线性规划与单纯形法

第3步 --表示约束条件
4x1+3x2 120（木工工时限制） 2x1+x2 50 （油漆工工时限制） x1，x2≥0 （变量取非负值限制）
该计划的数学模型 max Z=50x1+30x2 4x1+3x2 120 2x1+ x2 50 x1, x2 0
s.t.
线性函数 +
线性等式 线性不等式
注意: 因为 min Z = max(Z ) 所以变换后的最优解不变，最优值变号。
(2) 若约束条件是不等式 1)若约束条件是“ ” 不等式， 则不等式左边 “加上” 非负的松驰变量； 如：2X1+2X2≤12 令X3=12-2X1-2X2 则有2X1+2X2+X3=12
2)若约束条件是“ ” 不等式， 则不等式左边 “减去” 非负的松驰变量。
任何形式的线性规划总可以化成标准型
例1.3 将下列问题化成标准型:
min Z = x1+ 2x2 3x3 s.t. x1+ x2 + x3 7
x1 x2 + x3 2 3x1 + x2 + 2x3 = 5 x1 0, x2 0, x3 无限制
线性规划
例1.2 简化的环境保护问题 靠近某河流有两个化工厂(见下图)，流经第一化工厂的河流流量为每天500万立方米，在两个工厂之
间有一条流量为每天200万立方米的支流。
• 第一化工厂每天排放含有某种有害物质的工业污水2万立方米，第二化工厂每天排放这种工业污水1.4 万立方米。从第一化工厂排出的工业污水流到第二化工厂以前，有20%可自然净化。根据环保要求， 河流中工业污水的含量应不大于0.2%。
线性规划与单纯形法
1、问题的提出
例1.1 生产计划问题（资源利用问题） 某家具厂生产桌子和椅子两种家具。 桌子售价50元/个，椅子销售价格30元/个。 需要木工和油漆工两种工种。 生产一个桌子需要木工4小时，油漆工2小时。 生产一个椅子需要木工3小时，油漆工1小时。 该厂每个月可用木工工时为120小时， 油漆工工时为50小时。 问如何组织生产才能使每月的销售收入最大？
a11 a12 …. a1n A = a21 a22 …. a2n
……………………………
am1 am2 …. amn
b1 b = b2
……….
bm
c1 c2 C=
… cn
x1 x2 X=
… xn
0 0 0= ... 0
线性规划问题的标准形式 max Z = c1x1+c2x2+…..+cnxn s.t. a11x1+a12x2+….+a1nxn = b1
如：10X1+12X2≥18 令X4=10X1+12X2-18则有10X1+12X2-X4 =18
为了使添加松驰变量不影响原来的目标，添加松驰变量在目标函数中的系数为0。
(3) 若约束条件右面的某一常数项 bi<0, 这时只要在 bi 相对应的约束方程两边乘 1。
(4) 若变量 xj 无非负限制 引进两个非负变量 xj’ xj” 0 令 xj= xj’ xj ” （可正可负）
➢ 有一个要达到的目标，是决策变量的线性函数，实现最大化或最小化。
➢ 有使用各种资源的约束条件，用等式或不等式表示。
线性规划模型的表示形式 • 一般形式 • 简写形式 • 矩阵形式 • 标准形式 • 将一般线性规划化成标准形
线性规划问题的一般形式
max(min) Z = c1x1+c2x2+…..+cnxn a11x1+a12x2+….+a1nxn (=, )b1 a21x1+a22x2+….+a2nxn (=, )b2 …………………. am1x1+am2x2+….+amnxn (=, )bm
源自文库
• 第1步 -确定决策变量
•设
x 1 ——桌子的产量
——椅子的产量
x——利润 2
z
是问题中要确定的未知量，表明规划中的用 数量表示的方案、措施，可由决策者决定和 控制。
x1
x2
第2步 --定义目标函数 Max Z = 50 x1 + 30 x2
第2步 --定义目标函数 Max Z = 50 x1 + 30 x2
第1工厂投污水的水： 质 (2要x1)求 2 500 1000
第2工厂投污水的水： 质要求
[0.8(2x1)(1.4x2)] 2
500200
1000
数学模型
目标函数 约束条件
min z 1000 x1 800 x2 x1 1
0.8 x1 x2 1.6 x1 2 x2 1.4 x1 , x2 0
线性规模解决的问题
• 给定一定数量的人力、物力、财力等资源，研究如何充分利用，以发挥其最大效果 • 已给定计划任务，研究如何统筹安排，用最少的人力、物力、财力去完成
2、线性规划问题的数学模型 线性规划数学模型三要素： 决策变量、目标函数、约束条件
➢ 每一个线性规划问题都有一组决策变量 (x1, x2, ……, xn) , 这组决策变量的值就代表 一个具体方案。
s.t. x1, x2, …., xn 0
线性规划问题的简写形式
n
max Z c j x j j 1
n
a ij x j b i j1
x
j
0
i 1,2,... m j 1,2,..., n
线性规划的矩阵形式
max Z = CTX s.t. AX=b X0
C—价值向量 b—资源向量 X—决策变量向量
a21x1+a22x2+….+a2nxn = b2 …………………. am1x1+am2x2+….+amnxn = bm x1, x2, …., xn 0
其中：bi 0, i=1, 2,…., m.
将一般线性规划化成标准型
四点要求: ➢ 求max ➢ 等式约束 ➢ bi 0 ➢ xi 0
(1) 若目标函数是求最小值: min Z = CTX 令 Z’ = Z, 则化成 max Z’= CTX
• 这两个工厂都需各自处理一部分工业污水。第一化工厂处理工业污水的成本是1000元/万立方米。第二 化工厂处理工业污水的成本是800元/万立方米。
• 现在要问在满足环保要求的条件下，每厂各应处理多少工业污水，使这两个工厂总的处理工业污水费 用最小。
建模型之前的分析和计算
设： 第一化工厂每天处理工业污水量为x1万立方米， 第二化工厂每天处理工业污水量为x2万立方米