求动点的轨迹方程(方法例题习题答案)

求动点的轨迹方程（例题，习题与答案）

在中学数学教学和高考数学考试中，求动点轨迹的方程和曲线的方程是一个难点和重点内容（求轨迹方程和求曲线方程的区别主要在于：求轨迹方程时，题目中没有直接告知轨迹的形状类型；而求曲线的方程时，题目中明确告知动点轨迹的形状类型）。求动点轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、相关点法、参数法与

交轨法等；求曲线的方程常用“待定系数法”

求动点轨迹的常用方法

动点P的轨迹方程是指点P的坐标（X, y）满足的关系式。

1.直接法

（1）依题意，列出动点满足的几何等量关系；

（2）将几何等量关系转化为点的坐标满足的代数方程。

例题已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C: x2+y2=1，动点M到圆C的切线长等与MQ 求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线.

解：设动点M（x,y），直线MN切圆C于NO

2 2

依题意：MQ=IMN ,即MQl = MN

而MNl=Mo — NO ,所以

2 2

MQ =IMO -1

2 2 2 2

（x-2） +y =X +y -1

化简得：X= 5。动点M的轨迹是一条直线。

2.定义法

分析图形的几何性质得出动点所满足的几何条件，由动点满足的几何条件可以判断出动点的轨迹满足圆（或椭圆、双曲线、抛物线）的定义。依题意求出曲线的相关参数，进一步写出轨迹方程。

例题：动圆M过定点P （- 4，0 ），且与圆C：X2+y2—8χ = 0相切，求动圆圆心M的轨迹方程。解：设M（x,y）,动圆M的半径为r。若圆M与圆C相外切，则有∣ MC I =r + 4

若圆M与圆C相内切，则有∣ MC ∣ =r-4

而∣ MP ∣ =r,所以

∣ MCl - ∣ MP ∣ =± 4

动点M到两定点P(-4,0),C(4,0)的距离差的绝对值为4,所以动点M的轨迹为双曲线。其中a=2,

C=4。

动点的轨迹方程为：

2 2

4 12

3. 相关点法

若动点P(X，y)随已知曲线上的点Q(χ0，y0)的变动而变动，且χ0、y0可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点 P的轨迹方程。这种方法称为相关点法。例题：已知线段AB的端点B 的坐标是(4,3),端点A

在圆C :(x 1)2y^4

上运动，求线段AB 的

中点M的轨迹方程。

解：设M(x,y), A(X A V B),依题意有：

4 X A 3 y A

X= , y=

2 2

则：X A=2X-4, y A =2y-3,因为点A(X A V B)在圆C: (x 1)2y^4 上，所以(2X-4)2 (2y -3)2=4

点M的轨迹方程为：

(x_2)2+(y-舟)2=1

动点M的轨迹为以(2, 3 )为圆心，1为半径的圆。

4.参数法

例题：已知定点A( -3,0)，M、N分别为X轴、y轴上的动点(M、N不重合)，且AN丄MN 点P在直线MN上，NP =3 MP。求动点P的轨迹C的方程。

解：设 N(O,t), P(x,y)

由 NP =2 MP ,

y = -2t

所以动点P 的轨迹方程为：y 2

= 4x

5.交轨法

例题：如图，在矩形 ABCD 中，AB =8, BC = 4, E, F,G, H 分别为四边的中点，且都在坐标轴上，设

OP = ∙OF,CQ = CFC -0)。求直线EP 与GQ 的交点M 的轨迹-的方程。

X

£ X 则直线EP 的方程为y

2 ,直线GQ 的方程为y 2， 2人 2

y+2= y-2=-

2 2

两式相乘，消去■即得M 的轨迹-的方程为- Z=I(XH 0)

16 4

直线 AN 的斜率k A M - 因为 AN

_ MN ,所以直线MN 的斜率k MN

直线 MN t 2 t 2 3

的方程为y-t= X ,令y=0得X=,所以点M( ,0)

3

3

NP=(X,y-t), MP =(x -t

3 I y)

3 2(x-3), y-t =

2y ,则

X=S t2

练习与答案

.. .. 2 2 ..

1. 设圆C 与圆X + (y.3) =1外切，与直线y=0相切，则C 的圆心轨迹为 A

A •抛物线

B •双曲线

C .椭圆

D .圆

2 2 2 2

2. 已知圆M i ：(x ，4) y =25 ,圆M 2：(x-4) y =1, 一动圆与这两个圆外 切，求动圆圆心 P 的轨迹方

程。

2

y 12

2

2

3. 过点A(4 , 0)作圆O ： X +y =4的割线，求割线被圆 O 截得弦的中点的轨迹。 2 2

(x-2) +y =4 (0 ≤ x<1)

2 O

4. 已知圆C : (X —3) +(y-4) =1,动点P 是圆外一点，过 P 作圆C 的切线，切点为 M , 且丨PMl = I Pol (O 为

坐标原点)。求动点P 的轨迹方程。

2 2 2

提示：| POl = I PMl = PC -1

3x+4y-12=0

5. 已知圆G ：(x-4) y =1 ,圆C 2: X ∙(y-2) =1 ,动点P 到圆G , C ?上点的距离的最

小值相等 .求点P 的轨迹方程。 解：动点 P 到圆C 1的最短距离为I

PC 1 I -1, 动点 P 到圆C 2的最短距离为I PC 2 I -1,

依题意有:

I PC 1 | -1= I PC 2 | -1, 即

I PC 11 = I PC 2 I

所以动点 P 的轨迹为线段 C 1C 2的中垂线。所以动点

P 的轨迹方程为

2x+y-5=0

2

X 2

6.已知双曲线 一—y =1的左、右顶点分别为 A h A ,点P ( X 1,y 2 ), Q(花，一丫2 )

2

是双曲线上不同的两个动点。求直线 AP 与A 2Q 交点的轨迹E 的方程。 解：由A ,A 为双曲线的左右顶点知，

A(T 2,0), AC.2,0),

_ 2

AP ： y=—

(x +T 2) , A 2

Q: y= ~y ^(^√2),两式相乘 y 2

=^y

-(χ2

-2),

x 1 +√2

x 1 -√2 X 1 -2

2 2

因为点

P(X1,yI)

在双曲线上，所以

X

Pz ,即x∕1

2

2

所以2十y

2

=1 ,即直线AP 与A 2Q 交点的轨迹E 的方程为

(x>0)

2

=1

”2)，