建筑力学15压杆稳定详解

三、其它支承情况下，压杆临界力的欧拉公式
Pcr
2 EImin (L)2
压杆临界力欧拉公式的一般形式
—长度系数（或约束系数）（coefficicent of length）。 l----有效长度（effective length）
表10–1 各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式
支承情况
2E 0.56 S
c 时，由此式求临界应力 。
②s< 时：
cr s
例4 一压杆长L=1.5m，由两根 56568 等边角钢组成，两端铰
2EI
(0.7l)
2
Pcr
2EI
(0.5l ) 2
Pcr (22lE) 2I
长度系数μ =1 0.7 =0.5 =2
Pcr
2
l
EI
2
=1
例1 试由挠曲线近似微分方程，导出下述两种细长压杆的临界力
公式。
解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：
P
P
EIyM (x)PyM
M0
令:k 2 P
EI
76
.8kN
§15–3 超过比例极限时压杆临界应力
一、 基本概念 1.临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。
c
r
Pcr A
2.细长压杆的临界应力：
cr
Pcr A
2EI (L)2 A
(
2E L/i)
2
22E
即： cr
2E 2
i I ——惯性半径。 A
3.柔度： L — —杆的柔度(slenderness（) 或长细比）
y y
x
z
z
h
L1
L2
解：①绕
y 轴，两端铰支：
=1.0，
I
y
b3h 12
,
②绕 z 轴，左端固定，右端铰支：
b
Pcry
2E L22
I
y
=0.7，
I
z
bh3 12
,
Pcrz
2EIz
(0.7L1)
2
③压杆的临界力 Pcr min( Pcry , Pcrz )
例3 求下列细长压杆的临界力。
解：图(a)
构件的承载能力：
①强度(strength) ②刚度(stiffness) ③稳定性(stability)
工程中有些构
件具有足够的强度、
刚度，却不一定能
安全可靠地工作。
P
一、稳定平衡(stable equilibrium)与不稳定平衡(unstable equilibrium) 1. 不稳定平衡(unstable equilibrium)
x
Px
EIyk 2 yk 2 M
M0
P
yccoskxdsinkx
L
M0 P
M0 P
边界条件为:
x0,yy0;xL,yy0
c M , d 0, kL 2n
P
kL2n
为求最小临界力，“k”应取除零以外的最小值，即取：
所以，临界力为：
kL2
Pcr
4 2EI
L2
2EI
(L/2)2
= 0.5
例2 求下列细长压杆的临界力。
P P
y
x M
P x
P ①弯矩： M (x,y)Py
②挠曲线近似微分方程：
y M P y EI EI
y P yyk 2 y0 EI
其中:k 2 P EI
③微分方程的解： y Asin kx B coskx A—屈曲模态幅值（amplitude of bucking models）
④确定积分常数： y(0)y(L)0
P
P
I
m
in
5010 12
3
10
12
4.1710
9
m
4
10 50
z
y
Pcr (2I1ml )in2E
24.17200 (0.70.5)2
67
.14
kN
图(b)
L L
图(a)
(4545 6) 等边角钢
图(b)
IminI z 3.8910 8 m4
Pcr (2I2mli)n2E
20.389200 (20.5)2
2.压杆的稳定平衡与不稳定平衡：
稳 定 平 衡
不 稳 定 平 衡
3.压杆失稳：
4.压杆的临界压力
临界状态
稳
定 平
过
衡
对应的 压力
临界压力:
不 稳 度定 平 衡 Pcr
§15–2 细长压杆临界力的欧拉公式 一、两端铰支压杆的临界力(critical load):
假定压力已达到临界值，杆已经处于微弯状态，如图， 从挠曲线入手，求临界力。
2. 稳定平衡(stable equilibrium)
3. 稳定平衡和不稳定平衡(stable equilibrium & unstable equilibrium)
二、压杆失稳(lost stability)与临界压力(criterion compressio
1.理想压杆：材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用。
②S< 时： cr s
cr
S 的杆为小柔度杆，其临 界应力为屈服极限。
S
cr ab
③临界应力总图
P
2E
cr
2
s s a
b
P 2E
P
L
i
2.抛物线型经验公式
①P<<s 时：
cr a1b12
我国建筑业常用：
cr
s
1
c
2
对于A3钢、A5钢和16锰钢： 0.43，c
两端铰支
一端固定 另端铰支
两端固定
一端固定 另端自由
两端固定但可沿 横向相对移动
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
失
l l 0.7l l 0.5l
l 2l l 0.5l
稳 时
B
B
B
挠
D
曲
线 形
C
C
状
A
A
A
C— 挠曲 C、D— 挠
线拐点 曲线拐点
C— 挠曲线拐点
临界力Pcr 欧拉公式
Pc
r
2
l
EI
2
Pcr
即:
A0B0 As ink LBc osk
L0
0
1
0
sinkL coskL
sinkL0
kn P
L EI
临界力 Pcr 是微弯下的最小压力，故，只能取n=1 ；且 杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。
Pcr
2
EI L2
m
in
Pcr
2
EImin L2
二、此公式的应用条件：
两端铰支压杆临界力的欧拉公式
1.理想压杆； 2.线弹性范围内； 3.两端为球铰支座。
Architetural Mechanics
Chapter 15. Stability of Compress Bar
压杆稳定
§15–1 压杆稳定性的概念 §15–2 细长压杆临界力的欧拉公式 §15–3 超过比例极限时压杆临界应力 §15-4 压杆的稳定校核及其合理截面

§15–1 压杆稳定性的概念 Conception of stability of Compress bar
i
4.大柔度杆的分界：
cr
2E 2
P
2E P
P
满足 P 的杆称为大柔度杆（或 长细杆），其临界力用 欧拉公式求。
P 的杆为中小柔度杆，其 临界力不能用欧拉公式 求。
二、中小柔度杆的临界应力计算
1.直线型经验公式
①P<<S 时：
cr ab
crab s
s a b
s
sP 的杆为中柔度杆，其临 界应力用经验公式求。