学而思讲义
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【例1】请画出拉力F的力臂、均匀杆的重力G及其力臂。
的力臂均匀杆的重力及其力臂物体重力示意图和力F的力臂。
图臂测量方便测量。
如图所示的四种用具中()如图所示的四种用具中，属于费力杠杆的是( )【例5】A．镊子B．钢丝钳C．核桃夹D．起子【例6】园艺师傅使用如图所示的剪刀修剪树枝时，常把树枝尽量往剪刀处靠近这样做的目的是为了轴O处靠近，这样做的目的是为了()A．增大阻力臂，减小动力移动的距离B．减小动力臂，减小动力移动的距离C．增大动力臂，省力【例7】如图所示，要把圆筒B推上台阶。
请在图中画出最小推力F。
【例8】如图所示，一位母亲推着婴儿车行走，当前轮遇到障碍物时，母亲向下按扶把，若把婴儿车视为障，，车杠杆，这时杠杆的支点是；当后轮遇到障碍物时，母亲向上抬起扶把，这时婴儿车可视为杠杆(填“省力”或“费力”)。
向不变将杠杆从位置的过程中力向不变，将杠杆从A位置匀速提升到B位置的过程中，力F将。
N。
挂(AO＝3OB)，当在B端挂一个重物时，木棒恰在水平位置平衡。
求此重物的质量是多少？则杆重N。
如果绳重摩擦及风的阻力不计那么在守如果绳重、摩擦及风的阻力不计，那么在守桥士兵将吊桥由水平位置缓慢拉至图中虚线竖置缓慢拉图中虚线直位置的过程中，L1，L2，填F L2。
(填大小变化)＝杠杆(自重不计)，已知AO2OB、固定O点，使OB处于水平位置，此时B端挂一重为40N的物体，要使杠杆不发生转动，至少需在A 端施加F＝___N的力。
时秤杆又处于平衡状态那么被测物体的质量为量为m 2时，秤杆又处于平衡状态。
那么，被测物体的质量为。
物体B ．物体A 受到的重力为3N C ．物体B 向右移动1小格格，物体A 受到的拉力增大2N D ．物体B 1物体向右移动小格，物体A 受到桌面的支持力减小1N。
学而思初二语文讲义练习题答案
学而思初二语文讲义练习题答案第一单元：走进语文世界1. 题目：语文学习的重要性答案：语文学习在我们的学习生活中起着重要的作用。
通过语文学习，我们可以提高我们的语言表达能力，培养我们的思维能力和创造力。
而且，语文学习还可以帮助我们更好地理解和欣赏文学作品，丰富我们的文化知识，提升我们的审美能力。
因此，我们应该重视语文学习，努力提高自己的语文素养。
2. 题目：语文学习的方法答案：语文学习的方法有很多种。
首先，我们可以通过阅读书籍来提高自己的语文水平。
阅读可以帮助我们扩大词汇量，提高阅读理解能力，培养我们的想象力和阅读兴趣。
其次，我们还可以通过写作来锻炼我们的表达能力。
写作可以帮助我们学会用语言准确地表达自己的思想和观点，提高我们的写作技巧和写作能力。
此外，语文学习还需要我们进行积累和总结。
我们可以通过做语文练习题、背诵古诗词等方式来积累知识，通过总结语文知识点和规律来提高自己的语文能力。
3. 题目：语文学习的乐趣答案：语文学习可以给我们带来很多乐趣。
首先，通过阅读文学作品，我们可以欣赏到优美的语言和精彩的故事，体验到阅读的快乐和惊喜。
阅读文学作品可以帮助我们拓展视野，感受到不同的文化和思想，丰富自己的内心世界。
其次，通过写作，我们可以把自己的思想和感受倾注在纸上，感受到文字的魔力和创造的快乐。
写作可以让我们更加深入地思考问题，提高我们的思维能力和逻辑思维能力。
第二单元：语言基础知识1. 题目：词的分类答案：词按照词性可以分为名词、动词、形容词、副词、代词、介词、连词和感叹词等。
名词是表示人、事、物、地点等具体或抽象的名称；动词是表示动作、状态或变化的词；形容词是描述名词的特征和性质的词；副词是描述动词、形容词、副词等的词；代词是用来代替名词的词；介词是用来表示关系的词；连词是连接句子或词语的词；感叹词是表示强烈感情或感叹的词。
2. 题目：词义辨析答案：词义辨析是指在理解和使用词语时，准确地选择和区分词语的不同意思。
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分数基本计算与比例初步内容提要：分数比例分数分数的概念把整体平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数如25表示把整体平均分成5份，占其中的2份分母表示把一个物体平均分成几份，分子是表示取其中的几份注意：分母不能为0分数的种类真分数：分子比分母小的分数，如2 3假分数：分子比分母大的分数，如3 2带分数：把假分数化成整数和真分数加在一起的分数，如32＝1＋2１＝112分数的性质1．分子和分母同时乘以或除以相同的数(0除外)，分数的大小不变如246369＝＝，8421005025＝＝2．约分与通分约分：分子分母同时除以公因数，如425025＝最简分数通分：把多个分数的分母变成一样，如224833412⨯⨯＝＝比较大小333944312⨯⨯＝＝注意：有时通分也可把分子变成一样3．分数的倒数倒数：乘积为1的两个数互为倒数分数：分子与分母的位置互换注意：0没有倒数分数和小数互化分数化小数：分子除以分母小数化分数：小数点后有1位数，2位数，3位数…，分母分别为10，100，1000…分子就是小数点后的数注意要化成最简分数如2250.4 5÷＝＝0.012＝123 1000250＝分数的运算1．加减法同分母加减法：分母不变，分子相加减，结果化为最简分数异分母加减法：先通分，变为分母相同的分数，分子再相加减如：347888＋＝23342761 917153153153 +=+=2．乘除法乘法：分子乘分子，分母乘分母如3312311 88882243⨯4⨯4=⨯====1⨯133123 8884010 443⨯4⨯=⨯===55⨯5除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数如33121 888242 343⨯4÷=⨯===43⨯3注意：分数的乘除法运算过程中可以先约分分数的四则混合运算的规律与整数一样特殊的约分连锁约分 整体约分连锁约分：4433221⨯⨯⨯=122⨯33⨯44⨯1=整体约分：3333123123246369123(123)13526103915135(123)⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯++＝＝33(123)⨯++13⨯335(123)⨯⨯++25＝我们来看看分数的乘除法 计算下列各式：28157549⨯＝__________；315711÷＝__________。
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计算常考题型与方法总结本讲学习任务：一、分数运算技巧二、叠分数运算三、放缩法求近似值板块一、分数运算⑴152531112 211113 3799111223⨯⨯⨯⨯⨯⨯⑵341344134441344444444134444444441 2389 275277527775277777777527777777775 +⨯+⨯++⨯+⨯(1)7121432381 379111223⨯⨯⨯⨯⨯=14(2) 例1计算：711471826213581333416⨯+⨯-÷例3(2008年“希望杯”五年级第2试) 计算：333111(128)(128)2008100425120081004251++÷++=201120112011200920092009()()2008100425120081004251++÷++=1112011()200810042511112009()20081004251⨯++⨯++=20112009例2计算：72772727327391()273273727727227-⨯=7271001273100191()27310017271001227⨯⨯-⨯⨯⨯ =72727391()273727227-⨯=2272727391()727273727273227-⨯⨯⨯=22(727273)91()727273227-⨯⨯=100045491727273227⨯⨯⨯=20002181例5计算：133.875380.090.1550.45418529112[(4.32 1.681)]116251173524⨯+⨯-÷+--⨯-÷+例4【阶段总结1】1.分数、小数四则混合运算： ①乘除法运算时：“带化假、除化乘，先约分、后运算”。
②注意运算顺序：括号＞乘除＞加减；把握好整体性。
2.平方差公式①计算22727273-时，由于两数和比较 “整”，平方差公式有奇效。
学而思讲义(乘法巧算)
乘法巧算精品文档
[乐乐带你课前测]
1. 鸡比鸭多10只，且鸡的数量是鸭的3倍，请问：鸭有多少只？
2.书架有两层，上面一层的书的数量是下面一层的2倍多4本，已知两层书架相差13本，那么一共有多少本书？
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3.大胖吃的包子的数量比小胖的4倍还多五个，已知大胖比小胖多吃了35个，那么小胖吃了多少个？
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速算思想：
（1）“整”比“散”好！
（2）“小”比“大”好！
（3）“乘”比“加”好！精品文档
课前活动
1.计算：
（1）2×5= （2）4×25= （3）8×125 （4）16×625=
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2.计算
（1）37×3= （2）37×27= 精品文档
3.计算
7×11×13 精品文档
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学而思寒假七年级尖子班讲义第1讲平行线四大模型(1)
目录Contents第1讲平行线四大模型 (1)第2讲实数三大概念 (17)第3讲平面直角坐标系 (33)第4讲坐标系与面积初步 (51)第5讲二元—次方程组进阶 (67)第6讲含参不等式（组） (79)1 平行线四大模型知识目标目标一熟练掌握平行线四大模型的证明目标二熟练掌握平行线四大模型的应用目标三掌握辅助线的构造方法，熟悉平行线四大模型的构造秋季回顾平行线的判定与性质l、平行线的判定根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行．判定方法l：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行，判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．另有平行公理推论也能证明两直线平行：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．2、平行线的性质利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质．性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称：两直线平行，内错角相等性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补本讲进阶平行线四大模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.巩固练习平行线四大模型证明（1）已知AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°.（2）已知∠P=∠AEP+∠CFP，求证AE∥CF．（3）已知AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP.（4）已知∠P= ∠CFP -∠AEP ,求证AE //CF .模块一平行线四大模型应用例1（1）如图，a∥b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠l+∠2+∠3= ．(2)如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是．(3)如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE =140°，则∠BCD= .(4) 如图，射线AC∥BD，∠A= 70°，∠B= 40°，则∠P= ．练(1)如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C= 20°，则∠EAB的度数为．(2) （七一中学2015-2016七下3月月考）如图，AB∥CD，∠B=30°，∠O=∠C．则∠C= .例2如图，已知AB∥DE，BF、 DF分别平分∠ABC、∠CDE，求∠C、∠F的关系.练如图，已知AB∥DE，∠FBC=∠ABF，∠FDC=∠FDE.(1)若n=2,直接写出∠C、∠F的关系；(2)若n=3，试探宄∠C、∠F的关系；(3)直接写出∠C、∠F的关系（用含n的等式表示）.例3如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．求证：∠E= 2 (∠A+∠C) .练如图，己知AB∥DE，BF、DF分别平分∠ABC、∠CDE，求∠C、∠F的关系.例4如图，∠3==∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D= 180°．练（武昌七校 2015-2016 七下期中）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠l+∠2= 90°，M、N分别是BA、 CD的延长线上的点，∠EAM和∠EDN 的平分线相交于点 F则∠F的度数为（）．A. 120°B. 135°C. 145°D. 150°模块二平行线四大模型构造例5如图，直线AB∥CD，∠EFA= 30°，∠FGH= 90°，∠HMN=30°，∠CNP= 50°，则∠GHM= .练如图，直线AB∥CD，∠EFG =100°，∠FGH =140°，则∠AEF+∠CHG= .例6已知∠B =25°，∠BCD=45°，∠CDE =30°，∠E=l0°，求证：AB∥EF．练已知AB∥EF，求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.(1)如图(l)，已知MA1∥NAn，探索∠A1、∠A2、…、∠An，∠B1、∠B2…∠Bn-1之间的关系．(2)如图(2)，己知MA1∥NA4，探索∠A1、∠A2、∠A3、∠A4，∠B1、∠B2之间的关系．(3)如图(3)，已知MA1∥NAn，探索∠A1、∠A2、…、∠An之间的关系．如图所示，两直线AB∥CD平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．挑战压轴题（粮道街2015—2016 七下期中）如图1，直线AB∥CD，P是截线MN上的一点，MN与CD、AB分别交于E、F．(1) 若∠EFB=55°，∠EDP= 30°，求∠MPD的度数；(2) 当点P在线段EF上运动时，∠CPD与∠ABP的平分线交于Q,问：是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围；(3) 当点P在线段EF的延长线上运动时，∠CDP与∠ABP的平分线交于Q，问的值足否定值，请在图2中将图形补充完整并说明理由．第一讲平行线四大模型（课后作业）1.如图，AB // CD // EF , EH⊥CD于H ,则∠BAC+∠ACE +∠CEH等于( ).A. 180°B. 270°C. 360°D. 450°2．（武昌七校2015-2016七下期中）若AB∥CD，∠CDF=∠CDE，∠ABF=∠ABE，则∠E：∠F=( )．A．2:1 B．3:1 C．4:3 D．3:23.如图3，己知AE∥BD，∠1=130°，∠2=30°，则∠C= .4.如图，已知直线AB∥CD，∠C =115°，∠A= 25°，则∠E= ．5．如阁所示，AB∥CD，∠l=l l0°，∠2=120°，则∠α= .6．如图所示，AB∥DF，∠D =116°，∠DCB=93°，则∠B= .7．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b.∠1=50°，∠2 =60°，则∠3的度数为 .8．如图，AB∥CD，EP⊥FP, 已知∠1=30°，∠2=20°．则∠F的度数为．9.如图，若AB∥CD，∠BEF=70°，求∠B+∠F+∠C的度数.10．已知，直线AB∥CD．(1)如图l，∠A、∠C、∠AEC之间有什么关系？请说明理由；（2）如图2，∠AEF、∠EFC、∠FCD之间有什么关系？请说明理由；(3)如图3，∠A、∠E、∠F、∠G、∠H、∠O、∠C之间的关是 .。
乐读优课 学而思 讲义
乐读优课学而思讲义乐读优课是学而思教育集团旗下的在线学习平台，致力于提供高质量的教育资源和优质的教学体验。
作为学而思的核心产品之一，乐读优课的讲义扮演着重要的角色，为学生们提供全面而系统的学习资料。
本文将深入探讨乐读优课讲义的特色以及如何提升学生的学习效果。
第一部分：乐读优课讲义的特色乐读优课的讲义具有以下几个显著特点：1.全面系统的知识点：乐读优课的讲义准确覆盖了各个学科、各个年级的知识点，帮助学生建立起全面系统的学科知识体系。
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图文并茂的设计给学生带来视觉和感性上的享受，让学习过程更加生动有趣。
3.重点难点的剖析与解析：乐读优课的讲义对于每一个知识点都进行了深入的剖析与解析，针对学生容易理解和掌握困难的部分进行详细的解释和举例说明。
通过这种方式，讲义帮助学生克服学习中的难点，加深对知识的理解，提高学习效果。
第二部分：如何利用乐读优课讲义提高学习效果除了概述乐读优课讲义的特色外，本节将重点介绍如何利用讲义提高学生的学习效果。
1.认真阅读和理解：学生在使用乐读优课的讲义时应该养成认真阅读和理解的习惯。
每当学习一个新的知识点时，学生应该仔细阅读讲义中对应部分的内容，理解概念、原理和相关例题，确保掌握知识的核心内容。
2.做好笔记与总结：在阅读讲义的过程中，学生可以结合自己的理解和思考，做好笔记与总结。
可以记录关键性的知识点，整理一些重要的例题和解题思路，方便后期的复习和巩固。
通过做好笔记与总结，学生不仅可以提高记忆效果，还可以加深对知识的理解。
3.多做习题巩固知识：乐读优课的讲义中通常会配有大量的习题，学生可以利用这些习题进行复习与巩固。
在解题过程中，学生可以通过思考、分析和比对，找出解题的关键方法和技巧。
学而思讲义四年级数学第一讲：整数与数列.pdf
第一讲 整数与数列一、复习等差数列1、通项公式:什么时候用？——知道首项和公差，求某一项 第n 项=首项+公差×（n-1）2、项数公式：什么时候用？——知道首项、末项及公差，求项数 项数=（末项-首项）÷公差+13、求和公式（高斯公式）：什么时候用？——任何一个等差数列求和和=（首项+末项）×项数÷2辅助记忆：装皮鞋4、中项公式：什么时候用？——对于容易找到中项的等差数列求和 和=中项×项数 注意：高斯公式与中项公式的联系高斯公式：和=（首项+末项）×项数÷2二、常用公式 1、从1开始连续奇数求和=项数2即：1 + 3 + 5 + 7 + … +（2n-1）= n 2图示：2、金字塔数列=中项2 即：1 + 2 + 3 + … +（n-1）+ n +（n-1）+ … + 3 + 2 + 1 = n 2图示：1 3 5 7 9四年级秋季班（七级下） 1.2 三、平方差公式：a 2 - b 2=（a+b）×（a-b）……两数平方差=两数和×两数差几何证明：a 2 -b 2表示的是图中大正方形减去黑色小正方形后的空白部分的面积，沿虚线将空白部分减成两部分再拼接起来，即为一个长方形的面积。
该长方形长为a+b，宽为a-b，面积为（a+b）×（a-b），得证。
特例: 两数相差为1，其平方差就是两数和372-362=（37+36）×（37-36）=37+36四、平方差公式拓展：（逆向思维）既然平方差=和×差，那么两个数相乘能否转化为平方差的形式呢？1、若两数的奇偶性相同，则这两数的乘积可化为平方差的形式。
如：41×3941=a+b，39=a-b ，利用和差公式即可算出a=40，b=1（a 即是41与39的平均数）所以 41×39=（40+1）×（40-1）=402-122、进而，若两数相差不大，且两数和为整十整百时，乘积改写为平方差可简化计算如：68×72=（70-2）×（70+2）=702-22=4900-4=4896五、自然数列的平方和公式12+22+32+…+n 2=n（n+1）（2n+1）÷6图示证明：a b 12 23 3 3 ……n n n …左边的正三角形即为自然数列的平方和，将其翻转两次得到右边的两个三角形数表。
学而思七年级学培优讲义word版(全年级章节培优-绝对经典)
第1讲 与有理数有关的概念 考点·方法·破译1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想.3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克 【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克.【变式题组】01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ） A ． －18% B ． －8% C ． ＋2% D ． ＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( ) A ． －5吨 B ． ＋5吨 C ． －3吨 D ． ＋3吨 03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间l5：00，纽约时问是____【例２】在－227，π，0.033.3这四个数中有理数的个数（ )A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；按整数、分数分类，有理数⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227是分数0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ． 【变式题组】01．在7，0．1 5，－12，－301.31.25，－18，100.l ，－3 001中，负分数为 ，整数为 ，正整数 .02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置 15，－19，215，－138，0.1．－5.32，123, 2.333【例３】（宁夏）有一列数为－1，12，－13，14．－15，16，…，找规律到第2007个数是 .【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．击归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个负数，故答案为－12007.【变式题组】 01．（湖北宜宾）数学解密：第一个数是3＝2 ＋1，第二个数是5＝3 ＋2，第三个数是9＝5＋4，第四十数是17＝9＋8…观察并精想第六个数是 . 02．（毕节）毕选哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则？填____. 03．（茂名）有一组数l ，2，5，10，17，26…请观察规律，则第8个数为____. 【例４】（2008年河北张家口）若l ＋m 2的相反数是－3，则m 的相反数是____.【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫互为相反数，本题m2＝－4,m ＝－8【变式题组】01．（四川宜宾）－5的相反数是( ) A ．5 B ． 15 C ． －5 D ． －1502．已知a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，则a ＋b ＋cd ＝______03．如图为一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A 、B 、C 内分别填人适当的数，使得它们折成正方体.若相对的面上的两个数互为相反数，则填人正方形A 、B 、C 内的三个数依次为( )A ． － 1 ,2，0B ． 0，－2，1C ． －2，0，1D ． 2，1，0 【例５】（湖北）a 、b 为有理数，且a ＞0，b ＜0，|b|＞a ，则a,b 、－a,－b 的大小顺序是( ) A ． b ＜－a ＜a ＜－b B ． –a ＜b ＜a ＜－b C ． –b ＜a ＜－a ＜b D ． –a ＜a ＜－b ＜b【解法指导】理解绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示a 的点到原点的距离,即|a|,用式子表示为|a|＝0)0(0)(0)a a a a a >⎧⎪=⎨⎪-<⎩(.本题注意数形结合思想，画一条数轴标出a 、b,依相反数的意义标出－b,－a,故选A ．【变式题组】 01．推理①若a ＝b ，则|a|＝|b|；②若|a|＝|b|，则a ＝b ；③若a ≠b ，则|a |≠|b|；④若|a |≠|b|，则a ≠b ，其中正确的个数为（ ）A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个02．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，则|a|a ＋|b|b ＋|c|c ＝ .03．a 、b 、c 为不等于O 的有理散，则a |a|＋b |b|＋c|c|的值可能是____.【例６】（江西课改）已知|a －4|＋|b －8|＝0，则a+bab的值.【解法指导】本题主要考查绝对值概念的运用，因为任何有理数a 的绝对值都是非负数，即|a |≥0．所以|a －4|≥0，|b －8|≥0.而两个非负数之和为0，则两数均为0.解：因为|a －4|≥0，|b －8|≥0，又|a －4|＋|b －8|＝0，∴|a －4|＝0，|b －8|＝0即a －4＝0，b －8＝0，a ＝4，b ＝8.故a+b ab ＝1232＝38【变式题组】01．已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a ＞b ＞c ，求a ＋b ＋C ． 02．（毕节）若|m －3|＋|n ＋2|＝0，则m ＋2n 的值为( ) A ． －4 B ． －1 C ． 0 D ． 403．已知|a|＝8，|b|＝2，且|a －b|＝b －a ，求a 和b 的值 【例７】（第l8届迎春杯）已知(m ＋n)2＋|m|＝m ，且|2m －n －2|＝0．求mn 的值．【解法指导】本例关键是通过分析(m ＋n)2＋|m|的符号，挖掘出m 的符号特征,从而把问题转化为(m ＋n)2＝0，|2m －n －2|＝0，找到解题途径. 解：∵(m ＋n )2≥0，|m |≥O∴(m ＋n)2＋|m |≥0，而(m ＋n)2＋|m|＝m ∴ m ≥0,∴(m ＋n)2＋m ＝m ，即(m ＋n)2＝0 ∴m ＋n ＝O ① 又∵|2m －n －2|＝0 ∴2m －n －2＝0 ②由①②得m ＝23，n ＝－23，∴ mn ＝－49【变式题组】01．已知(a ＋b)2＋|b ＋5|＝b ＋5且|2a －b –l|＝0，求a －B ． 02．（第16届迎春杯）已知y ＝|x －a|＋|x ＋19|＋|x －a －96|，如果19＜a ＜96．a ≤x ≤96,求y 的最大值. 演练巩固·反馈提高01．观察下列有规律的数12,16,112,120,130,142…根据其规律可知第9个数是( )A ．156 B ． 172 C ． 190 D ． 111002．（芜湖）－6的绝对值是( )A ． 6B ． －6C ． 16D ． －1603．在－227,π,8..0.3四个数中，有理数的个数为( )A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 04．若一个数的相反数为a ＋b ，则这个数是( )A ． a －bB ． b －aC ． –a ＋bD ． –a －b05．数轴上表示互为相反数的两点之间距离是6，这两个数是( ) A ． 0和6 B ． 0和－6 C ． 3和－3 D ． 0和3 06．若－a 不是负数，则a( )A ． 是正数B ． 不是负数C ． 是负数D ． 不是正数 07．下列结论中，正确的是( )①若a ＝b,则|a|＝|b| ②若a ＝－b,则|a|＝|b| ③若|a|＝|b|，则a ＝－b ④若|a|＝|b|,则a ＝bA ． ①②B ． ③④C ． ①④D ． ②③08．有理数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示,则a 、b ，－a ，|b|的大小关系正确 的是( )A ． |b|＞a ＞－a ＞bB ． |b| ＞b ＞a ＞－aC ． a ＞|b|＞b ＞－aD ． a ＞|b|＞－a ＞b09．一个数在数轴上所对应的点向右移动5个单位后，得到它的相反数的对应点，则这个数是____.10．已知|x ＋2|＋|y ＋2|＝0，则xy ＝____.11．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，求|a|a ＋|b|b ＋|abc|abc ＋|c|c12．若三个不相等的有理数可以表示为1、a 、a ＋b 也可以表示成0、b 、ba 的形式，试求a 、b 的值.13．已知|a|＝4，|b|＝5，|c|＝6，且a ＞b ＞c ，求a ＋b －C ．14．|a|具有非负性，也有最小值为0，试讨论：当x 为有理数时，|x －l|＋|x －3|有没有最小值，如果有，求出最小值；如果没有，说明理由.15．点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a－b| 当A、B两点都不在原点时有以下三种情况:①如图2，点A、B都在原点的右边|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；②如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－(－a)＝|a－b|；③如图4，点A、B在原点的两边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－（－a）＝|a－b|；综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a－b|．回答下列问题:⑴数轴上表示2和5的两点之间的距离是, 数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是, 3，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是 4；⑵数轴上表示x和－1的两点分别是点A和B，则A、B之间的距离是|x+1|，如果|AB|＝2，那么x＝1或3；⑶当代数式|x＋1|＋|x－2|取最小值时，相应的x的取值范围是7．培优升级·奥赛检测01．（重庆市竞赛题）在数轴上任取一条长度为199919的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是( )A ． 1998B ． 1999C ． 2000D ． 2001 02．（第l8届希望杯邀请赛试题）在数轴上和有理数a 、b 、c 对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①abc ＜0;②|a －b|＋|b －c|＝|a －c|；③（a －b ）(b －c)(c －a)＞0；④|a|＜1－bc ．其中正确的结论有( )A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个03．如果a 、b 、c 是非零有理数，且a ＋b ＋c ＝0．那么a |a|＋b |b|＋c |c|＋abc|abc|的所有可能的值为（ ）A ． －1B ． 1或－1C ． 2或－2D ． 0或－2 04．已知|m|＝－m ，化简|m －l|－|m －2|所得结果( )A ． －1B ． 1C ． 2m －3D ． 3－ 2m05．如果0＜p ＜15，那么代数式|x －p|＋|x －15|＋|x －p －15|在p ≤x ≤15的最小值( ) A ． 30 B ． 0 C ． 15 D ． 一个与p 有关的代数式 06．|x ＋1|＋|x －2|＋|x －3|的最小值为 .07．若a ＞0，b ＜0，使|x －a|＋|x －b|＝a －b 成立的x 取值范围 . 08．（武汉市选拔赛试题）非零整数m 、n 满足|m|＋|n|－5＝0所有这样的整数组(m ，n)共有 组09．若非零有理数m 、n 、p 满足|m|m ＋|n|n ＋|p|p ＝1．则2mnp|3mnp|＝ .10．（19届希望杯试题）试求|x －1|＋|x －2|＋|x －3|＋…＋|x －1997|的最小值.11．已知(|x ＋l|＋|x －2|)（|y －2|＋|y ＋1|）（|z －3|＋|z ＋l|）＝36，求x ＋2y ＋3的最大值和最小值.12．电子跳蚤落在数轴上的某点k0，第一步从k0向左跳1个单位得k1，第二步由k1向右跳2个单位到k2，第三步由k2向左跳3个单位到k3，第四步由k3向右跳4个单位到k4…按以上规律跳100步时，电子跳蚤落在数轴上的点k100新表示的数恰好19.94，试求k0所表示的数.13．某城镇，沿环形路上依次排列有五所小学，它们顺扶有电脑15台、7台、1l台、3台，14台，为使各学校里电脑数相同，允许一些小学向相邻小学调出电脑，问怎样调配才能使调出的电脑总台数最小？并求出调出电脑的最少总台数.第02讲有理数的加减法考点·方法·破译1．理解有理数加法法则，了解有理数加法的实际意义.2．准确运用有理数加法法则进行运算，能将实际问题转化为有理数的加法运算.3．理解有理数减法与加法的转换关系，会用有理数减法解决生活中的实际问题.4．会把加减混合运算统一成加法运算，并能准确求和.经典·考题·赏析【例１】（河北唐山）某天股票A开盘价18元，上午11:30跌了1.5元，下午收盘时又涨了0.3元，则股票A这天的收盘价为（）A．0.3元B．16.2元C．16.8元D．18元【解法指导】将实际问题转化为有理数的加法运算时，首先将具有相反意义的量确定一个为正，另一个为负，其次在计算时正确选择加法法则，是同号相加，取相同符号并用绝对值相加，是异号相加，取绝对值较大符号，并用较大绝对值减去较小绝对值.解：18＋（－1.5）＋（0.3）＝16.8，故选C．【变式题组】01．今年陕西省元月份某一天的天气预报中，延安市最低气温为－6℃，西安市最低气温2℃，这一天延安市的最低气温比西安低（）A．8℃B．－8℃C．6℃D．2℃02．（河南）飞机的高度为2400米，上升250米，又下降了327米，这是飞机的高度为__________03．（浙江）珠穆朗玛峰海拔8848m，吐鲁番海拔高度为－155 m，则它们的平均海拔高度为__________【例２】计算（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）【解法指导】应用加法运算简化运算，－83与－17相加可得整百的数，＋26与－26互为相反数，相加为0，有理数加法常见技巧有：⑴互为相反数结合一起；⑵相加得整数结合一起；⑶同分母的分数或容易通分的分数结合一起；⑷相同符号的数结合一起.解：（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）＝[（－83）＋（－17）]＋[（＋26）＋（－26）]＋15＝（－100）＋15＝－85【变式题组】01．（－2.5）＋（－312）＋（－134）＋（－114）02．（－13.6）＋0.26＋（－2.7）＋（－1.06）03．0.125＋314＋（－318）＋1123＋（－0.25）132164116181412-a-b0b a【例３】计算111112233420082009++++⨯⨯⨯⨯【解法指导】依111(1)1n n n n =-++进行裂项，然后邻项相消进行化简求和.解：原式＝1111111(1)()()()2233420082009-+-+-++-＝111111112233420082009-+-+-++-＝112009-＝20082009【变式题组】01．计算1＋（－2）＋3＋（－4）＋ … ＋99＋（－100）02．如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的长方形，接着把面积为12的长方形等分成两个面积为14的正方形，再把面积为14的正方形等分成两个面积为18的长方形，如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算11111111248163264128256+++++++＝__________.【例４】如果a ＜0，b ＞0，a ＋b ＜0，那么下列关系中正确的是（ ） A ．a ＞b ＞－b ＞－a B ．a ＞－a ＞b ＞－b C ．b ＞a ＞－b ＞－a D ．－a ＞b ＞－b ＞a【解法指导】紧扣有理数加法法则，由两加数及其和的符号，确定两加数的绝对值的大小，然后根据相反数的关系将它们在同一数轴上表示出来，即可得出结论. 解：∵a ＜0，b ＞0，∴a ＋b 是异号两数之和又a ＋b ＜0，∴a 、b 中负数的绝对值较大，∴| a |＞| b |将a 、b 、－a 、－b 表示在同一数轴上，如图，则它们的大小关系是－a ＞b ＞－b ＞a 【变式题组】01．若m＞0，n＜0，且| m |＞| n |，则m＋n ________ 0.（填＞、＜号）02．若m＜0，n＞0，且| m |＞| n |，则m＋n ________ 0.（填＞、＜号）03．已知a＜0，b＞0，c＜0，且| c |＞| b |＞| a |，试比较a、b、c、a＋b、a＋c的大小【例５】425－（－33311）－（－1.6）－（－21811）【解法指导】有理数减法的运算步骤：⑴依有理数的减法法则，把减号变为加号，并把减数变为它的相反数；⑵利用有理数的加法法则进行运算.解：425－（－33311）－（－1.6）－（－21811）＝425＋33311＋1.6＋21811＝4.4＋1.6＋（33311＋21811）＝6＋55＝61【变式题组】01．21511 ()()()()(1) 32632 --+---+-+02．434－（＋3.85）－（－314）＋（－3.15）03．178－87.21－（－43221）＋1531921－12.79【例６】试看下面一列数：25、23、21、19…⑴观察这列数，猜想第10个数是多少？第n个数是多少？⑵这列数中有多少个数是正数？从第几个数开始是负数？⑶求这列数中所有正数的和.【解法指导】寻找一系列数的规律，应该从特殊到一般，找到前面几个数的规律，通过观察推理、猜想出第n个数的规律，再用其它的数来验证.解：⑴第10个数为7，第n个数为25－2(n－1)⑵∵n＝13时，25－2(13－1)＝1，n＝14时，25－2(14－1)＝－1故这列数有13个数为正数，从第14个数开始就是负数.⑶这列数中的正数为25,23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1，其和＝（25＋1）＋（23＋3）＋…＋（15＋11）＋13＝26×6＋13＝169【变式题组】01．(杭州)观察下列等式1－12＝12，2－25＝85，3－310＝2710，4－417＝6417…依你发现的规律，解答下列问题.⑴写出第5个等式；⑵第10个等式右边的分数的分子与分母的和是多少？02．观察下列等式的规律9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20⑴用关于n（n≥1的自然数）的等式表示这个规律；⑵当这个等式的右边等于2008时求n.【例７】（第十届希望杯竞赛试题）求12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋（15＋25＋35＋45）＋…＋（150＋250＋…＋4850＋4950）【解法指导】观察式中数的特点发现：若括号内在加上相同的数均可合并成1，由此我们采取将原式倒序后与原式相加，这样极大简化计算了.解：设S＝12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋…＋（150＋250＋…＋4850＋4950）则有S＝12＋（23＋13）＋（34＋24＋14）＋…＋（4950＋4850＋…＋250＋150）将原式和倒序再相加得2S＝12＋12＋（13＋23＋23＋13）＋（14＋24＋34＋34＋24＋14）＋…＋（150＋250＋…＋4850＋4950＋4950＋4850＋…＋250＋150）即2S＝1＋2＋3＋4＋…＋49＝49(491)2⨯+＝1225∴S＝1225 2【变式题组】01．计算2－22－23－24－25－26－27－28－29＋21002．（第8届希望杯试题）计算（1－12－13－…－12003）（12＋13＋14＋…＋12003＋12004）－（1－12－13－…－12004）（12＋13＋14＋…＋12003）演练巩固·反馈提高01．m是有理数，则m＋|m|（）A．可能是负数B．不可能是负数C．比是正数D．可能是正数，也可能是负数02．如果|a|＝3，|b|＝2，那么|a＋b|为（）A． 5 B．1 C．1或5 D．±1或±503．在1，－1，－2这三个数中，任意两数之和的最大值是（）A． 1 B．0 C．－1 D．－304．两个有理数的和是正数，下面说法中正确的是（）A．两数一定都是正数B．两数都不为0C．至少有一个为负数D．至少有一个为正数05．下列等式一定成立的是（）A．|x|－x ＝0 B．－x－x ＝0 C．|x|＋|－x| ＝0 D．|x|－|x|＝006．一天早晨的气温是－6℃，中午又上升了10℃，午间又下降了8℃，则午夜气温是（）A．－4℃B．4℃C．－3℃D．－5℃07．若a＜0，则|a－(－a)|等于（）A．－a B．0 C．2a D．－2a08．设x是不等于0的有理数，则||||2x xx-值为（）A．0或1 B．0或2 C．0或－1 D．0或－2 09．（济南）2＋(－2)的值为__________10．用含绝对值的式子表示下列各式：⑴若a＜0，b＞0,则b－a＝__________，a－b＝__________⑵若a＞b＞0，则|a－b|＝__________⑶若a＜b＜0，则a－b＝__________11．计算下列各题：⑴23＋（－27）＋9＋5 ⑵－5.4＋0.2－0.6＋0.35－0.25⑶－0.5－314＋2.75－712⑷33.1－10.7－（－22.9）－|－2310|12．计算1－3＋5－7＋9－11＋…＋97－9913．某检修小组乘汽车沿公路检修线路，规定前进为正，后退为负，某天从A地出发到收工时所走的路线（单位：千米）为：＋10，－3，＋4，－2，－8，＋13，－7，＋12，＋7，＋5⑴问收工时距离A地多远？⑵若每千米耗油0.2千克，问从A地出发到收工时共耗油多少千克？14．将1997减去它的12，再减去余下的13，再减去余下的14，再减去余下的15……以此类推，直到最后减去余下的11997，最后的得数是多少？15．独特的埃及分数：埃及同中国一样，也是世界著名的文明古国，古代埃及人处理分数与众不同，他们一般只使用分子为1的分数，例如13＋115来表示25，用14＋17＋128表示37等等.现有90个埃及分数：12，13，14，15， (1)90，191，你能从中挑出10个，加上正、负号，使它们的和等于－1吗？培优升级·奥赛检测01．（第16届希望杯邀请赛试题）1234141524682830-+-+-+-+-+-+-等于（ ） A ．14B ．14-C ．12D ．12-02．自然数a 、b 、c 、d 满足21a ＋21b ＋21c ＋21d ＝1，则31a ＋41b ＋51c ＋61d 等于（ ） A ．18B ．316C ．732D ．156403．（第17届希望杯邀请赛试题）a 、b 、c 、d 是互不相等的正整数，且abcd ＝441，则a ＋b ＋c ＋d 值是（ ） A ．30 B ．32 C ．34 D ．3604．（第7届希望杯试题）若a ＝1995199519961996，b ＝1996199619971997，c ＝1997199719981998，则a 、b 、c大小关系是（ ）256320152010512161584124109826543215343332313A ．a ＜b ＜c B ．b ＜c ＜a C ．c ＜b ＜a D ．a ＜c ＜b05．11111(1)(1)(1)(1)(1)1324351998200019992001+++++⨯⨯⨯⨯⨯的值得整数部分为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 06．(－2)2004＋3×(－2)2003的值为（ ） A ．－22003 B ．22003 C ．－22004 D ．2200407．（希望杯邀请赛试题）若|m|＝m ＋1，则(4m ＋1)2004＝__________08．12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋ … ＋（160＋260＋…＋5960）＝__________ 09．19191976767676761919-＝__________10．1＋2－22－23－24－25－26－27－28－29＋210＝__________ 11．求32001×72002×132003所得数的末位数字为__________ 12．已知(a ＋b)2＋|b ＋5|＝b ＋5，且|2a －b －1|＝0，求aB ．13．计算(11998－1)(11997－1) (11996－1) … (11001－1) (11000－1)14．请你从下表归纳出13＋23＋33＋43＋…＋n3的公式并计算出13＋23＋33＋43＋…＋1003的值.第03讲 有理数的乘除、乘方考点·方法·破译1．理解有理数的乘法法则以及运算律，能运用乘法法则准确地进行有理数的乘法运算，会利用运算律简化乘法运算.2．掌握倒数的概念，会运用倒数的性质简化运算.3．了解有理数除法的意义，掌握有理数的除法法则，熟练进行有理数的除法运算.4．掌握有理数乘除法混合运算的顺序，以及四则混合运算的步骤，熟练进行有理数的混合运算.5．理解有理数乘方的意义，掌握有理数乘方运算的符号法则，进一步掌握有理数的混合运算.经典·考题·赏析【例１】计算⑴11()24⨯-⑵1124⨯⑶11()()24-⨯-⑷25000⨯⑸3713 ()()(1)() 5697 -⨯-⨯⨯-【解法指导】掌握有理数乘法法则，正确运用法则，一是要体会并掌握乘法的符号规律，二是细心、稳妥、层次清楚，即先确定积的符号，后计算绝对值的积.解：⑴11111 ()() 24248⨯-=-⨯=-⑵11111() 24248⨯=⨯=⑶11111 ()()() 24248 -⨯-=+⨯=⑷250000⨯=⑸3713371031 ()()(1)()() 569756973 -⨯-⨯⨯-=-⨯⨯⨯=-【变式题组】01．⑴(5)(6)-⨯-⑵11()124-⨯⑶(8)(3.76)(0.125)-⨯⨯-⑷(3)(1)2(6)0(2)-⨯-⨯⨯-⨯⨯-⑸111112(2111)42612-⨯-+-02．24(9)5025-⨯3．1111(2345)()2345⨯⨯⨯⨯---04．111 (5)323(6)3333 -⨯+⨯+-⨯【例２】已知两个有理数a、b，如果ab＜0，且a＋b＜0，那么（）A．a＞0，b＜0 B．a＜0，b＞0C．a、b异号D．a、b异号且负数的绝对值较大【解法指导】依有理数乘法法则，异号为负，故a、b异号，又依加法法则，异号相加取绝对值较大数的符号，可得出判断.解：由ab＜0知a、b异号，又由a＋b＜0，可知异号两数之和为负，依加法法则得负数的绝对值较大，选D．【变式题组】01．若a＋b＋c＝0，且b＜c＜0，则下列各式中，错误的是（）A．a＋b＞0 B．b＋c＜0 C．ab＋ac＞0 D．a＋bc＞002．已知a＋b＞0，a－b＜0，ab＜0，则a___________0，b___________0，|a|___________|b|.03．(山东烟台)如果a＋b＜0，ba>，则下列结论成立的是（）A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＞0 04．(广州)下列命题正确的是（）A．若ab＞0，则a＞0，b＞0 B．若ab＜0，则a＜0，b＜0C．若ab＝0，则a＝0或b＝0 D．若ab＝0，则a＝0且b＝0 【例３】计算⑴(72)(18)-÷-⑵11(2)3÷-⑶13()()1025-÷⑷0(7)÷-【解法指导】进行有理数除法运算时，若不能整除，应用法则1，先把除法转化成乘法，再确定符号，然后把绝对值相乘，要注意除法与乘法互为逆运算.若能整除，应用法则2，可直接确定符号，再把绝对值相除.解：⑴(72)(18)72184 -÷-=÷=⑵1733 1(2)1()1()3377÷-=÷-=⨯-=-⑶131255 ()()()() 10251036 -÷=-⨯=-⑷0(7)0÷-=【变式题组】01．⑴(32)(8)-÷-⑵112(1)36÷-⑶10(2)3÷-⑷13()(1)78÷-02．⑴12933÷⨯⑵311()(3)(1)3524-⨯-÷-÷⑶530()35÷-⨯03．113()(10.2)(3) 245÷-+-÷⨯-【例４】（茂名）若实数a、b满足a ba b+=，则abab＝___________.【解法指导】依绝对值意义进行分类讨论，得出a、b的取值范围，进一步代入结论得出结果.解：当ab＞0，2(0,0)2(0,0)a ba ba ba b>>⎧+=⎨-<<⎩；当ab＜0，a ba b+=，∴ab＜0，从而abab＝－1.【变式题组】01．若k是有理数，则(|k|＋k)÷k的结果是（）A．正数B．0 C．负数D．非负数02．若A．b都是非零有理数，那么aba ba b ab++的值是多少？03．如果x yx y+=，试比较xy-与xy的大小.【例５】已知223(2),1 x y=-=-⑴求2008xy的值；⑵求32008xy的值.【解法指导】na表示n个a相乘，根据乘方的符号法则，如果a为正数，正数的任何次幂都是正数，如果a是负数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.解：∵223(2),1 x y=-=-⑴当2,1x y==-时，200820082(1)2xy=-=当2,1x y=-=-时，20082008(2)(1)2xy=-⨯-=-⑵当2,1x y ==-时，332008200828(1)x y ==- 当2,1x y =-=-时，3320082008(2)8(1)x y -==--【变式题组】 01．（北京）若2(2)0m n m -+-=，则nm 的值是___________.02．已知x 、y 互为倒数，且绝对值相等，求()n nx y --的值，这里n 是正整数.【例６】（安徽）2007年我省为135万名农村中小学生免费提供教科书，减轻了农民的负担，135万用科学记数法表示为（ ）A ．0.135×106B ．1.35×106C ．0.135×107D ．1.35×107 【解法指导】将一个数表示为科学记数法的a×10n 的形式，其中a 的整数位数是1位.故答案选B ．【变式题组】 01．（武汉）武汉市今年约有103000名学生参加中考，103000用科学记数法表示为（ ） A ．1.03×105 B ．0.103×105 C ．10.3×104 D ．103×103 02．（沈阳）沈阳市计划从2008年到2012年新增林地面积253万亩，253万亩用科学记数法表示正确的是（ ）A ．25.3×105亩B ．2.53×106亩C ．253×104亩D ．2.53×107亩 【例７】（上海竞赛）222222221299110050002200500010050009999005000k k k ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-+-+-+-+【解法指导】找出21005000k k -+的通项公式＝22(50)50k -+原式＝2222222222221299(150)50(250)50(50)50(9950)50k k ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-+-+-+-+ ＝222222222222199298[][](150)50(9950)50(250)50(9850)50++++⋅⋅⋅+-+-+-+-+ 222222222495150[](4950)50(5150)50(5050)50++-+-+-+＝49222+1++⋅⋅⋅+个＝99【变式题组】3333+++=( ) 2+4+6++10042+4+6++10062+4+6++10082+4+6++2006⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅A．31003B．31004C．1334D．1100002．（第10届希望杯试题）已知111111111. 2581120411101640+++++++=求11111111 2581120411101640---+--++的值.演练巩固·反馈提高01．三个有理数相乘，积为负数，则负因数的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．1个或3个02．两个有理数的和是负数，积也是负数，那么这两个数（）A．互为相反数B．其中绝对值大的数是正数，另一个是负数C．都是负数D．其中绝对值大的数是负数，另一个是正数03．已知abc＞0，a＞0，ac＜0，则下列结论正确的是（）A．b＜0，c＞0 B．b＞0，c＜0 C．b＜0，c＜0 D．b＞0，c＞0 04．若|ab|＝ab，则（）A．ab＞0 B．ab≥0 C．a＜0，b＜0 D．ab＜005．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则代数式a bm cdm+-+的值为（）A．－3 B．1 C．±3 D．－3或106．若a＞1a，则a的取值范围（）A．a＞1 B．0＜a＜1 C．a＞－1 D．－1＜a＜0或a＞107．已知a、b为有理数，给出下列条件：①a＋b＝0；②a－b＝0；③ab＜0；④1 ab=-，其中能判断a、b互为相反数的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个08．若ab≠0，则a ba b+的取值不可能为（）A．0 B．1 C．2 D．－209．1110(2)(2)-+-的值为（）A ．－2B ．(－2)21C ．0D ．－21010．(安徽)2010年一季度，全国城镇新增就业人数289万人，用科学记数法表示289万正确的是（ ）A ．2.89×107B ．2.89×106C ．2.89×105D ．2.89×104 11．已知4个不相等的整数a 、b 、c 、d ，它们的积abcd ＝9，则a ＋b ＋c ＋d ＝___________.12．21221(1)(1)(1)n n n +--+-+-（n 为自然数）＝___________.13．如果2x y x y +=，试比较xy -与xy 的大小.14．若a 、b 、c 为有理数且1a b ca b c++=-，求abc abc的值.15．若a 、b 、c 均为整数，且321a b c a -+-=.求a c cb b a-+-+-的值.培优升级·奥赛检测01．已知有理数x 、y 、z 两两不相等，则,,x y y z z xy z z x x y ------中负数的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个或2个02．计算12345211,213,217,2115,2131-=-=-=-=-=⋅⋅⋅归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测201021-的个位数字是（ ）A ．1B ．3C ．7D ．5 03．已知23450ab c d e ＜，下列判断正确的是（ ）A ．abcde ＜0B ．ab2cd4e ＜0C ．ab2cde ＜0D ．abcd4e ＜004．若有理数x 、y 使得,,,xx y x y xy y +-这四个数中的三个数相等，则|y|－|x|的值是（ ）A ．12-B ．0C ．12D ．3205．若A ＝248163264(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)+++++++，则A －1996的末位数字是（ ）A ．0B ．1C ．7D ．906．如果20012002()1,()1a b a b+=--=，则20032003a b+的值是（）A．2 B．1 C．0 D．－107．已知5544332222,33,55,66a b c d====，则a、b、c、d大小关系是（）A．a＞b＞c＞d B．a＞b＞d＞c C．b＞a＞c＞d D．a＞d＞b＞c08．已知a、b、c都不等于0，且a b c a b ca b c a b c+++的最大值为m，最小值为n，则2005()m n+＝___________.09．（第13届“华杯赛”试题）从下面每组数中各取一个数将它们相乘，那么所有这样的乘积的总和是___________.第一组：15,3,4.25,5.753-第二组：11 2,315 -第三组：5 2.25,,412-10．一本书的页码从1记到n，把所有这些页码加起来，其中有一页码被错加了两次，结果得出了不正确的和2002，这个被加错了两次的页码是多少？11．（湖北省竞赛试题）观察按下列规律排成一列数：11，12，21，13，22，31，14，23，3 2，41，15，24，23，42，51，16，…(＊)，在(＊)中左起第m个数记为F(m)，当F(m)＝12001时，求m的值和这m个数的积.12．图中显示的填数“魔方”只填了一部分，将下列9个数：11,,1,2,4,8,16,32,6442填入方格中，使得所有行列及对角线上各数相乘的积相等，求x的值.32 x64 13．(第12届“华杯赛”试题)已知m、n都是正整数，并且111111(1)(1)(1)(1)(1)(1);2233A m m =-+-+⋅⋅⋅-+ 111111(1)(1)(1)(1)(1)(1).2233B n n =-+-+⋅⋅⋅-+证明：⑴11,;22m n A B m n ++==⑵126A B -=，求m 、n 的值.第04讲 整式 考点·方法·破译1．掌握单项式及单项式的系数、次数的概念.2．掌握多项式及多项式的项、常数项及次数等概念. 3．掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式.4．了解整式读、写的约定俗成的一般方法，会根据给出的字母的值求多项式的值. 经典·考题·赏析【例1】判断下列各代数式是否是单项式，如果不是请简要说明理由，如果是请指出它的系数与次数.【解法指导】 理解单项式的概念:由数与字母的积组成的代数式，单独一个数或一个字母也是单项式，数字的次数为0，是常数，单项式中所有字母指数和叫单项式次数. 解：⑴不是，因为代数式中出现了加法运算； ⑵不是，因为代数式是与x 的商； ⑶是，它的系数为π，次数为2；⑷是，它的系数为32-，次数为3.【变式题组】01．判断下列代数式是否是单项式02．说出下列单项式的系数与次数【例２】如果与都是关于x、y的六次单项式，且系数相等，求m、n的值.【解法指导】单项式的次数要弄清针对什么字母而言，是针对x或y或x、y等是有区别的，该题是针对x与y而言的，因此单项式的次数指x、y的指数之和，与字母m无关，此时将m看成一个要求的已知数.解：由题意得【变式题组】01．一个含有x、y的五次单项式，x的指数为3.且当x＝2,y＝－1时，这个单项式的值为32，求这个单项式.02．（毕节）写出含有字母x、y的五次单项式______________________.【例３】已知多项式⑴这个多项式是几次几项式？⑵这个多项式最高次项是多少？二次项系数是什么？常数项是什么？【解法指导】n个单项式的和叫多项式，每个单项式叫多项式的项，多项式里次数最高项的次数叫多项式的次数.解：⑴这个多项式是七次四项式；(2)最高次项是,二次项系数为－1，常数项是1.【变式题组】01．指出下列多项式的项和次数⑴(2)02．指出下列多项式的二次项、二次项系数和常数项⑴(2)【例４】多项式是关于x的三次三项式，并且一次项系数为－7.求m+n－k的值【解法指导】多项式的次数是单项式中次数最高的次数，单项式的系数是数字与字母乘积中的数字因数.解：因为是关于x的三次三项式，依三次知m＝3，而一次项系数为－7，即－（3n+1）＝－7，故n＝2.已有三次项为,一次项为－7x，常数项为5，又原多项式为三次三项式，故二次项的系数k＝0，故m+n－k＝3+2－0＝5.【变式题组】01．多项式是四次三项式，则m的值为（）A．2 B．－2 C．±2 D．±102．已知关于x、y的多项式不含二次项，求5a－8b的值.03．已知多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，求n的值.【例５】已知代数式的值是8,求的值.【解法指导】由，现阶段还不能求出x的具体值，所以联想到整体代入法.解：由得由（3【变式题组】01．(贵州)如果代数式－2a+3b+8的值为18，那么代数式9b－6a+2的值等于（）A．28 B．－28 C．32 D．－3202．（同山）若,则的值为_______________.03．（潍坊）代数式的值为9,则的值为______________.【例６】证明代数式的值与m的取值无关.【解法指导】欲证代数式的值与m的取值无关，只需证明代数式的化简结果不出现字母即可.证明：原式＝∴无论m的值为何，原式值都为4.∴原式的值与m的取值无关.【变式题组】01．已知,且的值与x无关，求a的值.02．若代数式的值与字母x的取值无关，求a、b 的值.【例７】（北京市选拔赛）同时都含有a、b、c，且系数为1的七次单项式共有（）个A．4 B．12 C．15 D．25【解法指导】首先写出符合题意的单项式,x、y、z都是正整数，再依x+y+z＝7来确定x、y、z的值.解：为所求的单项式，则x、y、z都是正整数，且x+y+z＝7.当x＝1时，y＝1,2,3,4,5,z＝5,4,3,2,1.当x＝2时，y＝1,2,3,4,z＝4,3,2,1. 当x＝3时，y＝1,2,3,z＝3,2,1.当x＝4时，y ＝1,2,z＝2,1.当x＝5时，y＝z＝1.所以所求的单项式的个数为5+4+3+2+1＝15，故选C．【变式题组】01．已知m、n是自然数，是八次三项式，求m、n 值.02．整数n＝___________时，多项式是三次三项式.演练巩固·反馈提高01．下列说法正确的是（）A．是单项式B．的次数为5 C．单项式系数为0 D．是四次二项式02．a表示一个两位数，b表示一个一位数，如果把b放在a的右边组成一个三位数.则这个三位数是（）A．100b+a B．10a+b C．a+b D．100a+b03．若多项式的值为1，则多项式的值是（）A．2 B．17 C．－7 D．704．随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌电脑原售价为n元，降低m 元后，又降低20%，那么该电脑的现售价为（）A．B．C．D．05．若多项式是关于x的一次多项式，则k的值是（）A．0 B．1 C．0或1 D．不能确定06．若是关于x、y的五次单项式，则它的系数是____________.07．电影院里第1排有a个座位，后面每排都比前排多3个座位，则第10排有_______个座位.08．若,则代数式xy+mn值为________.09．一项工作，甲单独做需a天完成，乙单独做需b天完成，如果甲、乙合做7天完成工作量是____________.10．(河北)有一串单项式(1)请你写出第100个单项式；⑵请你写出第n个单项式.11．（安徽）一个含有x、y的五次单项式，x的指数为3,且当x＝2，y＝－1时，这个单项式值为32，求这个单项式.12．（天津）已知x＝3时多项式的值为－1，则当x＝－3时这个多项式的值为多少？13．若关于x、y的多项式与多项式的系数相同，并且最高次项的系数也相同，求a－b的值.14．某地电话拨号入网有两种方式，用户可任取其一.A：计时制：0.05元/分B：包月制：50元/月（只限一部宅电上网）.此外，每种上网方式都得加收通行费0.02元/分.⑴某用户某月上网时间为x小时，请你写出两种收费方式下该用户应该支付的费用；(2)若某用户估计一个月内上网时间为20小时，你认为采用哪种方式更合算.培优升级·奥赛检测01．（扬州）有一列数,从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差.若,则为（）A．2007 B．2 C．D．－102．（华师一附高招生）设记号*表示求a、b算术平均数的运算，即,则下列等式中对于任意实数a、b、c都成立的是（）①②③④A．①②③B．①②④C．①③④D．②④03．已知,那么在代数式中，对任意的a、b，对应的代数式的值最大的是（）A．B．C．D．04．在一个地球仪的赤道上用铁丝箍半径增大1米，需增加m米长的铁丝，假设地球的赤道上一个铁丝箍，同样半径增大1米，需增加n米长的铁丝，则m与n大小关系（）A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．不能确定05．（广安）已知_____________.06．某书店出售图书的同时，推出一项租书业务，每租看一本书，租期不超过3天，每天租金a元，租期超过3天，从第4天开始每天另加收b元，如果租看1本书7天归还，那么租金为____________元.07．已知＝_____________.08．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简后的结果是______________.。
学而思-学前七大能力学习讲义
第一讲观察：常识篇一、观察：1、从明显特征入手。
2、从生活常识入手。
3、有序观察：从上到下，从左到右。
二、多角度分类有相同特征的归为一类。
常见分类角度：颜色，种类，数量，长短，花纹，形状等本讲设计找不同，找相同，多角度分类等，孩子从题目中学会有序观察，按不同角度观察等，对孩子全面观察的意识进行引导。
生活中，多引导孩子认真观察思考，渗透到生活中的方方面面，如观察物品的大小，颜色，形状等，或观察生活中有趣的现象，如一天中影子的变化，不同季节树木环境的变化等等。
同时，可以让孩子多参与家务劳动，分类摆放物品等，锻炼孩子的统筹整理能力，熟悉生活中的分类规则。
从现在起，让孩子自己整理学习生活物品，养成良好习惯，为一年级打下基础。
1、找丌同。
请找出下面两副图中的丌同，并在右边图中圈出来。
2、找相同。
请在下面的图中找出相同的两幅图。
3、请把下面的生活用品放进正确的房间，连一连线。
4、请把下面的蛋糕分分类，你能想到几种丌同的分类方法，说一说。
参考答案：1、/2、4和8一样。
3、略。
4、可按形状（三角形、圆形）分，按水果分（草莓，樱桃，没有水果）第二讲观察：数列篇一、变化规律1、变大2、变小3、丌变二、认识数位个位：一个一个的数十位：十个十个的数三、判断单双数关键：看个位单：1,3,5,7,9。
双：2,4,6,8,0。
四、数的位置1、直线型2、圆圈型（内→外，外→内）3、折线型等数的理解对于这个阶段的孩子来说，还是比较抽象的内容。
丌理解数的含义的孩子往往看到数后没有感觉，丌知从何下手。
首先，需要在生活中借助各种物品让孩子建立起对数的量的多少的感知；其次，在有了量的概念之后，孩子会对数的大小变化趋势有更深入的理解。
对于单双数的理解，孩子先从本源上理解单双的概念，一定数量的物品两个一组迚行分组后，就可以很直观的理解单数和双数了。
学了知识，生活上，要多给孩子营造运用的环境，让孩子感受到数学知识无处丌在的快乐。
数表规律的观察是在孩子对数的变化趋势理解之后建立的。
学而思讲义
小学阶段的几何知识主要包括直线型面积、曲线型面积、立体图形的表面积和体积等．初中阶段的几何知识以全等三角形、相似三角形及其性质定理和判定定理的应用为重点．分班考试的命题重在考查学生对这两部分知识关联性和数学思想转换的理解和应用．作为各类竞赛和考试的重点，几何问题一直是学生的一个难点，所以在本次分班考试课中，我们安排了两讲几何内容，通过对解决几何问题常用数学方法的分类学习，梳理小学和初中的几何知识，以期融会贯通之效．上一讲我们以“割补法”为主线，将小学阶段的直线型面积和初中阶段的平面几何融合在一起，初步探知全等三角形和相似三角形，涉及“平移”、“旋转”、“勾股定理”等知识．这一讲以立体几何为主，在探究趣味新题目的同时，学习折叠、全等三角形和相似三角形的基础知识 以及简单的物理常识，培养空间思维能力．真题演练1.折叠后，原平行四边形面积是折叠后图形面积的1.5 倍．已知阴影部分面积之和为1 ，则重叠部分(即空白部分)的面积是多少？【分析】折叠后图形的面积为原来图形面积的 2 ，所以由于重叠而消失的面积等于原来面积的1 - 2 = 1，3 即右图中空白三角形的面积为原来图形面积的 1313 3，所以未重叠的阴影部分面积之和也等于原来图形面积的 3，即与重叠部分面积相等，所以重叠部分(即空白部分)的面积是1 ．2.将一正方形的纸对折 2 次后，还是正方形，用同样的方法，可把某种形状的纸对折 3 次后，成为三角形．已知可把 4 种形状的纸对折 3 次后，折成如图的三角形，请画出这 4 种形状．【分析】此题虽然不难，但需要用逆向思维解决．从小三角形开始，向外展开，分别讨论不同展开方向下变成的形状，可得如下 4 种：第 8 讲人大附分班考试真题与模拟专题之几何(二)HIFGHIFG3.已知∆ABC 中，AB =AC =12cm ，∆ABC 的面积是42cm2 ，P 是BC 上任意一点，P 到AB ，AC的距离分别是x 厘米、y 厘米，那么x +y = ．AP C【分析】如图所示，连接AP ．三角形ABC 的面积等于三角形APB 与三角形APC 的面积之和，而这两个三角形的底AB 、AC 相等，高分别为x 和y ，所以12 ⨯(x +y )⨯1 = 42 ，可得x +y = 7 ．2本题也可运用特殊值法，设P 在B 点，则此时x = 0 ，那么S x +y = 7 ．∆ABC=1AC ⨯y = 42 ，得到y = 7 ，24.右图中，正方形ABCD 的边长为8 厘米，E 为AD 的中点，F 为CE 的中点，G 为BF 的中点，H为AG 的中点．四边形FGHI 的面积比三角形DIE 的面积大平方厘米．A E D A E DB C B C【分析】如图，连接EG 、EH 、EB ．根据差不变原理，要求四边形FGHI 与三角形DIE 的面积差，相当于求四边形EFGA 与三角形DAH 的面积差．而三角形DAH 的面积等于三角形EAH 的面积的2 倍，三角形EAG 的面积也等于三角形EAH 的面积的2 倍，所以四边形EFGA 与三角形DAH 的面积差就等于∆EFG 的面积．根据题意，∆EFG 的面积等于∆EFB 的面积的一半，∆EFB 的面积等于∆ECB 的面积的一半，∆ECB的面积等于正方形ABCD 面积的一半，所以∆EFG 的面积等于正方形ABCD 面积的1⨯1⨯1=1，2 2 2 8为82 ⨯1= 8 平方厘米，所以四边形FGHI 的面积比三角形DIE 的面积大8 平方厘米．85.如图所示，铁板A 中有个半径为3.2cm 的圆形孔，孔内有96 个齿．还有一个半径为1.2cm ，且外侧有36 个齿的齿轮B ．其中在距齿轮B 的中心为0.6cm 的地方打了一个圆孔C ，圆孔C 内插有一枝圆珠笔．现转动笔让齿轮B 与A 相啮合并沿A 齿轮的齿作旋转．问此时圆珠笔所画出的图形是下图哪一个？ABCDEF【分析】 先要确定齿轮 B 沿铁板 A 的内孔旋转多少周，圆珠笔才能回到初始位置．由于 A 齿轮有96 个齿，B 齿轮有36 个齿，由于(96,36) = 12 ，而96 = 12 ⨯ 8 ， 36 = 12 ⨯ 3 ，因此，考虑到在12 ⨯ 8 ⨯ 3 = 288 个齿咬合之后，则绕 A 孔旋转了 288 ÷ 96 = 3 圈，而齿轮 B 则旋转 288 ÷ 36 = 8 圈．这就是说，当齿轮 B 绕着 A 孔转了8 圈后便返回到原来所在的位置．由此可知，圆珠笔应该有8 次离 A 孔的距离最近．此后，圆珠笔则重复原来已画出的曲线，不会显出新图形．所以圆珠笔画出的图形应该有 8 个顶点， A 、 B 、 E 、 F 均不合题意．另外，而在绕 A 孔旋转一圈的过程里，齿轮 B 自身所转的圈数为 3 圈，而 D 图中的图形只转了 1 圈，不合题意，所以正确的图形应该是C 图．［拓展］如果齿轮 B 的半径是1.6cm ， B 圆周上的点C 画出来的轨迹是什么图形？［分析］此时齿轮 B 的半径等于 A 的圆形孔的半径的一半，点C 画出来的轨迹是圆形孔的一条直径．真题精讲1.如图⑴，线段 MN 将长方形纸分成面积相等的两部分．沿 MN 将这张长方形纸对折后得到图⑵，将图⑵沿对称轴对折，得到图⑶，已知图⑶所覆盖的面积占长方形纸面积的 310，阴影部分面积为 6 平方厘米．则长方形的面积是多少平方厘米？⑴ ⑵ ⑶【分析】根据折叠的过程可知，图⑶中阴影部分是 2 层，空白部分是 4 层，如果将阴影部分缩小一半，即变为 3 平方厘米，那么阴影部分也变成 4 层，此时覆盖的面积占长方形纸片面积的 1，即缩小的43 平方厘米相当于长方形纸片面积的( 3 - 1 ) ，所以长方形纸片面积为3 ÷ ( 3 - 1) = 60 平方厘米．10 4 10 4OOD EDBDE2.在长方形纸片 ABCD 中， AD = 4 ， AB = 3 ，现在将它折叠，使得 C 与 A 重合，则折痕的长度是 ． AFD ABCH F DEC【分析】如右图所示，连接 FC ，过 E 作 AD 的垂线 EH ．由于折痕 EF 过 AC 的中点，且与 AC 垂直，设 AF = CF = x ，则 FD = 4 - x ，在直角三角形 FDC中，根据勾股定理，有： (4 - x )2+ 32 = x 2 ，则 x = 25 ， FD = 4 - 25 = 7 ，那么 HE = 3 ， FH = 4 - BE - FD = 4 - 2FD = 9 ，8 8 8 4再由勾股定理，得 EF = 15 ．即折痕的长度为15．4 4［巩固］如右图，长方形的长为8 ，宽为 4 ，将长方形沿一条对角线折起压平，求重叠部分(阴影部分)的面积．8D［分析］如右上图，因为∠EDB = ∠EBD ，所以 BE = DE ，AE = CE ．设 BE = DE = x ，则 AE = CE = 8 - x ．由勾股定理得(8 - x )2+ 42 = x 2 ，解得 x = 5 ．所以 S = 1 ⋅ BE ⋅ CD = 1⨯ 5 ⨯ 4 = 10 ，所以重叠部分(灰2 2色三角形)的面积为10 ．3.如图，直角梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， AB ⊥ BC ， AD = 2 ， BC = 3 ，将腰CD 以 D 为中心逆时针旋转90︒ 至 ED ，连接 AE 、CE ，则∆ADE 的面积是 ．FEAABCBHC【分析】如图所示，将∆ADE 以 D 为中心顺时针旋转90︒ ，到∆FDC 的位置．延长 FD 与 BC 交于H ． 由于 ABCD 是直角梯形， AD 与 FD 垂直，则四边形 ADHB 是长方形，则 BH = AD ．由于∆ADE 与 ∆FDC 面积相等，而∆FDC 的底边 FD = AD = 2 ，高CH = BC - BH = 3 - 2 = 1 ，所以∆FDC 的面积为2 ⨯1 ÷ 2 = 1 ，那么∆ADE 的面积也为 1．4. 如下左图，有两个大小相同的完全重叠在一起的正方形，现在以点 P 为中心转动一个正方形．当BAB = 5 厘米， BC = 13 厘米， CA = 12 厘米时(如下右图)，求右图中的两个正方形相重叠部分的面积(注意，图的尺寸不一定准确)．【分析】右图由左图旋转而得，则右图中的 8 个空白小三角形都是完全相同的，右图中重叠部分的面积等于正方形面积减去 4 个小三角形的面积，从右图中可以看出正方形的边长为5 + 13 + 12 = 30 厘米， 所以重叠部分的面积为： 302 - 4 ⨯ (5 ⨯12 ÷ 2) = 780 (平方厘米)．5.有 2 个大小不同的正方形 A 和 B ．如下左图所示的那样，在将 B 正方形的对角线的交点与 A 正方形的一个顶点相重叠时，相重叠部分的面积为 A 正方形面积的 1．求 9A 与B 的边长之比．如果当按下右图那样，将 A 和 B 反向重叠的话，所重叠部分的面积是 B 的几分之几？左图 右图【分析】以 B 正方形为中心，将整体图形放大后，如右上图所示．图中，由于 A 和 B 均为正方形，所以可认为画阴影的两个三角形是以 B 的对角线的交点为中心转过90︒ 所形成的．因此，所求的 A 与 B 所重合部分的面积，只要让 B 的对角线的交点与 A 的一个顶点相重合，则不管什么情况下，该面积均为 B 正方形面积的 1 ．这样， A 4 的面积的 1 9 与 B 的面积的 1相等，故 A 与 B 的面积之比为49 : 4 ．因为二者均为正方形，所以其边长之比为3 : 2 ．如果 A 的对角线的交点与 B 的一个顶点相重合的话，所重合部分的面积仍为 A 的面积的 1．但是4由于 B 的面积是 A 的面积的 4 ，所以重合部分的面积应为 B 的面积的 1 ÷ 4 = 9．9 4 9 166.往容器里倒啤酒时，啤酒会分成液体部分和泡沫部分．过一会儿后泡沫会变成液体的啤酒，这时，1体积会缩小到 3(也就是说泡沫的体积是相应液体的3 倍)．另外，因倒入方法的不同而使液体与泡沫的比例不同．即使是往相同的容器里倒入的啤酒量，也会因倒入的方法不同而不同．如图， 往深度为30 厘米的圆柱形的容器里倒入500 毫升的啤酒，从容器的底部到以上15 厘米高处的部 分是液体，再往上一直到容器的顶端，全都是泡沫(第一次)．然后，往相同的容器里倒入700 毫升的啤酒，从容器的底部到以上 x 高处的部分是液体，再往上一直到容器的顶端，全都是泡沫(第二次)．求 x 的值．P第二次【分析】第一次泡沫全部变成液体时，高度是15 + 15 ÷ 3 = 20 (厘米)，因此高度1 厘米的液体是25 毫升；第二次泡沫全部变成液体时，高度是700 ÷ 25 = 28 (厘米)，高度是1 厘米的液体成为泡沫时变为 高3 厘米，高度增加2 厘米，有(30 - 28) ÷ 2 = 1 厘米，即由泡沫变成的液体有 1 厘米，那么原有的 液体为 x = 28 -1 = 27 (厘米)． 7.右图中的⑴⑵⑶⑷是同样的小等边三角形，⑸⑹也是等边三角形且边长为⑴的2 倍，⑺⑻⑼⑽是同样的等腰直角三角形，⑾是正方形．那么，以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的 倍．【分析】本题中的两个图都是立体图形的平面展开图，将它们还原成立体图形，可得到如下两图：其中左图是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形，是一个四个面都是正三角形的正四面体，右图以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形，是一个不规则图形，底面是⑾，四个侧面是⑺⑻⑼ ⑽，两个斜面是⑸⑹．对于这两个立体图形的体积，可以采用套模法来求，也就是对于这种我们不熟悉的立体图形，用一些我们熟悉的基本立体图形来套，看看它们与基本立体图形相比，缺少了哪些部分．由于左图四个面都是正三角形，右图底面是正方形，侧面是等腰直角三角形，想到都用正方体来套． 对于左图来说，相当于由一个正方体切去 4 个角后得到(如下左图，切去 ABDA 1 、 CBDC 1 、D 1 A 1C 1D 、 B 1 A 1C 1B )；而对于右图来说，相当于由一个正方体切去 2 个角后得到(如下右图，切去 BACB 1 、 DACD 1 )．⑵ ⑶⑴ ⑷⑸ ⑺⑻ ⑹⑾⑼ ⑽B1DB1DB HB C AB CA C1C1A1 D1 A1 D1假设左图中的立方体的棱长为 a ，右图中的立方体的棱长为b ，则以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形的体积为：a3 -1a2 ⨯a ⨯1⨯ 4 =1a3 ，2 3 3以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积为b3 -1b2 ⨯b ⨯1⨯ 2 =2b3 ．2 3 3由于右图中的立方体的棱长即是题中正方形⑾的边长，而左图中的立方体的每一个面的对角线恰好是正三角形⑴的边长，通过将等腰直角三角形⑺分成4 个相同的小等腰直角三角形可以得到右图中的立方体的棱长是左图中的立方体的棱长的2 倍，即b = 2a ．那么以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形的体积与以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积的比为：1a3 :2b3 =1a3 :2⨯(2a)3 =1:16，也就是说以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立3 3 3 3体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的16 倍．8.如图所示的立体ABCD -EFGH 是长1 米、宽1 米、高2 米的长方体的箱子，在这个箱子里有一根直棒，棒的一端在顶点G 处，另一端在棱AE 的中点I 处．在不考虑棒的粗细的情况下，请问：⑴在点 F 处有一亮着的灯泡，请画出棒IG 在面AEHD 和面DHGC 上形成的阴影；⑵在EF 边的中点J 处有一亮着的灯泡，请画出棒IG 在面AEHD 和面DHGC 上形成的阴影．D C CAIG GE F【分析】⑴棒IG 在面AEHD 和面DHGC 上形成的阴影是两条直线段，而且它们与∆IFG 在同一个平面上．连结IF ，过点I 作IK ∥FG 交DH 于K (实际上K 就是DH 的中点)，连结KG 即可．KBHABIHEJFDCADDCAIIKKGEF EHHGDCA D D CGIMEHHG⑵连结GJ 延长与 HE 的延长线交于点 M ，连结 MI 并延长与 DH 交于点 D ，连结 DG 即可． 点评：本题涉及两个重要的知识点： ①光线的传播路径是直线；②公理：直线和不在这条直线上的一点共面．在本题的应用就是光源、棒 IG 、光线的传播路径、在面上形成的阴影共面．［拓展］如图，一个边长为5 厘米的正方体，这个正方体由边长为1 厘米的小正方体组成．A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 分别是大正方体的各个顶点， P 是 ABCD 面上 AC 与 BD 的交点，请问：A G⑴如右上图所示，用一个 E 、P 、F 三点所在的平面将大正方体切开，这时切开的面是什么形状？ ⑵经过⑴切开后剩下部分(包括 E 、 F 、G 、 H 面)的体积是多少？⑶再分别用 F 、P 、G 三点所在的平面， G 、P 、H 三点所在的平面， H 、P 、E 三点所在的平面进一步切割剩余部分，最后剩余的是一个包括 E 、 F 、G 、 H 面的立体图形，请写出这个立体图形的名称(即是哪种形状的立体图形)．⑷在最后剩下的立体图形中，包括几个完整的边长为1 厘米的小正方体？［分析］⑴切开的面是四边形，两组对边分别平行且相等，但相邻两边长度均不相等， 4 个角都是直角，所以是长方形．HGHG⑵切下部分的体积正好是原体积的 1 ，所以剩下部分的体积是5 ⨯ 5 ⨯ 5 ⨯ 3= 93.75 立方厘米．4 4D CPPPABHGEF E F EF⑶如上图，在 ABCD 面中最后剩下 P 点，底面 EFGH 完好，连结 PE 、PF 、PG 、PH ，所以剩下的立体图形是底面为正方形的正四棱锥，如右上图．⑷切完后，从正面、侧面看均如下图所示，从下往上数，第一层是 3 ⨯ 3 = 9 (个)，第二层是 3 ⨯ 3 = 9 (个)，第三层是1 个，第四层是1 个，共9 + 9 + 1 + 1 = 20 个边长为 1 厘米的小正方体．真题模拟1.右图为一个正八边形，它的每条边长都是10 厘米，每个内角都相等，求图中阴影部分与非阴影部分的面积之差．【分析】如右上图，延长正八边形的两组对边，并连接竖直方向的两条对角线．图中标有 1，2，3，4 的4 个等腰直角三角形合起来为一个边长为 10 厘米的正方形，所以它们的面积之和为10 ⨯10 = 100 平方厘米．而中间标有 5 的空白小正方形的面积也为10 ⨯10 = 100 平方厘米，所以这个空白小正方形的面积等于四个角上的小三角形的面积之和．至于剩下的部分，容易看出标有 6，7 的两个空白长方形与标有 8，9 的两个阴影长方形的面积相等，所以图中阴影部分与非阴影部分的面积相等，它们的面积差为零．2.将边长分别为 4、8、12、16、20 的正方形并排在一起(如图)，一条与正方形的边平行的直线CD 将该图形分为面积相等的两个部分，那么 AB 的长是多少？182657 394BBA BA 16 4CD81220A164CD81220【分析】如图所示，作出边长为 12 的正方形的上面的边所在的直线，这条直线也将整个图形分成两部分．整个图形的面积为42 + 82 + 122 + 162 + 202 = 42 ⨯ (12 + 22 + 32 + 42 + 52 ) = 16 ⨯ 1⨯ 5 ⨯ 6 ⨯11 = 880 ，所6以直线CD 所分成的两部分的面积都为880 ÷ 2 = 440 ．图中虚线所分成的两部分，上面的部分的面积为： 42 + (20 + 16)⨯ (20 - 12) = 304 ，所以这条直线与 直 线 CD 之 间 的 图 形 的 面 积 为 440 - 304 = 136 ． 这 个 图 形 是 一 个 长 方 形 ， 它 的 长 为12 + 20 + 16 = 48 ，所以它的宽为：136 ÷ 48 = 2 5．6那么 AB 的长为： 20 - 12 + 2 5 = 10 5．6 63.如图，在相距9cm 的平行线 a 和b 之间有一个直角三角形 A 和长方形 B ．直角三角形沿直线a 以1cm/s 、长方形 B 沿直线b 以3cm/s 的速度同时朝箭头所指方向开始运动．问 A 和 B 开始运动后从多少秒到多少秒 A 与 B 所重合部分的面积是一个定值(即保持不变)．a6cm b 12cm A 12cm B 20cma 6cmb图⑴aabb图⑵ 图⑶【分析】先考虑在长方形 B 的左上角顶点与直角三角形 A 接触时，位于直角三角形斜边的哪个位置．由于长方形 B 的高为6cm ，即上边离b 直线之距离为6cm ，所以上边到直线a 的距离是3cm ．另外， 由于直角三角形 A 下边的顶点到直线a 的距离为6cm ，所以当直角三角形与长方形相交时，则长方形的上侧边通过直角三角形斜边的中点．这样，在重合之前的状态(图⑴)，各横向长度如图所示．在图⑴中，由于三角形上侧的边长为12cm ，而过斜边的中点的虚线长度6cm ，即是该直角三角形的切口长度，这个长度正好等于上侧边长的一半．A 与B 两图形重合时的面积保持定值是指从图⑵的重合状态到图⑶的重合状态，将该状态与图⑴ 时的状态相比较，可知，直角三角形与长方形所移动的长度之和分别是：到图⑵状态为20cm ， 到图⑶状态则为26cm ．由于直角三角形的速度是1cm/s 、长方形的速度是3cm/s ，相加便知二者A BAB以每秒4cm 相互接近．所以到达图⑵状态时，需要20 ÷ 4 = 5(s) ；到达图⑶状态需要26 ÷ 4 = 6.5(s) ， 也就是说，从5s ∼ 6.5s 之间重合的面积是定值．4.如图所示，圆紧贴着全长为30 厘米、有直角拐弯的折线从一端滚动到另一端(没有离开也没有滑动)，在圆周上设一个定点 P ，点 P 从圆开始滚动时是接触折线的，当圆停止滚动时也接触到折线，然而在圆滚动的全部过程中 P 点是不接触折线的．请问：圆的半径是多少厘米？( π = 3.14 ， 保留两位小数)．⑴caba⑵⑶【分析】设半径为a 厘米，首先考虑一下圆在直线上滚动过的角度是90︒ 时转了 1 圈，如图⑴所示．图中 14 4圆的弧长和圆滚动过的距离相等，即 PQ = 2a ⨯ 3.14 ÷ 4 = 1.57a 厘米．由于本题中在圆滚动的全部 过程中 P 点是不接触折线的，于是圆滚动到拐角时滚动过的角度有以下两种情况：①滚动到拐角时不满270︒ ：此时圆恰好转了270︒ ，即 3圈，而图⑵中的b + c 是圆滚动过的距离，4因此b + c = 1.57a ⨯ 3 ， b + a + a + c = 1.57a ⨯ 3 + a + a = 16 + 14 ，得到a ≈ 4.47 厘米；②滚动到拐角时滚动过的角度不小于270︒ 也不大于360︒ ：此时圆共转动了270︒ + 360︒ = 630︒ ，即圆恰好转 7圈，而图⑶中的d + e 是圆滚动过的距离，因此d + a + a + e = 1.57a ⨯ 7 + a + a = 16 + 14 ，4得到a ≈ 2.31 厘米．检验是否满足条件： d = 16 - 2.31 = 13.69 厘米；圆周 = 2.31⨯ 2 ⨯ 3.14 ≈ 14.51 > d > e ．所以在开始滚动和结束滚动以外，点 P 没有接触到折线，所以a = 2.31 厘米也满足条件．P14P16 O a P1.57 Qead aEF真题巩固1.以长方形 ABCD 的边 AB 和CD 为斜边向长方形内作等腰直角三角形 ABE 和CDF ，已知三角形 ABE 的面积为16 ，长方形的周长为 44 ，则三角形 BED 的面积是 ． A DB C【分析】由于三角形 ABE 是等腰直角三角形，所以四个这样的三角形可以拼成一个边长为 AB 的正方形，故16 = 1⨯ AB 2 ，得到 AB = 8 ．由周长为 44 可知 BC = 44 ÷ 2 - 8 = 14 ，4则 S ∆BED = S ∆ABD - S ∆ABE - S ∆AED = 14 ⨯ 8 ÷ 2 - 16 -14 ⨯ 4 ÷ 2 = 12 ． 2.如图，将边长为 1 的正三角形Ⅰ放在一条直线上，让三角形绕顶点C 顺时针转动到达Ⅱ，再继续这样转动到达Ⅲ，则 A 点走过的路程的长为 ．AC【分析】图中圆弧即为 A 点走过的路程，分为两段，均为圆心角为120︒ 、半径为 1 的扇形的圆弧．所以，两个扇形圆弧长之和= 2 ⨯ π ⨯1⨯ 120 ⨯ 2 = 4π ，即 A 点走过的路程的长是 4π．360 3 33.如右图，面积为 l 的 ∆ABC 中，BD : DE : EC = 1: 2 :1 ，CF : FG : GA = 1: 2 :1 ，AH : HI : IB = 1: 2 :1 ，求阴影部分面积．A ABCC【分析】设 IG 交 HF 于 M ， IG 交 HD 于 N ，如果能求出 IM 和 IG 以及 IN 和 IG 的长度之比，根据面积比例模型就可以求出∆HMN 的面积，进而求出阴影部分的面积．而要求 IM 和 IG 以及 IN 和 IG 的长度之比，只需要求 IM 和 MG 以及 IN 和 NG 的长度之比，为此连接 DI 、 DG 、 IF 、GH ．由于 S= 2 S= 2 ⨯ 1 ⨯ 3 S= 1 ， S = ⎛1 - 1 ⨯ 1 - 3 ⨯ 3 - 1 ⨯ 3 ⎫S = 3 ，∆HID 3 ∆HBD 3 4 4 ∆ABC 8∆HGD 4 4 4 4 4 4 ⎪∆ABC 16 ⎝ ⎭(如果对线段的平行关系较为熟悉，可以看出 HG ∥ BC ，GD ∥ AB ，所以 BDGH 是平行四边形，那么 S ∆HGD = S ∆BDH = 1 ⨯ 3 S 4 4 ∆ABC = 3 ) 16HGMIF NHGI FB Ⅰ ⅡⅢ根据蝴蝶定理， IN : NG = S∆HID : S ∆HGD = 1 : 3 8 16 = 2 : 3 ，所以 IN = 2IG ；5由于 S ∆HIF = 2 S 3 ∆AIF = 2 ⨯ 3 ⨯ 3 S 3 4 4 ∆ABC = 3 ， S 8 ∆HGF = 2 S 3 ∆HAF = 2 ⨯ 1 ⨯ 3 S 3 4 4 ∆ABC = 1，根据蝴蝶定理， 8IM : MG = S : S= 3 : 1 = 3 :1 ，所以 IM = 3IG ； ∆HIF ∆HGF8 8 4(同样地，有 HG ∥ BC ， IF ∥ BC ，所以 HG ∥ IF ，且 HG = 1 BC ， IF = 3BC ，根据相似三角4 4形性质，有 IM : MG = IF : HG = 3 :1 )所 以 MN = IM - IN = 3 IG - 2 IG = 7IG ，4 5 20那么 S ∆HMN = 7 S 20 ∆HGI = 7 ⨯ 2 S 20 3 ∆AGI = 7 ⨯ 2 ⨯ 1 ⨯ 3 S 20 3 4 4 ∆ABC = 7 ． 160同理可得其他 5 个阴影小三角形的面积均为 7 ，所以阴影部分的面积为 7 ⨯ 6 = 21．160 160 804. 四个面积为1 的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．【分析】如图，将原图扩展成一个大正三角形 DEF ，则∆AGF 与∆CEH 都是正三角形．假设正六边形的边长为为a ，则∆AGF 与∆CEH 的边长都是4a ，所以大正三角形 DEF 的边长为 4 ⨯ 2 - 1 = 7 ，那么它的面积为单位小正三角形面积的 49 倍．而一个正六边形是由 6 个单位小正三角形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为 1 ，三角形 DEF 的面积为 49．6 6由于 FA = 4a ， FB = 3a ，所以∆AFB 与三角形 DEF 的面积之比为 4 ⨯ 3 = 12．7 7 49同理可知∆BDC 、∆AEC 与三角形 DEF 的面积之比都为 12，所以∆ABC 的面积占三角形 DEF 面49积的1 - 12 ⨯ 3 = 13 ，所以∆ABC 的面积的面积为 49 ⨯ 13 = 13．49 49 6 49 65.有同样大小的立方体 27 个，把它们竖 3 个，横 3 个，高 3 个，紧密地没有缝隙地搭成一个大的立方体．如果有 1 根很直的细铁丝穿过这个大立方体，最多可以穿透几个小的立方体？【分析】假设铁丝穿过3 ⨯ 3 ⨯ 3 的立方体每穿过一个小立方体就被小立方体的面给切断，那么本题可以先考虑铁丝最多可以被切成几段．由于3 ⨯ 3 ⨯ 3 的立方体内部有 6 个截面(每个方向 2 个)，铁丝穿过时 不可能与其中的某个截面有 2 个或 2 个以上的交点，也就是说与每个截面最多有 1 个交点，那么 与 6 个截面最多有 6 个交点，铁丝最多被切成 7 段．由于每一段铁丝对应一个小立方体，所以最 多可以穿过 7 个小立方体．。
学而思高一物理讲义
学而思高一物理讲义 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】第一讲直线运动4级公式法运动学计算循序渐进：阶梯成长体系本讲难度：★★★★☆高考难度：★★★☆☆直击高考：高考考点分值高考比重平均0~6分高考初级考点（概念层面）物理抽象概念应用高考中级考点（间接考察）运动学基本公式高考高级考点（综合考察）运动状态分析高考考题20062007200820092010例题18画龙点睛：重点中学试题1．（09北京四中期中）下列关于加速度的说法，正确的是（）A．物体的速度越大，加速度越大B．物体的速度变化量越大，加速度越大C．物体的速度变化越快，加速度越大D．物体的速度恒定，加速度为零【答案】C D知识点睛一、知识网络图例题精讲概念纠错题机械运动【例1】下列运动中不属于机械运动的有（）A．人体心脏的跳动B．地球绕太阳公转C．小提琴琴弦的颤动D．电视信号的发送【答案】D质点【例2】在下列各运动的物体中，可视为质点的有（）A．汽车的后轮，研究汽车牵引力的来源B．沿斜槽下滑的小钢球，研究它沿斜槽下滑的速度C．人造卫星，研究它绕地球的转动D．海平面上的木箱，研究它在水平力作用下是先滑动还是先滚动【解析】A与汽车的结构形状有关不能看成质点，D与木箱的结构有关，因为判断滚动要考虑杠杆因素【答案】B C匀速与匀变速【例3】下列运动中，最接近匀速直线运动的是（）A．匀速转动的旋转餐厅B．公共汽车在两个车站间的直线运动C．国庆阅兵时军人正步走过主席台D．跳伞运动员从静止在空中的直升飞机上跳下后的落体运动【答案】C【例4】速度及加速度的定义是运用了（）A．控制变量法B．建立物理模型法C．等效替代法D．比值法【答案】D【例5】在匀变速直线运动中，下列说法中正确的是（）A．相同时间内位移的变化相同B．相同时间内速度的变化相同C．相同位移内速度的变化相同D．相同路程内速度的变化相同【答案】B【例6】关于加速度和速度关系，以下说法中正确的是（）A．加速度越来越大，则速度越来越大B．运动的物体加速度大，表示了速度变化快C．加速度的正负表示了物体运动的方向D．物体运动加速度的方向与初速度方向相同，物体的运动速度将增大【解析】加速度是表征物体速度变化快慢的物理量，B对，加速度越来越大时，速度的变化越来越快，但速度不一定越来越大，A错；速度的正负表示物体运动的方向，加速度的正负表示加速度与速度是否同向，若同向则物体做加速运动，D对．【答案】B D概念应用题参考系【例7】在无云的夜晚，看到月亮停在天空不动；而在有浮云的夜晚，却感到月亮在很快移动这是因为此时我们选择了为参考系的缘故，而此时必须是有风的夜晚，相对于地面是运动的．【答案】浮云、浮云路程和位移【例8】若规定向东方向为位移的正方向，今有一个皮球停在水平面上某处，轻轻踢它一脚，使它向东做直线运动，经5m时与墙相碰后又向西做直线运动，经7m而停下．则上述过程中皮球通过的路程和位移分别是（）A．12m；2m B．12m；2m-；2m-C．2mD．2m；2m【答案】B时间与时刻【例9】一列火车从上海开往北京，下列叙述中，表示时间的是（）A．早6时10分，列车从上海站出发B．列车一共运行了12hC．列车在9时45分到达途中南京站D．列车在南京站停车10min【答案】B D速度【例10】（北京西城区）下图是用同一曝光时间拍摄自行车运动的一组照片．通过照片，我们可以判断自行车运动最快的是下列图中的（）【解析】在曝光时间相同的情况下，物体的速度越快，图片越模糊．【答案】D【例11】一辆农用“小四轮”漏油，假如每隔1s漏下一滴，车在平直公路上行驶，一位同学根据漏在路面上的油滴分布，分析“小四轮”的运动情况（已知车的运动方向）．下列说法中正确的是（）A．当沿运动方向油滴始终均匀分布时，车可能做匀速直线运动B．当沿运动方向油滴间距逐渐增大时，车一定在做匀加速直线运动C．当沿运动方向油滴间距逐渐增大时，车的加速度可能在减小D．当沿运动方向油滴间距逐渐增大时，车的加速度可能在增大【答案】A CDv x t=应用（平均速度）/【例12】中国飞人刘翔，在2008年5月10日的大阪国际田径大奖赛男子110米栏的比赛中，以13秒19的成绩如愿摘金，在实现职业生涯的五连冠．关于比赛的下列说法中正确的是（）A．110m是刘翔比赛中位移的大小B．13秒19是刘翔夺冠的时刻C．刘翔比赛中的平均速度约是8.3m/sD．刘翔经过终点线时的速度一定等于8.3m/s【答案】A C【例13】（北京理综）如图所示为高速摄影机拍摄到的子弹穿透苹果瞬间的照片．该照片经放大后分析出，在曝光时间内，子弹影像前后错开的距离约为子弹长度的1%2%．已知子弹飞行速度约为500m/s ，由此可估算出这幅照片的曝光时间最接近（）A ．310s -B ．610s -C ．910s -D ．1210s -【解析】 在曝光时间内，子弹的运动可简化为匀速运动，影像前后错开的距离对应在该时间内的位移．子弹长度的数量级为210m -，故子弹的位移数量级为410m -，而子弹飞行速度约为500m/s ，故曝光时间估算为4710=s 210s 500x t v --=⨯＝，最接近B 选项．【答案】 B 【例14】 一人一直沿山坡自坡底A 以速率1v 跑到坡顶B ，随即又以速率2v 返回到坡底A ，已知AB 的距离为s ，那么，人在这一往返过程的平均速度为（） A ．0 B ．122v v + C ．12122v v v v + D 无法确定【答案】 A 往返，回到原点，位移为0【例15】 三个质点A B C 、、的运动轨迹如图所示，三质点同时从N 点出发同时到达M 点，下列说法正确的是（） A ．三个质点从N 到M 的平均速度相同B ．B 质点从N 到M 的平均速度方向与它任意时刻瞬时速度的方向相同C ．到达M 点的瞬时速度一定是A 的大D ．三个质点从N 到M 的平均速率相同【解析】 三个质点运动的起点、末点相同，故位移相同，又时间一样，故平均速度相同，A对．B 质点从N 到M 途中，也有可能往返运动，故不能断定平均速度方向与任意时刻瞬时速度方向相同，B 不对．C 项无法判定．路程不确定，无法判断平均速率，D 错．【答案】 A综合运用【例16】 （STS ）天文观测表明，几乎所有远处的恒星(或星系)都以各自的速度背离我们而运动，离我们越远的星体，背离我们运动的速度(称为退行速度)越大；也就是说，宇宙在膨胀．不同星体的退行速度v 和它们离我们的距离r 成正比，即v Hr =，式中H 为一常量，已由天文观察测定．为解释上述现象，有人提出一种理论，认为宇宙是从一个大爆炸的火球开始形成的．假设大爆炸后各星体以不同的速度向外匀速运动，并设想我们就位于其中心，则速度大的星体现在离我们越远．这一结果与上述天文观测一致．由上述理论和天文观测结果，可估算宇宙年龄T ，其计算式为T ．根据过去观测哈勃常数()2310m/s l.y.H -=⨯⋅，其中l.y.（光年）是光在一la（年）中行进的距离，由此估算宇宙的年龄约为______a ．【解析】 1r T v H==；把各数代入， 其中光年=光速36524360⨯⨯⨯【答案】 1H，10110⨯大显身手：巩固提高1． 下列关于质点的说法中，正确的是（）A ．质点是一个理想化模型，实际上并不存在，所以，引入这个概念没有多大意义B ．只有体积很小的物体才能看作质点C ．凡轻小的物体，皆可看作质点D ．如果物体的形状和大小对所研究的问题属于无关或次要因素时，即可把物体看作质点【解析】 虽然质点不是实际存在的物体，但它是一种科学抽象，具有重要的物理意义，A错；当物体的形状和大小对所研究的问题不起主要作用时，即可把物体看作质点，而不一定是小的物体也不一定是轻的物体，B 、C 错，D 对．【答案】 D2． 关于匀变速直线运动，下列说法正确的是（）A ．是速度不变、加速度变化的直线运动B ．是加速度不变、速度均匀变化的直线运动C ．是速度均匀变化、加速度也均匀变化的直线运动D ．当速度不断减小时，其位移也是不断减小的【解析】 匀变速直线运动的加速度不变，速度均匀变化． 【答案】 B华山论剑：挑战高端【例17】 一实心木块，体积为a b c ⨯⨯，如图，有一质点自A 点运动到B 点，求：①最短路程；②质点位移的大小．如图所示a b c >>．【解析】 此题较难，应该考虑展开图，可以看出来一共有三种可能的路线对应的路程：i.221()l a b c =++最短位移大小222AB a b c =++位移为AB学习之外得失到头皆物理物理是什么?！学了2年多的物理,很多同学却还不知道物理是什么,科学是什么．似乎这些知识,仅仅是我们进入大学的敲门砖——高考的组成部分而已．然而,如果我们能够用心去观察,就会发现,原来生活中到处处是物理．天高云动是物理,人跑鸟飞是物理,全球变暖是物理,阴天淋雨是物理．跳高跳远是物理,跳水跳楼是物理．赛车竞速是物理,杂技平衡是物理．电脑电视是物理,门禁开关是物理．彩虹极光是物理,眼镜相机是物理．x光拍片是物理,DNA结构是物理．买菜称菜是物理,神州上天是物理．总之物理是万物之理!然而,对于我们90后的新生代,还要懂得:物理是从物到理!80后的圡人们只知道做题解题,而我们是面对新时代的全面人才．新课标,新科学,新就新在要懂得观察和分析事物背后的联系．从万事万物,总结出有用的原理来,并且用实验去验证,才是我们做事的原则．现在像气象学这种惨淡的物理分支学科,等待着我们用理性去拯救．将来的中国的第一个诺贝尔奖,必定会在我们这一代人中实现．物理是大学之道,物理是格物致知!我们中国人,向来不重视技术,但是却重视物理,重视思想．大学有云:”致知在格物”．物理是人生的终极修养的主要表现!老祖宗虽然落伍,但是,现在玩的就是这个复古风,显摆的就是这个知性的范．张口牛顿,闭口爱因斯坦,这才是文化人儿．元代刘致说的好:得失到头皆物理．人这辈子,是成功还是失败,全看物理学的怎么样了．所以啊,哥们们,加油吧!。
学而思网校讲义
一：同一直线上的二力合成力的作用效果是相同的！很多人才能拖动的物体，一头大象就能拖动。
1．合力：几个力的共同作用在一个物体上，它们的作用效果可以用一个力来代替，这个力叫那几个力的合力。
2．力的合成：已知作用在一个物体上的几个力的大小和方向。
求合力的大小和方向。
3．小练一下1．下面关于力的合成的说法正确的是( )A．只有作用在同一直线上的力才能合成。
B．只有作用在同一方向上的力才能合成。
C．只有作用在同一物体上的力才能合成。
D．任何几个力都能合成。
2．有关合力的说法错误的说法是( )A．合力和分力不一定是真实存在的。
B．合力的作用效果和分力的作用效果是一样的。
C．考虑合力时就不考虑分力了。
D．合力不可能为零。
4．实验探究二力合成及平衡力5．同一直线上二力合成规律⑴同向大小：F＝F1＋F2方向：同两力方向⑵反向大小：F＝F1－F2方向：同较大力(F1)6．力的合成知识的应用课堂练习：【例1】同一直线上两个向上的力分别为20牛和40牛，它们的合力为______牛，方向向____。
【例2】同一直线上同方向的两个力的合力为200牛，方向向下，其中一个力的大小为180牛，另一个力的大小为______牛，方向向_______。
【例3】耕地时，马的水平拉力是2000牛，土地对犁的阻力是1700牛，犁受到的合力是______牛，方向______________。
【例4】桌面放一个重力为3牛的茶杯，桌子对它的支持力是3牛，茶杯所受的合力是_____牛。
【例5】作用在一个物体上的两个力，分别为F1＝3N，F2＝5N，并且这两个力在同一条直线上，则F1与F2的合力可能是________。
【例6】水平面上的一个物体分别受到了向左向右的两个力的作用，开始时F右＞F左，当向左的力逐渐变大时，物体所受水平方向的合力大小______________。
【例7】质量为4t的汽车，在平直的公路上运动时，受地面的支持力为3.92×104N，受到的阻力为6×103N，汽车的牵引力为7×103N，求汽车所受合力是多大？二力平衡观察与分析静止的电灯受到几个力的作用？1．概念：平衡状态：平衡力：二力平衡：★请举出处于二力平衡的物体？★作用在一个物体上的二个力，符合什么条件才能使物体处于平衡？探究：二力平衡的条件2．二力平衡的条件：作用在同一物体上的两个力，如果大小相等、方向相反，并且在同一条直线上，这两个力就彼此平衡。
学而思高中物理竞赛讲义3
第4讲牛顿运动定律运用本讲导学 1. 惯性力的理解。
2. 分辨惯性系，非惯性系，在非惯性中使用牛顿第二定律知识点睛一．惯性力先思考一个问题:设有一质量为m的小球，放在一小车光滑的水平面上，平面上除小球(小球的线度远远小于小车的横向线度）之外别无他物，即小球水平方向合外力为零。
然后突然使小车向右对地作加速运动，这时小球将如何运动呢？地面上的观察者认为：小球将静止在原地，符合牛顿第一定律；－车上的观察者觉得：小球以a相对于小车作加速运动； s 我们假设车上的人熟知牛顿定律，尤其对加速度一定是由力引起的印象至深，以致在任何场合下，他都强烈地要求保留这一认知，于是车上的人说：小球之所以对小车有-a 的加速度，是因为受到了s一个指向左方的作用力，且力的大小为- ma；但他同时又熟知，力是物体与物体之间的相互作用，而s 小球在水平方向不受其它物体的作用, 物理上把这个力命名为惯性力。
以下推导引入惯性力后，牛顿定律方程的形式，这个方程必须和以地面为参考的牛顿定律在数学上完全等效： F 设a为质量为m的一质点对地加速度，a为某参考系S对地加速度，为该物体受合外力。
s F ma由牛顿第二定律得：讲述高端的，真正的物理 1 学高一·物理竞赛秋季班·第4讲·学生版' a a由相对运动的定义，物体m相对参考系S的a加速度a'为：s F ma'ma两式联立得：，移项得s F ma ma's - ma可以看成一个力，与真实力的合成提供物体相对新参考系的加速度a' s惯性力的理解： (1) 惯性力不是物体间的相互作用。
因此，没有反作用。
(2)惯性力的大小等于研究对象的质量m与非惯性系的加速度a的乘积，而方向与a 相反，即ss f ma s（3）我们把牛顿运动定律成立的参考系叫惯性系，不成立的叫非惯性系，设一个参考系相对绝对空 F f ma其中F为物理受的间加速度为a物体受相对此参考系加速度为a',牛顿定律可以写成：，s“真实的力”，f*为惯性力，是个“假力”。
学而思英语初中勤学班秋季讲义
学而思英语初中勤学班秋季讲义一、课程简介1.1 课程名称：学而思英语初中勤学班秋季讲义1.2 适用对象：初中生1.3 授课老师：XXX老师1.4 课程时间：每周三下午3:00-5:001.5 课程地点：学而思教育机构二、课程内容2.1 词汇学习在秋季讲义中，我们将重点学习初中英语中的常用词汇和短语，通过听、说、读、写的综合训练，帮助学生掌握更多的词汇，为日常学习打下坚实的基础。
2.2 语法讲解在语法讲解环节，我们将逐一讲解初中英语常见的语法知识点，如时态、语态、虚拟语气等，帮助学生理解和掌握英语语法规则，提高语法应用能力。
2.3 口语表达通过有趣的话题和角色扮演活动，培养学生的口语表达能力，帮助他们更流利、准确地运用英语进行交流。
2.4 阅读理解通过阅读一些有趣的故事和文章，帮助学生培养阅读理解能力，提高阅读速度和理解能力。
2.5 写作练习我们将组织学生进行写作练习，包括日记、作文等，帮助他们提高写作能力，培养逻辑思维和文字表达能力。
三、教学方法3.1 多媒体教学在课堂教学中，我们将采用多媒体教学手段，结合图片、音频、视瓶等形式，生动形象地呈现课程内容，激发学生学习积极性。
3.2 互动式教学课堂上，我们将注重师生互动，通过提问、讨论、小组活动等形式，激发学生的学习兴趣，促进学习效果。
3.3 实践性教学我们将注重课程内容的实践性，通过大量的练习和实际操作，帮助学生将所学知识转化为自己的能力。
3.4 分层次教学根据学生的不同水平和特点，我们将采取分层次教学，让每个学生都能够在适合自己的学习环境中取得进步。
四、教学目标4.1 培养兴趣通过丰富多彩的教学内容和生动有趣的教学方式，培养学生对英语学习的兴趣，激发他们学习的积极性。
4.2 提高成绩通过系统的课程安排和科学的教学方法，帮助学生提高英语成绩，达到更好的学习效果。
4.3 培养能力通过课程的学习，培养学生的语言表达能力、逻辑思维能力、学习方法和学习习惯，全面提升学生的综合能力。
学而思数学全套讲义
学而思数学全套讲义（实用版）目录1.学而思数学全套讲义概述2.学而思数学全套讲义的内容3.学而思数学全套讲义的特点4.学而思数学全套讲义的使用建议正文学而思数学全套讲义是一套针对中小学数学课程的辅导资料，旨在帮助学生巩固课堂所学知识，提高数学思维能力和解题技巧。
本文将从学而思数学全套讲义的概述、内容、特点以及使用建议四个方面进行介绍。
一、学而思数学全套讲义概述学而思数学全套讲义根据学生的学习需求和课程体系，分为小学、初中和高中三个阶段，涵盖了数学课程的全部知识点。
该套讲义以教材为基础，结合最新的教学大纲和考试要求，系统地梳理了数学知识体系，为学生提供了全面的学习辅导。
二、学而思数学全套讲义的内容学而思数学全套讲义的内容分为以下几个部分：1.知识梳理：对教材中的知识点进行系统梳理，帮助学生明确学习目标，掌握重点和难点。
2.题型解析：针对不同题型，提供解题思路和方法，帮助学生熟练掌握解题技巧。
3.例题分析：通过典型例题的讲解，使学生深入理解知识点的应用，提高解题能力。
4.练习题及答案：提供丰富的练习题，帮助学生巩固所学知识，并附有详细答案解析，便于学生自查。
三、学而思数学全套讲义的特点1.系统性强：学而思数学全套讲义以教材为基础，按照课程体系进行编排，具有很强的系统性。
2.实用性强：讲义中的题型解析和例题分析紧密结合实际教学，具有很高的实用性。
3.辅导性强：通过知识梳理、题型解析和例题分析等环节，对学生进行全面辅导，帮助学生提高数学素养。
四、学而思数学全套讲义的使用建议1.根据个人需求选择合适的讲义：学生可根据自己的学习阶段和需求，选择相应的讲义进行学习。
2.合理安排学习时间：学生应充分利用课余时间，合理安排学习进度，确保学习效果。
3.结合教材和课堂学习：学生应将学而思数学全套讲义与教材和课堂学习相结合，巩固课堂所学知识，提高自学能力。
总之，学而思数学全套讲义是一套内容丰富、实用性强的辅导资料，对学生的数学学习具有很好的辅助作用。
学而思讲义(乘法巧算)
乘法巧算文案大全
[乐乐带你课前测]
1. 鸡比鸭多10只，且鸡的数量是鸭的3倍，请问：鸭有多少只？
2.书架有两层，上面一层的书的数量是下面一层的2倍多4本，已知两层书架相差13本，那么一共有多少本书？
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3.大胖吃的包子的数量比小胖的4倍还多五个，已知大胖比小胖多吃了35个，那么小胖吃了多少个？
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速算思想：
（1）“整”比“散”好！
（2）“小”比“大”好！文案大全
（3）“乘”比“加”好！
课前活动
1.计算：
（1）2×5= （2）4×25= （3）8×125 文案大全
（4）16×625= 文案大全
2.计算
（1）37×3= （2）37×27= 文案大全
3.计算
7×11×13 文案大全
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分数基本计算与比例初步
内容提要：
分数
比例
分数
分数的概念
把整体平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数如2
5
表示把整体平均分成5份，占其中的2份
分母表示把一个物体平均分成几份，分子是表示取其中的几份注意：分母不能为0
分数的种类
真分数：分子比分母小的分数，如2
3
假分数：分子比分母大的分数，如3
2
带分数：把假分数化成整数和真分数加在一起的分数，如3
2＝1＋
2
１
＝11
2
1 / 16
分数的性质
1．分子和分母同时乘以或除以相同的数(0除外)，分数的大小不变
如2463
6
9
＝＝，
842100
5025
＝＝
2．约分与通分
42
50
25
＝
最简分数
通分：把多个分数的分母变成一样，如 2248
3412
⨯⨯＝＝
比较大小
33394
43
12
⨯⨯＝＝
注意：有时通分也可把分子变成一样
1．加减法
同分母加减法：分母不变，分子相加减，结果化为最简分数
异分母加减法：先通分，变为分母相同的分数，分子再相加减
如： 347
888＋＝ 23342761
917153153153
+=+=
2．乘除法
乘法：分子乘分子，分母乘分母 如 331231188882243⨯4⨯4=⨯====1⨯1
33123
8884010
443⨯4⨯=⨯===
55⨯5
除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数 如331218
8
824
2
343⨯4÷=⨯===4
3
⨯3
注意： 分数的乘除法运算过程中可以先约分
分数的四则混合运算的规律与整数一样
整体约分
连锁约分：44
33
22
1⨯⨯⨯=122⨯33⨯4
4⨯1=
整体约分：3333123123246369123(123)13526103915135(123)⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯++＝＝33
(123)⨯++13⨯335(123)⨯⨯++2
5
＝
我们来看看分数的乘除法
计算下列各式：28157549⨯＝；315711
÷＝。
例2
先看看分数的加减法吧 ！ 计算下列各式：2747111111
+＝；127
35
28
-
＝。
例1
5 / 16
计算：1233
1(
1.5)1 1.919725
--⨯÷＝。
例4
直接计算太麻烦，有没有简单算法呢？ 计算下列各式：99123124
⨯＝；2010201020102011
÷＝。
例3
计算：⑴1111
2008(1)(1)(1)(1)2
3
4
1000
⨯+⨯+⨯+⨯⨯+
…＝； ⑵1324264839724129612424836124816
⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯＝；
例5
比和比例初步
一、比的意义
1．比的定义：两个数相除又叫做两个数的比。
例：一面红旗，长3分米，宽2分米。
如何表示红旗的长和宽的关系呢？
⑴长是宽的几倍？
3
列式：3÷2＝
2
⑵宽是长的几倍？
2
列式：2÷3＝
3
总结：A是B的几倍＝A是B的几分之几÷B
有时我们也把这两个数量之间的关系说成：
3长和宽的比是3比2
3÷2＝
2
7 / 16
2233
÷＝
宽和长的比是2比3
例：
12
12:15121515
÷↑↑↑＝＝
前 后比项
项
值
2．比、除法和分数的区别和联系：
如：12∶15可以表示成12÷15，也可写为12
15，但仍读作：12比15
或15分之12。
3．比的基本性质：
比的前项和后项同时乘以或者除以相同的数(0除外)，比值不
变。
4．最简比：比的前项和后项为两个互质的数 例：20∶48＝(20÷4)∶(48÷4)＝5∶12
二、比例的意义
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1．比例的定义：表示两个比相等的式子叫做比例。
例：9612:154:512
8
＝＝
组成比例的四个数，叫做比例的项。
例：
2．比例的基本性质：
在以上3个比例中，我们可以发现：
12:154:5
12515460
96
9812672128
2.4:1.660:40 2.440 1.66096⇒⨯⨯⇒⨯⨯⇒⨯⨯＝ ＝＝＝＝＝＝＝＝
比例的基本性质：在比例中 内项积＝外项积
交叉相乘相等
3．解比例：求比例中的未知项，就叫做解比例。
例：
:1201:5
512011201524
x x x x ⨯⨯＝＝＝＝
4．比和比例的区别：
比的特征
⑴比是表示两个数相除的关系； ⑵比由两项组成(前项、后项)； ⑶任意两个数都能组成比。
比例的特征
⑴比例是表示两个比相等的关系；
⑵比例由四项组成(两个内项、两个外项)； ⑶任意四个数不一定都能组成比例。
5．正比例和反比例
⑴正比例：相对应的两个数的商一定(你大我就大)，这两个数就叫做成正比例
正比例关系表示：y÷x＝k（一定）
⑵反比例：相对应的两个数的积一定(你大我就小)，这两个数就叫做成反比例
反比例关系表示：x×y＝k（一定）
6．正比例和反比例的重点应用
行程问题：
⑴路程＝速度×时间
路程一定时，速度和时间成反比；
⑵时间＝路程÷速度
时间一定时，路程和速度成正比；
⑶速度＝路程÷时间
速度一定时，路程和时间成正比。
三角形问题：
⑴三角形面积＝底×高÷2
三角形面积一定时，底和高成反比；
⑵底＝三角形面积÷高×2
底一定时，三角形面积和高成正比；
⑶高＝三角形面积÷底×2
高一定时，三角形面积和底成正比。
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试试看解比例吧！
解下列比例：⑴():4358:129 ＝；⑵
32()
95361
＝
例7
学完了比和比例后让我们先来化简比吧 把下面比化成最简比：271148:60
:99
45
例6
计算：1111111
1248163264128643216842
++++++＝。
例
解比例：(
):2:34:5:() ＝
例9
解比例：⑴:(
)5:38a a ＝；⑵
2639
:1:1.537()
＝ 例8
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例
计算：14117.636 2.6412.54
5
⨯+÷+⨯＝。
例
计算：317[100(0.625)22] 6.258
4
9
⨯+⨯÷－＝。
例
(2008年华杯赛决赛)
1
640149401621
34014360244
⨯+⨯+⨯+⨯+
＝。
例
111111
(1)(1)(1)(1)(1)(1)22339999
+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯－－…－＝。
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测试题
1．计算下列各式(第一届小学《数学报》数学竞赛)
11450()59⨯-=； 11450()59÷-=； ()1
450-3505
÷=。
2． 计算下列各式： 111111111
2345678256128643216842+++++++=。
3．111111111
(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)2
4
6
8
103579
+⨯+⨯+⨯+⨯+
⨯-⨯-⨯-⨯-= 。
4．下面4个数，能写成比例吗？如果能，请写出全部比例： 3.5,5,7,10
5．解比例：():9:1524:36:()
答案
1.40；1
5062
2
；500
2.
255 36
256
3.11 10
4.7:10，10:7，5:10，10:5
5.6；60。