第六章__气体的一维流动

变截面管流
➢ 变截面管流的假设
1. 完全气体 2. 定比热 3. 一维定常流动 4. 与外界没有热、功和质量交换 5. 不考虑流体的粘性影响
即定比热完全气体的一维定常流动绝能等熵流。
变截面管流
➢ 气流速度与通道截面的关系
▪ 基本方程
微分形式的 连续性方程：
d dv dA 0 vA
微分形式的 动量方程：
Ma 1 Ma 1 Ma 1
亚声速流 声速流 超声速流
气流的特定状态 参考速度 速度系数
➢ 气流的特定状态
▪ 滞止状态 ▪ 极限状态 ▪ 临界状态
气流的特定状态 参考速度 速度系数
➢ 气流的特定状态——滞止状态
▪ 滞止状态
假定气体的流动速度等熵地滞止到零时的 状态称为滞止状态。滞止状态用下标0表示。
dv 0 v
dp 0 p
d 0
dT 0 T
dA (Ma2 1) dv
A
v
dp Ma2 dv
p
v
d Ma2 dv
v
dT ( 1)Ma2 dv
T
v
变截面管流
➢ 气流速度与通道截面的关系
▪ 扩压管
2. 扩压管截面积的相对变化趋向
dA (Ma2 1) dv
A
v
dp Ma2 dv
p
v
d Ma2 dv
➢ 正激波的形成和厚度
▪ 正激波的厚度
（1）激波是有厚度的， （2）激波厚度随马赫数的增大二迅速减小， （3）激波的厚度非常小，通常忽略不ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ， （4）实际计算中将激波作为间断面来处理。
正激波
➢ 正激波的传播速度
vs
x t
连续性方程：
(2
1)
t
Ax
(2
Avg
)
0
动量方程：
Axvg
t
(2 Avg2 ) ( p1
p2 2
T2
12
物理意义——普朗特激波公式建立了正激波前后气流速度之间 的关系，即正激波前、后速度系数的乘积等于1。 正激波前来流的速度为超声速，正激波后的气流 永远为亚声速流。
12
正激波
p1 v1
1 T1
v2 p2
2 T2
12
➢ 正激波前后气流参数的关系
v2 v1
1
M
2 *1
2 ( 1)Ma12 ( 1)Ma12
气体的一维流动
微弱扰动的一维传播 声速 马赫数
➢ 微弱扰动的一维传播
微弱扰动的一维传播 声速 马赫数
➢ 声速
声音传播的速度，即微弱扰动波传播的速度。
c
(
dp
d
)s
流体：
c K
K ——流体的体积模量
完全气体： c p RT ——气体绝热指数
空气：
c 20.05 T
微弱扰动的一维传播 声速 马赫数
12
p1 v1
1 T1
v2
p2 2
T2
12
v2, p2, 2,T2 ——激波经过后的气体参数
能量方程：
h1
1 2
v12
h2
1 2
v22
v1, p1, 1,T1 ——激波经过前的气体参数
正激波
➢ 正激波前后气流参数的关系
普朗特激波公式：
v1v2 cc2r
或
M*1M*2 1
12
p1 v1
1 T1
v2
正激波
➢ 正激波的波阻
12
p1 v1
1 T1
v2 p2
2 T2
12
气流经过激波，速度降低，动量减小，熵值增加， 因而必有作用在气流上与来流方向相反的力，阻滞气 流的力，相反，气流作用在物体上也存在阻力，这种 因激波存在而产生的阻力称为波阻。
波阻的大小决定于激波的强度，激波越强，波阻 越大，反之亦然。
v
dT ( 1)Ma2 dv
T
v
Ma 1 Ma 1 Ma 1
dA 0 A dA 0 A dA 0 A
渐扩扩压管 渐缩扩压管
亚声速段扩压管截面积应逐渐增大，超声速段扩压管 截面积应逐渐减小。
变截面管流
➢ 喷管
▪ 收缩喷管
▪ 缩放喷管
变截面管流
➢ 喷管——收缩喷管
▪ 收缩喷管
1) 出口的流速和流量
2 1
M
2 *1
( 1)Ma12 2 ( 1)Ma12
p2 p1
( (
1)M
2 *1
(
1)
1) ( 1)M*21
2
1
Ma12
1 1
p1
1
正激波
T1
➢ 正激波前后气流参数的关系
T2 T1
1
M
2 *1
( (
1)
M
2 *1
(
1)
1)
(
1)M
2 *1
2 ( 1)Ma12 ( 1)Ma12
( 2
变截面管流
➢ 气流速度与通道截面的关系
▪ 喷管
使高温高压气体的热能经降压加速 转换为高速气流动能的管道。 1. 气流参数的变化趋向
dv 0 v
dp 0 p
d 0
dT 0 T
dA (Ma2 1) dv
A
v
dp Ma2 dv
p
v
d Ma2 dv
v
dT ( 1)Ma2 dv
T
v
变截面管流
M *max
vmax ccr
1 1
气流的特定状态 参考速度 速度系数
➢ 速度系数
▪ M*与Ma间的对应关系
M*
2
( 1)Ma2 ( 1)Ma2
Ma2
(
1)
2M
2 *
( 1)M*2
Ma 0时，M* 0，不可压缩流； Ma 1时，M* 1，亚声速流； Ma 1时，M* 1，声速流； Ma 1时，M* 1，超声速流；
vg
( p2 p1))2 1) 2 1
c1 ( p2 / p1 1)(2 / 1 1)
y
2 / 1
21
vg
p2, 2,T2
vs
p1, 1,T1
21
x
激波的传播速度和波后 气流的速度决定于压强突跃。
正激波
21
vg
p2, 2,T2
vs
p1, 1,T1
21
x
➢ 蓝金—许贡纽（Raankine-Hugoiniot)公式
能量方程：
h1
1 2
v12
h0
C pT1
1 2
v12
C pT0
出口气 流速度：
v1 2(h0 h1) 2C p (T0 T1)
2 1
RT0[1
(
p1 p0
)
1
]
2
p0
[1
(
p1
1
)
]
1 0
p0
2 1
RT0
(1
T1 T0
)
变截面管流
➢ 喷管——收缩喷管
▪ 收缩喷管
1) 出口的流速和流量
喷管的质 量流量：
qm
A11v1
A10 (
p1 p0
1
)
v1
qm A10
2
p0
[(
p1
2
)
(
p1
1
) ]
1 0 p0
p0
A1
2
p02
[(
p1
2
)
(
p1
)
1
]
1 RT0 p0
p0
变截面管流
dv dp
引入声 速公式：
dp vdv Ma2 dv d
pp
v
微分形式的气 体状态方程：
dp d dT pT
变截面管流
➢ 气流速度与通道截面的关系
▪ 气流速度与通道截面的关系
dA (Ma2 1) dv
A
v
dp Ma2 dv
p
v
d Ma2 dv
v
dT ( 1)Ma2 dv
T
v
➢ 气流的特定状态——极限状态
▪ 极限状态
假定气体的分子无规则运动的动能（即气 流的静温和静压均降到零）全部转换成宏观运 动动能的状态称为极限状态。
vmax
2R 1T0
1 c2 1
1 2
v2
1 1
c02
1 2
vm2ax
vmax ——气流所能达到的最大速度
气流的特定状态 参考速度 速度系数
➢ 气流的特定状态——临界状态
➢ 常用参考速度
▪ 极限速度vmax
vmax
2R 1
T0
▪ 临界声速ccr ccr RTcr 2R1T0
气流的特定状态 参考速度 速度系数
➢ 速度系数
▪ 速度系数M*
气流速度与临界声速之比称为速度系数。
M*
v ccr
▪ 引用M*的好处
（1）绝能流中
v M*ccr
（2）绝能流中极限状态时， v vmax，c 0，Ma
p1 1 T1
A'
t=t2
x
波传播绝对速度 c1
c’1+dvg1
c’’1+dvg1 +dvg2
C
波后压强 波后温度
p1+dp
p1+2dp
p1+3dp
p2 2 T2 t=t1
p1 1 T1
C
T1+d T1 T1+d T1 +d T2 T1+d T1 +d T2 +d T3 p
p2
t=t3
p1
o x
正激波
▪ 临界状态 气流速度恰好等于当地临界速度时的状态
称为临界状态。临界状态用下标cr表示。
vcr ccr
▪ 临界参数
临界压强: pcr
临界密度: cr
临界温度: Tcr
气流的特定状态 参考速度 速度系数
➢ 气流的特定状态——临界状态
▪ 滞止参数与静参数的关系
Tcr T0
cc2r c02
2
1
pcr (
➢ 声速
▪ 流体中的声速是状态参数的函数。 ▪ 在相同温度下，不同介质中有不同的声速。
流体可压缩性大，声速低； 流体可压缩性小，声速高。
▪ 在同一气体中，声速随着气体温度的升高而增高，并 与气体热力学温度的平方根成比例。
微弱扰动的一维传播 声速 马赫数
➢ 马赫数
气体在某点的流速与当地声速之比。
Ma v c
气流的特定状态 参考速度 速度系数
➢ 速度系数
▪ 用M*表示的静总参数比
T T0
c2 c02
1
1 1
M
2 *
p p0
(1
1 1
M
2 *
)
1
0
(1
1 1
M
2 *
)
1 1
正激波
➢ 激波
当超声速气流流过大的障碍物时，气流在障碍物 前将受到急剧压缩，其压强、温度和密度都将突跃地 升高，而速度突跃地降低，这种使流动参数发生突跃 变化的强压缩波叫做激波。
▪ 正激波 ▪ 斜激波 ▪ 曲激波
正激波
➢ 激波——正激波
▪ 正激波 波面与气流方向相垂直的平面激波。
Ma1>1
v1
v2
正激波
正激波
➢ 激波——斜激波
▪ 斜激波 波面与气流方向不垂直的平面激波。
Ma1>1
2< 2 max
斜激波
正激波
➢ 激波——曲激波
▪ 曲激波 波面与气流方向不垂直的曲面激波。
变截面管流
➢ 气流速度与通道截面的关系
▪ 喷管
3. 拉瓦尔喷管 气流由亚声速加速到超声速的喷管。
Ma 1
Ma 1
缩放喷管
dA (Ma2 1) dv
A
v
dp Ma2 dv
p
v
d Ma2 dv
v
dT ( 1)Ma2 dv
T
v
变截面管流
➢ 气流速度与通道截面的关系
▪ 扩压管
通过减速增压使高速气流的动能转 换为气体压强势能和内能的管道。 1. 气流参数的变化趋向
➢ 气流速度与通道截面的关系
▪ 喷管
2. 喷管截面积的相对变化趋向
dA (Ma2 1) dv
A
v
dp Ma2 dv
p
v
d Ma2 dv
v
dT ( 1)Ma2 dv
T
v
Ma 1 Ma 1 Ma 1
dA 0 A dA 0 A dA 0 A
收缩喷管 渐扩喷管
亚声速段喷管截面积应逐渐减小，超声速段喷管截面 积应逐渐增大。
12
p1 v1
1 T1
v2 p2
2 T2
12
由于经过激波气流参数的突跃变化是在极短的距 离内用极短的时间迅速完成，通常认为该过程是绝热 的，气流的总能量没有损失，即总焓不变。
但是，在气流突跃压缩过程中，由于粘性作用和 导热效应的存在，不可逆的能量转换和传递是存在的， 气流的做功能力必定要下降，熵值增加。
h
1 2
v2
h0
▪ 滞止参数
滞 止 焓: h0 滞止压强: p0
滞止密度: 0
滞止温度: T0
气流的特定状态 参考速度 速度系数
➢ 气流的特定状态——滞止状态
▪ 滞止参数与静参数的关系
p0
(1
1
Ma
2
)
1
p
2
0
(1
1
Ma
2
)
1 1
2
T0 1 1 Ma2
T
2
气流的特定状态 参考速度 速度系数
p2 ) A
21
vg
p2, 2,T2
vs
p1, 1,T1
21
x
vs ——激波的传播速度
vg ——波后气流的速度
p2, 2,T2 ——激波经过后的气体参数 p1, 1,T1 ——激波经过前的气体参数
正激波
➢ 正激波的传播速度
vs
2 p2 p1 1 2 1
c1 2 p2 / p1 1 y 1 2 / 1 1
2
) 1
p0 1
cr (
2
1
) 1
0 1
气流的特定状态 参考速度 速度系数
➢ 气流的特定状态——临界状态
▪ 当地声速c与临界声速ccr的区别
当地声速c——气体所处状态下实际存在的声速。 临界声速ccr——气体所处状态相对应的临界状态下的声速。
Ma 1 时， c ccr
气流的特定状态 参考速度 速度系数
Ma1>1
2< 2 max
曲激波
0B
A
正激波
➢ 正激波的形成和厚度
▪ 正激波的形成
波前当地声速 波后流速
第一道波 第二道波
c1
c’1
dvg1
dvg1 +dvg2
第三道波 c’’1
dvg1 +dvg2 +dvg3
0B p
p2 p1
o
p
p2 p1
o
p1 1 T1
A
t=t1
B'
p2 2 T2
B'
x A'
1 p2 1
2 1
1 p1 1 p2
1 p1
1 2 1
p2 p1
1 1 1 2
1 1
1 p2 ( p2 )2
T2 T1
1 p1
1
p2
p1 1
1 p1
经过激波的密度突跃和温 度突跃只决定于压强突跃。
正激波
➢ 正激波前后气流参数的关系
连续性方程： 1v1 2v2
动量方程：
2v22 1v12 p2 p1
1
Ma12
1) 1
12
v1
v2 p2
2
T2
12
Ma22
2 ( 1)Ma12 2Ma12 ( 1)
p02 p01
(M
2 *1
)
1
[
( (
1) (
1)M
2 *1
1)
(
M
2 *1
1)
]
1 1
[
2
( (
1)Ma12 1)Ma12
1
]
( 2
1
M
a12
1)
1
1
正激波
➢ 正激波的波阻