高三数学第二次诊断性考试试题(理科)

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四川省绵阳市2021-2022学年高三上学期第二次诊断性考试理科数学试题(1)

一、单选题二、多选题1. 设为虚数单位，则复数（）A．B．C．D．2.若函数在R 上单调递增，则a 的取值范围是（）A．B．C．D．3.已知，则的取值范围是（）A ．[0，1]B．C ．[1，2]D ．[0，2]4. 已知，是两个不同的平面，l ，m ，n 是三条不同的直线，下列条件中，可以得到的是（）A ．，，，B ．，C ．，D ．，5. 截至2023年2月，“中国天眼”发现的脉冲星总数已经达到740颗以上．被称为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜（FAST ），是目前世界上口径最大，灵敏度最高的单口径射电望远镜（图1）．观测时它可以通过4450块三角形面板及2225个触控器完成向抛物面的转化，此时轴截面可以看作拋物线的一部分．某学校科技小组制作了一个FAST 模型，观测时呈口径为4米，高为1米的抛物面，则其轴截面所在的抛物线（图2）的顶点到焦点的距离为（）A ．1B ．2C ．4D ．86. 已知幂函数的图象过点，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．7. 已知，现将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若两函数与图象的对称中心完全相同，则满足题意的的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．48. 高斯是世界四大数学家之一，一生成就极为丰硕，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，属数学家中之最．对于高斯函数，表示不超过实数的最大整数，如，，表示的非负纯小数，即．若函数（且）有且仅有3个零点，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．9. 已知是数列的前项和，且，，则下列结论正确的是（）A．数列为等比数列B ．数列为等比数列C．D．10. 如图，棱长为2的正方体中，，，，，则下列结论中正确的是（）四川省绵阳市2021-2022学年高三上学期第二次诊断性考试理科数学试题(1)四川省绵阳市2021-2022学年高三上学期第二次诊断性考试理科数学试题(1)三、填空题四、解答题A ．存在y，使得B ．当时，存在z 使得∥平面AEFC ．当时，异面直线与EF所成角的余弦值为D ．当时，点G 到平面AEF 的距离是点C 到平面AEF 的距离的2倍11. 已知圆，直线l过点，且交圆O 于P ，Q 两点，点M 为线段PQ 的中点，则下列结论正确的是（）A ．点M 的轨迹是圆B ．的最小值为6C ．使为整数的直线l 共有9条D ．使为整数的直线l 共有16条12. 过双曲线的左焦点的直线交的左､右支分别于两点，交直线于点，若，则（）A．B．C．D．13. 下图是单叶双曲面的立体结构图，且为中心对称图形，此双曲面可由线段绕与其不共面的直线旋转而成，其轴截面为双曲线的一部分，若该几何体的高为2，上底面圆的直径为4，垂直于旋转轴的截面圆的面积最小值为，则双曲线的离心率为___________.14. 已知函数向右平移个单位长度后得到．若对于任意的，总存在，使得，则的最小值为______．15. 某校进行了物理学业质量监测考试，将考试成绩进行统计并制成如下频率分布直方图，a 的值为______；考试成绩的中位数为______．16.在中，已知角，，的对边分别为，，，若，．（1）求角的大小；（2）若的平分线交于点，△的面积为，求线段的长度．17.已知数列的前项和为，且．(1)求的值，并证明：数列是一个常数列；(2)设数列满足，记的前项和为，若，求正整数的值．18. 已知双曲线的离心率为，右顶点到的一条渐近线的距离为.(1)求的方程；(2)是轴上两点，以为直径的圆过点，若直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，试判断直线与圆的位置关系，并说明理由.19. 的内角，，的对边分别为，，，且满足=．（1）求；（2）若，求的最小值．20. 如图，在四棱台中，，平面，.(1)证明：；(2)若，，，求平面与平面的夹角的余弦值.21. 如图，直三棱柱中，，M为棱上一点．(1)求三棱锥的体积；(2)求证：．。

高三数学第二次诊断性测试试题理试题

2021届奇台一中高三年级第二次诊断性测试制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日数学〔理科〕试卷〔考试时间是是：120分钟.分值150分.〕本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，其中第二卷第22～23题为选考题，其它题为必考题。

考生答题时，将答案答在答题卷上，在套本套试卷上答题无效。

考前须知：1．在答题之前，所有考生必须先将本人的姓名、考场、座位号填写上在答题卷上。

2．选择题答案使需要用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性〔签字〕笔或者碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内答题,超出答题区域书写之答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求答题，并需要用2B 铅笔在答题卷上把所选题目对应的题号涂黑。

第I 卷一、选择题:本大题一一共12小题,每一小题5分,一共60分,在每一小题给出的四个选项里面,只有一项是哪一项符合题目要求的． 1、cos210°=〔〕A ．B ．-12C ．12 D2、设集合I I {||3}A {12}B {212}A C B x x x Z =<∈==--⋃，，，，，，，则（）=〔〕A ．{1}B ．{1，2}C ．{2}D ．{0，1，2} 3、p ：32<-x 是q ：a x <<0成立的必要非充分条件，那么实数a 的取值范围〔〕A ．(05]，B ．(10)-，C ．(5)+∞，D ．(15)-， 4、以下说法正确的选项是〔〕A ．命题“设R a b ∈，，c ，假设22a b >c c 那么a>c 〞的逆命题为真命题；B．()f x =()g x =，那么()f x 和()g x 为同一函数；C ．设p ：“所有正数的对数均为正数〞，q ：“sin3>cos3”，那么()p q ⌝∧为真；D ．命题“2R 230x x x ∀∈-+>，〞的否认是“2R 230x x x ∃∈-+<，〞.5、向量b a b x a⊥==),6,3(),1,(，那么实数x 的值是〔〕A ．12B ．2-C ．2D ．21-6、设等比数列{}n a 的公比q=2，前n 项和为Sn ，那么23a S =〔〕A ．3B ．4C ．27D ．2137. 假设0≤x ≤2，那么f(x)=()x x 38-的最大值( )A ．5B ．334 C ．316 D ．28、定义行列式运算1234a a a a =1423a a a a . 将函数3sin ()1cos xf x x的图象向左平移n 〔0n 〕个单位,所得图象对应的函数为偶函数，那么n 的最小值为〔〕A ． 6πB ．3πC ．65πD ．32π9、设奇函数()f x 在()0,+∞上为增函数，且()20f =，那么不等式0)()(<--x x f x f 的解集为〔〕A ．()()2,02,-+∞B ．()(),20,2-∞-C ．()(),22,-∞-+∞ D ．()()2,00,2-10、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且51026S S ==，，那么=++++2019181716a a a a a 〔〕A ．54B ．48C ．30 D11、函数()()y f x x R =∈的图像如右图所示，那么不等式'(x)0xf < 的解集为〔〕A ．11(,)(,2)22-∞B ．1(,0)(,2)2-∞C ．11(,)(,)22-∞+∞D ．1(,)(2,)2-∞+∞12. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，a 、b 、c 成等比数列，且a2－c2=ac －bc ，那么c Bb sin 的值是〔〕ＡＢ. 12 ＣＤ第二卷本卷包括必考题和选考题两局部．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题〔每一小题4分，一共4×5分＝20分〕 13. ||2,||3,||7,==-=a b a b 那么,a b <>为 .14．等差数列{}n a 中，30216131074=++++a a a a a ,那么其前19项和19S ＝_________.15、函数f (x)对于任意的x 满足f (x+2)＝1()f x ，假设f (1)＝－5，那么f (f (5))＝ .16、关于函数2()2sin cos f x x x x =+()x R ∈有以下命题： ①由1212()()0f x f x x x π==-可得必是的整数倍；②()y f x =的图象可由2cos 2y x =的图象向右平移6π个单位得到；③()y f x =的图象关于直线6x π=-对称；④()y f x =在区间[]63ππ，上是减函数.其中是假命题的序号有 .三、解答题〔本大题一一共6小题，一共74分。

四川省绵阳市高中2021届高三数学第二次诊断性测试试题理(含解析)

四川省绵阳市高中2021届高三数学第二次诊断性测试(cèshì)试题理（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名(xìngmíng)、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应(duìyìng)题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试(kǎoshì)结束后，将答题卡交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有(zhǐyǒu)一项是符合题目要求的.1.设全集，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先确定集合的元素，再由补集定义求解．【详解】由题意，∴．故选：D．【点睛】本题考查补集的运算，解题时需确定集合的元素后才能进行集合的运算．本题还考查了指数函数的单调性．2.已知为虚数单位，复数满足，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由除法计算出复数z．【详解(xiánɡ jiě)】由题意．故选：A．【点睛】本题考查(kǎochá)复数的除法运算，属于基础题．3.已知两个(liǎnɡ ɡè)力，作用于平面内某静止物体的同一点(yī diǎn)上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力，则（）A. B. C. D.【答案(dá àn)】A【解析】【分析】F.根据力的平衡条件下,合力为,即可根据向量的坐标运算求得3【详解】根据力的合成可知因为物体保持静止,即合力为0,则即故选:A【点睛】本题考查了向量的运算在物理中的简单应用,静止状态的条件应用,属于基础题. 4.甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】可用列举法写出三人选择景点的各种情形．然后计数后可概率．【详解】两景点用1，2表示，三人选择景点的各种情形为：甲1乙1丙1 ，甲1乙1丙2 ，甲1乙2丙1 ，甲2乙1丙1 ，甲2乙2丙1 ，甲2乙1丙2 ，甲1乙2丙2 ，甲2乙2丙2 共8种，其中三人去同一景点的有甲1乙1丙1 和甲2乙2丙2两种，所以概率为．故选：B．【点睛】本题考查古典概型，解题时可用列举法写出所有(suǒyǒu)的基本事件．5.已知为任意(rènyì)角，则“”是“”的（）A. 充分(chōngfèn)不必要条件B. 必要(bìyào)不充分条件C. 充要条件D. 既不充分(chōngfèn)也不必要【答案】B【解析】【分析】说明命题1cos23α=3sin3α=和3sin3α=⇒1cos23α=是否为真即可．【详解】，则，因此“1cos23α=”是“3sin3α=”的必要不充分条件．故选：B．【点睛】本题考查充分必要条件的判断，只要命题为真，则是的充分条件，q 是p的必要条件．6.若的展开式中各项系数的和为1，则该展开式中含项的系数为（）A. -80B. -10C. 10D. 80【答案】A【解析】【分析】根据二项式定理展开式的各项系数和为1,即可得参数的值.由二项展开式的通项即可求得3x项的系数.【详解】因为51axx⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为1令代入可得,解得即二项式为展开式中含3x的项为所以(suǒyǐ)展开式中含3x项的系数(xìshù)为故选:A【点睛】本题考查(kǎochá)了二项定理展开式的简单应用,指定(zhǐdìng)项系数的求法,属于(shǔyú)基础题.7.已知某产品的销售额与广告费用之间的关系如下表：x（单位：万元）0 1 2 3 4y（单位：万元）10 15 30 35若根据表中的数据用最小二乘法求得y对x的回归直线方程为，则下列说法中错误的是（）A. 产品的销售额与广告费用成正相关B. 该回归直线过点C. 当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元D. m的值是20【答案】C【解析】【分析】根据回归直线方程中x系数为正，说明两者是正相关，求出后，再由回归方程求出，然后再求得m，同样利用回归方程可计算出时的预估值．【详解】因为回归直线方程中x系数为 6.5＞0，因此，产品的销售额与广告费用成正相关，A正确；又，∴，回归直线一定过点，B正确；x 时，，说明(shuōmíng)广告费用为10万元时，销售额估计为74 10万元，不是一定为74万元，C错误；由，得，D正确(zhèngquè)．故选：C．【点睛】本题考查回归(huíguī)直线方程，回归直线方程中x系数的正负说明两变量间正负相关性，回归直线(zhíxiàn)一定过中心点，回归直线方程(fāngchéng)中计算的值是预估值，不是确定值．8.双曲线的右焦点为，过F作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于，两点，若四边形（为坐标原点）的面积为，则双曲线的离心率为（）A. B. 2 C. D. 3【答案】B【解析】【分析】把四边形OAFB面积用表示出来，它等于bc，变形后可求得离心率．【详解】由题意，渐近线方程，不妨设方程为，由，得，即，同理，∴，由题意，∴．故选：B．【点睛】本题考查求双曲线的离心率．求离心率关键是找到关于,,a b c的一个等式，本题中四边形OAFB的面积是bc就是这个等式，因此只要按部就班地求出其面积即可得．9.小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏，规则是：3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分.现3人共进行了4次游戏，记小明4次游戏得分之和为，则X的期望为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案(dá àn)】C【解析(jiě xī)】【分析(fēnxī)】根据(gēnjù)古典概型概率求法,列举出现的所有(suǒyǒu)可能.由离散型随机变量的概率求法,可得小明得分的对应的概率与分布列,即可求出得分之和的期望.【详解】进行“手心手背”游戏,3人出现的所有可能情况如下所示:(心,心,心), (心,心,背),(心,背,心),(背,心,心)(心,背,背),(背,心,背),(背,背,心),(背,背,背)则小明得1分的概率为,得0分的概率为1 4进行4次游戏,小明得分共有5种情况:0分,1分,2分,3分,4分由独立重复试验的概率计算公式可得:则得分情况的分布列如下表所示:X1234P则X 的期望(qīwàng)故选:C【点睛】本题考查(kǎochá)了离散型随机变量的概率分布及期望的求法,属于(shǔyú)基础题. 10.已知圆：，点M ，在圆C 上，平面(píngmiàn)上一动点满足(mǎnzú)且，则的最大值为（） A. 4 B.C. 6D.【答案】D 【解析】【分析】根据几何意义可知动点P 位于以为直径的圆上,由正弦定理即可求得PC 的最大值.【详解】圆C ：2268110x y x y +---= 化成标准方程可得所以圆C 的半径为因为点M ,N 在圆C 上,动点P 满足PM PN =且PM PN ⊥ 所以P 位于以MN 为直径的圆上,位置关系如下图所示:则,即在三角形中,由正弦定理可得代入可得则因为(yīn wèi)所以(suǒyǐ)PC 的最大值为62 故选:D【点睛】本题考查(kǎochá)了圆的一般方程与标准方程的转化,圆的几何(jǐ hé)性质,正弦定理(dìnglǐ)的简单应用,属于中档题. 11.已知为偶函数，且当时，，则满足不等式的实数m 的取值范围为（）A. B. C.D. ()2,+∞【答案】A 【解析】【分析】由偶函数性质把不等式()()212log log 21f m f m f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭化为，由导数确定函数在上的单调性，利用单调性解不等式．【详解】∵()f x 是偶函数，∴，则不等式()()212log log 21f m f m f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭可化为，即2(log )(1)f m f <，0x ≥时，，，令，则，∴是上的增函数，∴当时，，∴0x ≥时，，∴()f x 在[0,)+∞上是增函数，∴由2(log )(1)f m f <得，即，．故选：A ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调(dāndiào)性，考查解对数不等式．此各种类型不等式的解法是：本题这种类型的不等式有两种，一种是奇函数，不等式为，转化(zhuǎnhuà)为，一种(yī zhǒnɡ)是偶函数，不等式为，转化(zh uǎnhuà)为，然后由单调性去函数(hánshù)符号“”．12.函数在区间上恰有一个零点，则实数a 的取值范围是（） A.B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据函数零点存在定理可求得a 的取值范围.并根据区间10,a⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个零点,分析可知当时函数有两个零点,不符合要求,即可求得最终a 的取值范围.【详解】函数()()()221log 2a a f x ax x =--+在区间10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个零点,则,由二次函数的图像与对数函数的图像可知,函数零点至多有两个.且因为恰有一个零点,所以满足且与在10,a⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不同时成立.解不等式()()110log 2log 3a a --≤可得当3a =时,函数(hánshù),区间(qū jiān)为且满足(mǎnzú),,所以(suǒyǐ)在内有一个(yī ɡè)零点, 为一个零点.故由题意可知,不符合要求综上可知, a 的取值范围为[)2,3 故选:D【点睛】本题考查了函数零点存在定理的综合应用,根据零点个数求参数的取值范围.需要判断零点个数及检验参数是否符合题目要求,属于难题. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.直线：与直线平行，则实数a 的值是______.【答案】2. 【解析】【分析】由两直线平行的条件判断．【详解】由题意，解得2a =．故答案为：2．【点睛】本题考查两直线平行的充要条件，两直线和平行，条件是必要条件，不是充分条件，还必须有或，但在时，两直线平行的充要条件是．14.法国数学家布丰提出一种计算圆周率的方法——随机投针法，受其启发，我们设计如下实验来估计π的值：先请200名同学每人随机写下一个横、纵坐标都小于1的正实数对,x y的个数m；最后再根据统计数m来估计；再统计两数的平方和小于1的数对()π的值.已知某同学一次试验统计出，则其试验估计π为______.【答案(dá àn)】3.12【解析(jiě xī)】【分析(fēnxī)】,x y构成(gòuchéng)第一象限内的一个正方形, 横、纵坐标都小于1的正实数(shìshù)对(),x y为单位圆在第一象限的部分.由几何概型概率的计算公式,两数的平方和小于1的数对()及试验所得结果,即可估计π的值.,x y构成第一象限内的一个正方形,【详解】横、纵坐标都小于1的正实数对(),x y为单位圆在第一象限的部分.其关系如下图所示:两数的平方和小于1的数对()则阴影部分与正方形面积的比值为由几何概型概率计算公式可知解得故答案为:【点睛】本题考查了几何概型概率的求法,根据题意得各部分的关系是解决问题的关键,属于基础题.f x在区间上的零15.函数的图象如图所示，则()点之和为______.【答案(dá àn)】.【解析(jiě xī)】【分析(fēnxī)】先求出周期(zhōuqī)，确定，再由点确定(quèdìng)，得函数解析式，然后可求出上的所有零点．【详解】由题意，∴，又且，∴，∴．由得，，，在[,]-ππ内有：，它们的和为23π．【点睛】本题考查三角函数的零点，由三角函数图象求出函数解析式，然后解方程得出零点，就可确定在已知范围内的零点．本题也可用对称性求解，由函数周期是π，区间[,]-ππ含有两个周期，而区间端点不是函数零点，因此()f x 在[,]-ππ上有4个零点，它们关于直线对称，由此可得4个零点的和．16.过点的直线l 与抛物线C ：交于A ，B 两点（A 在M ，B 之间），F 是抛物线C 的焦点，点N 满足：，则与的面积之和的最小值是______. 【答案】8 【解析】【分析】根据直线l 过点()1,0M -,设出直线l 的方程.联立抛物线后可表示出A 、B 两点的纵坐标,利用5NA AF =可表示出点N 的纵坐标.由三角形面积公式可表示出ABF ∆与AMN ∆的面积之和.对表达式求导,根据导数即可求得面积和的最小值. 【详解】根据题意,画出抛物线及直线方程如下图所示:因为(yīn wèi)直线l 过点()1,0M - 设直线(zhíxiàn)的方程为则,化简可得因为有两个(liǎnɡ ɡè)不同交点,则,解得或不妨(bùfáng)设1t >, 则解方程可得因为(yīn wèi)5NA AF =,则所以所以则,(1t >)令则令解得当时, ,所以(suǒyǐ)在内单调(dāndiào)递减当时, ,所以(suǒyǐ)()f t在内单调(dāndiào)递增即当54t=时()f t取得(qǔdé)最小值.所以故答案为:【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系,抛物线中三角形面积的求法,利用导数求函数的最值的应用,综合性强,属于难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.每年的4月23日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查.该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生（其中男生45名），统计了每个学生一个月的阅读时间，其阅读时间（小时）的频率分布直方图如图所示：（1）求样本学生一个月阅读时间t的中位数m.（2）已知样本中阅读时间低于m的女生有30名，请根据题目信息完成下面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关.列联表22男女总计总计附表：015 0.10 0.052.072 2.7063.841其中(qízhōng)：.【答案(dá àn)】（1）；（2）不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读(yuèdú)与性别有关.【解析(jiě xī)】【分析(fēnxī)】（1）频率为0.5对应的点的横坐标为中位数；（2）100名学生中男生45名，女生55名，由频率分布直方图知，阅读时长大于等于m的人数为50人，小于m的也有50人，阅读时间低于m的女生有30名，这样可得列联表中的K，对照附表可得结论．各数，得列联表，依据公式计算2【详解】（1）由题意得，直方图中第一组，第二组的频率之和为.所以阅读时间的中位数.（2）由题意得，男生人数为45人，因此女生人数为55人，由频率分布直方图知，阅读时长大于等于m的人数为人，故列联表补充如下：男女总计≥25 25 50t mt m20 30 50<总计45 55 100 2K的观测(guāncè)值，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为(rènwéi)阅读与性别有关.【点睛】本题考查频率分布直方图，考查独立性检验．正确认识频率分布直方图是解题(jiě tí)基础．18.已知等差数列(děnɡ chā shù liè)的前项和为，且满足(mǎnzú)，.各项均为正数的等比数列满足，.（1）求和；（2）求和：.【答案】(1) .. (2)【解析】【分析】（1）根据等差数列与等比数列的通项公式,可得方程组,解方程组即可求得数列{}n a与数列{}b的通项公式.n（2）根据等比数列{}n b的前n项和公式,可先求得的通项公式,进而根据分组求得即可求得.【详解】（1）设等差数列{}n a的公差为,等比数列{}n b的公比为q.由题意,得,解得,∴23n a n =-∵等比数列(děnɡ bǐ shù liè){}n b 的各项均为正数(zhèngshù)由解得或（舍）∴（2）由（1）得,.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列(děnɡ bǐ shù liè)通项公式的求法,等比数列(děnɡ bǐ shù liè)前n 项和公式的简单(jiǎndān)应用,属于基础题. 19.在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，，.已知.（1）求A ；（2）若为边上一点，且，，求.【答案】（1）；（2）12. 【解析】【分析】（1）由正弦定理把角的关系转化为边的关系，再由余弦定理可求得A ；（2）把ABC ∆的面积用两种方法表示建立与三角形各边的关系，由23BC AD =，即即代入可得，再代入余弦定理中可求得，从而可得，于是得sin B 的值．【详解】（1）在ABC ∆中，由正弦定理得，即.由余弦定理(yú xián dìnɡ lǐ)得，结合(jiéhé)，可知(kě zhī)23A π=. （2）在ABC ∆中，，即.由已知23BC AD =，可得23a AD =.在ABC ∆中，由余弦定理(yú xián dìnɡ lǐ)得，即，整理(zhěnglǐ)得，即b c =，∴.∴.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，第（2）问解题关键是把三角形面积用两种方法表示而建立等式：．20.已知椭圆C ：，直线l 交椭圆C 于A ，B 两点.（1）若点满足（O 为坐标原点），求弦的长；（2）若直线l 的斜率不为0且过点，M 为点A 关于x 轴的对称点，点满足，求n 的值.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）设出A ,B 两点的坐标,结合关系式0OA OB OP ++=,即可得线段AB 的中点坐标.利用点差法可求得直线AB 的斜率,根据点斜式求得直线AB 的方程.再结合弦长公式即可求得弦AB 的长;（2）设出直线(zhíxiàn)AB 的方程,根据(gēnjù)M 的坐标及MN NB λ=可知(kě zhī).由两点的斜率(xiélǜ)公式,可得,将A ,B 两点的坐标代入直线方程(fāngchéng)后,整理代入n 的表达式,联立圆的方程,即可得关于y 的方程.进而用韦达定理求得n 的值即可. 【详解】（1）设,由0OA OB OP ++=,且点()1,1P -,得,.①∴线段AB 的中点坐标为,其在椭圆内由两式相减得,整理得,即.将①代入,得.∴直线AB 方程为,即.联立消去x 得,由韦达定理得121y y +=-,.∴.（2）设直线AB 的方程为,由题意得,由已知MN NB λ=,可知M ,N ,B 三点共线,即MN MB k k =. ∴,即,解得()121121y x x n x y y -=++.将,,代入得.②联立消去x 得由韦达定理(dìnglǐ)得,.③将③代入②得到(dé dào)1n =【点睛】本题考查了直线与椭圆(tuǒyuán)的位置关系,点差法在求直线(zhíxiàn)方程中的应用,弦长公式(gōngshì)的用法,综合性较强,属于难题. 21.已知函数，其中.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若，记函数()f x 的两个极值点为，（其中），当的最大值为时，求实数a 的取值范围.【答案】(1) 当时,()f x 在上单调递增；当时,()f x 在和上单调递增,在上单调递减. (2) [)3,+∞ 【解析】【分析】（1）先求得()f x 的导函数,并令.通过对判别式及a 的讨论,即可判断单调性.（2）根据（1）可知当22a >,()f x 有两极值点1x ,2x ,且两个极值点为的两根.进而可得两个极值点间的关系.利用作差法可得()()21f x f x -的表达式,并令,及.进而通过求导得的单调性,进而根据最大值可求得t 的值.解得1x ,2x 的值.即可得a 的取值范围.【详解(xiánɡ jiě)】（1）.令()22g x x ax =-+,则.①当或,即22a ≤时,得恒成立(chénglì),∴()f x 在()0,∞+上单调(dāndiào)递增.②当,即22a >时,由,得或；由,得.∴函数(hánshù)()f x 在280,2a a ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭和28,2a a ⎛⎫+++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调(dāndiào)递增, 在2288,22a a a a ⎛⎫--+-⎪ ⎪⎝⎭上单调递减. 综上所述,当22a ≤时,()f x 在()0,∞+上单调递增；当22a >时,()f x 在280,2a a ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭和28,2a a ⎛⎫+++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增, 在2288,22a a a a ⎛⎫--+-⎪ ⎪⎝⎭上单调递减. （2）由（1）得当22a >,()f x 有两极值点1x ,2x （其中21x x >）. 由（1）得1x ,2x 为()220x a g x x =-+=的两根,于是,.∴.令()211x t t x =>,则()()()2112ln f x f x h t t t t-==-+. ∵,∴()h t 在上单调(dāndiào)递减.由已知的最大值为32ln 22-, 而.∴.设t 的取值集合(jíhé)为,则只要(zhǐyào)满足且T 中的最小元素(yuán sù)为2的T 集合(jíhé)均符合题意. 又,易知在[)2,+∞上单调递增,结合22a >,可得a 与t 是一一对应关系. 而当2t =,即时,联合122x x =, 解得,,进而可得3a =.∴实数a 的取值范围为[)3,+∞.【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性中的综合应用,分类讨论判断函数的单调区间,构造函数法判断函数的单调性及参数的取值范围,综合性强,是高考的常考点和难点,属于难题. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系中，曲线参数方程为（，ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 经过点，曲线的直角坐标方程为.（1）求曲线(qūxiàn)1C 的普通(pǔtōng)方程，曲线2C 的极坐标方程(fāngchéng)；（2）若，是曲线(qūxiàn)2C 上两点，当时，求的取值范围(fànwéi).【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由消元后得普通方程，由代入直角坐标方程可得极坐标方程；（2）直接把两点的极坐标代入曲线2C 的极坐标方程，得，这样2211OAOB+就可转化为三角函数式，利用三角函数知识可得取值范围．【详解】（1）将1C 的参数方程化为普通方程为.由，，得点2,3P π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为，代入1C ，得，∴曲线1C 的普通方程为()2213x y -+=.2C 可化为，即，∴曲线2C 的极坐标方程为2cos 21ρθ=. （2）将点()1,A ρα，代入曲线2C 的极坐标方程，得，，∴.由已知0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得，于是(yúshì).所以(suǒyǐ)2211OAOB +的取值范围(fànwéi)是3,32⎛⎤⎥ ⎝⎦. 【点睛】本题考查(kǎochá)极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查参数方程与普通方程的互化．消元法和公式法是解决此类问题的常用方法． 23.已知关于(guānyú)x 的不等式，其中.（1）当时，求不等式的解集；（2）若该不等式对恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）；（2）. 【解析】【分析】（1）用分类讨论的方法去绝对值符号后再解不等式，最后要合并（求并集）；（2）设，同样用分类讨论去绝对值符号化函数为分段函数，求得()f x 最大值，解相应不等式可得a 的范围．【详解】（1）由4a =时，.原不等式化为，当时，，解得，综合得4x≥；当时，，解得，综合得；当时，，解得，综合(zōnghé)得1x≤-.∴不等式的解集为2|43x x x⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或.（2）设函数(hánshù)，画图可知(kě zhī)，函数()f x的最大值为.由，解得24a<≤.【点睛】本题考查(kǎochá)解含绝对值的不等式，解题方法是根据绝对值定义去掉绝对值符号，用分类讨论的方法分段解不等式．内容总结。

四川省成都市2019届高三毕业班第二次诊断性检测数学(理)试题含解析

四川省成都市2019届高三毕业班第二次诊断性检测数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集U=R，集合A={x|-1＜x＜3}，B={x|x≤-2或x≥1}，则A∩（∁U B）=（）A. B.C. D. 或2.已知双曲线C：＞的焦距为4，则双曲线C的渐近线方程为（）A. B. C. D.3.已知向量=（，），=（-3，），则向量在向量方向上的投影为（）A. B. C. D. 14.条件甲：a＞b＞0，条件乙：＜，则甲是乙成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.为比较甲、以两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图，有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定．其中所有正确结论的编号为（）A. B. C. D.6.若，，，且，，则sinβ=（）A. B. C. D.7.已知a，b是两条异面直线，直线c与a，b都垂直，则下列说法正确的是（）A. 若平面，则B. 若平面，则，C. 存在平面，使得，，D. 存在平面，使得，，8.将函数f（x）的图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，若函数g（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（）A. B.C. D.9.已知定义域R的奇函数f（x）的图象关于直线x=1对称，且当0≤x≤1时，f（x）=x3，则f（）=（）A. B. C. D.10.已知a R且为常数，圆C：x2+2x+y2-2ay=0，过圆C内一点（1，2）的直线l与圆C相切交于A，B两点，当弦AB最短时，直线l的方程为2x-y=0，则a的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 511.用数字0，2，4，7，8，9组成没有重复数字的六位数，其中大于420789的正整数个数为（）A. 479B. 480C. 455D. 45612.某小区打算将如图的一直三角形ABC区域进行改建，在三边上各选一点连成等边三角形DEF，在其内建造文化景观．已知AB=20m，AC=10m，则△DEF区域内面积（单位：m2）的最小值为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知复数z=，a R，若z为纯虚数，则|z|=______．14.已知三棱锥A-BCD的四个顶点都在球O的表面上，若AB=AC=AD=1，BC=CD=BD=，则球O的表面积为______．15.在平面直角坐标系xOy中，定义两点A（x1，y1），B（x2，y2）间的折线距离为d（A，B）=|x1-x2|+|y1-y2|．已知点O（0，0），C（x，y），d（O，C）=1，则的取值范围是______．16.已知F为抛物线C：x2=4y的焦点，过点F的直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B，抛物线C在A，B两点处的切线分别是l1，l2，且l1，l2相交于点P，则|PF|+的最小值是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等比数列{a n}的前n项和为S，公比q＞1，且a2+1为a1，a3的等差中项，S3=14．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式（Ⅱ）记b n=a n•log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．18.为了让税收政策更好的为社会发展服务，国家在修订《中华人民共和国个人所得税法》之后，发布了《个人所得税专项附加扣除暂行办法》，明确“专项附加扣除”就是子女教育、继续教育大病医疗、住房贷款利息、住房租金赠养老人等费用，并公布了相应的定额扣除标准，决定自2019年1月1日起施行，某机关为了调查内部职员对新个税方案的满意程度与年龄的关系，通过问卷调查，整理数据得2×2（）根据列联表，能否有的把握认为满意程度与年龄有关？（2）为了帮助年龄在40岁以下的未购房的8名员工解决实际困难，该企业拟员工贡献积分x（单位：分）给予相应的住房补贴y（单位：元），现有两种补贴方案，方案甲：y=1000+700x；方案乙：，＜，＜．已知这8名员工的贡献积分为2分，3分，6分，7分，7分，11分，12分，，＞12分，将采用方案甲比采用方案乙获得更多补贴的员工记为“A类员工”．为了解员工对补贴方案的认可度，现从这8名员工中随机抽取4名进行面谈，求恰好抽到3名“A类员工”的概率．附：，其中n=a+b+c+d．参考数据：19.如图①，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为AB，CD的中点，CD=2AB=2EF=4，M为DF中点．现将四边形BEFC沿EF折起，使平面BEFC平面AEFD，得到如图②所示的多面体．在图②中，（Ⅰ）证明：EF MC；（Ⅱ）求二面角M-AB-D的余弦值．20.已知椭圆C：（a＞b＞0）的短轴长为4，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设椭圆C的左，右焦点分别为F1，F2，左，右顶点分别为A，B，点M，N为椭圆C上位于x轴上方的两点，且F1M∥F2N，记直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，若3k1+2k2=0，求直线F1M的方程．21.已知函数，a R．（Ⅰ）若f（x）≥0，求实数a取值的集合；（Ⅱ）证明：e x+≥2-ln x+x2+（e-2）x．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，α倾斜角），曲线C的参数方程为（β为参数，β[0，π]），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）写出曲线C的普通方程和直线的极坐标方程；（Ⅱ）若直线与曲线C恰有一个公共点P，求点P的极坐标．23.已知函数f（x）=|x-m|-|x+2m|的最大值为3，其中m＞0．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a，b R，ab＞0，a2+b2=m2，求证：．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∁U B={x|-2＜x＜1}；∴A∩（∁U B）={x|-1＜x＜1}．故选：A．进行交集、补集的运算即可．考查描述法的定义，以及交集、补集的运算．2.【答案】D【解析】解：双曲线C：的焦距为4，则2c=4，即c=2，∵1+b2=c2=4，∴b=，∴双曲线C的渐近线方程为y=x，故选：D．先求出c=2，再根据1+b2=c2=4，可得b，即可求出双曲线C的渐近线方程本题考查双曲线的方程和性质，考查双曲线的渐近线方程的运用，属于基础题3.【答案】A【解析】解：由投影的定义可知：向量在向量方向上的投影为：，又∵，∴=．故选：A．本题可根据投影的向量定义式和两个向量的数量积公式来计算．本题主要考查投影的向量定义以及根据两个向量的数量积公式来计算一个向量在另一个向量上的投影，本题属基础题．4.【答案】A【解析】解：条件乙：，即为⇔若条件甲：a＞b＞0成立则条件乙一定成立；反之，当条件乙成立不一定有条件甲：a＞b＞0成立所以甲是乙成立的充分非必要条件故选：A．先通过解分式不等式化简条件乙，再判断甲成立是否推出乙成立；条件乙成立是否推出甲成立，利用充要条件的定义判断出甲是乙成立的什么条件．判断一个条件是另一个条件的什么条件，应该先化简两个条件，再利用充要条件的定义进行判断．5.【答案】C【解析】解：甲的中位数为29，乙的中位数为30，故不正确；甲的平均数为29，乙的平均数为30，故正确；从比分来看，乙的高分集中度比甲的高分集中度高，故正确，不正确．故选：C．根据中位数，平均数，方差的概念计算比较可得．本题考查了茎叶图，属基础题．6.【答案】B【解析】解：，且，可得cosα=-=-．，可得sinαcosβ-cosαsinβ=-，可得cosβ+sinβ=-，即2cosβ+sinβ=-，sin 2β+cos 2β=1，解得sinβ=．故选：B ．利用同角三角函数基本关系式求出cosα，通过两角和与差的三角函数化简已知条件，转化求解sinβ即可．本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数基本关系式的应用，是基本知识的考查． 7.【答案】C【解析】解：由a ，b 是两条异面直线，直线c 与a ，b 都垂直，知：在A 中，若c 平面α，则a 与α相交、平行或a α，故A 错误；在B 中，若c 平面α，则a ，b 与平面α平行或a ，b 在平面α内，故B 错误；在C 中，由线面垂直的性质得：存在平面α，使得c α，a α，b ∥α，故C 正确；在D 中，若存在平面α，使得c ∥α，a α，b α，则a ∥b ，与已知a ，b 是两条异面直线矛盾，故D 错误．故选：C ．在A 中，a 与α相交、平行或a α；在B 中，a ，b 与平面α平行或a ，b 在平面α内；在C 中，由线面垂直的性质得：存在平面α，使得c α，a α，b ∥α；在D 中，a ∥b ，与已知a ，b 是两条异面直线矛盾．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 8.【答案】C【解析】解：由图象知A=1，=-（-）=，即函数的周期T=π，则=π，得ω=2，即g（x）=sin（2x+φ），由五点对应法得2×+φ=π，得φ=，则g（x）=sin（2x+），将g（x）图象上的所有点向左平移个单位长度得到f（x）的图象，即f（x）=sin[2（x+）+]=sin（2x+）=sin（2x++）=cos（2x+），故选：C．根据图象求出A，ω和φ的值，得到g（x）的解析式，然后将g（x）图象上的所有点向左平移个单位长度得到f（x）的图象．本题主要考查三角函数解析式的求解，结合图象求出A，ω和φ的值以及利用三角函数的图象变换关系是解决本题的关键．9.【答案】B【解析】解：∵f（x）是奇函数，且图象关于x=1对称；∴f（2-x）=f（x）；又0≤x≤1时，f（x）=x3；∴．故选：B．根据f（x）的图象关于直线x=1对称，即可得出f（2-x）=f（x），从而得出，再根据f（x）是奇函数，且当0≤x≤1时，f（x）=x3，从而得出．考查奇函数的定义，函数f（x）的图象关于x=a对称时，满足f（2a-x）=f（x），以及已知函数求值的方法．10.【答案】B【解析】解：化圆C：x2+2x+y2-2ay=0为（x+1）2+（y-a）2=a2+1，圆心坐标为C（-1，a），半径为．如图，由题意可得，过圆心与点（1，2）的直线与直线2x-y=0垂直．则，即a=3．故选：B．由圆的方程求出圆心坐标与半径，结合题意，可得过圆心与点（1，2）的直线与直线2x-y=0垂直，再由斜率的关系列式求解．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．11.【答案】C【解析】解：根据题意，分3种情况讨论：，六位数的首位数字为7、8、9时，有3种情况，将剩下的5个数字全排列，安排在后面的5个数位，此时有3×A55=360种情况，即有360个大于420789的正整数，，六位数的首位数字为4，其万位数字可以为7、8、9时，有3种情况，将剩下的4个数字全排列，安排在后面的4个数位，此时有3×A44=72种情况，即有72个大于420789的正整数，，六位数的首位数字为4，其万位数字为2，将剩下的4个数字全排列，安排在后面的4个数位，此时有A44=24种情况，其中有420789不符合题意，有24-1=23个大于420789的正整数，则其中大于420789的正整数个数有360+72+23=455个；故选：C．根据题意，分3种情况讨论：，六位数的首位数字为7、8、9时，，六位数的首位数字为4，其万位数字可以为7、8、9时，，六位数的首位数字为4，其万位数字为2，分别求出每种情况下的六位数的数目，由加法原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．12.【答案】D【解析】解：△ABC是直三角形，AB=20m，AC=10m，可得CB=，DEF是等边三角形，设∠CED=θ；DE=x，那么∠BFE=30°+θ；则CE=xcosθ，△BFE中由正弦定理，可得可得x=，其中tanα=；∴x≥；则△DEF面积S=故选：D．△ABC是直三角形，DEF是等边三角形，AB=20m，AC=10m，CB=，可得∠A=60°，∠B=30°；设∠CED=θ；DE=x，那么∠BFE=30°+θ；则CE=xcosθ，在三角形△BFE中利用正弦定理求解x的最小值，即可求解△DEF区域内面积的最小值．本题考查三角形的面积的求法，考查DEF边长的求法，角的表示求解最值问题，是中档题，解题时要注意正弦定理的合理运用．13.【答案】1【解析】解：∵z==是纯虚数，∴，即a=-1．∴z=i，则|z|=1．故答案为：1．利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0且虚部不为0求得a值，得到复数z，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．14.【答案】3π【解析】解：如图，取CD中点E，连接BE，可得BE=，设等边三角形BCD的中心为G，则BG=，∴AG=，设三棱锥A-BCD的外接球的半径为R，则R2=BG2+OG2，即，解得R=．∴球O的表面积为．故答案为：3π．由题意画出图形，解三角形求得三棱锥外接球的半径，代入棱锥体积公式求解．本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．15.【答案】【解析】解：d（O，C）=|x|+|y|=1，则≥=，．故答案为：．d（O，C）=|x|+|y|=1，利用≥即可得出．本题考查了基本不等式的性质、折线距离，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.【答案】6【解析】解：设直线l的方程为：y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：x2-4kx-4=0，可得：x1+x2=4k，x1x2=-4，|AB|=y1+y2+p=k（x1+x2）+2+2=4k2+4．对x2=4y两边求导可得：y′=，可得切线PA的方程为：y-y1=（x-x1），切线PB的方程为：y-y2=（x-x2），联立解得：x=（x1+x2）=2k，y=x1x2=-1．∴P（2k，-1）．∴|PF|=．∴|PF|+=+，令=t≥2．则|PF|+=t+=f（t），f′（t）=1-=，可得t=4时，函数f（t）取得极小值即最小值f（4）=6．当且仅当k=时取等号．故答案为：6．设直线l的方程为：y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立化为：x2-4kx-4=0，利用根与系数的关系可得|AB|=y1+y2+p=k（x1+x2）+4．对x2=4y两边求导可得：y′=，可得切线PA的方程为：y-y1=（x-x1），切线PB的方程为：y-y2=（x-x2），联立解得P点坐标，可得代入|PF|+，利用导数研究函数的单调性极值即可得出．本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、利用导数研究函数的单调性极值、切线方程、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．17.【答案】解：（I）∵a2+1是a1，a3的等差中项，∴2（a2+1）=a1+a3，∴a1（q2+1）=2a1q+2，=14，化为2q2-5q+2=0，q＞1，解得q=2，∴a1=2．∴a n=2n．（II）b n=a n•log2a n=n•2n．∴数列{b n}的前n项和T n=2+2•22+3•23+……+n•2n．2T n=2×2+2•23+……+（n-1）•2n+n•2n+1．∴-T n=2+22+23+……+2n-n•2n+1=-n•2n+1．解得：T n=（n-1）•2n+1+2．【解析】（I）由a2+1是a1，a3的等差中项，可得2（a2+1）=a1+a3，又a1（q2+1）=2a1q+2，=14，联立解得，即可得出．（II）b n=a n•log2a n=n•2n．利用错位相减法即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（1）根据列联表可以求得K2的观测值：k==≈11.42＞6.635，故有99%的把握认为满意程度与年龄有关．（2）据题意，该8名员工的贡献积分及按甲乙两种方案所获补贴情况为：设从这8名员工中随机抽取4名进行面谈，恰好抽到3名”A类员工“的概率为P，则P==．【解析】（1）根据列联表可以求得K2的观测值，结合临界值可得；（2）先得积分表可得A类员工的人数，再根据古典概型的概率公式可得．本题考查了独立性检验，属中档题．19.【答案】证明：（Ⅰ）由题意知在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EF AB，EF CD，∴折叠后，EF DF，EF CF，∵DF∩CF=F，∴EF平面DCF，又MC平面DCF，∴EF MC．解：（Ⅱ）∵平面BEFC平面AEFD，平面BEFC∩平面AEFD=EF，且EF DF，∴DF平面BEFC，∴DF CF，∴DF，CF，EF两两垂直，以F为坐标原点，分别以FD，FC，FE所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，∵DM=1，∴FM=1，∴M（1，0，0），D（2，0，0），A（1，0，2），B（0，1，2），∴=（0，0，2），=（-1，1，0），=（-1，0，2），设平面MAB的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，1，0），设平面ABD的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（2，2，1），∴cos＜，＞===，∴二面角M-AB-D的余弦值为．【解析】（Ⅰ）推导出EF AB，EF CD，折叠后，EF DF，EF CF，从而EF平面DCF，由此能证明EF MC．（Ⅱ）以F为坐标原点，分别以FD，FC，FE所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M-AB-D的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.【答案】解：（I）由题意可得：2b=4，=，a2=b2+c2．联立解得：b=2，c=1，a=3．∴椭圆C的标准方程为：+=1．（II）A（-3，0），B（3，0），F1（-1，0），F2（1，0），设F1M的方程为：x=my-1，M（x1，y1），（y1＞0），直线F1M与椭圆的另一个交点为M′（x2，y2）．∵F1M∥F2N，根据对称性可得：N（-x2，-y2）．联立，化为：（8m2+9）y2-16my-64=0，∴y1+y2=，y1y2=，∵3k1+2k2=0，∴+=0，即5my1y2+6y1+4y2=0，联立解得：y1=，y2=，∵y1＞0，y2＜0，∴m＞0．∴y1y2=•=，∴m=．∴直线F1M的方程为x=y-1，即2x-y+2=0．【解析】（I）由题意可得：2b=4，=，a2=b2+c2．联立解出即可得出椭圆C的标准方程．（II）A（-3，0），B（3，0），F1（-1，0），F2（1，0），设F1M的方程为：x=my-1，M（x1，y1），（y1＞0），直线F1M与椭圆的另一个交点为M′（x2，y2）．由F1M∥F2N，根据对称性可得：N（-x2，-y2）．直线方程与椭圆方程联立化为：（8m2+9）y2-16my-64=0，根据根与系数的关系及其3k1+2k2=0，+=0，联立解得m．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.【答案】（I）解：f′（x）=-=．（x＞0）．当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，又f（1）=0．因此0＜x＜1时，f（x）＜0．当a＞0时，可得函数f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，∴x=a时，函数f（x）取得极小值即最小值，则f（a）=ln a+1-a≥0．令g（a）=ln a+1-a，g（1）=0．g′（a）=-1=，可知：a=1时，函数g（a）取得极大值即最大值，而g（1）=）．因此只有a=1时满足f（a）=ln a+1-a≥0．故a=1．∴实数a取值的集合是{1}．（II）证明：由（I）可知：a=1时，f（x）≥0，即ln x≥1-在x＞0时恒成立．要证明：e x+≥2-ln x+x2+（e-2）x，即证明：e x≥1+x2+（e-2）x，即e x-1-x2-（e-2）x≥0．令h（x）=e x-1-x2-（e-2）x，x＞0．h′（x）=e x-2x-（e-2），令u（x）=e x-2x-（e-2），u′（x）=e x-2，令u′（x）=e x-2=0，解得x=ln2．可得：x=ln2时，函数u（x）在（0，ln2）内单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增．即函数h′（x）在（0，ln2）内单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增．而h′（0）=1-（e-2）=3-e＞0．h′（ln2）＜h′（1）=0．∴存在x0（0，ln2），使得h′（x0）=0，当x（0，x0）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增；当x（x0，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减．当x（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．又h（0）=1-1=0，h（1）=e-1-1-（e-2）=0，∴对∀x＞0，h（x）≥0恒成立，即e x-1-x2-（e-2）x≥0．综上可得：e x+≥2-ln x+x2+（e-2）x，成立．【解析】（I）f′（x）=-=．（x＞0）．对a分类讨论即可得出单调性与极值，进而得出结论．（II）由（I）可知：a=1时，f（x）≥0，即lnx≥1-在x＞0时恒成立．要证明：e x+≥2-lnx+x2+（e-2）x，即证明：e x≥1+x2+（e-2）x，即e x-1-x2-（e-2）x≥0．令h（x）=e x-1-x2-（e-2）x，x＞0．利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：（1）曲线C的参数方程为（β为参数，β[0，π]），转换为直角坐标方程为：（x-4）2+y2=4（y≥0）．直线l的参数方程为（t为参数，α倾斜角），转换为极坐标方程为：θ=α．（2）由（1）可知：曲线C为半圆弧，若直线l与曲线C恰有一个公共点P，则直线l与半圆弧相切．设P（ρ，θ），由题意知：，故：，故：ρ2+22=42，解得：．所以：点P（，）．【解析】1（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.【答案】解：（Ⅰ）∵m＞0，∴f（x）=|x-m|-|x+2m|=，，＜＜，，∴当x≤-2m时，f（x）取得最大值3m．∴m=1．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，a2+b2=1，∴+===-2ab．∵a2+b2=1≥2ab，当且仅当a=b时等号成立．∴0＜ab，令h（t）=-2t，0＜t，则h（t）在（0，]上单调递减，∴h（t）≥h（）=1，∴当0＜ab时，-2ab≥1，∴+≥1．【解析】（Ⅰ）分三种情况去绝对值，求出最大值与已知最大值相等列式可解得；（Ⅱ）将所证不等式转化为-2ab≥1，再构造函数利用导数判断单调性求出最小值可证．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。

四川省眉山市2023届高三下学期第二次诊断性考试数学(理) PDF版含答案

眉山市高中届第二次诊断性考试
数!学理工类
注意事项 !*答卷前考生务必将自己的姓名座位号和准考证号填写在答题卡上 #*回答选择题时选出每小题答案后用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号
!!"通过计算判断#有没有 <<> 的把握认为客户对该产品的评价结果与性别有关系,
!#"该商店在春节期间开展促销活动 #该产品共有如下两个销售方案 ! 方案一 &按原价的 & 折销售 + 方案二&顾客购买该产品时#可在一个装有 3 张 )每满 #$$ 元少 &$ 元*#" 张 )每满#$$ 元少3$ 元 *共!$ 张优惠券的不透明箱子中 #随机抽取! 张 #购买时按照所抽取的优惠券进行优惠! 已知该产品原价为 #"$!元-件"!顾客甲若想采用方案二的方式购买一件产品 #估计顾客甲需支付的金额 +你认为顾客甲选择哪种购买方案较为合理 ,
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2025届辽宁省沈阳市第120中学高三第二次诊断性检测数学试卷含解析

2025届辽宁省沈阳市第120中学高三第二次诊断性检测数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且满足()(2)f x f x =-，当[0,1]x ∈时，()f x x =，则函数4()()12x F x f x x+=+-在区间[9,10]-上零点的个数为（） A ．9B ．10C ．18D ．202．已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为(),f x π的图象向左平移6π个单位长度后关于y 轴对称，则()6f x π-的单调递增区间为( )A ．5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦B ．,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦D ．,63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦3．已知三点A (1,0)，B (0)，C (2，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A ．53 BC D ．434．若||1OA =，||3OB =0OA OB ⋅=，点C 在AB 上，且30AOC ︒∠=，设OC mOA nOB =+(,)m n R ∈，则mn的值为（）A ．13B ．3C D 5．函数()sin()f x x π=-223的图象为C ，以下结论中正确的是（）①图象C 关于直线512x π=对称； ②图象C 关于点(,0)3π-对称；③由y =2sin 2x 的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C . A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③6．过双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>左焦点F 的直线l 交C 的左支于,A B 两点，直线AO （O 是坐标原点）交C 的右支于点D ，若DF AB ⊥，且BF DF =，则C 的离心率是（）A B ．2 C D 7．若点(3,4)P -是角α的终边上一点，则sin 2α=（） A ．2425-B ．725-C ．1625D ．858．设0.08log 0.04a =，0.3log 0.2b =，0.040.3c =，则a 、b 、c 的大小关系为（） A ．c b a >>B ．a b c >>C ．b c a >>D ．b a c >>9．下列函数中既关于直线1x =对称，又在区间[1,0]-上为增函数的是( ) A ．sin y x =π. B ．|1|y x =- C ．cos y x π=D ．e e x x y -=+10．设全集U =R ，集合{}221|{|}xM x x x N x =≤=，＜，则UM N =（）A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[)0,1D ．(],1-∞11．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的焦距为2c .点A 为双曲线C 的右顶点，若点A 到双曲线C 的渐近线的距离为12c ，则双曲线C 的离心率是（）AB C ．2D ．312．运行如图所示的程序框图，若输出的i 的值为99，则判断框中可以填（）A ．1S ≥B ．2S >C ．lg99S >D ．lg98S ≥二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高三第二次诊断检测数学(理)试题 Word版含答案

高级第二次诊断性测试题理科数学本试卷共4页，23题（含选考题）。

全卷满分150分，考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸答题卡上的非答题区域均无效.3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸答题卡上的非答题区域均无效.4、选考题作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑，答案写在答题卡上的对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸答题卡上的非答题区域均无效.5、考试结束后，请将答题卡上交.第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{}|32,A x x n n ==+∈N ，{}14,12,10,8,6=B ，则集合=B A（A ）{}10,8（B ）{}12,8 （C ）{}14,8 （D ）{}14,10,8（2）已知复数满足(1)i 1i z -=+，则=z（A ）2i --（B ）2i -+ （C ）2i - （D ）2i +（3）等差数列的前n 项和为，且155=S ，52=a ，则公差d 等于（A ）3- （B ）（C ）（D ）（4）若非零向量,a b ，满足||||=a b ，(2)0-⋅=a b a ，则a 与b 的夹角为z {}n a n S 2-1-2（A ）6π （B ）3π（C ）23π （D ）56π（5）某厂家为了解广告宣传费与销售轿车台数之间的关系，得到如下统计数据表：根据数据表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆ 2.4b =，ˆˆa y bx =-，据此模型预测广告费用为9万元时，销售轿车台数为（A ）17 （B ）18 （C ）19 （D ）20 （6）将函数)4332sin(2π+=x y 图象上所有点的横坐标缩短为原来的31，纵坐标不变，再向右平移8π个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（A ）函数)(x g 的一条对称轴是4π=x （B ）函数)(x g 的一个对称中心是)0,2(π（C ）函数)(x g 的一条对称轴是2π=x （D ）函数)(x g 的一个对称中心是)0,8(π（7）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（A ）10 （B ）15 （C ） 18 （D ）20 （8）执行下图的程序框图，若输入的n 为6，则输出的p 为（A ）8 （B ）13 （C ） 29 （D ）35 （9）三棱锥BCD A -内接于半径为2的球O ，BC 过球心O ，当三棱锥 BCD A -体积取得最大值时，三棱锥BCD A -的表面积为（A ） 346+ （B ）328+ （C ）364+ （D ）348+ （10）已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()2(x f x f -=+，当]1,0[∈x 时， 12)(-=xx f ，则（A ）)211()7()6(f f f <-< （B ）11(6)()(7)2f f f <<- （C ）)6()211()7(f f f <<- （D ）11()(7)(6)2f f f <-<（11）已知点12,F F 分别是双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的左右两焦点，过点1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于Q P ,两点，若2PQF ∆是以2PQF ∠为顶角的等腰三角形，其中),3[2ππ∈∠PQF ，则双曲线离心率e的取值范围为（A ） )3,7[ （B ） )7,1[ （C ） )3,5[ （D ）)7,5[（12）已知函数22ln (0)()3(0)2x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨--≤⎪⎩有且仅有四个不同的点关于直线1y =的对称点在直线10kx y +-=上，则实数k 的取值范围为（A ）1(,1)2（B ）13(,)24（C ）1(,1)3 （D ）1(,2)2第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

高三数学第二次诊断性考试试题(理科)(doc 10页)

高三数学第二次诊断性考试试题(理科)(doc 10页)3．设2210,0,loglog 2a a b>>若是与的等差中项，则11a b+的最小值为（）A ．12B ．22C ．1D ．2 4．已知命题p ；对任意2,2210x R xx ∈-+≤；命题q ：存在,sin cos 2x R x x ∈+=，则下列判断：①p 且q 是真命题；②p 或q 是真命题；③q 是假命题；④p ⌝是真命题，其中正确的是（）A ．①④B ．②③C ．③④D ．②④ 5．函数cos()(0,0,||)2y A x A πωϕωϕ=+>><的图象如下图所示，则函数cos()y A x ωϕ=+的递减区间是（）A ．5[2,2],44k k k z ππππ++∈ B ．3[2,2],44k k k z ππππ++∈ C ．5[,],88k k k z ππππ-+∈ D ．3[,],44k k k z ππππ-+∈ 6．已知函数34log (1),4()2,4x x x f x x --+>⎧=⎨≤⎩的反函数是111(),(),(7)8f x f a f a --=+且则等于（） A ．1B ．-1C ．-2D ．27．将编号为①②③④的四个小球放到三个不同的盒子内，每个盒子至少放一个小球，且编号为①②的小球不能放到同一个盒子里，则不同放法的种数为（） A ．24B ．18C ．30D ．36 8．如图，在四边形ABCD中，221,3,63AB AD AC CAB BAD ππ==+∠=∠=且，设,AC AB AD λμλμ=++=则（） A ．4 B ．-4 C ．-2 D ．69．某工艺品厂为一次大型博览会生产甲、乙两种型号的纪念品，所用的主要原料为A 、B 两种贵重金属，已知生产一套甲型纪念品需用原料A 和原料B 的量分别为4盒和3盒，生产一套乙型纪念品需用原料A 和原料B 的量分别为5盒和10盒，若甲型纪念品每套可获利700元，乙型纪念品每套可获利1200元，该厂月初一次性购进原料A 、B 的量分别为200盒和300盒，则该厂生产甲、乙两种纪念品各多少套才能使该厂月利润最大？（）A ．19，25B ．20，24C ．21，23D ．22，2210．已知三棱锥P —ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，且AB=2，PA=PB=PC=2，则该三棱锥的外接球面上，P 、A 两点的球面距离是（） A ．39πB ．839πC ．1639πD ．3239π11．长为11的线段AB 的两端点都在双曲线221916x y -=的右支上，则AB 中点M 的横坐标的最小值为（）A ．75B ．5110C ．3310D ．3212．对于实数x ，定义[]x 表示不超过x 大整数，已知正数数列{}na 满足：1111,()2n n naS a a ==+，其中nS 为数列{}na 的前n 项的和，则12100111[]S SS +++=（） A ．20B ．19C ．18D ．17第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：1．第II 卷用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。

高三数学下学期第二次诊断性测试试题理含解析试题

卜人入州八九几市潮王学校HYHY 自治区2021年普通高考第二次适应性检测理科数学第一卷一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.1.集合2|03x A x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，{|}B x x t =<，假设A B ⊆，那么实数t 的取值集合是〔〕 A.(2,)+∞ B.[2,)+∞ C.(3,)+∞ D.[3,)+∞【答案】D 【解析】【分析】先求集合A ，再根据A B ⊆可得t 的范围. 【详解】由203x x +≤-，32<≤-x ，所以{}23A x x =-≤<，因为A B ⊆,{}B x x t =<，所以3t≥,应选D.【点睛】此题考察子集关系的应用，解分式不等式，属于根底题.x R ∈，那么“1x =〞是“复数2(1)(1)z x x i =-++为纯虚数〞的〔〕A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】试题分析：由复数2(1)(1)z x x i =-++为纯虚数为纯虚数，那么210{10x x -=+≠解得1x =，“1x =〞是“复数2(1)(1)z x x i =-++为纯虚数〞的充分必要条件，选C.考点：复数的概念，充分条件、必要条件的定义. 3.正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2396150a a a +-+=，那么11S 〔〕A.35B.36C.45D.55【答案】D 【解析】【分析】利用等差数列的性质2396150a a a +-+=可化为2662150a a -+=，求得6a ，再利用等差数列的求和公式得11611S a =,求解.【详解】由{}n a 是等差数列，得3962a a a +=，因为2396150a a a +-+=，所以2662150a a -+=，65a =，63a =-，又0n a >，得65a =，所以1111161()1111552S a a a =+⋅==，应选D.【点睛】此题考察等差数列的性质，等差数列前n 项和的求法等根底知识，考察运算求解才能，属于根底题. 4.函数()2ln f x x =的图象与函数()245g x x x =-+的图象的交点个数为()A.3B.2C.1D.0【答案】B由g (x )＝(x －2)2＋1，所以其顶点为(2,1)，又f (2)＝2ln 2∈(1,2)，可知点(2,1)位于函数f (x )＝2ln x 图象的下方，故函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象有2个交点．【此处有视频，请去附件查看】5.某几何体的三视图如下列图，那么该几何体的外表积为〔〕 A.240 B.220 C.200 D.260【答案】A 【解析】【分析】根据三视图可以画出该几何体的直观图,四棱柱的侧棱与底面垂直，底面是等腰梯形，侧面是矩形，计算侧面与底面面积，可得四棱柱的外表积.【详解】根据三视图可以画出该几何体的直观图为如下列图的四棱柱，侧棱与底面垂直，底面是等腰梯形，侧棱长为10，等腰梯形上底为2下底为8，高为4，腰为5，所以外表积12((28)4)2108102(510)2S =++⋅+⋅+⋅=240.应选A.【点睛】此题考察空间三视图的复原，几何体的面积计算，利用“长对正，宽相等，齐，〞确定立体图中的元素位置关系和数量关系，考察空间想象才能，推理才能，属于根底题. 6.将函数()f x 的图象向右平移一个单位长度，所得图象与曲线ln y x =关于直线y x =对称，那么=)(x f 〔〕A.ln(1)x +B.)1ln(-xC.1ex +D.1x e -【答案】C 【解析】【分析】通过函数式进展逆变换求()f x ，先把ln y x =作其关于直线y x =的对称图形，得函数xy e =的图像，再把x y e =的图像向左平移一个单位可得所求.【详解】作ln y x =关于直线y x =的对称图形，得函数x y e =的图像，再把xy e =的图像向左平移一个单位得函数1+=x e y 的图像，所以1()x f x e +=.应选C.【点睛】此题考察函数图像的平移变换与对称变换的应用，理解原变换与逆变换的关系是关键，属于根底题.7.x R ∈，sin 3cos x x-=tan 2x =〔〕A.43 B.34 C.34-D.43-【答案】A 【解析】【分析】利用sin 3cos x x-=1cos sin 22=+x x 解方程组求出sin x 与x cos ，计算x tan ，再利用二倍角的正切公式求解.【详解】因为sin 3cos x x-=1cos sin 22=+x x ，得223cos )cos 1x x +=即25cos20x x ++=，cos x =cos x =所以sin x =sin x =1tan 2x =或者tan 2x =-，当1tan 2x =时1242tan 21314x ⋅==-；当tan 2x =-时2(2)tan 214x -=-43=，所以4tan 23x =，应选A.【点睛】此题考察同角的三角函数关系及二倍角公式，考察运算求解才能，属于中档题. 8.点(,)P a b ，且,{1,0,1,2}a b ∈-，使关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的点P 的概率为〔〕 A.78B.1613 C.34D.58【答案】B 【解析】【分析】先确定{},1,0,1,2a b ∈-所得到的点P 的个数，再判断方程220ax x b ++=为一元一次方程与一元二次方程何时有解，确定此时点P 的个数，然后利用古典概型概率计算公式求解. 【详解】因为{},1,0,1,2a b ∈-，所以得到点P 一共有4416⨯=个.因为方程220ax x b ++=有实数解，所以440ab -≥，0a≠，即1ab ≤，当),(b a 取(1,2)，(2,1)，(2,2)时1ab >；又0a =时原方程为20x b +=有解，所以方程220ax x b ++=有实数解的点P 的概率为163131616-=，应选B.【点睛】此题考察古典概型的概率，确定对立事件的根本领件数是此题的关键，属于根底题.9.设关于x ，y 的不等式组21000x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩，表示的平面区域内存在点),(00y x P ，满足0022x y -=，那么m 的取值集合是〔〕A.4,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ B.4,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C.2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D.2,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】作出线性约束条件对应的可行域，变动边界直线x m =-与直线y m =，确定可行域上的点(,)m m -在直线22=-yx 的下方时可行域与直线22=-y x 有公一共点，列不等式220m m --->求解.【详解】因为关于x ，y 的不等式组21000x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩，表示的平面区域内存在点()00,P x y ，满足0022x y -=，所以可行域与直线22=-y x x m =-与直线y m =，当点(,)m m -在直线22=-y x 的下方时符合条件，所以220m m --->，得23m <-.应选C. 【点睛】此题考察线性规划的根本应用，利用数形结合是解题的关键，属于中档题. 10.O 是ABC ∆的外接圆圆心，且0OA AB AC ++=，1OA AB ==，那么CA 在BC 方向上的投影为〔〕A.21-B.2-C.12D.2【答案】B【解析】【分析】化简0OA AB AC ++=为OB CA =，那么在圆O 中四边形ABOC 为菱形且一个夹角为60°，确定CA 与BC 的夹角为150，利用向量数量积的几何意义可得.【详解】由0OA AB AC ++=，得OB CA =,所以四边形ABOC 是平行四边形.又O 是ABC ∆外接圆圆心，所以OC OB OA ==，所以四边形ABOC 是菱形，且60ACO ∠=,所以BC 平分ACO ∠，所以ACB30∠=,即CA 与BC 的夹角为150，因为1OA AB ==，所以CA 在BC方向上的投影为cos1502CA =-应选B. 【点睛】此题考察数量积的几何意义，考察运算求解才能，属于根底题.11.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点为1F ，2F ，假设在椭圆上存在一点P ，使得21F PF ∆的内心与重心G 满足12//IG F F ，那么椭圆的离心率为〔〕B.23C.13D.12【答案】D 【解析】【分析】设P 点坐标，得三角形的重心G ，由IG ∥12F F 可得21F PF ∆内心I 的纵坐标即内切圆半径，利用面积关系列出关于a,c 的等式进展求解. 【详解】设),(00y x P ，又1(,0)F c -，2(,0)F c ，那么21F PF ∆的重心00(,)33x y G .因为IG ∥12F F所以21F PF ∆内心I 的纵坐标为03y .即21F PF ∆内切圆半径为03y .由三角形21F PF ∆面积12121()2S PF PF F F r =++，12012S F F y =，及椭圆定义122PF PF a +=得0011(22)2232y a c c y +=，解得21=e ，应选D. 【点睛】此题考察椭圆的离心率，列出关于a,c 的方程是关键，属于根底题 12.函数1()0.5f x x =-+，()2cos g x x π=，当)2,3(-∈x 时，方程()()f x g x =的所有实根之和为〔〕 A.-2 B.-1 C.0 D.2【答案】A 【解析】【分析】作出函数()f x ，()g x 在)2,3(-的图像，判断图像的对称性，观察图像的交点个数，利用对称性求出所有交点横坐标的和可解.【详解】作出函数()f x ，()g x 在1(,2)2-的图像，由反比例函数及三角函数性质()f x ，()g x 的图像都关于点P 1(,0)2-对称，所以它们的交点关于点P 对称.两个函数图像在1(,2)2-有2个交点，所以方程()()f x g x =在)2,3(-有4个根，141x x +=-，231x x +=-，所有实根之和为12342x x x x +++=-.应选A.【点睛】此题考察函数的图像与方程根的问题，函数图像的对称性，属于根底题.第二卷二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分. 13.观察以下事实：〔1〕1x y +=的不同整数解(,)x y 的个数为4；〔2〕2x y +=的不同整数解(,)x y 的个数为8；…… 那么505x y +=的不同整数解(,)x y 的个数为__________．【答案】2021 【解析】【分析】观察〔1〕〔2〕中方程不同整数解(),x y 的个数是方程右侧数的4倍，利用归纳推理可得所求方程整数解的个数. 【详解】由〔1〕1x y +=的不同整数解(),x y 的个数为4；〔2〕2x y +=的不同整数解(),x y 的个数为8；······方程不同整数解(),x y 的个数是方程右侧数的4倍，所以505x y +=的不同整数解(),x y 的个数为5054⨯=2021.故答案为2021.证明：作出曲线505x y +=，图像为菱形，且图像关于原点及x 、y 轴对称.0x >，0y >时505x y +=，x 可以取1,2,3，···，504，有504个整数解，及(505,0),(0,505),(505,0),(0,505)--，所以一共有整数解4504+4=2020⨯个.【点睛】此题考察归纳推理的应用，关键由所给等式找出其内在规律，属于根底题.14.假设二项式6⎛⎝的展开式中的常数项为160-，那么()231axdx -=⎰______.【答案】6【解析】【详解】注意到(616rrr r T C -+⎛= ⎝()662261r rr r r C a x ---=-()6361r r r r C a x --=-. 令30r -=.那么3r =.由常数项为3336201602C aa a -=-=-⇒=.故()()223316axdx x x -=-=⎰.15.在四面体A BCD -中，5=AB ，3BC CD ==，32=DB ，4AC =，60ACD ∠=︒，那么该四面体的外接球的外表积为__________．【答案】25π 【解析】【分析】由222AB BC AC =+，利用余弦定理得AD ，得222AB BD AD =+，确定四面体外接球的直径为AB ，即可计算球的外表积. 【详解】因为5,3,4AB BC AC ===，所以222AB BC AC =+,所以AC BC ⊥.在△ACD中3,4,60CD AC ACD ==∠=,由余弦定理2224324cos6013AD =+-=，又BD =222AB BD AD =+,所以BD AD ⊥，所以AB 是两个圆的直径，所以AB 是四面体A-BCD 的外接球的直径，25R =，52R =，所以该四面体的外接球的外表积为25S π=.故答案为25π. 【点睛】此题考察球的外表积，组合体的关系，考察空间想象才能、逻辑推理才能及运算才能，属于中档题. 16.函数()32f x x ax =-在()1? 1?-，上没有最小值，那么a 的取值范围是________________．【答案】1,-∞（）【解析】【分析】先求导，利用f′〔x 〕=0时，x=0或者x=23a,讨论两个极值点与〔-1，1〕的关系，再根据导数和函数的单调性最值的关系将极值与端点处函数值作比较得到a 的范围.【详解】∵f〔x 〕=x 3﹣ax ，∴f′〔x 〕=3x 2﹣2ax=x(3x-2a)，当f′〔x 〕=0时，x=0或者x=23a , 〔1〕当23a ∈〔﹣∞，﹣1]时，即a 32≤-时，f(x)在〔-1，0〕单调递减，在〔0，1〕单调递增，此时x=0时f 〔x 〕获得最小值，所以舍去. 〔2〕当-1<23a <0时，f(x)在〔-1，23a 〕单调递增，在〔23a，0〕单调递增减，在〔0，1〕单调递增，由题意()32f x x ax =-在()11-，上没有最小值，那么有()()2101a 0.301a f f ⎧-<<⎪⇒-<<⎨⎪>-⎩〔3〕当a=0时，f(x)=3 x 在()11-，上显然没有最小值，故成立. 〔4〕当0<23a <1时，f(x)在〔-1，0〕单调递增，在〔0，23a 〕单调递增减，在〔23a，1〕单调递增，由题意()32f x x ax =-在()11-，上没有最小值，那么有()201330a .2213aa f f ⎧<<⎪⎪⇒<<⎨⎛⎫⎪>- ⎪⎪⎝⎭⎩〔5〕当213a ≥时，即a 32≥时，f(x)在〔-1，0〕单调递增，在〔0，1〕单调递减，此时f(x)在()11-，上没有最小值. 综上：a>-1. 故答案为1,∞-（）. 【点睛】此题考察了导数和函数的最值的关系，运用分类讨论思想，考察了分析问题，解决问题的才能，属于中档题三、解答题：解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤. 17.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11()n n a S n N ++=+∈，且212a a =.〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕假设2log (1)n nn n b a a n =+-⋅，求数列}{n b 的前n 项和n H .【答案】〔Ⅰ〕12()n n a n N -+=∈；〔Ⅱ〕4(2)2(2)23(2)2(21)2nn n n n n k H n n n k +⎧-⨯+=⎪⎪=⎨-⎪-⨯-=-⎪⎩，其中+∈N k ..【解析】【分析】〔Ⅰ〕由11n n a S +=+，得11n n a S -=+，相减可得等比数列的公比，再由211a S =+及212a a =得到首项1a ，利用等比数列通项公式求解.〔Ⅱ〕由n a 求出1(1)2(1)n n n b n n -=-+-，利用错位相减法先求{}1(1)2n n --的前n 项的和，讨论n 求{}(1)nn -的前n 项和，可得所求.【详解】解：〔Ⅰ〕∵11n n a S +=+，∴当2n ≥时，11n n a S -=+，又11n n a S +=+，∴()122,n n a a n n N ++=≥∈，又∵21111a S a =+=+，212a a =解得：11a =.∴()12n na n N -+=∈.〔Ⅱ〕∵()()()12log 1121n nn n n n b a a n n n -=+-⨯=-⨯+-⨯，设数列(){}112n n --⋅的前n 项和为nT ，那么有()()0121021222...12n n T n n N -+=⨯+⨯+⨯++-⨯∈ (1)∴()()1232021222...12n nT n n N +=⨯+⨯+⨯++-⨯∈ (2)由〔2〕-〔1〕得：()222n nT n =-⨯+.当n 为偶数时，()4222n n n +=-⨯+. 当n 为奇数时，()3222n n n -=-⨯-. 故()()()()42222322212nn n n n n k H n n n k +⎧-⨯+=⎪⎪=⎨-⎪-⨯-=-⎪⎩，其中k N +∈.【点睛】此题考察等比数列的通项公式，通项n a 与n S 的关系，考察错位相减法求和,考察分类讨论、运算才能，属于中档题.18.如图，在直三棱柱中111A B C -ABC 中，AB ⊥AC ，AB=AC=2，1AA =4，点D 是BC 的中点．〔1〕求异面直线B A 1与D C 1所成角的余弦值；〔2〕求平面1ADC 与1ABA 所成二面角的正弦值．【答案】【解析】试题分析：因为直线AB 、AC 、两两垂直，故以A 为坐标原点，建立如下列图的空间直角坐标系，〔1〕向量11,A B C D 分别为直线A 1B 与C 1D 的方向向量，求出11,A B C D的坐标，由空间两向量夹角公式111111cos ,A B C D A B C D A B C D⋅=可得向量11,A B C D夹角的余弦值；〔2〕设平面的法向量为1(,,)n x y z =，又1(1,1,0),(0,2,4)AD AC ==，根据法向量定义求出平面的一个法向量1n ，因为平面，取平面的一个法向量为2(0,1,0)n =，先求出1n 与2n 夹角的余弦值，又平面ADC1与平面ABA 1夹角与1n 与2n 夹角相等或者互补。

2025届湖北省百校大联盟高三第二次诊断性检测数学试卷含解析

2025届湖北省百校大联盟高三第二次诊断性检测数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．运行如图所示的程序框图，若输出的i 的值为99，则判断框中可以填（）A ．1S ≥B ．2S >C ．lg99S >D ．lg98S ≥2．如图，圆O 是边长为23的等边三角形ABC 的内切圆，其与BC 边相切于点D ，点M 为圆上任意一点，BM xBA yBD =+(,)x y ∈R ，则2x y +的最大值为（）A 2B 3C ．2D ．223．若()()()20192019012019111x a a x a x -=+++++，x ∈R ，则22019122019333a a a ⋅+⋅++⋅的值为（）A ．201912--B ．201912-+C ．201912-D ．201912+4．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（）A ．50,6⎛⎤⎥ ⎝⎦ B ．5,15⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ C ．250,5⎛⎤⎥ ⎝⎦D ．25,15⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭5．若双曲线()22210x y a a-=>的一条渐近线与圆()2222x y +-=至多有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（） A ．)2,⎡+∞⎣B ．[)2,+∞C ．(1,2⎤⎦D ．(]1,26．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范围是（）A ．[1,)-+∞B ．(,1]-∞-C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞-7．已知3ln 3a =，1b e -=，3ln 28c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．b c a >>D ．b a c >>8．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．9．函数sin (3sin 4cos )y x x x =+()x R ∈的最大值为M ，最小正周期为T ，则有序数对(,)M T 为（） A ．(5,)πB ．(4,)πC ．(1,2)π-D ．(4,2)π10．给出下列三个命题：①“2000,210x x x ∃∈-+≤R ”的否定；②在ABC 中，“30B ︒>”是“3cos B <的充要条件； ③将函数2cos2y x =的图象向左平移6π个单位长度，得到函数π2cos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象．其中假命题的个数是（） A ．0B ．1C ．2D ．311．2021年部分省市将实行“312++”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为 A ．18B ．14C ．16D ．1212．已知函数()f x 满足()()11f x f x -=+，当1x ≥时，()2f x x x=-，则()}{21x f x +>=（） A ．{3x x <-或}0x > B ．{0x x <或}2x > C ．{2x x <-或}0x >D ．{2x x <或}4x >二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高三第二次诊断性测试数学试题(理科)(附答案)

鲁实中学级第二次诊断性测试数学试题（理科）（.1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考试结束后，将答题纸和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 60 分）注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号和准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置。

2.第Ⅰ卷共2页。

答题时，考生需用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试卷上作答无效。

一、选择题：（共12题，每题只有一个正确答案，每题5分，共60分） (1) 定义集合运算: {}B y A x xy z z B A ∈∈==⊗,,|.设{}0,2=A ，{}4,0=B ，则集合B A ⊗的所有元素之和为（）A.6B.8C. 12D.16(2) 某单位有老年人28人，中年人56人，青年人80人，为了调查他们的身体情况，需从他们中抽取一个容量为41的样本，则适合的抽取方法是（）A.简单随机抽样法B.抽签法C.随机数表法D.分层抽样法 (3) 已知直线a 和平面βαβαβαβα、在，、a a a l ,,,⊄⊄= 内的射影分别是b 、c ，则b 、c 的位置关系是（） ①相交 ②平行 ③异面A. ①②B. ①②③C. ②③D. ①③(4) 过抛物线x y 42=的焦点作直线与其交于M 、N 两点，作平行四边形MONP ,则P 点的轨迹方程为（）A. )2(42-=x yB. )2(42+-=x yC. )2(42+=x yD. 12-=x y (5)ABC ∆的三边,,a b c 满足等式cos cos cos a A b B c C +=，则此三角形必是（） A 、以a 为斜边的直角三角形 B 、以b 为斜边的直角三角形 C 、等边三角形 D 、其它三角形(6) 记7722107)1()1()1()21(x a x a x a a x -++-+-+=+ ，则7210a a a a ++++ 的值为( )A .1-B .1C .73-D .73（7）函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且0x >时，139)(--=x x f x ，则函数()f x 的零点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4（8）6名志愿者随机进入2个不同的全运场馆参加接待工作，则每个场馆至少有两名志愿者的概率为（） A .31 B .121 C .43 D .3225 （9）给出右面的程序框图，那么，输出的数是（） A .3 B . 5 C .7 D .9(10)定义“等比数列”}{n a ：),1(,11i q i a +=-=*,1N n q a a n n ∈⋅=+，则在复平面内2011a 所对应的点在( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 (11)已知{}n a 是递减等比数列，5,2312=+=a a a ，则()*+∈+⋅⋅⋅++N n a a a a a a n n 13221的取值范围是（）A .[)16,12B .[)16,8C .⎪⎭⎫⎢⎣⎡332,8 D .⎪⎭⎫⎢⎣⎡332,316 (12)已知函数()f x 的定义域为(2,2)-，导函数为xx x f cos 2)(2'+=且(0)0f =，则满足0)()1(2>-++x x f x f 的实数x 的取值范围为( ) A ．(1,1)- B．(1,1- C．(1- D．(1第II 卷（非选择题 90 分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）（13）已知1cos sin =βα，则=-)sin(βα ．（14）设函数dt t x f xx)1()(2-=⎰，则)('x f =__________.（15）平面上存在点(,)P x y 满足0)ln()ln(=++-y x y x ，那么|2|y x -的最小值是．（16）在xoy 坐标平面内，若关于y x 、的不等式0)12(22≥+--xy k xy y kx 表示三角形区域，则实参数k 的取值集合为________. 三、解答题：本大题共6小题，共74分。

2021届四川省成都市高三第二次诊断性检测数学(理)试题(解析版)

【详解】设球的半径为，由球体的体积公式有，得 .
设圆柱的上底面半径为，球的半径与上底面夹角为，则，圆柱的高为，
圆柱的侧面积为，
当且仅当时，时，圆柱的侧面积最大，
圆柱的侧面积的最大值为．
故选：B．
【点睛】关键点睛：一是要巧妙的设出变量，二是要写出侧面积的表达式以及求最值.
8．已知是曲线上的动点，点在直线上运动，则当取最小值时，点的横坐标为（）
9．已知数列的前项和满足，记数列的前项和为，．则使得成立的的最大值为（）
A．17B．18C．19D．20
【答案】C
【分析】根据求通项公式，注意讨论、并判断是否可合并，再应用裂项法求，最后根据不等式求的最大值即可.
【详解】当时，；当时，；而也符合，
∴ ， .又，
【答案】B
【分析】将正四面体放在正方体中观察
对于①，可根据分别为正方体前后两个面的中心可得出结论；
对于②，取为的中点，取为的中点，此时与相交；
对于③，计算可得，由逼近思想可作出判断；
对于④，空间问题平面化的技巧，将三角形与放在同一平面上，可计算出
【详解】
在棱长为的正方体上取如图所示的四个顶点依次连接，即可得到棱长为四面体，
【答案】D
【分析】对先化简计算，直接写出虚部.
【详解】，所以虚部为1.
故选：D
3．命题“ ， ”的否定为（）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．
【详解】因为全称命题的否定是特称命题，
所以，命题“ ， ”的否定是：，．

四川省凉山州2023届高三下学期第二次诊断性考试数学(理)试卷(PDF版)

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.）1.已知复数z =3+2i 1+i，则z 的虚部是（）A.-12iB.-52iC.-12D.522.集合A ={x y =log (1-2x )｝，B =｛y y =2x ，x <1｝，则A ∩B =（）A.{x |x <12｝B.{x |0<x <12｝C.{x |x ≤12｝D.{x |0<x ≤12｝3.已知x ，y 满足约束条件x+y -1≥0x-y+1≥02x -y-2≤0⎧⎩⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐.则目标函数z =x+2y 的最小值是（）A.1B.2C.11D.无最小值4.C 0表示生物体内碳14的初始质量,经过t 年后碳14剩余质量C （t ）=C 0（12t >0，h 为碳14半衰期).现测得一古墓内某生物体内碳14含量为0.4C 0，据此推算该生物是距今约多少年前的生物(参考数据:lg2≈0.301).正确选项是（）A.1.36h B.1.34hC.1.32hD.1.30h5.执行如图所示程序框图，则输出的S 的值是（）A.45B.56C.67D.78凉山州2023届高中毕业班第二次诊断性检测数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分.第Ⅰ卷（选择题），第Ⅱ卷（非选择题），共4页，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确.2.选择题使用2B 铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.3.考试结束后，将答题卡收回.数学（理科）试卷第1页（共4页）t h结束开始S =0n =1S =S +1n （n +1）n =n +1n >5否是输出S 2||6.小明买了4个大小相同颜色不同的冰墩墩（北京冬奥会吉祥物）随机放入3个不同袋子中，则每个袋子至少放入一个冰墩墩的概率是（）A.34B .227C .916 D.497.已知f （x ）是定义域为｛x x ≠0｝的偶函数且f （x ）=lnxx -1e2（x >0），则函数f （x ）零点个数是（）A.6 B.5 C.4 D.38.已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，点A (3,2)，点P 为该抛物线上一动点，则△PAF 周长的最小值是（）A.3+22√ B.3 C.4+22√ D.2+22√+23√9.在△ABC 中,角A ，B ，C 对边分别为a ,b ,c .命题p ∶1-tan 2A21+tan 2A2+b cos （A +C ）a =0,命题q ∶△A BC 为等腰三角形.则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.如图，在直角梯形PA BC 中，AB ∥PC ，∠C =π2，A B =BC =12PC =1，D 为PC 边中点，将△PAD 沿AD 边折到△QAD.连接QB ，QC 得到四棱锥Q-ABCD,记二面角Q-AD-C 的平面角为θ，下列说法中错误的是（）A.若θ=π2，则四棱锥Q-ABCD 外接球表面积3πB.无论θ为何值，在线段QB 上都存在唯一一点H 使得DH =1C.无论θ为何值，平面QBC ⊥平面QCD D.若θ=π3，则异面直线AC ，BQ 所成角的余弦值为1411.已知a =tan 20232022，b=e ，c=20232022，则a ,b ,c 大小关系是（）A.c <b<a B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a12.如图所示，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1棱长为2，点P 为正方形BCC 1B 1内(不含边界)一动点,∠BPC角平分线交BC 于点Q ，点P 在运动过程中始终满足BQ QC=2.①直线BC 1与点P 的轨迹无公共点;②存在点P 使得PB ⊥PC ;③三棱锥P-BCD 体积最大值为89;④点P 运动轨迹长为4π9.上述说法中正确的个数为（）A.1B.2C.3D.4第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知(x +2x)的展开式中二项式系数和为32，则x 3项系数是____________.数学（理科）试卷第2页（共4页）12023n|14.已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1（a>0，b>0）的右焦点F （2,0）,点F 到该双曲线渐进线的距离为3√，则双曲线的离心率是____________.15.已知正实数a,b ，称v =a+b 2为a,b 的算术平均数，u =ab √为a,b 的几何平均数，H =23v +13u 为a,b 的希罗平均数.D 为△ABC 的BC 边上异于B ，C 的动点，点P 满AP 13AD AP =a 18AB +b 18AC ，则正数a ，b 的希罗平均数H 的最大值是____________.16.已知函数f （x ）=4sin x cos x -2sin 2x +2cos 2x +1,则下列说法中正确的是____________①f （x ）一条对称轴为x =π8；②将f （x ）图象向右平移π4个单位，再向下平移1个单位得到的新函数为奇函数；③若f （x 2）=5√+1，则tan x =4±15√；④若函数y =f （ωx 2）（ω>0）在区间[π3，π]上恰有2个极大值点，则实数ω的取值范围是[174，254).三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.（本小题12分）已知对于任意n ∈N*函数f （x ）=x 2+2x 在点（n ，f （n ））处切线斜率为a n ，正项等比数列｛b n ｝的公比q ∈（0,1），且b 1b 5+2b 3b 5+b 2b 8=25，又b 3与b 5的等比中项为2.（1）)求数列｛a n ｝，｛b n ｝的通项公式；（2）求数列｛a n b n ｝的前n 项和S n .18.（本小题12分）如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,点E ，F 分别是BC ，A 1C 1中点，平面ABB 1A 1∩平面A EF=l.（1）证明：l ∥EF ；（2）若AB=A C =22√，平面A CC 1A 1⊥平面ABB 1A 1，且AB 1⊥EF ，求直线l 与平面A 1B 1E 所成角的余弦值.19.（本小题12分）2022年12月6日全国各地放开对新冠疫情的管控，在强大的祖国庇护下平稳抗疫三年的中国人民迎来了与新冠变异毒株奥密克戎的首次正面交锋.某市为了更好的了解全体中小学生感染新冠感冒后的情况,以便及时补充医疗资源.从全市中小学生中随机抽取了100名抗原检测为阳性的中小学生监测其健康状况，100名中小学生感染奥密克戎后的疼痛指数为X ，并以此为样本得到了如下图所示的表格：数学（理科）试卷第3页（共4页）′其中轻症感染者和重症感染者统称为有症状感染者。

四川省宜宾市2023届高三下学期二诊理科数学试卷+答案

宜宾市普通高中2020级第二次诊断性测试数学(理工类)注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．本试卷满分150分，考试时间120分钟. 考试结束后，请将答题卡交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ={x |-2<x <3},B =Z ,则A ∩B =A.{1,2}B.{0,1,2}C.{-1,0,1,2}D.{1,2,3}2．已知(3-2i)z =5+i,则z=A.1+iB.1-iC.3+2iD.2+3i3．2月国家统计局发布中华人民共和国2022年国民经济和社会发展统计公报.下图1是2018-2022年国内生产总值及其增长速度，图2是2018-2022年三次产业增加值占国内生产总值比重（三次产业包括第一产业，第二产业，第三产业）.根据图1，图2，以下描述不正确的是A.2018-2022年国内生产总值呈逐年增长的趋势B.2020年与2022年国内生产总值的增长速度较上一年有明显回落C.2018-2022年第三产业增加值占国内生产总值比重的极差为1.7%D.2020年第二产业增加值较2019年有所减少4．已知函数f (x )=a cos x -x 2-1有且只有1个零点，则实数a 的值是A.0 B.1 C.2 D.3（第5题图）5．四边形ADEH 由如图所示三个全等的正方形拼接而成，令∠EAD =α,∠FAD=β,则tan(β-α)=A.1B.43C.17D.766．已知某四棱锥的三视图如图所示，其正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该四棱锥最长的棱长是A.12B.1C.2D.3（第6题图）7．下列判断正确的是A.若x >1,则x +4x -1的最小值是5 B.若x <y ，则1x >1yC.若x ∈(0,π),则sin x +2sin x的最小值是22 D.若x >y ，则x 2>y 28．下图是梁思成研究广济寺三大士殿的手稿，它是该建筑中垂直于房梁的截面，其中T 是房梁与该截面的交点，A ,B 分别是两房檐与该截面的交点，该建筑关于房梁所在铅垂面（垂直于水平面的面）对称，测得柱子c 1与c 2之间的距离是3L (L 为测量单位),柱子c 2与c 3之间的距离是23L .如果把AT ,BT 视作线段，记P 1,P 2,P 3是AT 的四等分点，Q 1,Q 2,Q 3是BT 的四等分点，若BQ 2=2L ,则线段P 3Q 2的长度为A.7L B.3L C.5LD.22L9．已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =2,BC =AA 1=1,E 为A 1B 1的中点，则下列判断不正确的是A.A 1C //平面EBC 1B.点B 1到平面EBC 1的距离是33C.B 1D ⏊平面EBC 1D.异面直线EC 与BD 所成角的余弦值为151510．已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左，右焦点分别为F 1,F 2，点P 在双曲线的右支上，I 为△PF 1F 2的内心，记△PF 1I ,△PF 2I ,△IF 1F 2的面积分别为S 1,S 2,S 3,且满足S 1=S 2+S 33,则双曲线的离心率是A.2B.3C.2D.311．已知函数y =e x 的图象在点P (a ,b )(其中a <2)处的切线与圆心为Q (1,0)的圆相切，则圆Q 的最大面积是A. πB. 2πC.3πD.4π12．已知函数f (x )=3sin 2ωx +2sin ωx cos ωx -3cos 2ωx -1(ω>0),给出下列4个结论：①f (x )的最小值是-3；②若ω=1,则f (x )在区间(-π12,5π12)上单调递增；③将y =sin x 的函数图象横坐标缩短为原来的14倍，再向右平移π12个单位长度，再向下平移1个单位长度，可得函数y =f (x )的图象，则ω=2;④若存在互不相同的x 1,x 2,x 3∈[0,π],使得f (x 1)+f (x 2)+f (x 3)=3,则ω≥2912其中所有正确结论的序号是A.①②④B.①③④C.②③④D.①②A BP 1P 2P 3Q 1Q 2Q 3Tc 1c 2c 3二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13．在△ABC 中，D 是BC 的中点，AD =4，点P 为AD 的中点，则AP ⋅PB +PC =______．14．当生物死亡后，它机体内碳14会按照确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，照此规律，人们获得了生物体内碳14含量与死亡时间之间的函数关系式k (t )=k 012t5730，其中k 0为生物死亡之初体内的碳14含量，t 为死亡时间(单位：年)，通过测定发现某古生物遗体中碳14含量为18k 0，则该生物的死亡时间大约是________年前．15．已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于A ,B 两点，则AF +4BF 的最小值是___________.16．已知三棱锥A -BCD 的四个面都是边长为2的正三角形，M 是△ABC 外接圆O 1上的一点，P为线段O 1D 上一点，PO 1=66,N 是球心为P ,半径为63的球面上一点，则MN 的最小值是_____.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必做题：共60分.17．（12分）2022年中国新能源汽车销量继续蝉联全球第一，以比亚迪为代表的中国汽车交出了一份漂亮的“成绩单”，比亚迪新能源汽车成为2022年全球新能源汽车市场销量冠军，在中国新能源车的销量中更是一骑绝尘，占比约为30%.为了解中国新能源车的销售价格情况，随机调查了10000辆新能源车的销售价格，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计一辆中国新能源车的销售价格位于区间[5,35)(单位：万元)的概率，以及中国新能源车的销售价格的众数；(2)若从中国新能源车中随机地抽出3辆，设这3辆新能源车中比亚迪汽车的数量为X ，求X 的分布列与数学期望.18．（12分）已知数列{a n }，{b n },a 1=2,记S n 为数列{a n }的前n 项和，a n =b 1b 2b 3⋯b n .条件①：2S n n +n 是公差为2的等差数列;条件②：1b n +1a n=1.从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若c n =2n ⋅a n ，求数列{c n }的前n 项和T n .19．（12分）圆柱O1O2中，四边形DEFG为过轴O1O2的截面，DG=42，DE=16，ΔABC为底面圆O1的内接正三角形，AB⎳DE.(1)证明：CO2⊥平面ABFG；(2)求平面FCD与平面ABFG所成角的正弦值.20．（12分）已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22，右焦点为F(1,0).(1)求椭圆E的方程；(2)已知椭圆E的上顶点A在以点F为圆心的圆外，过A作圆F的两条切线l1,l2分别与x轴交于点B，点C，l1,l2分别与椭圆交于点P，点Q(都不同于点A)，记ΔABC面积为S1，ΔAPQ的面积为S2，若S1S2=3316，求圆F的方程.21．（12分）已知a>0,函数f(x =e x-ax2,g(x =ln x.1 若0<a≤e2,求证：f(x)在R上是增函数;(2)若存在a,使得f(x)>g(x)+b对于任意的x>0成立，求最大的整数b的值.(二)选做题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分. 22．(10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,以x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=22sinθ+π4.(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)已知直线l过点P(1,0),l与曲线C交于A,B两点,Q为弦AB的中点,且PQPA+PB=13,求l的斜率.23．（10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)=x−1+x+3.(1)求不等式f(x)≤6的解集；(2)∀x∈0，2,f(x)≥a2x+1,求实数a的取值范围.宜宾市2020级高三第二次诊断性试题数学(理工类)参考答案一、选择题题号123456789101112答案CBDBCDAACDBA9.取AB 中点为F ，连接FA ,FC ，∵A 1F ⎳面EBC 1,CF ⎳面EBC 1，∴面A 1FC ⎳面EBC 1，A 1C ⎳面EBC 1，A 正确；设点B 1到EBC 1距离为h ，V B 1-EBC 1=V C 1-EB 1B ，13×S EBC 1×h =13×S EB 1B ×B 1C 1，13×34×(2)2×h =13×12×1×1×1，h =13=33，B 正确；取A 1D 1中点为H ，连接HE ,HC ，∵HE ⎳BD ，∴异面直线EC 与BD 所成角大小等于EC 与HE 所成角大小,HE =52,EC =3,HC =212，cos ∠HEC =-1515，异面直线EC 与BD 所成角的余弦值为1515，D 正确.10.设PF 1 =m ,PF 2 =n ，内切圆半径为r ，∵S 1=S 2+S 33，∴12mr =12nr +12×2c ×r3，12m =12n +c 3，3m =3n +2c ，3(m -n )=2c ，∵m -n =2a ，∴6a =2c ,c a=3,e =311.切点P (a ,e a )，y =e x ，k =e a ，切线y -e a =e a (x -a ),e a x -y +(1-a )e a=0，∵切线与圆相切，∴d =r ，d =(2-a )e ae 2a +1=(2-a )e a e 2a +1，∴r =(2-a )e a e 2a +1令f (x )=(2-x )e x e 2x +1(x <2)，f (x )=(1-x )e x e 2x+1-2e 2x 2e 2x +1(2-x )e x (e 2x+1)2=(1-x )e x (e 2x +1)-(2-x )e 3x (e 2x+1)3=e x (-e 2x -x +1)(e 2x +1)3令f (x )=0，x =0，当x ∈(-∞,0)时，f (x )>0，当x ∈(0,2)时，f (x )<0.f (x )在(-∞,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减，f (x )max =f (0)=22=2r max =2，S max =π(r max )2=2π12.f (x )=3⋅1-cos2ωx 2+sin2ωx -3⋅1+cos2ωx2-1=-3cos2ωx +sin2ωx -1=212sin2ωx -32cos2ωx -1=2sin 2ωx -π3-1当sin 2ωx -π3=-1时，f (x )min =-3，①正确；若ω=1时，f (x )=2sin 2x -π3 -1，f (x )在-π12,5π12 上单调递增，②正确；y =sin x 无法通过上述变换得到y =2sin 2ωx -π3-1，③错误；∵存在互不相同的x 1,x 2,x 3∈[0,π]，使得f (x 1)+f (x 2)+f (x 3)=3，∴f (x )在[0,π]上至少有3个最大值点，π≥29π12ω，ω≥2912，④正确.二、填空题13.8；14.17190；15.9；16. 66.13.AP ⋅(PB +PC )=AP ⋅2PD =12AD ⋅AD =12AD 2=12×42=8.14.18k 0=k 012 t 5730，12 t5730=18=123，t 5730=3，t =17190.15.2p =4,p =2，1AF +1BF =2p =1，1AF +1BF =1AF +44BF ≥(1+2)2AF +4BF=9AF +4BF ，当且仅当1AF =24BF 时，取“=”，又∵1AF +1BF=1∴1≥9AF +4BF，AF +4BF ≥9.16.要使MN 取最小值，点N 必须与M ,O1,D 三点共面，设△ABC 外接圆半径为r ，球P 的半径为R ，2sin60°=232=43=2r ，r =23，O 1M =23，O 1P =66，PM =O 1M 2+O 1P 2=43+16=96=366，MN min =PM -R =366-63=66三、解答题17.(1)一辆中国新能源车的销售价格位于区间[5,35)的概率：0.22+0.4+0.17=0.79，2分中国新能源车的销售价格的众数为20 4分(2)随机变量X 的分布列X 0123P34310004411000189100027100010分E (X )=3×310=91012分18.(1)选①数列2S n n +n 的首项为2S 11+1=2a 1+1=5，2S nn+n =5+2(n -1)=2n +3，2S n =n 2+3n 2分若n =1时，2S 1=4,S 1=2,a 1=2； 3分若n ≥2时，2S n =n 2+3n ①2S n -1=(n -1)2+3(n -1)=n 2-2n +1+3n -3=n 2+n -2② 4分由②-①得，2a n =2n +2,a n =n +1(n ≥2)，a 1=2符合a n =n +1，∴a n =n +1(n ≥1). 6分选②b n =a n a n -1(n ≥2)，1b n+1a n =a n -1a n +1a n =1， 2分a n -1+1=a n ，a n -a n -1=1， 4分∴{a n }是一个以2为首项，1为公差的等差数列，a n =2+(n -1)×1=n +1 6分(2)c n =2n ⋅a n =2n (n +1)，T n =2×21+3×22+⋯+(n +1)×2n ③2T n =2×22+⋯+n ×2n +(n +1)×2n +1④由④-③ 9分得，T n =(n +1)⋅2n +1-4-(22+23+⋯+2n )=(n +1)×2n +1-4-4(1-2n -1)1-2=(n +1)×2n +1-4+4(1-2n -1)=n ×2n +1 12分19(1)证明：连接CO 1并延长交AB 于H ，连接O 2H ，O 2C ∵ΔABC 为底面圆O 1的内接正三角形，∴CH ⊥AB ,∵AB //DE ，∴CH ⊥DE ，∵四边形DEFG 为圆柱O 1O 2的轴截面，∴O 1O 2⊥圆面O 1，DE ⊂圆面O 1，∴O 1O 2⊥DE∵O 1O 2∩CH =O 1,∴DE ⊥平面CHO 2,∵DE //FG ,∴FG ⊥平面CHO 2，∴FG ⊥CO 2， 2分∵DG =42，DE =16，∴O 1C =8,O 1H =4,CH =12,O 1O 2=42，∴O 2C 2=O 1C 2+O 1O 22=96,O 2H 2=O 1H 2+O 1O 22=48∴O 2C 2+O 2H 2=CH 2，∴CO 2⊥O 2H , 4分∵HO 2∩FG =O 2,∴CO 2⊥平面ABFG 6分(2)由(1)知O 1O 2,CH ,DE 两两垂直，如图建立空间直角坐标系O 1-xyz ，则C (0,8,0)，F (8,0,42)，D (-8,0,0)，CF =(8,-8,42)，CD =(-8,-8,0)，设平面CFD 的法向量为n=(x ,y ,z )，则n ⋅CF=0n ⋅CD =0，(x ,y ,z )⋅(8,-8,42)=0(x ,y ,z )⋅(-8,-8,0)=0，可取n =(-1,1,22) 8分由(1)知平面ABFG 的法向量可取O 2C =n 1=(0,8,-42)，则∴cos ‹n ,n 1 ›=n ⋅n 1|n |⋅n 1=-1515 10分∴平面ABFG 与平面CFD 所成二面角的正弦值为2101512分20.解：(1)由已知得c a =22 c =1 a 2=b 2+c 2　∴a =2b =1,∴E :x 22+y 2=1 3分(2)由(1)知，点A (0，1)，过点A 作圆F 的切线，当其中一条斜率不存在时不合题意，可设切线方程为y =kx +1，圆F 的半径为r (0<r <2，且r ≠1)，得|k +1|k 2+1=r ,∴(1-r 2)k 2+2k +(1-r 2)=0设切线l 1,l 2的斜率分别为k 1,k 2，则k 1+k 2=-21-r 2,k 1k 2=1 5分由l 1：y =k 1x +1，令y =0得x B =-1k 1;由y =k 1x +1x 22+y 2=1得(2k 12+1)x 2+4k 1x =0,∴x P =-4k 12k 12+1 7分同理x c =-1k 2，x Q =-4k 22k 22+1S 1S 2=12|AB ||AC |sin A 12|AP ||AQ |sin A =1+k 211k 1 ⋅1+k 221k 21+k 214k 12k 12+1 1+k 224k 22k 22+1=4k 12k 22+2(k 12+k 22)+116=4+2[(k 1+k 2)2-2k 1k 2]+116=1+2×21-r 2 216=331610分∴r 2=12或32 11分∴圆F ：(x -1)2+y 2=12或(x -1)2+y 2=32 12分21.（1）f (x )=e x -2ax f (x )=e x -2a ∵0<2a ≤e∴令f (x )=e x -2a =0,解得x =ln2a∴f (x )=e x -2ax 在(-∞,ln2a )上单减，(ln2a ,+∞)单增 2分∴f (ln2a )=2a -2a ln2a =2a (1-ln2a )2a >0,ln2a ≤1∴f (x )≥f (ln2a )=2a (1-ln2a )≥0 4分∴命题得证（2）存在a ,使得e x -ax 2≥ln x +b 对于∀x ∈R 成立，⇔存在a ,使得e x -ln x -b ≥ax 2对于∀x ∈R 成立，由于ax 2>0，原题意的必要条件是e x -ln x >b ，对∀x ∈R 都成立设h (x )=e x -ln x ,h '(x )=e x -1x,∃x 0∈12,1 ，使得e x 0=1x 0，即-x 0=ln x 0∴h (x )在(0,x 0)是减函数，在(x 0,+∞)是增函数，其中e x 0=1x 0，即-x 0=ln x 0∴h (x )min =h (x 0)=e x 0-ln x 0, 6分显然h (x )min =e x 0-ln x 0<h (1)=e <3,由上图知，h (x )min =e x 0-ln x 0≥2, 8分∴对∀x ∈R ，e x -ln x >b 都成立的最大整数b 是2以下证明充分性，当b =2时，存在a ,使得e x -ax 2≥ln x +2恒成立，e x -ax 2≥ln x +2⇔e x -ln x -2x 2≥a ，由上证明知e x -ln x -2x 2存在大于0的正的最小值，故存在大于0的a ，使得e x -ln x -2x 2≥a 恒成立, 10分当b =3时，设φ(x )=e x -ln x -3x2,∵φ(1)=e -3<0,故对∀a >0,e x -ax 2≥ln x +3不恒成立 12分∴存在a ,使得f (x )≥g (x )+b 对于任意的x ∈R 成立，最大的整数b 的值是222.　解：(1)由ρ=22sin θ+π4得ρ2=2ρsin θ+2ρcos θ,∵ρ2=x 2+y 2,ρsin θ=y ,ρcos θ=x ,∴x 2+y 2=2x +2y ,即x −1 2+y −1 2=2,所以曲线C 的直角坐标方程为x −1 2+y −1 2=2. 4分(2)易知直线l 过点P 1,0 ,设直线倾斜角为α,则直线l 的参数方程为x =1+t cos α,y =t sin α,(t 为参数),代入x −1 2+y −1 2=2得t 2−2t sin α−1=0,易得Δ>0,设A ,B 对应的参数分别为t 1,t 2,则t 1+t 2=2sin α,t 1t 2=−1, 6分故PQ PA +PB =t 1+t 22 t 1 +t 2 =t 1+t 22 t 1-t 2 =t 1+t 2 2(t 1+t 2)2-4t 1t 2=sin α4sin 2α+4=13,解得sin 2α=45, 7分则cos 2α=15,tan 2α=4,∴tan α=±2, 9分∴. l 的斜率为±2. 10分23.已知函数f (x )=x −1 +x +3 .(1)求不等式f (x )≤6的解集；(2)f (x )≥a 2x +1 的解集包含0，2 ,求实数a 的取值范围.解(1)f (x )=x −1 +x +3 =2x +2,x >1,4,−3≤x ≤1,−2x −2,x <−3.当x >1时,由2x +2≤6得x ≤2,∴1<x ≤2,当−3≤x ≤1时,4≤6, ∴−3≤x ≤1,当x <−3时,−2x −2≤6,得x ≥−4,∴−4≤x <−3,∴不等式f (x )≤6的解集是x −4≤x ≤2 . 4分(2)由∀x ∈[0,2],f (x )≥a 2x +1 得①当x ∈0,1 时, 2x +1>0,4≥a (2x +1),,∴a ≤42x +1令g (x )=42x +1,x ∈0,1 ，则g x 在0,1 上单调递减，最小值为437分②当x ∈(1,2]时,即2x +2≥a (2x +1),∵2x +1>0,∴2x +22x +1≥a .令h x =2x +22x +1=1+12x +1,x ∈1,2 ,则h x 在1,2 上单调递减，最小值为h (2)=65,∴a ≤65, 10分综上，即a 的取值范围为−∞,65.。

高三数学第二次诊断性考试试题理扫描试题

制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅…… 日期：2022年二月八日。

实验中学2021届高三第二次诊断性考试理科数学试题参考答案2021．10说明：试题分为第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，第一卷为第1页至第*页，第二卷为第*页至第*页。

试题答案请需要用2B 铅笔或者签字笔填涂到答题卡规定的指定正确位置上，书写在试题上之答案无效。

考试时间是是120分钟。

第一卷〔一共50分〕一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分．在每一小题列出的四个选项里面，选出符合题目要求的一项．1． D D B A A 6． C A B D D第二卷〔非选择题，一共100分〕二、填空题：本大题一一共5小题，每一小题5分，一共25分． 11． 2 12．62 13． 49 14． 5π615．－10 三、解答题：本大题一一共6小题，一共75分．解容许写出文字说明，演算步骤或者证明过程 16．〔本小题满分是12分〕解： (1)由2a sin B ＝3b 及正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝32. 4因为A 是锐角，所以A ＝π3.6(2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋c 2－bc ＝36. 又b ＋c ＝8，所以bc ＝283.10由三角形面积公式S ＝12bc sin A ，得△ABC 的面积为733.1217．〔本小题满分是12分〕函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标；解：(1)可断定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上．∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1， 1∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13.3∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32.6(2)设切点为(x 0，y 0)，那么直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，又∵直线l 过点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2. 8∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k ＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．1218．〔本小题满分是12分〕解： (1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋ 2.2因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0，从而有2π2ω＝π，故ω＝1.6(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋ 2.假设0≤x ≤π2，那么π4≤2x ＋π4≤5π4. 7当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增；当π2≤2x ＋π4≤5π4，即π8≤x ≤π2时，f (x )单调递减．综上可知，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上单调递减．1219．〔本小题满分是12分〕[解答] (1) f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－π12＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝2cos π4＝1.5(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝ 2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3－π12＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝cos 2θ－sin 2θ.7因为cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，所以sin θ＝－45.8所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－2425，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝－725.10所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝cos 2θ－sin 2θ＝－725－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425＝1725.1220．〔本小题满分是13分〕设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax .(1)假设f (x )在(23，＋∞)上存在单调递增区间，求a 的取值范围；(2)当0＜a ＜2时，f (x )在[1,4]上的最小值为－163，求f (x )在该区间上的最大值．解：(1)由f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－(x －12)2＋14＋2a ，2当x ∈[23，＋∞)时，f ′(x )的最大值为f ′(23)＝29＋2a ；令29＋2a ＞0，得a ＞－19.6所以，当a ＞－19时，f (x )在(23，＋∞)上存在单调递增区间．(2)令f ′(x )＝0，得两根x 1＝1－1＋8a 2，x 2＝1＋1＋8a2.所以f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增． 7 当0＜a ＜2时，有x 1＜1＜x 2＜4，所以f (x )在[1,4]上的最大值为f (x 2)，9又f (4)－f (1)＝－272＋6a ＜0，即f (4)＜f (1)．所以f (x )在[1,4]上的最小值为f (4)＝8a －403＝－163.11 得a ＝1，x 2＝2，12 从而f (x )在[1,4]上的最大值为f (2)＝103.1321．〔本小题满分是14分〕假设函数y ＝f (x )在x ＝x 0处获得极大值或者极小值，那么称x 0为函数y ＝f (x )的极值点．a ，b 是实数，1和－1是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点． (1)求a 和b 的值；(2)设函数g (x )的导函数g ′(x )＝f (x )＋2，求g (x )的极值点；(3)设h (x )＝f (f (x ))－c ，其中c ∈[－2,2]，求函数y ＝h (x )的零点个数．解：(1)由题设知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，且f ′(－1)＝3－2a ＋b ＝0，f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，解得a ＝0，b ＝－3.4(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x .因为f (x )＋2＝(x －1)2(x ＋2)，所以g ′(x )＝0的根为x 1＝x 2＝1，x 3＝－2，于是函数g (x )的极值点只可能是1或者－2.当x ＜－2时，g ′(x )＜0；当－2＜x ＜1时，g ′(x )＞0，故－2是g (x )的极值点．当－2＜x ＜1或者x ＞1时，g ′(x )＞0，故1不是g (x )的极值点．所以g (x )的极值点为－2.8(3)令f (x )＝t ，那么h (x )＝f (t )－c .先讨论关于x 的方程f (x )＝d 根的情况，d ∈[－2,2]．当|d |＝2时，由(2)可知，f (x )＝－2的两个不同的根为1和－2，注意到f (x )是奇函数，所以f (x )＝2的两个不同的根为－1和2. 9当|d|＜2时，因为f(－1)－d＝f(2)－d＝2－d＞0，f(1)－d＝f(－2)－d＝－2－d<0，所以－2，－1,1,2都不是f(x)＝d的根．由(1)知f′(x)＝3(x＋1)(x－1)．①当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，于是f(x)是单调增函数，从而f(x)＞f(2)＝2，此时f(x)＝d无实根．同理，f(x)＝d在(－∞，－2)上无实根．②当x∈(1,2)时，f′(x)＞0，于是f(x)是单调增函数，又f(1)－d＜0，f(2)－d＞0，y＝f(x)－d的图像不连续，所以f(x)＝d在(1,2)内有唯一实根．同理，f(x)＝d在(－2，－1)内有唯一实根．③当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0，故f(x)是单调减函数，又f(－1)－d＞0，f(1)－d＜0，y＝f(x)－d 的图像不连续，所以f(x)＝d在(－1,1)内有唯一实根．由上可知：当|d|＝2时，f(x)＝d有两个不同的根x1，x2满足|x1|＝1，|x2|＝2；当|d|＜2时，f(x)＝d有三个不同的根x3，x4，x5满足|x i|＜2，i＝3,4,5.现考虑函数y＝h(x)的零点．(ⅰ)当|c|＝2时，f(t)＝c有两个根t1，t2满足|t1|＝1，|t2|＝2，而f(x)＝t1有三个不同的根，f(x)＝t2有两个不同的根，故y＝h(x)有5个零点．(ⅱ)当|c|＜2时，f(t)＝c有三个不同的根t3，t4，t5满足|t i|＜2，i＝3,4,5，而f(x)＝t i(i＝3,4,5)有三个不同的根，故y＝h(x)有9个零点．综上可知，当|c|＝2时，函数y＝h(x)有5个零点；当|c|＜2时，函数y＝h(x)有9个零点．制卷人：打自企；成别使；而都那。

高三数学理科第二次诊断性考试卷试题

渝东片区高2021级高三数学理科第二次诊断性考试卷制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日数学试题〔理科〕分选择题和非选择题两局部。

满分是150分，考试时间是是为120分钟。

参考公式：假如事件A B 、互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 假如事件A B 、互相HY ，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅假如事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次HY 重复试验中恰好发生k 次的概率()()1n kk kn n P k C P P -=-第一局部〔选择题一共50分〕一、选择题〔此题一共10个小题，每一小题5分，一共50分〕在每一小题给出的四个备选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。

请将正确答案前的番号填在答题卡相应位置上。

1、假设()2,1P -为圆()22125x y -+=的弦AB 的中点，那么直线AB 的方程为 A ．230x y +-= B ．30x y --= C ．10x y +-= D ．250x y --=2、设复数z 1z等于A 12i - B 12iC ．12D ．12+3、在ABC ∆中，lgsin ,lgsin ,lgsin A B C 成等差数列，是三边,,a b c 成等比数列的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件4、()f x 是定义在R 的奇函数，当0x <时，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，那么()()1108f f --+-的值是A ．2B ．3C ．3-D ．2-5、设i j , 是平面直角坐标系〔坐标原点为O 〕内分别与x 轴、y 轴方向一样的两个单位向量，且42,34OA i j OB i j =+=+ ，那么OAB ∆的面积等于A ．15B ．10C ．D ．56、在直二面角l αβ--中，直线a α⊂，直线,,b a b β⊂与l 斜交，那么A ．a 不能和b 垂直，a 也不能和b 平行B ．a 可能和b 垂直，也可能a ∥bC ．a 不能和b 垂直，但可能a ∥bD ．a 不能和b 平行，但可能a b ⊥ 7、假设抛物线的顶点坐标是()1,0M ，准线l 的方程是220x y --=，那么抛物线的焦点坐标为A ．62,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．62,55⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．42,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．42,55⎛⎫- ⎪⎝⎭8、某商店方案投入资金20万元经销甲或者乙两种商品，经销甲商品与乙商品所获得的总利润分别为P 和Q 〔万元〕，且它们与投入资金x 〔万元〕的关系是：),04x P Q a ==> ；假设不管资金如何投放，经销这两种商品或者其中之一种所获得的利润总不小于5万元，那么a 的最小值应为A ．．5 D ．9、假如消息A 发生的概率为()P A ，那么消息A 所含的信息量为()()21log I A P A =。

高三数学联合诊断性考试(第二次)(理)

高三数学联合诊断性考试(第二次)(理)数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

共150分，考试时刻120分钟。

第Ⅰ卷(选择题，共50分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。

3．考试终止，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

一、选择题：（本大题10个小题，每小题5分，共50分）各题答案必需答在答题卡上。

1．已知复数1212,1z i z i =+=-，则12.z z z =在复平面对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2. 等差数列{}n a 中，已知573916,4,a a a a +===则（） A ．8 B ．12 C ． 24 D ．253.某市组织了一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数2(80)200()((,)x f x ex -=∈-∞+∞，则下列命题不正确的是（）A ．该市这次考试的数学平均成绩为80分B ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C ．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D ．该市这次考试的数学标准差为104. 设,,αβγ为互不相同的三个平面，,,l m n 为不重合的三条直线，则l β⊥的一个充分不必要条件是（） A ． ,,l αγβγαγ⊥⊥= B ． ,,m l m αβαβ⊥=⊥C ． ,,m m l αβα⊥⊥⊥D ． ,,l αγβγα⊥⊥⊥5. 已知在平面直角坐标系中，1(0,0),(1,),(0,1),(2,3)2O M N Q 若动点(,)P x y 满足不等式01,01,OP OM OP ON OP OQ ≤⋅≤≤⋅≤⋅则的最大值为（）A ．2B ．C ．4D ．86．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条准线与两条渐近线交于,A B 两点，相应的焦点为F ，若AB 为直径的圆恰好过F 点，则双曲线的离心率为（）A B ．3C D ．2 7．点(2,1)P --到直线:(13)(12)25l x y λλλ+++=+的距离为d ，则d 的取值范畴是（）A ．0d ≤<B ．0d ≥C ．d >D ．d ≥8|2sin3|x =的实根个数是（）A ．4B ． 6C ．8D ．129. 已知函数()y f x =∞∞的定义域为(-,-3)(3,+)，且满足条件：224936x y -=,其中0xy <。

贵州省毕节市2022届高三下学期诊断性考试(二)数学(理)试题(1)

一、单选题二、多选题1. 已知双曲线（，）与椭圆有共同焦点，且双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为A．B．C．D．2. 已知甲、乙两组按从小到大顺序排列的数据：甲组：14，30，37，，41，52，53，55，58，80；乙组：17，22，32，，45，47，51，59．若甲组数据的第30百分位数和乙组数据的中位数相等，则等于（）A ．7B ．8C ．9D ．103.已知函数，下列对于函数性质的描述，错误的是（）A ．是的极小值点B．的图象关于点对称C．有且仅有三个零点D ．若区间上递增，则的最大值为4. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列正确的结论是（）A ．若，，，则B ．若，，，则C ．若，，则D ．若，，，则5. 若集合A=，B=，则（）A．B．C．D．6. 如图，在中，是的中点，若，则（）A．B ．1C．D．7. 已知函数的图象关于点对称，则（）A ．在单调递增B ．直线是曲线的一条对称轴C ．直线是曲线的一条切线D ．在有两个极值点8. 已知，则（）A．B．C．D．9. 设a ，b 是两条不重合的直线，，，是三个不同的平面．下列四个命题中，正确的是（）A ．若，，则B ．若，，则C ．若，，则D ．若，，则10. 如图，AC 为圆锥SO 底面圆O 的直径，点B 是圆O 上异于A ，C的点，，则下列结论正确的是（）贵州省毕节市2022届高三下学期诊断性考试（二）数学（理）试题(1)贵州省毕节市2022届高三下学期诊断性考试（二）数学（理）试题(1)三、填空题四、解答题A ．圆锥SO的侧面积为B ．三棱锥S -ABC体积的最大值为C．的取值范围是D ．若AB =BC ，E 为线段AB 上的动点，则SE +CE的最小值为11. 已知双曲线：（，），的左、右焦点分别为，，为上一点，则以下结论中，正确的是（）A ．若，且轴，则的方程为B．若的一条渐近线方程是，则的离心率为C ．若点在的右支上，的离心率为，则等腰的面积为D ．若，则的离心率的取值范围是12. 存在函数，对任意都有，则函数不可能为（）A ．B．C．D．13.当函数取得最大值时，x=___________.14.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是____________________15. 已知双曲线的右焦点为，直线与相交于两点，若（为坐标原点），则的离心率为___________.16. 已知椭圆，离心率，它的长轴长等于圆的直径.(1)求椭圆的方程；(2)若过点的直线交椭圆于两点，是否存在定点，使得以为直径的圆经过这个定点，若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由？17. 某市为了缓解交通压力，提倡低碳环保，鼓励市民乘坐公共交通系统出行.为了更好地保障市民出行，合理安排运力，有效利用公共交通资源合理调度，在某地铁站点进行试点调研市民对候车时间的等待时间（候车时间不能超过20分钟），以便合理调度减少候车时间，使市民更喜欢选择公共交通.为此在该地铁站的一些乘客中进行调查分析，得到如下统计表和各时间段人数频率分布直方图：分组等待时间（分钟）人数第一组，10第二组，第三组，30第四组，10（1）求出的值，要在这些乘客中用分层抽样的方法抽取人，在这个人中随机抽取人至少一人来自第二组的概率；（2）从这人中随机抽取人进行问卷调查，设这个人共来自个组，求的分布列及数学期望.18. 已知正实数满足．求证：(1)；(2)．19. 如图，四棱锥中，平面，四边形为正方形，点M、N分别为直线上的点，且满足．（1）求证：平面；（2）若，，求点到平面的距离．20. 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且.(1)求椭圆的方程；(2)过点斜率不为0的直线交椭圆于P，Q两点，记直线与直线的斜率分别为，，当时，求：①直线的方程；②的面积.21.已知函数．（1）求函数的最小正周期和严格增区间；（2）函数图像可以由函数的图象经过怎样的变换得到？。

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高三数学第二次诊断性考试试题（理
科）
作者:
--------------- 日期：
四川省乐山市高中
2011届高三第二次诊断性考试
数学试题(理科)
本试卷分第I卷(选择题)和第H卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120
分钟。

第I卷(选择题，共60分)
注意事项：
1 •答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用钢笔和4B或5B
铅笔写、涂写在答题卡上。

2 •每小题选出答案后，用4B或5B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需
改动，用橡皮擦擦干净后，再涂选其它答案，不准答在试题单上。

3 •考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

4 .参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P(A B) P(A) P(B)
如果事件A、B相互独立，那么P(A B) P(A) P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么n次独立重复试验中恰好发生k次的
k k n k
概率P n(k) C n P (1 P).
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。

2 1.已知复数z 1 i,则-
z
B . Acos( x )的递减区间是
[2 k —,2k
4
[k4‘k 2i D . -2
2 .设全集为集合M{x|x 2}, N {x| 2 小
x 3x 10 0｝，则下列关系中正确的
A. M=N D . (C u M ) N
3 •设a 0,
1
0,若是log2 a与log2 b的等差中项，则
1的最小值为
b
2
2
4 . 已知命题p 2
对任意x R,2x 2x 1 0 ；命题q : 存在x R,sin x cosx .2，则下列判断：①p且q是真命题；② p或q是真命题;
③q是假命题；④p是真命题，其中正确的是
A .①④
()
B .②③
C .③④
D .②④
5 .函数y Acos( x )(A 0, 0,| | -)的图象如下图所示，则
[2 k -,2k
4 5-],k z 4
[k 8飞8],k
6 .已知函数f (x)
log3 (x
2x4,x
1),x 4的反函数是f
1(x)，且f 冷a,则f(a 7)等
A . 1
7.将编号为①②③④的四
个小球放到三个不同的盒子内，每个盒子至少放一个小球，且编号为①②的小球不能放到同一个盒子里，则不同放法
的种数为
C . -2
B . -1
A • 24
B • 18
C • 30
D • 36
8•如图，在四边形
ABCD 中，AB
2AD 1,AC
3且 CAB , BAD 2 6
3
uuur 设AC uuu
AB
uuir AD,则
()
A • 4
B • -4
C • -2
D • 6
9 •某工艺品厂为一次大型博览会生产甲、乙两种型号的纪念品，所用的主要原料为
A 、B
两种贵重金属，已知生产一套甲型纪念品需用原料 A 和原料B 的量分别为4盒和3
盒，生产一套乙型纪念品需用原料
A 和原料
B 的量分别为5盒和10盒，若甲型纪
念品每套可获利 700元，乙型纪念品每套可获利
A 、
B 的量分别为200盒和300盒，厂月利润最大？
第H 卷（非选择题，共90 分）
注意事项:
1200元，该厂月初一次性购进原料
则该厂生产甲、乙两种纪念品各多少套才能使该
10 A • 19 , 25
.已知三棱锥 PA=PB=PC=2 B • 20 , 24
P — ABC 的底面是以则该
三棱锥的外接球面上,
（）
C • 21 , 23
D • 22 , 22 AB 为斜边的等腰直角三角形，且
P 、A 两点的球面距离是
AB=2 ，
11 •长为11的线段 AB 的两端点都在双曲线9
2
W 1的右支上，则AB 中点
M 的横
12 坐标的最小值为 7 A •
5
51
B •
10
33 10
•对于实数X , 定义［x ］表示不超过x 大整数，已知正数数列｛a n ｝
满足：
a 1 1,S n
1 2(a
n
丄），其中S n 为
a n
数列｛a n ｝的前n 项的和，则
［右
1
S 2
S 100
A • 20
B • 19 18
D • 17
1 •第II 卷用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。

2 •答卷前将密封线内的项目填写清楚。

二、填空题：本大题共 4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。

8 2 8 亠
13 •设（x a ） a 。

a ?x L a $x ，若 a 6 6，则实数 a 的值为_。

1
14 •等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n , ai 0,若lim S n
,则a 1的取值范围为。

n
3
15 .如图，在棱长为 2a 的正方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱 A 1B 1、B 1C 1的
中点，则点C 到面BMN 的距离为 ________ 。

2 2
16 .已知集合 M { f (x) | f (x) f (y) f (x
y) f(x
y), x,y
R ｝,有下列命
题：
①若 f'x)
1,x 0,
则 f 1(x) M ；
1,x 0,
②若
f 2
（X
）
sin x ，则 f 2 (x) M ；
③若 f(x) M , y f （x ）的图象关于原点对称；
④若 f(x)
M ，则对任意不等的实数捲、X 2,
总有
f,x) X 1 f 2(x) X 2
0 ；
⑤若f （x ） M ，则对任意的实数为、X 2，总有fd x 2）
2
其中是正确的命题有 ______ 。

（写出所有正确命题的编号）
三、解答题：本大题共 6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。

17 .（本题满分12分）
如图，在平面直角坐标系
xoy 中，点 A 在x 轴的正半轴上，直线
AB 的倾斜角为
3 uuu
3
_4，|OB| 2,设 AOB ,
（?，~4）.
um
（1 ）用有示点B 的坐标及| OA | ；
uuu uuu
(2)求OA OB 的范围。

h(x) f 2(x)
2
18 .(本题满分12分)
在如图所示的几何体中，
AE 平面ABC , CD//AE ,
F 是 BE 的中点，AC=BC=1 , ACB 90 , AE 2CD 2. (1 )证明DF 平面ABE ;
(2 )求二面角 A — BD — E 的余弦值。

19 .(本小题满分12分)
某校在招收体育特长生时，须对报名学生进行三个项目的测试，规定三项都合格者才
1 能录取，假定每项测试相互独立，学生 A 各项测试合格的概率组成一个公差为
的等
8
1 差数列，且第一项测试不合格的概率超过
，第一项测试不合格但第二项测试合格概
2
9 率为—. 32
(1 )求学生A 被录取的概率； (2)求学生A 测试合格的项数
的分布列和数学期望。

20 .(本题满分12分)
*
3
3 3
3
2
设数列｛a n ｝的各项都是正数，且对任意 n N ,都有印 a 2 a ? L a . S n ,
其中S n 为数列｛a n ｝的前n 项和。

2 (1 )求证：a n
2S n a n ；
(2)求数列｛a n ｝的通项公式； (3 )设b n 3n ( 1)n1
2an (为非零整数，n
任意n N *，都有b n 1 b n 成立。

21 .(本题满分12分)
2
已知椭圆C : X 2 — 1的焦点在y 轴上，且离心率为
m
椭圆C 相交于A 、B 两点。

(1 )求椭圆C 的方程； uur uuu
(2 )设点P 为椭圆上一点，且满足OA OB
uun uuu
| PA PB | ■. 3时，求实数
的取值范围。

22 .(本题满分14分)
设 f(x) Inx,g(x) px - 2f(x),且 g(e) qe —
2,(e 为自然对数的底
x
e
数)。

(1 )求p 与q 的关系； (2)若g(x)在其定义域内为单调函数，求
p 的取值范围。

(3)证明：
① f(1 x)
x(x 1)；试确定的值，使得对
过点M (0,3)的直线l 与
uu u OP
O 为坐标原点)，
J n2
In
3, In n2n
2
n 1 ,
小
②r L —(n N,n 2) 2232n4( n1)。