人教版九年级数学下册2019年江西省中考数学试卷及答案解析

2019年江西省中考数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分每小题只有一个正确选项） 1．（3分）（2019•江西）2的相反数是( ) A ．2B ．2-C ．12D ．12-2．（3分）（2019•江西）计算211()a a÷-的结果为( ) A ．aB ．a -C ．31a -D ．31a 3．（3分）（2019•江西）如图是手提水果篮抽象的几何体，以箭头所指的方向为主视图方向，则它的俯视图为( )A ．B ．C ．D ．4．（3分）（2019•江西）根据《居民家庭亲子阅读消费调查报告》中的相关数据制成扇形统计图，由图可知，下列说法错误的是( )A ．扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比B ．每天阅读30分钟以上的居民家庭孩子超过50%C ．每天阅读1小时以上的居民家庭孩子占20%D ．每天阅读30分钟至1小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角是108︒5．（3分）（2019•江西）已知正比例函数1y 的图象与反比例函数2y 的图象相交于点(2,4)A ，下列说法正确的是( )A ．反比例函数2y 的解析式是28y x=-B ．两个函数图象的另一交点坐标为(2,4)-C ．当2x <-或02x <<时，12y y <D ．正比例函数1y 与反比例函数2y 都随x 的增大而增大6．（3分）（2019•江西）如图，由10根完全相同的小棒拼接而成，请你再添2根与前面完全相同的小棒，拼接后的图形恰好有3个菱形的方法共有( )A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．（3分）（2019•江西）因式分解：21x -= ．8．（3分）（2019•江西）我国古代数学名著《孙子算经》有估算方法：“方五，邪（通“斜” )七．见方求邪，七之，五而一．”译文为：如果正方形的边长为五，则它的对角线长为七．已知正方形的边长，求对角线长，则先将边长乘以七再除以五．若正方形的边长为1，由勾股定理得对角线长为2，依据《孙子算经》的方法，则它的对角线的长是 ．9．（3分）（2019•江西）设1x ，2x 是一元二次方程210x x --=的两根，则1212x x x x ++= ． 10．（3分）（2019•江西）如图，在ABC ∆中，点D 是BC 上的点，40BAD ABC ∠=∠=︒，将ABD ∆沿着AD 翻折得到AED ∆，则CDE ∠= ︒．11．（3分）（2019•江西）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A B C --横穿双向行驶车道，其中6AB BC ==米，在绿灯亮时，小明共用11秒通过AC ，其中通过BC 的速度是通过AB 速度的1.2倍，求小明通过AB时的速度．设小明通过AB时的速度是x米/秒，根据题意列方程得：．12．（3分）（2019•江西）在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为(4,0)，(4,4)，(0,4)，点P在x轴上，点D在直线AB上，若1DA=，CP DP⊥于点P，则点P的坐标为．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（6分）（2019•江西）（1）计算：0(1)|2|(20192)--+-+-；（2）如图，四边形ABCD中，AB CD=，AD BC=，对角线AC，BD相交于点O，且OA OD=．求证：四边形ABCD是矩形．14．（6分）（2019•江西）解不等式组：2(1)7122x xxx+>⎧⎪⎨+-⎪⎩…并在数轴上表示它的解集．15．（6分）（2019•江西）在ABC∆中，AB AC=，点A在以BC为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．（1）在图1中作弦EF，使//EF BC；（2）在图2中以BC为边作一个45︒的圆周角．16．（6分）（2019•江西）为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是；（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．17．（6分）（2019•江西）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为3( ，0)，3(，1)，连接AB，以AB为边向上作等边三角形ABC．（1）求点C的坐标；（2）求线段BC所在直线的解析式．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（8分）（2019•江西）某校为了解七、八年级学生英语听力训练情况（七、八年级学生人数相同），某周从这两个年级学生中分别随机抽查了30名同学，调查了他们周一至周五的听力训练情况，根据调查情况得到如下统计图表：周一至周五英语听力训练人数统计表年级参加英语听力训练人数周一周二周三周四周五七年级1520a3030八年级2024263030合计3544516060（1）填空：a=；（2）根据上述统计图表完成下表中的相关统计量：年级平均训练时间的中位数参加英语听力训练人数的方差七年级2434八年级14.4（3）请你利用上述统计图表对七、八年级英语听力训练情况写出两条合理的评价；（4）请你结合周一至周五英语听力训练人数统计表，估计该校七、八年级共480名学生中周一至周五平均每天有多少人进行英语听力训练．19．（8分）（2019•江西）如图1，AB为半圆的直径，点O为圆心，AF为半圆的切线，过半圆上的点C作//CD AB交AF于点D，连接BC．（1）连接DO，若//BC OD，求证：CD是半圆的切线；（2）如图2，当线段CD与半圆交于点E时，连接AE，AC，判断AED∠和ACD∠的数量关系，并证明你的结论．20．（8分）（2019•江西）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B A O--表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量： 6.8CD cm=，=，8AO cm =，35=．（结果精确到0.1)．BC cm30AB cm（1）如图2，70BC OE．∠=︒，//ABC①填空：BAO∠=︒．②求投影探头的端点D到桌面OE的距离．（2）如图3，将（1）中的BC向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时，求ABC∠的大小．（参考数据：sin700.94︒≈︒=，sin36.80.60︒=，cos200.94︒≈，cos53.20.60)五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（9分）（2019•江西）数学活动课上，张老师引导同学进行如下探究：如图1，将长为12cm的铅笔AB斜靠在垂直于水平桌面AE的直尺FO的边沿上，一端A固定在桌面上，图2是示意图．活动一如图3，将铅笔AB绕端点A顺时针旋转，AB与OF交于点D，当旋转至水平位置时，铅笔AB的中点C与点O重合．数学思考（1）设CD xcm=．=，点B到OF的距离GB ycm①用含x的代数式表示：AD的长是cm，BD的长是cm；②y与x的函数关系式是，自变量x的取值范围是．活动二（2）①列表：根据（1）中所求函数关系式计算并补全表格x cm654 3.53 2.5210.50 ()()y cm0 0.55 1.2 1.58 2.47 3 4.29 5.08②描点：根据表中数值，继续描出①中剩余的两个点(,)x y ． ③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象． 数学思考（3）请你结合函数的图象，写出该函数的两条性质或结论．22．（9分）（2019•江西）在图1，2，3中，已知ABCD Y ，120ABC ∠=︒，点E 为线段BC 上的动点，连接AE ，以AE 为边向上作菱形AEFG ，且120EAG ∠=︒．（1）如图1，当点E 与点B 重合时，CEF ∠= ︒； （2）如图2，连接AF ．①填空：FAD ∠ EAB ∠（填“>”，“ < “，“=” )； ②求证：点F 在ABC ∠的平分线上；（3）如图3，连接EG ，DG ，并延长DG 交BA 的延长线于点H ，当四边形AEGH 是平行四边形时，求BCAB的值． 六、（本大题共12分）23．（12分）（2019•江西）特例感知（1）如图1，对于抛物线211y x x =--+，2221y x x =--+，2331y x x =--+，下列结论正确的序号是 ；①抛物线1y ，2y ，3y 都经过点(0,1)C ；②抛物线2y ，3y 的对称轴由抛物线1y 的对称轴依次向左平移12个单位得到； ③抛物线1y ，2y ，3y 与直线1y =的交点中，相邻两点之间的距离相等． 形成概念（2）把满足21(n y x nx n =--+为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”． 知识应用在（2）中，如图2．①“系列平移抛物线”的顶点依次为1P ，2P ，3P ，⋯，n P ，用含n 的代数式表示顶点n P 的坐标，并写出该顶点纵坐标y 与横坐标x 之间的关系式；②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”：1C ，2C ，3C ，⋯，n C ，其横坐标分别为1k --，2k --，3k --，⋯，(k n k --为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由． ③在②中，直线1y =分别交“系列平移抛物线”于点1A ，2A ，3A ，⋯，n A ，连接n n C A ，11n n C A --，判断n n C A ，11n n C A --是否平行？并说明理由．2019年江西省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分每小题只有一个正确选项） 1．（3分）2的相反数是( ) A ．2 B ．2- C ．12 D ．12-【考点】相反数【分析】根据相反数的定义求解即可． 【解答】解：2的相反数为：2-． 故选：B ． 2．（3分）计算211()a a÷-的结果为( ) A ．aB ．a -C ．31a -D ．31a 【考点】分式的乘除法【分析】除法转化为乘法，再约分即可得． 【解答】解：原式21()a a a=-=-g ，故选：B ．3．（3分）如图是手提水果篮抽象的几何体，以箭头所指的方向为主视图方向，则它的俯视图为( )A ．B ．C ．D ．【考点】由三视图判断几何体【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 【解答】解：它的俯视图为故选：C ．4．（3分）根据《居民家庭亲子阅读消费调查报告》中的相关数据制成扇形统计图，由图可知，下列说法错误的是( )A ．扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比B ．每天阅读30分钟以上的居民家庭孩子超过50%C ．每天阅读1小时以上的居民家庭孩子占20%D ．每天阅读30分钟至1小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角是108︒ 【考点】扇形统计图【分析】根据扇形统计图中的百分比的意义逐一判断即可得．【解答】解：A ．扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比，此选项正确；B ．每天阅读30分钟以上的居民家庭孩子的百分比为140%60%-=，超过50%，此选项正确；C ．每天阅读1小时以上的居民家庭孩子占30%，此选项错误；D ．每天阅读30分钟至1小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角是360(140%10%20%)108︒⨯---=︒，此选项正确；故选：C ．5．（3分）已知正比例函数1y 的图象与反比例函数2y 的图象相交于点(2,4)A ，下列说法正确的是( )A ．反比例函数2y 的解析式是28y x=-B ．两个函数图象的另一交点坐标为(2,4)-C ．当2x <-或02x <<时，12y y <D ．正比例函数1y 与反比例函数2y 都随x 的增大而增大 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【分析】由题意可求正比例函数解析式和反比例函数解析式，由正比例函数和反比例函数的性质可判断求解．【解答】解：Q 正比例函数1y 的图象与反比例函数2y 的图象相交于点(2,4)A ，∴正比例函数12y x =，反比例函数28y x=∴两个函数图象的另一个角点为(2,4)--A ∴，B 选项错误Q 正比例函数12y x =中，y 随x 的增大而增大，反比例函数28y x=中，在每个象限内y 随x 的增大而减小，D ∴选项错误Q 当2x <-或02x <<时，12y y <∴选项C 正确故选：C ．6．（3分）如图，由10根完全相同的小棒拼接而成，请你再添2根与前面完全相同的小棒，拼接后的图形恰好有3个菱形的方法共有( )A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种【考点】菱形的判定；图形的剪拼【分析】根据菱形的性质，找出各种拼接法，此题得解． 【解答】解：共有6种拼接法，如图所示．故选：D ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．（3分）因式分解：21x -= (1)(1)x x +- ． 【考点】因式分解-运用公式法【分析】原式利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式(1)(1)x x =+-． 故答案为：(1)(1)x x +-．8．（3分）我国古代数学名著《孙子算经》有估算方法：“方五，邪（通“斜” )七．见方求邪，七之，五而一．”译文为：如果正方形的边长为五，则它的对角线长为七．已知正方形的边长，求对角线长，则先将边长乘以七再除以五．若正方形的边长为1，由勾股定理得2，依据《孙子算经》的方法，则它的对角线的长是 1.4 ． 【考点】勾股定理；正方形的性质；数学常识 【分析】根据估算方法可求解．【解答】解：根据题意可得：正方形边长为1的对角线长171.45⨯== 故答案为：1.49．（3分）设1x ，2x 是一元二次方程210x x --=的两根，则1212x x x x ++= 0 ． 【考点】根与系数的关系【分析】直接根据根与系数的关系求解．【解答】解：1x Q 、2x 是方程210x x --=的两根， 121x x ∴+=，121x x ⨯=-，1212110x x x x ∴++=-=．故答案为：0．10．（3分）如图，在ABC ∆中，点D 是BC 上的点，40BAD ABC ∠=∠=︒，将ABD ∆沿着AD 翻折得到AED ∆，则CDE ∠= 20 ︒．【考点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题） 【分析】根据三角形内角和和翻折的性质解答即可．【解答】解：40BAD ABC ∠=∠=︒Q ，将ABD ∆沿着AD 翻折得到AED ∆， 404080ADC ∴∠=︒+︒=︒，1804040100ADE ADB ∠=∠=︒-︒-︒=︒， 1008020CDE ∴∠=︒-︒=︒，故答案为：2011．（3分）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A B C --横穿双向行驶车道，其中6AB BC ==米，在绿灯亮时，小明共用11秒通过AC ，其中通过BC 的速度是通过AB 速度的1.2倍，求小明通过AB 时的速度．设小明通过AB 时的速度是x 米/秒，根据题意列方程得： 66111.2x x+= ．【考点】由实际问题抽象出分式方程【分析】设小明通过AB 时的速度是x 米/秒，根据题意列出分式方程解答即可． 【解答】解：设小明通过AB 时的速度是x 米/秒，可得：66111.2x x+=， 故答案为：66111.2x x+=，12．（3分）在平面直角坐标系中，A ，B ，C 三点的坐标分别为(4,0)，(4,4)，(0,4)，点P 在x 轴上，点D 在直线AB 上，若1DA =，CP DP ⊥于点P ，则点P 的坐标为 (2,0)或(222-，0)或(222+，0) ．【考点】一次函数图象上点的坐标特征【分析】先由已知得出1(4,1)D ，2(4,1)D -，然后分类讨论D 点的位置从而依次求出每种情况下点P 的坐标．【解答】解：A Q ，B 两点的坐标分别为(4,0)，(4,4) //AB y ∴轴Q 点D 在直线AB 上，1DA = 1(4,1)D ∴，2(4,1)D -如图：（Ⅰ）当点D 在1D 处时，要使CP DP ⊥，即使1COP ∆≅△11P AD∴111OPCO P AAD = 即441OPOP =- 解得：12OP = 1(2,0)P ∴（Ⅱ）当点D 在2D 处时，(0,4)C Q ，2(4,1)D - 2CD ∴的中点3(2,)2ECP DP ⊥Q∴点P 为以E 为圆心，CE 长为半径的圆与x 轴的交点设(,0)P x ，则PE CE =即222233(2)(0)2(4)22x -+-=+-解得：222x =±2(222P ∴-，0)，3(222P +，0)综上所述：点P 的坐标为(2,0)或(222-，0)或(222+，0)． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．（6分）（1）计算：0(1)|2|(20192)--+-+-；（2）如图，四边形ABCD 中，AB CD =，AD BC =，对角线AC ，BD 相交于点O ，且OA OD =．求证：四边形ABCD 是矩形．【考点】零指数幂；实数的运算；矩形的判定；全等三角形的判定与性质 【分析】（1）先根据相反数，绝对值，零指数幂进行计算，再求出即可；（2）先求出四边形ABCD 是平行四边形，再求出AC BD =，最后根据矩形的判定得出即可．) 【解答】解：（1）0(1)|2|(20192)--+-+121=++ 4=；（2）证明：Q 四边形ABCD 中，AB CD =，AD BC =，∴四边形ABCD 是平行四边形，2AC AO ∴=，2BD OD =， OA OD =Q ， AC BD ∴=，∴四边形ABCD 是矩形．14．（6分）解不等式组：2(1)7122x x x x +>⎧⎪⎨+-⎪⎩…并在数轴上表示它的解集．【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集 【分析】分别解不等式，进而得出不等式组的解集，进而得出答案． 【解答】解：()217122x x x x +>⎧⎪⎨+-⎪⎩①②…，解①得：2x >-， 解②得：1x -„，故不等式组的解为：21x -<„， 在数轴上表示出不等式组的解集为：．15．（6分）在ABC ∆中，AB AC =，点A 在以BC 为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）． （1）在图1中作弦EF ，使//EF BC ； （2）在图2中以BC 为边作一个45︒的圆周角．【考点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；作图-复杂作图；圆周角定理 【分析】（1）分别延长BA 、CA 交半圆于E 、F ，利用圆周角定理可等腰三角形的性质可得到E ABC ∠=∠，则可判断//EF BC ；（2）在（1）基础上分别延长AE 、CF ，它们相交于M ，则连接AM 交半圆于D ，然后证明MA BC ⊥，从而根据圆周角定理可判断45DBC =︒． 【解答】解：（1）如图1，EF 为所作；（2）如图2，BCD∠为所作．16．（6分）为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是13；（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．【考点】列表法与树状图法【分析】（1）直接根据概率公式计算可得；（2）画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可得．【解答】解：（1）因为有A，B，3C种等可能结果，所以八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是13；故答案为13．（2）树状图如图所示：共有9种可能，八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率62 93 ==．17．（6分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为3(，0)，3(，1)，连接AB，以AB为边向上作等边三角形ABC．（1）求点C 的坐标；（2）求线段BC 所在直线的解析式．【考点】待定系数法求一次函数解析式；等边三角形的性质【分析】（1）由点A 、点B ，易知线段AB 的长度，30BAH ∠=︒，而ABC ∆为等边三角形，得CA x ⊥轴，即可知CA 的长即为点C 的纵坐标，即可求得点C 的坐标（2）由（1）知点C 纵标，已知点B 的坐标，利用待定系数法即可求线段BC 所在的直线的解析式【解答】解：（1）如图，过点B 作BH x ⊥轴 Q 点A 坐标为3(，0)，点B 坐标为3(，1) 2233||(01)()222AB ∴=-+-- 1BH =Q1sin 2BH BAH AB ∴∠== 30BAH ∴∠=︒ABC ∆Q 为等边三角形 2AB AC ∴== 90CAB BAH ∴∠+∠=︒∴点C 的纵坐标为2 ∴点C 的坐标为3(，2) （2）由（1）知点C 的坐标为3(，2)，点B 的坐标为3(，1)，设直线BC 的解析式为：y kx b =+则3 123 22kbk b⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得3332kb⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故直线BC的函数解析式为3332y x=-+四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（8分）某校为了解七、八年级学生英语听力训练情况（七、八年级学生人数相同），某周从这两个年级学生中分别随机抽查了30名同学，调查了他们周一至周五的听力训练情况，根据调查情况得到如下统计图表：周一至周五英语听力训练人数统计表年级参加英语听力训练人数周一周二周三周四周五七年级1520a3030八年级2024263030合计3544516060（1）填空：a=25；（2）根据上述统计图表完成下表中的相关统计量：（3）请你利用上述统计图表对七、八年级英语听力训练情况写出两条合理的评价；（4）请你结合周一至周五英语听力训练人数统计表，估计该校七、八年级共480名学生中周一至周五平均每天有多少人进行英语听力训练．【考点】方差；中位数；用样本估计总体；折线统计图【分析】（1）由题意得：512625a=-=；（2）按照从小到大的顺序排列为：18、25、27、30、30，由中位数的定义即可得出结果；（3）参加训练的学生人数超过一半；训练时间比较合理；（4）求出抽查的七、八年级共60名学生中，周一至周五训练人数的平均数为50，用该校七、八年级共480名⨯周一至周五平均每天进行英语听力训练的人数所占比例即可．【解答】解：（1）由题意得：512625a=-=；故答案为：25；（2）按照从小到大的顺序排列为：18、25、27、30、30，∴八年级平均训练时间的中位数为：27；故答案为：27；（3）参加训练的学生人数超过一半；训练时间比较合理；（4）抽查的七、八年级共60名学生中，周一至周五训练人数的平均数为1(3544516060)50++++=，5∴该校七、八年级共480名学生中周一至周五平均每天进行英语听力训练的人数为50⨯=（人)．4804006019．（8分）如图1，AB为半圆的直径，点O为圆心，AF为半圆的切线，过半圆上的点C 作//CD AB交AF于点D，连接BC．（1）连接DO，若//BC OD，求证：CD是半圆的切线；（2）如图2，当线段CD与半圆交于点E时，连接AE，AC，判断AED∠和ACD∠的数量关系，并证明你的结论．【考点】圆周角定理；切线的判定与性质；平行线的性质【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到AB AD⊥，推出四边形BODC是平行四边形，得到OB CD=，推出四边形ADCO是平行四边形，根据平行四边=，等量代换得到CD OA形的性质得到//OC AD，于是得到结论；（2）如图2，连接BE，根据圆周角定理得到90∠+∠=︒，证EBA BAE∠=︒，求得90AEB得ABE DAE∠=∠，等量代换即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OC，Q为半圆的切线，AB为半圆的直径，AF∴⊥，AB ADBC OD，Q，////CD AB∴四边形BODC是平行四边形，∴=，OB CDQ，OA OB=∴=，CD OA∴四边形ADCO是平行四边形，OC AD∴，//CD BAQ，//∴⊥，CD ADQ，OC AD//∴⊥，OC CD∴是半圆的切线；CD（2）解：90∠+∠=︒，AED ACD理由：如图2，连接BE，Q为半圆的直径，AB∴∠=︒，90AEB90∴∠+∠=︒，EBA BAEQ，∠+∠=︒90DAE BAE∴∠+∠，ABE DAEACE ABEQ，∠=∠∴∠=∠，ACE DAEQ，∠=︒90ADE∴∠+∠=∠+∠=︒．DAE AED AED ACD9020．（8分）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B A O--表示固定支架，AO 垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量： 6.8AB cm=，30=，=，8CD cmAO cm=．（结果精确到0.1)．BC cm35（1）如图2，70BC OE．ABC∠=︒，//①填空：BAO∠=160︒．②求投影探头的端点D到桌面OE的距离．（2）如图3，将（1）中的BC向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时，求ABC∠的大小．（参考数据：sin700.94︒≈︒≈，cos53.20.60)︒=，cos200.94︒=，sin36.80.60【考点】解直角三角形的应用【分析】（1）①过点A作//AG BC，根据平行线的性质解答便可；②过点A作AF BC+-使得结果；⊥于点F，解直角三角形求出AF，进而计算AF OA CD（2）过点DE OE ⊥于点H ，过点B 作BM CD ⊥，与DC 延长线相交于点M ，过A 作AF BM ⊥于点F ，求出CM ，再解直角三角形求得MBC ∠便可．【解答】解：（1）①过点A 作//AG BC ，如图1，则70BAG ABC ∠=∠=︒，//BC OE Q ， //AG OE ∴，90GAO AOE ∴∠=∠=︒， 9070160BAO ∴∠=︒+︒=︒，故答案为：160；②过点A 作AF BC ⊥于点F ，如图2，则sin 30sin7028.2()AF AB ABE cm =∠=︒≈g ，∴投影探头的端点D 到桌面OE 的距离为：028.2 6.8827()AF A CD cm +-=+-=；（2）过点DE OE ⊥于点H ，过点B 作BM CD ⊥，与DC 延长线相交于点M ，过A 作AF BM ⊥于点F ，如图3，则70MBA ∠=︒，28.2AF cm =，6DH cm =，30BC cm =，8CD cm =， 28.2 6.86821()CM AF AO DH CD cm ∴=+--=+--=， 21sin 0.635CM MBC BC ∴∠===， 36.8MBC ∴∠=︒，33.2ABC ABM MBC ∴∠=∠-∠=︒．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（9分）数学活动课上，张老师引导同学进行如下探究：如图1，将长为12cm 的铅笔AB 斜靠在垂直于水平桌面AE 的直尺FO 的边沿上，一端A 固定在桌面上，图2是示意图． 活动一如图3，将铅笔AB 绕端点A 顺时针旋转，AB 与OF 交于点D ，当旋转至水平位置时，铅笔AB 的中点C 与点O 重合．数学思考（1）设CD xcm =，点B 到OF 的距离GB ycm =．①用含x 的代数式表示：AD 的长是 (6)x + cm ，BD 的长是 cm ； ②y 与x 的函数关系式是 ，自变量x 的取值范围是 ． 活动二（2）①列表：根据（1）中所求函数关系式计算并补全表格 ()x cm 6 5 4 3.5 3 2.5 2 1 0.5 0 ()y cm0.551.21.582.4734.295.08②描点：根据表中数值，继续描出①中剩余的两个点(,)x y ． ③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象． 数学思考（3）请你结合函数的图象，写出该函数的两条性质或结论．【考点】几何变换综合题【分析】（1）①利用线段的和差定义计算即可． ②利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． （2）①利用函数关系式计算即可． ②描出点(0,6)，(3,2)即可．③由平滑的曲线画出该函数的图象即可．（3）根据函数图象写出两个性质即可（答案不唯一）． 【解答】解：（1）①如图3中，由题意16()2AC OA AB cm ===，CD xcm =Q ，(6)()AD x cm ∴=+，12(6)(6)()BD x x cm =-+=-，故答案为：(6)x +，(6)x -．②作BG OF ⊥于G ． OA OF ⊥Q ，BG OF ⊥， //BG OA ∴，∴BG BDOA AD =， ∴666y xx-=+，366(06)6xy x x-∴=+剟， 故答案为：3666xy x-=+，06x 剟．（2）①当3x =时，2y =，当0x =时，6y =， 故答案为2，6．②点(0,6)，点(3,2)如图所示． ③函数图象如图所示．（3）性质1：函数值y 的取值范围为06y 剟． 性质2：函数图象在第一象限，y 随x 的增大而减小．22．（9分）在图1，2，3中，已知ABCD Y ，120ABC ∠=︒，点E 为线段BC 上的动点，连接AE ，以AE 为边向上作菱形AEFG ，且120EAG ∠=︒．（1）如图1，当点E 与点B 重合时，CEF ∠= 60 ︒； （2）如图2，连接AF ．①填空：FAD ∠ EAB ∠（填“>”，“ < “，“=” )； ②求证：点F 在ABC ∠的平分线上；（3）如图3，连接EG ，DG ，并延长DG 交BA 的延长线于点H ，当四边形AEGH 是平行四边形时，求BCAB的值．【考点】相似形综合题【分析】（1）根据菱形的性质计算；（2）①证明60DAB FAE ∠=∠=︒，根据角的运算解答；②作FM BC ⊥于M ，FN BA ⊥交BA 的延长线于N ，证明AFN EFM ∆≅∆，根据全等三角形的性质得到FN FM =，根据角平分线的判定定理证明结论；（3）根据直角三角形的性质得到2GH AH =，证明四边形ABEH 为菱形，根据菱形的性质计算，得到答案．【解答】解：（1）Q 四边形AEFG 是菱形， 18060AEF EAG ∴∠=︒-∠=︒， 60CEF AEC AEF ∴∠=∠-∠=︒，故答案为：60︒；（2）①Q 四边形ABCD 是平行四边形， 18060DAB ABC ∴∠=︒-∠=︒，Q 四边形AEFG 是菱形，120EAG ∠=︒，60FAE ∴∠=︒，FAD EAB ∴∠=∠，故答案为：=；②作FM BC ⊥于M ，FN BA ⊥交BA 的延长线于N ， 则90FNB FMB ∠=∠=︒， 60NFM ∴∠=︒，又60AFE ∠=︒， AFN EFM ∴∠=∠，EF EA =Q ，60FAE ∠=︒， AEF ∴∆为等边三角形，FA FE ∴=，在AFN ∆和EFM ∆中， AFN EFM FNA FME FA FE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AFN EFM AAS ∴∆≅∆，FN FM ∴=，又FM BC ⊥，FN BA ⊥，∴点F 在ABC ∠的平分线上；（3）Q 四边形AEFG 是菱形，120EAG ∠=︒， 60AGF ∴∠=︒， 30FGE AGE ∴∠=∠=︒， Q 四边形AEGH 为平行四边形，//GE AH ∴，30GAH AGE ∴∠=∠=︒，30H FGE ∠=∠=︒， 90GAH ∴∠=︒，又30AGE ∠=︒， 2GH AH ∴=，60DAB ∠=︒Q ，30H ∠=︒， 30ADH ∴∠=︒， AD AH GE ∴==，Q 四边形ABEH 为平行四边形，BC AD ∴=， BC GE ∴=，Q 四边形ABEH 为平行四边形，30HAE EAB ∠=∠=︒，∴平行四边形ABEH 为菱形，AB AH HE ∴==，3GE AB ∴=，∴3BCAB=．六、（本大题共12分） 23．（12分）特例感知（1）如图1，对于抛物线211y x x =--+，2221y x x =--+，2331y x x =--+，下列结论正确的序号是 ①②③ ；①抛物线1y ，2y ，3y 都经过点(0,1)C ；②抛物线2y ，3y 的对称轴由抛物线1y 的对称轴依次向左平移12个单位得到； ③抛物线1y ，2y ，3y 与直线1y =的交点中，相邻两点之间的距离相等． 形成概念（2）把满足21(n y x nx n =--+为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”． 知识应用在（2）中，如图2．①“系列平移抛物线”的顶点依次为1P ，2P ，3P ，⋯，n P ，用含n 的代数式表示顶点n P 的坐标，并写出该顶点纵坐标y 与横坐标x 之间的关系式；②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”：1C ，2C ，3C ，⋯，n C ，其横坐标分别为1k --，2k --，3k --，⋯，(k n k --为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由． ③在②中，直线1y =分别交“系列平移抛物线”于点1A ，2A ，3A ，⋯，n A ，连接n n C A ，11n n C A --，判断n n C A ，11n n C A --是否平行？并说明理由．【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；平行线的判定；抛物线与x 轴的交点 【分析】（1）①当0x =时，分别代入抛物线1y ，2y ，3y ，即可得1231y y y ===； ②2221y x x =--+，2331y x x =--+的对称轴分别为1x =-，32x =-，211y x x =--+的对称轴12x =-，③当1y =时，则211x x --+=，可得0x =或1x =-；2211x x --+=，可得0x =或2x =-；2311x x --+=，可得0x =或3x =-；所以相邻两点之间的距离都是1，（2）①21n y x nx =--+的顶点为(2n-，24)4n +，可得21y x =+；②横坐标分别为1k --，2k --，3k --，⋯，(k n k --为正整数），当x k n =--时，21y k nk =--+，纵坐标分别为21k k --+，221k k --+，231k k --+，⋯，21k nk --+，③当1y =时，211x nx --+=，可求1(1,1)A -，2(2,1)A -，3(3,1)A -，⋯，(,1)n A n -，21(1,1)C k k k ----+，22(2,21)C k k k ----+，23(3,31)C k k k ----+，⋯，2(,1)n C k n k nk ----+；【解答】解：（1）①当0x =时，分别代入抛物线1y ，2y ，3y ，即可得1231y y y ===；①正确；②2221y x x =--+，2331y x x =--+的对称轴分别为1x =-，32x =-，211y x x =--+的对称轴12x =-，由12x =-向左移动12得到1x =-，再向左移动12得到32x =-，②正确；③当1y =时，则211x x --+=， 0x ∴=或1x =-；2211x x --+=， 0x ∴=或2x =-；2311x x --+=， 0x ∴=或3x =-；∴相邻两点之间的距离都是1，③正确； 故答案为①②③；（2）①21n y x nx =--+的顶点为(2n-，24)4n +，令2nx =-，244n y +=，21y x ∴=+；31 ②Q 横坐标分别为1k --，2k --，3k --，⋯，(k n k --为正整数）， 当x k n =--时，21y k nk =--+， ∴纵坐标分别为21k k --+，221k k --+，231k k --+，⋯，21k nk --+， ∴∴相邻两点之间的距离都相等； ③当1y =时，211x nx --+=， 0x ∴=或x n =-，1(1,1)A ∴-，2(2,1)A -，3(3,1)A -，⋯，(,1)n A n -， 21(1,1)C k k k ----+，22(2,21)C k k k ----+，23(3,31)C k k k ----+，⋯，2(,1)n C k n k nk ----+， Q 211111k k k k --+-=+--+，2211122k k k k --+-=+--+，2311133k k k k --+-=+--+，⋯，2111k nk k k n n --+-=+--+，11//n n n n C A C A --∴；。