全国统考2022高考数学一轮复习素养提升微专题2_抽象函数的定义域的类型及求法学案理含解析北师大版2

抽象函数的定义域的类型及求法

抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数,其有关问题对同学们来说具有一定难度,特别是求其定义域时,许多同学解答起来总感觉棘手,下面结合实例具体探究一下抽象函数定义域问题的几种题型及求法.

类型一已知f (x )的定义域,求f [g (x )]的定义域

其解法是:若f (x )的定义域为[a ,b ],则在f [g (x )]中,令a ≤g (x )≤b ,从中解得x 的取值X 围即为f [g (x )]的定义域.

【例1】已知函数f (x )的定义域为[-1,5],求f (3x-5)的定义域.

【解题指导】该函数是由u=3x-5和f (u )构成的复合函数,其中x 是自变量,u 是中间变量,由于f (x )与f (u )是同一个函数,因此这里是已知-1≤u ≤5,即-1≤3x-5≤5,求x 的取值X 围. 解∵f (x )的定义域为[-1,5],

∴-1≤3x-5≤5,∴43≤x ≤103,

故函数f (3x-5)的定义域为43,10

3.

类型二已知f [g (x )]的定义域,求f (x )的定义域

其解法是:若f [g (x )]的定义域为m ≤x ≤n ,则由m ≤x ≤n 确定的g (x )的X 围即为f (x )的定义域.

【例2】已知函数f (x 2-2x+2)的定义域为[0,3],求函数f (x )的定义域.

【解题指导】令u=x 2-2x+2,则f (x 2-2x+2)=f (u ),

由于f (u )与f (x )是同一函数,因此u 的取值X 围即为f (x )的定义域. 解由0≤x ≤3,得1≤x 2-2x+2≤5.

令u=x 2-2x+2,则f (x 2-2x+2)=f (u ),1≤u ≤5.

故f (x )的定义域为[1,5].

类型三已知f [g (x )]的定义域,求f [h (x )]的定义域

其解法是:先由f [g (x )]的定义域求得f (x )的定义域,再由f (x )的定义域求f [h (x )]的定义域.

【例3】函数y=f (x+1)的定义域是[-2,3],则y=f (2x-1)的定义域是()

A.0,52

B.[-1,4]

C.[-5,5]

D.[-3,7]

答案A

解析因为f (x+1)的定义域是[-2,3],即-2≤x ≤3,所以-1≤x+1≤4,则f (x )的定义域是[-1,4].由-1≤2x-1≤4,得0≤x ≤52,所以f (2x-1)的定义域是0,5

2.故选A .

类型四运算型的抽象函数

求由有限个抽象函数四则运算得到的函数的定义域,其解法是:先求出各个函数的定义域,然后再求交集.

【例4】若函数f(x)的定义域是[-3,5],求φ(x)=f(-x)+f(2x+5)的定义域.

解得-4≤x≤0.

解由f(x)的定义域为[-3,5],则φ(x)必有{-3≤-x≤5,

-3≤2x+5≤5,

所以函数φ(x)的定义域为[-4,0].