甘肃省2020年第一次高考诊断考试文科数学试题(含答案)

2020年甘肃省第一次高考诊断考试
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知{}11<<-=x x A ，{}
0<=x x B ，则B A Y =（ ）
A ．（-1，0）
B ．（0，1）
C ．（-1，+∞）
D ．（-∞，1）
2．已知：)23(i i z -=，则z =（ ）
A ．i 32-
B ．i 32+
C ．i 23+
D ．i 23-
3．某高中三个年级学生人数的比例如图所示，先采用分层抽样的办法从高一、高二、高三共抽取50人参加“全面依法治国”知识竞赛，则高二年级应抽取人数为（ ）
A ．20
B ．16
C ．14
D ．12
4．已知平面向量b a ,满足),3(),2,1(t b a -=-=，且)(b a a +⊥b =（ ）
A ．5
B ．32
C ．10
D ．3
5．已知双曲线)0(152
2>=-m m
y x 的一个焦点为)0,3(-F ，则其渐近线方程为（ ）
A ．x y 25±=
B ．x y 552±=
C ．x y 25±=
D ．x y 5
2±= 6．已知3tan =α，则)2
2sin(π
α+=（ ） A ．54- B ．53- C ．53 D ．5
4 7．为了弘扬中国优秀传统文化，某班打算召开中国传统节日主题班会，在春节、清明节、端午节、中秋节、重阳节中随机选取两个节日来学习其文化内涵，其中中秋节被选中的概率为（ ）
A ．0.7
B ．0.6
C ．0.4
D ．0.3
8．已知2
1lg ,,ln 21
===-c e b a π，则c b a ,,的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞c B ．b ＞c ＞a C ．c ＞b ＞a D ．c ＞a ＞b
9．已知抛物线)0(22>=p px y 经过点)22,2(M ，焦点为F ．则直线MF 的斜率为（ ）
A ．42
B ．2
2 C ．22 D ．22- 10．侧棱长与底面边长都相等的四棱锥ABCD P -中，若E 为侧棱PB 的中点，则异面直线PD 与AE 所成角的正弦值为（ ）
A ．36
B ．3
2 C ．3
3 D ．22 11．在ABC ∆中，角C B A ,,对边分别为c b a ,,，若02sin 3cos ,32=-+=B B b ，且A C sin 2sin =，则ABC ∆的周长是（ ）
A ．3212+
B ．36
C ．34
D ．326+
12．若函数)10102020(
log )(2020a x x f -+=为奇函数（其中a 为常数），则不等式0)1(≥+x f 的整数解的个数是（ ）
A ．1011
B ．1010
C ．2020
D ．2021
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线x x
x f ln 212)(+-=在1=x 处的切线方程为 ．
14．实数y x ,满足约束条件1022020x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩
，则y x z 2-=的最大值为
．
15．设n m ，是空间两条不同的直线，βα，是空间两个不同的平面．给出下列四个命题：
①若α∥m ，β∥n ，βα∥，则n m ∥；
②若βα⊥，β⊥m ，α⊄m ，则α∥m ；
③若n m ⊥，α⊥m ，βα∥，则β∥n ；
④若βα⊥，l =βαI ，α∥m ，l m ⊥．则β⊥m ．
其中正确的是 （填序号）．
16．设函数)4sin()(ππ+
=x x f 时，若),2020(a x ∈时，)(x f 存在零点和极值点，则整数a 的最小值
为 ．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生
都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（本小题满分12分）
数列{}n a 满足n a a ,11=是1-与1+n a 的等差中项.
（1）证明：数列{}1+n a 为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；
（2）求数列{}n a n 2+的前n 项和n S ．
18．（本题满分12分）
某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了让健身馆会员参与的健身促销活动．
（1）为了解会员对促销活动的兴趣程度，现从某周六参加该健身馆健身活动的会员中随机采访男性会员和女性会员各50人，他们对于此次健身馆健身促销活动感兴趣的程度如下表所示：
根据以上数据能否有95%的把握认为“对健身促销活动感兴趣”与“性别”有关？ （参考公式))()()(()(2
2
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中d c b a n +++=）
（2）在感兴趣的会员中随机抽取10人对此次健身促销活动的满意度进行调查，以茎叶图记录了他们对此次健身促销活动满意度的分数（满分10分），如图所示，若将此茎叶图中满意度分为“很满意”（分数不低于9.5分）、“满意”（分数不低于平均分且低于9.5分）、“基本满意”（分数低于平均分）三个级别. 先从“满意”和“很满意”的会员中随机抽取两人参加回访馈赠活动，求这两人中至少有一人是“很满意”会员的概率．
19.（本题满分12分） 如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 为棱B 1C 1的中点．
（1）画出过点E 且与直线A 1C 垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线（不必说明画法及理由）；
（2）求点B 到该平面的距离．
20.（本题满分12分）
椭圆C ：22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的右焦点F ，0），过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的弦
长为
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点（2，0）的直线与椭圆C 交于M ，N 两点．O 为坐标原点，若PN MP 2=，求MON ∆的面积．
21．（本题满分12分） 函数)0,()1(2
1ln )(2≠∈-+-=a R a x a ax x x f 且. （1）若2-=a ，判断函数)(x f 的单调性；
（2）当2<a 时，求证：)(x f y =的图象恒在函数)0()1(2
12>--
=x x a y 的图象的下方.
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑。

按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。

22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy ，曲线1C 的参数方程为：⎩
⎨⎧=+=ααsin cos 1y x （α为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρsin 32=．
（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；
（2）若直线)0(:>=k kx y l 与曲线1C 交于O ，A 两点，与曲线2C 交于O ，B 两点，求OB OA +取
得最大值时直线l 的直角坐标方程.
23.（本小题满分10分）选修4 -5：不等式选讲 已知函数1)(-=x x f ，不等式5)1()(<-+x f x f 的解集为{}
n x m x <<.
（1）求实数n m ,的值；
（2）若0,0,0=++>>m y nx y x ，求证：xy y x 9≥+．。