七年级上册数学同步和培优讲义-第19讲 直线、射线、线段

第19讲直线、射线、线段【要点梳理】要点一、直线1．概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述．2. 表示方法：（1）可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图1所示，可表示为直线AB(或直线BA)．（2）也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，可以表示为直线l．3.基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线．要点诠释：直线的特征：（1）直线没有长短，向两方无限延伸．（2）直线没有粗细．（3）两点确定一条直线（4）两条直线相交有唯一一个交点．4.点与直线的位置关系：（1）点在直线上，如图3所示，点A在直线m上，也可以说：直线m经过点A．（2）点在直线外，如图4，点B在直线n外，也可以说：直线n不经过点B．要点二、线段1.概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段．2.表示方法：（1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作：线段AB或线段BA．（2）线段也可用一个小写英文字母来表示，如图5所示，记作：线段a．3. “作一条线段等于已知线段”的两种方法：法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a．法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例如：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段．4.基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短．如图所示，在A，B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的．要点诠释：（1）线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短． （2）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离． （3）线段的比较：①度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短．②叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．5.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如图所示，点C 是线段AB 的中点，则12AC CB AB ==，或AB ＝2AC ＝2BC ．要点三、射线1.概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点．如图8所示，直线l 上点O 和它一旁的部分是一条射线，点O 是端点．l2.特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长．3.表示方法：（1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图8所示，可记为射线OA ．（2）也可以用一个小写英文字母表示，如图8所示，射线OA 可记为射线l ．要点诠释：(1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如图9中射线OA ，射线OB 是不同的射线．(2)端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如图10中射线OA 、射线OB 、射线OC 都表示同一条射线．要点四、直线、射线、线段的区别与联系 1.直线、射线、线段之间的联系（1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线．（2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线． 2．三者的区别如下表图8 图9 图10要点诠释：（1）联系与区别可表示如下：（2）在表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样．【典型例题】类型一、有关概念1.如图所示，指出图中的直线、射线和线段．【变式】两条不同的直线，要么有一个公共点，要么没有公共点，不能有两个公共点. 这是为什么?画图说明.解：∵过两点有且只有一条直线.（或两点确定一条直线.）∴两条不同的直线，要么有一个公共点，如图（1）；要么没有公共点，如图（2）；不能有两个公共点.类型二、有关作图2．如图(1)所示，已知线段a ，b (a ＞b )，画一条线段，使它等于2a -2b ．【变式1】下列说法正确的有 ( )①射线与其反向延长线成一条直线； ②直线a 、b 相交于点m ； ③两直线相交于两个交点； ④直线A 与直线B 相交于点MA ．3个B ．2个C ．1个D ．4个 【变式2】下列说法中，正确的个数有( )①已知线段a ，b 且a -b ＝c ，则c 的值不是正的就是负的； ②已知平面内的任意三点A ，B ，C 则AB+BC ≥AC ； ③延长AB 到C ，使BC ＝AB ，则AC ＝2AB ； ④直线上的顺次三点D 、E 、F ，则DE+EF ＝DF ． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个类型三、个（条）数或长度的计算3. 根据题意，完成下列填空．如图所示，1l 与2l 是同一平面内的两条相交直线，它们有1个交点，如果在这个平面内，再画第3条直线3l ，那么这3条直线最多有________个交点；如果在这个平面内再画第4条直线4l ，那么这4条直线最多可有________个交点．由此我们可以猜想：在同一平面内，6条直线最多可有________个交点，n (n 为大于1的整数)条直线最多可有________个交点(用含有n 的代数式表示)．举一反三：【变式1】平面上有n 个点，最多可以确定 条直线【变式2】一条直线有n 个点，最多可以确定 条线段， 条射线 【变式3】一个平面内有三条直线，会出现几个交点?4. 已知线段AB ＝14cm ，在直线AB 上有一点C ，且BC ＝4cm ，M 是线段AC 的中点，求线段AM 的长．举一反三：【变式】 (武汉武昌区期末联考)如图所示，数轴上线段AB ＝2(单位长度)，CD ＝4(单位长度)，点A 在数轴上表示的数是-10，点C 在数轴上表示的数是16．若线段AB 以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD 以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动． (1)问运动多少秒时，BC ＝8(单位长度)(2)当运动到BC ＝8(单位长度)时，点B 在数轴上表示的数是________ (3)P 是线段AB 上一点，当B 点运动到线段CD 上时，是否存在关系式3BD APPC-=．若存在，求线段PD 的长；若不存在，请说明理由．类型四、路程最短问题5. 如图所示，某公司员工分别住A 、B 、C 三个住宅区，A 区有30人，B 区有15人，C 区有10人．三个区在同一条直线上，该公司的接送车打算在此间设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在哪个区?举一反三：【变式】如图，从A 到B 最短的路线是（ ） A ．A-G-E-B B ．A-C-E-B C ．A-D-G-E-B D ．A-F-E-B【巩固练习】一、选择题1．下列说法中正确的是( )A．直线BA与直线AB是同一条直线 B．延长直线ABC．经过三点可作一条直线 D．直线AB的长为2cm2．在同一平面内有四个点，过其中任意两点画直线，仅能画出四条直线，则这四点的位置关系是（）A．任意三点都不共线 B．有且仅有三点共线C．有两点在另外两点确定的直线外 D．以上答案都不对3．A、B是平面上两点，AB＝10cm，P为平面上一点，若PA+PB＝20cm，则P点( ) A．只能在直线AB外B．只能在直线AB上C．不能在直线AB上D．不能在线段AB上．4.根据语句“点M在直线a外，过M有一直线b交直线a于点N、直线b上另一点Q位于M、N之间”画图，正确的是()．5．已知A、B、C为直线l上的三点，线段AB＝9cm，BC＝1cm，那么A、C两点间的距离是()．A．8 cm B．9 cm C．10 cm D．8cm或10cm6．如图所示，把一根绳子折成3折，用剪刀从中剪断，得到绳子的条数为()．A．3 B．4 C．5 D．67．如图所示，从A地到C地，可供选择的方案是走水路、走陆路、走空中．从A地到B地有2条水路、2条陆路，从B地到C地有3条陆路可供选择，走空中从A地不到B地而直接到C地，则从A地到C地可供选择的方案有()．A．20种B．8种C．5种D．13种8．如图所示，“回”字形的道路宽为1米，整个“回”字形的道路构成了一个长为8米，宽为7米的长方形，一个人从入口点A沿着道路中央走到终点B，他共走了()．A．55米B．55.5米C．56米D．56.6米二、填空题9．班长小明在墙上钉木条挂报夹，钉一颗钉时，木条还任意转动，钉两颗钉时，木条再也不动了，用数学知识解释这种现象为：．10．如图所示，OD、OE是两条射线，A在射线OD上，B、C在射线OE上，则图有共有线段________条，分别是________；共有________条射线，分别是________．11.如图，AB=6，BC=4，D、E分别是AB、BC的中点，则BD+BE= ，根据公理：，可知BD+BE DE.12.经过平面上三点可以画条直线13．同一平面内三条线直线两两相交，最少有个交点，最多有个交点.14.如图所示，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…．则“17”在射线________上；“2015”在射线________上．三、解答题15.如图所示一只蚂蚁在A处，想到C处的最短路线，请画出简图，并说明理由.16．小明发现这样一个问题：“在一次聚会中，共有6人参加，如果每两人都握一次手，共握几次手?”通过思考，小明得出了答案，那请问同学们：如果有n个人参加聚会，每两人都握一次手，一共要握多少次手呢?17.如图，点C在线段AB上，AC = 8 cm，CB = 6 cm，点M、N分别是AC、BC的中点.（1）求线段MN的长；（2）若C为线段AB上任一点，满足AC+ CB=a cm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由.-=，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC CB bcm长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由.。