第三节：taylor公式第四节函数的单调性与凹凸性
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f (x0 ) f (x0 )
p1(x)
o x0 x
x
以直代曲
如何提高精度 ? 需要解决的问题
如何估计误差 ?
1.求 n 次多项式
近似等于 f (x) 要求:
令 pn (x) a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 an (x x0 )n
则 pn (x)
a1 2a2(x x0) n an (x x0 )n1
当在 x0 的某邻域内 f (n1) (x) M 时
Rn (x)
M (n 1)!
x
x0
n1
Rn (x) o((x x0 )n ) (x x0 )
泰勒中值定理 :
阶的导数 , 则当
时, 有
f
(x0 )
f
(x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) (x0 n!
)
(
x
x0
由此得近似公式
若在f (公xf) (式x)成f(立xf0(的)0)区f 间(fx上0(0)()xfx(n1x)f0()x2()!0)fxM22(,x!0) (xfx(0nn))!(20)
xn
则有f误(nn)差(!x估0 )计(x式 x0
)n
Rn
f((x(nn)1)1()(!n) M((x1)在!x0xx)0nn与11
(2m 2) !
x2m2
(0 1)
f (k) (x) ( 1)( k 1)(1 x)k
f (k) (0) ( 1)( k 1) (k 1,2,)
(1 x) 1 x ( 1) x2
2!
( 1)( n 1)
n!
xn Rn (x)
其中
Rn (x)
(
1)(
(n 1) !
n) (1
f
特例:
(n) (x0 n!
)
(
x
x0
)n
f (n1) ( )
(n 1) !
(x
(
x0 )n1
在 x0 与x
之间)
(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变给为出拉格朗日中值定理
f (x) f (x0 ) f ( )(x x0 )
( 在 x0 与x 之间)
(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为
第三节 泰勒 ( Taylor )公式
用多项式近似表示函数— 应用
一、泰勒公式的建立
理论分析 近似计算
二、几个初等函数的麦克劳林公式
三、泰勒公式的应用
一、泰勒公式的建立
在微分应用中已知近似公式 :
y f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 )
y f (x)
特点:
x 的一次多项式
pn (x)
2 !a2 n(n 1)an (x x0 )n2
pn(n) (x)
n!an
a0 pn (x0 ) f (x0 ),
a1 pn (x0) f (x0),
a2
1 2!
pn
(
x0
)
1 2!
f
( x0 ) ,,an
1 n!
pn(n)
(
x0
)
1 n!
f
(n) (x0 )
故
pn (x)
sin
x
x
x3 3!
x5 5!
(1)m1 x2m1 (2m 1) !
R2m (x)
其中 R2m (x)
s(in1()mxcos2(m2x1) ) x2m1
(2m 1) !
(0 1)
类似可得
cos x
1 x2 2!
x4 4!
(1)m
x2m (2m)
!
R2m1
(
x)
其中
R2m1(x)
(1)m1 cos( x)
f
(x)
f
(x0 )
f
(x0 )(x x0 )
f
( ) (x
2!
x0 )2
可见
( 在 x0 与x 之间)
误差
( 在 x0 与x 之间) d f
在泰勒公式中若取 x0 0 , x (0 1) , 则有
f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
2!
n!
称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 .
f (x0 )
f
(x0)(x
x0 )
1 2!
f
(x0)(x
x0 )2
1 n!
f (n) (x0 )(x x0 )n
2. 余项估计
令 Rn (x) f (x) pn (x)(称为余项) , 则有
Rn (x0 ) Rn (x0 ) Rn(n) (x0 ) 0 Rn (x)
(x x0 )n1
x) n1 xn1
(0 1)
三、泰勒公式的应用
1. 在近似计算中的应用
f (x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
2!
n!
误差
Rn (x)
M (n 1) !
x
n1
M 为 f (n1) (x) 在包含 0 , x 的某区间上的上
Rn(n1) ( )
(n 1) !
( 在 x0 与xn 之间)
Rn (x) f (x) pn (x)
( 在 x0 与x 之间)
pn(n1) (x) 0, Rn(n1) (x) f (n1) (x)
Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1) !
(
x
x0
)n1
( 在 x0 与x 之间)
Rn (x) Rn (x0 ) (x x0 )n1 0
(n
Rn (1) 1)(1
x0
)n
(1 在 x0 与x 之间)
Rn (1) Rn (x0 ) (n 1)(1 x0 )n 0
Rn(2 ) (n 1)n(2 x0 )n1
(2 在 x0 与 1 之间)
(n
Rn(n) (n ) Rn(n) (x0 ) 1)2(n x0 ) 0
xБайду номын сангаас
之间)
二、几个初等函数的麦克劳林公式
f (k) (x) ex , f (k) (0) 1 (k 1, 2,)
ex
1
x
x2 2!
x3 3!
xn n!
Rn (x)
其中
f (k) (x) sin(x k )
2
f
(k)
(0)
sin
k
2
0, (1)m1
,
k 2m (m 1,2,) k 2m 1
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(
n) (x0 n!
)
(
x
x0
)n
o[(x x0 )n ]
④
公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .
* 可以证明:
④ 式成立
f
(x) f
(x0 )
f (x0 )(x x0 )
f (x0 ) (x 2!
x0 )2
)
n
Rn
(
x)
①
其中 Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1) !
(
x
x0
)n1
( 在 x0 与x 之间) ②
公式 ① 称为 的 n 阶泰勒公式 .
公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .
注意到 Rn (x) o[(x x0 )n ]
③
在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为
f (x0 )
p1(x)
o x0 x
x
以直代曲
如何提高精度 ? 需要解决的问题
如何估计误差 ?
1.求 n 次多项式
近似等于 f (x) 要求:
令 pn (x) a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 an (x x0 )n
则 pn (x)
a1 2a2(x x0) n an (x x0 )n1
当在 x0 的某邻域内 f (n1) (x) M 时
Rn (x)
M (n 1)!
x
x0
n1
Rn (x) o((x x0 )n ) (x x0 )
泰勒中值定理 :
阶的导数 , 则当
时, 有
f
(x0 )
f
(x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) (x0 n!
)
(
x
x0
由此得近似公式
若在f (公xf) (式x)成f(立xf0(的)0)区f 间(fx上0(0)()xfx(n1x)f0()x2()!0)fxM22(,x!0) (xfx(0nn))!(20)
xn
则有f误(nn)差(!x估0 )计(x式 x0
)n
Rn
f((x(nn)1)1()(!n) M((x1)在!x0xx)0nn与11
(2m 2) !
x2m2
(0 1)
f (k) (x) ( 1)( k 1)(1 x)k
f (k) (0) ( 1)( k 1) (k 1,2,)
(1 x) 1 x ( 1) x2
2!
( 1)( n 1)
n!
xn Rn (x)
其中
Rn (x)
(
1)(
(n 1) !
n) (1
f
特例:
(n) (x0 n!
)
(
x
x0
)n
f (n1) ( )
(n 1) !
(x
(
x0 )n1
在 x0 与x
之间)
(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变给为出拉格朗日中值定理
f (x) f (x0 ) f ( )(x x0 )
( 在 x0 与x 之间)
(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为
第三节 泰勒 ( Taylor )公式
用多项式近似表示函数— 应用
一、泰勒公式的建立
理论分析 近似计算
二、几个初等函数的麦克劳林公式
三、泰勒公式的应用
一、泰勒公式的建立
在微分应用中已知近似公式 :
y f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 )
y f (x)
特点:
x 的一次多项式
pn (x)
2 !a2 n(n 1)an (x x0 )n2
pn(n) (x)
n!an
a0 pn (x0 ) f (x0 ),
a1 pn (x0) f (x0),
a2
1 2!
pn
(
x0
)
1 2!
f
( x0 ) ,,an
1 n!
pn(n)
(
x0
)
1 n!
f
(n) (x0 )
故
pn (x)
sin
x
x
x3 3!
x5 5!
(1)m1 x2m1 (2m 1) !
R2m (x)
其中 R2m (x)
s(in1()mxcos2(m2x1) ) x2m1
(2m 1) !
(0 1)
类似可得
cos x
1 x2 2!
x4 4!
(1)m
x2m (2m)
!
R2m1
(
x)
其中
R2m1(x)
(1)m1 cos( x)
f
(x)
f
(x0 )
f
(x0 )(x x0 )
f
( ) (x
2!
x0 )2
可见
( 在 x0 与x 之间)
误差
( 在 x0 与x 之间) d f
在泰勒公式中若取 x0 0 , x (0 1) , 则有
f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
2!
n!
称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 .
f (x0 )
f
(x0)(x
x0 )
1 2!
f
(x0)(x
x0 )2
1 n!
f (n) (x0 )(x x0 )n
2. 余项估计
令 Rn (x) f (x) pn (x)(称为余项) , 则有
Rn (x0 ) Rn (x0 ) Rn(n) (x0 ) 0 Rn (x)
(x x0 )n1
x) n1 xn1
(0 1)
三、泰勒公式的应用
1. 在近似计算中的应用
f (x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
2!
n!
误差
Rn (x)
M (n 1) !
x
n1
M 为 f (n1) (x) 在包含 0 , x 的某区间上的上
Rn(n1) ( )
(n 1) !
( 在 x0 与xn 之间)
Rn (x) f (x) pn (x)
( 在 x0 与x 之间)
pn(n1) (x) 0, Rn(n1) (x) f (n1) (x)
Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1) !
(
x
x0
)n1
( 在 x0 与x 之间)
Rn (x) Rn (x0 ) (x x0 )n1 0
(n
Rn (1) 1)(1
x0
)n
(1 在 x0 与x 之间)
Rn (1) Rn (x0 ) (n 1)(1 x0 )n 0
Rn(2 ) (n 1)n(2 x0 )n1
(2 在 x0 与 1 之间)
(n
Rn(n) (n ) Rn(n) (x0 ) 1)2(n x0 ) 0
xБайду номын сангаас
之间)
二、几个初等函数的麦克劳林公式
f (k) (x) ex , f (k) (0) 1 (k 1, 2,)
ex
1
x
x2 2!
x3 3!
xn n!
Rn (x)
其中
f (k) (x) sin(x k )
2
f
(k)
(0)
sin
k
2
0, (1)m1
,
k 2m (m 1,2,) k 2m 1
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(
n) (x0 n!
)
(
x
x0
)n
o[(x x0 )n ]
④
公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .
* 可以证明:
④ 式成立
f
(x) f
(x0 )
f (x0 )(x x0 )
f (x0 ) (x 2!
x0 )2
)
n
Rn
(
x)
①
其中 Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1) !
(
x
x0
)n1
( 在 x0 与x 之间) ②
公式 ① 称为 的 n 阶泰勒公式 .
公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .
注意到 Rn (x) o[(x x0 )n ]
③
在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为
f (x0 )