二次函数的基本解析式与图像变换进阶篇(上)
二次函数的图像表示与解析
顶点：h, k
开口方向：a>0时 ，向上开口；a<0 时，向下开口
开口大小：|a|越 大，开口越小
二次函数的对称轴
二次函数的基本 形式为 y=ax^2+bx+c
对称轴的公式为 x=-b/2a
对称轴的几何意 义是函数图像的 对称轴
对称轴的应用可 以帮助我们理解 和分析二次函数 的性质和图像
03 二次函数的图像表示
单调递减，右侧单调递增
二次函数的对称轴为x=-b/2a
二次函数的极值点
极值点的定义：函数在某点的值大 于或小于其邻近点的值，则称该点 为函数的极值点。
极值点的性质：在极值点处，函数 的导数为0，且函数值在该点两侧 单调性发生变化。
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
应用领域：经济、工程、物理等领 域中广泛涉及最优化问题，二次函 数作为基础数学工具具有重要应用 价值。
利用二次函数解决生活中的问题
计算最优化问 题：利用二次 函数求最值， 解决生活中的 资源分配、成 本预算等问题。
物理建模：在 物理现象中， 利用二次函数 描述加速度、 速度与时间的 关系，解决运
动学问题。
二次函数的极值点：对于一般形式 的二次函数y=ax^2+bx+c，其极 值点x坐标为x=-b/2a。
极值点的应用：在数学、物理、工 程等领域中，极值点常用于解决最 优化问题，如最大值、最小值问题。
二次函数的零点求解
定义：二次函数的零点是指函数值 为0的x值
公式法：将二次函数化为标准形式， 利用公式计算零点
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
求解方法：使用公式或图像法求解
图像法：通过观察二次函数的图像， 找到与x轴交点的横坐标
二次函数图像与性质完整归纳
二次函数图像与性质完整归纳二次函数的图像与性质二次函数是高中数学中的重要内容之一，掌握其图像与性质是必不可少的。
二次函数的基本形式是y=ax^2，其中a表示开口方向和抛物线开口大小，x^2表示自变量的平方。
根据a的正负，抛物线的开口方向和顶点的坐标可以得到不同的性质。
当a>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴；当a<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴。
在y=ax^2的基础上，加上常数项c可以得到y=ax^2+c的形式，其中c表示抛物线在y轴上的截距。
根据a和c的正负，抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴可以得到不同的性质。
当a>0，c>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴；当a>0，c0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴；当a<0，c<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴。
除了基本形式和加上常数项的形式，二次函数还有一种顶点式的形式y=a(x-h)^2+k，其中（h，k）表示顶点坐标。
根据a的正负，抛物线的开口方向和顶点坐标可以得到不同的性质。
当a>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h。
在顶点式的基础上，加上常数项k可以得到y=a(x-h)^2+k的形式。
根据a和k的正负，抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴可以得到不同的性质。
当a>0，k>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a>0，k0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a<0，k<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h。
二次函数图象的平移二次函数的图像可以通过平移来得到新的图像。
平移的步骤是先确定顶点坐标，然后根据顶点坐标的变化来确定平移方向和距离。
二次函数图像的变换与解析式
二次函数图像的变换与解析式二次函数是高中数学中的重要内容之一，它具有广泛的应用领域，如物理学、经济学等。
在学习二次函数时，我们不仅需要掌握其图像的变换规律，还需要了解其解析式的推导方法。
首先，我们来讨论二次函数图像的变换。
对于一般的二次函数y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，我们可以通过改变a、b、c的值来实现图像的平移、翻转和缩放等变换。
首先，当a的值发生变化时，二次函数的图像会发生缩放。
当a>1时，图像会变得更加瘦长；当0<a<1时，图像会变得更加扁平；当a<0时，图像会上下翻转。
这是因为a决定了二次函数的开口方向和大小。
其次，当b的值发生变化时，二次函数的图像会发生平移。
当b>0时，图像会向左平移；当b<0时，图像会向右平移。
这是因为b决定了二次函数图像的对称轴位置。
最后，当c的值发生变化时，二次函数的图像会发生上下平移。
当c>0时，图像会向上平移；当c<0时，图像会向下平移。
这是因为c决定了二次函数图像与y 轴的交点位置。
除了上述变换规律外，我们还可以通过组合这些变换来实现更加复杂的图像变换。
例如，如果我们希望将二次函数图像向左平移2个单位，并且同时使图像更加瘦长，我们可以将b的值设为-2，a的值设为2。
接下来，我们来讨论二次函数的解析式。
对于一般的二次函数y = ax^2 + bx + c，我们可以通过配方法来推导其解析式。
首先，我们将二次函数写成完全平方的形式，即y = a(x + p)^2 + q。
其中p和q 为常数，需要根据实际情况进行确定。
然后，我们展开完全平方的式子，得到y = a(x^2 + 2px + p^2) + q。
接下来，我们将展开后的式子进行化简，得到y = ax^2 + 2apx + ap^2 + q。
最后，我们将化简后的式子与原始的二次函数进行比较，得到a、b、c与p、q 之间的关系。
通过解方程组，我们可以求解出p和q的值，进而得到二次函数的解析式。
初三数学课程-第8讲-二次函数的基本解析式与图像变换(上)
初三数学：模块一 二次函数的解析式三种形式解析式一般式： __________________________________________________。
顶点式： __________________________________________________。
两根式： __________________________________________________。
【例1】⑴把函数y ＝－2x 2＋4x ＋3配方成y ＝a (x －h )2＋k 的形式，得 ，当x ＝____时，函数y 有最大值______。
⑵把函数y ＝x 2＋4x －5配方成y ＝a (x －x 1)(x －x 2)的形式为 ，当x ＝____时，y ＝0。
【例2】⑴(常德中考)已知二次函数过点A (0，－2)，B (－1，0)，5948C ，。
求此二次函数的解析式。
⑵(通州期末)已知二次函数图象的顶点坐标是(1，－4)，且与y 轴交于点(0，－3)，求此二次函数的解析式。
⑶(海淀期末)已知：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A (－2，0)、B (8，0)，与y 轴交于点C (0，－4)，求抛物线的解析式。
二次函数的基本解析式与图像变换(上)与图像变换(上)⑷当x＝3时，二次函数的最大值是1，且图象与x轴两交点之间的距离为2，求这个二次函数的解析式。
模块二二次函数的图象变换【挑战题】将y＝2x2－4x＋4的图像向上平移2个单位长度再向右平移3个单位长度，求新的图像的二次函数解析式。
一、二次函数图象的平移【例3】⑴将二次函数y＝2x2的图象先向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得到的图象的解析式为()A．y＝2(x－1)2－3 B．y＝2(x－1)2＋3C．y＝2(x＋1)2－3 D．y＝2(x＋1)2＋3⑵(延庆期末)将抛物线y＝3x2经过怎样的平移可得到抛物线y＝3(x－1)2 ＋2 ( )A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位⑶如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(3，0)，二次函数y＝x2的图象记为抛物线l1。
二次函数图像的性质与解析
二次函数图像的性质与解析一、二次函数的定义与标准形式1.二次函数的定义：一般地，形如y=ax^2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。
2.二次函数的标准形式：y=a(x-h)2+k，其中顶点式y=a(x-h)2+k的图像为抛物线，a为抛物线的开口方向和大小，h、k为顶点坐标。
二、二次函数图像的性质1.开口方向：由a的符号决定，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。
2.对称性：二次函数图像关于y轴对称，即若点(x,y)在图像上，则点(-x,y)也在图像上。
3.顶点：二次函数图像的顶点为抛物线的最高点或最低点，顶点式y=a(x-h)^2+k中，(h,k)为顶点坐标。
4.轴：二次函数图像与x轴的交点为方程ax^2+bx+c=0的根，与y轴的交点为c/a。
5.增减性：当a>0时，二次函数图像在顶点左侧单调递减，在顶点右侧单调递增；当a<0时，二次函数图像在顶点左侧单调递增，在顶点右侧单调递减。
三、二次函数图像的解析1.求顶点：根据顶点式y=a(x-h)^2+k，直接得出顶点坐标为(h,k)。
2.求对称轴：对称轴为x=h。
3.求开口大小：开口大小由a的绝对值决定，绝对值越大，开口越大。
4.求与坐标轴的交点：与x轴的交点为方程ax^2+bx+c=0的根，与y轴的交点为c/a。
5.判断增减性：根据a的符号，判断二次函数图像在顶点两侧的单调性。
四、二次函数图像的应用1.实际问题：利用二次函数图像解决实际问题，如抛物线与坐标轴的交点问题、最值问题等。
2.几何问题：利用二次函数图像研究几何图形的性质，如求解三角形面积、距离等问题。
3.物理问题：利用二次函数图像研究物理现象，如抛物线运动、振动等。
五、二次函数图像的变换1.横向变换：对二次函数y=ax2+bx+c进行横向变换，如向左平移h个单位，得到y=a(x+h)2+k；向右平移h个单位，得到y=a(x-h)^2+k。
高中二次函数 课件ppt课件ppt课件ppt
当函数图像关于x轴进行翻折时，对应的函数表达式变为$y = -f(x)$；关 于y轴进行翻折时，对应的函数表达式变为$y = f(-x)$。
在翻折变换过程中，函数的值域和定义域会发生改变，但函数的奇偶性 不变。
伸缩变换
伸缩变换是指将二次函数的图像在x轴或y轴上进行缩放。
详细描述
二次函数在代数中可以用来解决方程的根的问题，在几何 中可以用来研究图形的性质和关系，在概率统计中可以用 来描述随机变量的分布等。
THANK YOU
当函数图像在x轴方向上缩小a倍时，对应的函数表达式变为$y = f(frac{1}{a}x)$； 在x轴方向上扩大a倍时，对应的函数表达式变为$y = f(ax)$。
在伸缩变换过程中，函数的值域和定义域会发生改变，但函数的奇偶性和周期性不 变。
04
二次函数的解法
配方法
总结词
通过配方将二次函数转化为完全平方形式，从而简化求解过程。
顶点式二次函数解析式
总结词
顶点式二次函数解析式是 $y = a(x h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是抛物线 的顶点。
详细描述
顶点式二次函数解析式表示一个以 $(h, k)$ 为顶点的开口抛物线，其开 口方向同样由系数 $a$ 决定。顶点坐 标 $(h, k)$ 可以用来确定抛物线的位 置和形状。
详细描述
公式法适用于求解一般形式的二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$。根据判别式 $Delta = b^2 - 4ac$ 的值，可以 将二次方程的解表示为 $x_1, x_2 = frac{-b pm sqrt{Delta}}{2a}$。当 $Delta > 0$ 时，方程有两个实根；当 $Delta = 0$ 时，方程有两个相同的实根；当 $Delta < 0$ 时，方程没有实根。
二次函数图像的变换及解析式的确定(必考)
2，解得a=2,∴抛物线的解析式为 = ሺ − ሻ − = − + .
>
/m
<
解法2：∵抛物线 = + + 的对称轴为x=2，且与x轴交于点(1,0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），∴抛物线的解析式为 = ሺ −
+ ሻሺ − ሻ，把(0,3)代入，得a·3×(-1)=3，解得a=-1，
∴该二次函数的表达式为 = −ሺ + ሻሺ − ሻ，
即 = − − + .
>
m
<
>
/m
<
类型8 利用平移变换求抛物线解析式
（人教九上P35例3改编）将二次函数 = 22 + 4 + 1 的图象向右平移2个
<
>
/m
<
>
m
<
>
/m
<
续表
变换形式
图象关系
点坐标变化
横坐标 互
>
m
<
关于 轴
>
m
<
>
m
<
>
/m
<
>
/m
<
为相反数，
>
/m
<
系数关系
不变
______
本质
相同
开口方向______
相 − 值______，
变号
互为____
2
反数
数学北师大版九年级上册二次函数的图像与性质
XXX
PART 03
二次函数与一元二次方程 关系
REPORTING
一元二次方程求解方法回顾
公式法
对于一般形式的一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，可以使用求根公式 $x = frac{-b pm sqrt{b^2 4ac}}{2a}$ 来求解。
配方化为 两个一次方程的乘积，然后分别解这 两个一次方程得到原方程的解。
利用二次函数图像解一元二次方程
观察二次函数图像与x轴的交点情况，若有一个交点，则对应的一元二次方程有一个实数根 ；若有两个交点，则对应的一元二次方程有两个实数根；若没有交点，则对应的一元二次方 程没有实数根。
利用二次函数的对称性，可以确定一元二次方程的根的和与积，进一步求解一元二次方程。
通过分析二次函数图像的开口方向、顶点坐标等特征，可以判断一元二次方程的根的范围和 性质。
练习题目2
已知二次函数$y = -x^2 + 2x + 8$，求该函数图像的顶点坐标和对称轴方程，并判断该 函数图像与坐标轴的交点情况。
练习题目3
已知二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图像经过点$A(-1,0)$，$B(3,0)$和$C(1,-8)$，求 该二次函数的解析式，并判断该函数图像开口方向、顶点坐标和对称轴方程。
当函数图像关于原点对称时，函数表达式由f(x)变为-f(-x)，即图像在原点处中心对 称。
伸缩变换规律
当函数图像在x轴方向伸缩a倍时，函数表达式由f(x)变为f(ax) ，若a>1则图像在x轴方向压缩为原来的1/a，若0<a<1则图 像在x轴方向拉伸为原来的a倍。
当函数图像在y轴方向伸缩b倍时，函数表达式由f(x)变为 bf(x)，若b>1则图像在y轴方向拉伸为原来的b倍，若0<b<1 则图像在y轴方向压缩为原来的1/b。
九年级二次函数的基本解析式与图像变换进阶篇
【挑战题】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴有且只有一个交点A，与y轴的交点为B(0，4)，且ac＝b。
⑴求该二次函数的解析表达式；⑵将一次函数y＝-3x的图象作适当平移，使它经过点A，记所得的图象为L，图象L与抛物线的另一个交点为C，求△ABC的面积。
题型三：二次函数中的特殊三角形【引例】已知抛物线y＝x2－2x－3的顶点为D，点P、Q是抛物线上的动点，若△DPQ是等边三角形，求△DPQ的边长。
典题精练【例1】已知抛物线y＝x2－2x－3的顶点为D，点P、Q是抛物线上的动点，点C为直角坐标系内一点，若四边形DPCQ是正方形，求正方形DPCQ的面积。
【例2】若x 1、x 2是关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根，则方程的两个根x 1、x 2和系数a ，b ，c 有如下关系12b x x a +=-，12cx x a⋅=。
我们把它们称为根与系数关系定理。
如果设二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴的两个交点为A (x 1，0)，B (x 2，0)。
利用根与系数关系定理我们又可以得到A 、B 两个交点间的距离为：AB ＝|x 1－x 2|＝= 请你参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象与x 轴的两个交点为A (x 1，0)，B (x 2，0) ，抛物线的顶点为C ，显然△ABC 为等腰三角形。
⑴当△ABC 为等腰直角三角形时，求b 2－4ac 的值。
⑵当△ABC 为等边三角形时，b 2－4ac ＝ 。
⑶设抛物线y ＝x 2＋kx ＋1与x 轴的两个交点为A 、B ，顶点为C ，且∠ACB ＝90°，试问如何平移此抛物线，才能使∠ACB ＝60°？【例3】已知抛物线y ＝-x 2＋mx －n 的对称轴为x ＝-2，且与x 轴只有一个交点。
⑴求m ，n 的值；⑵把抛物线沿x 轴翻折，再向右平移2个单位，向下平移1个单位，得到新的抛物线C ，求新抛物线C 的解析式；⑶已知P 是y 轴上的一个动点，定点B 的坐标为(0，1)，问：在抛物线C 上是否存在点D ，使△BPD 为等边三角形？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由。
二次函数的解析式与图像性质
二次函数的解析式与图像性质二次函数是高中数学中的重要内容，它的解析式和图像性质在数学中有着广泛的应用。
本文将探讨二次函数的解析式及其相关的图像性质，帮助读者更好地理解和运用二次函数。
1. 二次函数的解析式二次函数的一般形式为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a不等于零。
a决定了二次函数的开口方向，正值表示开口向上，负值表示开口向下。
b和c则分别表示二次函数在x轴和y轴上的截距。
解析式中的a、b、c的值可以通过二次函数的特点来确定。
首先，二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
其次，二次函数的对称轴为x = -b/2a。
最后，二次函数的判别式Δ = b^2 - 4ac可以用来判断二次函数的解的情况。
当Δ大于零时，二次函数有两个不相等的实根；当Δ等于零时，二次函数有两个相等的实根；当Δ小于零时，二次函数无实根。
2. 二次函数的图像性质二次函数的图像是一条平滑的曲线，其形状由a的正负值决定。
当a大于零时，曲线开口向上；当a小于零时，曲线开口向下。
二次函数的顶点是曲线的最低点或最高点，也是对称轴的交点。
顶点的横坐标为-x = -b/2a，纵坐标为f(-b/2a)。
通过顶点的坐标，我们可以得到曲线的最值。
当a 大于零时，曲线的最小值为f(-b/2a)；当a小于零时，曲线的最大值为f(-b/2a)。
除了顶点和对称轴，二次函数的图像还与x轴和y轴有关。
当二次函数与x轴相交时，即为二次函数的实根。
根据判别式Δ的值，我们可以判断二次函数与x轴的交点情况。
当Δ大于零时，曲线与x轴有两个不相等的交点；当Δ等于零时，曲线与x轴有两个相等的交点；当Δ小于零时，曲线与x轴没有交点。
二次函数与y轴的交点为常数项c，即函数在x=0时的值。
这个交点可以用来确定曲线与y轴的位置。
3. 二次函数的应用二次函数的解析式和图像性质在数学中有着广泛的应用。
在物理学中，二次函数可以用来描述抛物线运动的轨迹。
二次函数的图像和变换
二次函数的图像和变换二次函数是数学中一个重要的概念，在数学中有着广泛的应用。
本文将以二次函数的图像和变换为主题，介绍二次函数的基本性质、图像的特征以及常见的变换方式。
一、二次函数的基本性质二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由a的正负确定。
当a > 0时，抛物线开口朝上；当a < 0时，抛物线开口朝下。
二次函数的图像在坐标系中的对称轴为直线x = -b/2a，对称轴将图像分为两部分，称为左右分支。
当x值大于对称轴的x坐标时，函数值随x增大而增大；当x值小于对称轴的x坐标时，函数值随x增大而减小。
二、二次函数图像的特征1. 零点：二次函数的零点指的是函数图像与x轴（即y = 0）的交点，可以通过求解ax^2 + bx + c = 0的方程来确定。
二次函数的零点可能有0个、1个或者2个。
2. 非常数项c：二次函数的非常数项c代表了函数图像与y轴的交点，即在x = 0时的函数值。
如果c > 0，则函数图像与y轴正向交点在y轴上方；如果c < 0，则函数图像与y轴负向交点在y轴下方。
3. 极值点：二次函数的极值点是函数图像上离对称轴最近的点。
当a > 0时，函数的极值点为最小值；当a < 0时，函数的极值点为最大值。
极值点的横坐标为对称轴的横坐标，可通过对称轴方程得到。
三、二次函数的常见变换二次函数可以通过平移、伸缩、翻转等变换方式进行图像的调整。
1. 平移：沿着坐标轴的平移可以调整二次函数图像的位置。
平移的方式有水平平移和垂直平移两种。
水平平移可以通过在x轴上添加或减去常数来实现，例如f(x) = (x - a)^2 + b表示将二次函数图像沿x轴平移a个单位，并沿y轴平移b个单位。
垂直平移可以通过在函数整体上加或减常数来实现，例如f(x) = x^2 + c表示将二次函数图像沿y轴平移c个单位。
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质—九年级上学期数学知识讲解(提高)
二次函数y=ax 2+bx+c(a *0)的图象与性质一知识讲解(提高)责编：康红梅【学习目标】2c(a 0)的图象；会用配万法将二次函数 y ax bx c 的解2析式与成y a(x h) k 的形式;y ax 2 bx c.2. 一般式化成顶点式要点诠释:式加以记忆和运用.2y ax bx c 的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用.1.会用描点法画二次函数y ax 2 bx2.通过图象能熟练地掌握二次函数 2y ax bx c 的性质;3.经历探索y ax 2bx c 与ya(x h)2k 的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想.要点一、二次函数 y ax2bx c(a 0)与y a(x h)2k(a 0)之间的相互关系1.顶点式化成一般式从函数解析式y a(xh)2 k 我们可以直接得到抛物线的顶点(h , k),所以我们称2y a(x h) k 为顶点式，2将顶点式y a(x h)k 去括号， 合并同类项就可化成一般式2y axbx cb 2ab 2a2bx 一4ac 4ab 2对口y y a(xh)24ac 4ab 2抛物线y2ax bx c 的对称轴是直线b ........——,顶点坐标是2ab 4ac b 22a ， 4a 1.抛物线y2ax bx c 的对称轴是直线 xb ........——,顶点坐标是2ab 4ac b 2——, ------- ,可以当作公2a 4a2.求抛物线要点二、二次函数y ax2 bx c(a 0)的图象的画法1.一般方法：列表、描点、连线；2.简易画法：五点定形法.其步骤为：(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M,并用虚线画出对称轴.(2)求抛物线y ax2 bx c与坐标轴的交点，当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点 A B及抛物线与y轴的交点C,再找到点C关于对称轴的对称点D,将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来. 要点诠释：当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D,由C M D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B,然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，2 ......要点二、一次函数y ax bx c(a 0)的图象与性质1.二次函数y ax2 bx c(a 0)图象与性质2.二次函数y ax2 bx c(a 0)图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系要点四、求二次函数y ax2 bx c(a 0)的最大(小)值的方法如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大(或最小)值，即当x -b时，2a4ac b2y最值4a要点诠释：b如果自变量的取值范围是x iW xW x2,那么首先要看——是否在自变量白^取值范围x iw xwx2内，若2ab 4ac b2在此范围内，则当x 旦时，y最值4a c b ,若不在此范围内，则需要考虑函数在x i<x< x2范围2a 4a内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x = x2时，y最大值ax2 bx, c；当x=x i时，y最小值ax2 bx c，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x = x i时，y最大值=ax12+bx1+c ;b 当x=x2时，y最小值=ax22+bx2+c ,如果在此氾围内，y值有增有减，则需考祭x=x i, x = x2, x ——2a 时y值的情况.【典型例题】类型一、二次函数y ax2 bx c（a 0）的图象与性质1. （2016?达州）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c （aw0）的图象与x轴交于点A （- 1, 0）,与y 轴的交点B在（0, - 2）和（0, - 1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1 .下列结论：①abc> 0②4a+2b+c>0③4ac- b2< 8a④导a4⑤ b>c.其中含所有正确结论的选项是（）A .①③B .①③④C .②④⑤D .①③④⑤【思路点拨】根据对称轴为直线x=1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过（3, 0）,则得②的判断；根据图象经过（- 1,0）可得到a、b、c之间的关系，从而对②⑤ 作判断；从图象与y轴的交点B在（0, -2）和（0, -1）之间可以判断c的大小得出④ 的正误. 【答案】D.【解析】解：①:函数开口方向向上，a>0;•••对称轴在y轴右侧ab异号，•.•抛物线与y轴交点在y轴负半轴，c< 0,abc> 0,故①正确；②二•图象与x轴交于点A （-1, 0）,对称轴为直线x= - 1,，图象与x轴的另一个交点为（3, 0）,・・・当x=2 时，y<0,.•.4a+2b+cv 0,故②错误；③二•图象与x轴交于点A （T, 0）,・・・当x=- 1 时，y= （—1）2a+bx （—1） +c=0, a - b+c=0, IP a=b - c, c=b - a,・••对称轴为直线x=1__k_=1,即b= - 2a,2ac=b - a= ( - 2a) - a=- 3a,••4ac- b2=4?a? (-3a) - (- 2a) 2=- 16a2< 0 ,•,8a>04ac- b2< 8a故③正确④二•图象与y轴的交点B在(0, - 2)和(0, - 1)之间, 「• - 2V c< - 1「•一2V — 3a< — 1,故④正确⑤,. a>0,b - c>0,即b> c;故⑤正确；故选：D.【总结升华】主要考查图象与二次函数系数之间的关系.解题关键是注意掌握数形结合思想的应用.举一反三：【高清课程名称：二次函数y ax2 bx c(a 0)的图象与性质高清ID号：392790 关联的位置名称(播放点名称)：练习2-3】【变式】若二次函数y ax2 2x a2 1 ( a 0)的图象如图所示，则a的值是.【答案】-1.类型二、二次函数y ax2 bx c(a 0)的最值C2.分别在下列范围内求函数y x2 2x 3的最大值或最小值.(1)0 vx<2; (2)2 <x<3.【答案与解析】y x2 2x 3 (x 1)2 4,顶点坐标为(1 , -4).(1)••• x =1 在0vxv 2 范围内，且a=1>0,当x = 1时y有最小值，y最小值 4 .: x = 1是0V x< 2范围的中点，在x = 1两侧图象左右对称，端点处取不到，不存在最大值.(2)••• x =1不在2WxW 3范围内(如图所示)，又因为函数y x2 2x 3 (2 WxW 3)的图象是抛物线y x2 2x 3的一部分，且当2WxW3时，y随x的增大而增大，•••当x=3时，y最大值32 2 3 3 0;当x = 2时，y最小值22 2 2 3 3.中♦打； ,\ i t\ I' ：}-i h 1 n 4~F【总结升华】先求出抛物线y x2 2x 3的顶点坐标，然后看顶点的横坐标是否在所规定的自变量的取值范围内，根据不同情况求解，也可画出图象，借助于图象的直观性求解，如图所示，2Wxw 3为图中实线部分，易看出x=3时，y最大值0； x= 2时，y最小值 3 .2类型二、一次函数y ax bx c(a 0)性质的综合应用C3. (2014秋？白云区期末)如图4,已知抛物线y=ax2+bx+c (a>0)经过点A (2, 0), B (6, 0), 交y轴于点C,且Sz\ABC=16.(1)求点C的坐标；(2)求抛物线的解析式及其对称轴；(3)若正方形DEFG内接于抛物线和x轴(边FG在x轴上，点D , E分别在抛物线上)，求S正方形DEFG.【答案与解析】解：(1) .「A (2, 0), B (6, 0),AB=6 — 2=4 . S AABC =16, . — >4?OC=16,2.•.OC=8,点C 的坐标为(0, 8);(2)二.抛物线 y=ax 2+bx+c (a>0)经过点 A (2, 0), B (6, 0), ，可设抛物线的解析式为 y=a (x-2) (x-6), 将 C (0, 8)代入，得 8=12a,, y= W (x-2) (x- 6) Jx2-号x+8, JI "J -J（3）设正方形 DEFG 的边长为 m,则m>0,•••正方形DEFG 内接于抛物线和 x 轴（边FG 在x 轴上，点D, E 分别在抛物线上），1. D (4 - mm , - m), E ( ■_ ■斗弓 E (4+Jm) — m)代入 y=—；x 2- Arx+8 ?2 :1 32付—m= (4+-m)3 2整理得，m 2+6m - 16=0,解得m i =2, m 2=-8 （不合题意舍去）， ・•.正方形DEFG 的边长为2,S 正方形 DEFG =22=4 .【总结升华】熟练掌握待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的图象与性质是解题综合题的前提 第（3）问中设出正方形 DEFG 的边长为m,根据二次函数与正方形的性质用含m 的代数式正确表示点D 与点E 的坐标是解题的关键.故抛物线的解析式为 y 二:为2- li^x+8 ,其对称轴为直线 x=4 ; m, 一 m)2一条抛物线yax bx c经过A (2, 0)和B (6, 0),最局点C的纵坐标是1.(1)求这条抛物线的解析式，并用描点法画出抛物线;xy(2)设抛物线的对称轴与x轴的交点为D,抛物线与y轴的交点为E,请你在抛物线上另找一点P(除点A、B、C E外)，先求点C、A、E、P分别到点D的距离，再求这些点分别到直线y 2的距离；(3)观察(2)的计算结果，你发现这条抛物线上的点具有何种规律？请用文字写出这个规律.【答案与解析】(1)由已知可得抛物线的对称轴是x 4.•••最高点C的坐标为(4,1).14a 2b c 0, a 4，则36a 6b c 0,解得b 2,16a 4b c 1. c 3.1•••所求抛物线的解析式为y 1x2 2x 3.4列表:x -2 0 2 4 6 8 10y -8 -3 0 1 0 -3 -8描点、连线，如图所示:(2)取点(-2 , -8)为所要找的点巳如图所示，运用勾股定理求得ED= 5, PD= 10,观察图象知AD= 2, CD= 1,点E P、A、C到直线y= 2的距离分别是5、10、2、1 .(3)抛物线上任一点到点D的距离等于该点到直线y = 2的距离.【总结升华】(1)描点画图时，应先确定抛物线的对称轴，然后以对称轴为参照，左右对称取点.(2)计算两点之间的距离应构造两直角边分别平行于两坐标轴的直角三角形，然后运用勾股定理求得.举一反三：【高清课程名称：二次函数y ax2 bx c(a 0)的图象与性质高清ID号：392790 关联的位置名称(播放点名称)：练习4】【变式】已知二次函数y ax2 bx c （其中a>0, b>0, c<0）,关于这个二次函数的图象有如下说法:①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x轴的交点至少有一个在y轴的右侧.以上说法正确的个数为（）A .0 B.1 C.2 D.3【答案】C.。
二次函数的解析式与图像
二次函数的解析式与图像二次函数是高中数学中的重要内容，它在数学建模、物理学、经济学等领域中有着广泛的应用。
本文将从二次函数的解析式和图像两个方面进行探讨，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
一、二次函数的解析式二次函数的一般形式为：y = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
这个式子中的x²项决定了二次函数的特性，它使得函数的图像呈现出抛物线的形状。
首先，我们来看二次函数的顶点坐标。
二次函数的顶点坐标可以通过解析式中的平方完成平方项的配方来求得。
具体来说，对于一般形式的二次函数y = ax² +bx + c，它的顶点坐标可以通过以下公式求得：x₀ = -b / (2a)y₀ = c - b² / (4a)其中，x₀和y₀分别表示顶点的横坐标和纵坐标。
这个公式的推导过程可以通过完全平方式、配方法等多种方法得到，读者可以根据自己的理解选择合适的方法进行推导。
其次，我们来讨论二次函数的判别式。
判别式可以帮助我们判断二次函数的图像特性。
对于一般形式的二次函数y = ax² + bx + c，它的判别式可以通过以下公式求得：Δ = b² - 4ac其中，Δ表示判别式。
根据判别式的值，我们可以得到以下结论：1. 当Δ > 0时，二次函数的图像与x轴有两个交点，即函数有两个实根；2. 当Δ = 0时，二次函数的图像与x轴有一个交点，即函数有一个实根；3. 当Δ < 0时，二次函数的图像与x轴没有交点，即函数没有实根。
根据判别式的值，我们可以进一步推导二次函数的解析式。
当Δ > 0时，二次函数的解析式可以表示为：x₁ = (-b + √Δ) / (2a)x₂ = (-b - √Δ) / (2a)其中，x₁和x₂分别表示函数的两个实根。
当Δ = 0时，二次函数的解析式可以表示为：x = -b / (2a)其中，x表示函数的唯一实根。
二次函数解析式及图象变换
二次函数解析式及其图象变换模块一 二次函数的解析式知识导航1. 一般式： y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)若已知条件为二次函数图象上三点的坐标，通常先设抛物线的解析式为一般式，列出关于a 、b 、c 的方程，求出a 、b 、c 的值，就可以得到二次函数解析式．2. 顶点式：y ＝a （x －h ）2＋k ．若已知顶点坐标、对对称轴、最大值或最小值，通常先设抛物线的解析式为顶点式，再列出方程（组）求待定系数．3. 交点式：y ＝a （x －x 1)(x －x 2)若已知与x 轴的两交点（x 1，0)、(x 2，0），通常先设抛物线的解析式为两点式，再列出方程（组）求待定系数.（仅用于选项或打草稿）例1：（1）一个抛物线经过（0，0）、（－1，1）、（1，9）三点，求这个抛物线的解析式．（2）一个抛物线的顶点为（3，3）、且经过点（2，1）求这个抛物线的解析式．（3）一个抛物线经过（－1，0）、（3，0）、（1，4）三点，求这个抛物线的解析式．练习：（1）一个抛物线经过（－1，20）、（0，8）、（2，8）三点，求这个抛物线解析式．（2）一个抛物线经过（2，1）、（1，3）两点且对称轴为x ＝－21，求这个抛物线解析式． （3）一个抛物线经过（－1，3）、（1，3）、（2，6）三点，求这个抛物线的解析式．例2：（1）已知抛物线y ＝a （x ＋2）2－1交x 轴于A 、B 两点（A 点在B 点的左边）且AB ＝2，求抛物线解析式．（2）已知二次函数y ＝ax 2＋4a x ＋c 的最大值为4，且图象过点（－3，0），求二次函数的解析式．练习：（1）已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴是直线x ＝1，且图象过点A （3，0）和B （－2，5），求函数的解析式．（2）已知二次函数y ＝52x 2＋bx ＋c 图象与y 轴交于A （0，3）与x 轴交于B （1，0），则此抛物线的解析式为？例3：如图，抛物线y ＝ax 2－5ax ＋4经过△ABC 的三个顶点，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，AC ＝BC ，此抛物线的解析式?练习：如图，抛物线y ＝ax 2＋4ax ＋b 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点，直线y ＝－x －1过点A ，与抛物线交于点D ，且CD//x 轴，求抛物线的解析式．例4：（1）已知抛物线y ＝x 2＋mx －4m 总经过一个定点P ，求出点P 的坐标．（2）已知抛物线y ＝（m ＋2）x 2－（m ＋1）x －2总经过两个定点，求出两个定点坐标．（3）已知抛物线y ＝mx 2－2mx －3m 总经过两个定点，求出这两个定点坐标．练习：已知抛物线y ＝（m ＋1）x 2－4m ）x ＋4总经过两个定点，求出这两个定点坐标．例5 （1）不论m取任何实数，抛物线y＝x2＋2mx＋m2＋m－1的顶点都在一条直线上，则这条直线的函数解析式为？（2）不论m取任何实数，抛物线y＝x2－2mx＋2m2＋3m＋1的顶点都在一条抛物线上，则这条抛物线的函数解析式为？练习：不论m取任何实数，抛物线y＝x2－2mx＋m2＋m＋3的顶点都在一条直线上，则这条直线的函数解析式为？模块二二次函数的图象变换知识导航我们已经从y＝ax2、y＝ax2＋k、y＝a（x－h）2＋k的图象和性质知道了几种二次函数解析式之间的平移关系，同样的我们可以得到作对称、旋转变换的二次函数解析式之间的关系．1. 关于x轴对称因为顶点（h，k）关于x轴对称后的点为（h，－k），此时开口的方向改变，所以二次函数y＝a（x －h）2＋k关于x轴对称后得到的解析式是y＝－a（x－h）2－k．2. 关于y对称因为顶点（h，k）关于y轴对称后的点为（－h，k），此时开口的方向不变，所以二次函数y＝a（x－h）2＋k关于x轴对称后得到的解析式是y＝－a（x＋h）2＋k．3. 关于顶点对称（180°旋转）此时顶点不变，但开口的方向改变，所以y＝a（x－h）2＋k关于顶点对称后，得到的解析式是y＝－a （x－h）2+k．4. 关于原点对称（180°旋转）因为顶点（h，k）关于原点对称后的点为（－h，－k），此时开口的方向改变，所以二次函数y＝a（x －h）2＋k关于x轴对称后得到的解析式是y＝－a（x＋h）2－k．例6 已知二次函数解析式y＝x2＋2x－3，求将改二次函数的图象作如下变换后的解析式．（1）沿y轴向上平移1个单位长度；（2）沿y轴向上平移2个单位长度；（3）沿x轴向左平移3个单位长度；（4）沿x轴向右平移4个单位长度；（5）关于x轴对称；（6）关于y轴对称；（7）关于顶点对称；（8）关于原点对称；练习（1）将抛物线y＝－x2＋2x－3先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的抛物线的解析式．（2）将抛物线y＝x2－x－4沿x轴翻折，求翻折后的抛物线的解析式．（3）将抛物线y＝x2－2x－1绕它的顶点旋转180°，求旋转后的抛物线的解析式．例7：：（1）已知抛物线y＝（x＋1）2－4，将其沿直线x＝1翻折，求翻折后的抛物线的解析式．（2）求抛物线y＝－x2＋4x－7关于直线y＝－2对称的抛物线的解析式．（3）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2＋2x＋3绕着它与y轴的交点旋转108°，求旋转后的解析式.练习：求抛物线y＝－x2＋2x＋3关于（2，3）对称的抛物线解析式.例8(1)在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2－x－6向上（下）或向左（右）平移m个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则m的最小值为.（2）已知y＝2x2的图象是抛物线，若抛物线不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是.（3）如图，把抛物线y＝x2沿直线y＝x平移2个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后的抛物线的解析式是.练习：如果将抛物线y＝－2x2＋8向右平移a个单位后，恰好过点（3，6），那么a的值为.二次函数解析式即图象变换基础巩固1、（1）一个抛物线经过（0，3）、（1，1）、（4，2）三点，求抛物线的解析式．（2）一个抛物线的顶点为（2，2），且经过（－1，－1）求抛物线的解析式．（3）一个抛物线经过（－3，0）、（1，0）、（0，－2）三点，求抛物线的解析式．（4）二次函数的图象与x轴交于A（－2，0），B（3，0）两点，且最大值为2，求二次函数的解析式．2、（1）把抛物线y＝x2－2x－3化为y＝（x－m）2＋k的形式，其中m、k为常数，则m－k＝．（2）若把二次函数y＝x2＋6x＋2化为y＝（x－h）2＋k的形式，其中m、k为常数，则h＋k＝．(3)已知抛物线抛物线y＝x2－2x－8，用配方法把y＝x2－2x－8化为y＝（x－h）2＋k的形式；抛物线的顶点坐标是，抛物线的对称轴方程是，当x时，y.随着x的增大而增大．3、（1）将抛物线y＝2x2向上平移5个单位，所得的抛物线的解析式为．（2）将二次函数y＝2x2的图象先向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得的抛物线的解析式为．（3）将二次函数y＝2x2的图象先向上平移2个单位，再向左平移2个单位后所得的抛物线的解析式为．（4）把二次函数y＝－2（x－3）2＋1的图象先向左平移6个单位，再向下平移2个单位，就可得到的图象.．4、将抛物线y＝3x2经过（）可得到抛物线的解析式y＝3（x－1）2＋2A. 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位B. 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C. 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D. 先向右平移1个单位，再向下平移2个单位5、已知二次函数y＝x2－2x－1．（1）与此二次函数关于x轴对称的二次函数解析式为；（2）与此二次函数关于y轴对称的二次函数解析式为；（3）与此二次函数关于原点对称的二次函数解析式为；6、点A的坐标为（－1，0），点B的坐标为（3，0），二次函数y＝x2的图象记为抛物线l1．平移抛物线l1，使平移后的抛物线经过A、B两点，记为抛物线l2，则抛物线l2的函数表达式为．7、如图在平面直角坐标xOy中，抛物线C1顶点为A（－1，－4），且过点B（－3，0）（1）将抛物线C1向右平移2个单位得到抛物线，设C2的解析式为y＝ax2＋bx＋c，则a＝，b＝，c＝；（2）写出阴影部分的面积S＝；8、（1）已知抛物线y＝x2＋2mx－4m总经过一个定点P，并求出点P的坐标．（2）已知抛物线y＝mx2－4mx－5m总经过两个定点P，并这两个定点的坐标．综合训练9、如图，□ABCD中，AB＝4，点D的坐标为（0，8），以点C为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c经过x 轴上的点A、B．（1）求A、B、C三点的坐标．（2）若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后的抛物线解析式．10、如图一次函数图象与x轴y轴交于A（6，0）、B（0，23）．线段AB的垂直平分线交x轴与点C交直线AB与点D，求：（1）求这个一次函数的解析式；（2）过A，B，C三点的抛物线解析式．。
初三二次函数课件ppt课件
02
二次函数的解析式
一般式
总结词
最通用的二次函数形式，包含三个系数a、b和c。
详细描述
一般式为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c为实数，且a≠0。它可以表示任意二次 函数，通过调整系数a、b和c的值，可以改变函数的形状、开口方向和大小。
顶点式
总结词
包含顶点坐标的二次函数形式。
详细描述
顶点式为y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为抛物线的顶点坐标。通过顶点式可以直接 读出顶点的坐标，并且可以快速判断抛物线的开口方向和对称轴。
伸缩变换
总结词
伸缩变换是指二次函数的图像在平面坐标系中沿x轴或y轴方向进行缩放。
详细描述
伸缩变换包括沿x轴方向的伸缩和沿y轴方向的伸缩。沿x轴方向的伸缩是指将图像在x轴方向上放大或 缩小，对应的函数变换是将x替换为kx(k>1表示放大，0<k<1表示缩小)。沿y轴方向的伸缩是指将图 像在y轴方向上放大或缩小，对应的函数变换是将y替换为ky(k>1表示放大，0<k<1表示缩小)。
利用二次函数求面积
详细描述
通过设定一个变量为常数，将 二次函数转化为一次函数，再 根据一次函数的性质求出面积 。
总结词
几何图形面积
详细描述
在几何图形中，如矩形、三角 形、圆等，可以利用二次函数
来求解面积。
生活中的二次函数问题
总结词
生活中的二次函数
总结词
实际应用案例
详细描述
在生活中，许多问题都可以用二次函数来 描述和解决，如速度、加速度、位移等物 理量之间的关系。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线，其形 状由系数$a$决定。
二次函数的像和变换
二次函数的像和变换二次函数是高中数学中重要的内容之一，它在数学和物理等领域中都有广泛的应用。
二次函数的图像呈现出特有的曲线形状，通过对二次函数进行变换，可以得到不同的曲线形状和位置。
本文将探讨二次函数的像和变换方面的知识。
一、二次函数的基本形式二次函数的一般形式为：$y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、$c$为实常数，$a$不等于零。
根据$a$的正负可以判断二次函数的开口方向：当$a>0$时，开口向上；当$a<0$时，开口向下。
二、二次函数的顶点二次函数的顶点是指曲线的最高点（开口向下）或最低点（开口向上）。
顶点坐标为$(h, k)$，其中$h$为曲线在$x$轴的对称轴上的坐标，$k$为曲线经过的最高点或最低点的纵坐标。
三、二次函数的平移平移是指在坐标平面上将曲线的位置向左、向右、向上或向下移动。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，设原曲线上一点的坐标为$(x, y)$，经平移得到的新曲线上相应点的坐标为$(x+h, y+k)$，其中$(h, k)$为平移的量。
平移的规律如下：1. 左平移$h$个单位：将曲线上所有点的$x$坐标减去$h$，保持$y$坐标不变。
2. 右平移$h$个单位：将曲线上所有点的$x$坐标加上$h$，保持$y$坐标不变。
3. 上平移$k$个单位：将曲线上所有点的$y$坐标加上$k$，保持$x$坐标不变。
4. 下平移$k$个单位：将曲线上所有点的$y$坐标减去$k$，保持$x$坐标不变。
四、二次函数的伸缩伸缩是指通过调整二次函数的系数$a$，$b$或$c$，改变曲线的形状。
设原曲线上一点的坐标为$(x, y)$，经伸缩得到的新曲线上相应点的坐标为$(kx, ky)$，其中$k$为伸缩的比例因子。
伸缩的规律如下：1. 纵向伸缩：将曲线上所有点的$y$坐标乘以$k$，保持$x$坐标不变。
2. 纵向压缩：将曲线上所有点的$y$坐标除以$k$，保持$x$坐标不变。
二次函数的基本解析式与图像变换进阶篇(上)
题型一：二次函数的解析式
【引例】
如图，抛物线y ＝ax 2＋bx －3与x 轴交于A 、B 两点，交y 轴于C 点，若OB ＝OC ＝3OA ，则抛物线的解析式为__________。
【例1】
⑴抛物线y ＝ax 2－2ax ＋a 2－1的顶点在直线y ＝x 上，则抛物线的解析式为________。
⑵如图，抛物线22y ax ax =-ABC 的三个顶点，已知BC ∥x 轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC ＝BC 。
则抛物线的解析式为___________。
⑶设抛物线y＝-x2＋(m＋4)x－4m，其中0＜m＜4，与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，若点D的坐标为(0，-2)，且AD·BD＝10，求抛物线的解析式。
【例2】
对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，如果当x取任意整数时，函数值y都是整数，那么我们把该函数的图象叫做整点抛物线。
(例如：y＝x2＋2x＋2)。
⑴请你写出一个二次项系数的绝对值小于1的整点抛物线的解析式__________。
(不必证明)
⑵请探索：是否存在二次项系数的绝对值小于1
2
的整点抛物线？若存在，请写出其中一条
抛物线的解析式；若不存在，请说明理由。
题型二：二次函数的图象变换
【引例】
在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A(1，-4)，且过点B(3，0)。
⑴求该二次函数的解析式；
⑵将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点?并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标。
二次函数解析式及图形变换
二次函数解析式及图形变换抛物线的平移、对称与旋转①平移：“左加右减，上加下减”。
②对称：关于x 轴对称：2y ax bx c =++的图象x 轴对称后得到图象的解析式是2y ax bx c =---。
关于y 轴对称：2y ax bx c =++的图象y 轴对称后得到图象的解析式是2y ax bx c =-+。
关于原点对称：2y ax bx c =++的图象原点对称后得到图象的解析式是2y ax bx c =-+-。
1、在同一坐标平面内，图象不可能．．．由函数221y x =+的图象通过平移变换、轴对称变换得到的函数是（ ）A ．22(1)1y x =+-B ．223y x =+C ．221y x =--D ．2112y x =- 2、将抛物线221216y x x =-+绕它的顶点旋转180︒，所得抛物线的解析式是（ ）A ．221216y x x =--+B ．221216y x x =-+-C ．221219y x x =-+-D ．221220y x x =-+-3、抛物线2y x bx c =++图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为223y x x =--，则b 、c的值为（ ）A ．22b c ==， B ．20b c ==， C ．21b c ==-， D ．32b c =-=，4、将抛物线C ：2310y x x =+-，将抛物线C 平移到C '。
若两条抛物线C ，C '关于直线1x =对称，则下列平移方法中正确的是（ ） A ．将抛物线C 向右平移52个单位 B ．将抛物线C 向右平移3个单位 C ．将抛物线C 向右平移5个单位 D ．将抛物线C 向右平移6个单位5、将抛物线21y x =+向下平移2个单位，•则此时抛物线的解析式是 。
6、把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式（ ）A ．2(1)3y x =--+B ．2(1)3y x =-++C ．2(1)3y x =---D ．2(1)3y x =-+- 7、把二次函数y=（x-1）2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为（ ）． 8、.如图2，一条抛物线与x 轴相交于A 、B 两点，其顶点P 在折线C －D －E 上移动，若点C 、D 、E 的坐标分别为 （－1，4）、（3，4）、（3，1），点B 的横坐标的最小值为1，则点A 的横坐标的最大值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.49、如图，点A ，B 的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a （x-m ）2+n 的顶点在线段AB 上运动（抛物线随顶点一起平移），与x 轴交于C 、D 两点（C 在D 的左侧），点C 的横坐标最小值为-3，则点D 的横坐标最大值为（ ） A 、-3 B 、1 C 、5 D 、810、如图，平行四边形ABCD 中，4AB =，点D 的坐标是(0，8)，以点C 为顶点的抛物线2y ax bx c =++经过x 轴上的点A ，B 。
二次函数的性质与图像变换
二次函数的性质与图像变换二次函数是高中数学中重要的一个概念，它在代数学和几何学中都有广泛的应用。
二次函数的性质与图像变换是我们对二次函数的深入了解的重要方面。
本文将从二次函数的性质以及图像变换两个方面来展开讨论。
首先，我们来了解二次函数的性质。
二次函数的一般形式可以表示为：f(x) =ax^2 + bx + c，其中a，b，c分别为实数，且a ≠ 0。
二次函数的性质可以总结为以下几点：1. 对称性：二次函数的图像关于抛物线的顶点对称。
这意味着如果(x, y)是抛物线上的一个点，那么(2h - x, y)也是抛物线上的一个点，其中h为抛物线的顶点的横坐标。
2. 奇偶性：二次函数关于y轴是偶函数，即满足f(-x) = f(x)；关于x轴是奇函数，即满足f(-x) = -f(x)。
这个性质可以从二次函数的图像中看出来。
3. 零点：二次函数的零点是使得函数值为0的x值。
可以通过求解二次方程ax^2 + bx + c = 0来求得二次函数的零点。
当判别式D = b^2 - 4ac为正时，二次函数有两个不相等的实根；当D = 0时，二次函数有两个相等的实根；当D为负时，二次函数没有实根。
4. 极值：二次函数的顶点是函数的极值点。
当二次函数的导数为0时，即f'(x) = 0，解这个方程可以得到函数的极值点。
通过了解这些性质，我们可以更好地理解二次函数的特点，进一步应用于实际问题的解决中。
其次，我们来讨论二次函数的图像变换。
二次函数的图像可以通过改变系数a，b，c来进行平移、伸缩、翻转等操作。
1. 平移：二次函数的图像可以沿x轴和y轴进行平移。
当抛物线的顶点的横坐标加上一个常数h时，抛物线向左移动h个单位；当抛物线的顶点的纵坐标加上一个常数k时，抛物线向上移动k个单位。
2. 伸缩：二次函数的图像可以沿x轴和y轴进行伸缩。
当系数a的绝对值增大时，抛物线变得更加狭长；当系数a的绝对值减小时，抛物线变得更加扁平。
高中数学二次函数的图像变换规律与应用
高中数学二次函数的图像变换规律与应用二次函数是高中数学中重要的一个概念，它在数学中的应用非常广泛。
掌握二次函数的图像变换规律以及应用，对于解题和理解数学概念都非常有帮助。
本文将详细介绍二次函数的图像变换规律，并通过具体题目的举例，说明其考点和解题技巧，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用二次函数。
一、二次函数的图像变换规律1. 平移变换平移变换是指将二次函数图像沿着坐标轴的方向进行移动。
对于一般形式的二次函数y = ax^2 + bx + c，平移变换可以通过改变a、b、c的值来实现。
例如，考虑二次函数y = x^2，我们想将其图像向右平移2个单位。
根据平移变换的规律，我们只需将x的值减去2，即可实现平移。
因此，新的二次函数为y = (x-2)^2。
2. 纵向拉伸和压缩纵向拉伸和压缩是指将二次函数图像在纵向上进行拉长或压缩。
对于一般形式的二次函数y = ax^2 + bx + c，纵向拉伸和压缩可以通过改变a的值来实现。
例如，考虑二次函数y = x^2，我们想将其图像在纵向上拉伸2倍。
根据纵向拉伸和压缩的规律，我们只需将a的值改为2，即可实现纵向拉伸。
因此，新的二次函数为y = 2x^2。
3. 横向拉伸和压缩横向拉伸和压缩是指将二次函数图像在横向上进行拉长或压缩。
对于一般形式的二次函数y = ax^2 + bx + c，横向拉伸和压缩可以通过改变x的值来实现。
例如，考虑二次函数y = x^2，我们想将其图像在横向上压缩为原来的一半。
根据横向拉伸和压缩的规律，我们只需将x的值改为原来的两倍，即可实现横向压缩。
因此，新的二次函数为y = (1/2)x^2。
二、二次函数图像变换的应用1. 最值问题二次函数的图像变换可以帮助我们解决最值问题。
例如，考虑二次函数y =x^2 + 2x + 1，我们可以通过平移变换将其图像向左平移1个单位，得到新的二次函数y = (x+1)^2 + 2x + 1。
这样，我们可以发现新的二次函数的最小值为1，即原函数的最小值为1-1=0。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
题型一：二次函数的解析式
【引例】
如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A、B两点，交y轴于C点，若OB＝OC＝3OA，则抛物线的解析式为__________。
【例1】
⑴抛物线y＝ax2－2ax＋a2－1的顶点在直线y＝x上，则抛物线的解析式为________。
⑵如图，抛物线223
y ax ax
=-+经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC＝BC。
则抛物线的解析式为___________。
二次函数的基本解析式
与图像变换进阶篇（上）
⑶设抛物线y＝-x2＋(m＋4)x－4m，其中0＜m＜4，与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，若点D的坐标为(0，-2)，且AD·BD＝10，求抛物线的解析式。
【例2】
对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，如果当x取任意整数时，函数值y都是整数，那么我们把该函数的图象叫做整点抛物线。
(例如：y＝x2＋2x＋2)。
⑴请你写出一个二次项系数的绝对值小于1的整点抛物线的解析式__________。
(不必证明)
⑵请探索：是否存在二次项系数的绝对值小于1
2
的整点抛物线？若存在，请写出其中一条抛
物线的解析式；若不存在，请说明理由。
题型二：二次函数的图象变换
【引例】
在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A(1，-4)，且过点B(3，0)。
⑴求该二次函数的解析式；
⑵将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点?并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标。
【例3】
已知抛物线C1：y＝ax2－2amx＋am2＋2m＋1(a＞0，m＞1)的顶点为A，抛物线C2的对称轴是y轴，顶点为点B，且抛物线C1和C2关于点P(1，3) 成中心对称。
⑴用含m的代数式表示抛物线C1的顶点坐标；
⑵求m的值和抛物线C2的解析式；
⑶设抛物线C2与x轴正半轴的交点是C，当△ABC为等腰三角形时，求a的值。
【挑战题】
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴有且只有一个交点A，与y轴的交点为B(0，4)，且ac＝b。
⑴求该二次函数的解析表达式；
⑵将一次函数y＝-3x的图象作适当平移，使它经过点A，记所得的图象为L，图象L与抛物
线的另一个交点为C，求△ABC的面积。
在线测试题
温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节。
1．下列说法不正确的是( )
A ．抛物线23y ax bx =+-与y 轴的交点为()03-，
B ．抛物线2221y ax ax a =-+-的对称轴为1x =
C ．抛物线()21y ax a m x ma =-++与x 轴的交点为()0m ，
和()10， D ．抛物线()2
πy a x x =+-的顶点坐标为()πx -，
2．将一抛物线向右平移4个单位后，再向上平移4个单位得抛物线y ＝x 2＋4，则平移前抛物线的解析式是( )
A ．()24y x+=
B ．()24y x =-
C ．()24y x+=-
D ．()2
4y x =--
3．已知二次函数的解析式为222y x x =-+，则该二次函数的图象经过( )的平移，可使平移后的顶点在坐标原点上。
A ．向左平移1个单位，再向下平移1个单位
B ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位
C ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位
D ．向右平移1个单位，再向上平移1个单位
4．如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于A 、B 两点，交y 轴于C 点，若3OB OC OA ==,则抛物线的解析式为( ) A ．223y x +x =- B ．223y x +x+=
C ．223y x x+=-
D ．223y x x =--
y
x
O C
B A 5．将一抛物线向左平移4个单位后，再向下平移2个单位得抛物线y ＝的解析式是( )
A ．2818y x x =-+
B ．2818y x x =++
C ．2818y x x =--+
D ．2818y x x =--
6．如图，抛物线211y ax ax =--+经过点1928P ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，，且与抛物线221y ax ax =--相交于
A B ，两点．则a 的值为( )
A ．12-
B ．1
2
C ．0
D ．1
7．将抛物线21y x =+向下平移2个单位，则此时抛物线的解析式是( )
A ．21y x =--
B ．21y x =+
C ．21y x =-+
D ．21y x =-
8．把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式为( )
A ．2(1)3y x =---
B ．2(1)3y x =-++
C ．2(1)3y x =--+
D ．2(1)3y x =-+-
9．把抛物线2y x bx c =++的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为235y x x =-+，则下列正确的是( )
A ．3b =，7c =
B ．9b =-，5c =-
C ．6b =，3c =
D ．9b =-，21c =
10．把抛物线22y x =向左平移p 个单位，向上平移q 个单位，则得到的抛物线经过点()13，和()49，
，求p 、q 的值为( ) A ．21p q =⎧⎨=⎩，，
B ．21p q =-⎧⎨=-⎩
，，
C ．21p q =-⎧⎨=⎩，，
D ．21p q =⎧⎨=-⎩
，，
11．已知二次函数()()2
21y x a a =-+-(a 为常数)，当a 取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”。
下图分别是当1a =-，0a =，1a =，2a =时二次函数的图象。
它们的顶点
在一条直线上，则这条直线的解析式是( )
A ．y =112x
+
B ．y =1
12x -
C ．y =112x -+
D ．y =1
12x --
O
a=2a=1a=0a=-1
y
x
12．如图，已知抛物线2y ax =上的点D ，C 与x 轴上的点()50A ,-，()30B ,构成平行四边形
ABCD ，DC 与y 轴交于点()06E ,，则BC 所在直线的方程为
A ．618y x =-
B ．618y x =+
C ．618y x =--
D ．618y x =-+。