数学竞赛初练习题

最新高中数学奥数竞赛初练习题第I 卷（选择题）1．若x 是三角形的最小内角，则函数sin cos sin cos y x x x x =+-的最小值是（ ）A ．122-+．122+．1 D ．22．已知非零向量,a b r r 满足2a b =r r ，若函数3211().132f x x a x a bx =+++r r r 在R 上存在极值，则a r 和b r 夹角的取值范围为（ ）A. 0,6π⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. ,3ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 2,33ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦D. ,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．设抛物线y x 122=的焦点为F ，经过点P （2，1）的直线l 与抛物线相交于,A B 两点，点P 恰为AB 的中点，则|AF |+|BF |=（ ）A.8B.10C.14D.164．曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ）A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)和(1,4)--D ．(2,8)和(1,4)-- 5．如图，焦点在x 轴上的椭圆22213x y a +=（0a >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线2F P 与y 轴的正半轴交于A 点，1APF ∆的内切圆在边1PF 上的切点为Q ，若1||4F Q =，则该椭圆的离心率为（ ）A ．14B ．12C ．74D ．134 6．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()(1)x f x e x =+，给出下列①当0x >时，()(1)x f x e x =-；②函数()f x 有2 个零点；③()0f x >的解集为(1,0)(1,)-+∞U ；④12,x x R ∀∈，都有12()()2f x f x -<．其中正确命题的序号是（ ）A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④7．过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点F 作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A． B． C． D．8．定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数()1y f x =-的图象关于（1,0）成中心对称，若,s t 满足不等式()()2222f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，2t s s t -+的取值范围是（ ） A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ B ．13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．15,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ D ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦9．已知12,F F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的左右两支分别交于,A B 两点,若22::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心率为（ ）A．2 D10．已知函数0()ln(1),0x f x x x ≥=⎪--<⎩，若函数()()F x f x kx =-有且只有两个零点，则k 的取值范围为（ ）A ．(0,1)B ．1(0,)2C ．1(,1)2D ．(1,)+∞11．椭圆221mx ny +=与直线10x y +-=相交于,A B 两点，过AB 中点M 与坐标原点的直线的斜率为2，则m n的值为（ ）B C．1 D．2 A．2第II 卷（非选择题）12．等腰直角三角形ABC 中，90,2,A AB AC D =︒==是斜边BC 上一点，且3BD DC =，则()AD AB AC ⋅+=u u u r u u u r u u u r ． 13．如图，已知ABC ∆的边BC 的垂直平分线交AC 于点P ，交BC 于点Q .若3,5AB AC ==u u u r u u u r ，则()()AP AQ AB AC +⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r 的值为 .14．为了鼓励市民节约用水，太原市对已实施“一户一表、水表出户”的居民生活用水的收费标准规定如下：一级水量每户每月9立方米及以下，每立方米销售价格2.30元；二级水量每户每月9立方米以上至13.5立方米，每立方米销售价格为4.60元；三级水量每户每月13.5立方米及以上，每立方米销售价格为6.90元.（1）写出太原市居民每户每月生活用水费用y （单位：元）与其用水量x （单位：立方米）之间的关系式；（2）如图是按上述规定计算太原市居民每户每月生活用水费用的程序框图，但步骤没有全部给出，请将其补充完整（将答案写在下列横线上）.①______________；②_______________；③______________.15．有下列五个命题： （1）在平面内，1F 、2F 是定点，126F F =，动点M 满足6||||21=+MF MF ，则点M 的轨迹是椭圆；（2）过M （2,0）的直线L 与椭圆2212x y +=交于P 1、P 2两点，线段P 1P 2中点为P ，设直线L 的斜率为k 1（k 1≠0），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2等于－12； （3）“若53<<-m ,则方程13522=++-m y m x 是椭圆”； （4）椭圆221106x y +=的两个焦点为12,F F ，点P 为椭圆上的点，则能使122F PF π∠=的点P 的个数0个；（5）“2m =-”是“直线(2)+1=0m x my ++与直线(2)(2)3=0m x m y -++-垂直”的必要不充分条件；其中真命题的序号是 ．16．直线y=a 与函数f （x ）=x 3-3x 的图象有相异的三个公共点，则a 的取值范围是 ．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的离心率为22，点(2，1)在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝2相切，与椭圆C 相交于P ，Q 两点．①若直线l 过椭圆C 的右焦点F ，求△OPQ 的面积；②求证： OP ⊥OQ ．18．如图，M 是抛物线上x y =2上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA=MB.（1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值；（2）若M 为动点，且∠EMF=90°，求△EMF 的重心G 的轨迹方程19．某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西030且与该港口相距20海里的A 处，并以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶，假设该小船沿直线方向以v 海里/时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇.（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.20．已知向量(3,1)4x m =u r ，2(cos ,cos )44x x n =r . （1）若1m n ⋅=u r r ，求2cos()3x π-的值. （2）记()f x m n =⋅u r r 在ABC 中角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且满足(2)cos cos a c B b C -=，求()f A的取值范围.21．已知函数()ln()f x x x a =-+在1x =处取得极值．（1）求a 的值；21（3）求证：22)11132(*,2(2)3(3)()(1)≥--+++>∈---+L n n n N n f f n f n n n 且．（参考数据：ln20.6931≈）22．已知xx x g e x x ax x f ln )(],,0(,ln )(=∈-=，其中e 是自然常数，.a R ∈ （1）当1=a 时, 求()f x 的单调性、极值；（2）求证：在（1）的条件下，1()()2f xg x >+； （3）是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.参考答案1．A【解析】试题分析：利用三角函数的恒等变换对函数进行化简整理=-+-+=-+=]1)cos [(sin 21cos sin cos sin cos sin 2x x x x x x x x y 21)cos (sin )cos (sin 212++++-x x x x ，又)4(sin 2cos sin π+=+x x x ，所以有1]22)4[sin(21)4sin(2)4(sin 22+++-=++++-=πππx x x y ，x 是三角形的最小内角，所以有]1,22()4sin(]3,0(∈+⇒∈ππx x ，由函数的单调性可知函数在1)4sin(=+πx 取得最小值221+-，故本题的正确选项为A. 考点：三角恒等变换,函数的最值.2．B【解析】试题分析：()'2f x x a x a b =++⋅r r r ，设a r 和b r 夹角为θ，因为()f x 有极值，所以240a a b ∆=-⋅>r r r ，即24cos 0a a b θ∆=-⋅⋅>r r r ，即1cos 2θ<，所以,3πθπ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦． 考点：1、函数导数；2、二次函数零点问题．3．A【解析】试题分析：抛物线的准线为直线3y =-，设,A B 两点到准线的距离分别为12,d d ，则有12AF BF d d +=+，P 到准线的距离为134+=，所以12248AF BF d d +=+=⨯=． 考点：抛物线的定义．4．C【解析】试题分析：由题意得，设点0(,())P a f a ，由3()2f x x x =+-，得2()31f x x ¢=+，由曲线在0(,())P a f a 点处的切线平行与直线41y x =-，得到切线的斜率为4，即2()314f a a ¢=+=，解得1a =或1a =-，当1a =时，()10f =；当1a =-时，()14f -=-，即0P 的坐标为(1,0)或(-1,-4).考点：利用导数研究曲线在某点处的切线方程.【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，以及导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于以该点为切点的切线的斜率，属于基础题，体现了函数与方程思想的应用，本题的解答中设出0P 点的坐标，根据曲线在0P 点处的切线平行与直线41y x =-建立等式，从而可求出切点的横坐标，代入()f x 即可求解点0P 的坐标.5．D.【解析】试题分析：如下图所示，设另外两个切点分别为M ，N ，由题意得，11||||4F Q F M ==，设||||AM AN x ==，||||PN PQ y ==，根据对称性可知，12221||||||||||||||4AF AF PF AF AP AF AP y x y =⇒=-=-=+--4x =-，∴12||||44824PF PF x x a a +=-++==⇒=，∴16313c =-=，离心率13c e a ==，故选D ． 考点：椭圆的标准方程及其性质．6．D【解析】试题分析：由题意可知00<->x x 时，，)1-()1()()(x e x e x f x f xx --=+--=--=，可见命题①是错误的；0x <时，()(1)x f x e x =+，此时()f x 有1个零点1-=x ，当0>x ，)1-()(x e x f x -=，此时()f x 有1个零点1=x ，又()f x 为R 上的奇函数，必有0)0(=f ，即总共有3个零点，即命题②不成立；0>x ，0)1-()(>=-x e x f x，可求得解为),1(+∞，0<x ，0)1()(>+=x e x f x ，可求得解为）（0,1-，所以命题③成立；0<x 时，)2()(+='x e x f x ，令0)(='x f ，通过函数的单调性可求得此时)(x f 的值域为)0,1[2e -，则0>x 时)(x f 的值域为]10(2e ，，所以有12)()(221<≤-ex f x f .考点：奇函数的解析式与性质.【思路点睛】本题主要考查奇函数的性质，因为及函数关于原点对称，所以只要知道纵轴一侧的函数解析式，即可利用)()(x f x f -=-来求得函数在另一侧的解析式；对于奇函数的零点个数，要注意，当定义域包含0时，函数零点个数肯定为奇数，相反则为偶数；而对于命题四，则需要先求得函数的值域，而)()(21x f x f -的最值则为函数值域端点值的差.本题也可利用排除法，前面已经证明命题①②是错误的，根据选项可直接选择D. 7．C 【解析】试题分析：双曲线右焦点为)0,(22b a +，过右焦点的直线为22b a k kx y +-=，与双曲线方程联立消去y 可得到0)(2)-(22222222222222=++-++b k b k a a x b a k a x k a b ，由题意可知，当1=k 时，此方程有两个不相等的异号实根，。