《有关重复的排列组合的解题归纳》
有重复元素的排列组合计算
有重复元素的排列组合计算
为了解决有重复元素的排列组合计算问题，我们需要明确一些基本概念和原则。
1. 重复元素：在排列组合中，如果存在相同的元素，则称这些元素为重复元素。
2. 排列：排列是指从给定的一组元素中取出若干个元素进行有序排列的方式。
对于有重复元素的排列，我们需要考虑重复元素的不同排列情况。
3. 组合：组合是指从给定的一组元素中取出若干个元素进行无序组合的方式。
对于有重复元素的组合，我们需要去除重复元素所导致的重复情况。
为了计算有重复元素的排列组合，可以按照以下步骤进行：
1. 确定元素集合：首先，我们需要确定参与排列组合计算的元素集合，并将其列出。
2. 计算元素频次：对于有重复元素的集合，我们需要计算每个元素的频次，即该元素在集合中出现的次数。
3. 计算排列数量：对于有重复元素的排列，我们可以使用重复排列公式进行计算。
假设元素集合中存在n个不同的元素，其中第i个元素的频次为m[i]，则有重复元素的排列数量为
4. 计算组合数量：对于有重复元素的组合，我们可以使用组合公式进行计算。
假设元素集合中存在n个不同的元素，其中第i个元素的频次为m[i]，则有重复元素的组合数量为
这些方法可以帮助我们计算有重复元素的排列组合。
需要注意的是，对于较大的元素集合或频次较大的情况，计算量可能较大，可以考虑使用计算工具或编程语言进行辅助计算。
排列组合经典题型及解法
排列组合是组合数学中的一个重要概念，涉及到对一组对象进行排列或组合的方式。
下面列举几个经典的排列组合题型及解法：
1. 排列问题：
-题型：从n个不同元素中选取m个元素，有多少种排列方式？
-解法：使用排列数的公式P(n, m) = n! / (n-m)!，其中n!表示n 的阶乘。
2. 组合问题：
-题型：从n个不同元素中选取m个元素，有多少种组合方式？
-解法：使用组合数的公式C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)，其中n!表示n的阶乘。
3. 重复排列问题：
-题型：从n个元素中选取m个元素进行排列，允许元素重复，有多少种排列方式？
-解法：使用重复排列数的公式P'(n, m) = n^m，其中^n表示n的m次方。
4. 重复组合问题：
-题型：从n个元素中选取m个元素进行组合，允许元素重复，有多少种组合方式？
-解法：使用重复组合数的公式C'(n, m) = C(n+m-1, m)，其中C(n, m)表示组合数。
5. 圆排列问题：
-题型：将n个不同的物体围成一个圆圈，有多少种不同的排列方式？
-解法：使用圆排列数的公式P(n) = (n-1)!。
以上是一些常见的排列组合题型及其解法。
在实际问题中，可能会出现更加复杂和变化的情况，需要根据具体问题进行分析和推导解法。
重复元素的排列组合问题
重复元素的排列组合问题简介在排列组合问题中，有时会涉及到重复的元素。
这篇文档将介绍如何解决重复元素的排列组合问题。
问题描述重复元素的排列组合问题指的是在一个集合中存在多个相同的元素，在进行排列组合时需要考虑这些重复元素的情况。
简单来说，就是要找出所有可能的排列组合，而不考虑元素的顺序。
解决方法解决重复元素的排列组合问题有几种常用的方法：1. 使用集合可以使用集合来存储元素，从而去除重复的元素。
然后，对于每个集合中的元素，分别计算其排列组合。
最后将所有的排列组合合并起来，得到最终的结果。
2. 使用递归可以使用递归的方式来解决重复元素的排列组合问题。
首先选择一个元素，然后对剩余的元素进行递归计算其排列组合。
最后将选择的元素插入到每个递归计算的结果中，得到最终的排列组合。
示例下面通过一个示例来说明如何解决重复元素的排列组合问题：假设有一组数字 {1, 2, 2}，要求找出所有可能的排列组合。
使用集合首先去除重复的元素，得到集合 {1, 2}。
然后计算集合 {1, 2}的排列组合，得到结果 {1, 2} 和 {2, 1}。
接下来考虑重复的元素2，将其插入到排列组合的每个位置中，得到结果 {1, 2, 2}、{2, 1, 2} 和 {2, 2, 1}。
最终得到所有可能的排列组合为 {1, 2}、{2, 1}、{1, 2, 2}、{2, 1, 2} 和 {2, 2, 1}。
使用递归首先选择元素 1，然后递归计算剩余元素 {2, 2} 的排列组合。
得到结果 {2, 2} 和 {2, 2}。
然后将选择的元素 1 插入到递归计算的结果中，得到结果 {1, 2, 2} 和 {1, 2, 2}。
最后将元素 2 插入到递归计算的结果中，分别得到结果 {2, 1, 2} 和 {2, 2, 1}。
最终得到所有可能的排列组合为 {1, 2, 2}、{1, 2, 2}、{2, 1, 2} 和 {2, 2, 1}。
结论重复元素的排列组合问题可以通过使用集合或者递归的方法来解决。
含有重复元素的排列组合计算
含有重复元素的排列组合计算1. 排列排列是指从某一给定的元素集合中，按照一定的顺序选择若干元素进行排列的方法。
当集合中的元素存在重复时，计算排列的方法需要进行相应的调整。
1.1 无重复元素的排列当集合中的元素各不相同时，计算排列的方法非常简单。
假设集合中共有n个元素，则需要从中选择r个元素进行排列。
计算方法可以使用排列数公式进行计算：$$P_n^r = \frac{{n!}}{{(n-r)!}}$$其中，$n!$表示n的阶乘，即$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \ldots \times 2 \times 1$。
1.2 含有重复元素的排列当集合中的元素存在重复时，计算排列的方法稍有不同。
假设集合中有n个元素，其中某个元素重复了m次，需要从中选择r个元素进行排列。
计算方法可以通过对原始的排列数进行调整得到：$$P_n^r = \frac{{n!}}{{(n-r)!}}$$但是这个结果并不是最终的排列数，因为重复元素造成了重复的情况。
为了消除这些重复，需要将重复元素的排列数除以重复元素的阶乘，得到最终的排列数：$$P_n^r = \frac{{n!}}{{(n-r)! \times m!}}$$2. 组合组合是指从某一给定的元素集合中，按照一定的顺序选择若干元素形成子集的方法。
与排列不同，组合中的元素选择并不考虑顺序。
2.1 无重复元素的组合当集合中的元素各不相同时，计算组合的方法比较简单。
假设集合中共有n个元素，需要从中选择r个元素进行组合。
计算方法可以使用组合数公式进行计算：$$C_n^r = \frac{{n!}}{{r! \times (n-r)!}}$$2.2 含有重复元素的组合当集合中的元素存在重复时，计算组合的方法也需要进行相应的调整。
假设集合中有n个元素，其中某个元素重复了m次，需要从中选择r个元素进行组合。
计算方法可以通过对原始的组合数进行调整得到：$$C_n^r = \frac{{n!}}{{r! \times (n-r)!}}$$但是这个结果并不是最终的组合数，因为重复元素造成了重复的情况。
排列组合问题中的重复计算剖析
排列组合问题中的重复计算剖析在解答排列组合问题中，易犯的错误是遗漏与重复。
遗漏多半比较明显,而重复较为隐蔽.本文对一些隐蔽的重复计算错误举例剖析.研究失误的原因，寻求补正和预防的方法。
例1 某天有六节不同的课，若第一节排数学,或第六节排体育,问共有多少种不同的排法?错解数学排第一节的排法有5A种，体育排第六节的排法也有55A5种，根据加法原理，第一节排数学或排体育的排法共有5A＋55A＝525A＝240种5剖析在数学排第一节的排法中，存在着体育排第六节的排法，在排体育第六节的排法中，存在着数学排第一节的排法，它重复计算了数学排第一节，同时体育排第六节的排法，即多算4A种。
正确结4果是：5A＋55A－44A＝216种5例2 从4名男生3名女生中选3人成立科技小组,问当选者中至少有一名男生和一名女生的选法有几种?错解先选一名男生，有1C种选法，再选一名女生,有13C种选法,4最后从余下的5名学生中选一名有1C种选法，故共有选法14C13C15C5＝60种剖析上述解法中，每一种选法都符合要求，但是否有重复计算呢？为此我们不妨设4名男生为A1，A2，A3,A4，3名女生为B1，B2，B3，把上面选法中含有一名男生的选法分为4类。
在含有男生A1的一类的选法有：A1，B1，A2，即先选A1，再选B1，最后选A2；在含有男生A 2的一类中有A 2， B 1，A 1,即先选A 2，再选B 1,最后选A 1.显然这两种选法被重复计算了。
因此上述解法是错误的。
错误的原因在于没有将符合要求的选法进行正确分类，分类要不重不漏. 正解 以男生人数分类，则符合条件的有且仅有两类，一类是男生一名女生两名,有1243C C 种选法，另一类是男生两名女生一名，有2143C C .故共有1243C C ＋2143C C ＝30种 例3 n 个不同的球放入n －1个不同的盒子，假设每个盒子都有足够大的容量，问每个盒子中至少有一个球的放法共有多少种？错解 先在每盒子中放入一球共有1n n A -种放法，再将剩下的一球放入，有n －1种放法。
含有重复元素的排列组合计算
含有重复元素的排列组合计算引言在排列组合中，当元素存在重复时，计算的方法与不重复元素的情况有所不同。
本文将介绍含有重复元素的排列组合计算方法。
排列计算排列是从一组元素中选出特定数量的元素进行排列的方式。
当元素存在重复时，计算排列的方法如下：1. 计算总的排列数量，即将所有元素都排列的情况。
2. 对于每个重复的元素，计算它们之间的排列数量，并将这些数量相乘。
3. 将所有元素的排列数量相乘，得到最终的排列数量。
组合计算组合是从一组元素中选取特定数量的元素的方式，与排列不同的是组合不考虑元素的顺序。
当元素存在重复时，计算组合的方法如下：1. 计算总的组合数量，即从所有元素中选取特定数量元素的情况。
2. 对于每个重复的元素，计算它们之间的组合数量，并将这些数量相乘。
3. 将所有元素的组合数量相乘，得到最终的组合数量。
示例假设有一组元素：A, A, B, C。
我们要从中选取2个元素进行排列和组合计算。
排列计算总的排列数量为4! = 4x3x2x1 = 24。
其中，重复的元素A有2个，所以它们之间的排列数量为2! = 2x1 = 2。
最终的排列数量为24 / 2 = 12。
组合计算总的组合数量为C(4,2) = 4! / (2!(4-2)!) = 6。
其中，重复的元素A有2个，所以它们之间的组合数量为C(2,2) = 1。
最终的组合数量为6 / 1 = 6。
结论含有重复元素的排列和组合计算可以通过计算总的排列或组合数量，并考虑重复元素之间的排列或组合数量来得到最终的结果。
以上是关于含有重复元素的排列组合计算的介绍。
希望对您有所帮助！。
浅析排列组合中的重复计算问题-无锡洛社高级中学
浅析排列组合中的重复计算问题-无锡洛社高级中学例析排列组合中的重复计算的产生及对策无锡市洛社高级中学戎钢学生在解排列组合的题目时，往往容易出现考虑不周全，漏解的情况。
另外有些类型的排列组合题目较容易出现重复计算的问题，而且此类问题较隐蔽，学生不容易发现。
在解题时，应做到既不重复遗漏，又能判断解题的正误，并能加以剖析。
这样对于学生解题能力的提高大有好处。
一、分步引起的重复计算例1:从4台甲型机和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型机各1台，则不同的取法有多少种？【错解】先保证各1台，在从剩下的机子中任取一台。
即分三步：第一步从甲型机中取一台，有14C 种取法；第二步从乙型机中取一台，有15C 种取法；第三步从剩下的七台机子中取一台，有17C 种取法，根据乘法原理，共有111457140C C C ??=种取法。
【分析】设甲型机种有a 、b 两台机子，乙型机中有A 、B 两台机子，根据上述选法，其中有一种取法可以是“先选a ，再选A ，再选b ”,另外一种取法是“先选b ，再选A ，再选a ”。
而很明显，上述两种取法是同一种结果，出现重复。
究其原因是本题使用的是分类计数原理（分步原理）。
而分步必然有先有后，也就有顺序，跟排列有关。
本题中无论是取两台甲型机还是两台乙型机，对于这两台机而言，只是一个组合，没有先后，因此重复了两遍。
【正解】根据结果分类，第一类：两台甲型机，有2145C C ?种取法；第二类：两台乙型机，有1245C C ?种取法，根据分类计数原理，共有2112454570C C C C ?+?=种取法。
二、涉及到平均分组中的重复计算例2:袋中有红、白、黄球各一个，每次任取一球，记下颜色后放回，当各种颜色均被取到时结束，则取球结束时，一共取了五次的不同取法有多少种？【错解】由题意，第五次一定是第三种颜色的球。
前四次取到其他两种颜色的球。
先分步，第五次有13C 种颜色的可能，再分类讨论前四次的情况，第一类：剩下的两种颜色的球，一种颜色的取到三次，另外一种取到一次。
☆排列组合解题技巧归纳总结
排列组合解题技巧归纳总结排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合 问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题； 其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。
教学内容1. 分类计数原理（加法原理）完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有m i 种不同的方法，在第2类办法中有 m 2种不同的方法，…，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有：N = m 1 + m 2 +出 + m n种不同的方法.2. 分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m i 种不同的方法，做第2步有m 2种 不同的方法，…，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有：N = m∏ × m 2 H × m n种不同的方法.3. 分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个 事件.解决排列组合综合性问题的一般过程如下：1. 认真审题弄清要做什么事2. 怎样做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确 定分多少步及多少类。
3. 确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合（无序）问题,元素总数是多少及 取出多少个元素.4. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一. 特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位先排末位共有C 3然后排首位共有c 4最后排其它位置共有A由分步计数原理得C ：C 3A ：=288 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法 ，若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其它元素.若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求 ，再处理其它位 置。
排列组合常见模型及解题技巧
排列组合常见模型及解题技巧排列组合常见模型及解题技巧___________________________________排列组合是数学中的一个重要概念，其主要用于解决有关物品数量、顺序、种类等问题，十分重要。
尤其在中考、高考中，排列组合模型非常常见。
因此，想要在考试中取得好成绩，需要对排列组合的相关知识有所了解。
### 一、常见的排列组合模型1. 元素排列模型：当有n个元素时，可以有n!种不同的排列方式。
2. 重复的排列模型：当有n个元素中有m个重复的元素时，可以有$\frac{n!}{m!}$种不同的排列方式。
3. 选择排列模型：当从n个元素中选出m个元素进行排列时，可以有$\frac{n!}{(n-m)!}$种不同的排列方式。
4. 组合模型：当从n个元素中选出m个元素进行组合时，可以有$\frac{n!}{m!(n-m)!}$种不同的组合方式。
5. 组合中出现重复的情况：当从n个元素中选出m个元素进行组合时，若有k个重复的元素，可以有$\frac{n!}{(m-k)!(n-m)!}$种不同的组合方式。
### 二、解题技巧1. 明确问题：排列组合问题一般都是要求出物品的总数量或者某一种情况出现的总次数。
因此，在解决这样的问题之前，要明确问题是要计算出总数量还是总次数。
2. 对物品进行分类：在解决排列组合问题时，要明确物品的数量、重复的情况以及可以选择的情况，将物品分成不同的分类。
3. 认真计算：根据不同的情况，选择对应的模型来计算出总数量或者总次数。
在计算之前一定要仔细地去理解问题，以免出错。
4. 熟悉常用公式：在处理排列组合问题时，要能够准确地使用对应的公式来计算出正确的答案。
因此，对于常用的公式一定要牢记于心，并能够准确地使用。
### 三、总结通过本文，我们可以了解到排列组合常见的几个模型以及如何正确地使用它们来解决问题。
排列组合问题是数学考试中常见的问题之一，因此在备考考试时一定要加强对这方面的学习。
排列组合解题技巧归纳总结
排列组合解题技巧归纳总结排列组合问题联系实际生动有趣,但题型多样,思路灵活,因此解决排列组合问题,首先要认真审题,弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征,采用合理恰当的方法来处理;教学内容1.分类计数原理加法原理完成一件事,有n 类办法,在第1类办法中有1m 种不同的方法,在第2类办法中有2m 种不同的方法,…,在第n 类办法中有m 种不同的方法,那么完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理乘法原理完成一件事,需要分成n 个步骤,做第1步有1m 种不同的方法,做第2步有2m 种不同的方法,…,做第n步有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事;分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段,不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类;3.确定每一步或每一类是排列问题有序还是组合无序问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有13C然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排;由分步计数原理可得共有522522480A A A 种不同的排法练习题:某人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种,第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中,且两个新节目不相邻,那么不同插法的种数为 30四.定序问题倍缩空位插入策略例人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:倍缩法对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7373/A A空位法设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A 种方法,其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法,则共有47A 种方法;思考:可以先让甲乙丙就坐吗插入法先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法练习题:10人身高各不相等,排成前后排,每排5人,要求从左至右身高逐渐增加,共有多少排法 510C五.重排问题求幂策略例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有67种不同的排法练习题：1． 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为 422. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法87 六.环排问题线排策略例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于,坐成圆形没有首尾之分,所以固定一人44A 并从此位置把圆形展成直线其余7人共有8-1种排法即7A B C D E AE H G F练习题：6颗颜色不同的钻石,可穿成几种钻石圈 120 七.多排问题直排策略例人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有24A 种,再排后4个位置上的特殊元素丙有14A 种,其余的5人在5个位置上任意允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可以逐一安排各个元素的位置,一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有n-1种排法.如果从n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排列共有1mn A n排列有55A 种,则共有215445A A A 种前 排后 排练习题：有两排座位,前排11个座位,后排12个座位,现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐,并且这2人不左右相邻,那么不同排法的种数是 346八.排列组合混合问题先选后排策略例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有25C 种方法.再把4个元素包含一个复合元素装入4个不同的盒内有44A 种方法,根据分步计数原理装球的方法共有2454C A练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 种九.小集团问题先整体后局部策略例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有22A 种排法,再排小集团内部共有2222A A 种排法,由分步计数原理共有222222A A A 种排法.练习题：１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一 品种的必须连在一起,并且水彩画不在两端,那么共有陈列方式的种数为254254A A A2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有255255A A A 种十.元素相同问题隔板策略例10.有10个运动员名额,分给7个班,每班至少一个,有多少种分配方案 解：因为10个名额没有差别,把它们排成一排;相邻名额之间形成９个空隙;在９个空档中选６个位置插个隔板,可把名额分成７份,对应地分给７个班级,每一种插板方法对应一种分法共有69C 种分法;一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研小集团排列问题中,先整体后局部,再结合其它策略进行处理;一班二班三班四班六班七班练习题：1． 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法 49C2 .100x y z w +++=求这个方程组的自然数解的组数 3103C 十一.正难则反总体淘汰策略例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数,使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种 解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法;这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有35C ,只含有1个偶数的取法有1255C C ,和为偶数的取法共有123555C C C +;再淘汰和小于10的偶数共9种,符合条件的取法共有1235559C C C +-练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种十二.平均分组问题除法策略例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法解: 分三步取书得222642C C C 种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF,若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF 该分法记为AB,CD,EF,则222642C C C 中还有AB,EF,CD,CD,AB,EF,CD,EF,ABEF,CD,AB,EF,AB,CD 共有33A 种取法 ,而这些分法仅是AB,CD,EF 一种分法,故共有22236423/C C C A 种分法;将n 个相同的元素分成m 份n,m 为正整数,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板,插入n 个元素排成一排的n-1个空隙中,所有分法数为11m n C -- 有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰. 平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以nn A n 为均分的组数避免重复计数;练习题：1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法 544213842/C C C A名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法 15403.某校高二年级共有六个班级,现从外地转 入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排2名,则不同的安排方案种数为______22224262/90C C A A = 十三. 合理分类与分步策略例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法 解：10演员中有5人只会唱歌,2人只会跳舞3人为全能演员;选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有2233C C 种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员112534C C C 种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有2255C C 种,由分类计数原理共有22112223353455C C C C C C C ++种;练习题：1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座 谈会,若这4人中必须既有男生又有女生,则不同的选法共有342. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法. 27本题还有如下分类标准：以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准 以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准 以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准 都可经得到正确结果 十四.构造模型策略例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有35C 种解含有约束条件的排列组合问题,可按元素的性质进行分类,按事件发生的连续过程分步,做到标准明确;分步层次清楚,不重不漏,分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终;练习题：某排共有10个座位,若4人就坐,每人左右两边都有空位,那么不同的坐法有多少种120十五.实际操作穷举策略例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法解：从5个球中取出2个与盒子对号有25C 种还剩下3球3盒序号不能对应,利用实际操作法,如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒3号球装4号盒时,则4,5号球有只有1种装法,同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有252C 种4号盒 5号盒练习题：1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有多少种 92.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有 72种54321十六. 分解与合成策略例16. 30030能被多少个不同的偶数整除分析：先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5 × 7 ×11×13依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积,所有的偶因数为：1234555555C C C C C ++++练习:正方体的8个顶点可连成多少对异面直线一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型,如占位填空模型,排队模型,装盒模型等,可使问题直观解决 对于条件比较复杂的排列组合问题,不易用公式进行运算,往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四体共有体共481258C -=,每个四面体有十七.化归策略 例17. 25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种解：将这个问题退化成9人排成3×3方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉,如此继续下去.从3×3方队中选3人的方法有111321C C C 种;再从5×5方阵选出3×3取3行3列有3355C C 选法所以从5×53人有3311155321C C C C C 选法;练习题:某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路,从A 走到B 的最短路径有多少种3735C =BA十八.数字排序问题查字典策略例18．由0,1,2,3,4,5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数 解:297221122334455=++++=A A A A A N练习:用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第71个数是 3140 十九.树图策略处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题,通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法,从而进下一步解决原来的问题例19．3人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过5次传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方式有______ 10=N练习: 分别编有1,2,3,4,5号码的人与椅,其中i 号人不坐i 号椅54321,,,,i =的不同坐法有多少种44=N二十.复杂分类问题表格策略例20．有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A 、B 、C 、D 、E 五个字母,现从中取5只,要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种不同的取法 解二十一：住店法策略解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复,另一类不能重复,把不能重复的元素看作“客”,能重复的元素看作“店”,再利用乘法原理直接求解.例21.七名学生争夺五项冠军,每项冠军只能由一人获得,获得冠军的可能的种数有 .分析：因同一学生可以同时夺得n 项冠军,故学生可重复排列,将七名学生看作7家“店”,五项冠军看作5名“客”,每个“客”有7种住宿法,由乘法原理得75种.小结本节课,我们对有关排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩固;排列组合历来是学习中的难点,通过我们平时做的练习题,不难发现排列组合题的特点是条件隐晦,不易挖掘,题目多变,解法独特,数字庞大,难以验证;同学们只有对基本的解题策略熟练掌握;根据它们的条件,我们就可以选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化,举一反三,触类旁通,进而为后续学习打下坚实的基础;一些复杂的分类选取题,要满足的条件比较多, 无从入手,经常出现重复遗漏的情况,用表格法,则分类明确,能保证题中须满足的条件,能达到好的效。
排列组合中“重复”的产生及纠正
排列组合中“重复”的产生及纠正有些类型的排列、组合应用题是较容易出现错误解法的，其中产生的错误原因之一是由于重复造成的。
现举几例对排列组合问题中“重复”现象产生的原因加以剖析、纠正，以期望对于提高解排列、组合应用题及分析解决问题的能力能有较大益处。
一、“至少”问题易重复例1：在100件产品中有3件次品，从这些产品中取出4件，至少有1件次品的抽法有多少种？解法1：先在3件次品中抽出1件，抽法有13C 种；然后在其余的99件产品（含未被抽出的2件次品）中任意抽出3件，抽法有399C 种，这样抽出的4件产品至少含1件次品。
根据分步计数原理，符合题意的抽法有47054739913=⋅C C （种）。
点评：解法1 是错的，假设A 、B 、C 分别为三件次品，D 为某一合格品，“先抽出A （13C 的一种可能），再抽B 、C 、D （399C 的一种可能）”与先抽出B ，再抽A 、C 、D 是相同的抽法，所以解法1含3件次品的抽法重复而导致错误。
又，假设E 是另一合格品，“先抽出A ，再抽出B 、D 、E ”与“先抽出B ，再抽出A 、D 、E ”是相同的抽法，所以解法1中多出的种数还有含2件次品的抽法重复在内。
正确方法：直接法456385197332972339713=⋅+⋅+⋅C C C C C C 或间接法4563854974100=-C C 种。
2、均分组问题易重复例2：将8个不同的小球分成四堆，每堆2个，共有多少种不同的分堆方法？ 解法1 ：分四步完成。
首先，从8个不同的小球中任意取出2个作为一堆 ，有28C 种取法；然后，从其余的6个小球中任取2个作为一堆，有26C 种取法；再者，从剩下的4个小球中任取2个作为一堆，有24C 种取法；最后，留下的2个作为一堆，有22C 种取法；根据分步计数原理，共有不同的分堆方法种数为252022242628=⋅⋅⋅C C C C 种。
点评：解法1是错误的，比如将8个不同的小球编号，对应号码分别为1，2，3，…，8。
重复元素的排列组合问题
重复元素的排列组合问题
1. 问题描述
在数学中，我们经常遇到需要对一组元素进行排列组合的问题。
通常情况下，我们要求的是不含重复元素的排列组合。
然而，在实
际应用中，我们也会遇到包含重复元素的排列组合问题。
本文将讨
论如何解决这类问题。
2. 使用集合方法求解
一种解决重复元素的排列组合问题的方法是使用集合。
对于一
个包含 n 个元素的集合，如果其中有重复元素，我们可以先计算出
每个元素的出现次数，然后根据这些次数求解排列组合。
具体步骤如下：
1. 统计每个元素的出现次数；
2. 根据出现次数计算排列数和组合数。
例如，假设我们有一个包含 10 个元素的集合 {A, A, B, C, C, C, D, D, E, F}，我们可以统计每个元素的出现次数如下：
然后，我们可以根据这些出现次数计算排列数和组合数。
3. 结论
通过使用集合方法，我们可以解决包含重复元素的排列组合问题。
首先，我们需要统计每个元素的出现次数，然后使用这些次数计算排列数和组合数。
这种方法可以帮助我们更好地处理实际应用中的排列组合问题，提高问题求解的效率。
以上是关于重复元素的排列组合问题的简要介绍。
参考文献：。
排列组合常见题型及解题策略(详解)
排列组合常见题型及解题策略一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复， 把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类 问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同报名方法（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法【解析】：（1）43（2）34 （3）34【例2】 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（ ）A 、38B 、83C 、38AD 、38C【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的 结果。
所以选A 二．相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.【例1】,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有【解析】：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A 种【例2】（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A. 360 B. 188 C. 216 D. 96【解析】： 间接法 6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，22223242C A A A =432种， 其中男生甲站两端的有1222223232A C A A A =144，符合条件的排法故共有288三．相离问题插空法 ：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A 种【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有 种不同的插法（具体数字作答）【解析】： 111789A A A =504【例3】 高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是【解析】：不同排法的种数为5256A A ＝3600【例4】 某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。
排列组合问题解法总结
排列组合问题的常见解法一.元素相同问题隔板策略例1.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排．相邻名额之间形成９个空隙．在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有69C 种分法．注：这和投信问题是不同的，投信问题的关键是信不同，邮筒也不同，而这里的问题是邮筒不同，但信是相同的．即班级不同，但名额都是一样的． 练习题：个相同的球装5个盒中,每盒至少一个有多少装法 49C 2.100x y z w +++=求这个方程组的自然数解的组数 3103C 二.环排问题直排策略如果在圆周上m 个不同的位置编上不同的号码，那么从n 个不同的元素的中选取m 个不同的元素排在圆周上不同的位置，这种排列和直线排列是相同的；如果从n 个不同的元素的中选取m 个不同的元素排列在圆周上，位置没有编号，元素间的相对位置没有改变，不计顺逆方向，这种排列和直线排列是不同的，这就是环形排列的问题．一个m 个元素的环形排列，相当于一个有m 个顶点的多边形，沿相邻两个点的弧线剪断，再拉直就是形成一个直线排列，即一个m 个元素的环形排列对应着m 个直线排列，设从n 个元素中取出m 个元素组成的环形排列数为N 个，则对应的直线排列数为mN 个，又因为从n 个元素中取出m 个元素的排成一排的排列数为mnA 个，所以mn mN A=，所以m nA N m=．即从n 个元素中取出m 个元素组成的环形排列数为m nA N m =．n 个元素的环形排列数为!(1)!n n A n N n n n===-例2. 8人围桌而坐,共有多少种坐法解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人44A 并从此位置把圆形展成直线其余7人共有(81)!7!-=种排法，即7!7654321840=⨯⨯⨯⨯⨯⨯= 种七班练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120 三.多排问题直排策略例人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.先排前４个位置，２个特殊元素有24A 种排法,再排后4个位置上的特殊元素丙有14A 种,其余的5人在5个位置上任意排列有55A 种,则共有215445A A A 种排法．（排好后，按前４个为前排，后４人为后排分成两排即可）练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346解：由于甲乙二人不能相邻，所以前排第1,4,8,11四个位置和后排第１，１２位置是排甲乙中的一个时，与它相邻的位置只能排除一个，而其它位置要排除３个，所以共有排列11116181417108238346C C C C +=+=四.排列组合混合问题先选后排策略例4.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有25C 种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有44A 种方法，根据分步计数原理装球的方法共有2454C A练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 种五.小集团问题先整体后局部策略例5.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数在1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个（注：两个偶数２，４在两个奇数１，５之间，这是题意，说这个结构不能被打破，故３只能排这个结构的外围，也就是说要把这个结构看成一个整体与３进行排列）．解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有22A 种排法，再排小集团内部共有2222A A 种排法，由分步计数原理共有222222A A A 种排法.练习题：１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为254254A A A 2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有255255A A A 种 六.正难则反总体淘汰策略例6.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法．这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有35C ,只含有1个偶数的取法有1255C C ,和为偶数的取法共有123555C C C +．再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有1235559C C C +-练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的 抽法有多少种七.平均分组问题除法策略例7. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法解: 分三步取书得222642C C C 种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF ，若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF),则222642C C C 中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有33A 种取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有22264233C C C A 种分法．练习题：1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法（544138422C C C A ） 名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的 分组方法 （1540）3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为______（2224262290C C A A =） 八. 合理分类与分步策略例8.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员．选上唱歌人员为标准进行研究 只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有2233C C 种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员112534C C C 种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有2255C C 种，由分类计数原理共有 22112223353455C C C C C C C ++种．解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。
排列组合解题运算技巧
排列组合解题运算技巧
排列组合是概率论和组合数学中的基本概念，解题时需要灵活运用一些技巧。
以下是一些排列组合解题的常见技巧：
排列：
1. 基本定义：排列是指从一组元素中取出一部分元素进行安排，考虑元素的顺序。
2. 公式：对于n个不同的元素，取r个进行排列的方法数为\(P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}\)。
3. 重复排列：如果有重复的元素，需要除以重复元素的阶乘。
组合：
1. 基本定义：组合是指从一组元素中取出一部分元素，不考虑元素的顺序。
2. 公式：对于n个不同的元素，取r个进行组合的方法数为\(C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}\)。
3. 二项式定理：\((a+b)^n\) 的展开式中各项的系数就是\(C(n, r)\)。
常见技巧：
1. 分步法：复杂问题可以分解为若干个简单的排列或组合问题。
2. 分类讨论：当问题中有多个条件时，可以分情况讨论，再求解各种情况下的排列或组合。
3. 相对排列组合：某些问题中，可以将问题转化为相对排列或组合，简化计算。
4. 应用场景：排列组合常见于概率、统计、密码学等领域，多在计数问题中使用。
5. 注意特殊情况：在排列组合中，0的阶乘为1，\(C(n, 0) = C(n, n) = 1\)。
这些技巧在解决排列组合问题时可以提供一些指导。
在具体问题中，理解问题的本质，巧妙应用这些技巧，可以更高效地解决问题。
排列组合常见题型及解答
一．可重复的摆列求幂法：重复摆列问题要划分两类元素：一类能够重复，另一类不可以重复，把不能重复的元素看作“客” ，能重复的元素看作“店” ，则经过“住店法”可顺利解题，在这种问题使用住店办理的策略中，重点是在正确判断哪个是底数，哪个是指数【例 1】（ 1）有 4 名学生报名参加数学、物理、化学比赛，每人限报一科，有多少种不一样的报名方法（2）有 4 名学生参加抢夺数学、物理、化学比赛冠军，有多少种不一样的结果（3）将 3 封不一样的信投入 4 个不一样的邮筒，则有多少种不一样投法【分析】：（1）（ 2）（ 3）【例 2】把6名实习生疏派到7 个车间实习共有多少种不一样方法【分析】：达成此事共分 6 步，第一步；将第一名实习生疏派到车间有7 种不一样方案，第二步：将第二名实习生疏派到车间也有7 种不一样方案，挨次类推，由分步计数原理知共有种不一样方案 .【例 3】 8 名同学抢夺 3 项冠军，获取冠军的可能性有（）A、B、C、D、【分析】：冠军不可以重复，但同一个学生可获取多项冠军，把8 名学生看作8 家“店”， 3 项冠军看作 3 个“客”，他们都可能住进随意一家“店” ，每个“客”有 8 种可能，所以共有种不一样的结果。
所以选 A二．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，看作一个大元素参加摆列.【例 1】 A,B,C,D,E五人并排站成一排，假如A,B 一定相邻且 B 在 A 的右侧，那么不一样的排法种数有【分析】：把 A,B 视为一人，且 B 固定在 A 的右侧，则此题相当于 4 人的全摆列，种【例 2】（ 2009 四川卷理） 3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，若男生甲不站两头， 3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不一样排法的种数是（）A. 360B. 188C. 216D. 96【分析】：间接法 6位同学站成一排， 3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，，此中男生甲站两头的有，切合条件的排法故共有288三．相离问题插空法：元素相离（即不相邻）问题，可先把无地点要求的几个元素全摆列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两头.【例 1】七人并排站成一行，假如甲乙两个一定不相邻，那么不一样的排法种数是【分析】：除甲乙外，其余 5 个摆列数为种，再用甲乙去插 6 个空位有种，不一样的排法数是【例 2】书架上某层有 6 本书，新买 3 本插进去，要保持原有 6 本书的次序，有种不一样的插法（数字作答）【分析】：【例 3】高三（一）班学要安排毕业晚会的 4 各音乐节目， 2 个舞蹈节目和 1 个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不一样排法的种数是【分析】：不一样排法的种数为＝3600【例 4】某工程队有 6 项工程需要独自达成，此中工程乙一定在工程甲达成后才能进行，工程丙必须在工程乙达成后才能进行，有工程丁一定在工程丙达成后立刻进行。
排列组合二项定理知识点总结
排列组合二项定理知识点总结一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可以有重复元素的排列.从m 个不同元素中，每次取出n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = mn.. 例如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：n m 种）二、排列.1. ⑴对排列定义的理解.定义：从n 个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.⑵相同排列.如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ⑶排列数.从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号mn A 表示.⑷排列数公式：),,()!(!)1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-=+--=注意：!)!1(!n n n n -+=⋅ 规定0! = 1111--++=⋅+=m nm n m n m m m n m n mA A C A A A 11--=m n m n nA A 规定10==nn n C C 2. 含有可重元素的排列问题.对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a1，a2,…...an 其中限重复数为n1、n2……nk ，且n = n1+n2+……nk , 则S 的排列个数等于!!...!!21k n n n n n =.例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3!2!1)!21(=+=n又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数1!3!3==n .三、组合.1. ⑴组合：从n 个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.⑵组合数公式：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n mmm nm n -=+--== ⑶两个公式：①;mn nm n C C -= ②m n m n m n C C C 11+-=+ ①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素，因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合.（或者从n+1个编号不同的小球中，n 个白球一个红球，任取m 个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有1m n 111m nC C C--=⋅一类是不含红球的选法有m nC ） ②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m 个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n 个元素中再取m-1个元素，所以有C1-m n，如果不取这一元素，则需从剩余n 个元素中取出m 个元素，所以共有C mn 种，依分类原理有mn m n m n C C C 11+-=+.⑷排列与组合的联系与区别.联系：都是从n 个不同元素中取出m 个元素.区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系. ⑸①几个常用组合数公式 nn nn n n C C C 2210=+++ 11111121153142011112++--++++++-+=+==++=+++=+++k n k n k n k n m n m m n m m m m m m n n n n n n n n C n C k nC kC C C C C C C C C C C C②常用的证明组合等式方法例.i. 裂项求和法. 如：)!1(11)!1(!43!32!21+-=++++n n n （利用!1)!1(1!1n n n n --=-）ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法. v. 递推法（即用mn m n m nC C C11+-=+递推）如：413353433+=+++n n C C C C C . vi. 构造二项式. 如：nn n n n n C C C C 222120)()()(=+++ 证明：这里构造二项式n n nx x x 2)1()1()1(+=++其中n x 的系数，左边为22120022110)()()(n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C +++=⋅++⋅+⋅+⋅-- ，而右边nnC2= 四、排列、组合综合.1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型： ①直接法. ②排除法.③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n 个不同元素排成一列，要求其中某)(n m m ≤个元素必相邻的排列有m mm n m n A A ⋅+-+-11个.其中11+-+-m n m n A 是一个“整体排列”，而m m A 则是“局部排列”.又例如①有n 个不同座位，A 、B 两个不能相邻，则有排列法种数为-2n A 2211A A n ⋅-.②有n 件不同商品，若其中A 、B 排在一起有2211A A n n ⋅--. ③有n 件不同商品，若其中有二件要排在一起有112--⋅n n n A A . 注：①③区别在于①是确定的座位，有22A 种；而③的商品地位相同，是从n 件不同商品任取的2个，有不确定性.④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.例如：n 个元素全排列，其中m 个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？mm n m n m n A A 1+---⋅（插空法），当n – m+1≥m, 即m≤21+n 时有意义.⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n 个元素进行全排列有n n A 种，)(n m m 个元素的全排列有m mA 种，由于要求m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n 个元素排成一列，其中m 个元素次序一定，共有m mn n A A 种排列方法.例如：n 个元素全排列，其中m 个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？ 解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n = n ！/ m ！；解法二：（比例分配法）mmn n A A /. ⑦平均法：若把kn 个不同元素平均分成k 组，每组n 个，共有kknnn n k n kn AC C C )1(-⋅.例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有3!224=C （平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了）又例如将200名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？（!2/102022818CC C P =）注意：分组与插空综合. 例如：n 个元素全排列，其中某m 个元素互不相邻且顺序不变，共有多少种排法？有mmm m n m n mn AAA/1+---⋅，当n – m+1 ≥m, 即m≤21+n 时有意义. ⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.例如：124321=+++x x x x 的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为4321,,,x x x x 显然124321=+++x x x x ，故（4321,,,x x x x ）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解),,,(4321y y y y ，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数311C .注意：若为非负数解的x 个数，即用n a a a ,...,21中i a 等于1+i x ，有A a a a A x x x x n n =-+-+-⇒=+++1...11 (21321)，进而转化为求a 的正整数解的个数为1-+n nA C. ⑨定位问题：从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列规定某r 个元素都包含在内，并且都排在某r 个指定位置则有r k rn r r A A --. 1x 2x 3x 4例如：从n 个不同元素中，每次取出m 个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少种排法？固定在某一位置上：11--m n A ；不在某一位置上：11---m n m n A A 或11111----⋅+m n m m n A A A （一类是不取出特殊元素a ，有mn A 1-，一类是取特殊元素a ，有从m-1个位置取一个位置，然后再从n-1个元素中取m-1，这与用插空法解决是一样的）⑩指定元素排列组合问题.i. 从n 个不同元素中每次取出k 个不同的元素作排列（或组合），规定某r 个元素都包含在内 。
排列组合解题技巧归纳总结
排列组合解题技巧归纳总结一、排列组合解题概述排列组合解题是一种常见的数学解题方法，它是从实际问题中抽象出的数学思路，即利用数学的思想研究问题的中可能的不同情况。
它是指将从某概念领域中抽出的元素，按一定规则进行排列组合，以求出符合要求的所有可能情况，并且再对这些可能情况进行比较选择。
二、关于排列组合解题的技巧1、熟悉必要的知识排列组合解题一般有四种情形，分别是无重复排列，有重复排列，无重复组合，有重复组合。
读者在学习排列组合解题技巧时要先熟练掌握这四种情形的基本概念。
2、理解问题为正确解决排列组合解题，必须结合问题本身，仔细阅读题干，弄清所求的具体内容，讨论其间的联系和规律，并把握到全局。
3、合理分类将题目中的个体或要素，按某种形式或方法进行分类，这样就可以有效地缩小解题范围，把问题转化成容易求解的形式。
4、计算概率排列组合解题究竟有多少种可能，有时可以利用数学概率公式，计算概率，从而辅助解题，快速缩小解题步骤，提高解题效率。
5、模拟实验在排列组合解题过程中，可以采用模拟实验的方法，通过模拟试验来找出具体的结果情况，以有效节约解题时间。
6、求解问题求解排列组合解题有三种方法：因式分解法、基本计算法和穷举法。
因式分解法是把问题分解为几个不同的小问题进行全面求解；基本计算法就是用一定的数学计算技巧，用必要的算式和穷举函数，来对复杂的问题进行求解；穷举法就是把所有可能的情况都列出来，逐一筛查出正确的结果。
三、总结排列组合的解题方法，是从实际问题中抽象出的数学思路，它可以帮助我们把复杂的问题转化为容易解答的数学计算。
其具体解题技巧也有很多，这就要求读者先有足够的数学知识，精确把握问题，合理地分类，根据题意来确定使用穷举法、因式分解法、基本计算法等，以最短时间最高效地解决问题。
☆排列组合解题技巧归纳总结
共有
A
4 7
种方法,其余的
三个位置甲乙丙共有
1
种坐法，则共有
A
4 7
种方法。
思考:可以先让甲乙丙就坐吗?
(插入法）先排甲乙丙三个人,共有 1 种排法，再把其余 4 四人依次插入共有
方法
定序问题可以用倍缩
练习法题:，10 还人身可高转各不化相为等占,排位成前插后排,每排 5 人，要求从左至右身高逐渐增加，
排法.如果从 n 个不同元素中取出 m 个元素作圆形
练习排题：列６共颗颜有色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 １20
七.多排问题直排策略
例７．8 人排成前后两排，每排 4 人，其中甲乙在前排，丙在后排,共有多少排法
解：8 人排前后两排，相当于 8 人坐 8 把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊
元素有
A
2 4
置.
先排末位共有 C31 然后排首位共有 C41 最后排其它位置共有 A43 由分步计数原理得 C41C31A43 288
C
1 4
A34
C 13
位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最
常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先
安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为
练习题:７种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两 端的花盆里,问有多少不同的种法？
法 78
六．环排问题线排策略
例 6. 8 人围桌而坐,共有多少种坐法？
解:围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人
A
4 4
并
从此位置把圆形展成直线其余 7 人共有(８-1）！种排法即 7 !
C
D
B
《有关重复的排列组合的解题归纳》
有关重复的排列组合的解题归纳我们常见的排列、组合问题，其中的元素通常是不可重复的，下面我们看几类可重复的排列、组合问题。
一. 有重复排列–––分步计数原理例1. 4个同学争夺3项竞赛冠军，冠军获得者共有几种可能情况？解：完成这件事情可分三步：（1）第一项冠军有4种可能；（2）第二项冠军有4种可能；（3）第三项冠军有4种可能。
所以可能情况有：4×4×4＝64（种）。
一般地，从n 个不同元素里取出允许重复的m 个元素，按一定顺序排成一列，那么，第1、第2、…、第m 个位置上选取元素的方法都有n 种。
由分步计数原理得每次从n 个不同元素里取出允许重复的m 个元素的排列数为：N n n n n m n m n N m n m =⋅⋅⋅⋅=∈≤ (,,)*相关练习：用0，1，2，…，9这10个数字可组成多少个8位数字的电话号码？（108）二. 不尽相异元素的排列–––组合法例2. 小麦、大麦品种各1种，种在5种不同土质的试验田里，3块种小麦，2块种大麦，有多少种种法？解：这5个不尽相异的元素有3个相同，另2个相同，所以共有：C C 535210==（种）种法。
一般地，在n 个不尽相异的元素里，如果有m 1个元素相同，又有m 2个元素相同，并且m 1＋m 2＝n ，那么这n 个元素的不同排列种数N C C n m nm ==12。
三. 相同元素分组––––隔板法例3. 5个相同小球放到4个不同盒子里，每盒至少有1个，共有多少种放法？解法1：每盒先放入1球，剩下1球任选1盒，共有：C 414=（种）放法。
解法2：（第一隔板法）5个小球可形成6个空隙，由于每盒至少放1个小球，所以除去两边空隙还剩4个空，只要在这4个位置上隔进3个板，即可满足要求。
所以有：C 434=（种）放法。
例4. 将5个相同小球放到4个不同盒子里（盒子可空），共有多少种放法？ 解法1：（分类法）第一类：全部放入1个盒子里，有：C 414=（种）放法；第二类：放入2个盒子里，有：C 42424⨯=（种）放法；第三类：放入3个盒子里，有：C 43624⨯=（种）放法；第四类：放入4个盒子里，有4种放法。
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有关重复的排列组合的解题归纳
我们常见的排列、组合问题，其中的元素通常是不可重复的，下面我们看几类可重复的排列、组合问题。
一. 有重复排列–––分步计数原理
例1. 4个同学争夺3项竞赛冠军，冠军获得者共有几种可能情况？
解：完成这件事情可分三步：（1）第一项冠军有4种可能；（2）第二项冠军有4种可能；（3）第三项冠军有4种可能。
所以可能情况有：4×4×4＝64（种）。
一般地，从n 个不同元素里取出允许重复的m 个元素，按一定顺序排成一列，那么，第1、第2、…、第m 个位置上选取元素的方法都有n 种。
由分步计数原理得每次从n 个不同元素里取出允许重复的m 个元素的排列数为：
N n n n n m n m n N m n m =⋅⋅⋅⋅=∈≤ (,,)*
相关练习：
用0，1，2，…，9这10个数字可组成多少个8位数字的电话号码？（108）
二. 不尽相异元素的排列–––组合法
例2. 小麦、大麦品种各1种，种在5种不同土质的试验田里，3块种小麦，2块种大麦，有多少种种法？
解：这5个不尽相异的元素有3个相同，另2个相同，所以共有：C C 535210==（种）种法。
一般地，在n 个不尽相异的元素里，如果有m 1个元素相同，又有m 2个元素
相同，并且m 1＋m 2＝n ，那么这n 个元素的不同排列种数N C C n m n
m ==12。
三. 相同元素分组––––隔板法
例3. 5个相同小球放到4个不同盒子里，每盒至少有1个，共有多少种放法？
解法1：每盒先放入1球，剩下1球任选1盒，共有：C 414=（种）放法。
解法2：（第一隔板法）
5个小球可形成6个空隙，由于每盒至少放1个小球，所以除去两边空隙还
剩4个空，只要在这4个位置上隔进3个板，即可满足要求。
所以有：C 434
=（种）放法。
例4. 将5个相同小球放到4个不同盒子里（盒子可空），共有多少种放法？ 解法1：（分类法）
第一类：全部放入1个盒子里，有：C 414=（种）放法；
第二类：放入2个盒子里，有：C 42424⨯=（种）放法；
第三类：放入3个盒子里，有：C 43624⨯=（种）放法；
第四类：放入4个盒子里，有4种放法。
所以，共有：4＋24＋24＋4＝56（种）放法。
解法2：（第二隔板法）
将4个盒子与5个小球看成9个相同元素，除去两边形成8个空隙，将这8个空隙隔进3个板，即有：C 8356=（种）放法。
一般地，相同元素分组，可用隔板法。
如果每组至少一个元素可用第一隔板法，如果没有要求可用第二隔板法。
相关练习：
1. 某校准备参加2006年全国数学联赛，把10个名额分给高三8个班，每班
至少1人，不同的分配方案有几种？（C 9736=）
2. 某校准备参加2006年全国数学联赛，把10个名额分给高三8个班，不同
的分配方案有几种？（C 17719448=）
四. 平均分组问题––––平均分给几组，除以几的阶乘
例5. 将6个同学平均分成3组有多少种分法？
错解：分法有：C C C 62422290⨯⨯=（种）
分析：若将6个同学编号，假如分组情况如下：1、2；3、4；5、6。
先挑出1、2与后挑出1、2是同一情况，没有先后顺序差别，上面的解法产生了重复。
正解：分法有：C C C 624222315⋅⋅=!
（种） 一般地，把不同的元素平均分成几组，就除以几的阶乘。
相关练习：
将5个不同礼品分成3组，则有几种分法？
(!!
)C C C C 532152322225⋅+⋅=。