运输问题_整数规划
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3 11 3 10 1 9 2 8 7 4 10 5
运价
需求地 B1 b1=3
B2 b2=6
B3 b3=5
a2=4 a3=9
A2 A3
需 求 量
B4
b4=6
运输问题的表格表示
B1 A1 3 11 B2 3 B3 10 B4 7
x11
A2 1 9
x12
2
x13
8
x14
4
x21
A3 7 4
x22
10
x23
i 1
10
i i
0， Si没被选中
s.t.
x x 1 xx xx 11 x x 1 x x x x 2 x 0
i 1
1
x
7
i
5
8
8
3
5
4
5
5
6
7
8
i
或 1，i=1, … ,10
课堂练习2: 某篮球队有8名队员，其身高和专长如下表，现要选 拔5名球员上场参赛，要求： （1）中锋只有1人上场 （2）后卫至少有一人上场 （3）只有2号上场，6号才上场 要求平均身高最高，应如何选拔队员？
§4 整数规划
Integer Programming(简称IP)
一、 整数规划的一般模型
IP: max z=CX
AX=b X≥0
LP: max z=CX
AX=b X≥0 X为整数
整数规划的解法：分枝定界法或割平面法
基本思想是把一个整数规划问题化为一 系列的线性规划问题来求解
二、
0-1整数规划
投资场所的选址问题 指派问题 运动员问题 消防队问题
1. 投资场所的选址问题
某城市拟在东、西、南三区设立商业网点，备选位置有 A1~A7共7个，如果选Ai，估计投资为bi元，利润为ci元，要 求总投资不超过B元，规定 东区：A!、A2、A3中至多选2个 西区：A4、A5中至少选一个 南区：A6、A7中至少选一个 问如何设点使总利润最大？
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A3
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9
对现有方案进行调整
在负的检验数中选择绝对值最大的空格，在方案表中从该空 格出发，沿着其闭回路依次标上“+q”、 “-q”，
其中q表示最大调整量，它的取值为标“-q”的数字中最小的数值。
B1 A1 3 11
B2 3
B3
B4
1
A2 1
x14+ x24+ x34+ x44= 1 ( R任务只能一人干)
xij = 0 或 1，i,j = 1,2,3,4
课堂练习:P57例2.23
3. 背包问题 问题描述 已知：一个背包最大容量为b公斤；有m件物品供选择，每 件物品重ai公斤，价值为ci（i=1,…,m）。 问题：携带哪些物品可使总价值最大？ 一般模型 xi=
队员 身高 专长 1 1.92 中锋 2 1.90 中锋 3 1.88 前锋 4 1.86 前锋 5 1.85 前锋 6 1.83 后卫 7 1.80 后卫 8 1.78 后卫
某篮球队有8名队员，其身高和专长如下表，现要选 拔5名球员上场参赛，要求： （1）中锋只有1人上场 （2）后卫至少有一人上场 （3）只有2号上场，6号才上场 要求平均身高最高，应如何选拔队员？
§5
运输问题
一、运输问题的提出
生产某种产品， m个产地：A1,…，Am,产量：a1,…，am n个销地：B1,…，Bn,销量：b1,…，bn 已知：Ai至Bj的运输单价为cij 问题：确定Ai运往Bj的数量xij，使总运费最低？
二、运输问题的表示
网络图
运输表
线性规划模型
运输问题网络图
供应地 a1=7 供 应 量 A1
解：模型为：
Max Z 7 x1 5 x2 9 x3 6 x4 3 x5
54 x1 35 x2 57 x3 46 x4 19 x5 115 s.t. x 0 或 1 (i 1,,5) i
4. 消防队问题
某城市的消防总部将全市划分为11个防火区，设有4个消防救火站。 下图表示各防火区域与消防站的位置，其中①~④表示消防站，1~11表 示防火区域，图中连线表示各地区由哪个消防站负责（没有直线相连， 就表示不负责）。问题：可否减少消防站的数目，仍能同样负责各地区 的防火任务？如果可以，应关闭哪个消防站？
2
1 8 2
9
1
3 6 5
7
4
10
4
3
11
解：令 x i=
1， 保留第i个消防队 0， 撤消第i个消防队
则模型为
min z= x1+x2+x3+x4
x1+x2 ≥1 x1+x2 ≥1 x1 ≥1 x1 +x3 ≥1 x3 ≥1 x1 +x3+x4≥1 x1 +x4≥1 x1+x2 +x4≥1 x1 +x4≥1 x4≥1 x3+x4≥1
5
x24 x34
6 9
x31
3 6
x32
5
x33
运输问题线性规划模型
min z= 3x11 + 11x12 + 3x13 + 10 x14 + x21 + 9 x22 + 2 x23 + 8 x24 + 7 x31 + 4 x32 + 10 x33 + 5 x34 + x13 + x14 x21 + x22 + x21 + x22 x13 x14 x13 , x14 , x21, x22 , x23 , + x23 + x24 x24 , x31, x32 , x33 , + x23 + x24 x31 + x31 + x32 + x33 + x34 x34 + x32 + x33 + x34 = 7 = 4 = 9 = 3 = 6 = 5 = 6 ≥ 0
2
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+q 4
10
-q 3
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1
4 10
1 -q 6 12
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-1
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+q
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A3
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于是q=min{3,1} =1
调整后的方案为
B1 A1 3 11
B2 3
B3 10
B4
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A3
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确定初始可行调运方案 最小元素法 判别当前可行方案是否最优 闭回路法
对现有方案进行调整 闭回路法
用最小元素法确定初始可行调运方案
最小元素法的基本思想：就近尽量满足供应
B1 A1 3 11 B2 3 B3 10 B4
4
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3 0
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A3
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x11 + x12 x 11 x12 x , x , 11 12
产 量 约 束 销 量 约 束
三、运输问题的分类
产销平衡问题：∑ai= ∑bj
产销不平衡问题：
供大于求：∑ai >∑bj 供不应求：∑ai <∑bj
四、运输问题的求解——表上作业法
设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工 作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满 足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?
解：设 xi 表示第i班次时开始上班的司机和乘务人 员数,于是LP模型为:
min z=x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6
班次 时间 6：00 —— 10：00 10：00 —— 14：00 14：00 —— 18：00 18：00 —— 22：00 22：00 —— 2：00 2：00 —— 6：00 所需人数 60 70 60 50 20 30
x1 + x 6 x1 + x 2
≥ 60 ≥ 70
1 2 3 4 5 6
x2 + x 3
x3 + x 4 x4 + x 5
≥ 60
≥ 50 ≥ 20
x5 + x 6
≥ 30
x1,x2,x3,x4,x5,x6 ≥ 0且为整数
最优解：X* =(60 ，10，50 ，0 ，30 ，0）， Z*=150
xi=0或 1，i=1, … ,4
课堂练习: 某市为方便学生上学，拟在新建的居民小区增设 若干所小学。已知备选校址代号及其能覆盖的居民 小区编号如表所示，问为覆盖所有小区至少应建多 少所小学？
备选校址代号
A B C D E F
覆盖的居民小区编号
1、5、7 1、2、5 1、3、5 2、4、5 3、6 4、6
E 2 10 9 7 J 15 4 14 8 G 13 14 16 11 R 4 15 13 9
甲 乙 丙 丁
解：令
xij= min
1， 指派第i人去完成第j项任务
0， 不指派第i人去完成第j项任务 z=2x11+15x12+13x13+4x14+10x21+4x22+14x23+15x24
+9x31+14x32+16x33+13x34+7x41 +8x42+11x43+9x44
x11+ x12+ x13+ x14= 1 (甲只能干一项工作) x21+ x22+ x23+ x24= 1 (乙只能干一项工作) x31+ x32+ x33+ x34= 1 (丙只能干一项工作) x41+ x42+ x43+ x44= 1 (丁只能干一项工作) x11+ x21+ x31+ x41= 1 ( E任务只能一人干) x12+ x22+ x32+ x42= 1 ( J任务只能一人干) x13+ x23+ x33+ x43= 1 ( G任务只能一人干)
1， 物品i被选中 0，物品i没被选中
m
Max z ci xi
ai xi b s.t. i 1 xi 0 或 1
m
i 1
例：一个徒步旅行者要在背包中选择一些最有价值的物品携 带。他最多能带115kg的物品，现有5件物品，分别重54、35、 57、46、19kg，其价值依次为7、5、9、6、3。问携带哪些 物品可使总价值最大？
3
6
9源自文库
2、根据闭回路计算空格的检验数： 检验数 = 奇数顶点的单位运价之和 – 偶数顶点的单位运价之和
结论：若所有检验数都大于等于0，则当前方案最优
B1 A1 3 11 B2 3 B3 10 B4
检验数的 经济含义： 当由产地 Ai往销地Bj 增运一个 7 单位货物 时所引起 的总运输 4 成本的变 化数
max z= ci xi
解：令 x i=
7
1， Ai被选中
0， Ai没被选中
s.t.
∑ bixi≤B
i=1
7
i 1
x1+x2+x3≤2 x4+x5≥1 x6+x7≥1
xi=0或 1，i=1, … ,7
课堂练习1: 某钻井队要从S1~S10共10个井位中确定五个钻井探油，
整数规划的分类：
纯整数规划：所有变量都限制为整数
混合整数规划：仅部分变量限制为整数
0-1整数规划：变量的取值仅限于0或1
[例]
人力资源分配的问题 某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘 务人员数如下：
班次 1 2 3 4 5 6 时间 6：00 —— 10：00 10：00 —— 14：00 14：00 —— 18：00 18：00 —— 22：00 22：00 —— 2：00 —— 2：00 6：00 所需人数 60 70 60 50 20 30
解：令 x i=
1， 队员i被选中 0，队员i没被选中
1 8 max z= ci xi 5 i 1
s.t.
x
i 1
8
i
5
x1 x2 1
x6 x7 x8 1
x6 x2
xi 0 或 1，i=1, … ,8
2. 指派问题 问题描述：n项任务可由n个人完成，由于专长不同，各人 完成各任务的时间也不同，求最优安排。 要求：每人只能完成一项任务，每项任务只能由一人完成。 例： 有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种文字， 分别记作任务E、J、G、R，现有甲、乙、丙、丁四人，他们 将中文说明书翻译成不同语种说明书所需的时间如下表所示， 问应指派何人去完成何项任务，使所需总时间最少？
如果选Si，估计钻探费用为ci元，并且井位选择上要满足下列条件： （1）或选择S1和S7，或选择S8 （2）选择了S3或S4就不能选择S5，反过来也一样 （3）在S5，S6 ，S7，S8中最多只能选两个 问如何选择井位使总费用最小？
解：令 x i=
1， Si被选中
min z=
10
c x
3 0
0
0
4 0
3 0
用闭回路法进行最优性检验
1、找空格的闭回路：以某空格为起点，用水平线或 垂直线向前划，只能在碰到某一数字格时才能转弯，按照这 一规则继续前进，直到回到起始的空格为止。
B1 A1 3 11 B2 3 B3 10 B4
4
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运价
需求地 B1 b1=3
B2 b2=6
B3 b3=5
a2=4 a3=9
A2 A3
需 求 量
B4
b4=6
运输问题的表格表示
B1 A1 3 11 B2 3 B3 10 B4 7
x11
A2 1 9
x12
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x13
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x14
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A3 7 4
x22
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i 1
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0， Si没被选中
s.t.
x x 1 xx xx 11 x x 1 x x x x 2 x 0
i 1
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或 1，i=1, … ,10
课堂练习2: 某篮球队有8名队员，其身高和专长如下表，现要选 拔5名球员上场参赛，要求： （1）中锋只有1人上场 （2）后卫至少有一人上场 （3）只有2号上场，6号才上场 要求平均身高最高，应如何选拔队员？
§4 整数规划
Integer Programming(简称IP)
一、 整数规划的一般模型
IP: max z=CX
AX=b X≥0
LP: max z=CX
AX=b X≥0 X为整数
整数规划的解法：分枝定界法或割平面法
基本思想是把一个整数规划问题化为一 系列的线性规划问题来求解
二、
0-1整数规划
投资场所的选址问题 指派问题 运动员问题 消防队问题
1. 投资场所的选址问题
某城市拟在东、西、南三区设立商业网点，备选位置有 A1~A7共7个，如果选Ai，估计投资为bi元，利润为ci元，要 求总投资不超过B元，规定 东区：A!、A2、A3中至多选2个 西区：A4、A5中至少选一个 南区：A6、A7中至少选一个 问如何设点使总利润最大？
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对现有方案进行调整
在负的检验数中选择绝对值最大的空格，在方案表中从该空 格出发，沿着其闭回路依次标上“+q”、 “-q”，
其中q表示最大调整量，它的取值为标“-q”的数字中最小的数值。
B1 A1 3 11
B2 3
B3
B4
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A2 1
x14+ x24+ x34+ x44= 1 ( R任务只能一人干)
xij = 0 或 1，i,j = 1,2,3,4
课堂练习:P57例2.23
3. 背包问题 问题描述 已知：一个背包最大容量为b公斤；有m件物品供选择，每 件物品重ai公斤，价值为ci（i=1,…,m）。 问题：携带哪些物品可使总价值最大？ 一般模型 xi=
队员 身高 专长 1 1.92 中锋 2 1.90 中锋 3 1.88 前锋 4 1.86 前锋 5 1.85 前锋 6 1.83 后卫 7 1.80 后卫 8 1.78 后卫
某篮球队有8名队员，其身高和专长如下表，现要选 拔5名球员上场参赛，要求： （1）中锋只有1人上场 （2）后卫至少有一人上场 （3）只有2号上场，6号才上场 要求平均身高最高，应如何选拔队员？
§5
运输问题
一、运输问题的提出
生产某种产品， m个产地：A1,…，Am,产量：a1,…，am n个销地：B1,…，Bn,销量：b1,…，bn 已知：Ai至Bj的运输单价为cij 问题：确定Ai运往Bj的数量xij，使总运费最低？
二、运输问题的表示
网络图
运输表
线性规划模型
运输问题网络图
供应地 a1=7 供 应 量 A1
解：模型为：
Max Z 7 x1 5 x2 9 x3 6 x4 3 x5
54 x1 35 x2 57 x3 46 x4 19 x5 115 s.t. x 0 或 1 (i 1,,5) i
4. 消防队问题
某城市的消防总部将全市划分为11个防火区，设有4个消防救火站。 下图表示各防火区域与消防站的位置，其中①~④表示消防站，1~11表 示防火区域，图中连线表示各地区由哪个消防站负责（没有直线相连， 就表示不负责）。问题：可否减少消防站的数目，仍能同样负责各地区 的防火任务？如果可以，应关闭哪个消防站？
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解：令 x i=
1， 保留第i个消防队 0， 撤消第i个消防队
则模型为
min z= x1+x2+x3+x4
x1+x2 ≥1 x1+x2 ≥1 x1 ≥1 x1 +x3 ≥1 x3 ≥1 x1 +x3+x4≥1 x1 +x4≥1 x1+x2 +x4≥1 x1 +x4≥1 x4≥1 x3+x4≥1
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x24 x34
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x33
运输问题线性规划模型
min z= 3x11 + 11x12 + 3x13 + 10 x14 + x21 + 9 x22 + 2 x23 + 8 x24 + 7 x31 + 4 x32 + 10 x33 + 5 x34 + x13 + x14 x21 + x22 + x21 + x22 x13 x14 x13 , x14 , x21, x22 , x23 , + x23 + x24 x24 , x31, x32 , x33 , + x23 + x24 x31 + x31 + x32 + x33 + x34 x34 + x32 + x33 + x34 = 7 = 4 = 9 = 3 = 6 = 5 = 6 ≥ 0
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+q 4
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-q 3
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1 -q 6 12
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于是q=min{3,1} =1
调整后的方案为
B1 A1 3 11
B2 3
B3 10
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确定初始可行调运方案 最小元素法 判别当前可行方案是否最优 闭回路法
对现有方案进行调整 闭回路法
用最小元素法确定初始可行调运方案
最小元素法的基本思想：就近尽量满足供应
B1 A1 3 11 B2 3 B3 10 B4
4
1 9 2 8
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3 0
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x11 + x12 x 11 x12 x , x , 11 12
产 量 约 束 销 量 约 束
三、运输问题的分类
产销平衡问题：∑ai= ∑bj
产销不平衡问题：
供大于求：∑ai >∑bj 供不应求：∑ai <∑bj
四、运输问题的求解——表上作业法
设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工 作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满 足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?
解：设 xi 表示第i班次时开始上班的司机和乘务人 员数,于是LP模型为:
min z=x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6
班次 时间 6：00 —— 10：00 10：00 —— 14：00 14：00 —— 18：00 18：00 —— 22：00 22：00 —— 2：00 2：00 —— 6：00 所需人数 60 70 60 50 20 30
x1 + x 6 x1 + x 2
≥ 60 ≥ 70
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x2 + x 3
x3 + x 4 x4 + x 5
≥ 60
≥ 50 ≥ 20
x5 + x 6
≥ 30
x1,x2,x3,x4,x5,x6 ≥ 0且为整数
最优解：X* =(60 ，10，50 ，0 ，30 ，0）， Z*=150
xi=0或 1，i=1, … ,4
课堂练习: 某市为方便学生上学，拟在新建的居民小区增设 若干所小学。已知备选校址代号及其能覆盖的居民 小区编号如表所示，问为覆盖所有小区至少应建多 少所小学？
备选校址代号
A B C D E F
覆盖的居民小区编号
1、5、7 1、2、5 1、3、5 2、4、5 3、6 4、6
E 2 10 9 7 J 15 4 14 8 G 13 14 16 11 R 4 15 13 9
甲 乙 丙 丁
解：令
xij= min
1， 指派第i人去完成第j项任务
0， 不指派第i人去完成第j项任务 z=2x11+15x12+13x13+4x14+10x21+4x22+14x23+15x24
+9x31+14x32+16x33+13x34+7x41 +8x42+11x43+9x44
x11+ x12+ x13+ x14= 1 (甲只能干一项工作) x21+ x22+ x23+ x24= 1 (乙只能干一项工作) x31+ x32+ x33+ x34= 1 (丙只能干一项工作) x41+ x42+ x43+ x44= 1 (丁只能干一项工作) x11+ x21+ x31+ x41= 1 ( E任务只能一人干) x12+ x22+ x32+ x42= 1 ( J任务只能一人干) x13+ x23+ x33+ x43= 1 ( G任务只能一人干)
1， 物品i被选中 0，物品i没被选中
m
Max z ci xi
ai xi b s.t. i 1 xi 0 或 1
m
i 1
例：一个徒步旅行者要在背包中选择一些最有价值的物品携 带。他最多能带115kg的物品，现有5件物品，分别重54、35、 57、46、19kg，其价值依次为7、5、9、6、3。问携带哪些 物品可使总价值最大？
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9源自文库
2、根据闭回路计算空格的检验数： 检验数 = 奇数顶点的单位运价之和 – 偶数顶点的单位运价之和
结论：若所有检验数都大于等于0，则当前方案最优
B1 A1 3 11 B2 3 B3 10 B4
检验数的 经济含义： 当由产地 Ai往销地Bj 增运一个 7 单位货物 时所引起 的总运输 4 成本的变 化数
max z= ci xi
解：令 x i=
7
1， Ai被选中
0， Ai没被选中
s.t.
∑ bixi≤B
i=1
7
i 1
x1+x2+x3≤2 x4+x5≥1 x6+x7≥1
xi=0或 1，i=1, … ,7
课堂练习1: 某钻井队要从S1~S10共10个井位中确定五个钻井探油，
整数规划的分类：
纯整数规划：所有变量都限制为整数
混合整数规划：仅部分变量限制为整数
0-1整数规划：变量的取值仅限于0或1
[例]
人力资源分配的问题 某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘 务人员数如下：
班次 1 2 3 4 5 6 时间 6：00 —— 10：00 10：00 —— 14：00 14：00 —— 18：00 18：00 —— 22：00 22：00 —— 2：00 —— 2：00 6：00 所需人数 60 70 60 50 20 30
解：令 x i=
1， 队员i被选中 0，队员i没被选中
1 8 max z= ci xi 5 i 1
s.t.
x
i 1
8
i
5
x1 x2 1
x6 x7 x8 1
x6 x2
xi 0 或 1，i=1, … ,8
2. 指派问题 问题描述：n项任务可由n个人完成，由于专长不同，各人 完成各任务的时间也不同，求最优安排。 要求：每人只能完成一项任务，每项任务只能由一人完成。 例： 有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种文字， 分别记作任务E、J、G、R，现有甲、乙、丙、丁四人，他们 将中文说明书翻译成不同语种说明书所需的时间如下表所示， 问应指派何人去完成何项任务，使所需总时间最少？
如果选Si，估计钻探费用为ci元，并且井位选择上要满足下列条件： （1）或选择S1和S7，或选择S8 （2）选择了S3或S4就不能选择S5，反过来也一样 （3）在S5，S6 ，S7，S8中最多只能选两个 问如何选择井位使总费用最小？
解：令 x i=
1， Si被选中
min z=
10
c x
3 0
0
0
4 0
3 0
用闭回路法进行最优性检验
1、找空格的闭回路：以某空格为起点，用水平线或 垂直线向前划，只能在碰到某一数字格时才能转弯，按照这 一规则继续前进，直到回到起始的空格为止。
B1 A1 3 11 B2 3 B3 10 B4
4
A2 1 9 2 8
3
7
3
A3 7 4 10
1
5
4
6
3 6 5