．3．如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC、OD交于点E．（1）求证：OD∥BC；（2）若AC＝2BC，求证：DA与⊙O相切．4．已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB＝AC，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DC＝BD；（2）求证：DE为⊙O的切线．5．如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，弦CD⊥AB，联结OD、PC，∠ODC＝∠P，求证：PC是⊙O的切线．6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB的平分线CO交AB边于点O，以点O为圆心，OB为半径作⊙O．（1）请判断AC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若BO＝1，∠BAC＝30°，求△AOC的面积．7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D．（1）求证：BC是⊙O切线；（2）若BD＝5，DC＝3，求AC的长．8．已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F 为BC的中点，连接EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，∠EAC＝60°，求AD的长．。

如何判定直线与圆的位置关系？

【例1】已知：如图1所示，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，C是AB延长线上一点，∠A=30°，AD=DC．
求证：CD是⊙O的切线．
证明：连结OD．
∵AD＝DC，∠A=30°，
∴∠C=∠A=30°．
∠ADC=180°－30°－30°=120°．
∵OA=OD，
怎样判定一条直线是圆的切线？
答：利用切线的定义和判定定理可判定一条直线是圆的切线．
由直线和圆的位置关系可以知道，当直线和圆相切时，直线和圆心的距离等于半径，这就是切线判定的一个定理．这个定理就是：
切线的判定定理：经过半径外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线．
应该注意，这个定理包含了两个条件．
证明：∵OC⊥AB于C，
∴∠ACO=∠OCB=90°．
∵∠AOC=∠B，
∴△AOC∽△OCB．
AC·BC=OC2．
∵AC=16，BC=4，
∴OC=8=⊙O半径．
AB经过半径OC的外端，并且垂直于这条半径，所以AB是⊙O的切线．
当已知直线和圆的公共点没有确定，则应过圆心作垂线垂直于已知直线，证明圆心到直线的距离等于半径．简言之，"作垂直，证半径"．
(1)直线经过半径的外端点；
(2)直线垂直于这条半径．
这两个条件缺一不可．
应该说，判定直线和圆相切的方法有三种：
(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
(2)和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；
(3)过半径外端和半径垂直的直线是圆的切线．
下面举例说明怎样证明一条直线是圆的切线． 20°－30°=90°．
DC经过半径OD的外端，并且垂直于半径OD，因此，CD是⊙O的切线．

直线与圆的切线与切点的应用知识点总结

直线与圆的切线与切点的应用知识点总结直线与圆是几何学中的常见概念，在解决与其相关的问题时，可以利用切线与切点的应用知识。

本文将对直线与圆的切线与切点的应用进行总结，以帮助读者更好地理解和运用这一知识点。

一、切线的定义与性质在切线的运用中，我们首先需要了解切线的定义与性质。

对于一个圆，切线可以被定义为与圆相切于一点的直线。

根据这一定义，我们可以得出以下几个性质：1. 切线与半径垂直：切线与圆相切于一点，与该点处的半径垂直。

2. 切线的唯一性：通过圆外一点可以作一条且只能作一条切线。

3. 切线与圆心连线的角度：切线与圆心连线的夹角为90度。

这些性质为我们分析和解决与直线与圆相关的问题提供了基础。

二、直线与圆的切线方程当我们需要确定直线与圆的切点时，可以通过求解直线与圆的方程来得到。

以下是几种常见的情况：1. 直线与圆相交于两点：当直线与圆相交于两个点时，这条直线不是切线。

求解该问题需要将直线方程代入圆的方程，并通过解方程组得到切点的坐标。

2. 直线与圆相切于一点：当直线与圆相切于一点时，这条直线为切线。

求解该问题可以通过将直线方程代入圆的方程，然后令两方程的根相等，解方程得到切点的坐标。

3. 直线与圆相离：当直线与圆不相交、不相切时，直线无切点。

求解该问题需要通过圆心到直线的距离判断直线与圆是否相离。

通过求解切线方程，我们可以获得与直线与圆相交或相切的切点，从而解决与直线与圆相关的问题。

三、切线定理在应用切线定理时，我们可以利用圆内的两条切线和它们的切点形成的四边形，从而推导得出如下定理：当两条切线相交时，切点与圆心连线所夹的角相等。

利用切线定理，我们可以求解与切线和切点有关的角度问题，推导切线与切点之间的关系。

四、应用示例下面通过几个实际问题的案例，来应用切线与切点的知识。

1. 已知一个圆心为O，半径为r的圆，一条直线与圆相交于A、B 两点，求证：AO=BO。

解析：由于A、B分别为圆的切点，根据切线与半径垂直的性质可知OA与OB分别为两条切线与圆心连线，因此OA与OB相等。

直线与圆的位置关系题型归纳

直线与圆的位置关系题型归纳引言在几何学中，直线和圆是基本的几何元素。

研究直线与圆的位置关系不仅有助于理解几何学基本原理，还可以应用到实际问题中。

本文将归纳总结几种常见的直线与圆的位置关系题型，并给出相应的解题方法。

一、直线与圆相交直线与圆相交通常有三种情况：直线与圆相切、直线穿过圆、直线既与圆相切又穿过圆。

1. 直线与圆相切当直线与圆只有一个交点时，称直线与圆相切。

这种情况下，直线与圆的位置关系相对简单。

求解这类问题时，可以利用以下方法： - 根据已知条件确定直线方程和圆的方程。

- 将直线方程和圆的方程联立，求解交点的坐标。

- 判断交点是否满足直线方程和圆的方程，从而确定直线与圆相切。

2. 直线穿过圆当直线与圆有两个交点时，称直线穿过圆。

这种情况下，需要进一步确定直线与圆的具体位置关系。

求解这类问题时，可以按照以下步骤进行： - 利用已知条件确定直线方程和圆的方程。

- 将直线方程和圆的方程联立，求解交点的坐标。

- 判断交点的坐标与圆心的位置关系，从而确定直线与圆的位置关系。

3. 直线既与圆相切又穿过圆当直线与圆既有一个交点又有两个交点时，称直线既与圆相切又穿过圆。

这种情况下，需要进一步确定直线与圆的具体位置关系。

求解这类问题时，可以按照以下步骤进行： - 利用已知条件确定直线方程和圆的方程。

- 将直线方程和圆的方程联立，求解交点的坐标。

- 判断交点的坐标与圆心的位置关系，从而确定直线与圆的位置关系。

二、直线与圆相离直线与圆相离是指直线与圆没有交点。

这种情况下，直线与圆的位置关系相对简单。

求解这类问题时，可以按照以下步骤进行： - 利用已知条件确定直线方程和圆的方程。

- 求解直线方程和圆的方程的解集。

- 判断解集是否为空集，从而确定直线与圆相离。

三、总结与应用对于直线与圆的位置关系题型，我们可以通过确定直线方程和圆的方程，求解交点的坐标，判断交点的坐标与圆心的位置关系来确定直线与圆的位置关系。

解答直线与圆的位置关系问题的三种方法

直线与圆的位置关系主要有三种：相切、相交、相离.判断直线与圆的位置关系问题的常见命题形式有：（1）根据直线与圆的方程判断二者的位置关系；（2）根据直线与圆的位置关系求参数的值或取值范围.解题的关键在于明确直线与圆的位置关系，建立代数或几何关系.下面主要谈一谈解答直线与圆的位置关系问题的三种方法.一、几何法运用几何法求解直线与圆的位置关系问题，需先根据圆的方程确定圆心、半径；然后根据点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，或根据圆的半径、弦心距、弦长之间的关系，利用勾股定理求得圆心到直线的距离；再判断圆心到直线距离d 与半径r 的大小关系.一般地，①当r >d 时，直线与圆相交；②当r =d 时，直线与圆相切；③当r <d 时，直线与圆相离.例1.直线l :y =kx +1(k <0)与圆C :x 2+4x +y 2-2y+3=0相切，则直线l 与圆D :(x -2)2+y 2=3的位置关系是().A.相交B.相切C.相离D.不确定解：因为圆C 的标准方程为(x +2)2+(y -1)2=2，所以圆的圆心为(-2,1)，半径为2，因为直线l 与圆C 相切．所以||-2k -1+1k 2+1=2，解得k =±1，因为k <0，所以k =-1，所以直线l 的方程为x +y -1=0.圆心D (2,0)到直线l 的距离：d =2+0-1=3，所以直线l 与圆D 相交.故选A 项.由于直线l :y =kx +1(k <0)与圆C :x 2+4x +y 2-2y +3=0相切，所以可以直接根据圆心到直线的距离等于半径，来建立关系，求得k 的值，即可求得直线l 的方程.根据点到直线的距离公式，求得圆D :(x -2)2+y 2=3的圆心到直线l 的距离，比较该距离与圆D 的半径之间的大小，即可判断出直线l 与圆D 的位置关系.例2.若直线l :x -y +m =0与圆C :x 2+y 2-4x -2y +1=0恒有公共点，则m 的取值范围是().A.[-2，2]B.[-22，22]C.[-2-1，2-1]D.[-22-1,22-1]解：因为圆C 的标准方程为(x -2)2+(y -1)2=4，所以圆的圆心为(2，1)，半径为2，由点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d =||2-1+m 2，若直线与圆恒有公共点，则直线与圆相交或相切，所以||2-1+m 2≤2，解得-22-1≤m ≤22-1，故选D 项.要使直线与圆恒有公共点，需使直线与圆相交或相切，那么圆心到直线的距离需小于或等于半径，即d ≤r .根据点到直线的距离公式建立不等关系式，即可求得参数m 的取值范围.例3.已知圆M :()x +cos θ2+()y -sin θ2=1，直线l :y =kx .下面四个命题：（1）对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 相切；（2）对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点；（3）对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 和圆M 相切;（4）对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 和圆M 相切.其中说法正确的有_______.解：因为圆M :()x +cos θ2+()y -sin θ2=1，所以圆的圆心M ()-cos θ,sin θ，半径为1，所以M 到直线l 的距离d M -l =||-k cos θ-sin θk 2+1，则d2M -l-1=()k cos θ+sin θ2-k 2-1k 2+1=k 2cos 2θ+2sin θcos θ⋅k +sin 2θ-k 2-1k 2+1刘艳林43。

专题07 直线与圆的位置关系(知识梳理+专题过关)(解析版)

专题07直线与圆的位置关系【知识梳理】1、直线与圆的位置关系：（1）直线与圆相交，有两个公共点；（2）直线与圆相切，只有一个公共点；（3）直线与圆相离，没有公共点．2、直线与圆的位置关系的判定：（1）代数法：判断直线l 与圆C 的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线l 与圆C 有公共点．有两组实数解时，直线l 与圆C 相交；有一组实数解时，直线l 与圆C 相切；无实数解时，直线l 与圆C 相离．（2）几何法：由圆C 的圆心到直线l 的距离d 与圆的半径r 的关系判断：当d r <时，直线l 与圆C 相交；当d r =时，直线l 与圆C 相切；当d r >时，直线l 与圆C 相离．3、圆的切线方程的求法（1）点M 在圆上，如图．法一：利用切线的斜率l k 与圆心和该点连线的斜率OM k 的乘积等于1-，即1OM l k k ⋅=-．法二：圆心O 到直线l 的距离等于半径r ．（2）点()00,x y 在圆外，则设切线方程：00()y y k x x -=-，变成一般式：000kx y y kx -+-=，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k ．诠释：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．常见圆的切线方程：（1）过圆222x y r +=上一点()00,P x y 的切线方程是200x x y y r +=；（2）过圆()()222x a y b r -+-=上一点()00,P x y 的切线方程是()()()()200x a x a y b y b r --+--=．4、求直线被圆截得的弦长的方法（1）应用圆中直角三角形：半径r ，圆心到直线的距离d ，弦长l 具有的关系2222l r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，这也是求弦长最常用的方法．（2）利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．（3）利用弦长公式：设直线:l y kx b =+，与圆的两交点()()1122,,,x y x y ，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：12||l x x =-．【专题过关】【考点目录】考点1：直线与圆的位置关系考点2：直线与圆相交的性质——韦达定理及应用考点3：切线问题考点4：切点弦问题考点5：弦长问题考点6：面积问题考点7：直线与圆中的定点定值问题【典型例题】考点1：直线与圆的位置关系1．（2021·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中学校高二期中）直线43110x y -+=与圆()()22114x y +++=的位置关系是（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定【答案】B【解析】圆心坐标为()1,1--，半径为2，圆心到直线的距离为341125-+=，所以直线43110x y -+=与圆()()22114x y +++=相切．故选：B2．（2020·四川·泸州老窖天府中学高二期中（理））已知点(,)P a b 在圆221x y +=上，则直线10ax by +-=与圆的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法判断【答案】B【解析】由题意得221a b +=，又1d r ===，即直线与圆相切故选：B3．（2021·黑龙江·牡丹江一中高二期中）直线:(1)(1)20()l a x a y a a R ++-+=∈与圆222270C x y x y +-+-=：的位置关系是（）A ．相切B ．相交C ．相离D ．相交或相切【答案】B【解析】圆222270x y x y +-+-=，即22(1)(1)9x y -++=，表示以(1,1)-为圆心、半径等于3的圆．圆心到直线的距离d =再根据2222248474799221a a a a d a a ++-+-=-=++，而27470a a -+=的判别式∆161961800=-=-<，故有29d >，即3d <，故直线和圆相交，故选：B ．4．（2022·上海市控江中学高二期中）若直线:3(1)l y k x -=-与曲线:C y =恰有两个不同公共点，则实数k 的取值范围是（）A ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．43,32⎛⎤⎥⎝⎦C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．43,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】直线:3(1)l y k x -=-过定点(1,3)，曲线:C y 为以(0,0)为圆心，1为半径，且位于y 轴上半部分的半圆，如图所示当直线l 过点(1,0)-时，直线l 与曲线有两个不同的交点，此时03k k =-+-，解得32k =．当直线l 和曲线C 相切时，直线和半圆有一个交点，圆心(0,0)到直线:3(1)l y k x -=-的距离1d ==，解得43k =结合图像可知，当4332k <≤时，直线l 和曲线C 恰有两个交点故选：B5．（2021·浙江台州·高二期中）直线0x m +=与圆221x y +=有两个不同的交点，则实数m 的取值范围是（）A ．22m -≤≤B ．22m -<<C ．2m <-或2m >D ．2m ≤-或2m ≥【答案】B【解析】因为直线0x m +=与圆221x y +=有两个不同的交点所以圆心到直线的距离小于圆的半径圆心为()0,0，半径1r =1<，整理得：2m <解得：22m -<<故选：B ．6．（多选题）（2022·广东·汕头市潮南区陈店实验学校高二期中）已知直线:0l x y +=与圆22:(1)(1)4C x y -++=，则（）A ．直线l 与圆C 相离B ．直线l 与圆C 相交C ．圆C 上到直线l 的距离为1的点共有2个D ．圆C 上到直线l 的距离为1的点共有3个【答案】BD【解析】由圆22:(1)(1)4C x y -++=，可知其圆心坐标为(1,1)-，半径为2，圆心(1,1)-到直线:0l x y +=的距离1d ==，所以可知选项B ，D 正确，选项A ，C 错误．故选：BD7．（2021·四川眉山·高二期中）圆222440x y x y +-+-=与直线2140()tx y t t R ---=∈的位置关系为__________．【答案】相交【解析】由2140()tx y t t R ---=∈得(24)10()x t y t R ---=∈，令240,10,2, 1.x y x y -=--=∴==-所以直线过定点(2,1)P -．把(2,1)P -的坐标代入圆的方程的左边得到414440+---<，所以点(2,1)P -在圆内，所以直线和圆相交．故答案为：相交8．（2021·辽宁实验中学高二期中）已知圆22:4C x y +=上至少存在两点．．．．．．到直线0x y b +-=的距离为1，则实数b 的取值范围是___________．【答案】(-【解析】根据题意得圆C 的圆心为()0,0，半径为2r =，因为圆22:4C x y +=上至少存在两点．．．．．．到直线0x y b +-=的距离为1，1r <+3<，解得b -<<所以实数b 的取值范围是(-故答案为：(-9．（2022·全国·高二课时练习）已知圆224x y +=上有且仅有四个点到直线1250x y c -+=的距离为1，则实数c 的取值范围是______．【答案】()13,13-【解析】由圆的方程知其圆心为()0,0，半径2r =，设圆心到直线1250x y c -+=的距离为d ，则13c d =；圆上有且仅有四个点到直线1250x y c -+=的距离为1，则1cd =<，解得：1313c -<<，所以实数c 的取值范围是()13,13-．故答案为：()13,13-．考点2：直线与圆相交的性质——韦达定理及应用10．（2021·安徽·马鞍山二中高二期中）已知一个动点P 在圆220432x y y -+=+上移动，它与定点(6,0)Q 所连线段的中点为M ．（1）求点M 的轨迹方程；（2）是否存在过定点(0,3)-的直线l 与点M 的轨迹方程交于不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，且满足12212x x x x +=，若存在，求直线l 的方程；若不存在，说明理由．【解析】（1）设(,)M x y ，因M 是线段PQ 的中点，而点(6,0)Q ，则有点(26,2)P x y -，因P 在圆：22(2)36x y ++=上，于是得：22(26)(22)36x y -++=，化简得：22(3)(1)9x y -++=，所以点M 的轨迹方程是：22(3)(1)9x y -++=．（2）假定存在符合条件的直线l ，当l 斜率不存在时，直线:0l x =与圆M 相切，不符合题意，当直线l 斜率存在时，设直线l 方程为：3y kx =-，由223(3)(1)9y kx x y =-⎧⎨-++=⎩消去y 并整理得：22(1(64))40k x k x +-++=，则()22(64)1610k k ∆=+-+>，解得512k >-，122641kx x k ++=+，12241x x k =+，由2121212212()4x x x x x x x x +=⇔+=，得2226416()11k k k +=++，解得512k =-，与512k >-矛盾，所以不存在过定点(0,3)-的直线l 与点M 的轨迹方程交于不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，且满足12212x x x x +=．11．（2021·云南大理·高二期中）已知圆C 的圆心C 在直线40x y +-=上，且圆C 经过()2,0M ，()0,2N 两点．（1）求圆C 的方程；（2）已知点()0,P m ，过原点的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且PA PB ⊥．若13m <<，求直线l 的斜率k 的取值范围．【解析】（1）设(),C a b ，则222240(2)(2)a b a b a b +-=⎧⎨-+=+-⎩，解得2a =，2b =．从而圆C 的半径2r ==，故圆C 的方程为22(2)(2)4x y -+-=（或224440x y x y +--+=）．（2）设直线l ：y kx =，()11,A x y ，()22,B x y ．联立224440y kx x y x y =⎧⎨+--+=⎩，整理得()2214(1)40k x k x +-++=，则1224(1)1k x x k ++=+，12241x x k =+．因为A ，B 两点在直线l 上，所以11y kx =，22y kx =，所以212241ky y k =+，1224(1)1k k y y k ++=+．因为PA PB ⊥，所以1PA PB k k ⋅=-，所以12121y m y mx x --⋅=-，即()21212120x x y y m y y m +-++=，则22222444(1)0111k mk k m k k k ++-+=+++，即24(1)41k k m k m+=++．因为()1,3m ∈，所以[)44,5m m+∈，所以24(1)451k k k +≤<+，解得1k ³．12．（2021·浙江省象山县第二中学高二期中）已知圆G 过点()1,3M -，()6,4N 且圆心G 在x 轴．（1）求圆G 的标准方程；（2）圆G 与x 轴的负半轴的交点为A ，过点A 作两条直线分别交圆于B ，C 两点，且5AB AC k k ⋅=-，求证：直线BC 恒过定点．【解析】（1）由题意设圆心为(,0)G a=3a =，5r ==，所以圆G 方程为22(3)25x y -+=；（2）在圆方程中令0y =得2x =-或8x =，所以(2,0)A -，BC 斜率存在时，设BC 方程为y kx m =+，设1122(,),(,)B x y C x y ，由()22x 325y kx m y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩得222(1)2(3)160k x km x m ++-+-=，2224(3)4(1)(16)0km k m ∆=--+->，即22166250k m lm --+>（*），1222(3)1km x x k -+=-+，2122161m x x k -=+，12121212()()22(2)(2)AB ACy y kx m kx m k k x x x x ++=⨯=++++2212121212()52()4k x x km x x m x x x x +++==-+++，22222222(16)2(3)5(16)20(3)201111k m km km m km m k k k k ------+=+-++++，化简得223720m km k -+=，(2)(3)0m k m k --=，所以2m k =或3k m =，都满足（*）式．2m k =时，方程为2y kx k =+，过定点(2,0)-，舍去，3k m =时，方程为3y mx m =+，过定点1(,0)3-，BC 斜率不存在时，1111(,),(,)B x y C x y -，21152AB ACy k k x ⎛⎫=-=- ⎪+⎝⎭，22115(2)y x =+，又2211(3)25x y -+=，12x ≠-，解得113x =-，因此BC 也过点1(,0)3-．综上，直线过定点1(,0)3-．13．（2021·广东外语外贸大学实验中学高二期中）已知过点(0,2)A 且斜率为k 的直线l 与圆22:(2)(3)1C x y -+-=交于M ，N 两点．（1）求k 的取值范围；（2）若12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求||MN ．【解析】（1）圆22:(2)(3)1C x y -+-=，圆心(2,3)，半径1r =设直线l 的方程为2y kx =+，即20kx y -+=因为直线l 与圆C 1<，解得403k <<．所以k 的取值范围为40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭．（2）设()11,M x y ，()22,N x y ．联立()()222231y kx x y =+⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，整理得()()2212440k x k x +-++=，所以122241k x x k ++=+，12241x x k =+，所以()()()21212121224212481k k OM ON x x y y k x x k x x k +⋅=+=++++=++uuu r uuu r ．由题设得()2428121k k k ++=+，解得12k =，所以直线l 的方程为122y x =+，所以圆心(2,3)C 在直线l 上，所以2MN =．14．（2021·广东·广州市第七十五中学高二期中）已知圆C 经过两点A （2，2），B （3，3），且圆心C 在直线x －y +1=0上．（1）求圆C 的标准方程；（2）设直线l ：y =kx +1与圆C 相交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若645OM ON ⋅=，求|MN |的值．【解析】（1）设所求圆C 的标准方程为()222()()0x a y b r r -+->=，由题意，有222222(2)(2)(3)(3)10a b r a b r a b ⎧-+-=⎪-+-=⎨⎪-+=⎩，解得231a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以圆C 的标准方程为22(2)(3)1x y -+-=；（2）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，将1y kx =+代入22(2)(3)1x y -+-=，整理得22(1)4(1)70k x k x +-++=，所以1224(1)1k x x k ++=+，12271x x k =+，0∆>，所以21212121224(1)64(1)()1851k k OM ON x x y y k x x k x x k+⋅=+=++++=+=+，解得2k =或3k =，检验3k =时，∆<0不合题意，所以2k =，所以12125x x +=，1275x x =，所以||MN 考点3：切线问题15．（2021·安徽·合肥市第六中学高二期中（理））圆心为C 的圆经过点(4,1)A -和(3,2)B -，且圆心C 在直线:20l x y --=上（1）求圆心为C 的圆的方程；（2）过点(5,8)P 作圆C 的切线，求切线的方程．【解析】（1）因圆心C 在直线:20l x y --=上，则设(,2)C a a -，由||||CA CB =得：，解得0a =，因此，圆心(0,2)C -，半径||5r CA ==，所以圆C 的方程为：22(2)25x y ++=．（2）设过点(5,8)P 的圆C 的切线方程为：(5)(8)0m x n y -+-=，220m n +≠，5=，整理得：2430mn n +=，解得0n =或34m n =-，当0n =时，切线方程为：50x -=，当34m n =-时，切线方程为：34170x y -+=，所以过点(5,8)P 的圆C 的切线方程为50x -=或34170x y -+=．16．（多选题）（2021·湖北·高二期中）设有一组圆()()()22:4k C x k y k k R -+-=∈，下列命题正确的是（）A ．不论k 如何变化，圆心k C 始终在一条直线上B ．存在圆kC 经过点()3,0C ．存在定直线与圆k C 都相切D ．经过点()2,2的圆k C 有且只有一个【答案】AC【解析】根据题意，圆22:()()4()k C x k y k k R -+-=∈，其圆心为(,)k k ，半径为2；依次分析选项：对于A ，圆心为(,)k k ，其圆心在直线y x =上，A 正确；对于B ，圆22:()()4k C x k y k -+-=，将(3,0)代入圆的方程可得22(3)(0)4k k -+-=，化简得22650k k -+=，364040=-=-<，方程无解，B 错误；对于C ，存在直线y x =±0x y -+=或0x y --=，圆心(,)k k 到直线0x y -+=或0x y --=的距离2d =，这两条直线始终与圆k C 相切，C 正确，对于D ，将(2,2)代入圆的方程可得22(2)()42k k -+=-，解得2k =D 错误；故选：AC ．17．（2021·安徽滁州·高二期中）过圆22:4O x y +=上一点(P -作圆O 的切线l ，则直线l 的方程是（）A ．40x -=B ．20x +-=C ．20x +=D ．40x +=【答案】D【解析】由题意点(P -为切点，所以1OP l k k ⋅=-，又OP k =l k =因此直线l 的方程为40x +=．故选：D18．（2021·天津市咸水沽第二中学高二期中）过点(3,1)M 作圆222620x y x y +--+=的切线l ，则l 的方程为（）A ．40x y +-=B ．40x y +-=或3x =C ．20x y --=D ．20x y +-=或3x =【答案】C【解析】根据题意，设圆x 2+y 2﹣2x ﹣6y +2＝0的圆心为C ，圆x 2+y 2﹣2x ﹣6y +2＝0，即()()22138-+-=x y ，其圆心为（1，3），又由点M 的坐标为（3，1），有()()2231138-+-=，即点M 在圆上，则13131-==--MC k ，则切线的斜率k ＝1，则切线的方程为y ﹣1＝（x ﹣3），即x ﹣y ﹣2＝0；故选：C ．19．（2021·山东济宁·高二期中）过点()2,3P -的直线l 与圆222230x y x y ++--=相切，则直线l 的方程是（）A ．2x =-或280x y -+=B ．280x y -+=C ．2x =-或210x y ++=D ．210x y ++=【答案】B【解析】把圆222230x y x y ++--=化为标准方程得：()()22115x y ++-=．因为()2,3P -在圆上，所以过P 的切线有且只有一条．显然过点()2,3P -且斜率不存在的直线：2x =-与圆相交，所以过P 的切线的斜率为k ．因为切线与过切点的半径垂直，所以()13112k -=----，解得：12k =，所以切线方程为：()1322y x -=+，即280x y -+=．故选：B20．（2022·四川·泸县五中高二期中（文））已知直线()10ax y a R -+=∈是圆()()22:124C x y -+-=的一条对称轴，过点()2,A a --向圆C 作切线，切点为B ，则AB =（）AB C D ．【答案】C【解析】由圆()()22:124C x y -+-=，可知该圆的圆心坐标为()1,2C ，半径为2，因为直线10ax y -+=是圆()()22:124C x y -+-=的一条对称轴，所以圆心()1,2在直线10ax y -+=上，所以有2101a a -+=⇒=，因为过点()2,1A --向圆C 作切线，切点为B ，所以AC ==所以AB ==故选：C21．（2022·甘肃·临泽县第一中学高二期中（理））直线40x y +-=平分圆222:2250C x y bx by b +---+=的周长，过点()1,P b --作圆C 的一条切线，切点为Q ，则PQ =（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B【解析】圆222:2250C x y bx by b +---+=的圆心为(,)C b b ，半径为r =因为直线40x y +-=平分圆222:2250C x y bx by b +---+=的周长，所以直线40x y +-=经过(,)C b b ，所以40b b +-=，故2b =，由已知()1,2P --，(2,2)C ，||PC ，圆的半径为3，所以4PQ ==，故选：B ．22．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高二期中）经过圆22:25C x y +=上一点()4,3A -且与圆相切的直线的一般式方程为__________．【答案】43250x y --=【解析】由题意，圆22:25C x y +=，可得圆心坐标为(0,0)C ，因为()4,3A -，则303404CA k --==--，则过点()4,3A -且与圆相切的直线的斜率为43k =，根据直线的点斜式方程，可得直线的方程为4(3)(4)3y x --=-，即43250x y --=，即点()4,3A -且与圆相切的直线的一般式方程为43250x y --=．故答案为：43250x y --=23．（2021·湖南·常德市第二中学高二期中）已知圆C ：x 2＋y 2＝20，则过点P （4，2）的圆的切线方程是________．【答案】2100x y +-=【解析】由224220+=知P 在圆C 上，而(0,0)C ，2142PC k ==，所以所求切线斜率为2k =-，方程为22(4)y x -=--，即2100x y +-=．故答案为：2100x y +-=．24．（2022·上海理工大学附属中学高二期中）过点()1,2且与圆221x y +=相切的直线的方程是______．【答案】1x =或3450x y -+=【解析】当直线l 的斜率不存在时，因为过点()1,2，所以直线:1l x =，此时圆心(0,0)到直线1x =的距离为1=r ，此时直线:1l x =与圆221x y +=相切，满足题意；当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，所以:l 2(1)y k x -=-，即20kx y k --+=，因为直线l 与圆相切，所以圆心到直线的距离1d r ===，解得34k =，所以直线l 的方程为3450x y -+=．综上：直线的方程为1x =或3450x y -+=故答案为：1x =或3450x y -+=25．（2021·四川省叙永第一中学校高二期中（文））过直线34140x y ++=上的动点P 作圆22(1)(2)4x y -+-=的切线，切点为A ，则切线长PA 的最小值为____________．【解析】根据题意，圆的方程为22(1)(2)4x y -+-=，其圆心(1,2)，半径2r =；设圆心为C ，即(1,2)C ；则有2222||||||||4PA PC AC PC =-=-，当||PC 取得最小值时，切线长||PA 最小，因为||PC 5=，则||PA=26．（2021·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中学校高二期中）已知圆224470x y x y +-++=与直线20x ay --=相切，则=a ___________．【答案】33【解析】()()22224470221x y x y x y +-++=⇒-++=，圆的圆心为（2，－2），半径r ＝1，()()2222311a a a -⋅--=⇒=+-故答案为：33±．考点4：切点弦问题27．（2021·福建宁德·高二期中）过圆221x y +=外一点(2,1)P -引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是________．【答案】210x y --=【解析】设切点分别为()()1122,,,A x y B x y ，因为点,A B 在圆221x y +=上，所以以,A B 为切点的切线方程分别为：11221,1x x y y x x y y +=+=，而点()2,1P -在两条切线上，所以112221,21x y x y -=-=，即点P 满足直线21210x y x y -=⇒--=．故答案为：210x y --=．28．（2021·广东·广州市第六十五中学高二期中）过点()5,3P 作圆229x y +=的两条切线，设两切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为_________．【答案】5390x y +-=【解析】根据题意，过点(5,3)P 作圆229x y +=的两条切线，设两切点分别为A 、B ，则2||||95PA PO =-，则以P 为圆心，PA 为半径为圆为22(5)(3)25x y -+-=，即圆2210690x y x y +--+=，AB 为两圆的公共弦所在的直线，则有2222910690x y x y x y ⎧+=⎨+--+=⎩，变形可得：5390x y +-=；即直线AB 的方程为5390x y +-=，故答案为：5390x y +-=29．（2021·安徽·合肥一中高二期中）已知圆22:4O x y +=，过动点(),4P a a +分别做直线PM 、PN 与圆O 相切，切点为M 、N ，设经过M 、N 两点的直线为l ，则动直线l 恒过的定点坐标为__________．【答案】()1,1-【解析】设点()00,Q x y 为圆O 上一点，当OQ 的斜率存在且不为零时，直线OQ 的斜率为0y x ，此时，圆O 在点()00,Q x y 处的切线方程为()0000x y y x x y -=--，即2200004x x y y x y +=+=，当OQ 与x 轴重合时，00y =，204x =，此时切线方程为0x x =，满足004x x y y +=，当OQ 与y 轴重合时，00x =，204y =，此时切线方程为0y y =，满足004x x y y +=．综上所述，圆O 在其上一点()00,Q x y 处的切线方程为004x x y y +=．设点()11,M x y 、()22,N x y ，则直线PM 的方程为114x x y y +=，直线PN 的方程为224x x y y +=，由题意可得()()11224444ax a y ax a y ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，所以，点M 、N 的坐标满足方程()440ax a y ++-=，故直线MN 的方程为()440ax a y ++-=，即()()440a x y y ++-=，由0440x y y +=⎧⎨-=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，因此，直线l 恒过的定点坐标为()1,1-．故答案为：()1,1-．30．（2021·安徽·屯溪一中高二期中）已知直线:10()l x ay a +-=∈R 是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴．过点(4,)A a -作圆C 的两条切线，切点分别为B 、D ，则直线BD 的方程为（）A ．350x y +-=B ．250x y +-=C ．350x y -+=D ．250x y +-=【答案】A【解析】根据题意，圆C 的标准方程为()()22214x y -+-=，即圆心为C （2，1），半径为2．∴点（2，1）在直线10x ay +-=上，即2101a a +-=∴=-∴点A 的坐标为（-4，-1）AC ∴==∴过点A 作圆C 的切线所得切线长为6=∴以点A 为圆心，6为半径的圆A 的方程为()()224136x y +++=圆A 与圆C 的方程作差得350x y +-=，即直线BD 的方程为350x y +-=故选：A ．31．（2021·四川省绵阳第一中学高二期中）过点()1,1P 作圆C ：224470x y x y +--+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（）A ．30x y +-=B ．10x y --=C ．10x y -+=D ．10x y +-=【答案】A【解析】224470x y x y +--+=，即()()22221x y -+-=，圆心为()2,2，半径1r =．当斜率不存在时，直线1x =与圆相切，切点为()1,2；当斜率为0时，直线1y =与圆相切，切点为()2,1．故直线方程为斜率21112k -==--，直线方程为()12y x =--+，即30x y +-=．故选：A ．32．（2020·安徽·六安市城南中学高二期中（理））过原点 O 作圆2268200x y x y +--+=的两条切线，设切点分别为P 、 Q ，则线段PQ 的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】由题意，2268200x y x y +--+=可化为22(3)(4)5x y -+-=，∴圆心(3,4)C ，半径r =，则有5OC =，故切线段长l ==若线段PQ 的长为x ，则2xOC l r ⋅=⋅，得4x =．故选：B ．考点5：弦长问题33．（2021·广东·化州市第三中学高二期中）过点M （2，2）的直线l 与圆x 2+y 2﹣2x ﹣8＝0相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为_____；此时直线l 的方程为_______．【答案】4260x y +-=【解析】∵圆x 2+y 2﹣2x ﹣8＝0，即（x ﹣1）2+y 2＝9，圆心C （1，0），半径为3，点M （2，2）在圆内，20221MC k -==-，要使|AB |的值最小，则MC ⊥AB ，此时|MC |=|AB |＝4=；直线l 的斜率为12-，则直线l 的方程为y ﹣2＝12-（x ﹣2），即x +2y ﹣6＝0．故答案为：4；260x y +-=．34．（2021·湖北黄冈·高二期中）已知直线x y t +=与圆()2222x y t t t R +=-∈有公共点，则t 的取值范围为______，所有的弦中，最长的弦的长度为______．【答案】403t <≤【解析】由于直线x y t +=与圆()2222x y t t t R +=-∈有公共点，所以220403t t t ⎧->⇒<≤≤；又弦长==23t =时，有最大值，其最大值为故答案为：403t <≤35．（2021·广东·潮州市湘桥区南春中学高二期中）已知三点(2,0),(1,3),(2,2)A B C 在圆C 上，直线:360l x y +-=，（1）求圆C 的方程；（2）判断直线l 与圆C 的位置关系；若相交，求直线l 被圆C 截得的弦长．【解析】（1）设圆C 的方程为：220x y Dx Ey F ++++=，由题意得：24031002280D F DEF D E F ++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩，消去F 得：362D E D E -=⎧⎨-+=-⎩，解得：02D E =⎧⎨=-⎩，∴F =-4，∴圆C 的方程为：22240x y y +--=．（2）由（1）知：圆C 的标准方程为：22(1)5x y +-=，圆心(0,1)C，半径r =；点(0,1)C 到直线l的距离2d r ==<，故直线l 与圆C 相交，故直线l 被圆C截得的弦长为=36．（2021·广东·新会陈经纶中学高二期中）已知圆22:240C x y y +--=，直线()10l mx y m m -+-∈R ：＝．（1）写出圆C 的圆心坐标和半径，并判断直线l 与圆C 的位置关系；（2）设直线l 与圆C 交于A 、B 两点，若直线l 的倾斜角为120°，求弦AB 的长．【解析】（1）由题设知圆C ：()2215x y +-=，∴圆C 的圆心坐标为C ()0,1，半径为r 又直线l 可变形为：()11y m x -=-，则直线恒过定点()1,1M ，∵()2211115+-=<，∴点M 在圆C 内，故直线l 必定与圆相交．（2）由题意知0m ≠，∴直线l 的斜率k m =tan120=︒=，∴圆心C ()0,1到直线l 10y +=的距离d ==，∴||AB ===．37．（2022·山东·济南外国语学校高二期中）已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过点1,0,()(,2)1A B -．（1）求线段AB 的垂直平分线方程；（2）求圆C 的标准方程；（3）若过点(0,2)P 的直线l 与圆C 相交于M N 、两点，且MN =，求直线l 的方程．【解析】（1）设AB 的中点为D ，则(0,1)D ．由圆的性质，得CD AB ⊥，所以1CD AB k k ⨯=-，得1CD k =-．所以线段AB 的垂直平分线的方程是1y x =-+．（2）设圆C 的标准方程为222()x a y r -+=，其中(,0)C a ，半径为()0r r >，由（1）得直线CD 的方程为1y x =-+，由圆的性质，圆心(,0)C a 在直线CD 上，化简得1a =，所以圆心()1,0C ，||2r CA ==，所以圆C 的标准方程为22(1)4x y -+=．（3）由（1）设F 为MN 中点，则CF l ⊥，得||||FM FN ==圆心C 到直线l的距离||1d CF ==，当直线l 的斜率不存在时，l 的方程0x =，此时||1CF =，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设l 的方程2y kx =+，即20kx y -+=，由题意得d =34k =-；故直线l 的方程为324y x =-+，即3480x y +-=；综上直线l 的方程为0x =或3480x y +-=．38．（2021·湖北宜昌·高二期中）已知圆M 过点(1,2),(1,4),(3,2)A B C -．（1）求圆M 的方程；（2）若直线:340l x y b +-=与圆M相交所得的弦长为b 的值．【解析】（1）设圆M 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，因为圆M 过(1,2),(1,4),(3,2)A B C -三点，则1420,11640,94320,D E F D E F D E F +-++=⎧⎪++++=⎨⎪++++=⎩解得2,4,1D E F =-=-=，所以圆M 的方程为222410x y x y +--+=，即22(1)(2)4x y -+-=；（2）由题意，得圆心(1,2)到直线l的距离1d =，1=，即|11|5b -=，解得6b =或16．故所求b 的值为6或16．39．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高二期中）直线10x y +-=被圆()()229114x y -+-=所截得的弦长为__________【解析】圆()()229114x y -+-=的圆心为()1,1，半径为32圆心()1,1到直线10x y +-=2=则直线10x y +-=被圆()()229112x y -+-=所截得的弦长为40．（2021·福建·晋江市第一中学高二期中）已知()3,0M 是圆228280x y x y +--+=内一点，则过点M 最短的弦长为（）A ．B C ．6D ．8【答案】A【解析】圆228280x y x y +--+=，即()()22419x y -+-=，则该圆的半径为3，圆心为()4,1，M∴过点M 最短的弦长为．故选：A41．（2022·全国·高二期中）若直线20x y --=与圆()224x a y -+=所截得的弦长为则实数a 为（）．A ．1-B ．1或3C ．3或6D ．0或4【答案】D【解析】圆()224x a y -+=的圆心坐标为(,0)a ，半径为2，圆心(,0)a 到直线20x y --=的距离为d =，又直线20x y --=被圆()224x a y -+=所截的弦长为故，即2(2)4a -=，解得0a =或4a =．故选：D ．42．（2022·江苏·淮阴中学高二期中）已知直线0x y m -+=与圆22:40C x y y ++=相交于A 、B 两点，若CA CB ⊥，则实数m 的值为（）A ．4-或0B ．4-或4C ．0或4D ．4-或2【答案】A【解析】圆C 的标准方程为()2224x y ++=，圆心为()0,2C -，半径为2r =，因为CA CB ⊥且2CA CB ==，故ABC 为等腰直角三角形，且AB ==则圆心C 到直线AB 的距离为12d AB ==由点到直线的距离公式可为d ==4m =-或0．故选：A ．43．（2022·广东·仲元中学高二期中）已知直线l ：y kx =与圆22:20C x y y +--=相交于M ，N两点，若MN =k 的值为（）AB ．2CD ．3【答案】C【解析】圆22:20C x y y +--=，可化为(()2214x y -+-=，∴圆心C的坐标)，半径为21=，又圆心到直线的距离d =1=，解得0k =（舍去）或k 故选：C考点6：面积问题44．（2021·广东·汕头市潮阳区棉城中学高二期中）过直线:2l y x =-上任意点P 作圆22:1C x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，当切线长最小时，切线长为_________；同时PAB △的面积为_______．【答案】112【解析】依据题意，作出图形，如下图：因为直线l 过点P 且与圆221x y +=相切于点A ，所以PA OA ⊥，所以PA ==要使得PA 最小，则OP 要最小，由题可得：OP 的最小值就是点O 到直线:2l y x =-的距离d ==此时，min 1PA =，所以4OPA π∠=由切线的对称性可得：,12BPA PB π∠==所以PAB △的面积为111122PABS =⨯⨯=，故答案为：1；12．45．（2021·广西·防城港市防城中学高二期中）已知点()3,2A ，点()3,6B ，直线l 过定点()1,0．（1）求以线段AB 为直径的圆的标准方程；（2）记（1）中求得的圆的圆心为C ，（i ）若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；（ii ）若直线l 与圆C 交于，PQ 两点，求CPQ 面积的最大值，并求此时直线l 的方程．【解析】（1）依题可知线段AB 的中点为()3,4是圆心，半径122r AB ===．∴所求圆的标准方程为：()()22344x y -+-=；（2）（i ）由（1）知：圆心()3,4C ，半径2r =，当直线l 斜率不存在时，方程为1x =，是圆的切线，满足题意；当直线l 斜率存在时，设其方程为()1y k x =-，即kx y k 0--=，∴圆心到直线l 距离2d =，解得：34k =，∴l ：3430x y --=；综上所述：直线l 的方程为1x =或3430x y --=；（ii ）由直线l 与圆C 交于P ，Q 两点知：直线l 斜率存在且不为0，设其方程为：()1y k x =-，即kx y k 0--=，∴圆心到直线l 距离d ==，∵()2222222144222CPQd d S PQ d d r d d d⎡⎤-+=⋅=-=-≤=⎢⎥⎣⎦△（当且仅当224d d -=，即22d =时取等号），由22d=得：()222421k k -=+，解得：1k =或7k =，∴CPQ 面积的最大值为2，此时l 方程为：10x y --=或770x y --=．46．（2020·四川省成都高新实验中学高二期中）已知直线:250l x y --=与圆22:50C x y +=相交于A ，B 两点，求：（1）交点A ，B 的坐标（2）AOB 的面积．【解析】（1）直线:250l x y --=与圆22:50C x y +=的交点，由2225050x y x y --=⎧⎨+=⎩，可得55x y =-⎧⎨=-⎩，71x y =⎧⎨=⎩所以交点A ，B 的坐标为()5,5--，()7,1（2）设直线:250l x y --=与x 轴的交点为E ，则()5,0E 所以AOBAOEEOBSSS=+11||22A B y OE y OE =+‖()1||2A B y y OE =+1652=⨯⨯15=47．（2020·湖北·高二期中）直线:1l y x =+与圆22:430C x y y +-+=交于A 、B 两点，则ABC 的面积是_________．【答案】12【解析】圆()22:21C x y +-=，()0,2C 到直线l 的距离021222d -+=，∴22122AB ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭∴111222ABC S AB d =⋅==△故答案为：1248．（2021·广东·佛山一中高二期中）已知圆的方程为222440x y x y +---=，设该圆过点()2,3M 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 面积为（）A ．6B ．C ．D ．【答案】C【解析】圆的标准方程为()()22129x y -+-=，圆心为()1,2E ，半径为3r =，()()2221329-+-<，故点M 在圆()()22129x y -+-=内，如下图所示：则ME 过点M 的弦过圆心时，弦长取最大值，即26AC r ==，当过M 的弦与ME 垂直时，弦长取最小值，即BD =此时AC BD ⊥，此时，四边形ABCD 的面积为11622S AC BD =⋅=⨯⨯=故选：C ．49．（2021·福建龙岩·高二期中）设直线20ax y ++=与圆()22:24C x y +-=相交于A 、B 两点，且ABC 的面积为2，则=a （）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由三角形的面积公式可得212sin 22ABC S ACB =⨯⨯∠=△，可得sin 1ACB ∠=，0ACB π<∠<，故2ACB π∠=，则ABC 为等腰直角三角形，所以，圆心C 到直线20ax y ++=的距离为2sin4d π==由点到直线的距离公式可得d=，解得a=故选：D．50．（2021·江西南昌·高二期中（理））已知圆的方程为222440x y x y+---=，设该圆过点()1,3M的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD面积为（）AB．C．8D．13【答案】B【解析】圆的方程为222440x y x y+---=，化为标准方程：()()22129x y-+-=，圆心为()1,2N，半径为3r=，当过点()1,3M的直线与NM垂直时，弦长最短，且AC==当过点()1,3M的直线且过圆心时，弦长最长，且26BD r==，此时，AC BD⊥，所以四边形ABCD面积为11622S AC BD=⋅=⨯=故选：B考点7：直线与圆中的定点定值问题51．（2021·山东潍坊·高二期中）已知圆M的圆心与点()1,4N-关于直线10x y-+=对称，且圆M与y轴相切于原点O．（1）求圆M的方程；（2）过原点O的两条直线与圆M分别交于,A B两点，直线,OA OB的斜率之积为12-，,OD AB D⊥为垂足，是否存在定点P，使得DP为定值，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．【解析】（1）（1）设M（a，b）．则411141022baa b-⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩．解得3ab=⎧⎨=⎩．所以该圆的半径为3，．所以圆M的方程为()2239x y-+=；（2）设OA所在直线方程为()0y kx k=≠，联立()2239x y y kx ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩得226611A Ak x y k k =⋅=++，同理把k 换做－12k ，可得222412,1414B Bk kx y k k-==++所以AB 所在直线方程为222636(1121k k y x k k k -=-+-+）．当0y =时，可得4x =，故直线AB 过定点C （4，0）．由于OC 为定值，且△ODC 为直角三角形，OC 为斜边，所以OC 中点P 满足22OC DP ==为定值，由于O （0，0），C （4，0），故由中点坐标公式可得P （2，0），故存在点P （2，0），使得|DP |为定值．52．（2021·全国·高二期中）已知圆C经过点(0,，(及()3,0．经过坐标原点O 的斜率为k 的直线l 与圆C 交于M ，N 两点．（1）求圆C 的标准方程；（2）若点()3,0P -，分别记直线PM ､直线PN 的斜率为1k ､2k ，求12k k +的值．【解析】（1）设圆C 的方程为：220x y Dx Ey F ++++=，由圆C过(0,，(及()3,0．∴23030330F F D F ⎧+=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎩可得203D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴圆C 的方程为：22230x y x +--=，其标准方程为()2214x y -+=；（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线l 为y kx =，与圆C ：()2214x y -+=联立得：()221230k x x +--=，∴()22443112160k k ∆=+⨯⨯+=+>，则12221x x k +=+，12231x x k =-+，∴12121212123333y y kx kx k k x x x x +=+=+++++()()()1212122333k x x x x x x ++⎡⎤⎣⎦=++()()22126611033k k k x x -⎛⎫+ ⎪++⎝⎭==++．53．（2020·浙江温州·高二期中）已知圆C ：2280x x y ++=，直线l ：20mx y m ++=．（1）当直线l 与圆C 相交于A ，B两点，且AB =l 的方程．（2）已知点P 是圆C 上任意一点，在x 轴上是否存在两个定点M ，N ，使得12PM PN=？若存在，求出点M ，N 的坐标；若不存在，说明理由．【解析】（1）由已知可得圆心()4,0C -，4r =．圆心C 到直线l的距离d =因此AB ===．22421m m =+，解得1m =±，直线l 的方程为2y x =+或2y x =--．（2）设(),P x y ，()1,0M x ，()2,0N x 由已知可得228x y x +=-12=，化简得211222821824x x x x x x x x -+-=-+-．即()()221221241240x x x x x -++-=恒成立所以122221412040x x x x -+=⎧⎨-=⎩，解得12612x x =-⎧⎨=-⎩，或1224x x =-⎧⎨=⎩所以满足题意的定点M ，N 存在，其坐标为()6,0M -，()12,0N -或()2,0M -，()4,0N ．54．（2020·辽宁·大连八中高二期中）已知圆22:1O x y +=与x 轴的正半轴交于点P ，直线:30l kx y k --+=与圆O 交于不同的两点A ，B ．（1）求实数k 的取值范围；（2）设直线PA ，PB 的斜率分别是12,k k ，试问12k k +是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由；【解析】∵圆221O x y +=：与x 轴的正半轴交于点P ，∴圆心00O (，)，半径1r =，()10，P ．（1）∵直线30l kx y k --+=：与圆O 交于不同的两点,A B ，∴圆心O 到直线l 的距离1d =<，即3k -43k >．（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y 联立22301kx y k x y --+=⎧⎨+=⎩，可得2222(1)(26)680k x k k x k k +--+-+=，∴2122261k k x x k -+=+，2122681k k x x k-+=+，∴121212121212(1)3(1)3332111111y y k x k x k k k x x x x x x -+-++=+=+=++------221222212123(2)3[262(1)]22()168(26)1x x k k k k k x x x x k k k k k +---+=+=+-++-+--++1862293k k --=+=-为定值．∴12k k +是定值，定值为23-．55．（2021·吉林·长春外国语学校高二期中）已知圆1O过点P ，且与圆2222:(2)(2)(0)O x y r r ++-=>关于直线20x y -+=对称．（1）求圆1O 、圆2O 的方程；（2）过点Q 向圆1O 和圆2O 各引一条切线，切点分别为C ，D ，且2QD QC =，则是否存在一定点M ，使得Q 到M 的距离为定值λ？若存在，求出M 的坐标，并求出λ的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）设圆1O 的圆心1(,)O a b ，因为圆1O 与圆2222:(2)(2)O x y r ++-=关于直线20x y -+=对称，可得2112222022b a a b -⎧⋅=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩，解得0,0a b ==，设圆1O 的方程为222x y r +=，将点P ，代入可得2r =，所以圆1O 的方程为224x y +=，圆2O 的方程为22(2)(2)4x y ++-=．（2）由2QD QC ==设()00,Q x y ，则()()()2222000022444x y x y ++--=+-，化简得22002268339x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以存在定点22,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭使得Q 到M．56．（2021·湖南·怀化五中高二期中）已知圆C 的圆心坐标为(3,0)C ，且该圆经过点(0,4)A ．（1）求圆C 的标准方程；（2）直线n 交圆C 于M ，N 两点，若直线AM ，AN 的斜率之积为2，求证：直线n 过一个定点，并求出该定点坐标．（3）直线m 交圆C 于M ，N 两点，若直线AM ，AN 的斜率之和为0，求证：直线m 的斜率是定值，并求出该定值．【解析】（1）依题意，圆C 的半径22||345CA =+，所以圆C 的标准方程是：()22325x y -+=．（2）当直线n 的斜率不存在时，设(,),(,)M a b N a b -，由直线AM ，AN 的斜率之积为2，得442b b a a ---⋅=，即22162b a =-，又由点M ，N 在圆C 上得()22325a b -+=，消去b 得：260a a +=，而0a ≠，则6a =-，此时20b <，因此，无解，当直线n 的斜率存在时，设其方程为y kx t =+，由22(3)25y kx t x y =+⎧⎨-+=⎩消去y 并整理得：222(1)2(3)160k x kt x t ++-+-=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则1222(3)1kt x x k --+=+，2122161t x x k -=+，直线AM 斜率114AM y k x -=，直线AN 斜率224AN y k x -=，则()()221212121212444·4AM ANt kx t kx t x xk k k k t x x x x x x -+-+-+==+-⋅+2222222226(1)(4)(4)26(1)(4)(4)16164kt k t k t k t k k t k k t t t t -++-+-+++-=+-⋅+=--+6424k t t +-==+，整理得612t k =-，此时直线n ：(6)12y k x =+-过定点()6,12--，所以直线n 过一个定点，该定点坐标是()6,12--．（3）设直线AM 方程为：4y rx =+，由224(3)25y rx x y =+⎧⎨-+=⎩消去y 并整理得：22(1)2(43)0 r x r x++-=，则有点22268464(,)11r r rMr r--++++，而直线AN：4y rx=-+，同理22268464(,)11r r rNr r+--+++，于是得直线MN的斜率2222224644643116868411MNr r r rr rk r rr r-++--+-++==--+-++，所以直线m的斜率是定值，该定值为3 4-．。

直线与圆的位置关系切线长定理

直线与圆的位置关系切线长定理在几何学中，直线与圆的位置关系一直是一个重要的研究课题。

其中，切线长定理是直线与圆的位置关系中的一个重要定理，它在解决直线与圆的位置关系问题时起着至关重要的作用。

本文将介绍切线长定理的定义、推导过程及其应用。

一、切线长定理的定义切线长定理是指直线与圆的位置关系中，一条直线与圆相切时，切线与切点之间的长度关系。

具体来说，切线长定理可以表述为：一条直线与圆相切时，切线与切点之间的长度平方等于切点到圆心的距离的平方减去圆的半径的平方。

切线长定理可以用公式表示为：PT^2 = PC^2 - r^2其中，PT表示切线与切点之间的长度，PC表示切点到圆心的距离，r表示圆的半径。

二、切线长定理的推导切线长定理的推导可以通过几何方法和代数方法来进行。

这里我们将介绍一种代数方法的推导过程。

假设圆的方程为(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中(a, b)为圆心坐标，r为圆的半径。

直线的方程为y = kx + c，其中k为直线的斜率，c为直线的截距。

首先，我们要找到直线与圆相切的条件。

直线与圆相切的条件是直线与圆的切点只有一个，也就是直线与圆的方程组有且只有一个解。

将直线方程代入圆的方程中，得到一个关于x的二次方程：(x-a)^2 + (kx+c-b)^2 = r^2解这个方程，得到直线与圆相切的条件：Δ = (k^2+1)(c-b)^2 - (1+k^2)(a^2+b^2-r^2) = 0其中，Δ为方程的判别式。

当Δ=0时，直线与圆相切。

接下来，我们要求出切线与切点之间的长度。

设直线与圆的切点为P(x0, y0)，则切点到圆心的距离为：PC^2 = (x0-a)^2 + (y0-b)^2切线与切点之间的长度为：PT^2 = (x-x0)^2 + (y-y0)^2将直线方程代入PT^2的表达式中，得到：PT^2 = (x-x0)^2 + (kx+c-y0)^2将PT^2和PC^2代入切线长定理的公式中，得到：(x-x0)^2 + (kx+c-y0)^2 = (x0-a)^2 + (y0-b)^2 - r^2 化简上式，得到切线长定理的公式：PT^2 = PC^2 - r^2三、切线长定理的应用切线长定理在解决直线与圆的位置关系问题时起着重要作用。

圆的切线判定定理

圆的切线判定定理圆的切线判定定理是几何学中关于圆与切线的一个重要定理，它可以用来判断一个直线是否为圆的切线。

在本文中，我们将详细介绍这个定理及其应用。

让我们来了解一下什么是圆的切线。

在平面几何中，圆是由一组与圆心等距的点组成的集合。

而切线是与圆相切且仅有一个交点的直线。

圆的切线有着很多重要的性质，因此，判断一个直线是否为圆的切线是几何学中的一个基本问题。

圆的切线判定定理给出了判断一个直线是否为圆的切线的准确条件。

根据这个定理，如果一个直线与圆相交，并且与圆的切点处的切线垂直于半径，则这条直线就是圆的切线。

换句话说，切线与半径的夹角是90度。

接下来，我们来看一个具体的例子来说明圆的切线判定定理的应用。

假设有一个圆，圆心坐标为（2，3），半径为4。

现在我们来判断直线y = 5x - 7是否为该圆的切线。

我们需要确定直线与圆是否相交。

将直线方程代入圆的方程(x-2)²+(y-3)²=16中，得到：(5x-7-2)²+(x-3)²=16化简得到：26x²-74x+52=0解这个二次方程，得到x=1或x=2。

接下来，我们找出与圆相交的两个点，即（1，-2）和（2，3）。

然后，我们计算这两个点处的切线斜率。

根据切线斜率的定义，切线的斜率等于曲线在该点处的导数。

对于圆来说，这意味着切线的斜率等于半径的斜率。

因此，我们可以通过计算圆心到切点的斜率来得到切线的斜率。

在这个例子中，我们可以计算得到切线的斜率为2。

我们需要判断切线与半径的夹角是否为90度。

根据直线的性质，两条互相垂直的直线的斜率之积等于-1。

因此，我们计算切线的斜率与半径的斜率之积，如果结果等于-1，则可以判定直线为圆的切线。

在这个例子中，切线的斜率为2，半径的斜率可以通过圆心和切点的坐标计算得到。

计算得到半径的斜率为-5/3。

将两者相乘，得到-2/3。

由于结果不等于-1，所以直线y = 5x - 7不是该圆的切线。

圆和直线的位置关系知识点

圆和直线的位置关系知识点圆和直线的位置关系是数学中非常重要的知识点，它们广泛应用于各种领域，如图形设计、建筑、物理和工程学等。

本文将探讨圆和直线之间的位置关系，包括相交、相切和不相交等情况。

一、圆和直线的相交从几何的角度来看，如果一条直线与圆相交，则该直线经过圆的两个点。

这两个点被称为圆与直线的交点。

如图1所示，直线AB与圆O相交于点C和点D。

图1 圆与直线相交我们可以得出如下结论：1. 如果直线的斜率等于圆心到直线的垂线的斜率，则圆与直线相切。

2. 如果直线的斜率大于或小于圆心到直线的垂线的斜率，则圆与直线相交。

二、圆和直线的相切当直线与圆只有一个公共点时，我们称圆和直线相切。

在图2中，直线和圆相切于点E。

图2 圆与直线相切这里我们介绍一个重要的结论：相切的直线是圆的切线。

圆的切线定义为与圆相切的直线。

如图3所示，圆O的切线为直线PO。

图3 圆的切线三、圆和直线不相交如果直线经过圆的中心，但不与圆相交，那么该直线被称为圆的直径。

圆的直径是圆的最长距离，它被定义为通过圆心且两端点在圆上的直线。

如图4所示，直线MN为圆O的直径。

图4 圆的直径另外，如果一条直线不经过圆的中心，并且距离圆心的距离等于圆的半径，则该直线被称为圆的割线。

如图5所示，直线EF是圆O的割线。

图5 圆的割线四、结论在本文中，我们介绍了圆和直线之间的三种位置关系：相交、相切和不相交。

我们还提到了相切的直线是圆的切线，圆的直径是圆的最长距离，圆的割线距离圆心的距离等于圆的半径。

这些知识点在数学中非常重要，对于理解圆形和直线在几何学、物理学和工程学中的应用有着重要的作用。

直线与圆的位置关系(相交

二、直线与圆的位置关系（相交，相切，相离）已知圆()()()222:0C x a y b r r -+-=>，直线:0L Ax By C ++=。

1、位置关系的判定：判定方法1：联立方程组()()2220x a y b rAx By C ⎧-+-=⎪⎨++=⎪⎩，得到关于x （或y ）的方程（1）0∆>⇔相交；（2）0∆=⇔相切；（3）0∆<⇔相离。

判定方法2：若圆心(),a b 到直线L 的距离为d ，（1）d r <⇔相交；（2）d r =⇔相切；（3）d r >⇔相离。

例1、判断直线()():11210L m x m y m ++-+-=与圆22:9O x y +=的位置关系。

法一：直线():210L m x y x y -+++-=恒过点13,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且P 在圆O 内，所以直线L 与圆O 相交。

法二：圆心O 到直线L 的距离为d ==当3d <时，()()2221922m m -<+，2144170m m m R ∴++>∴∈ 所以直线L 与圆O 相交。

法三：联立方程，消去y 得()()22222142251480m x m m x m m +++--+-= ()()24322569692120684114417m m m m m m m ∴∆=-+-+=-++当1m ≠时，0∆>，直线与圆相交；当1m =时，直线L:12x =-，此时直线L 与圆O 相交。

[评]法二和法三是判断直线与圆位置关系的基本方法，但计算量偏大；而法一是先观察直线的特点再结合图，避免了大量的计算，因此体现了数形结合的优点。

例2、求圆221x y +=上的点到直线3425x y +=的距离的最大最小值法一：设()cos ,sin P αα为圆上一点，则点P 到直线的距离为()5sin255dα+ϕ-==所以当()sin1α+ϕ=-时，max6d=，当()sin1α+ϕ=时，min4d=。

直线与圆的位置关系知识点总结

直线与圆的位置关系知识点总结直线与圆的位置关系是几何学中一个重要的概念，涉及到直线和圆的交点、相切等不同情况。

本文将对直线与圆的位置关系进行总结，包括直线与圆的相交、相切以及不相交三种情况。

一、直线与圆的相交关系1. 直线与圆相交于两个交点：当直线与圆的位置关系是相交时，直线将穿过圆的两个交点。

这种情况通常出现在直线与圆的直径、弦或切线相交的情况下。

2. 直线与圆相交于一个交点：当直线与圆的位置关系是相切时，直线与圆仅有一个交点。

这种情况通常出现在直线是圆的切线的情况下。

二、直线与圆的相切关系1. 切线：当直线与圆的位置关系是相切时，直线与圆仅有一个交点，并且直线与圆的切点处的切线垂直于半径。

切线是圆上某一点的切线，它与半径的长度相等。

2. 外切线：当一条直线与圆的位置关系为外切时，直线与圆仅有一个交点，并且切点处的切线垂直于半径。

外切线的一个特点是切点处的切线与直线的延长线垂直。

3. 内切线：当一条直线与圆的位置关系为内切时，直线与圆仅有一个交点，并且切点处的切线垂直于半径。

内切线的一个特点是切点处的切线与直线的延长线垂直。

三、直线与圆的不相交关系当直线与圆的位置关系不相交时，即直线与圆没有交点。

总结：直线与圆的位置关系可以分为相交、相切以及不相交三种情况。

在相交的情况下，直线与圆相交于两个交点或一个交点。

在相切的情况下，直线与圆仅有一个交点，并且切点处的切线垂直于半径。

而不相交的情况下，直线与圆没有交点。

以上是对直线与圆的位置关系知识点的总结。

了解并掌握这些知识点对于解决相关几何问题非常重要。

希望本文能够帮助您更好地理解和应用直线与圆的位置关系。

直线和圆相切判定方法

一是定义法.只要能证明直线与圆有唯一公共点,就能说直线与圆相切;二是“d=R”法,即证明圆心到直线的距离d等于该圆的半径R,就能判定直线与圆相切;三是利用“切线判定定理”,即经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线第一种方法目前一般不用.用得最多的是第二种和第三种这两种方法,在证明一条直线是圆的切线时,若题中未说明直线与圆有公共点,则选用第二种方法去证明;若题中已给出直线与圆有公共点，则选用第三种方法去证明.。