高三数学第二次诊断性考试试题(理科)

高三数学第二次诊断性考试试题（理
科）
作者:
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四川省乐山市高中
2011届高三第二次诊断性考试
数学试题(理科)
本试卷分第I卷(选择题)和第H卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120
分钟。

第I卷(选择题，共60分)
注意事项：
1 •答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用钢笔和4B或5B
铅笔写、涂写在答题卡上。

2 •每小题选出答案后，用4B或5B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需
改动，用橡皮擦擦干净后，再涂选其它答案，不准答在试题单上。

3 •考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

4 .参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P(A B) P(A) P(B)
如果事件A、B相互独立，那么P(A B) P(A) P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么n次独立重复试验中恰好发生k次的
k k n k
概率P n(k) C n P (1 P).
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。

2 1.已知复数z 1 i,则-
z
B . Acos( x )的递减区间是
[2 k —,2k
4
[k4‘k 2i D . -2
2 .设全集为集合M{x|x 2}, N {x| 2 小
x 3x 10 0｝，则下列关系中正确的
A. M=N D . (C u M ) N
3 •设a 0,
1
0,若是log2 a与log2 b的等差中项，则
1的最小值为
b
2
2
4 . 已知命题p 2
对任意x R,2x 2x 1 0 ；命题q : 存在x R,sin x cosx .2，则下列判断：①p且q是真命题；② p或q是真命题;
③q是假命题；④p是真命题，其中正确的是
A .①④
()
B .②③
C .③④
D .②④
5 .函数y Acos( x )(A 0, 0,| | -)的图象如下图所示，则
[2 k -,2k
4 5-],k z 4
[k 8飞8],k
6 .已知函数f (x)
log3 (x
2x4,x
1),x 4的反函数是f
1(x)，且f 冷a,则f(a 7)等
A . 1
7.将编号为①②③④的四
个小球放到三个不同的盒子内，每个盒子至少放一个小球，且 编号为①②的小球不能放到同一个盒子里，则不同放法
的种数为
C . -2
B . -1
A • 24
B • 18
C • 30
D • 36
8•如图，在四边形
ABCD 中，AB
2AD 1,AC
3且 CAB , BAD 2 6
3
uuur 设AC uuu
AB
uuir AD,则
()
A • 4
B • -4
C • -2
D • 6
9 •某工艺品厂 为一次大型博览会生产甲、乙两种型号的纪念品，所用的主要原料为
A 、B
两种贵重金属，已知生产一套甲型纪念品需用原料 A 和原料B 的量分别为4盒和3
盒，生产一套乙型纪念品需用原料
A 和原料
B 的量分别为5盒和10盒，若甲型纪
念品每套可获利 700元，乙型纪念品每套可获利
A 、
B 的量分别为200盒和300盒， 厂月利润最大？
第H 卷（非选择题，共90 分）
注意事项:
1200元，该厂月初一次性购进原料
则该厂生产甲、乙两种纪念品各多少套才能使该
10 A • 19 , 25
.已知三棱锥 PA=PB=PC=2 B • 20 , 24
P — ABC 的底面是以 则该
三棱锥的外接球面上,
（）
C • 21 , 23
D • 22 , 22 AB 为斜边的等腰直角三角形，且
P 、A 两点的球面距离是
AB=2 ，
11 •长为11的线段 AB 的两端点都在双曲线9
2
W 1的右支上，则AB 中点
M 的横
12 坐标的最小值为 7 A •
5
51
B •
10
33 10
•对于实数X , 定义［x ］表示不超过x 大整数，已知正数数列｛a n ｝
满足：
a 1 1,S n
1 2(a
n
丄），其中S n 为
a n
数列｛a n ｝的前n 项的和，则
［右
1
S 2
S 100
A • 20
B • 19 18
D • 17
1 •第II 卷用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。

2 •答卷前将密封线内的项目填写清楚。

二、填空题：本大题共 4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。

8 2 8 亠
13 •设（x a ） a 。

a ?x L a $x ，若 a 6 6，则实数 a 的值为_。

1
14 •等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n , ai 0,若lim S n
,则a 1的取值范围为 。

n
3
15 .如图，在棱长为 2a 的正方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱 A 1B 1、B 1C 1的
中点，则点C 到面BMN 的距离为 ________ 。

2 2
16 .已知集合 M { f (x) | f (x) f (y) f (x
y) f(x
y), x,y
R ｝,有下列命
题：
①若 f'x)
1,x 0,
则 f 1(x) M ；
1,x 0,
②若
f 2
（X
）
sin x ，则 f 2 (x) M ；
③若 f(x) M , y f （x ）的图象关于原点对称；
④若 f(x)
M ，则对任意不等的实数捲、X 2,
总有
f,x) X 1 f 2(x) X 2
0 ；
⑤若f （x ） M ，则对任意的实数 为、X 2，总有fd x 2）
2
其中是正确的命题有 ______ 。

（写出所有正确命题的编号）
三、解答题：本大题共 6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。

17 .（本题满分12分）
如图，在平面直角坐标系
xoy 中，点 A 在x 轴的正半轴上，直线
AB 的倾斜角为
3 uuu
3
_4，|OB| 2,设 AOB ,
（?，~4）.
um
（1 ）用有示点B 的坐标及| OA | ；
uuu uuu
(2)求OA OB 的范围。

h(x) f 2(x)
2
18 .(本题满分12分)
在如图所示的几何体中，
AE 平面ABC , CD//AE ,
F 是 BE 的中点，AC=BC=1 , ACB 90 , AE 2CD 2. (1 )证明DF 平面ABE ;
(2 )求二面角 A — BD — E 的余弦值。

19 .(本小题满分12分)
某校在招收体育特长生时，须对报名学生进行三个项目的测试，规定三项都合格者才
1 能录取，假定每项测试相互独立，学生 A 各项测试合格的概率组成一个公差为
的等
8
1 差数列，且第一项测试不合格的概率超过
，第一项测试不合格但第二项测试合格概
2
9 率为—. 32
(1 )求学生A 被录取的概率； (2)求学生A 测试合格的项数
的分布列和数学期望。

20 .(本题满分12分)
*
3
3 3
3
2
设数列｛a n ｝的各项都是正数，且对任意 n N ,都有印 a 2 a ? L a . S n ,
其中S n 为数列｛a n ｝的前n 项和。

2 (1 )求证：a n
2S n a n ；
(2)求数列｛a n ｝的通项公式； (3 )设b n 3n ( 1)n1
2an (为非零整数，n
任意n N *，都有b n 1 b n 成立。

21 .(本题满分12分)
2
已知椭圆C : X 2 — 1的焦点在y 轴上，且离心率为
m
椭圆C 相交于A 、B 两点。

(1 )求椭圆C 的方程； uur uuu
(2 )设点P 为椭圆上一点，且满足OA OB
uun uuu
| PA PB | ■. 3时，求实数
的取值范围。

22 .(本题满分14分)
设 f(x) Inx,g(x) px - 2f(x),且 g(e) qe —
2,(e 为自然对数的底
x
e
数)。

(1 )求p 与q 的关系； (2)若g(x)在其定义域内为单调函数，求
p 的取值范围。

(3)证明：
① f(1 x)
x(x 1)； 试确定 的值，使得对
过点M (0,3)的直线l 与
uu u OP
O 为坐标原点)，
J n2
In
3, In n2n
2
n 1 ,
小
②r L —(n N,n 2) 2232n4( n1)。