数学竞赛初练习题

最新高中数学奥数竞赛初练习题

第I 卷（选择题）

1．若x 是三角形的最小内角，则函数sin cos sin cos y x x x x =+-的最小值是（ ）

A ．122-+．122+

．1 D ．2

2．已知非零向量,a b r r 满足2a b =r r ，若函数3211().132f x x a x a bx =+++r r r 在R 上存在极值，则a r 和b r 夹角的取值范围为（ ）

A. 0,6π⎡⎫⎪⎢⎣⎭

B. ,3ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦

C. 2,33ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦

D. ,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦

3．设抛物线y x 122=的焦点为F ，经过点P （2，1）的直线l 与抛物线相交于,A B 两

点，点P 恰为AB 的中点，则|AF |+|BF |=（ ）

A.8

B.10

C.14

D.16

4．曲线3

()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ）

A ．(1,0)

B ．(2,8)

C ．(1,0)和(1,4)--

D ．(2,8)和(1,4)-- 5．如图，焦点在x 轴上的椭圆22

213

x y a +=（0a >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线2F P 与y 轴的正半轴交于A 点，1APF ∆的内切圆在边1PF 上的切点为Q ，若1||4F Q =，则该椭圆的离心率为（ ）

A ．14

B ．12

C ．74

D ．134 6．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()(1)x f x e x =+，给出下列

①当0x >时，()(1)x f x e x =-；

②函数()f x 有2 个零点；

③()0f x >的解集为(1,0)(1,)-+∞U ；

④12,x x R ∀∈，都有12()()2f x f x -<．

其中正确命题的序号是（ ）

A ．①③

B ．②③

C ．②④

D ．③④

7．过双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的右焦点F 作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）

A

． B

． C

． D

．

8．定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()

12120f x f x x x -<-，且函数

()1y f x =-的图象关于（1,0）成中心对称，若,s t 满足不等式()()2222f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，

2t s s t -+的取值范围是（ ） A ．13,2⎡

⎫--⎪⎢⎣⎭ B ．13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．15,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ D ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦

9．已知12,F F 分别为双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的左右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的左右两支分别交于,A B 两点,若22::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心率为（ ）

A

．2 D

10

．已知函数0()ln(1),0

x f x x x ≥=⎪--<⎩，若函数()()F x f x kx =-有且只有两个零点，

则k 的取值范围为（ ）

A ．(0,1)

B ．1(0,)2

C ．1(,1)2

D ．(1,)+∞

11．椭圆221mx ny +=与直线10x y +-=相交于,A B 两点，过AB 中点M 与坐标原

点的直线的斜率为2，则m n

的值为（ ）

B C．1 D．2 A．

2

第II 卷（非选择题）

12．等腰直角三角形ABC 中，90,2,A AB AC D =︒==是斜边BC 上一点，且

3BD DC =，则()

AD AB AC ⋅+=u u u r u u u r u u u r ． 13．如图，已知ABC ∆的边BC 的垂直平分线交AC 于点P ，交BC 于点Q .若3,5AB AC ==u u u r u u u r ，则()()

AP AQ AB AC +⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r 的值为 .

14．为了鼓励市民节约用水，太原市对已实施“一户一表、水表出户”的居民生活用水的收费标准规定如下：一级水量每户每月9立方米及以下，每立方米销售价格2.30元；二级水量每户每月9立方米以上至13.5立方米，每立方米销售价格为4.60元；三级水量每户每月13.5立方米及以上，每立方米销售价格为6.90元.

（1）写出太原市居民每户每月生活用水费用y （单位：元）与其用水量x （单位：立方米）之间的关系式；

（2）如图是按上述规定计算太原市居民每户每月生活用水费用的程序框图，但步骤没有全部给出，请将其补充完整（将答案写在下列横线上）.①______________；②_______________；③______________.

15．有下列五个命题： （1）在平面内，1F 、2F 是定点，126F F =，动点M 满足6||||21=+MF MF ，则点M 的轨迹是椭圆；

（2）过M （2,0）的直线L 与椭圆2

212

x y +=交于P 1、P 2两点，线段P 1P 2中点为P ，设直线L 的斜率为k 1（k 1≠0），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2等于－12

； （3）“若53<<-m ,则方程13

52

2=++-m y m x 是椭圆”； （4）椭圆221106x y +=的两个焦点为12,F F ，点P 为椭圆上的点，则能使122

F PF π∠=的点P 的个数0个；

（5）“2m =-”是“直线(2)+1=0m x my ++与直线(2)(2)3=0m x m y -++-垂直”的必要不充分条件；

其中真命题的序号是 ．

16．直线y=a 与函数f （x ）=x 3-3x 的图象有相异的三个公共点，则a 的取值范围

是 ．

17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22

221x y a b

+= (a ＞b ＞0)的离心率为22

，点(2，1)在椭圆C 上．