(精编)实验数据正态分布方法与案例
正态分布示范教案
正态分布示范教案第一章：正态分布的定义与特征1.1 引入：通过现实生活中的例子（如考试分数、人的身高等）引导学生了解正态分布的概念。
1.2 讲解正态分布的定义：一个连续型随机变量X服从正态分布，如果其概率密度函数为f(x) = (1/σ√(2π)) e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))，其中μ是分布的均值，σ是分布的标准差。
1.3 分析正态分布的特征：均值、标准差、对称性、拖尾现象等。
1.4 练习：让学生通过图表或计算器观察正态分布的特性。
第二章：正态分布的参数估计2.1 引入：讲解参数估计的概念，以及正态分布参数估计的重要性。
2.2 讲解均值和标准差的点估计：利用样本均值和样本标准差来估计总体均值和总体标准差。
2.3 讲解置信区间：以样本均值为例，讲解如何计算置信区间，并解释其含义。
2.4 练习：让学生运用给出的数据，计算正态分布的均值和标准差的点估计，以及置信区间。
第三章：正态分布的假设检验3.1 引入：讲解假设检验的概念，以及正态分布假设检验的应用。
3.2 讲解单样本Z检验：通过给出样本数据，引导学生了解如何进行正态分布的单样本Z检验。
3.3 讲解两样本Z检验：通过给出两个样本数据，引导学生了解如何进行正态分布的两样本Z检验。
3.4 练习：让学生运用给出的数据，进行正态分布的假设检验。
第四章：正态分布的应用4.1 引入：讲解正态分布在日常生活中的应用，如质量控制、医学等领域。
4.2 讲解正态分布的应用案例：如某产品的质量控制，如何利用正态分布进行控制限的确定。
4.3 讲解正态分布在其他领域的应用：如医学中正常值的判断、心理测量等。
4.4 练习：让学生通过实例，运用正态分布解决实际问题。
第五章：总结与拓展5.1 总结：回顾本章所讲内容，让学生掌握正态分布的定义、特征、参数估计和假设检验。
5.2 拓展：讲解其他连续型分布，如t分布、卡方分布等，以及它们与正态分布的关系。
5.3 练习：让学生运用所学的知识，解决更复杂的实际问题。
生活中的正态分布现象
生活中的正态分布现象生活中的正态分布现象正态分布是概率统计中一种重要的分布形式，它是一种连续概率分布，也就是说，该分布下的随机变量可以取无限个数值。
正态分布主要反映的是一组数据集中值的分散程度，对于生活中的很多现象，正态分布都有很好的适用性，下面我们将详细探讨一下生活中的正态分布现象。
一、身高体重身高体重是正态分布现象最为典型的例子，人的身高体重服从正态分布。
其实，无论是男性还是女性，身高体重的分布都很接近一个常规的正态分布。
而在这个正态分布中，人们的平均身高和平均体重会达到最高点。
同时，各个年龄段人的平均身高和平均体重也会有一些差异，但总体来说，正态分布是描述人类身高和体重的最佳方法之一。
二、考试成绩如果将一个班级的学生的考试成绩进行测量，那么这些成绩将是一个正态分布。
在这个正态分布中，大多数学生会处于中间分数水平，少数学生会获得高分，而另一些学生则会获得低分。
考试成绩的正态分布通常是由许多不同因素引起的，包括整个班级的教育素质、考试的难度以及每个学生的学习能力。
因此，在大多数良好的班级中，学生的考试成绩都会呈现正态分布。
三、实验测试结果在生物或化学实验中，科学家通常会测量许多不同的变量并将它们进行分析，以便更好地理解和解释他们的结果。
在这些实验中，许多数据的分布通常是正态分布的。
这就可以帮助科学家更准确地估计他们测量的变量，以及他们的实验结果是否有显著性差异。
四、心理问卷测试在心理学中，测试人员经常会要求被测试者回答各种心理问卷，以便更好地了解他们的义务感、幸福感、认知水平等等。
在这些测试中，往往会采用量表进行量化分析，得出来的数据往往也是正态分布，这一点也是心理学中常常使用正态分布的原因之一。
五、交通拥堵在城市交通中，交通拥堵是一件非常普遍的事情。
当过多的车辆和行人走在一个有限的区域内，就会形成交通拥堵。
而这种拥堵现象，对于普通交通状况下的车速来说，也是一个正态分布。
因此，当交通拥堵情况较为严重时，交通运输管理人员可以使用正态分布的方法去计算出实际的车辆行驶速度，以便更好地管理交通流量。
高考数学中的正态分布应用技巧
高考数学中的正态分布应用技巧在高考数学中，正态分布是一个非常重要的概率分布，因为许多实际问题都可以用正态分布来描述。
正态分布具有许多良好的特性，例如它的概率密度函数可以用一个简单的公式表示，且该密度函数是对称的，且呈钟形曲线。
因此，掌握正态分布的应用技巧是高考数学中的关键之一。
1. 正态分布的概率计算在高考数学中，我们通常需要在正态分布情况下计算一些概率，例如给定均值和标准差，找到某个值的概率，或者给定概率，找到对应的值。
为了计算这些概率，我们可以使用正态分布表，其中列出了在标准正态分布情况下的各种概率值。
例如，如果我们需要找到标准正态分布下z值为1.96的概率，则可以查找正态分布表，找到对应的值为0.9750。
这意味着从分布的左侧到z=1.96处的面积为0.9750。
同样，如果我们需要找到标准正态分布下，左侧面积为0.0250的z值，则可以查找正态分布表，找到对应的z值为-1.96。
2. 正态分布的近似计算虽然正态分布表可以计算出任意概率值，但是这种方法很难适用于一些较为复杂的计算问题。
因此，在高考数学中，我们通常需要使用正态分布的近似计算方法。
例如，如果我们需要计算某个正态分布的面积，而该分布的均值和标准差均未知，但是有足够数量的样本数据，则可以使用样本均值和样本标准差来进行计算。
这种方法被称为t分布，其形状类似于正态分布，但是适用于小样本的情况。
3. 正态分布的应用案例正态分布在高考数学中出现的应用案例非常广泛，以下是一些常见的例子：a. 考虑到某个申请大学的考试，假设分数服从正态分布，平均分是85，标准差是8，如果该大学只招收前10%的申请者，那么最低要求的分数是多少？解法：根据正态分布的性质，我们可以找到z值为1.28（约等于10%的面积）对应的原始分数，即：z=（x-85）/8，其中x为原始分数。
因此，我们可以解出x=95.04分。
因此，最低要求的分数是95分。
b. 假设某家公司生产的电子产品的电池寿命服从正态分布，均值为450小时，标准差为40小时。
(精编)实验数据正态分布方法与案例
配方Ⅰ 配方Ⅱ 配方Ⅲ
配方Ⅲ 1800 1700 1450 1570 1710 1610
统计过程控 统计抽验
甲
1320 1500
1610 1730
1800 1700
乙
1440 1560
1370 1430
1450 1570
丙
1400 1360
1630 1710
1710 1610
测量分析
改进
否
接受？
一、概述
信息质量
持续改进 过程质量
产品质量
事先预防
事后检验
二、正态分布 1、Excel两对正态函数 2、正态分布图形 3、过程变异情况图示 4、过程稳定与不稳定图示 5、重复测量与正态分布
三、方差分析（数据表）
例1：单因素方差风险
时间（分）
硬度
40
181
187
191
185
50
200
190
198ห้องสมุดไป่ตู้
188
60
192
198
204
202
例2：两因素无交互作用
原料 温度 B1
B2
A1 1313 1349
A2 1351 1356
A3 1379 1391
A4 1361 1352
B3 1373 1385 1394 1364
例3：两因素有交互作用
配方Ⅰ
甲
1320 1500
乙
1440 1560
丙
1400 1360
配方Ⅱ 1610 1730 1370 1430 1630 1710
是
统计过程控制与能力分析
改进
否
接受？
正态分布检验
正态分布检验2篇正态分布检验是统计学中常用的一种方法，用于检验数据是否服从正态分布。
本文将分为两部分，每部分详细介绍正态分布检验的原理、常用方法和应用。
第一部分：正态分布检验的原理和方法正态分布是概率论和统计学中最常见的一种分布。
在很多实际问题中，我们都希望数据能够近似地服从正态分布，因为正态分布具有许多良好的性质，如对称性和稳定性。
然而，对于给定的数据集，我们通常无法直接判断其是否服从正态分布。
这时，我们就需要进行正态分布检验。
常用的正态分布检验方法有如下几种：1. Shapiro-Wilk检验：Shapiro-Wilk检验是一种基于样本数据的正态分布检验方法。
它的原假设是数据集来自于一个正态分布总体。
通过计算统计量W来判断数据是否服从正态分布。
当W的值趋近于1时，说明数据较好地服从正态分布。
2. Kolmogorov-Smirnov检验：Kolmogorov-Smirnov检验也是一种常用的正态分布检验方法。
它的原假设是数据集来自于一个特定的分布，如正态分布。
通过计算统计量D来判断数据是否服从正态分布。
当D的值越接近0，说明数据越接近正态分布。
3. Anderson-Darling检验：Anderson-Darling检验是一种基于样本数据的正态分布检验方法。
它的原假设是数据集来自于一个正态分布总体。
通过计算统计量A来判断数据是否服从正态分布。
当A的值越小，说明数据越接近正态分布。
以上三种方法都是基于一定的统计理论进行计算和判断的，它们的原假设和备择假设也不完全相同。
在实际应用中，我们可以根据数据的性质和要求选择适合的方法进行正态分布检验。
第二部分：正态分布检验的应用正态分布检验在实际问题中有着广泛的应用。
下面以两个例子来说明正态分布检验的具体应用。
例子1：质量控制假设某家工厂生产的产品直径应该服从正态分布。
为了确保生产质量，工厂每天抽取一定数量的产品进行测量。
通过对测量数据进行正态分布检验，可以判断生产过程是否符合要求，并及时采取调整措施。
第三章 正态分布及其应用
二、标准正态分布
正态分布是一个分布族，对应于不同的参数 和 会产生不同位置、不同形状的正态 分布，为了应用方便，我们将正态分布转化成标准正态分布。
u x
f (X )
1
(x )
2
2
e
2
2
, X
ห้องสมุดไป่ตู้
(u )
1 2
u
2
e
2
, u
由频数分布表可知尿汞值呈偏态分布，且尿汞值仅 以过高为异常（单侧） ，所以采用百分位数法计算 上侧界值即求第 95 百分位数 P95。 公式： P
X
L
i fx
(n x%
8 .0 11
fL )
PX 4 0 .0
( 2 8 2 9 5 % 2 6 3 ) 4 3 .6 ( / L )
正 态 分 布
正态分布是医学和生物学中最常见，也是最重要的一种连续性分布，如正常人的 身高，体重，红细胞数，血红蛋白等。我们可以从频数表和频数图对正态分布进行研 究。 120 名正常成年男子红细胞计数的频数表（×1012/L）
组段（1） 3.20~ 3.50~ 3.80~ 4.10~ 4.40~ 4.70~ 5.00~ 5.30~ 5.60~ 5.90~6.20 合计 频数（2） 2 5 10 19 23 24 21 11 4 1 120 频率（%） （3） 1.7 4.2 8.3 15.8 19.2 20.0 17.5 9.2 3.3 0.8 100.0 累计频数（4） 2 7 17 36 59 83 104 115 119 120 累计频率（%）(5) 1.7 5.9 14.2 30.0 49.2 69.2 86.7 95.9 99.2 100.0
正态分布习题与详解(非常有用,必考点)
1. 若x ～N (0,1),求(l)P <x <；(2)P (x >2). 解：(1)P <x <=- =-[1-]==.(2)P (x >2)=1-P (x <2)=1-(2)==.2利用标准正态分布表，求标准正态总体 (1)在N(1,4)下，求)3(F（2）在N （μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）； 解：（１）)3(F ＝)213(-Φ＝Φ（1）＝ （２）Ｆ（μ＋σ）＝)(σμσμ-+Φ＝Φ（1）＝Ｆ（μ－σ）＝)(σμσμ--Φ＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－＝ Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝－＝ 3某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为π21，求总体落入区间（－，）之间的概率 [Φ（）=, Φ（）=]解：正态分布的概率密度函数是),(,21)(222)(+∞-∞∈=--x ex f x σμσπ，它是偶函数，说明μ＝0，)(x f 的最大值为)(μf ＝σπ21，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布( 1.20.2)(0.2)( 1.2)(0.2)[1(1.2)](0.2)(1.2)1P x -<<=Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ+Φ-0.57930.884810.4642=+-=4.某县农民年平均收入服从μ=500元，σ=200元的正态分布 （1）求此县农民年平均收入在500520元间人数的百分比；（2）如果要使此县农民年平均收入在（a a +-μμ,）内的概率不少于，则a 至少有多大[Φ（）=, Φ（）=] 解：设ξ表示此县农民年平均收入，则)200,500(~2N ξ520500500500(500520)()()(0.1)(0)0.53980.50.0398200200P ξ--<<=Φ-Φ=Φ-Φ=-=（2）∵()()()2()10.95200200200a a aP a a μξμ-<<+=Φ-Φ-=Φ-≥，()0.975200a ∴Φ≥查表知： 1.96392200aa ≥⇒≥1设随机变量~X N (3,1),若(4)P X p >=,,则P(2<X<4)=( A)12p + ( B)l —p C ．l-2p D ．12p - 【答案】C 因为(4)(2)P X P X p>=<=,所以P(2<X<4)=1(4)(2)12P X P X p ->-<=-,选C ．2．(2010·新课标全国理)某种种子每粒发芽的概率都为，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．400[答案] B[解析] 记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B (1 000，，所以E (ξ)＝1 000×＝100，而X ＝2ξ，故E (X )＝E (2ξ)＝2E (ξ)＝200，故选B.3．设随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)＝( ) B ．－19 [答案] D[解析] 由条件a ，b ，c 成等差数列知，2b ＝a ＋c ，由分布列的性质知a ＋b ＋c ＝1，又E (ξ)＝－a ＋c ＝13，解得a ＝16，b ＝13，c ＝12，∴D (ξ)＝16×⎝⎛⎭⎫－1－132＋13⎝⎛⎭⎫0－132＋12⎝⎛⎭⎫1－132＝59.4．(2010·上海松江区模考)设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为67，则口袋中白球的个数为( )A ．3 B ．4 C ．5 D ．2[答案] A[解析] 设白球x 个，则黑球7－x 个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0,1,2， P (ξ＝0)＝C 7－x 2C 72＝7－x 6－x 42，P (ξ＝1)＝x ·7－x C 72＝x 7－x21，P (ξ＝2)＝C x 2C 72＝xx －142，∴0×7－x 6－x 42＋1×x 7－x 21＋2×xx －142＝67， ∴x ＝3.5．小明每次射击的命中率都为p ，他连续射击n 次，各次是否命中相互独立，已知命中次数ξ的期望值为4，方差为2，则p (ξ>1)＝( )[答案] C[解析] 由条件知ξ～B (n ，P )，∵⎩⎪⎨⎪⎧ Eξ＝4，Dξ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧np ＝4np 1－p ＝2， 解之得，p ＝12，n ＝8，∴P (ξ＝0)＝C 80×⎝⎛⎭⎫120×⎝⎛⎭⎫128＝⎝⎛⎭⎫128， P (ξ＝1)＝C 81×⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫127＝⎝⎛⎭⎫125， ∴P (ξ>1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)＝1－⎝⎛⎭⎫128－⎝⎛⎭⎫125＝247256.5已知三个正态分布密度函数φi (x )＝12πσie －x －μi 22σi 2(x ∈R ，i ＝1,2,3)的图象如图所示，则( )A ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3B ．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3C ．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3D ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 [答案] D[解析] 正态分布密度函数φ2(x )和φ3(x )的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x )的对称轴的横坐标值比φ1(x )的对称轴的横坐标值大，故有μ1<μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x )和φ2(x )的图象一样“瘦高”，φ3(x )明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2<σ3.6①命题“0x R,cos x ∀∈>”的否定是:“0x R,cos x ∃∈≤”; ②若lg a lg b lg(a b )+=+,则a b +的最大值为4;③定义在R 上的奇函数f (x )满足2f (x )f (x )+=-,则6f ()的值为0;④已知随机变量ζ服从正态分布215081N(,),P().σζ≤=,则3019P().ζ≤-=;其中真命题的序号是________(请把所有真命题的序号都填上).【答案】①③④ ①命题“0x R,cos x ∀∈>”的否定是:“0x R,cos x ∃∈≤”;所以①正确.②若lg a lg b lg(a b )+=+,则lg ab lg(a b )=+,即,0,0ab a b a b =+>>.所以2()2a b ab a b +=+≤,即2()4()a b a b +≥+,解得4a b +≥,则a b +的最小值为4;所以②错误.③定义在R 上的奇函数f (x )满足2f (x )f (x )+=-,则(4)()f x f x +=,且(0)0f =,即函数的周期是4.所以(6)(2)(0)0f f f ==-=;所以③正确.④已知随机变量ζ服从正态分布215081N(,),P().σζ≤=,则(5)1(5)10.810.19P P ζζ>=-≤=-=,所以35019P()P().ζζ≤-=>=;所以④正确,所以真命题的序号是①③④.7、在区间[1,1]-上任取两数m 和n ,则关于x 的方程220x mx n ++=有两不相等实根的概率为___________.【答案】14由题意知11,1 1.m n -≤≤-≤≤要使方程220x mx n ++=有两不相等实根,则22=40m n ∆->,即(2)(2)0m n m n -+>.作出对应的可行域,如图直线20m n -=,20m n +=,当1m =时,11,22C B n n ==-,所以11111[()]2222OBC S ∆=⨯⨯--=,所以方程220x mx n ++=有两不相等实根的概率为122122244OBC S ∆⨯==⨯.8、下列命题:` (1)221211134dx x x=-=⎰; (2)不等式|1||3|x x a ++-≥恒成立,则4a ≤;(3)随机变量X 服从正态分布N(1,2),则(0)(2);P X P X <=> (4)已知,,21,a b R a b +∈+=则218a b+≥.其中正确命题的序号为____________. 【答案】(2)(3) (1)22111ln ln 2dx x x==⎰,所以(1)错误.(2)不等式|1||3|x x ++-的最小值为4,所以要使不等式|1||3|x x a ++-≥成立,则4a ≤,所以(2)正确.(3)正确.(4)21212222()(2)41529b a b a a b a b a b a b a b+=++=+++≥+⋅=,所以(4)错误,所以正确的为(2)(3).2已知某篮球运动员2012年度参加了40场比赛,现从中抽取5场,用茎叶图统计该运动员5场中的得分如图所示,则该样本的方差为（ ）A ．26B ．25C ．23D ．18【答案】D样本的平均数为23,所以样本方差为222221[(1923)(2023)(2223)(2323)(3123)]185-+-+-+-+-=,选 D ．3有一个容量为200的样本,其频率分布直方图如图所示,据图估计,样本数据在[)8,10内的频数为（ ）A ．38B ．57C ．76D ．95【答案】C 样本数据在[)8,10之外的频率为(0.020.050.090.15)20.62+++⨯=,所以样本数据在[)8,10内的频率为10.620.38-=,所以样本数据在[)8,10的频数为0.3820076⨯=,选 C ．4．（2013年临沂市高三教学质量检测考试理科数学）如图所示,在边长为l 的正方形OABC 中任取一点P ,则点P 恰好取自阴影部分的概率为 （ ）A ．13B ．14C ．15D ．16【答案】 【答案】B 根据积分的应用可知所求阴影部分的面积为132410111()()244x x dx x x -=-=⎰,所以由几何概型公式可得点P 恰好取自阴影部分的概率为14,选 B ．5从集合{}1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数,这个数可以构成等差数列的概率为______.【答案】25从集合{}1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数有3510C =种.则3个数能构成等差数列的有,1,2,3;2,3,4;3,4,5;1,3,5;有4种,所以这个数可以构成等差数列的概率为42105=.。
正态分布示范教案
正态分布示范教案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】正态分布（1）教材分析正态分布在概率统计学中是一种很重要的分布. 一般说来，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用都不太大，则这个指标服从正态分布.我们知道，离散型随机变量最多取可列个不同值，它等于某一特定实数的概率可能大于0，人们感兴趣的是它取某些特定值的概率，即感兴趣的是其分布列；连续型随机变量可能取某个区间上的任何值，它等于任何一个实数的概率都为0，所以通常感兴趣的是它落在某个区间的概率.离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，而连续型随机变量的概率分布规律用密度函数（曲线）描述.要求同学们学会从离散到连续用函数的观点解决问题.课时分配本节内容用2课时的时间完成，第一课时主要讲解正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质.3原则放在了第二课时.教学目标重点: 正态分布曲线的特点及其所表示的意义.难点：了解在实际中什么样的随机变量服从正态分布，并掌握正态分布曲线所表示的意义．知识点：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质.能力点：结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解.教育点：通过教学中一系列的探究过程使学生体验发现的快乐，形成积极的情感，培养学生的进取意识和科学精神.自主探究点：讲授法与引导发现法．通过教师先讲，师生再共同探究的方式，让学生深刻理解相关概念，领会数形结合的数学思想方法，体会数学知识的形成.考试点：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质.易错易混点：求系数最大项时的约分化简.拓展点：引导发现法.教具准备电子白板，多媒体，高尔顿试验板课堂模式学案导学一、创设情境学生上台演示高尔顿板试验．模拟高尔顿板试验截图师生活动：创设情境，为导入新知做准备．学生感悟体验，对试验的结果进行定向思考．学生经过观察小球在槽中的堆积形状发现：下落的小球在槽中的分布是有规律的．【设计意图】让学生演示试验，能提高学生的学习积极性，提高学习数学的兴趣．让学生体验“正态分布曲线“的生成和发现历程．二、探究新知1．用频率分布直方图从频率角度研究小球的分布规律．⑴将球槽编号，算出各个球槽内的小球个数，作出频率分布表．⑵以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽内的频率与组距的比值为纵坐标，画出频率分布直方图.连接各个长方形上端的中点得到频率分布折线图（如图1）．师生活动：引导学生思考回顾，教师通过课件演示作图过程．在这里引导学生回忆得到，此处的纵坐标为频率除以组距．教师提出问题：这里每个长方形的面积的含义是什么？学生经过回忆，易得：长方形面积代表相应区间内数据的频率．【设计意图】通过把与新内容有关的旧知识抽出来作为新知识的“生长点”，为引入新知搭桥铺路，形成正迁移．通过这里的思考回忆，加深对频率分布直方图的理解．⑶随着试验次数增多，折线图就越来越接近于一条光滑的曲线（如图2）．从描述曲线形状的角度自然引入了正态密度函数的表达式：()()()222,,,x x e x μσμσϕ--=∈-∞+∞ 师生活动：分析表达式特点：解析式中前有一个系数σπ21，后面是一个以e 为底数的指数形式，幂指数为222)(σμ--x ，解析式中含两个常数π和e ，还含有两个参数μ和σ，分别指总体随机变量的平均数和标准差，可用样本平均数和标准差去估计．【设计意图】该处在学生从形的角度直观认识了正态曲线之后才给出曲线对应的表达式，这样处理能更直观，学生更易理解正态曲线的来源．2．继续探究：当我们去掉高尔顿板试验最下边的球槽，并沿其底部建立一个水平坐标轴，其刻度单位为球槽的宽度，用X 表示落下的小球第一次与高尔顿板底部接触时的坐标．提出问题：图3中阴影部分面积有什么意义？师生活动：引导学生得到：此时小球与底部接触时的坐标X 是一个连续型随机变量．启发学生回忆：频率分布直方图中面积对应频率，不难理解，图中阴影部分的面积，就可以看成多个矩形面积的和，也就是X 落在区间],(b a 的频率；再结合定积分的意义,阴影部分面积就是正态密度函数在该区间上的积分值，这样，概率与积分间就建立了一个等量关系．【设计意图】这个步骤实现了由离散型随机变量到连续型随机变量的过渡．通过设疑，引起学生对问题的深入思考，加深对定积分几何意义的理解．直接问X 落在区间],(b a 上的概率，学生不容易反应过来，改为问面积的意义后，便于学生理解该问题．在前面分析的基础上，引出正态分布概念：一般地，如果对于任何实数a ＜b ，随机变量X 满足：()()dx x b X a P ba σμϕ,⎰=≤＜，则称X 的分布为正态分布，常记作()2,σμN ．如果随机变量X 服从正态分布，则记作()2,~σμN X ． 师生活动：教师在前面分析的基础上引出正态分布的概念，并说明记法．引导学生分析得，X 所落区间的端点能否取值，均不影响X 落在该区间内的概率．【设计意图】以旧引新，虽概念较抽象，但这样处理学生不会觉得太突兀，易于接受新知识．同时培养学生把前后知识联系起来进行思维的习惯．请学生结合高尔顿板试验讨论提出的问题，尝试归纳服从或近似服从正态分布的随机变量所具有的特征：1．小球落下的位置是随机的吗？2．若没有上部的小木块，小球会落在哪里是什么影响了小球落下的位置3．前一个小球对下一个小球落下的位置有影响吗哪个小球对结果的影响大4．你能事先确定某个小球下落时会与哪些小木块发生碰撞吗？师生活动：学生通过讨论，教师引导学生得出问题的结果：1．它是随机的．2．竖直落下．受众多次碰撞的影响．3．互不相干、不分主次．4．不能，具有偶然性．然后归纳出特征：一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用之和，它就服从或近似服从正态分布．教师列举实例分析，帮助学生更加透彻的理解．【设计意图】“什么样的随机变量服从（或近似服从）正态分布？”是本节课的难点，采用问题串的方式，将复杂的问题分解成几个容易解决的问题，能有效突破难点．同时采用小组讨论的形式，加强学生的合作意识，同时培养他们的辩证观．通过举例，让学生体会到生活中处处有正态分布，感受到数学的实际应用．教师通过计算机绘出两组图像（动画），让学生观察：第一组：固定σ的值，μ取三个不同的数（如图4）；第二组：固定μ的值，σ取三个不同的数（如图5）；师生活动：学生通过观察并结合参数μ与σ的意义可得：当σ一定时，曲线随μ的变化而沿x平移；当μ一定时，σ影响了曲线的形状．即：σ越小，则曲线越瘦高，表示总体分布越集中；σ越大，则曲线越矮胖，表示总体分布越分散．【设计意图】针对解析式中含有两个参数，学生较难独立分析参数对曲线的影响，这里通过固定一个参数，讨论另一个参数对图象的影响，这样的处理大大降低了难度，并能很好地突出重点．三、理解新知引导学生结合三幅图像（如图6）及高尔顿板试验，根据问题归纳正态曲线的性质：⑴曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交；⑵曲线是单峰的，图像关于直线μ=x 对称；⑶曲线在μ=x 处达峰值σπ21；⑷曲线与x 轴之间的面积为1；⑸若σ固定, 随μ值的变化而沿x 轴平移, 故μ称为位置参数；⑹当μ一定时，曲线的形状由σ确定. σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中，故σ称为形状参数.师生活动：引导学生联系三幅图像（如图6），结合高尔顿板试验思考以下问题：⑴曲线在坐标平面的什么位置？曲线为什么与x 轴不相交？⑵曲线有没有对称轴？⑶曲线有没有最高点坐标是⑷曲线与x 轴围成的面积是多少？⑸曲线的位置与参数μ有什么关系？⑹曲线的形状与参数σ有什么关系？【设计意图】该环节借助计算机模拟及高尔顿板试验试验结果呈现了教学中难以呈现的课程内容，能很好地锻炼学生观察归纳的能力，体现了归纳分类、化难为易、数形结合的思想．四、运用新知例1.下列函数是正态密度函数的是（B ）22()2.(),,(0)xA f xμσμσσ--=>都是实数；22.()2xB f x eπ-=；2(1)4.()xC f x--=；22.()xD f x e=师生活动：学生通过观察解析式的结构特征可知只有B选项符合正态密度函数解析式的特点．例2.标准正态总体的函数为22(),(,).xf x x-=∈-∞+∞⑴证明()f x是偶函数；⑵求()f x的最大值；⑶利用指数函数的性质说明()f x的增减性．师生活动：学生结合函数知识自行解决问题．【设计意图】设计这一题主要为了加强学生对正态密度函数的理解．例3.把一条正态曲线a沿横轴向右平移2个单位,得到一条新的曲线b．下列说法中不正确的是(D)A. 曲线b仍然是正态曲线．B. 曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相同．C. 以曲线b为概率密度曲线的总体的均值比以曲线a为概率密度曲线的总体的均值大2．D. 以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为概率密度曲线的总体的方差大2．师生活动：学生易分析知：正态曲线a经过平移仍是正态曲线，峰值不变.而曲线的左右平移与μ即均值有关．故D选项的说法不正确．【设计意图】通过该例，深化学生对正态曲线的特点及正态分布密度函数表达式中参数μ与σ的理解．例4.某校某次数学考试的成绩X服从正态分布，其密度函数曲线如图7：图6⑴写出X 的正态密度函数；⑵若参加考试的共1200人（满分100分），你能估计及格人数吗？师生活动：学生通过观察图像，可知对称轴60=μ，根据峰值可知8=σ，代入正态曲线表达式可得：()()12860,2281--⋅=x e x πϕσμ；第二问根据图像利用对称性知及格人数占总参考人数一半．【设计意图】通过一个贴近生活的实例，让学生体会到数学在实际问题中的应用，培养学生应用所学知识解决问题的能力，激发学习热情．体现了数形结合的思想．练习：⒈判断正误：⑴正态密度曲线)(,x y σμϕ=关于直线0=x 对称． （×）⑵正态总体)43(,N 的标准差为4． （×）⑶正态分布随机变量等于一个特定实数的概率为0． （√）⑷若)3(~2σ,N X ，则=<)3(X P 31． （×） 【设计意图】通过一组判断题，进一步加深学生对正态分布的认识．五、课堂小结1.知识归纳：正态密度曲线→正态分布的意义↓ ↓正态密度曲线特点 正态分布的实例↓参数对正态曲线的影响2.思想方法： 数形结合思想师生活动：教师引导学生从知识内容和思想方法两方面进行课堂小结．最后教师说明:正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中,我们研究它主要还是希望它能服务于我们的生活,那么它在实际中究竟有着怎样的妙用呢?我们下节课继续学习!【设计意图】通过小结使学生对本节课的知识结构有一个清晰的认识,同时使学生自己内化知识，查漏补缺,使学生在认识上达到一个新的高度．（为了更好地突出本节课重点，同时更好地突破难点，考虑到本节课的课堂容量及学生的认知情况，σ3原则放在了第二课时．）六、布置作业1.（必做题）设随机变量X服从正态分布)9(-XXP,求c<cP)12(,(cN，若=>)1+的值并写出其正态密度函数解析式．2.（必做题）以学习小组（4人）为单位，搜集某项数据资料（如某年级学生的身高、体重等）．仿照课本的方法，研究该数据是否服从（或近似服从）正态分布？如果是，请估计参数μ的值．3.（选做题）在高尔顿板试验中，为什么落在中间球槽的小球最多？七、教后反思1.数学知识间存在着内在的本质联系，本教案的亮点是充分注意了新旧知识间的内在联系，这样有助于学生理解记忆前后所学知识，并将其融会贯通，从而更好地加以运用．2.本节课的弱项是应用课件进展速度太快，学生思维节奏有点赶不上思维进程.八、板书设计。
正态分布及其应用
正态分布及其应用在我们的日常生活和众多科学领域中，正态分布是一个极其重要的概念。
它如同一位默默工作的幕后英雄，虽然不常被人们直接提及，但却在各个角落发挥着关键作用。
那什么是正态分布呢？想象一下，我们测量一群人的身高，会发现大多数人的身高都集中在一个中间范围，只有少数人特别高或特别矮。
这种大多数数据集中在中间，两端逐渐减少的分布情况，就是正态分布。
它的形状就像一个对称的钟形，所以也被称为“钟形曲线”。
正态分布具有几个显著的特点。
首先，它是对称的，这意味着数据在均值的两侧分布是相同的。
其次，它的均值、中位数和众数是相等的，都处于曲线的中心位置。
而且，正态分布的概率密度函数具有特定的数学表达式，这使得我们能够进行精确的计算和分析。
为什么正态分布如此常见呢？这是因为许多自然和社会现象都受到多种随机因素的综合影响。
例如，学生的考试成绩，受到他们的学习能力、努力程度、考试当天的状态等多种因素的作用。
这些因素相互交织，最终导致成绩呈现出正态分布的特征。
在教育领域，正态分布有着广泛的应用。
教师可以通过对学生考试成绩的分析，了解整个班级的学习情况。
如果成绩符合正态分布，说明教学效果可能较为正常。
但如果出现偏态分布，比如成绩普遍过高或过低，就可能提示教学中存在问题，需要调整教学方法或难度。
在医学中，正态分布同样重要。
比如，测量人群的血压、身高、体重等生理指标，通常都呈现正态分布。
医生可以通过这些数据来判断一个人的健康状况是否正常。
如果某个人的指标偏离了正态分布的范围，可能就意味着存在健康风险，需要进一步的检查和治疗。
在金融领域，正态分布也被广泛应用于风险评估。
股票的收益率、资产的价格波动等往往近似服从正态分布。
投资者可以利用这一特性，通过计算均值和标准差来评估投资组合的风险和收益。
在工业生产中，正态分布可以用于质量控制。
例如，生产一批零件，其尺寸的误差往往符合正态分布。
通过设定合理的公差范围，企业可以确保大部分零件符合质量标准，同时对超出范围的少数次品进行及时处理和改进生产工艺。
正态分布生活实例
正态分布生活实例某大学九班有100位学生，其中70%的学生身高在160cm至170cm之间，身高低于160cm或高于170cm的学生占30%。
这个班级的身高分布可以用正态分布描述。
小明是这个班级的一名学生，身高为175cm。
他发现他的身高比班级大多数同学要高，但不知道具体有多少人的身高比他低。
于是他利用班级身高分布的正态分布特征，进行了计算。
根据正态分布的性质，小明可以通过计算标准差找出与他身高相近的学生人数。
假设这个班级的身高分布的均值为165cm，标准差为5cm。
小明知道，根据正态分布的规律，约有68%的学生身高在均值加减一个标准差范围内。
也就是说，大约有68%的学生身高在160cm至170cm之间。
而小明的身高处于这个范围之外。
他和其他32%的学生一起构成了另一部分正态分布的尾部，也就是身高低于160cm或高于170cm的学生。
但小明想要确定具体有多少人的身高比他低，他需要计算出标准差的相对位置。
小明的身高距离均值的差距为175cm-165cm=10cm。
接下来，他需要计算这个差距相对于标准差的倍数。
计算公式为：差距倍数 = 差距 / 标准差差距倍数 = 10cm / 5cm = 2根据正态分布的性质，差距倍数为2的区域内有95%的数据。
也就是说，大约有95%的学生的身高低于小明的身高。
小明可以通过计算人数比例来确定具体有多少人的身高比他低。
根据正态分布的性质，差距倍数为2的区域内有95%的数据，而差距倍数为2之外的区域的数据占据了剩余的5%。
他可以估计，在班级的学生中，有5%的学生的身高高于他。
通过以上分析，小明可以得到结论：在他的班级中，大约有5%的学生的身高比他低。
这个实例展示了正态分布的应用。
通过了解正态分布的性质，我们可以利用正态分布来分析和估计不同情况下的数据分布和相对位置，从而得出一些有用的信息。
检验正态分布的方法
检验正态分布的方法正态分布是统计学中十分重要的一种分布形式，通常也称为高斯分布。
在实际应用中，我们有时需要验证一组数据是否符合正态分布，以此来保证在进行统计分析时的准确性。
本文将介绍一些常用的检验正态分布的方法。
一、直方图检验法直方图是一种简单直观的图形表示方法，可以用来显示一组数据的分布情况。
对于一组数据，我们可以把它们分成若干组，然后将每组数据的频数用柱状图表示出来。
如果该直方图呈钟形分布，就说明数据近似于正态分布。
二、正态概率图检验法正态概率图是一种将原始数据按从小到大排列后，将相应的标准分数（也称Z分数或标准正态分布分数）在纵轴上作图的方法。
如果数据符合正态分布，则正态概率图的点应当落在一条直线上，这条直线的斜率和截距决定于零均值和单位标准差的正态分布。
三、K-S检验法K-S检验是一种用于检验样本数据是否符合某种分布的非参数检验方法。
K-S检验的基本思想是：将样本数据与期望的分布进行比较，计算它们之间的距离。
一般来说，这种距离是统计学上常用的距离度量。
对于正态分布，我们可以先在样本数据中计算出样本平均值和样本标准差，然后使用正态分布的累积分布函数（CDF）计算出每个数据点的概率密度，再将这些概率密度与样本数据的分布进行比较。
四、Shapiro-Wilk检验法如果Shapiro-Wilk检验的结果显示拒绝原假设（即样本数据不符合正态分布），则说明无法使用正态分布的假设来进行统计分析。
总之，检验正态分布的方法有多种，每种方法都有其特点和适用范围。
在实际应用中，我们需要结合数据的实际情况和需求选择合适的方法来进行检验，以确保统计分析的准确性和可靠性。
正态分布 教案
正态分布教案教案标题：正态分布教案目标：1. 了解正态分布的基本概念和性质；2. 掌握正态分布的计算方法和常见应用；3. 能够分析和解决与正态分布相关的问题；4. 培养学生的数据分析和推理能力。
教案步骤：引入活动：1. 引导学生回顾统计学中的概率分布，并提问是否了解正态分布；2. 引导学生思考正态分布的特点和应用领域。
知识讲解：1. 介绍正态分布的定义和特点，包括均值、标准差、正态曲线等；2. 解释正态分布的标准化过程，并讲解标准正态分布表的使用方法；3. 通过实例演示如何计算正态分布的概率和百分位数。
练习活动：1. 分组讨论并解决一些与正态分布相关的实际问题，如身高、考试成绩等；2. 给出一些具体数据，让学生计算对应的正态分布概率和百分位数；3. 利用Excel或其他统计软件绘制正态分布曲线，并分析曲线的特点。
拓展应用：1. 引导学生思考正态分布在实际生活中的应用，如质量控制、市场调研等；2. 分组讨论并设计一个与正态分布相关的调查或实验项目；3. 学生展示自己的项目设计，并与其他小组进行交流和反馈。
总结归纳：1. 总结正态分布的基本概念和性质；2. 强调正态分布在统计学和实际生活中的重要性；3. 鼓励学生继续深入学习和应用正态分布相关知识。
教学资源：1. PowerPoint演示或白板；2. 实例数据和计算工具；3. 统计软件（如Excel）；4. 正态分布表。
评估方式：1. 学生参与讨论和解决问题的积极性；2. 学生对正态分布计算方法的掌握程度；3. 学生在拓展应用环节的表现和创造力。
教学反思：1. 教学过程中是否能够引发学生的兴趣和思考；2. 学生对正态分布的理解程度和应用能力；3. 教学资源和评估方式的有效性和实用性。
注意事项：1. 根据学生的实际情况和学科要求，适当调整教案内容和难度；2. 激发学生的学习兴趣，鼓励学生主动思考和探索；3. 提供足够的实例和练习机会，加强学生的实际操作能力。
正态分布讲解（含标准表）
正态分布讲解（含标准表）2．4正态分布复习引⼊：总体密度曲线:样本容量越⼤，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量⽆限增⼤，分组的组距⽆限缩⼩，那么频率分布直⽅图就会⽆限接近于⼀条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．总体密度曲线b单位O频率/组距a它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a ，b )内取值的概率等于总体密度曲线，直线x =a ，x =b 及x 轴所围图形的⾯积．观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间⾼，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线⼀般可⽤下⾯函数的图象来表⽰或近似表⽰：22()2,1(),(,)2x x ex µσµσ?πσ--=∈-∞+∞式中的实数µ、)0(>σσ是参数，分别表⽰总体的平均数与标准差，,()x µσ的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．讲解新课：⼀般地，如果对于任何实数ab <，随机变量X 满⾜,()()baP a X B x dx µσ?<≤=?,则称 X 的分布为正态分布（normal distribution ) ．正态分布完全由参数µ和σ确定，因此正态分布常记作),(2σµN ．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为X ～),(2σµN .经验表明，⼀个随机变量如果是众多的、互不相⼲的、不分主次的偶然因素作⽤结果之和，它就服从或近似服从正态分布．例如，⾼尔顿板试验中，⼩球在下落过程中要与众多⼩⽊块发⽣碰撞，每次碰撞的结果使得⼩球随机地向左或向右下落，因此⼩球第1次与⾼尔顿板底部接触时的坐标 X 是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布．在现实⽣活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某⼀地区同年龄⼈群的⾝⾼、体重、肺活量等；⼀定条件下⽣长的⼩麦的株⾼、穗长、单位⾯积产量等；正常⽣产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺⼨、纤维的纤度、电容器的电容量、电⼦管的使⽤寿命等）；某地每年七⽉份的平均⽓温、平均湿度、降⾬量等；⼀般都服从正态分布．因此，正态分布⼴泛存在于⾃然现象、⽣产和⽣活实际之中．正态分布在概率和统计中占有重要的地位．说明:1参数µ是反映随机变量取值的平均⽔平的特征数，可以⽤样本均值去佑计；σ是衡量随机变量总体波动⼤⼩的特征数，可以⽤样本标准差去估计．2.早在 1733 年，法国数学家棣莫弗就⽤n ！的近似公式得到了正态分布．之后，德国数学家⾼斯在研究测量误差时从另⼀个⾓度导出了它，并研究了它的性质，因此，⼈们也称正态分布为⾼斯分布． 2．正态分布),(2σµN ）是由均值µ和标准差σ唯⼀决定的分布通过固定其中⼀个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响的作图，书中没有做要求，教师也不必补上讲课时教师可以应⽤⼏何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前⾯均值与标准差对图形的影响，引导学⽣观察总结正态曲线的性质4．正态曲线的性质：（1）曲线在x 轴的上⽅，与x 轴不相交（2）曲线关于直线x=µ对称（3）当x=µ时，曲线位于最⾼点（4）当x ＜µ时，曲线上升（增函数）；当x ＞µ时，曲线下降（减函数）并且当曲线向左、右两边⽆限延伸时，以x 轴为渐近线，向它⽆限靠近（5）µ⼀定时，曲线的形状由σ确定σ越⼤，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越⼩．曲线越“瘦⾼”．总体分布越集中：五条性质中前三条学⽣较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运⽤数形结合的原则，采⽤对⽐教学5．标准正态曲线:当µ=0、σ=l 时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表⽰式是2221)(x ex f -=π，（-∞＜x ＜+∞）其相应的曲线称为标准正态曲线标准正态总体N （0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题讲解范例：例1．给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值µ和标准差σ（１）),(,21)(22+∞-∞∈=-x ex f x π（２）),(,221)(8)1(2+∞-∞∈=--x ex f x π2(1)2(),(,)2x f x e x π-+=∈-∞+∞ 答案：(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5例2求标准正态总体在（-1，2）内取值的概率．解：利⽤等式)()(12x x p Φ-Φ=有)([]}{11)2()1()2(--Φ--Φ=-Φ-Φ=p=1)1()2(-Φ+Φ=0.9772＋0.8413－1=0.8151．1.标准正态总体的概率问题:xy对于标准正态总体N （0，1），)(0x Φ是总体取值⼩于0x 的概率，即 )()(00x x P x <=Φ，其中00>x ，图中阴影部分的⾯积表⽰为概率0()P x x < 只要有标准正态分布表即可查表解决.从图中不难发现:当002.标准正态分布表标准正态总体)1,0(N 在正态总体的研究中有⾮常重要的地位，为此专门制作了“标准正态分布表”．在这个表中，对应于x 的值)(0x Φ是指总体取值⼩于x 的概率，即)()(00x x P x <=Φ，)0(0≥x ．若00利⽤标准正态分布表，可以求出标准正态总体在任意区间),(21x x 内取值的概率，即直线1x x =，2x x =与正态曲线、x 轴所围成的曲边梯形的⾯积1221()()()P x x x x x <<=Φ-Φ． 3．⾮标准正态总体在某区间内取值的概率:可以通过)()(σµ-Φ=x x F 转化成标准正态总体，然后查标准正态分布表即可在这⾥重点掌握如何转化⾸先要掌握正态总体的均值和标准差，然后进⾏相应的转化4.⼩概率事件的含义发⽣概率⼀般不超过5％的事件，即事件在⼀次试验中⼏乎不可能发⽣⼀是提出统计假设，教科书中的统计假设总体是正态总体；⼆是确定⼀次试验中的a 值是否落⼊(µ-3σ，µ+3σ)；三是作出判断讲解范例：例1. 若x ～N (0,1),求(l)P (-2.322). 解：(1)P (-2.32=Φ(1.2)-[1-Φ(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747. (2)P (x >2)=1-P (x <2)=1-Φ(2)=l-0.9772=0.0228.例2．利⽤标准正态分布表，求标准正态总体在下⾯区间取值的概率： (1)在N(1,4)下，求)3(F（2）在N （µ，σ2）下，求Ｆ（µ－σ，µ＋σ）；Ｆ（µ－1.84σ，µ＋1.84σ）；Ｆ（µ－2σ，µ＋2σ）；Ｆ（µ－3σ，µ＋3σ）解：（１）)3(F ＝)213(-Φ＝Φ（1）＝0.8413 （２）Ｆ（µ＋σ）＝)(σµσµ-+Φ＝Φ（1）＝0.8413 Ｆ（µ－σ）＝)(σµσµ--Φ＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587 Ｆ（µ－σ，µ＋σ）＝Ｆ（µ＋σ）－Ｆ（µ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826 Ｆ（µ－1.84σ，µ＋1.84σ）＝Ｆ（µ＋1.84σ）－Ｆ（µ－1.84σ）＝0.9342 Ｆ（µ－2σ，µ＋2σ）＝Ｆ（µ＋2σ）－Ｆ（µ－2σ）＝0.954 Ｆ（µ－3σ，µ＋3σ）＝Ｆ（µ＋3σ）－Ｆ（µ－3σ）＝0.997 对于正态总体),(2σµN 取值的概率：68.3%2σx95.4%4σx99.7%6σx在区间（µ-σ，µ+σ）、（µ-2σ，µ+2σ）、（µ-3σ，µ+3σ）内取值的概率分别为68.3%、95.4%、99.7% 因此我们时常只在区间（µ-3σ，µ+3σ）内研究正态总体分布情况，⽽忽略其中很⼩的⼀部分例3．某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，⽽且该函数的最⼤值为π21，求总体落⼊区间（－1.2，0.2）之间的概率解：正态分布的概率密度函数是x f x σµσπ，它是偶函数，说明µ＝0，)(x f 的最⼤值为)(µf ＝σπ21，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布( 1.20.2)(0.2)( 1.2)(0.2)[1(1.2)](0.2)(1.2)1P x -<<=Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ+Φ-教学反思：1．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布在上⼀节课我们研究了当样本容量⽆限增⼤时，频率分布直⽅图就⽆限接近于⼀条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布但总体密度曲线的相关知识较为抽象，学⽣不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破⼝正态分布在统计学中是最基本、最重要的⼀种分布2．正态分布是可以⽤函数形式来表述的其密度函数可写成：22()21(),(,)2x f x e x µσπσ--=∈-∞+∞，（σ＞0）由此可见，正态分布是由它的平均数µ和标准差σ唯⼀决定的常把它记为),(2σµN3．从形态上看，正态分布是⼀条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=µ，并在x=µ时取最⼤值从x=µ点开始，曲线向正负两个⽅向递减延伸，不断逼近x 轴，但永不与x 轴相交，因此说曲线在正负两个⽅向都是以x 轴为渐近线的4．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间⾼、左右对称的基本特征。
第六章 正态分布及其应用
普拉斯、高斯对正态分布的研究也做出了贡献， 普拉斯、高斯对正态分布的研究也做出了贡献， 故有时称正态分布 高斯分布。 正态分布为 故有时称正态分布为高斯分布。
1．正态分布曲线函数
正态分布曲线函数又称概率密度函数， 正态分布曲线函数又称概率密度函数，其一般公式为
N Y= ⋅e σ 2π
( X − µ )2 −
具体方法
♦ ♦ ♦ ♦ ♦
根据各等级被评者的数目求各等级的人数比率； 根据各等级被评者的数目求各等级的人数比率； 求各等级比率值的中间值； 求各等级比率值的中间值； 求各等级中点以上（或以下）的累积比率； 求各等级中点以上（或以下）的累积比率； 用累积比率查正态分布表； 用累积比率查正态分布表； 求被评者所得评定等级的数量化值的平均值。 求被评者所得评定等级学生的语文测验分数呈正态分布， 其平均数为75，标准差为10，问从理论上说65至 83分之间应当有多少人？ （1）求标准分数 （2）查表计算
3．已知面积求Z值
⑴．求Z＝0以上或以下某一面积对应的Z 以上或以下某一面积对应的Z 值：直接查表 ⑵．求与正态曲线上端或下端某一面积P 求与正态曲线上端或下端某一面积P 相对应的Z 相对应的Z值：先用0.5－PZ，再查表 先用0.5－ 0.5 ⑶．求与正态曲线下中央部位某一面积相 对应的Z 对应的Z值：先计算P／2，再查表 先计算P
的等级，各个等级应有多少人？ 的等级，各个等级应有多少人？
3.确定录取分数线 3.确定录取分数线
在选拔性考试中，录取的人数是事先 确定的。如果考分呈正态分布，在根据考 试结果确定录取分数线时，可将录取的人 数比率作为正态分布中分数右侧（即上端） 的面积，由此找到相应的标准分数Z值，然 后根据标准分数公式，求原始分数。
正态分布的性质及实际应用举例
华北水利水电学院正态分布的性质及实际应用举例课程名称：概率论与数理统计专业班级：电气工程及其自动化091班成员组成：姓名：邓旗学号： 2姓名：王宇翔学号：1姓名：陈涵学号：2联系方式：2012年5月24日1 引言：正态分布（normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
本文就从正态分布的实际性质应用举例等各个方面进行简单阐述并进行探讨，使同学们能够对所掌握的知识有更清楚地认识。
2 研究问题及成果：正态分布性质；3原则及标准正态分布；实际应用举例说明摘要：正态分布是最重要的一种概率分布。
正态分布概念是由德国数学家与天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学研究，故此正态分布又称高斯分布。
在许多实际问题中遇到的随机变量都服从或近似服从正态分布：在生产中，产品的质量指标，如电子管的使用寿命，电容器的电容量，零件的尺寸。
铁水含磷量，纺织品的纤度和强度等一般都服从正态分布。
在测量中，如大地测量，天平称量物体，化学分析某物之中某元素的含量等，测量结果一般服从正态分布。
在生物学中，同一群体的某种特性指标，如某地同龄儿童的身高，体重，肺活量，在一定条件下生长的农作物的产量等一般服从正态分布。
在气象学中，某地每年7月份的平均气温，平均温度以及降水量等一般也服从正态分布。
总之。
正态分布广泛存在于自然现象，社会现象以及生产，科学技术的各个领域中。
本文就从正态分布的实际性质应用举例等各个方面进行简单阐述并进行探讨，使同学们能够对所掌握的知识有更清楚地认识。
关键词：正态分布The nature of the normal distribution and the example of practical applicationAbstract：the normal distribution is the probability distribution of one of the most important. Normal distribution concepts is Germany first proposed by mathematician and astronomer Moivre in 1733, but since Germany mathematician Gauss first applied in astronomy, so also called the Gaussian distribution of the normal distribution. In many practical problems encountered in the approximate normal distribution random variables are subject to, or: in production, product quality indicators, such as the life of the tube, the capacitance of capacitors, dimensions of the part. Phosphorus content in hot metal, textile fibers and strength are generally subject to the normal distribution. In surveying, geodesy, weighing scales objects, such as chemical analysis of some of the content of an element, General normal distribution measurement results. In biology, a certain characteristic index of the same group, such as a certain age children's height, body weight, vital capacity, under certain conditions the yield of crops on the growth of General normal distribution. In meteorology, a place every July average temperature, average temperature and precipitation generally normal distribution. All in all. Normal distribution is widely present in natural phenomena, social phenomena, as well as the production, in the various fields of science and technology. This article from the actual properties of the normal distribution apply to explore various aspects, such as for example a simple elaboration and, enable students to acquire knowledge have a better understanding.Key words：Normal distribution Practical application正态分布的性质及实际应用举例概率论在一定的社会条件下,通过人类的社会实践和生产活动发展起来,被广泛应用于各个领域,在国民经济的生产和生活中起着重要的作用。
正态分布示范教案
2.4正态分布（1）教材分析正态分布在概率统计学中是一种很重要的分布. 一般说来，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用都不太大，则这个指标服从正态分布.我们知道，离散型随机变量最多取可列个不同值，它等于某一特定实数的概率可能大于0，人们感兴趣的是它取某些特定值的概率，即感兴趣的是其分布列；连续型随机变量可能取某个区间上的任何值，它等于任何一个实数的概率都为0，所以通常感兴趣的是它落在某个区间的概率.离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，而连续型随机变量的概率分布规律用密度函数（曲线）描述.要求同学们学会从离散到连续用函数的观点解决问题.课时分配3原则放本节内容用2课时的时间完成，第一课时主要讲解正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质.在了第二课时.教学目标重点: 正态分布曲线的特点及其所表示的意义.难点：了解在实际中什么样的随机变量服从正态分布，并掌握正态分布曲线所表示的意义．知识点：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质.能力点：结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解.教育点：通过教学中一系列的探究过程使学生体验发现的快乐，形成积极的情感，培养学生的进取意识和科学精神.自主探究点：讲授法与引导发现法．通过教师先讲，师生再共同探究的方式，让学生深刻理解相关概念，领会数形结合的数学思想方法，体会数学知识的形成.考试点：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质.易错易混点：求系数最大项时的约分化简.拓展点：引导发现法.教具准备电子白板，多媒体，高尔顿试验板课堂模式学案导学一、创设情境学生上台演示高尔顿板试验．模拟高尔顿板试验截图师生活动：创设情境，为导入新知做准备．学生感悟体验，对试验的结果进行定向思考．学生经过观察小球在槽中的堆积形状发现：下落的小球在槽中的分布是有规律的．【设计意图】让学生演示试验，能提高学生的学习积极性，提高学习数学的兴趣．让学生体验“正态分布曲线“的生成和发现历程．二、探究新知1．用频率分布直方图从频率角度研究小球的分布规律． ⑴将球槽编号，算出各个球槽内的小球个数，作出频率分布表．⑵以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽内的频率与组距的比值为纵坐标，画出频率分布直方图.连接各个长方形上端的中点得到频率分布折线图（如图1）．师生活动：引导学生思考回顾，教师通过课件演示作图过程．在这里引导学生回忆得到，此处的纵坐标为频率除以组距．教师提出问题：这里每个长方形的面积的含义是什么？学生经过回忆，易得：长方形面积代表相应区间内数据的频率．【设计意图】通过把与新内容有关的旧知识抽出来作为新知识的“生长点”，为引入新知搭桥铺路，形成正迁移．通过这里的思考回忆，加深对频率分布直方图的理解．⑶随着试验次数增多，折线图就越来越接近于一条光滑的曲线（如图2）．从描述曲线形状的角度自然引入了正态密度函数的表达式：()()()222,,,x x e x μσμσϕ--=∈-∞+∞师生活动：分析表达式特点：解析式中前有一个系数σπ21，后面是一个以e 为底数的指数形式，幂指数为222)(σμ--x ，解析式中含两个常数π和e ，还含有两个参数μ和σ，分别指总体随机变量的平均数和标准差，可用样本平均数和标准差去估计．【设计意图】该处在学生从形的角度直观认识了正态曲线之后才给出曲线对应的表达式，这样处理能更直观，学生更易理解正态曲线的来源．2．继续探究：当我们去掉高尔顿板试验最下边的球槽，并沿其底部建立一个水平坐标轴，其刻度单位为球槽的宽度，用X 表示落下的小球第一次与高尔顿板底部接触时的坐标．提出问题：图3中阴影部分面积有什么意义？师生活动：引导学生得到：此时小球与底部接触时的坐标X 是一个连续型随机变量．启发学生回忆：频率分布直方图中面积对应频率，不难理解，图中阴影部分的面积，就可以看成多个矩形面积的和，也就是X 落在区间],(b a 的频率；再结合定积分的意义,阴影部分面积就是正态密度函数在该区间上的积分值，这样，概率与积分间就建立了一个等量关系．【设计意图】这个步骤实现了由离散型随机变量到连续型随机变量的过渡．通过设疑，引起学生对问题的深入思考，加深对定积分几何意义的理解．直接问X 落在区间],(b a 上的概率，学生不容易反应过来，改为问面积的意义后，便于学生理解该问题．在前面分析的基础上，引出正态分布概念：一般地，如果对于任何实数a ＜b ，随机变量X 满足：()()dx x b X a P b a σμϕ,⎰=≤＜，则称X 的分布为正态分布，常记作()2,σμN ．如果随机变量X 服从正态分布，则记作()2,~σμN X ．师生活动：教师在前面分析的基础上引出正态分布的概念，并说明记法．引导学生分析得，X 所落区间的端点能否取值，均不影响X 落在该区间内的概率．【设计意图】以旧引新，虽概念较抽象，但这样处理学生不会觉得太突兀，易于接受新知识．同时培养学生把前后知识联系起来进行思维的习惯．请学生结合高尔顿板试验讨论提出的问题，尝试归纳服从或近似服从正态分布的随机变量所具有的特征：1．小球落下的位置是随机的吗？2．若没有上部的小木块，小球会落在哪里？是什么影响了小球落下的位置？ 3．前一个小球对下一个小球落下的位置有影响吗？哪个小球对结果的影响大？ 4．你能事先确定某个小球下落时会与哪些小木块发生碰撞吗？ 师生活动：学生通过讨论，教师引导学生得出问题的结果： 1．它是随机的．2．竖直落下．受众多次碰撞的影响． 3．互不相干、不分主次． 4．不能，具有偶然性．然后归纳出特征：一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用之和，它就服从或近似服从正态分布．教师列举实例分析，帮助学生更加透彻的理解．【设计意图】“什么样的随机变量服从（或近似服从）正态分布？”是本节课的难点，采用问题串的方式，将复杂的问题分解成几个容易解决的问题，能有效突破难点．同时采用小组讨论的形式，加强学生的合作意识，同时培养他们的辩证观．通过举例，让学生体会到生活中处处有正态分布，感受到数学的实际应用． 教师通过计算机绘出两组图像（动画），让学生观察：第一组：固定σ的值，μ取三个不同的数（如图4）；第二组：固定μ的值，σ取三个不同的数（如图5）；师生活动：学生通过观察并结合参数μ与σ的意义可得：当σ一定时，曲线随μ的变化而沿x 平移；当μ一定时，σ影响了曲线的形状．即：σ越小，则曲线越瘦高，表示总体分布越集中；σ越大，则曲线越矮胖，表示总体分布越分散．【设计意图】针对解析式中含有两个参数，学生较难独立分析参数对曲线的影响，这里通过固定一个参数，讨论另一个参数对图象的影响，这样的处理大大降低了难度，并能很好地突出重点．三、理解新知引导学生结合三幅图像（如图6）及高尔顿板试验，根据问题归纳正态曲线的性质： ⑴曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交； ⑵曲线是单峰的，图像关于直线μ=x 对称； ⑶曲线在μ=x 处达峰值σπ21；⑷曲线与x 轴之间的面积为1；⑸若σ固定, 随μ值的变化而沿x 轴平移, 故μ称为位置参数；⑹当μ一定时，曲线的形状由σ确定. σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中，故σ称为形状参数.师生活动：引导学生联系三幅图像（如图6），结合高尔顿板试验思考以下问题： ⑴曲线在坐标平面的什么位置？曲线为什么与x 轴不相交？ ⑵曲线有没有对称轴？⑶曲线有没有最高点？坐标是？ ⑷曲线与x 轴围成的面积是多少？ ⑸曲线的位置与参数μ有什么关系？ ⑹曲线的形状与参数σ有什么关系？【设计意图】该环节借助计算机模拟及高尔顿板试验试验结果呈现了教学中难以呈现的课程内容，能很好地锻炼学生观察归纳的能力，体现了归纳分类、化难为易、数形结合的思想．四、运用新知例1.下列函数是正态密度函数的是（B）22()2.(),,(0)xA f xμσμσσ--=>都是实数；22.()2xB f xπ-=；2(1)4.()xC f x--=；22.()xD f x e=师生活动：学生通过观察解析式的结构特征可知只有B选项符合正态密度函数解析式的特点．例2.标准正态总体的函数为22(),(,).xf x x-=∈-∞+∞⑴证明()f x是偶函数；⑵求()f x的最大值；⑶利用指数函数的性质说明()f x的增减性．师生活动：学生结合函数知识自行解决问题．【设计意图】设计这一题主要为了加强学生对正态密度函数的理解．例3.把一条正态曲线a沿横轴向右平移2个单位,得到一条新的曲线b．下列说法中不正确的是(D)A. 曲线b仍然是正态曲线．B. 曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相同．C. 以曲线b为概率密度曲线的总体的均值比以曲线a为概率密度曲线的总体的均值大2．D. 以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为概率密度曲线的总体的方差大2．师生活动：学生易分析知：正态曲线a经过平移仍是正态曲线，峰值不变.而曲线的左右平移与μ即均值有关．故D选项的说法不正确．【设计意图】通过该例，深化学生对正态曲线的特点及正态分布密度函数表达式中参数μ与σ的理解．例4.某校某次数学考试的成绩X服从正态分布，其密度函数曲线如图7：⑴写出X的正态密度函数；⑵若参加考试的共1200人（满分100分），你能估计及格人数吗？师生活动：学生通过观察图像，可知对称轴60=μ，根据峰值可知8=σ，代入正态曲线表达式可得：()()12860,2281--⋅=xexπϕσμ；第二问根据图像利用对称性知及格人数占总参考人数一半．【设计意图】通过一个贴近生活的实例，让学生体会到数学在实际问题中的应用，培养学生应用所学知识解决问题的能力，激发学习热情．体现了数形结合的思想．练习：⒈判断正误：⑴正态密度曲线)(,xyσμϕ=关于直线0=x对称．（×）⑵正态总体)43(,N的标准差为4．（×）⑶正态分布随机变量等于一个特定实数的概率为0．（√）⑷若)3(~2σ,NX，则=<)3(XP31．（×）【设计意图】通过一组判断题，进一步加深学生对正态分布的认识．五、课堂小结1.知识归纳：正态密度曲线→正态分布的意义↓↓图6正态密度曲线特点 正态分布的实例↓参数对正态曲线的影响 2.思想方法： 数形结合思想师生活动：教师引导学生从知识内容和思想方法两方面进行课堂小结．最后教师说明:正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中,我们研究它主要还是希望它能服务于我们的生活,那么它在实际中究竟有着怎样的妙用呢?我们下节课继续学习!【设计意图】通过小结使学生对本节课的知识结构有一个清晰的认识,同时使学生自己内化知识，查漏补缺,使学生在认识上达到一个新的高度．（为了更好地突出本节课重点，同时更好地突破难点，考虑到本节课的课堂容量及学生的认知情况，σ3原则放在了第二课时．）六、布置作业1.（必做题）设随机变量X 服从正态分布)92(,N ，若=+>)1(c X P )1(-<c X P ,求c 的值并写出其正态密度函数解析式．2.（必做题）以学习小组（4人）为单位，搜集某项数据资料（如某年级学生的身高、体重等）．仿照课本的方法，研究该数据是否服从（或近似服从）正态分布？如果是，请估计参数μ的值． 3.（选做题）在高尔顿板试验中，为什么落在中间球槽的小球最多？七、教后反思1.数学知识间存在着内在的本质联系，本教案的亮点是充分注意了新旧知识间的内在联系，这样有助于学生理解记忆前后所学知识，并将其融会贯通，从而更好地加以运用．2.本节课的弱项是应用课件进展速度太快，学生思维节奏有点赶不上思维进程.八、板书设计。
(完整word版)试验数据的正态性检验、数据的转换及卡方检验
试验数据的正态检验、数据的转换和卡方检验目录一、符合正态分布的例子 (1)二、不符合正态分布的例子 (6)三、不符合正态分布数据的转换及转换后数据的方差分析 (11)四、次数分布资料的卡方检验 (14)在对试验数据进行方差分析前，应对数据的三性（即同质性、独立性和正态性）进行检验。
本文介绍对资料的正态性进行检验的方法，主要介绍3种检验方法：（1）频数检验——作频率分布图、看偏度系数和峰度系数，（2）作Q-Q图检验，（3）非参数检验——单个样本K-S检验。
下面以两个试验数据为例，例1为84头育肥猪的体重数据，通常符合正态分布。
例2为生长育肥猪7个试验处理组的腹泻率（百分数资料）统计结果，这类资料往往不符合正态，而大多数人以为是符合正态分布，进行方差分析的，因而不能得出正确的结论，去卩可能得出错误结论。
、符合正态分布的例子【例1】84头生长育肥猪的“体重”数据如表1-1，检验该数据是否呈正态分布。
表1-1 84头育肥猪的“体重”数据（排序后）No. 体重No. 体重No. 体重No. 体重No. 体重No. 体重No. 体重No. 体重No. 体重1 55.3 11 71.6 21 78.3 31 81.2 41 84.6 51 88.6 61 92.0 71 99.4 81 107.42 58.2 12 72.1 22 78.7 32 82.2 42 84.7 52 88.8 62 92.0 72 100.7 82 109.03 60.2 13 72.8 23 78.8 33 82.4 43 84.7 53 89.2 63 92.2 73 102.4 83 112.84 64.8 14 73.6 24 79.1 34 82.8 44 85.0 54 89.9 64 93.0 74 103.0 84 113.25 65.8 15 75.9 25 79.3 35 82.8 45 85.3 55 90.4 65 94.2 75 105.46 66.7 16 76.1 26 79.7 36 82.8 46 85.7 56 90.9 66 95.3 76 105.47 67.9 17 77.0 27 80.2 37 83.5 47 86.4 57 91.0 67 97.0 77 105.48 68.4 18 77.1 28 80.6 38 83.7 48 86.8 58 91.1 68 97.8 78 106.09 70.1 19 77.2 29 81.1 39 84.3 49 87.3 59 91.2 6 9 98.4 79 106.210 70.8 20 78.1 30 81.1 40 84.4 50 87.4 60 91.4 70 98.5 80 107.3检验方法一：频数检验 --- 作频率分布图、看偏度系数和峰度系数步骤1:数据录入SPSS中，如图1-1。
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60
192
198
204
202
例2：两因素无交互作用
原料 温度 B1
B2
A1 1313 1349
A2 1351 1356
A3 1379 1391
A4 1361 1352
B3 1373 1385 1394 1364
例3：两因素有交互作用
配方Ⅰ
甲
1320 1500
乙
1440 1560
丙
1400 1360
配方Ⅱ 1610 1730 1370 1430 1630 1710
配方Ⅰ 配方Ⅱ 配方Ⅲ
配方Ⅲ 1800 1700 1450 1570 1710 1610
统计过程控 统计抽验
甲
1320 1500
1610 1730
1800 1700
乙
1440 1560
1370 1430
1450 1570
丙
1400 1360
1630 1710
1710 1610
测量分析
改进
否
接受？
是
统计过程控制与能力分析
改进
否
接受？
是
维持统计过程控制
否
持续改进？
是
一、概述
信息质量
持续改进 过程质量
产品质量
事先预防
事后检验
二、正态分布 1、Excel两对正态函数 2、正态分布图形 3、过程变异情况图示 4、过程稳定与不稳定图示 5、重复测量与正态分布
三、方差分析（数据表）
例1：单因素方差风险
时间（分）
硬度
40
181
187
191
185
50
200
190
198
188