高数复习资料(少学时)
高等数学基础复习资料
高等数学基础复习资料一、引言高等数学作为大学数学的重要组成部分，是理工科学生必修的一门课程。
作为一门基础性的学科，高等数学为学生奠定了后续学习的数学基础，并为他们建立了抽象思维和逻辑推理能力奠定了基础。
本文将为大家提供一份高等数学基础复习资料，帮助学生系统回顾相关知识点，提高自己的数学水平。
二、数列与极限1. 数列的概念及表示方法- 数列的定义与本质特征- 数列的表示方法：通项公式、递推公式2. 数列的极限- 数列极限的定义与判定方法- 数列收敛与发散的判断- 数列极限的性质与运算规则3. 无穷级数- 级数的概念与收敛性判断- 常见级数的收敛性判断方法- 级数收敛的性质与运算规则三、函数与极限1. 函数的概念与性质- 函数的定义与分类- 函数的图像与性质2. 函数的极限- 函数极限的定义与性质- 常见函数极限的计算方法- 无穷小量与无穷大量的定义与性质3. 一元函数的连续性与导数- 函数连续性的定义与判断- 函数导数的定义与计算方法- 函数导数的性质与应用四、微分学1. 一元函数的微分学- 函数微分的定义与计算方法- 微分的几何意义与应用- 高阶微分与泰勒公式2. 函数的极值与最值- 函数极值的判定与求解- 条件极值与拉格朗日乘数法3. 函数的凸性与曲线的形状- 函数凸性的定义与判定方法- 曲线的拐点与渐进线五、积分学1. 定积分与不定积分- 定积分的定义与性质- 定积分计算的方法与技巧- 不定积分的定义与计算方法2. 反常积分- 反常积分的概念与判定- 常见反常积分的计算方法3. 微积分基本定理与应用- 微积分基本定理的表述与应用- 曲线下面积的计算- 参数方程与极坐标下的积分六、常微分方程1. 常微分方程的基本概念- 常微分方程的定义与分类- 一阶常微分方程的常见形式2. 一阶常微分方程的解法- 可分离变量方程的求解- 线性方程的求解- 齐次与非齐次方程的解法3. 高阶常微分方程- 二阶常微分方程解的一般性质- 常系数二阶齐次线性微分方程的解法- 特征方程求解与常系数二阶非齐次线性微分方程的解法七、向量代数与空间解析几何1. 向量的概念与性质- 向量的基本运算与性质- 向量的数量积与向量积2. 空间直线与平面- 点、直线与平面的位置关系- 空间直线的方程与相交关系- 空间平面的方程与位置关系3. 空间几何体的体积与曲面积分- 空间几何体的体积计算- 曲面积分的概念与计算方法八、多元函数微分学1. 多元函数的偏导数- 偏导数的定义与计算方法- 偏导数的几何意义与性质2. 多元函数的方向导数与梯度- 方向导数的定义与计算方法- 梯度的定义与性质3. 多元函数的极值与最值- 多元函数的极值点与极值- 约束条件下的极值求解九、多元函数积分学1. 二重积分与三重积分- 二重积分的定义与计算方法- 三重积分的定义与计算方法2. 极坐标与球坐标下的积分计算- 极坐标下的二重积分与三重积分- 球坐标下的三重积分3. 变量替换与重积分- 变量替换的基本思想与方法- 重积分的计算方法与应用十、常微分方程与偏微分方程初步1. 常微分方程初值问题的求解- 常微分方程初值问题的基本概念- 高阶线性常微分方程初值问题的求解2. 偏微分方程的基本概念与分类- 偏微分方程的基本定义与分类- 一阶偏微分方程的求解方法初探3. 偏微分方程边值问题与特解- 偏微分方程边值问题的基本概念- 常见偏微分方程的特解求解方法结语通过对高等数学基础内容的系统复习，我们可以巩固数理基础，提高数学水平，为后续的学习和研究打下坚实的基础。
本科少学时高数 D1.1 函数
y arcsin x
反余弦函数 y arccos x
y arccos x
反正切函数 y arctan x
y arctan x
反余切函数 y arccot x
y arccot x
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角 函数统称为基本初等函数.
称为半开区间, 记作 [a , b) 称为半开区间, 记作 (a , b] 有限区间
[a ,) { x a x }
( , b) { x x b}
无限区间
o
a o
b
x x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
3.邻域: 设a与是两个实数, 且 0.
由
和
复合而成。
由
和
复合而成。
注意:
1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的;
2
2 y arcsin( 2 x ) 例如 y arcsin u, u 2 x ;
2.复合函数可以由两个以上的函数经过复 合构成.
x x 例如 y cot , y u , u cot v , v . 2 2
约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义 的一切实数所组成的集合. 自然定义域
函数表示法: 表格法. 图形法. 解析法
几个特殊的函数举例
(1) 常数函数
y
D ,, W 2
o
y 2,
2
x
(2) 绝对值函数
y
x y x x
当x 0 当x 0
o
x
(3) 符号函数
初等函数
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算
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高等数学复习第一讲函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1.612arctan lim )21ln(arctan lim3030-=-=+->->-x x x x x x x x （等价小量与洛必达）2.已知2030)(6lim 0)(6sin limxx f x x xf x x x +=+>->-，求 解：20303')(6cos 6lim )(6sin limx xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72)0(''06)0(''32166'''''36cos 216lim6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x362722''lim 2'lim )(6lim0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达）3.121)12(lim ->-+x xx x x （重要极限） 4.已知a 、b 为正常数，xx x x b a 30)2(lim +>-求 解：令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=x x x x x b a xt b a t 2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a b a t xx x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)1ln(12)(cos lim x x x +>- 解：令)ln(cos )1ln(1ln ,)(cos 2)1ln(12x x t x t x +==+ 2/100212tan limln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换）6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim22=⎰⎰>-xx x dtt f xdtt f（洛必达与微积分性质）7.已知⎩⎨⎧=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a解：令2/1/)ln(cos lim 2-==>-x x a x （连续性的概念）三、补充习题（作业） 1.3cos 11lim-=---->-xx x e x x （洛必达）2.)1sin 1(lim 0xx ctgx x ->- （洛必达或Taylor ） 3.11lim 22=--->-⎰x xt x edte x （洛必达与微积分性质）第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求 1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理 理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理 会用定理证明相关问题3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1.⎩⎨⎧=+-==52arctan )(2te ty y t x x y y 由决定，求dx dy2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定，求1|0==x dxdy解：两边微分得x=0时y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=1 3.y x x y y xy+==2)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e （），在（==处切线的直角坐标方程。
高等数学(本科少学时类型)(第三版)上册1
(1) lim (sin x 1 sin x )
x
1 x2 1 x (2) lim ( 3) lim x 1 sin x x 0 1 x 解: (1) sin x 1 sin x
cot x
x 1 x x 1 x 2 sin cos 2 2 1 x 1 x 2 sin cos 2 2( x 1 x ) 有界 无穷小
(2) xn ( xn x0 ) ,
Index First Up
f ( x0 0) f ( x0 0) A
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Last
End
Demand
4
二、 连续与间断 1. 函数连续的等价形式
x x0
lim f ( x ) f ( x0 ) lim y 0
( x)
lim e
a ( x ) 0
( x ) ln(1a ( x ))
lim a ( x ) ( x )
ea ( x )0
lim ( x )ln(1a ( x ))
e
a ( x )0
5. 求极限的基本方法 6. 判断极限不存在的方法 (以 x→x0 为例 )
(1)
a ( x a )( x 1) 0 lim x x 0 1 b e b
a 0,b1
e b 极限存在 ∵ x=1为可去间断点 , lim x 1 x ( x 1)
x
lim (e x b) 0
x 1
b lim e x e
x 1
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lim lim 复习: 若 x x a ( x ) 0, x x ( x ) ,
(完整版)高等数学复习资料大全
《高等数学复习》教程第一讲函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1.612arctan lim )21ln(arctan lim3030-=-=+->->-xx x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030)(6lim 0)(6sin limxx f x x xf x x x +=+>->-，求 解：20303')(6cos 6lim )(6sin limx xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72)0(''06)0(''32166'''''36cos 216lim6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x362722''lim 2'lim )(6lim0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达）3.121)12(lim ->-+x xx x x （重要极限） 4.已知a 、b 为正常数，xx x x b a 30)2(lim +>-求 解：令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=x x x x x b a xt b a t 2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a b a t xx x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)1ln(12)(cos lim x x x +>- 解：令)ln(cos )1ln(1ln ,)(cos 2)1ln(12x x t x t x +==+ 2/100212tan limln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换）6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim22=⎰⎰>-xx x dtt f xdtt f（洛必达与微积分性质）7.已知⎩⎨⎧=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a解：令2/1/)ln(cos lim 2-==>-x x a x （连续性的概念）三、补充习题（作业） 1.3cos 11lim-=---->-xx x e x x （洛必达）2.)1sin 1(lim 0xx ctgx x ->- （洛必达或Taylor ） 3.11lim 22=--->-⎰x xt x edte x （洛必达与微积分性质）第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求 1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理 理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理 会用定理证明相关问题3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1.⎩⎨⎧=+-==52arctan )(2te ty y t x x y y 由决定，求dx dy2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定，求1|0==x dxdy解：两边微分得x=0时y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=1 3.y x x y y xy+==2)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e （），在（==处切线的直角坐标方程。
高等数学(本科少学时类型)第三版上册
1、求函数29x y -=的定义域 解：092≥-x解得：33≤≤-x2、求函数x x y 53++=的定义域 解:3+X>=0, 解得： X>=-3 X.>=05X>=0 X>=03函数)2)(3(-+=x x y 的定义域解：(X+3)(X-2)>=0 解得：X ≤-3，X ≥24函数213--=x x y 的定义域 解： 3X-1>=0 解得： X ≥31 2.,231><≤x x X-2≠0 X ≠25、求函数211x xy --=的定义域 解： X ≠0 解得: X ≠0 012≥-x 11≤≤-x6、求函数212--=x x y 的定义域解：022>--x x 解得;x<-1,x>27、求极限237135lim 424+-+-∞→x x x x x =5/7 12、求极限3711129lim 2436+-+-∞→x x x x x = ∞ 13、求极限3711127lim 2523+-+-∞→x x x x x =0 14、求极限xx x 1sinlim 0→=1 15、求极限x x x 1sin lim ∞→=∞16、求极限x x x )51(lim -∞→=e 5- 17、求极限x x x 10)31(lim -→=e 3-18、求极限x x x3)21(lim -∞→=e 6- 19、求极限xx x )1ln(lim 0+→ =1 20、求极限ax a x a x --→sin sin lim =cos a 21、、求极限)1311(lim 31x x x ---→=1- 22、5)(0='x f ，则h x f h x f h )()2(lim000-+→=10 23、3)2(='f ，则h f h f h )2()52(lim0--→=-15 24、函数x e y 5=，求y y ''',，)0(),0(y y '''y’=e x 55 y ’’ =e x 525y ’(0)=5 y ’’(0)=25 25、函数)13(cos 2+=x y ，求dy y ,'，y’=-6COS(3X+1)SIN(3X+1) dy= -6cos(3x+1)sin(3x+1)dx26、函数)1(sin 22+=x y ，求dy y ,'y’ =4XSIN(x 2+1)COS(x 2+1) dy=4xsin(x 2+1)cos(x^2+1)dx 27、函数)35(tan 22+=x y ，求dy y ,'y’=20xtan(x 25+3)sec^2(x 25+3) dy=20xtan(5x^2+3)sec^2(5x^2+3)dx 28、函数n x y =，求)1(+n yy’=nx^(n-1)y ’’=n(n-1)x^(n-2)y ’’’=n(n-1)(n-2)x^(n-3)y(4)=n(n-1)(n-2)(n-3)x^(n-4)...y(n)=n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)…….1=n!y(n+1)=029、求由方程0333=-+xy y x 所确定的隐函数的导数dxdy x y dx dy y x 333322--+dx dy =0 3y 2dx dy -3x dx dy =3y-3x 2 x y dx dy y x 333322--==xy y x --2230、求由方程xy e xy =所确定的隐函数的导数dxdy e e e e e xy xy xy xy xy x x yy dx dy y y x x dxdy dxdy x y dx dy x y --=-=-+=+)()( 31、求由方程y xe y +=1所确定的隐函数的导数dxdy )1('x y dx dy dx dy x e ee y y y y +=+= 32、用对数求导法求0,sin >=x x y x 的导数。
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高等数学复习资料大全高等数学复习资料大全一、函数的极限1、函数极限的定义：当函数f(x)在x趋近于某一值时，函数值无限接近于某一确定的数值A，则称A为函数f(x)在x趋近于这一值时的极限。
2、函数极限的性质：（1）唯一性：若极限存在，则唯一。
（2）局部有界性：在极限附近的函数值有界。
（3）局部保号性：在极限附近，函数值的符号保持不变。
（4）归结原则：若在某一区间内，f(x)恒等于A，则A为f(x)在该区间内的极限。
3、极限的四则运算：设、存在，则、也存在，且、、、。
4、复合函数的极限：设、存在，且g(x)在u=a处连续，则、存在，且、。
5、无穷小与无穷大：（1）无穷小：若当x趋近于某一值时，函数f(x)的极限为0，则称f(x)为当x趋近于这一值时的无穷小。
（2）无穷大：若当x趋近于某一值时，函数f(x)的绝对值无限增大，则称f(x)为当x趋近于这一值时的无穷大。
6、两个重要极限：（1）sin x / x = 1 （x趋近于0）；（2）(1+k)^ x / kx = e^k （k为常数且k趋近于0）。
二、导数与微分1、导数的定义：设y=f(x)，若增量 / 趋于0时，之间的比值也趋于0，则称f(x)在处可导，称此比值为f(x)在处的导数。
2、导数的几何意义：函数在某一点处的导数就是曲线在该点处的切线的斜率。
3、微分的定义：设y=f(x)，若函数的增量可以表示为，其中A不依赖于，则称在处可微分，为f(x)在处的微分。
4、导数与微分的关系：若函数在某一点处可导，则在该点处必可微分；反之，若函数在某一点处可微分，则在该点处不一定可导。
5、导数的计算方法：（1）四则运算导数公式；（2）复合函数的导数；（3）隐函数求导法；（4）对数求导法；（5）高阶导数。
三、不定积分1、不定积分的定义：设f(x)是一个函数，是一个常数，则对f(x)进行积分所得的结果称为f(x)的不定积分，记为或。
2、不定积分的性质：（1）线性性质：和都存在，且；（2）恒等性质：都存在，且。
高等数学(本科少学时类型)(第三版)上册4
f ( x ) f ( x0 ) f ( )( x x0 )
f ( x ) f ( x0 ) f ( )( x x0 ) f ( x0 ) f ( ) x x0 f ( x0 ) M ( b a ) K
(定数)
可见对任意
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证: 因 f (x) 在[0, 3]上连续, 所以在[0, 2]上连续, 且在 [0, 2]上有最大值 M 与最小值 m,
故 m f (0), f (1), f ( 2) M f (0) f (1) f ( 2) m M 3 由介值定理可知 c [0, 2] , 使 f (0) f (1) f (2) f (c ) 1 3
所以当x>0时， 令x=b得
即所证不等式成立 .
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例12. 求
解法1 利用中值定理求极限
2
a a 1 a a 原式 lim n 之间） ( ) ( 在 与 2 n n n1 1 n n 1 n2 a lim n n( n 1) 1 2
即
a0 a1 x an x 0 在 (0， )内至少有一个实根 . 1
n
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7
例4.设函数 f (x) 在[0, 3] 上连续, 在(0, 3) 内可导, 且
f (0) f (1) f (2) 3, f (3) 1, 证明 (0, 3), 使 f ( ) 0. f (0) f (1) f (2) 1, f (3) 1 分析: 所给条件可写为 3 f (0) f (1) f (2) 想到找一点 c , 使 f (c ) 1 3
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高数复习资料第一章函数、极限和连续§1.1 函数一、主要内容㈠函数的概念1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D定义域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函数:∈∈=21)()(D x x g D x x f y3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y)y=f -1(x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的；则它必定存在反函数：y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。
㈡函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2),则称f(x)在D 内单调增加( )；若f(x 1)≥f(x 2),则称f(x)在D 内单调减少( )；若f(x 1)＜f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调增加( )；若f(x 1)＞f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调减少( )。
2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-≦，+≦) 周期：T ——最小的正数4.函数的有界性：|f(x)|≤M , x ∈(a,b)㈢基本初等函数1.常数函数： y=c ， (c 为常数)2.幂函数： y=x n, (n 为实数)3.指数函数： y=a x, (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon xy=arctan x, y=arccot x ㈣复合函数和初等函数1.复合函数：y=f(u) , u=φ(x)y=f[φ(x)] , x ∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数§1.2 极限一、主要内容㈠极限的概念1. 数列的极限:Ay n n =∞→lim称数列{}n y 以常数A 为极限;或称数列{}n y 收敛于A.定理: 若{}n y 的极限存在{}n y 必定有界.2.函数的极限：⑴当∞→x 时，)(x f 的极限：Ax f A x f A x f x x x ===∞→+∞→-∞→)(lim )(lim )(lim⑵当0x x →时，)(x f 的极限：A x f x x =→)(lim 0左极限：A x f x x =-→)(lim 0右极限：A x f x x =+→)(lim 0⑶函数极限存的充要条件：定理：Ax f x f A x f x x x x x x ==?=+-→→→)(lim )(lim )(lim 0㈡无穷大量和无穷小量1．无穷大量：+∞=)(lim x f称在该变化过程中)(x f 为无穷大量。
大一经典高数复习资料经典经典全面复习
高等数学（本科少学时类型）第一章 函数与极限第一节 函数○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★）(){},|U a x x a δδ=-<(){},|0U a x x a δδ=<-<o第二节 数列的极限○数列极限的证明（★）【题型示例】已知数列{}n x ，证明{}lim n x x a →∞= 【证明示例】N -ε语言1．由n x a ε-<化简得()εg n >， ∴()N g ε=⎡⎤⎣⎦2．即对0>∀ε，()N g ε∃=⎡⎤⎣⎦，当N n >时，始终有不等式n x a ε-<成立， ∴{}a x n x =∞→lim第三节 函数的极限○0x x →时函数极限的证明（★） 【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x x =→0lim【证明示例】δε-语言1．由()f x A ε-<化简得()00x x g ε<-<， ∴()εδg =2．即对0>∀ε，()εδg =∃，当00x x δ<-<时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x x =→0lim○∞→x 时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x =∞→lim【证明示例】X -ε语言1．由()f x A ε-<化简得()x g ε>， ∴()εg X =2．即对0>∀ε，()εg X =∃，当X x >时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x =∞→lim第四节 无穷小与无穷大○无穷小与无穷大的本质（★） 函数()x f 无穷小⇔()0lim =x f 函数()x f 无穷大⇔()∞=x f lim○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★）（定理三）假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ⋅=⎡⎤⎣⎦（定理四）在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1f x -为无穷小；反之，若()x f 为无穷小，且()0f x ≠，则()x f1-为无穷大【题型示例】计算：()()0lim x x f x g x →⋅⎡⎤⎣⎦（或∞→x ） 1．∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U ο内是有界的；（∵()f x ≤M ，∴函数()f x 在D x ∈上有界；） 2．()0lim 0=→x g x x 即函数()x g 是0x x →时的无穷小； （()0lim =∞→x g x 即函数()x g 是∞→x 时的无穷小；）3．由定理可知()()0lim 0x x f x g x →⋅=⎡⎤⎣⎦（()()lim 0x f x g x →∞⋅=⎡⎤⎣⎦）第五节 极限运算法则○极限的四则运算法则（★★） （定理一）加减法则 （定理二）乘除法则关于多项式()p x 、()x q 商式的极限运算设：()()⎪⎩⎪⎨⎧+⋯++=+⋯++=--nn n mm m b x b x b x q a x a x a x p 110110则有()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞=∞→0lim 0b a x q x p x m n m n m n >=<()()()()000lim 00x x f x g x f x g x →⎧⎪⎪⎪=∞⎨⎪⎪⎪⎩()()()()()0000000,00g x g x f x g x f x ≠=≠== （特别地，当()()00lim 0x x f x g x →=（不定型）时，通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）【题型示例】求值233lim9x x x →--【求解示例】解：因为3→x ，从而可得3≠x ，所以原式()()23333311limlim lim 93336x x x x x x x x x →→→--====-+-+ 其中3x =为函数()239x f x x -=-的可去间断点倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：解：()()0233323311lim lim lim 9269x L x x x x x x x '→→→'--===-'- ○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★★） （定理五）若函数()x f 是定义域上的连续函数，那么，()()00lim lim x x x x f x f x ϕϕ→→⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦ 【题型示例】求值：93lim 23--→x x x【求解示例】3x →===第六节 极限存在准则及两个重要极限○夹迫准则（P53）（★★★） 第一个重要极限：1sin lim 0=→xxx∵⎪⎭⎫⎝⎛∈∀2,0πx ，x x x tan sin <<∴1sin lim0=→x x x 0000lim11lim lim 1sin sin sin lim x x x x x x x x x x →→→→===⎛⎫⎪⎝⎭（特别地，000sin()lim1x x x x x x →-=-）○单调有界收敛准则（P57）（★★★）第二个重要极限：e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim（一般地，()()()()lim lim lim g x g x f x f x =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，其中()0lim >x f ）【题型示例】求值：11232lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x x【求解示例】()()211121212122121122122121lim21221232122lim lim lim 121212122lim 1lim 121212lim 121x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++→∞→∞+→∞⋅++++⋅⋅+++→∞+→∞++→∞+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦解：()()12lim 1212121212122lim 121x x x x x x x x x ee e e+→∞⎡⎤⋅+⎢⎥+⎣⎦+→∞+→∞⎡⎤⋅+⎢⎥+⎣⎦+⎛⎫⎪+⎝⎭====第七节 无穷小量的阶（无穷小的比较） ○等价无穷小（★★）1．()~sin ~tan ~arcsin ~arctan ~ln(1)~1UU U U U U U e +- 2．U U cos 1~212-（乘除可替，加减不行）【题型示例】求值：()()xx x x x x 31ln 1ln lim 20++++→ 【求解示例】()()()()()()()3131lim 31lim 31ln 1lim 31ln 1ln lim ,0,000020=++=+⋅+=++⋅+=++++=≠→→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 所以原式即解：因为第八节 函数的连续性 ○函数连续的定义（★）()()()000lim lim x x x x f x f x f x -+→→==○间断点的分类（P67）（★）⎩⎨⎧∞⋯⋯⎩⎨⎧）无穷间断点（极限为第二类间断点可去间断点（相等）跳越间断点（不等）限存在）第一类间断点（左右极（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）【题型示例】设函数()⎩⎨⎧+=x a e x f x 2 ，00≥<x x 应该怎样选择数a ，使得()x f 成为在R 上的连续函数？【求解示例】1．∵()()()2010000f e e e f a a f a --⋅++⎧===⎪⎪=+=⎨⎪=⎪⎩2．由连续函数定义()()()e f x f x f x x ===+-→→0lim lim 0∴e a =第九节 闭区间上连续函数的性质 ○零点定理（★）【题型示例】证明：方程()()f x g x C =+至少有一个根介于a 与b 之间 【证明示例】1．（建立辅助函数）函数()()()x f x g x C ϕ=--在闭区间[],a b 上连续；2．∵()()0a b ϕϕ⋅<（端点异号）3．∴由零点定理，在开区间()b a ,内至少有一点ξ，使得()0=ξϕ，即()()0fg C ξξ--=（10<<ξ） 4．这等式说明方程()()f x g x C =+在开区间()b a ,内至少有一个根ξ 第二章 导数与微分第一节 导数概念○高等数学中导数的定义及几何意义（P83）（★★）【题型示例】已知函数()⎩⎨⎧++=b ax e x f x 1 ，00>≤x x 在0=x 处可导，求a ，b【求解示例】1．∵()()0010f e f a -+'⎧==⎪⎨'=⎪⎩，()()()00001120012f e e f b f e --+⎧=+=+=⎪⎪=⎨⎪=+=⎪⎩2．由函数可导定义()()()()()0010002f f a f f f b -+-+''===⎧⎪⎨====⎪⎩ ∴1,2a b ==【题型示例】求()x f y =在a x =处的切线与法线方程 （或：过()x f y =图像上点(),a f a ⎡⎤⎣⎦处的切线与法线方程） 【求解示例】1．()x f y '='，()a f y a x '='=| 2．切线方程：()()()y f a f a x a '-=- 法线方程：()()()1y f a x a f a -=--' 第二节 函数的和（差）、积与商的求导法则○函数和（差）、积与商的求导法则（★★★） 1．线性组合（定理一）：()u v u v αβαβ'''±=+ 特别地，当1==βα时，有()u v u v '''±=± 2．函数积的求导法则（定理二）：()uv u v uv '''=+3．函数商的求导法则（定理三）：2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭第三节 反函数和复合函数的求导法则○反函数的求导法则（★）【题型示例】求函数()x f1-的导数【求解示例】由题可得()x f 为直接函数，其在定于域D上单调、可导，且()0≠'x f ；∴()()11fx f x -'⎡⎤=⎣⎦' ○复合函数的求导法则（★★★）【题型示例】设(ln y e =，求y '【求解示例】(22arcsi y ex a e e e ''='⎛⎫' ⎪+=⎝⎛⎫⎪ =⎝⎭=解：⎛ ⎝第四节 高阶导数 ○()()()()1n n fx fx -'⎡⎤=⎣⎦（或()()11n n n n d y d y dx dx --'⎡⎤=⎢⎥⎣⎦）（★） 【题型示例】求函数()x y +=1ln 的n 阶导数 【求解示例】()1111y x x-'==++， ()()()12111y x x --'⎡⎤''=+=-⋅+⎣⎦， ()()()()()2311121y x x --'⎡⎤'''=-⋅+=-⋅-⋅+⎣⎦……()1(1)(1)(1)nn n y n x --=-⋅-⋅+！第五节 隐函数及参数方程型函数的导数 ○隐函数的求导（等式两边对x 求导）（★★★） 【题型示例】试求：方程ye x y +=所给定的曲线C ：()x y y =在点()1,1e -的切线方程与法线方程【求解示例】由ye x y +=两边对x 求导即()y y x e '''=+化简得1yy e y ''=+⋅∴ee y -=-='11111 ∴切线方程：()e x ey +--=-1111法线方程：()()e x e y +---=-111○参数方程型函数的求导【题型示例】设参数方程()()⎩⎨⎧==t y t x γϕ，求22dx yd【求解示例】1.()()t t dx dy ϕγ''= 2.()22dy d y dx dxt ϕ'⎛⎫⎪⎝⎭=' 第六节 变化率问题举例及相关变化率（不作要求）第七节 函数的微分○基本初等函数微分公式与微分运算法则（★★★） ()dx x f dy ⋅'=第三章 中值定理与导数的应用第一节 中值定理 ○引理（费马引理）（★） ○罗尔定理（★★★） 【题型示例】现假设函数()f x 在[]0,π上连续，在()0,π 上可导，试证明：()0,ξπ∃∈， 使得()()cos sin 0ff ξξξξ'+=成立【证明示例】1．（建立辅助函数）令()()sin x f x x ϕ=显然函数()x ϕ在闭区间[]0,π上连续，在开区间()0,π上可导；2．又∵()()00sin00f ϕ==()()sin 0f ϕπππ== 即()()00ϕϕπ==3．∴由罗尔定理知()0,ξπ∃∈，使得()()cos sin 0f f ξξξξ'+=成立○拉格朗日中值定理（★）【题型示例】证明不等式：当1x >时，xe e x >⋅ 【证明示例】1．（建立辅助函数）令函数()x f x e =，则对1x ∀>，显然函数()f x 在闭区间[]1,x 上连续，在开区间()1,x 上可导，并且()x f x e '=；2．由拉格朗日中值定理可得，[]1,x ξ∃∈使得等式()11x e e x e ξ-=-成立，又∵1e e ξ>，∴()111x e e x e e x e ->-=⋅-，化简得x e e x >⋅，即证得：当1x >时，xe e x >⋅ 【题型示例】证明不等式：当0x >时，()ln 1x x +< 【证明示例】1．（建立辅助函数）令函数()()ln 1f x x =+，则对0x ∀>，函数()f x 在闭区间[]0,x 上连续，在开区间()0,π上可导，并且()11f x x'=+；2．由拉格朗日中值定理可得，[]0,x ξ∃∈使得等式()()()1ln 1ln 1001x x ξ+-+=-+成立，化简得()1ln 11x x ξ+=+，又∵[]0,x ξ∈， ∴()111f ξξ'=<+，∴()ln 11x x x +<⋅=， 即证得：当1x >时，xe e x >⋅第二节 罗比达法则○运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（★★） 1．☆等价无穷小的替换（以简化运算）2．判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件 A ．属于两大基本不定型（0,0∞∞）且满足条件，则进行运算：()()()()lim limx a x a f x f x g x g x →→'=' （再进行1、2步骤，反复直到结果得出）B ．☆不属于两大基本不定型（转化为基本不定型） ⑴0⋅∞型（转乘为除，构造分式） 【题型示例】求值：0lim ln x x x α→⋅【求解示例】()10000201ln ln lim ln lim lim lim 111lim 0x x L x x x x x x x x x x x x x a ααααααα∞∞-'→→→→→'⋅===⋅'⎛⎫- ⎪⎝⎭=-=解： （一般地，()0lim ln 0x x x βα→⋅=，其中,R αβ∈）⑵∞-∞型（通分构造分式，观察分母） 【题型示例】求值：011lim sin x x x →⎛⎫-⎪⎝⎭【求解示例】200011sin sin lim lim lim sin sin x x x x x x x x x x x x →→→--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭解：()()()()000002sin 1cos 1cos sin limlim lim lim 0222L x x L x x x x x x xx x x ''→→→→''---====='' ⑶00型（对数求极限法）【题型示例】求值：0lim xx x →【求解示例】()()0000lim ln ln 000002ln ,ln ln ln 1ln ln 0lim ln lim lim111lim lim 0lim lim 11x x x x x L x yy x x x x x y x y x x x xx xx y xx x x y e e e x→∞∞'→→→→→→→===='→=='⎛⎫ ⎪⎝⎭==-=====-解：设两边取对数得：对对数取时的极限：，从而有 ⑷1∞型（对数求极限法）【题型示例】求值：()10lim cos sin xx x x →+【求解示例】()()()()()1000000lim ln ln 10ln cos sin cos sin ,ln ,ln cos sin ln 0limln limln cos sin cos sin 10lim lim 1,cos sin 10lim =lim x xx x L x x yy x x x x y x x y xx x y x y xx x x x x x x y e e e e→→→'→→→→+=+=+→='+⎡⎤--⎣⎦====++'===解：令两边取对数得对求时的极限，从而可得⑸0∞型（对数求极限法） 【题型示例】求值：tan 01lim xx x →⎛⎫⎪⎝⎭【求解示例】()()tan 00200020*******,ln tan ln ,1ln 0lim ln lim tan ln 1ln ln limlimlim 1sec 1tan tan tan sin sin lim lim li xx x x L x x x L x y y x x x y x y x x x xx x x xx x x x x →→∞∞'→→→'→→⎛⎫⎛⎫==⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫→=⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'=-=-=-⎛⎫'⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'==='解：令两边取对数得对求时的极限，00lim ln ln 002sin cos m 0,1lim =lim 1x x yy x x x xy e e e →→→→⋅====从而可得○运用罗比达法则进行极限运算的基本思路（★★）00001∞⎧⎪∞-∞−−→←−−⋅∞←−−⎨∞⎪∞⎩∞(1)(2)(3)⑴通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换）⑵取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式） ⑶取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前）第三节 泰勒中值定理（不作要求） 第四节 函数的单调性和曲线的凹凸性 ○连续函数单调性（单调区间）（★★★） 【题型示例】试确定函数()3229123f x x x x =-+-的单调区间 【求解示例】1．∵函数()f x 在其定义域R 上连续，且可导 ∴()261812f x x x '=-+2．令()()()6120f x x x '=--=，解得：121,2x x ==4．∴函数f x 的单调递增区间为,1,2,-∞+∞； 单调递减区间为()1,2【题型示例】证明：当0x >时，1xe x >+ 【证明示例】1．（构建辅助函数）设()1x x e x ϕ=--，（0x >）2．()10xx e ϕ'=->，（0x >）∴()()00x ϕϕ>=3．既证：当0x >时，1xe x >+【题型示例】证明：当0x >时，()ln 1x x +<【证明示例】1．（构建辅助函数）设()()ln 1x x x ϕ=+-，（0x >）2．()1101x xϕ'=-<+，（0x >） ∴()()00x ϕϕ<=3．既证：当0x >时，()ln 1x x +<○连续函数凹凸性（★★★）【题型示例】试讨论函数2313y x x =+-的单调性、极值、凹凸性及拐点【证明示例】1．()()236326661y x x x x y x x '⎧=-+=--⎪⎨''=-+=--⎪⎩ 2．令()()320610y x x y x '=--=⎧⎪⎨''=--=⎪⎩解得：120,21x x x ==⎧⎨=⎩x (,0)-∞ 0 (0,1)1 (1,2)2 (2,)+∞y ' - 0 + + 0 - y '' + + - - y 1 (1,3) 54．⑴函数13y x x =+-单调递增区间为(0,1),(1,2)单调递增区间为(,0)-∞,(2,)+∞；⑵函数2313y x x =+-的极小值在0x =时取到，为()01f =，极大值在2x =时取到，为()25f =；⑶函数2313y x x =+-在区间(,0)-∞,(0,1)上凹，在区间(1,2),(2,)+∞上凸；⑷函数2313y x x =+-的拐点坐标为()1,3第五节 函数的极值和最大、最小值○函数的极值与最值的关系（★★★）⑴设函数()f x 的定义域为D ，如果M x ∃的某个邻域()M U x D ⊂，使得对()M x U x ∀∈o，都适合不等式()()M f x f x <，我们则称函数()f x 在点(),M M x f x ⎡⎤⎣⎦处有极大值()M f x ；令{}123,,,...,M M M M Mn x x x x x ∈则函数()f x 在闭区间[],a b 上的最大值M 满足：()(){}123max ,,,,...,,M M M Mn M f a x x x x f b =；⑵设函数()f x 的定义域为D ，如果m x ∃的某个邻域()m U x D ⊂，使得对()m x U x ∀∈o，都适合不等式()()m f x f x >，我们则称函数()f x 在点(),m m x f x ⎡⎤⎣⎦处有极小值()m f x ；令{}123,,,...,m m m m mn x x x x x ∈则函数()f x 在闭区间[],a b 上的最小值m 满足：()(){}123min ,,,,...,,m m m mn m f a x x x x f b =；【题型示例】求函数()33f x x x =-在[]1,3-上的最值【求解示例】1．∵函数()f x 在其定义域[]1,3-上连续，且可导 ∴()233f x x '=-+2．令()()()3110f x x x '=--+=， 解得：121,1x x =-= x1- ()1,1-1 (]1,3()f x ' 0+- ()f x极小值Z极大值]4．又∵12,12,318f f f -=-==- ∴()()()()max min 12,318f x f f x f ====- 第六节 函数图形的描绘（不作要求） 第七节 曲率（不作要求）第八节 方程的近似解（不作要求） 第四章 不定积分第一节 不定积分的概念与性质 ○原函数与不定积分的概念（★★） ⑴原函数的概念：假设在定义区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()F x '，即当自变量x I ∈时，有()()F x f x '=或()()dF x f x dx =⋅成立，则称()F x 为()f x 的一个原函数⑵原函数存在定理：（★★）如果函数()f x 在定义区间I 上连续，则在I 上必存在可导函数()F x 使得()()F x f x '=，也就是说：连续函数一定存在原函数（可导必连续） ⑶不定积分的概念（★★）在定义区间I 上，函数()f x 的带有任意常数项C 的原函数称为()f x 在定义区间I 上的不定积分，即表示为：()()f x dx F x C =+⎰（⎰称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为积分表达式，x 则称为积分变量）○基本积分表（★★★）○不定积分的线性性质（分项积分公式）（★★★）()()()()1212k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰ 第二节 换元积分法○第一类换元法（凑微分）（★★★） （()dx x f dy ⋅'=的逆向应用）()()()()f x x dx f x d x ϕϕϕϕ'⋅=⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰【题型示例】求221dx a x +⎰【求解示例】222211111arctan 11x x dx dx d Ca x a a aa x x a a ⎛⎫===+ ⎪+⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰解：【题型示例】求【求解示例】()()121212x x C=+=+=○第二类换元法（去根式）（★★）（()dx x f dy ⋅'=的正向应用）⑴对于一次根式（0,a b R ≠∈）：t =，于是2t b x a-=，则原式可化为t⑵对于根号下平方和的形式（0a >）：tan x a t =（22t ππ-<<），于是arctan xt a=，则原式可化为sec a t ；⑶对于根号下平方差的形式（0a >）：asin x a t =（22t ππ-<<），于是arcsin xt a=，则原式可化为cos a t ；bsec x a t =（02t π<<），于是arccos at x =，则原式可化为tan a t ；【题型示例】求（一次根式） 【求解示例】2221t x t dx tdttdt dt t C Ct =-=⋅==+=⎰⎰【题型示例】求（三角换元）【求解示例】()()2sin ()2222arcsincos 22cos 1cos 221sin 2sin cos 222x a t t xt adx a ta a tdt t dta a t t C t t t C ππ=-<<==−−−−−−→=+⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭⎰⎰第三节 分部积分法 ○分部积分法（★★）⑴设函数()u f x =，()v g x =具有连续导数，则其分部积分公式可表示为：udv uv vdu =-⎰⎰⑵分部积分法函数排序次序：“反、对、幂、三、指” ○运用分部积分法计算不定积分的基本步骤： ⑴遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序； ⑵就近凑微分：（v dx dv '⋅=） ⑶使用分部积分公式：udv uv vdu =-⎰⎰⑷展开尾项vdu v u dx '=⋅⎰⎰，判断a ．若v u dx '⋅⎰是容易求解的不定积分，则直接计算出答案（容易表示使用基本积分表、换元法与有理函数积分可以轻易求解出结果）； b ．若v u dx '⋅⎰依旧是相当复杂，无法通过a 中方法求解的不定积分，则重复⑵、⑶，直至出现容易求解的不定积分；若重复过程中出现循环，则联立方程求解，但是最后要注意添上常数C【题型示例】求2x e x dx ⋅⎰【求解示例】()()222222222222222x x x x x x x x x x x x x x x e x dx x e dx x de x e e d x x e x e dx x e x d e x e xe e dx x e xe e C⋅===-=-⋅=-⋅=-+=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：【题型示例】求sin x e xdx ⋅⎰【求解示例】()()()()sin cos cos cos cos cos cos sin cos sin sin cos sin sin x x x xx x x x x x x x x x e xdx e d x e x xd ee x e xdx e x e d x e x e x xd e e x e x e xdx⋅=-=-+=-+=-+=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：()sin cos sin sin x x x x e xdx e x e x xd e ⋅=-+-⎰⎰即：∴()1sin sin cos 2xxe xdx e x x C ⋅=-+⎰第四节 有理函数的不定积分 ○有理函数（★）设：()()()()101101m m mn n nP x p x a x a x a Q x q x b x b x b --=++⋯+==++⋯+ 对于有理函数()()P x Q x ，当()P x 的次数小于()Q x 的次数时，有理函数()()P x Q x 是真分式；当()P x 的次数大于()Q x 的次数时，有理函数()()P x Q x 是假分式○有理函数（真分式）不定积分的求解思路（★）⑴将有理函数()()P x Q x 的分母()Q x 分拆成两个没有公因式的多项式的乘积：其中一个多项式可以表示为一次因式()kx a -；而另一个多项式可以表示为二次质因式()2lx px q ++，（240p q -<）；即：()()()12Q x Q x Q x =⋅一般地：n mx n m x m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则参数n a m =-22b c ax bx c a x x a a ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭则参数,b cp q a a ==⑵则设有理函数()()P x Q x 的分拆和式为：()()()()()()122k lP x P x P x Q x x a x px q =+-++其中()()()()1122...k kkP x A A A x a x a x a x a =+++----()()()()2112222222...ll llP x M x N M x N x px q x px q x px q M x N x px q ++=++++++++++++参数121212,,...,,,,...,l k lM M M A A A N N N ⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎩⎩⎩由待定系数法（比较法）求出⑶得到分拆式后分项积分即可求解【题型示例】求21x dx x +⎰（构造法） 【求解示例】()()()221111111111ln 112x x x x dx dx x dx x x x xdx dx dx x x x Cx +-++⎛⎫==-+ ⎪+++⎝⎭=-+=-++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰第五节 积分表的使用（不作要求）第五章 定积分极其应用第一节 定积分的概念与性质 ○定积分的定义（★）()()01lim nbiiai f x dx f x I λξ→==∆=∑⎰（()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x则称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限，[],a b 称为积分区间）○定积分的性质（★★★）⑴()()b baaf x dx f u du =⎰⎰ ⑵()0a af x dx =⎰ ⑶()()b ba akf x dx k f x dx =⎡⎤⎣⎦⎰⎰⑷（线性性质）()()()()1212b b ba a a k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰ ⑸（积分区间的可加性）()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰⑹若函数()f x 在积分区间[],a b 上满足()0f x >，则()0baf x dx >⎰；（推论一）若函数()f x 、函数()g x 在积分区间[],a b 上满足()()f x g x ≤，则()()b baaf x dxg x dx ≤⎰⎰；（推论二）()()b baaf x dx f x dx ≤⎰⎰○积分中值定理（不作要求） 第二节 微积分基本公式○牛顿-莱布尼兹公式（★★★）（定理三）若果函数()F x 是连续函数()f x 在区间[],a b 上的一个原函数，则()()()baf x dx F b F a =-⎰○变限积分的导数公式（★★★）（上上导―下下导）()()()()()()()x x d f t dt f x x f x x dxϕψϕϕψψ''=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰ 【题型示例】求21cos 2limt xx e dt x -→⎰【求解示例】()2211cos cos 2002lim lim 解：t t x x x L x d e dt e dt dx x x--'→→='⎰⎰()()()()2222221cos cos000cos 0cos cos 0cos 010sin sin limlim 22sin lim 2cos sin 2sin cos lim21lim sin cos 2sin cos 21122xxx x xL x xxx x x e ex x e xxdx e dx x x ex ex xe x x x x e e---→→-'→--→-→-⋅-⋅-⋅==⋅='⋅+⋅⋅=⎡⎤=+⋅⎣⎦=⋅=第三节 定积分的换元法及分部积分法 ○定积分的换元法（★★★） ⑴（第一换元法）()()()()b baa f x x dx f x d x ϕϕϕϕ'⋅=⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰【题型示例】求20121dx x +⎰【求解示例】()[]222000111121ln 212122121ln 5ln 5ln122解：dx d x x x x =+=⎡+⎤⎣⎦++=-=⎰⎰ ⑵（第二换元法）设函数()[],f x C a b ∈，函数()x t ϕ=满足： a ．,αβ∃，使得()(),a b ϕαϕβ==；b ．在区间[],αβ或[],βα上，()(),f t t ϕϕ'⎡⎤⎣⎦连续 则：()()()ba f x dx f t t dt βαϕϕ'=⎡⎤⎣⎦⎰⎰【题型示例】求40⎰ 【求解示例】()2210,43220,1014,332332311132213111332223522933解：t t x x t x t t dx t t t dt t dt t x t =-====+−−−−−−→+⎛⎫=⋅⋅=+=+ ⎪⎝⎭=-=⎰⎰⎰⎰ ⑶（分部积分法）()()()()()()()()()()()()bba ab bb aaau x v x dx u x v x v x u x dxu x dv x u x v x v x du x ''=-=-⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰○偶倍奇零（★★）设()[],f x C a a ∈-，则有以下结论成立： ⑴若()()f x f x -=，则()()02aaaf x dx f x dx -=⎰⎰⑵若()()f x f x -=-，则()0aaf x dx -=⎰第四节 定积分在几何上的应用（暂时不作要求） 第五节 定积分在物理上的应用（暂时不作要求） 第六节 反常积分（不作要求）如：不定积分公式21arctan 1dx x C x =++⎰的证明。
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《高等数学复习》教程第一讲 函数、连续与极限一、理论要求 1.函数概念与性质 函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 2.极限极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法 （1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子） （3）变量替换法 （4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor 级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质） 1.612arctan lim )21ln(arctan lim3030-=-=+->->-xx x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030)(6lim0)(6sin limx x f x x xf x x x +=+>->-，求 解：20303')(6cos 6lim )(6sin limx xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72)0(''06)0(''32166'''''36cos 216lim6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x362722''lim 2'lim )(6lim0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达） 3.121)12(lim ->-+x xx x x （重要极限）4.已知a 、b 为正常数，xx x x b a 30)2(lim +>-求 解：令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=x x x x x b a xt b a t 2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a b a t xx x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)1ln(12)(cos lim x x x +>-解：令)ln(cos )1ln(1ln ,)(cos 2)1ln(12x x t x t x +==+ 2/100212tan limln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换）6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim22=⎰⎰>-xx x dtt f xdtt f（洛必达与微积分性质）7.已知⎩⎨⎧=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a解：令2/1/)ln(cos lim 2-==>-x x a x （连续性的概念）三、补充习题（作业） 1.3cos 11lim-=---->-xx x e x x （洛必达）2.)1sin 1(lim 0xx ctgx x ->- （洛必达或Taylor ） 3.11lim 22=--->-⎰x xt x edte x （洛必达与微积分性质）第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求1.导数与微分 导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理 理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理 会用定理证明相关问题3.应用 会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导 1.⎩⎨⎧=+-==52arctan )(2te ty y t x x y y 由决定，求dx dy2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定，求1|0==x dxdy解：两边微分得x=0时y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=1 3.y x x y y xy+==2)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题 4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e （），在（==处切线的直角坐标方程。
高数高等教育出版社少学时
x l 2 3 i x x 3 2 m 2 x 2 x 5 1 x l i 3 x 2 x 1 2 m 2 5 x 1 3 0 2 0 x x 3
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例 例7 7 求 x l 2 3 x x 3 2 2 x i 2 x A d5 1 v ancem d Mathematics 解 解 因 为 x l 2 3 x x 3 2 i 2 x 2 x 5 1 0 m 所所 以以
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❖求极限举例
Advanced Mathematics
例1 求 lim(x2 1) x2
解 lim (x21)413 x 2
•讨论 若 P ( x ) a 0 x n a 1 x n 1 a n 1 x a n 则 x l x 0 P i ( x ) m ? •提示 >>> x l x 0 P ( x ) P ( x i 0 ) m
( 1 ) n l ( x n i y n ) A m B
( 2 ) n l ( x n y i n ) A B m ( 3 ) 当 y n 0 ( n 1 2 ) 且 B 0 时 n l x y n n i B A m ❖不等式
•定理5 如果j(x)y(x) 而limj(x)a limy(x)b 那么ab
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例5 求 xlim2xx22x1A1dvanced Mathematics 解 先用x2去除分子及分母 然后取极限
xl im2xx22x11xl im211xx12x12
1 2
例 例6 6 求 x l 2 3 x x 3 2 2 x i 2 x 5 1 m 解: 先用x3去除分子及分母 然后取极限
高等数学(本科少学时类型)(第三版)上册2
Index First Up Back Down Last End Demand
3
f ( x0 x ( x ) ) f ( x0 ) lim . x 0 x f ( x0 x ( x )2 ) f ( x0 ) x ( x )2 li 解: 原式= xm0 2 x x ( x ) f ( x0 ) 例2.设f ( x ) max{ x 2 , x 3 }, 求f ( x )。 x3 x 1 解：f ( x ) 2 x x 1 于是当x 1时，f ( x ) ( x 2 ) 2 x.
[e
sin x
(cos x sin e e cos e )
x
x
x
Index
First
Up
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12
[e sin x (cos x sin e x e x cos e x )
Index
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13
x t2 2t 例9.设由方程 2 t y sin y 1 (0 1) 确定函数 y y( x ) ,
updownendbackfirstlastindexdemand二导数与微分一导数和微分的概念及应用二导数和微分的求法updownendbackfirstlastindexdemandupdownendbackfirstlastindexdemand利用导数定义解决的问题3微分在近似计算与误差估计中的应用2用导数定义求极限求分段函数在分界点处的导数及某些特殊函数在特殊点处的导数
高等数学(少学时)期末复习试题6套含答案(大学期末复习资料)
------------------------------------ 装 ------------------------------------ 订--------------------------------线--------------------------------------期 末 试 卷1．填空（每空2分，共10分） （1） f(x)=sinx x1sin⋅的间断点是 ，是第 类间断点． （２）函数xe x y 2=在=x 处取得极小值，在=x 处取得极大值．（3）曲线 2x y =上点 处的切线平行于直线x y =．（４）若（0，1）是曲线c bx x y ++=23的拐点，则=b ，=c ．（５）比较大小dx x⎰12dx x ⎰14．２．选择题（每题２分，共10分）（1）如果函数)(x f y =在0x 处不可导，则曲线在点))(,(00x f x 处（ ）．A ．切线不存在 B. 切线垂直于x 轴 C. 切线不存在或切线垂直于x 轴 （２）如果函数)(x f y =在0x 处不可导，则曲线在点))(,(00x f x 处（ ）． A ．切线不存在 B. 切线垂直于x 轴 C. 切线不存在或切线垂直于x 轴 Ｄ．切线平行于ｘ轴（３）若函数d cx bx ax y +++=23)0(>a 满足条件 032<-ac b ，那么这函数（ ）．A ．有极值B ．有极大值C ．有极小值D ．没有极值（4）若点（1，3）为曲线23bx ax y +=的拐点，则a 、b 的值分别为（ ）．A ．23-=a ，29=b B ．3-=a ，6=b C ．23=a ，29-=b D ．3=a ，6-=b（５）下列等式中错误的是（ ）．A ．⎰⎰=+baa bdx x f dx x f 0)()( B ．⎰⎰=b a badt t f dx x f )()(C ．⎰-=aadx x f 0)( D ．⎰=aadx x f 0)(３．计算题（每题６分，共５４分）------------------------------------ 装 ------------------------------------ 订--------------------------------线--------------------------------------（１）132l i m1--+→x x x （２）)1(2)1s i n (l i m 1++-→x x x (３)xy x1tan 221tan+= ，求y '． （４）x x y 1010+=，求y '．(5)xy y 62= ，求x y '． （６）⎰-332xdx（７）⎰xdx x 210sec tan（８）⎰xdx xarctan 2（９）dx xx ⎰-21214.由力学知，矩形横梁的强度与它的 断面高的平方与宽的积成正比．要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽和高应为多少？（见图１）（9分）5.求微分方程的通解：0ln =-'y y y x ．(8分)6.计算由曲线0,42=-=y x y 围成的图形的面积.（9分）图１------------------------------------ 装 ------------------------------------ 订--------------------------------线--------------------------------------高等数学（少学时）试题1参考答案1. 填空（每题2分，共10分） （1） x=0，一 （2）0，-2 （3）（41,21） （4）0，1（5）>2.选择题（每题2分，共10分）（1）C （2）C （3）D （4）A （5）C 3.计算题（每题6分，共54分） （1）132lim1--+→x x x型00 原式=633211221lim1==+→x x（2）)1(2)1sin(lim 1++-→x x x 型0原式=212)1cos(lim1=+-→x x )1tan 222(ln 1sec )1tan 222(ln 1cos 11)1(1tan 21cos 1)1(1cos 12ln 2)3(1tan221tan2222221tan 'x x x xx xx x xxxy x xx+⋅-=+⋅⋅-=-⋅⋅+-⋅⋅=x x y 1010ln 10)4(9'⋅+=------------------------------------ 装 ------------------------------------ 订--------------------------------线--------------------------------------)62(66)62(662)5(''''x y y y yy x y xy y yy x -==-+=cx cu c u du u du ux u x d xdx x +--=+-=+⋅-=-=-=-=---=-⎰⎰⎰⎰3232323133332212123313113132)32(32131321)6(）（原式原式设 c x c t dt t t x x xd xdx x +⋅=+====⎰⎰⎰11111010210tan 111111tan )(tan tan sec tan )7(原式设------------------------------------ 装 ------------------------------------ 订--------------------------------线--------------------------------------cx x x x c x x c t t dt t t u u d u du u u x u dx x x dx x x xd x x d x x x xdx xdx x +++-=++-+=+-=-==+++-=++-+==+=+=-⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰)1ln(6161arctan 31))1ln(1(21)ln (21)11(211)1(1112111112112111arctan )arctan (arctan 31arctan 31arctan )8(2232222222333332原式设设分部积分法------------------------------------ 装 ------------------------------------ 订--------------------------------线--------------------------------------33)6cot 2(cot )62[(cot sin cos cos sin 1111111)9(2622622121222112212212-=-+--==--===---=-==-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰πππππθθθθθθθθππππd d d dt t dt t t tdt t xdxxdx x x 原式令原式令4.设强度为s ，则s=x h 2时强度最大，高为所以当宽为d d d h d x x d x x d s xx d s d h x 363336,3303)()(22'32'22222===-=-=-==+------------------------------------ 装 ------------------------------------ 订--------------------------------线--------------------------------------cxx x c e x ce ce e e e y e x y c x y dx x dy y y xdxy y dy y y dx dyx c====+=+====-⋅+⎰⎰ln ln ln ln 1ln 1ln 0ln .5两端积分得：6.曲线交点为（-2，0），（2，0） S=A+B因为是对称图形，所以A=B332316)431()40(203202==+-=+-=⎰S x x dxx A期 末 试 卷1．填空（每空2分，共10分）------------------------------------ 装 ------------------------------------ 订--------------------------------线--------------------------------------（2） 设f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧x e x 1arcsin01 000>=<x x x , 则x=0是f(x)的第 类间断点．（２）)(x f 在点0x 处可导是)(x f 在点0x 处连续的 条件，)(x f 在点0x 处连续是)(x f 在点0x 处可导的 条件．（3）的极大值点在 ，极大值为 ；极小值点在 ，极小值为 ．（4）曲线xxe y =的凹区间是 ，凸区间是 ，拐点是 ． （５）比较大小dx x ⎰1ln dx x ⎰12ln ．２．选择题（每题２分，共10分）（1）设,2,cos 12x x =-=βα则当0→x 时，（ ）．A. 是同阶无穷小与βαB. 是等价无穷小与βαC. 是高阶的无穷小是较βαD. 是低阶的无穷小是较βα（２）一质点作直线运动的方程是 232010t t s -+=, 则2=t 时质点运动的加速度为( )．A ． 0 B. －6 C. 6 D. 8（３）设)(x f 在0x 点可导，且0)(0='x f ，则0x 一定是)(x f 的（ ）．A ．极值点B ．驻点C ．极大值点D ．极小值点 （4）若⎰+=C x F dx x f )()(，则⎰+dx b ax f )(是（ ）． Ａ．C b ax F ++)( Ｂ．C b ax F a++)(1Ｃ．)(1b ax F a + Ｄ．C abx F ++)(（５）设⎰=-10,1)(dx x a x 则常数=a （ ）． Ａ．38 Ｂ．31 Ｃ．34 Ｄ．32 ３．计算题（每题６分，共５４分）------------------------------------ 装 ------------------------------------ 订--------------------------------线--------------------------------------（１）x xx 5sin 2sin lim 0→ （２）()x x x 101lim -→ (３) x y arccos = ，求y '．（４）112+=x y，求y '． (5) 022=-+yx xy ，求x y '．（６）⎰x x x dxln ln ln（７）⎰-+xx e e dx （８）⎰-12x x dx （９）⎰exdx x 1ln4．轮船甲位于轮船乙以东75n mile （海里）处，以12 n mile / h 的速度向西航行，而轮船乙则以6 n mile/ h 的速度向北航行，问经过多少时间，两船相距最近？（９分） 5.求微分方程的通解：x e y dxdy-=+．(8分) 6.计算由曲线0,7ln ,2ln ,ln ====x y y x y 围成的图形的面积.（9分）------------------------------------ 装 ------------------------------------ 订--------------------------------线--------------------------------------高等数学（少学时）试题2参考答案1、填空（每题2分，共10分）（1）二 （2）充分 不充分必要 （3）0，0，1，-1 （4）（-2，+∞），（-∞，-2）（-2，-22-e ）（5）> 2.选择题（每题2分，共10分） （1）A （2）D （3）B （4）B （5）A 3.计算题（每题6分，共54分） （1）xxx 5sin 2sin lim0→00型原式=15cos 2cos lim0=→xxx （2）xx x 10)1(lim -→ ∞1型原式=10)1ln(1lim 0==-→e e x xx（3）xx xxy --=∙--=1212111'（4）3232232')1(2)1(212)1(21+-=∙+-=∙+-=-x x x x x x y（5）x 'y +y+ln2x 2∙-lny y 2'y =0 (x-lny y 2)'y =-ln2x 2∙'xy =xy yx-⋅⋅2ln 22ln------------------------------------ 装 ------------------------------------ 订--------------------------------线--------------------------------------cx ct dt t ut u u d u u du xu xx xd +=+======⋅=⎰⎰⎰⎰ln ln ln ln 1ln ln ln ln ln ln ln ln ln )6(所以原式设设原式ce cu du u e u de e dx e e e e dx x xx x x xx x +=+=+==+=+=+⎰⎰⎰⎰-arctan arctan 111)(11)()7(222原式设cxt c t dt tt tdtt tdtt dx t x x x dx+=+=====-⎰⎰⎰1arccos tan sec tan sec tan sec sec 1)8(2代入原式把原式则设2sin 2cos 2cos )9(20200===⎰⎰πππxxdx dx x4.设底边长为x,高为h时表面积最小高为所以当边长为最小时当表表363,621621610844222s h x xx x x x s xh x s ==++=+=+=------------------------------------ 装 ------------------------------------ 订--------------------------------线--------------------------------------5.先求对应齐次方程y dxdy2= 分离变量得：dx ydy 2=积分得：lny=2x+c y=c x e +2=c x e 2用常数变易法求原方程的通解，设解为 y=c(x)x e 2(c(x)是待定函数)代入原方程：xx x x xx x x x x e ce c e e y cex c e x c e e x c e x c e x c -=+-=+-===-+---22'222')()()()(2)(2)(所以6.曲线y=x y x 2,3=的交点为（0，0），（22,2--），（22,2） S=21A A +2141)2(1441241)2(210220243222042023201=+==-=-==⨯-=-=-=--⎰⎰A A s x x dx x x A x x dx x x A 所以围成的面积为2.------------------------------------ 装 ------------------------------------ 订--------------------------------线--------------------------------------期 末 试 卷1．填空（每空2分，共10分）（3） 若011lim 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--++∞→b ax x x x ，则a= ,b= ． （２）设,0)(=x f )0(f '存在,则=→xx f x )(lim． （3）的极大值点在 ，极大值为 ；极小值点在 ，极小值为 ．（4）曲线xxe y -=的凹区间是 ，凸区间是 ，拐点是 ．（５）比较大小dx x ⎰212 dx x ⎰214．２．选择题（每题２分，共10分）（1）⎪⎩⎪⎨⎧-=x xx f 22)( 21110≤<=<<x x x 的连续区间为（ ）．A.[0,2]B.(0,2)C.[0,2]D.(0,1)⋃(1,2)（２）曲线 2sin x x y +=在点（0，0）处的切线与x 轴正向夹角为( )．A ．30B. 45C. 135D ． 150（３）设函数22)4(-=x y ，则在区间2(-，)0和2(，)∞+内，y 分别为（ ）A ．单调增，单调增B ．单调值，单调减C ．单调减，单调增D ．单调减，单调减（4）已知函数)(x f y =的导数等于2+x ，且2=x 时5=y ，则这个函数为（ ）．Ａ．x x y 22+= Ｂ． x x y 222+=------------------------------------ 装 ------------------------------------ 订--------------------------------线--------------------------------------Ｃ． 1222-+=x x y Ｄ． 1222++=x x y（５）下列等式中错误的是（ ）．Ａ．⎰⎰=+baabdx x f dx x f 0)()( Ｂ．⎰⎰=b a badt t f dx x f )()(Ｃ．⎰-=aadx x f 0)( Ｄ．⎰=aadx x f 0)(３．计算题（每题６分，共５４分）（１）x x x x sin cos 1lim 0-→ （２）xx x x 21lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→ (３) 22sin sin x x y =，求y '．（４）x x y +=，求dy ．(5)yx exy += ，求x y '． （６）⎰++dx xx 122（７）⎰dx x x )cos(2（８）⎰+dx e x11 （９）dx x ⎰πcos4．要制作一个底为正方形，容积为108m 3的长方体开口容器，怎样做所用料最省？（９分） 5.求微分方程的通解：x e y dxdy=-2．(8分) 6.计算由曲线x y x y 2,3==围成的图形的面积.（9分）------------------------------------ 装 ------------------------------------ 订--------------------------------线--------------------------------------高等数学（少学时）试题2参考答案1、填空（每题2分，共10分）（1）1，-1 （2）)0('f （3）0，0，x=e1, x=-e1 （4）)2,2(,2),2,(),,2(2-=-∞+∞e x （5）<2、选择题（每题2分，共10分）（1）D （2）B （3）A （4）C （5）C 3、计算题（每题6分，共54分） （1）cinxx xx ⋅-→cos 1lim0 00型=x x x xx cos sin sin lim 0⋅+→ 0=x x x xx sin cos 2cos lim 0-→=21 （2） xx x x 21lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+→∞1型=101ln 2lim ==+⋅∞→e exxx x（3）22sin sin xxy = 求'y 22222's i n 2c o s s i n s i n 2c o s s i n xxx x x x y ⋅⋅-⋅⋅= =22222sin 2cos sin sin 2cos sin x xx x x x x ⋅⋅-⋅⋅（4） x x y +=------------------------------------ 装 ------------------------------------ 订--------------------------------线--------------------------------------xx x dx dy ++=2211 =xx x x ++2221 =x x x x ++2421dx xx x x dy ++=2421（5） 'x y x y e xy 求+=)1(''y e xy y y x +=++ y x y x e y y e x +++=-')(yx y x xex e y y ++-+=∴' （6） dx xx ⎰++122=dx xx x ⎰++-++1)1(2)1(32 =⎰⎰⎰-++++dx dx x dx x 2)1(13=⎰⎰⎰-++++dx dx x x d x12)1()1(113 =c x x x +-++2121ln 3（7）dx x x ⎰)cos(2=dx x )(cos 212⎰ 2x u = =⎰udu cos 21------------------------------------ 装 ------------------------------------ 订--------------------------------线--------------------------------------=c x +2sin 21 （8）dx ex⎰+11令t e x = t x ln = 原式=dt tt ⎰+11令t u +=1 12-=u t =1)1(122--⎰du u u =du u u u⎰-)1(22=du u ⎰-1122=du u u ⎰-+)1)(1(12=du u u 1111212+--⨯⎰ =c u u +-+-11ln ln =c u u ++-11ln（9）分部积分法⎰exdx x 1ln=dx x x x e e x 2112211ln 21⋅-⋅⎰ =xdx e e⎰--1221)0(21=)(4121122e x e - =41412122+-e e =41412+e------------------------------------ 装 ------------------------------------ 订--------------------------------线--------------------------------------4.两船相距距离为S小时时距离最近。
高等数学复习资料
寄语：亲爱的学弟，学妹们。
期末将至，班主任助理小组为大家准备了一些关于高数的复习资料。
请大家做好考前准备，预祝大家取得优异的成绩。
亲~ 一定要看哦！ 考试内容、重点问题与方法（按照考试提纲总结的） 第一部分：函数极限的计算 （1） 函数值的计算 （2） 连续性的判断 （3） 未定式极限的求法 （4） 洛比达法则的应用 常用的极限公式non x x n n k x kn x x q q x n o=<===→-∞→∞→∞→lim )1|(|0lim 01lim 01lim1 )()(lim 1lim )0(1lim o n n x n n n n n x p x p n a a o==>=→∞→∞→)(0co lim sin lim )"1("1sin lim0为无穷小无穷小乘以有界函数仍极限===∞→∞→→x sx x x x x x x x e x e xen x x n =+=+=+→∞→∞→1x x n )1(lim )11(lim )11(lim 111sinlim 1sinlim 01sin lim 0===∞→∞→→xx x x x x x x x ∞=⋅==⋅=∞→∞→∞→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x lim 1sin lim 1sin lim 0lim 1sin lim 1sinlim 2020常见的等价无穷小xx xe x x x x x x x αα~1)1(~121~cos 1~tan ~sin 2-+-- x nx x x x x xx x x n1~1)1(~)1l n (21~1c o s~a r c t a n ~a r c s i n 12-++--第二部分：导数的计算 （1） 包括初等函数，隐函数及参数方程及抽象函数的一阶，二阶或高阶导数概念与求法；（2） 包括导数概念，几何意义以及连续、导数与微分的关系。
《高等数学》辅导材料1复习资料1
《高等数学》辅导材料1第一章、 函数与极限1、函数的定义、函数的二要素——表达式和定义域，两个函数相等的条件；2、函数的分类:分段函数、反函数、复合函数—他们的特点和要点；3、函数的极限的定义、性质和要点，特别是0x x →时的情况；4、 无穷小量和无穷大量的定义、无穷小量的性质、他们之间的关系、无穷小量的比较p23 (10)；5、函数极限的运算；6、极限存在定理；7、两个重要极限；结构和使用方法 p238、函数的连续性 定义、函数连续的三要素、间断（两类） 9、初等函数的连续性——5个性质连续函数的四则运算还是连续函数、连续函数的复合函数还是连续函数、最值定理、介值定理、根存在定理；—————————————————————————————————— 第二章、 导数与微分1、 导数的定义0limx y dy xdx∆→∆=∆、导数的意义、2、 函数的连续性与可导性的关系3、函数的求导法则导数的四则运算法则、反函数的求导法则、复合函数求导法则、隐函数求导法则、参数方程函数求导法则、高阶导数 4、 微分的定义、几何意义 5、 微分的求法、微分形式不变性 6、近似计算'()(0)(0)f x f f x=-和'000()()()()f x f x f x x x =--___________________________________________________________________________________________第三章、 导数的应用1、中值定理—罗尔定理、拉格朗日中值定理，柯西中值定理；注重他们的使用条件和特点 2、 罗比达法则两个无穷小量之比的极限、两个无穷大量之比的极限、 未定型的极限 0010∞∞∞-∞∞3、函数性态的研究2个定义、5个定理、三条渐近线极值的定义、拐点的定义、1单调性定理、2极值的判断定理、3两个极值的判定定理、凹凸性的判定定理。
同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章
同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章映射与函数一、集合一、集合二、映射二、映射三、函数四、小结三、函数同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章一、集合总体. 1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体集合组成这个集合的事物称为该集合的元素组成这个集合的事物称为该集合的元素. 元素a∈ M, ∈ a M, A = {a1 , a2 , , an }有限集M = { x x所具有的特征无限集}x . 若x ∈ A,则必∈ B, 就说A是B的子集记作A B.同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章数集分类: 数集分类N----自然数集自然数集Q----有理数集有理数集Z----整数集整数集R----实数集实数集数集间的关系: 数集间的关系N Z, Z Q, Q R.= A 若A B,且B A, 就称集合与B相等. ( A= B)例如A = {1,2},C = {x x2 3x + 2 = 0}, 则A= C. = 不含任何元素的集合称为空集空集. 不含任何元素的集合称为空集(记作)例如, 例如{ x x ∈ R, x + 1 = 0} = 2空集为任何集合的子集. 规定空集为任何集合的子集同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章集合的运算(1)集合的并), 设有集合A和B,由A和B的所有元素构成的集合的并，称为A 与B的并，记为A∪ B,即A∪ B = {x | x ∈ A或x ∈ B}(2)集合的交) 设有集合A和B,由A和B的所有公共元素构成的集合，的交，集合，称为A与B的交，记为A∩ B,即A∪ B = { x | x ∈ A且x ∈ B}同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章(3)集合的差)设有集合A和B,属于A而不属于B的所有元素构成的差，的集合，的集合，称为A与B的差，记为A B,即 A B = { x | x ∈ A且x B}(4)集合的补)的元素构成的集合，全集U中所有不属于A的元素构成的集合，称为A的补集，记为A' ,即的补集，A = { x | x ∈U且x A}'同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章集合的运算律(1)交换律：A∪ B = B ∪ A A∩ B = B ∩ A )交换律：( A∪ B) ∪C = A∪(B ∪C) (2)结合律：)结合律：( A∩ B) ∩C =A∩(B ∩C) ( A∪ B) ∩C = ( A∩C) ∪(B ∩C) (3)分配律：)分配律：( A∩ B) ∪C = ( A∪C) ∩(B ∪C)(4)摩根律：)摩根律：( A∪ B)' = A' ∩ B' ( A∩ B) = A ∪ B' ' '同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 2.区间:是指介于某两个实数之间的全体实数区间这两个实数叫做区间的端点. 这两个实数叫做区间的端点a, b ∈ R,且a b.{x a x b} 称为开区间记作(a, b) 称为开区间,o a x b 称为闭区间, {x a ≤ x ≤ b} 称为闭区间记作[a, b]oabx同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章{x a ≤ x b} {x a x ≤ b}称为半开区间, 称为半开区间记作[a, b) 称为半开区间, 称为半开区间记作(a, b] 有限区间[a,+∞) = {x a ≤ x}( ∞, b) = {x x b}无限区间oa obx x区间长度的定义: 区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度称为区间的长度两端点间的距离线段的长度)称为区间的长度线段的长度称为区间的长度.同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章3.邻域: 3.邻域: 设a与δ是两个实数, 且δ 0. 邻域{ 数集x x a δ }称为点a的δ邻域,点a叫做这邻域的中心, δ 叫做这邻域的半径 .Uδ (a) = {x a δ x a + δ }. δ δa a δ a+δ 0 点a的去心的邻域, 记作Uδ (a). δUδ (a) = { x 0 x aδ }.x同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章4.常量与变量: 4.常量与变量: 常量与变量在某过程中数值保持不变的量称为常量在某过程中数值保持不变的量称为常量, 常量而数值变化的量称为变量变量. 而数值变化的量称为变量注意常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量是相对“过程”而言的常量与变量的表示方法：常量与变量的表示方法：通常用字母a, 等表示常量, 通常用字母b, c等表示常量等表示常量用字母x, 等表示等表示变用字母y, t等表示变量.同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章a a≥0 a = a a 0 运算性质: 运算性质ab = a b;5.绝对值: 5.绝对值: 绝对值( a ≥ 0)a a = ;b b绝对值不等式: 绝对值不等式a b ≤ a ± b ≤ a + b.x ≤ a (a 0) x ≥ a (a 0)a ≤ x ≤ a;x ≥ a 或x ≤ a;同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章二、映射1 映射概念、是两个非空集合，设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则 f ,使得对于X中每个元素x,按法则 f 在Y中有唯使得对于与之对应，的映射，一确定的元素y与之对应，则 f 称为从X到Y的映射，记作f : X →Y 的像，其中y称为元素x 在映射f 下)的像，并记作 f (x), ( y = f (x) 即的一个原像；而元素x称为元素y 在映射 f 下)的一个原像；集( 的定义域，合X称为映射 f 的定义域，记作Df ,即Df = X ;X 的值域，中所有元素的像所组成的集合称为映射 f 的值域，记作Rf 或 f (X ) ,即Rf = f ( X ) = { f ( x) | x ∈ X}同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章从上述映射的定义中，需要注意的是：从上述映射的定义中，需要注意的是：(1)构成一个映射必须具备以下三个要素：集构成一个映射必须具备以下三个要素：合X,即定义域Df = X;集合Y ,即值域的范R ∈ 围： f Y;对应法则f ,使对每个x∈ X,有唯与之对应. 一确定的y = f (x)与之对应. (2)对每个x∈ X,元素x 的像y 是唯一的；而对是唯一的；x∈ ∈ 的原像不一定是唯一的；于每个y∈ Rf ,元素y 的原像不一定是唯一的；映射 f 的值域Rf 是Y 的一个子集，即Rf Y,不一定的一个子集，Rf = Y . 满射、满射、单射与双射同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章的映射，设f 是从集合X到集合Y的映射，若Rf = Y ,即Y中中某元素的像，任一元素y都是X中某元素的像，则称f为X到Y上的映射或满射；映射或满射；若对X中任意两个不同元素x1 ≠ x2 , 的单射；它们的像 f ( x1 ) ≠ f ( x2 ),则称f 为X到Y 的单射；若既是单射又是满射，为一一映射(或双射) 映射f 既是单射又是满射，则称f 为一一映射(或双射) 2.逆映射与复合映射2.逆映射与复合映射设 f 是从集合X到集合Y 的映射，则由定义，对每个的映射，则由定义，y∈ Rf 有唯一的x∈ X ,适合 f ( x) = y.于是，可以定∈ 于是，于是∈ 义一个从Rf 到X的新映射g ,即g : Rf → X ∈ 对每个y∈ Rf ,规定g( y) = x,这x 满足 f ( x) = y. 这个的逆映射，映射g称为 f 的逆映射，记作f 1,其定义域Df 1 = Rf, 值域Rf 1 = X同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章注意：只有单射才存在逆映射注意：只有单射才存在逆映射. 复合映射：复合映射：设有两个映射g : X →Y1, f :Y2 → Z 到其中Y1 Y2 .则有映射g和f 可以定义一个从X到Z 则有映射和∈ 的对应法则，它将每个x∈ X映成f [g( x)]∈ Z. 显然，的对应法则，显然，这个对应法则确定了一个从X到Z的映射，这个映射到的映射，和构成的复合映射，称为映射g和f 构成的复合映射，记作 f g,即f g : X → Z,注意：的定义域内，注意：g 的值域Rg 必须包含在f 的定义域内，即Rg Df同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章三、函数定义设数集D R,则称映射f : D → R为定义在D上的函数.上的函数. 量照定则总有即对于每个数x∈ D, 变y按一法∈确的值它应则y是x的数记作定数和对，称函，y = f (x)自变量因变量数集D叫做这个函数的叫做这个函数的定义域数集叫做这个函数的定义域x . 当x0 ∈ D时, 称f ( x0 )为函数在点0处的函数值函数值全体组成的数集W = { y y = f ( x), x ∈ D} 称为函数的值域.同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章函数的两要素: 定义域与对应法则. 函数的两要素: 定义域与对应法则x ((D对应法则f 对应法则x0)f ( x0 )自变量Wy)因变量约定: 约定定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值. 的一切实数值例如，例如，y = 1 x2 1 例如，例如，y = 1 x2D :[ 1,1]D : ( 1,1)同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章如果自变量在定y 义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，是只有一个，这种函W y 数叫做单值函数，数叫做单值函数，否则叫与多值函数. 则叫与多值函数.(x, y)xo例如，例如，x2 + y2 = a2.xD定义: 定义: 点集= {( x, y) y = f ( x), x ∈ D} 称为C. 函数y = f ( x)的图形同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章几个特殊的函数举例(1) 符号函数1 y1 y = sgn x = 0 1当x 0 当x = 0 当x 0o -1xx = sgn x x同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章(2) 取整函数y=[x][x]表示不超过x 的最大整数表示不超过4 3 2 1 oy-4 -3 -2 -11 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4阶梯曲线同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章(3) 狄利克雷函数1 当x是有理数时y = D( x) = 0 当x是无理数时y1。
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（B）连续且可微 （D）不连续不可微 ）.
2、若在 (a, b) 内恒有 f ( x ) 0 , f ( x ) 0 ，则在 (a, b) 内曲线弧 y f ( x ) 为（ （A）上升的凸弧 （C）上升的凹弧 （B）下降的凸弧 （D）下降的凹弧 ）
3、 “数列 xn 有界”是“数列 xn 有极限”的（ （A）充分非必要条件. （C）充分必要条件. 4、设 F ( x ) G ( x) ，则（ ）
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六、解微分方程（每小题 5 分，共 10 分） 1、求方程
dy 2 y ( x 1) 2 的通解 dx x 1
5
2、求方程 y 4 y 4 y 0 的满足初始条件 y
x 0
1 和 y
x 0
0 的特解．
七、证明题（共 5 分） 证明： arc tan x
（B）两个无穷大量之和必定是无穷大量. （D）若 f ( x ) 在某点连续，则 f ( x ) 在该点必有极限. ）
4、设 f ( x ) 在 (a, b) 可导， a x1 x2 b ，则至少有一点 (a, b) 使（ （A） f (b) f (a ) f ( )(b a ) （C） f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ) 二、填空题（每小题 3 分，共 12 分） 1、 x 0 是函数 y sin
3
2.当 x 0 时，与 2 x 5 x 等价的无穷小量是（ A. x ；
3
B. 2 x ；
2
C. x ；
2
3.若在 (a, b) 内恒有 f ( x ) 0 , f ( x) 0 ，则在 (a, b) 内曲线弧 y f ( x ) 为（ A.下降的凹弧； C.上升的凹弧； B.下降的凸弧； D.上升的凸弧. ）. D. 1 cos x . ）.
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五、求下列积分（每小题 6 分，共 12 分）. 1、
1 2 x
0
1
4
dx .
2、 xe x dx .
六、简答题（共 8 分） 求函数 f x x
4 的单调区间和极值. x
七、应用题（共 8 分）
1 1 求由抛物线 y＝ x 2 与它在点 1, 处的法线所围成图形的面积. 2 2
（B）必要非充分条件. （D）既不充分又不必要条件.
（A） F ( x ) G ( x) 为常数 （C） F ( x ) G ( x) 0 二、填空题（每小题 3 分，共 12 分）
（B） F ( x ) G ( x ) 为常数 （D）
d d F ( x )dx G ( x )dx dx dx
二、填空题.（每题 3 分，共 15 分） 1.设函数 y
arctan x ，则 x x( x 2)
是可去间断点.
1 x sin , x 0 2.设函数 f ( x) ， f ( x ) 在点 x 0 连续，则 a x a x 1, x 0
3.设 y f ( x ) ，已知 lim
x ln(1 tan x ) ，求 dy . sin x dx
2、求由方程 2 xy ln x e y ln 3 所确定的函数 y f ( x ) 的微分 dy ．
x a cos t d2y 3、求由参数方程 所确定的函数 y f ( x ) 的二阶导数 2 ． dx y b sin t
x sin
1 x a x4
x0 x0
在 x 0 处连续，则 a
.
1 tan x 2、 2 x 2 dx ＝ 1 x 1
.
3、
d
x cos xdx
dx
0 2
. （选择“收敛”或“发散” ）.
4、广义积分
1 dx 的收敛性是 x 1
复习资料 1
二级学院： 教 学 班： 行政班级： 任课教师： 学 姓 号： 名：
一、单项选择题（每小题 3 分，共 12 分） 1、设函数 y f x ，则下列错误的是（ ）.
（A）若 y f x 在 x0 可导,则它在 x0 必定可微 （B）若 y f x 在 x0 可微,则它在 x0 必定可导 （C）若 y f x 在 x0 可导,则它在 x0 必定连续 （D）若 y f x 在 x0 连续,则它在 x0 必定可导 2、若在 (a, b) 内恒有 f ( x ) 0 , f ( x) 0 ，则在 (a, b) 内曲线弧 y f ( x ) 为（ （A）上升的凹弧 （C）上升的凸弧 3、数列 xn 有界是其收敛的（ （A）充分非必要条件 （C）必要非充分条件 ）. （B）充分必要条件 （D）既不充分又不必要条件 ）. （B）下降的凸弧 （D）下降的凹弧 ）.
1
7
)
dx .
4、 2 x sin 2 xdx .
五、应用题（每小题 8 分，共 16 分） 1、判定曲线 y ln( x 2 1) 的凹凸性及求拐点.
2、求曲线 y sin x （0 x ）与直线 y 0 ，绕 x 轴旋转所得的旋转体的体积.
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2、若在 (a, b) 内恒有 f ( x ) 0 , f ( x) 0 ，则在 (a, b) 内曲线弧 y f ( x ) 为（ （A）下降的凹弧 （C）上升的凹弧 3、下列说法不正确的是（ ） （A）收敛的数列必有界. （C） f ( x ) 可导则必定可微. （B）下降的凸弧 （D）上升的凸弧
4.若 f ( x) 的导函数为 sin x ，则 f ( x) 的一个原函数是 （ A. 1 sin x ； B. 1 sin x ； C. 1 cos x ；
5.二阶常系数线性微分方程 y 8 y 12 y 0 的通解是（ A. y c1e2 x c2 e6 x ； C. y c1e 2 x c2e 6 x ； B. y c1e 2 x c2 e6 x ； D. y c1 cos 2 x c2 sin6 x .
.（只写出特解形式，不用求特
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三、求下列极限（每小题 7 分，共 21 分）
sin x 0 1
1、 lim
x0
(1 t ) t dt t dt sin t
. 2、
x 0
x 1 lim x x
3x
3、 lim (
x0
1 1 ) 2 x xtgx
arcsin
x 1 x2
( x ) .
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复习资料 3
二级学院： 教 学 班： 行政班级： 任课教师： 学 姓 号： 名：
一、单项选择题（每小题 2 分，共 8 分） 1、“ f ( x ) 在 x x0 左右连续” 是“ f ( x ) 在 x x0 可导”的（ （A）充分必要的条件 （C）必要且充分的条件 （B）必要非充分的条件 （D）既非必要又非充分的条件 ）. ）
4、微分方程 y 5 y 6 y xe2 x 的特解形式为 y * ＝（ （A） (a0 x a1 )e 2 x （C） x 2 (a0 x a1 )e 2 x （B） x(a0 x a1 )e2 x （D） xe 2 x
二、填空题（每小题 3 分，共 12 分）
1、设函数 f x
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八、解微分方程（每小题 5 分，共 10 分） 1、求方程 y 4 y 3 y 0 满足初始条件 y
x0
2 ， y
x0
6 的特解．
2、求方程
dy 2 y 4 x 2 的通解． dx x 2
九、证明题（共 5 分） 证明：若函数 f x 在 [0,1] 上连续，在 0,1 内存在二阶导数，且 f 0 f 1 0 ，设
四、求下列函数的微分或积分（每小题 7 分，共 28 分）.
t2 d2y x y y ( x ) 1、设函数 由参数方程 2 确定，求 dx 2 . y 1 t
2、 、已知
y 1 cos 2 x ，求 dy .
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3、
x(1 x
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3、
1 dx . x (1 x)
4、
0
xe x d .
五、应用题（第 1 小题 8 分，第 2 小题 9 分，共 17 分） 1、求函数 f x x3 3x 2 9 x 5 的单调区间和极值.
2、求直线 y 2 2 x 与抛物线 y 2 x 所围成图形的面积.
4、 lim
x
x 0
te t dt x2
2
四、求下列函数的微分或积分（每小题 7 分，共 28 分）. 1、已知函数 y
Hale Waihona Puke sin x x arctan
x dy ，求 . 3 dx
2、求由方程 2 y x ( x y ) ln( x y ) 所确定的函数 y f ( x ) 的微分 dy
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三、求下列极限（每小题 5 分，共 20 分）
sin(9 x 2 16) 1、 lim . x4 3x 4 3
2、
n2 lim n n 1
n
arctan x sin x (e x 1) 3、 lim x0 2 x 2 tan x
F x xf x ，则在 0,1 内至少存在一点 ，使 F 0