圆周角定理及推论知识点与练习

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考点14 圆周角(解析版)

2021年八年级数学《暑假作业�新课程无忧衔接》（苏科版）考点14圆周角【知识点梳理】圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

圆内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.圆内接四边形的对角互补.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.【新课程预习练·无忧衔接】一、单选题1．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接OC，AC，若26OCA∠=︒，则BOC∠=（）A．60°B．56°C．52°D．48°【答案】C【分析】先说明OA=OC,进而得到⊙BAC=⊙OCA=26°，然后再根据圆周角定理解答即可．【详解】解：⊙AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上⊙OC =OA⊙⊙BAC =⊙OCA =26°⊙BOC ∠=2⊙BAC =52°．故选C ．【点睛】考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，掌握圆周角定理成为解答本题的关键． 2．如图，在Rt ⊙ACB 中，⊙ACB ＝90︒，AC ＝6，BC ＝8，若以AC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，则CD 的长为（）A ．125B ．135C ．245D ．5【答案】C【分析】根据勾股定理求得AB 的长，然后根据直径所对圆周角为90︒得到90ADC ∠=︒，然后根据三角形面积即可求解．【详解】在Rt ⊙ACB 中，22226810ABAC BC ， ⊙AC 为O 的直径，⊙90ADC ∠=︒，⊙1122ABC S AC BC AB CD ==， ⊙6824105AC BC CD AB ⨯===，故选C ．【点睛】考查了圆周角定理，勾股定理，关键是判断90ADC ∠=︒．3．如图，AB 为O 的直径，AC 为O 的弦，D 是弧BC 的中点，E 是AC 的中点．若CD =6AC =，则DE =（）AB ．5CD ．【答案】A 【分析】连接OC 、BC 、OE 、BD ，OE 交O 于F ，OD 交BC 于G ，连接OE 并延长交AC 于点F ，如图，先根据垂径定理得到OD BC ，OE AC ⊥，再计算出90DOF ∠=︒，设O 的半径为r ，则3DG r =-，利用勾股定理得到=5r ，然后利用勾股定理计算DE 的长．【详解】解：连接OC 、BC 、BD ，OD 交BC 于G ，连接OE 并延长交AC 于点F ，⊙D 是弧BC 的中点，⊙OD BC ，BD CD ==BOD COD ∠=∠，⊙E 是AC 的中点，⊙OE AC ⊥，AF CF =，⊙AOF COF ∠=∠， ⊙1180902DOF ∠=⨯︒=︒， ⊙OA OB =，BG CG =，⊙//OG AC ，132==OG AC ，设O 的半径为r ，则3DG r =-，在Rt OBG 中，2223BG r =-，在Rt DBG △中，(()2223BG r =--，⊙(()22293r r -=--，解得：12r =-（舍去），35r =，⊙5OD =，⊙4BG =，易得四边形OGCE 为矩形，⊙4OE CG BG ===，在Rt DOE 中，DE =故选：A ．【点睛】考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．4．如图，四边形ABCD 内接于O ，:2:1,2ABC ADC AB ∠∠== ，点C 为BD 的中点，延长AB 、DC 交于点E ，且60E ∠=，则O 的面积是（）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π【答案】D 【分析】连接BD ，根据圆内接四边形的外角等于其内对角可得⊙D ＝⊙CBE ＝60°，根据等边对等角以及三角形内角和定理求出⊙BCE ＝60°，可得⊙A ＝60°，点C 为BD 的中点，可得出⊙BDC ＝⊙CBD ＝30°，进而得出⊙ABD =90°，AD 为直径，可得出AD =2AB =4，再根据面积公式计算得出结论；【详解】解：连接BD ，⊙ABCD 是⊙O 的内接四边形，⊙⊙CBE ＝⊙ADC ，⊙BCE ＝⊙A⊙:2:1ABC ADC ∠∠=⊙:2:1ABC CBE ∠∠=⊙⊙CBE ＝⊙ADC=60°，⊙CBA ＝120°⊙60E ∠=⊙⊙CBE 为等边三角形⊙⊙BCE ＝⊙A=60°，⊙点C 为BD 的中点，⊙⊙CDB ＝⊙DBC=30°⊙⊙ABD =90°，⊙ADB =30°⊙AD 为直径⊙AB =2⊙AD =2AB =4⊙O 的面积是=224ππ⨯=故答案选：D【点睛】考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握相关性质及公式是解题的关键．5．如图，AB 为圆O 的直径，且AB =8，C 为圆上任意一点，连接AC 、BC ，以AC 为边作等边三角形ACD ，以BC 为边作正方形BCEF ，连接DE ．若AC 为a ，BC 为b ，DE 为c ，则下列关系式成立的是（）A ．260ab c +=B ．2222a b c +=C ．2223a c b +=D ．264ab c +=【答案】D 【分析】延长DC ，过E 作DC 延长线的垂线，垂足为M ，在⊙E CM 中，分别表示出EM 和CM ，得到DM ，在⊙DEM 中，利用勾股定理得到222a b ab c ++=，结合直径AB =8即可得到结果．【详解】解：延长DC ，过E 作DC 延长线的垂线，垂足为M ，⊙AB 为圆O 的直径，⊙⊙ACB =90°，⊙四边形BCEF 为正方形，⊙⊙BCE =90°，即A ，C ，E 三点共线，⊙⊙ACD 为正三角形，⊙⊙ACD =60°，⊙⊙E CM=60°，在⊙E CM 中，EM =EC ·sin60°=2b ， CM=EC ·sin30°=12b ， ⊙DM =DC +CM=a +12b ，在⊙DEM 中，222DM EM DE +=，⊙22212a b c ⎫⎛⎫++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理可得：222a b ab c ++=，⊙AB =8，⊙222264AC BC a b +=+=，⊙264ab c +=，故选D ．【点睛】考查了等边三角形的性质，正方形的性质，三角函数的定义，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，得到a ，b ，c 的关系式222a b ab c ++=．6．如图，AB 与CD 是O 的两条互相垂直的弦，交点为点P ，70ABC ∠=︒，点E 在圆上，则BED ∠的度数为（）A ．10︒B ．20︒C ．30D ．40︒【答案】B 【分析】利用垂直的定义和圆周角定理解答即可．【详解】解：⊙AB CD ⊥，⊙90BPC ∠=︒，⊙70ABC ∠=︒，⊙180180709020BED BCP ABC BPC ∠=∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒ ，故选：B ．【点睛】考查了圆周角定理，解答此题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．7．如图，点A ，D ，B ，C 是圆O 上的四个点，连接AB ，CD 相交于点E ，若38BOD ∠=︒，132AOC ∠=︒，则AEC ∠的度数为（）A ．95°B ．90°C ．85°D ．80°【答案】C【分析】首先连接BC ，根据⊙BOD 和⊙BCD 是同弧所对的圆心角和圆周角，得出⊙BCD 的度数，再根据⊙AOC 和⊙ABC 是同弧所对的圆心角和圆周角，得出⊙ABC 的度数，再根据三角形的外角，得出⊙AEC =⊙EBC +⊙ECB ,即可求出⊙AEC 的度数．【详解】连接BC ，⊙BOD ∠ 和BCD ∠ 是BD 所对的圆心角和圆周角， 11381922BCD BOD ,又AOC ∠ 和ABC ∠ 是AC 所对的圆心角和圆周角， 111326622ABC AOC ,又⊙⊙AEC 是⊙BEC 的外角，⊙196685AECEBC ECB , 故选：C ．【点睛】考查了同弧所对的圆周角是圆心角的一半，三角形的外角，解题关键是连接辅助线，构造同弧所对的圆周角和圆心角．8．如图，O 中所对的圆周67ACB ∠=︒，点P 在劣弧AB 上，42AOP ∠=︒，则BOP ∠的度数为（）A ．25︒B ．90︒C ．92︒D ．109︒【答案】C【分析】根据圆周角定理可得2134AOB ACB ∠=∠=︒，再根据角的和差即可得出答案．【详解】解：O 中所对的圆周67ACB ∠=︒，2134AOB ACB ∴∠=∠=︒点P 在劣弧AB 上，42AOP ∠=︒，1344292BOP AOB AOP ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒故选C ．【点睛】考查了圆周角定理，熟练掌握定理是解题的关键．9．如图，ABC 内接于O ，CD 是O 的直径，20ABC ∠=︒，则ACD ∠的度数是（）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒【答案】D 【分析】由CD 是⊙O 的直径，根据直径所对的圆周角是直角，得出⊙CAD =90°，根据直角三角形两锐角互余得到⊙ACD 与⊙D 互余，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得⊙D 的度数，继而求得⊙ACD 的度数．【详解】解：⊙CD 是⊙O 的直径， ⊙⊙CAD =90°， ⊙⊙ACD +⊙D =90°． ⊙⊙ADC =⊙ABC =20°， ⊙⊙ACD =90°-⊙ADC =70°．故选：D ．【点睛】考查了三角形的外接圆与外角，圆周角定理，直角三角形的性质，难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．10．如图，ABC 内接于O ，其外角BAE ∠的平分线交O 于点D ，点A 为弧CD 的中点．若28ABC ∠=︒，则ACB ∠的大小为（）A ．84°B ．85°C ．86°D ．88°【答案】A连接AO 并延长与O 交于点F ，连接FC ，FD ，根据圆周角定理得出28AFC DFA ∠=∠=︒，根据直角三角形两锐角互余与外角平分线得出BAF ∠度数，进一步计算可得ACB ∠的度数．【详解】解：连接AO 并延长与O 交于点F ，连接FC ，FD ，⊙AF 是直径，⊙90ACF ADF ∠=∠=︒，⊙点A 为弧CD 的中点，28ABC ∠=︒， ⊙=28DFA AFC ∠=∠︒， ⊙62FAD FAC ∠=∠=︒，⊙180626256DAE ∠=︒-︒-︒=︒， ⊙AD 平分BAE ∠， ⊙56DAB DAE ∠=∠=︒，⊙62566BAF FAD DAB ∠=∠-∠=︒-︒=︒， ⊙6BCF ∠=︒，⊙90684ACB ∠=︒-︒=︒，【点睛】考查圆周角定律，三角形内角和，作出合理辅助线是解题关键．11．如图，C ，D 是O 上直径AB 两侧的两点．设25ABC ∠=︒，则BDC ∠=（）A ．85︒B ．75︒C ．70︒D ．65︒【答案】D 【分析】先利用直径所对的圆周角是直角得到⊙ACB =90°，从而求出⊙BAC ，再利用同弧所对的圆周角相等即可求出⊙BDC ．【详解】解：⊙C ，D 是⊙O 上直径AB 两侧的两点， ⊙⊙ACB =90°， ⊙⊙ABC =25°， ⊙⊙BAC =90°-25°=65°， ⊙⊙BDC =⊙BAC =65°，故选：D ．【点睛】考查了圆周角定理的推论，即直径所对的圆周角是90°和同弧或等弧所对的圆周角相等，解决本题的关键是牢记相关概念与推论，本题蕴含了属性结合的思想方法． 12．如图，AB 是O 的直径，点C 在O 上．40OCA ∠=︒．则BOC ∠的度数为（）A ．80︒B ．90︒C ．100︒D ．50︒【答案】A【分析】先利用等腰三角形的性质得到⊙A ＝⊙OCA ＝40°，然后根据圆周角定理得到⊙BOC 的度数．【详解】解：⊙OC ＝OA ， ⊙⊙A ＝⊙OCA ＝40°， ⊙⊙BOC ＝2⊙A ＝80°．故选：A ．【点睛】考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．二、填空题13．如图，已知正方形ABCD 的边长为6，点F 是正方形内一点，连接,CF DF ，且ADF =DCF ∠∠，点E 是AD 边上一动点，连接,EB EF ，则EB EF +长度的最小值为___________．【答案】3【分析】根据正方形的性质得到⊙ADC＝90°，推出⊙DFC＝90°，点F在以DC为直径的半圆上移动，，如图，设CD 的中点为O，作正方形ABCD关于直线AD对称的正方形APGD，则点B的对应点是P，连接PO交AD于E，交半圆O于F，则线段FP的长即为BE＋FE的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：⊙四边形ABCD是正方形，⊙⊙ADC＝90°，⊙⊙ADF＋⊙CDF＝90°，∠∠，⊙ADF=DCF⊙⊙DCF＋⊙CDF＝90°，⊙⊙DFC＝90°，⊙点F在以DC为直径的半圆上移动，如图，设CD的中点为O，作正方形ABCD关于直线AD对称的正方形APGD，则点B的对应点是P，连接PO交AD于E，交半圆O于F，则线段FP的长即为BE＋FE的长度最小值，OF＝3，⊙⊙G＝90°，PG＝DG＝AB＝6，⊙OG＝9，⊙OP=，⊙FP＝3，⊙BE＋FE的长度最小值为3，故答案为：3．【点睛】考查了轴对称−最短路线问题，正方形的性质，勾股定理以及圆的基本性质．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．14．如图，劣弧BC与AD的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，⊙CEB=60°，求⊙CAB的度数________.【答案】35°【分析】根据圆周角定理，可得：⊙A-⊙C=10°；根据三角形外角的性质，可得⊙CEB=⊙A+⊙C=60°；联立两式可求得⊙A的度数．【详解】解：由题意，弧BC与弧AD的度数之差为20°，⊙两弧所对圆心角相差20°，⊙2⊙A-2⊙C=20°，⊙⊙A-⊙C=10°…⊙；⊙⊙CEB是⊙AEC的外角，⊙⊙A +⊙C =⊙CEB =60°…⊙； ⊙+⊙，得：2⊙A =70°，即⊙A =35°．故答案为：35°．【点睛】考查圆周角定理，三角形外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型．15．如图，点A ，B ，C 在O 上，50B C ∠+∠=︒，则BOC ∠的度数为______．【答案】100︒【分析】根据点A 、B 、C 在圆上，利用等腰三角形性质，可得⊙OAB =⊙B ，⊙OAC =⊙C ，根据同圆中同弧所对的圆周角等于圆心角的一半解答即可．【详解】解：连结OA ，点、、A B C 在O 上， ⊙OA =OB =OC ，⊙⊙OAB =⊙B ，⊙OAC =⊙C ， ⊙50B C ∠+∠=︒，⊙50BAC OAB OAC B C ∠=∠+∠=∠+∠=︒，2100BOC BAC ∴∠∠︒＝＝．故答案为：100︒．【点睛】考查的圆的半径相等，等腰三角形性质，圆周角定理，熟记定理内容是解题的关键． 16．如图，在O 中，55,15CBO CAO ∠=︒∠=︒，则AOB ∠的度数是______°．【答案】80【分析】首先连接OC ，由OA ＝OC ＝OB ，可得⊙ACO ＝⊙CAO ＝15°，⊙BCO ＝⊙CBO ＝55°，继而求得⊙ACB 的度数，然后由圆周角定理，求得⊙AOB 的度数．【详解】解：连接OC ， ⊙OA ＝OC ＝OB ，⊙⊙ACO ＝⊙CAO ＝15°，⊙BCO ＝⊙CBO ＝55°， ⊙⊙ACB ＝⊙BCO −⊙ACO ＝40°， ⊙⊙AOB ＝2⊙ACB ＝80°．故答案是：80．【点睛】考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．三、解答题17．请阅读下列材料，并完成相应的任务．克罗狄斯·托勒密（约90年－168年），古希腊天文学家、地理学家和光学家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的内容如下：圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．即：如图1，若四边形ABCD 内接于O ，则有______．任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为_______．（2）已知，如图2，四边形ABCD 内接于O ，BD 平分ABC ∠，120COD ∠=︒，求证：BD AB BC =+．【答案】（1）AC BD AB CD BC AD ⋅=⋅+⋅；（2）见解析【分析】（1）由托勒密定理可直接求解；（2）连接AC ，通过证明⊙ACD 是等边三角形，可得AC =AD =CD ，由AC•BD=AB•CD+BC•AD ，可求解．【详解】解：（1）由托勒密定理可得：AC BD AB CD BC AD ⋅=⋅+⋅故答案为：AC BD AB CD BC AD ⋅=⋅+⋅（2）如图，连接AC⊙120COD ∠=︒，⊙60CBD CAD ∠=∠=︒⊙BD 平分ABC ∠⊙60ABD CBD ∠=∠=︒⊙60ACD ∠=︒⊙ACD △是等边三角形⊙AC AD CD ==，⊙四边形ABCD 是圆内接四边形⊙AC BD AB CD BC AD ⋅=⋅+⋅⊙BD AB BC =+．【点睛】考查了圆的内接四边形的性质，圆的有关知识，阅读理解题意是本题的关键．18．如图，等边三角形ABC 内接于O ，D 是BC 上一动点，连接AD ，BD ，CD ，延长DC 到点E ，使CE BD =，连接AE ．（1）求证：ADE 是等边三角形；（2）填空：⊙若1BD =，2CD =，则AD 的长为____________；⊙当BAD ∠的度数为_________时，四边形OBDC 为菱形．【答案】（1）证明见解析；（2）⊙3；⊙30°．【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AB =AC =BC ，⊙AB C=⊙ACB =⊙BAC =60°，根据圆周角定理可得⊙CBD =⊙CAD ，⊙ABC =⊙ADC ，根据角的和差关系及外角性质可得⊙ABD =⊙ACE ，利用SAS 可证明⊙ABD ⊙⊙ACE ，可得AD =AE ，即可得⊙ADE 是等边三角形；（2）⊙根据线段的和差关系可得DE 的长，由（1）可知⊙ADE 是等边三角形，可得AD =DE ，即可得答案；⊙如图，连接OB 、OC ，根据圆周角定理可知⊙BOC =2⊙BAC =120°，根据等腰三角形的性质可得⊙OCB =30°，根据菱形的性质可得⊙BCD =30°，根据圆周角定理可得⊙BAD =⊙BCD =30°，可得答案．【详解】（1）⊙⊙ABC 是等边三角形，⊙AB =AC =BC ，⊙AB C=⊙ACB =⊙BAC =60°，⊙⊙CBD 与⊙CAD 是CD 所对的圆周角，⊙⊙CBD =⊙CAD ，同理可得：⊙ABC =⊙ADC =60°，⊙⊙ACE=⊙ABC+⊙CBD=⊙ABD，在⊙ABD和⊙ACE中，AB ACABD ACE BD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊙⊙ABD⊙⊙ACE，⊙AD=AE，⊙⊙ADE是等边三角形．（2）⊙⊙BD=CE=1，DE=CD+CE，CD=2，⊙DE=3，⊙⊙ADE是等边三角形，⊙AD=DE=3．故答案为：3⊙如图，连接OB、OC，⊙⊙BAC和⊙BOC分别是BC所对的圆周角和圆心角，⊙⊙BOC=2⊙BAC=120°，⊙OB=OC，⊙⊙OCB=30°，⊙四边形OBDC为菱形，⊙⊙BCD=⊙OCB=30°，⊙⊙BAD和⊙BCD都是BD所对的圆周角，⊙当BAD ∠的度数为30°时，四边形OBDC 为菱形．故答案为：30°【点睛】考查全等三角形的判定与性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质及菱形的性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．19．小亮在学习中遇到如下一个问题：如图1，点C 是半圆AmB 上一动点，线段AB =6，CD 平分ACB ∠，过点A 作//AD BC 交CD 于点D ，连接BD ．当BCD △为等腰三角形时，求线段AC 的长度．小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是他尝试结合学习函数的经验研究此问题．将线段AC 的长度作为自变量x ，BC ，BD 和CD 的长度都是x 的函数，分别记为BC y ，BD y 和CD y ．请将下面的探究过程补充完整：（1）根据点C 在半圆AmB 上的不同位置，画出相应的图形，测量线段AC ，BC ，BD 的长度，得到下表的几组对应值：⊙上表中a 的值是______⊙操作中发现，“无需测量线段CD 的长度即可得到CD y 关于x 的函数解析式”．请直接写出CD y 关于x 的函数解析式．（2）小亮已在平面直角坐标系xOy 中画出了函数BD y 的图象，如图2所示．⊙请在同一个坐标系中画出函数BC y 和CD y 的图象；⊙结合图象直接写出当BCD △为等腰三角形时，线段AC 长度的近似值（结果保留一位小数）．【答案】（1）⊙4.0；⊙CD y；（2）⊙见解析；⊙2.7或4.2 【分析】（1）⊙根据直径所对的圆周角是直角，得到⊙ACB 是直角三角形，用勾股定理求出边长即可；⊙根据等腰直角三角形三角形的性质，再根据勾股定理求出即可；（2）⊙根据条件画出图形即可；⊙根据等腰直角三角形的性质，分类讨论，利用勾股定理求出边长即可．【详解】解：（1）⊙⊙AB是圆的直径，⊙⊙ACB=90°，在Rt⊙ACB中，⊙ACB=90°，由勾股定理得：BC=当AC=4.5时， 3.96BC=，⊙a≈4.0；⊙⊙AB是圆的直径，⊙⊙ACB=90°，⊙CD平分ACB∠，⊙⊙ACD=⊙BCD=45°，AD BC，⊙//⊙⊙ADC=⊙BCD=45°，⊙AC=AD，⊙⊙CAD=180°-⊙ADC-⊙BCD=90°，⊙⊙ACD是等腰直角三角形，⊙CD，y=⊙CD（2）⊙如图所示．⊙当BC=BD时，BC与BD即为交点，AD BC，⊙⊙ACB=90°，//⊙⊙CAD=90°，⊙⊙ADC=⊙BCD，⊙CD平分ACB，⊙⊙ACD=⊙BCD，⊙⊙ACD=⊙ADC=45°，⊙AC=AD，⊙BC=CD，⊙BDC=⊙BCD=45°，⊙⊙ADB=90°，⊙四边形ABDC为矩形，⊙AC=AD，⊙AC=BC，⊙AB=6，⊙AC = 4.22AB =≈，当BC=CD 时，图象无交点，则BC ≠CD ，当BD =CD 时，⊙BDC =⊙BCD =45°，⊙⊙BDC =90°，则在等腰直角⊙ACD 中，CD ==，在等腰直角⊙BCD 中，2BC x ==，在Rt ⊙ABC 中，222AB AC BC =+，⊙x =⊙ 2.75AC =≈，故AC 的长为：2.7或4.2．【点睛】考查了圆的性质、等腰直角三角形的性质与勾股定理，关键在于运用分类讨论的思想． 20．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒．点D 为边AC 上一点，DE AB ⊥于点E ，点G 为BD 上一点．连结CG 并延长与AB 相交于点F ，连结EG ．已知12∠=∠．（1）若BD 平分ABC ∠，求证：DBC △⊙DBE ．（2）若4BD =，求CG 的长．（3）若80EGF ∠=︒，求A ∠的读数．【答案】（1）见解析；（2）2；（3）40°【分析】（1）利用角平分线的定义及AAS 定理证明三角形全等；（2）根据等腰三角形的判定和性质求解；（3）解法一：结合等边对等角，角平分线的定义及三角形内角和定理计算求解；解法二：利用圆周角定理求解．【详解】解：（1）证明：⊙DE AB ⊥，⊙90DEB ∠=︒，⊙90ACB ∠=︒，⊙DEB ACB ∠=∠．⊙BD 平分ABC ∠，⊙ABD CBD ∠=∠．又⊙BD BD =，⊙DBC △⊙DBE （AAS ）．（2）⊙在BDE 中，90DEB ∠=︒，⊙190DBE ∠+∠=°，290BEG ∠+∠=°．⊙12∠=∠，⊙DBE BEG ∠=∠，⊙DG EG BG ==．⊙在Rt DBC 中，122CG BD ==．（3）解法一：⊙80EGF ∠=︒，⊙180100EGC EGF ∠=-∠=°°．⊙DG EG CG ==， ⊙()()11118018022CDE CDG DGE DGC ∠=∠+∠=-∠+-∠°° ()11802DGC DGE =-∠+∠° 11801302EGC =-∠=°°． ⊙9040A CDE ∠=∠-=°°．解法二：⊙DG EG BG CG ===，⊙点C ，D ，E ，B 在以点G 为圆心的圆上， ⊙()111805022ABC EGC EGF ∠=∠=-∠=°°， ⊙9040A ABC ∠=-∠=°°．【点睛】考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，也考查圆周角定理，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．。

24.1.4圆周角定理及推论(二)

天好天好向学上习
任意一点（不与点A、B重合），延长BD到点C，
使DC＝BD，判断△ABC的形状：
．
A
OBDC NhomakorabeaA
D O
B
C
如果一个四边形的所有顶点都在同一
个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆
。
猜想：圆内接四边形的对角有什么关系呢？圆的内接四边形的对角互补
D
证明猜想
yO
x
C
∵
∠D=
A
O
B
BC= AB2 AC 2 = 102 62 =8（cm）
∵ CD平分ACB
请思考哦
D
例2、已知：BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点， AD⊥BC，垂足为D，AE＝AB，BE交AD于点F．（1）∠ACB与∠BAD相等吗？为什么？（2）判断△FAB的形状，并说明理由．
( (
例3、如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的
你能用今天学的知识来解释吗？
总结
圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的度数的一半。推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧相等. 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径．
推论3：圆的内接四边形的对角互补
推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等相等的圆周角所对的弧相等.
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径．
EF
课前练习
1．如图，AB是⊙O的直径，∠A＝10°，
则∠ABC＝________．
C
A
O

中考数学-圆讲义及练习

第3讲圆知识点1 圆周角定理1. 圆的有关概念（1）圆的定义：在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

以点O 为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”．圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．（2）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．（3）直径：经过圆心的弦叫做直径．（4）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．（5）弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”．大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）．2. 圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”．3. 圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．典例剖析例（1）如图，BC是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，连接AB，AD，BD，若∠ADB＝70°，则∠ABC的度数是（）A．20°B．70°C．30°D．90°（例（1）图）（例（2）图）（2）如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD＝度．跟踪训练1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的度数等于（）A．60°B．50°C．40°D．30°（第1题图）（第2题图）（第3题图）2．如图，A、B、C是⊙O上的三个点，若∠AOC＝110°，则∠ABC＝．3．如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD＝．过关精练1．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC＝70°，则∠AOC的度数等于（）A．140°B．130°C．120°D．110°（第1题图）（第2题图）（第3题图）（第4题图）2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径．若∠BOC＝80°，则∠A等于（）A．60°B．50°C．40°D．30°3．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°4．如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，∠BAC＝15°，∠CED＝30°，则∠BOD的度数为（）A．45°B．60°C．75°D．90°5．AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠ABC＝65°，那么∠OCA的度数是（）A．25°B．35°C．15°D．20°（第5题图）（第6题图）（第7题图）（第8题图）6．如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOC＝140°，则∠B的度数是（）A．70°B．80°C．110°D．140°7．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC＝20°，则∠AOB的度数是（）A．40°B．50°C．70°D．80°8．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠CBA＝70°，则∠D的度数是．9．如图，点A，B，C在⊙O上，点C在优弧上，若∠OBA＝50°，则∠C的度数为．（第9题图）（第10题图）10．如图，点A、B、C为⊙O上的三个点，∠BOC＝2∠AOB，∠BAC＝40°，则∠ACB＝度．知识点2 垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．典例剖析例（1）如图⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AB的长为（）A．8B．12C．16D．2（例（1）图）（例（2）图）（2）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C、D两点．若∠CMA＝45°，则弦CD的长为．跟踪训练1．如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝8，OC＝5，则CD的长是（）A．3B．2.5C．2D．1（第1题图）（第2题图）2．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为．3．已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm，则弦AB和CD之间的距离是cm．1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝（）A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm（第1题图）（第2题图）（第3题图）2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是（）A．B．2C．6D．83．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD ＝20°，则下列说法中正确的是（）A．AD＝2OB B．CE＝EO C．∠OCE＝40°D．∠BOC＝2∠BAD 4．如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（）A．2B．2C．2D．4（第4题图）（第5题图）（第6题图）（第7题图）5．如图，在直径为10cm的⊙O中，BC是弦，半径OA⊥BC于点D，AD＝2cm，则BC的长为cm．6．如图所示，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，垂足为E，已知AB＝6，OE＝4，则直径CD＝．7．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为．知识点3 切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线性质的运用见切点，连半径，见垂直．例（1）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连结OD．若∠C＝50°，则∠AOD的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°（例（1）图）（例（2）图）（2）如图，△ABC中，∠A＝30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD＝2，则线段CD的长是（）A．2B．C．D．跟踪训练1．如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD．若∠BAC＝55°，则∠COD的大小为（）A．70°B．60°C．55°D．35°（第1题图）（第2题图）2．如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B 作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC＝6，则P A的长为（）A．4B．2C．3D．2.5过关精练1．如图AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，若∠C＝40°，则∠B的度数为（）A．60°B．50°C．40°D．30°（第1题图）（第2题图）2．如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连接BC并延长交AE于点D．若∠AOC＝80°，则∠ADB的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．20°3．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO＝40°，则∠OCB 的度数为（）A．40°B．50°C．65°D．75°（第3题图）（第4题图）（第5题图）4．如图，CB为⊙O的切线，点B为切点，CO的延长线交⊙O于点A，若∠A＝25°，则∠C的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°5．如图，AB为⊙O的切线，切点为A，连接AO、BO，BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O 交于点D，连接AD．若∠ABO＝36°，则∠ADC的度数为（）A．54°B．36°C．32°D．27°6．如图，P是⊙O外一点，P A是⊙O的切线，PO＝26cm，P A＝24cm，则⊙O的周长为（）A．18πcm B．16πcm C．20πcm D．24πcm（第6题图）（第7题图）7．如图，AB是⊙O的直径，P A切⊙O于点A，连结PO并延长交⊙O于点C，连结AC，AB＝10，∠P＝30°，则AC的长度是（）A．B．C．5D．8．如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为（）A．1B．2C．D．（第8题图）（第9题图）9．如图，在△ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与AC相切于点D，BD平分∠ABC，AD＝OD，AB＝12，CD的长是（）A．2B．2C．3D．410．如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，以AD为直径的⊙O交AC于点E，连接DE．若⊙O与BC相切，∠ADE＝55°，则∠C的度数为．（第10题图）（第11题图）（第12题图）11．如图，AB是⊙O的切线，点B为切点，若∠A＝30°，则∠AOB＝．12．如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD，若∠A＝50°，则∠COD的度数为．13．如图，P A、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝40°，则∠BAC ＝．（第13题图）（第14题图）（第15题图）14．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC．若∠A＝36°，则∠C＝度．15．如图，⊙O与AB相切于点A，BO与⊙O交于点C，∠B＝26°，则∠OCA＝度．16．如图，C为⊙O外一点，CA与⊙O相切，切点为A，AB为⊙O的直径，连接CB．若⊙O的半径为2，∠ABC＝60°，则BC＝．（第16题图）（第17题图）17．已知：如图，CD是⊙O的直径，点A在CD的延长线上，AB切⊙O于点B，若∠A＝30°，OA＝10，则AB＝．知识点4 扇形面积的计算（1）圆面积公式：S＝πr2（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）（4）求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．例（1）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝2，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是．（2）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，BC＝2，将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长线上，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．跟踪训练1．如图，矩形ABCD的边AB＝1，BE平分∠ABC，交AD于点E，若点E是AD的中点，以点B为圆心，BE长为半径画弧，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．（第1题图）（第2题图）（第3题图）2．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，将Rt△ABC绕A点顺时针旋转90°得到Rt△ADE，则BC扫过的面积为（）A．B．（2﹣）πC．πD．π3．如图，半圆的直径AB＝6，点C在半圆上，∠BAC＝30°，则阴影部分的面积为（结果保留π）．1．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，分别以点A、C为圆心，AD、CB为半径画弧，交AB于点E，交CD于点F，则图中阴影部分的面积是（）A．4﹣2πB．8﹣C．8﹣2πD．8﹣4π（第1题图）（第2题图）（第3题图）2．如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC＝BC＝，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．+3．如图，直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝4，分别以AC、BC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（）A．2π﹣B．π+C．π+2D．2π﹣24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径作半圆，交AB于点D，则阴影部分的面积是（）A．π﹣1B．4﹣πC．D．2（第4题图）（第5题图）（第6题图）（第7题图）5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2，以AB的中点O为圆心，OA 的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为（）A．﹣B．+C．2﹣πD．4﹣6．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）（）A．8﹣πB．16﹣2πC．8﹣2πD．8﹣π7．如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC＝45°，OB＝2，则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣4B．C．π﹣2D．8．如图，在扇形AOB中∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为2时，则阴影部分的面积为（）A．2π﹣4B．4π﹣8C．2π﹣8D．4π﹣4（第8题图）（第8 题图）（第10题图）9．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝2，以直角边AC为直径作⊙O交AB于点D，则图中阴影部分的面积是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝60°，AB＝2，分别以点A、点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）11．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）．（第11题图）（第12题图）（第13题图）12．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB 于点E，图中阴影部分的面积是（结果保留π）．13．如图，在边长为4的正方形ABCD中，先以点A为圆心，AD的长为半径画弧，再以AB边的中点为圆心，AB长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是（结果保留π）．14．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4．以A为圆心，AC长为第 11 页共 12 页半径作弧，交AB 于点D ，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）15．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，以AB 为直径的半圆与对角线AC 交于点E ，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）（第14题图）（第15题图）16．如图，一个圆心角为90°的扇形，半径OA ＝2，那么图中阴影部分的面积为（结果保留π）．（第16题图）（第17题图）（第18题图）17．如图在正方形ABCD 中，点E 是以AB 为直径的半圆与对角线AC 的交点，若圆的半径等于1，则图中阴影部分的面积为．18．如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝90°．D ，E 分别是半径OA ，OB 上的点，以OD ，OE 为邻边的▱ODCE 的顶点C 在上．若OD ＝8，OE ＝6，则阴影部分图形的面积是（结果保留π）．19．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，将Rt △ABC 绕点A 逆时针旋转30°后得到Rt △ADE ，点B 经过的路径为弧BD ，则图中阴影部分的面积为．（第19题图）（第20题图）20．如图，在矩形ABCD 中，CD ＝2，以点C 为圆心，CD 长为半径画弧，交AB 边于点E ，且E 为AB 中点，则图中阴影部分的面积为．21．如图，在▱ABCD 中，AD ＝2，AB ＝4，∠A ＝30°，以点A 为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是（结果保留π）．22．如图，在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AC＝2，BC＝，以点A为圆心，AB．为半径画弧，交AC于点D，则阴影部分的面积是第12 页共12 页。

专题24.4 圆周角定理【十大题型】(人教版)(原卷版)

专题24.4 圆周角定理【十大题型】【人教版】【题型1 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半的运用】 (2)【题型2 同弧或等弧所对的圆周角相等的运用】 (3)【题型3 直径所对的圆周角是90°的运用】 (4)【题型4 翻折中的圆周角的运用】 (5)【题型5 利用圆周角求最值】 (6)【题型6 圆周角中的证明】 (7)【题型7 圆周角中的多结论问题】 (9)【题型8 构造圆利用圆周角解决三角形或四边形中的问题】 (10)【题型9 圆周角与量角器的综合运用】 (11)【题型10 利用圆周角求取值范围】 (12)∠AB是O的直径是AB所对的圆周角90︒∠AB所对的圆周角=︒90是O的直径【题型1 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半的运用】【例1】（2022•鼓楼区校级模拟）如图，CD是⊙O的直径，⊙O上的两点A，B分别在直径CD的两侧，且∠ABC＝78°，则∠AOD的度数为（）A．12°B．22°C．24°D．44°【变式1-1】（2022•温州）如图，AB，AC是⊙O的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连结OB，OC．若∠DOE＝130°，则∠BOC的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．130°【变式1-2】（2022•蓝山县一模）如图，点A，B，C在⊙O上，∠1＝40°，∠C＝25°，则∠B＝（）A．100°B．70°C．55°D．65°【变式1-3】（2022春•汉阳区校级月考）如图，AB，CD为⊙O的两条弦，若∠A+∠C＝120°，AB＝2，CD＝4，则⊙O的半径为（）A．2√5B．2√7C．2√153D．2√213【题型2 同弧或等弧所对的圆周角相等的运用】【例2】（2022•保亭县二模）如图，AB为⊙O的直径，点C、D在圆上，CE⊥AB于点E，若∠D＝48°，则∠1＝（）A．42°B．45°C．48°D．52°【变式2-1】（2022•南充）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，∠BOF＝65°，则∠AOD为（）A．70°B．65°C．50°D．45°【变式2-2】（2022•十堰二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝54°，以BC为直径的⊙O交AB于点D．E是⊙O上一点，且CÊ=CD̂，连接OE．过点E作EF⊥OE，交AC的延长线于点F，则∠F的度数为（）A．92°B．108°C．112°D．124°【变式2-3】（2022•本溪模拟）如图，在⊙O中，AB̂=BĈ，直径CD⊥AB于点N，P是AĈ上一点，则∠BPD的度数是．【题型3 直径所对的圆周角是90°的运用】【例3】（2022•中山市三模）如图，AB是⊙O的直径，若AC＝2，∠D＝60°，则BC长等于（）A．4B．5C．√3D．2√3【变式3-1】（2022•潍坊二模）如图，已知以△ABC的边AB为直径的⊙O经过点C，OD⊥AC交⊙O于点D，连接BD．若∠BAC＝36°，则∠ODB的度数为（）A．32°B．27°C．24°D．18°【变式3-2】（2022•江夏区校级开学）如图，⊙O的直径AB为8，D为AĈ上的一点，DE⊥AC于点E，若CE＝3AE，∠BAC＝30°，则DE的长是（）A．85B．√13−2C．√3D．32【变式3-3】（2022秋•如皋市校级期中）在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC＝2，求⊙O的半径r；（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC＝25°，求∠DCA的度数．【题型4 翻折中的圆周角的运用】̂沿BC翻折交AB于【例4】（2022春•福田区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将BĈ沿AB翻折交BC于点E．若BÊ=DÊ，则∠BCD的度数是（）点D，再将BDA．22.5°B．30°C．45°D．60°【变式4-1】（2022秋•萧山区期中）如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC 翻折交AB于点D，连结CD，若∠BAC＝25°，则∠BDC的度数为（）A．45°B．55°C．65°D．70°【变式4-2】（2022秋•硚口区期末）如图，AB为⊙O的一条弦，C为⊙O上一点，OC∥AB．将劣弧AB沿弦AB翻折，交翻折后的弧AB交AC于点D．若D为翻折后弧AB的中点，则∠ABC＝（）A．110°B．112.5°C．115°D．117.5°【变式4-3】（2022秋•丹江口市期中）已知⊙O的直径AB长为10，弦CD⊥AB，将⊙O沿CD翻折，翻折后点B的对应点为点B′，若AB′＝6，CB′的长为（）A．4√5B．2√5或4√5C．2√5D．2√5或4√3【题型5 利用圆周角求最值】【例5】（2022•瑶海区三模）如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点，若MN＝2，则△PMN周长的最小值为（）A．4B．5C．6D．7【变式5-1】（2022•陈仓区一模）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝75°，AB＝4，D是边BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O，分别交AB、AC于点E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为．̂的【变式5-2】（2022秋•大连期末）如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，点C在⊙O上，∠CAB＝30°，D为BC中点，E是直径AB上一动点，则CE+DE最小值为（）A．1B．√2C．√3D．2，BC＝AB2，E为射线BA上一动点，【变式5-3】（2022•杏花岭区校级三模）如图，矩形ABCD中，AB=32连接CE交以BE为直径的圆于点H，则线段DH长度的最小值为．【题型6 圆周角中的证明】̂上运动，连接【例6】（2022秋•定陶区期末）如图1．在⊙O中AB＝AC，∠ACB＝70°，点E在劣弧ACEC，BE，交AC于点F．（1）求∠E的度数；（2）当点E运动到使BE⊥AC时，连接AO并延长，交BE于点D，交BC于点G，交⊙O于点M，依据题意在备用图中画出图形．并证明：G为DM的中点．【变式6-1】（2022春•金山区校级月考）已知CD为⊙O的直径，A、B为⊙O上两点，点C为劣弧AB中点，连接DA、BA、AC，且∠B＝30°．（1）求证：∠D＝30°；（2）F、G分别为线段CD、AC上两点，满足DF＝AG，连接AF、OG，取OG中点H，连接CH，请猜测AF与CH之间的数量关系，并证明．【变式6-2】（2022•武汉）如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD．（1）判断△BDE的形状，并证明你的结论；（2）若AB＝10，BE＝2√10，求BC的长．【变式6-3】（2022•南召县四模）阅读下面材料，完成相应的任务：阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一、《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解古希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的．其中论述了阿基米德折弦定理：从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，称之为该圆的一条折弦．一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即ABC是圆的一条折弦），BC＞AB．M是弧ABC的中点，则从M 向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．小明认为可以利用“截长法”，如图2：在线段CB上从C点截取一段线段CN＝AB，连接MA，MB，MC，MN．小丽认为可以利用“垂线法”，如图3：过点M作MH⊥AB于点H，连接MA，MB，MC．任务：（1）请你从小明和小丽的方法中任选一种证明思路，继续书写出证明过程．（2）就图3证明：MC2﹣MB2＝BC•AB．【题型7 圆周角中的多结论问题】【例7】（2022•兰陵县二模）如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AB ＝10，AC ̂=CD ̂=DB ̂，点E 是点D 关于AB 的对称点，M 是AB 上的一动点，下列结论：①∠BOE ＝30°；②∠DOB ＝2∠CED ；③DM ⊥CE ；④CM +DM 的最小值是10，上述结论中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式7-1】（2022秋•淅川县期末）如图，已知：点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，AB ＝CD ，下列结论：①∠AOC ＝∠BOD ；②∠BOD ＝2∠BAD ；③AC ＝BD ；④∠CAB ＝∠BDC ；⑤∠CAO +∠CDO ＝180°．其中正确的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【变式7-2】（2022秋•厦门期末）在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 边于点D ．要使得⊙O 与AC 边的交点E 关于直线AD 的对称点在线段OA 上（不与端点重合），需满足的条件可以是．（写出所有正确答案的序号）①∠BAC ＞60°；②45°＜∠ABC ＜60°；③BD ＞12AB ；④12AB ＜DE ＜√22AB ．【变式7-3】（2022秋•东台市月考）如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，且OC ∥BD ，AD 与BC ，OC分别相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC＝∠AEC；③CB平分∠ABD；④AF＝DF；⑤△CEF≌△BED．其中一定成立的结论是．（填序号）【题型8 构造圆利用圆周角解决三角形或四边形中的问题】【例8】（2022春•杏花岭区校级月考）如图，A，B两点的坐标分别为（﹣2，0），（3，0），点C在y 轴正半轴上，且∠ACB＝45°，则点C的坐标为（）A．（0，7）B．（0，2√10）C．（0，6）D．（0，3√5）【变式8-1】（2022秋•秦淮区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝BD．若∠ABC＝112°，则∠ADC ＝°．【变式8-2】（2022•北京模拟）已知三角形ABC是锐角三角形，其中∠A＝30°，BC＝4，设BC边上的高为h，则h的取值范围是．【变式8-3】（2022春•西湖区校级月考）已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝4，∠B＝60°，∠C＝105°，点E为BC的中点，以CE为弦作圆，设该圆与四边形ABCD的一边的交点为P，若∠CPE ＝30°，则EP的长为．【题型9 圆周角与量角器的综合运用】【例9】（2022•南召县模拟）以O为中心点的量角器与直角三角板ABC按如图方式摆放，量角器的0刻度线与斜边AB重合．点D为斜边AB上一点，作射线CD交弧AB于点E，如果点E所对应的读数为50°，那么∠BDE的大小为（）A．100°B．110°C．115°D．130°【变式9-1】（2022秋•南京期中）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸片上，使点O在半圆圆心上，点B在半圆上，边AB，AO分别交半圆于点C，D，点B，C，D对应的读数分别为160°、72°、50°，则∠A＝．【变式9-2】（2022秋•高港区期中）如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D对应的刻度值为50°，则∠BCD的度数为．【变式9-3】（2022秋•北京期末）如图，量角器的直径与直角三角尺ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3°的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，则第20秒点E在量角器上对应的读数是°．【题型10 利用圆周角求取值范围】【例10】（2022•观山湖区模拟）如图，OB是⊙O的半径，弦AB＝OB，直径CD⊥AB．若点P是线段OD上的动点，点P不与O，D重合，连接P A．设∠P AB＝β，则β的取值范围是．̂上，∠ACB＝30°，【变式10-1】（2022•河南三模）如图，点O是以AC为直径的半圆的圆心，点B在ACAC＝2．点D是直径AC上一动点（与点A，C不重合），记OD的长为m．连接BD，点A关于BD的̂围成的封闭图形内部时（不包含边界），m的取对称点为点A′，当点A′落在由直径AC，弦AB，BC值范围是．【变式10-2】（2022秋•台州期中）如图，已知AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O的优弧ACB上的一个动点（不与A，B不重合），（1）设∠ACB的平分线与劣弧AB交于点P，试猜想点P劣弧AB上的位置是否会随点C的运动而变化？请说明理由（2）如图②，设AB＝8，⊙O的半径为5，在（1）的条件下，四边形ACBP的面积是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请求出ACBP的面积的取值范围．【变式10-3】（2022秋•高新区校级期末）如图，A、B为⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A、B重合），我们称∠APB是⊙O上关于A、B的滑动角．若⊙O的半径是1，√2≤AB≤√3，则∠APB的取值范围为．。

人教版初三上册数学第24章知识点复习：圆周角定理及推论

人教版初三上册数学第24章知识点复习：
圆周角定理及推论
一、圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

①定理有三方面的意义：
a.圆心角和圆周角在同一个圆或等圆中;(相关知识点如何证明四点共圆 )
b.它们对着同一条弧或者对的两条弧是等弧
c.具备a、b两个条件的圆周角都是相等的，且等于圆心角的一半.
②因为圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.
二、圆周角定理的推论
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角等于90°;90°的圆周角所对的弦是直径
推论3：如果三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
三、推论解释说明
圆周角定理在九年级数学知识点中属于几何部分的重要内容。

①推论1是圆中证明角相等最常用的方法，若将推论1中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立.因为一条弦所对的圆周角有两个.
②推论2中“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”
③圆周角定理的推论2的应用非常广泛，要把直径与90°圆周角联系起来，一般来说，当条件中有直径时，通常会作出直径所对的圆周角，从而得到直角三角形，为进一步解题创造条件
④推论3实质是直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理.
以上就是为大家整理的人教版初三上册数学第24章知识点复习：圆周角定理及推论，大家还满意吗?希望对大家有所帮助!。

圆周角定理及其推论

分类时要做到不重不漏；化归思想是将复杂问题转化成一系列的简单问题或已证问题.
画多少个？它们有什么关系？为什么？
反过来呢？
D
A
推论1：同圆或等圆中：
C O·
同弧或等弧所对的圆周角相等；
相等的圆周角所对的弧也相等. E
B
探究三：
如图， △ABC内接于⊙O, 请思考当∠AOB为 180°时, ∠ACB的度数是多少?从而你得到什么结论?
反过来呢？
C
推论2：
A
·O
B
半圆(或直径)所对的圆周角是直角;
O
∴ ∠BAC = 12∠BOC.
B
C
猜想：一条弧所对的圆周角都等于它所对圆心角的一半
1、圆心在圆周角的边上 2 、圆心在圆周角的内部.
C
C
O·
O·
A
B
A
B
D
3、圆心在圆周角的外部
C
O·
D
B
A
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
探究二：
在一个圆中，并画出A⌒B所对的圆周角能
24.3 圆周角
1.圆周角的概念：
顶点在圆上，并且两
C
边都与圆还另有一个交
点的角叫做圆周角。
O
B
2.一个角是圆周角的条件：
①顶点在圆上；
A
②两边都和圆相交。
练习:指出下图中的圆周角.
A
Oቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
×
C O
√
O D
×
O
E
O
O
B
×
×
√F
探究一：
A
如图，等边△ABC的三个顶点

圆周角定理及推论知识点与练习

圆周角定理及推论知识点与练习(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--圆周角定理及推论知识点与练习1、圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

特别提示：证明圆周角定理时，可以分以下三种情况进行分类讨论： ①圆心在圆周角外 ②圆心在圆周角上 ③圆心在圆周角内特别提示：圆周角定理的证明分三种情况，利用三角形外角和定理证明。

2、推论：①圆周角的度数等于它所对的弧度数的一半；②在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。

③半圆（直径）所对的圆周角是直角。

90°的圆周角所对的弦是直径。

注意：在圆中，同一条弦所对的圆周角有无数个，同一条弦所对的圆周角的度数有两个，一个是所对的劣弧度数，另一个是所对的优弧度数。

3、应用（1）运用圆周角定理及推论时，注意在同圆或等圆中；（2）运用此定理要善于从弧到角或从角到弧的转化，常用弧相等来证角相等；（3）在圆中常添加直角所对的弦或构造直径所对的圆周角为直角有关的辅助线，利用直角三角形解决有关的计算问题。

例：⊙O 半径OA ⊥OB ，弦AC ⊥BD 于E 。

求证：AD ∥BC证明：∵OA ⊥OB ，∴∠AOB ＝90º∵AB ⋂=AB ⋂，∴∠C=∠D=21∠AOB=45º∵AC ⊥BD ，∴∠AED=90º, ∴∠EAD=∠AED －∠D=45º ∴∠C=∠EAD, ∴AD ∥BC练习一、选择题1、在半径为R 的圆中有一条长度为R 的弦,则该弦所对的圆周角的度数是( ) ° °或150° ° °或120°2、如图1，BD 是⊙C 的直径，弦AC 与BD 相交于点，则下列结论一定成立的是（）Ａ．ABD ACD ∠=∠ Ｂ．ABD AOD ∠=∠Ｃ．AOD AED ∠=∠ Ｄ．ABD BDC ∠=∠图5A P CB O 3. 如图2，四边形ABCD 内接于⊙O ，若它的一个外角70DCE ∠=，则BOD ∠=（）Ａ．35Ｂ．70Ｃ．110Ｄ．140 º4. 如图3，A C B 、、是⊙O 上三点，若40AOC ∠=，则ABC ∠的度数是（）Ａ．10Ｂ．20Ｃ．40Ｄ．805. 如图4，⊙O 中弧AB 的度数为60，AC 是O 圆的直径，那么BOC ∠等于（）A ．150B ．130C ．120D ．606. 如图5，圆心角∠AOB=120︒，P 是AB ⋂上任一点（不与A ，B 重合），点C 在AP 的延长线上，则∠BPC 等于（）A.45︒B.60︒C.75︒D.85︒1、如图1，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 、E 均在⊙O 上，则∠1+∠2= 。

2020-2021学年沪科版九年级数学24.3圆周角-知识点+习题同步练习提升

圆周角记忆导图 ⎪⎩⎪⎨⎧圆内接四边形性质定义圆周角考点1 圆周角1、圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆还有另一个公共点的角叫做圆周角。

2、圆周角的性质定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。

推论1：在同圆或等圆中，①同弧或等弧所对的圆周角相等；②相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2：①半圆或直径所对的圆周角是直角；②90°的圆周角所对的弦是直径。

3、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）几何语言：若弦AB 、CD 交于点P ，则PA ·PB=PC ·PD 。

考点2 圆的内接四边形1、圆的内接多边形的定义：一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。

2、性质：定理：圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角都等于它的内对角。

推论：如果一个四边形的对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆。

【同步练习巩固】知识点1圆周角概念、定理及推论1．如图，图中的圆周角有__∠ADB ，∠CAD ，∠CBD ，∠ACB__，CD ︵所对的圆周角有__∠CAD ，∠CBD__.2．(教材P29，练习，T2改编)(安徽模拟)如图，点A ，B ，C 都在⊙O 上，∠C ＋∠O ＝63°，则∠O 的度数是( D )A ．21°B ．27°C ．30°D ．42°3．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C 在半圆上．点A ，B 的读数分别为88°，30°，则∠ACB 的大小为( C )A ．15°B ．28°C ．29°D ．34°4．(江苏无锡中考)如图，点A ，B ，C 都在⊙O 上，OC ⊥OB ，点A 在劣弧BC 上，且OA ＝AB ，则∠ABC ＝__15°__.5．(江苏南京鼓楼区期末)如图，⊙O 的两条弦AB 和CD 相交于点P ，若AC ︵、BD ︵的度数分别为60°，40°，则∠APC 的度数为__50°__.6．(广西柳州中考)如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的点，则图中与∠A 相等的角是( D )A ．∠B B ．∠C C ．∠DEBD ．∠D7．(江苏南京秦淮区二模)如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在半圆AB 上，且AC ︵＝CD ︵＝DB ︵，连接AC ，AD ，则∠CAD 的度数是__30__°.8．(四川自贡中考)如图，⊙O 中，弦AB 与CD 相交于点E ，AB ＝CD ，连接AD ，BC. 求证：(1)AD ︵＝BC ︵； (2)AE ＝CE.证明：(1)∵AB ＝CD ，∴AB ︵＝CD ︵，即AD ︵＋AC ︵＝BC ︵＋AC ︵， ∴AD ︵＝BC ︵.(2)∵AD ︵＝BC ︵，∴AD ＝BC. 由同弧所对的圆周角相等，得∠ADE ＝∠CBE ，∠DAE ＝∠BCE ， ∴△ADE ≌△CBE(ASA)， ∴AE ＝CE.9．如图，以等腰三角形ABC 的腰AB 为直径作圆，交底边于点D ，连接AD ，那么∠1与∠2的关系是( C )A ．∠1＋∠2＝90°B ．∠1>∠2C ．∠1＝∠2D ．∠1<∠210．(安徽芜湖南陵一模)如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交，若∠BCD ＝24°，则∠ABD 为__66__度．11．如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，以BC 为直径作⊙O 分别交AB ，AC 于点D ，E. (1)求证：AB ＝2AE ； (2)若AE ＝2，CE ＝1，求BC.解：(1)证明：如图，连接BE.∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BEC ＝90°，即∠AEB ＝90°.∵∠A ＝60°， ∴∠ABE ＝30°，∴AB ＝2AE. (2)∵AE ＝2，∴AB ＝2AE ＝4， ∴BE ＝AB 2－AE 2＝23.∵CE ＝1，∴BC ＝BE 2＋CE 2＝13.知识点2圆的内接四边形12．(教材P31，练习，T1改编)(陕西西安工大附中三模)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，连接OB ，OD ，若∠BOD ＝∠BCD ，则∠BAD 的度数为( C )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°13．(浙江杭州滨江区期末)已知圆内接四边形ABCD 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，则∠D 的大小是( C ) A ．45° B ．60° C ．90° D ．135°14．(安徽池州青阳六校联考)如图，点A ，B ，C ，D ，E 在⊙O 上，AE ︵的度数为40°，则∠B ＋∠D 的度数是__160°__.15．(黑龙江哈尔滨南岗区一模)如图，正方形ABCD 的四个顶点分别在⊙O 上，点P 是在CD ︵上不同于点C 的任意一点，则∠DPC 的度数是__135__度．16．(安徽淮南潘集区第二次联考)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠DAE 是四边形ABCD 的一个外角，且AD 平分∠CAE.求证：DB ＝DC.证明：∵∠DAC 与∠DBC 是同弧所对的圆周角， ∴∠DAC ＝∠DBC.∵AD 平分∠CAE ，∴∠EAD ＝∠DAC ， ∴∠EAD ＝∠DBC.∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠EAD ＝∠BCD ， ∴∠DBC ＝∠BCD ，∴DB ＝DC.【能力培优提升】1．(广西北部湾经济区模拟)如图，在⊙O 中，点C 在优弧AB 上，将BC ︵沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ，连接AC ，CD.则下列结论中错误的是( D )A ．AC ＝CD B.AC ︵＋BD ︵＝BC ︵C ．OD ⊥ABD ．CD 平分∠ACB2．(湖北武汉调研)如图，点D 在半圆O 上，半径OB ＝61，AD ＝10，点C 在BD ︵上移动，连接AC ，H 是AC上一点，∠DHC ＝90°，连接BH ，点C 在移动的过程中，BH 的最小值是( D )A ．5B ．6C ．7D ．83．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D ，E 在⊙O 上，若∠AED ＝20°，则∠BCD 的度数为( B )A ．100°B ．110°C ．115°D ．120°4．如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，延长AB 与DC 相交于点G ，AO ⊥CD ，垂足为E ，连接BD ，∠GBC ＝50°，则∠DBC 的度数为( C )A ．50°B ．60°C ．80°D ．85°5．(河北石家庄一模)如图，点A ，B ，C ，D ，E 都是⊙O 上的点，AC ︵＝AE ︵，∠B ＝122°，则∠D ＝( B )A ．58°B ．116°C ．122°D ．128°6．(四川内江模拟)如图，在⊙O 上有定点C 和动点P ，位于直径AB 的异侧，过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点Q ，已知⊙O 的半径为52，tan ∠ABC ＝34，则CQ 的最大值是__203__.7．(辽宁辽阳中考)如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四点，且点B 是AC ︵的中点，BD 交OC 于点E ，∠AOC ＝100°，∠OCD ＝35°，那么∠OED ＝__60°__.8．(北京西城区二模)如图，点A ，B ，C ，D 都在⊙O 上，C 是 BD ︵的中点，AB ＝CD.若∠ODC ＝50°，则∠ABC 的度数为__100__°.9．(安徽合肥联考)如图，四边形ABDC 内接于⊙O ，∠BAC ＝60°，AD 平分∠BAC 交⊙O 于点D ，连接OB ，OC ，BD ，CD.(1)求证：四边形OBDC 是菱形；(2)若∠ABO ＝15°，OB ＝1，求弦AC 的长．解：(1)证明：如图，连接OD. 由圆周角定理，得∠BOC ＝2∠BAC ＝120°. ∵AD 平分∠BAC ，∴BD ︵＝CD ︵，∴∠BOD ＝∠COD ＝60°.∵OB ＝OD ，OC ＝OD ，∴△BOD 和△COD 是等边三角形， ∴OB ＝BD ＝DC ＝OC ，∴四边形OBDC 是菱形． (2)如图，连接OA.∵OB ＝OA ，∠ABO ＝15°， ∴∠OAB ＝15°，∴∠AOB ＝150°， ∴∠AOC ＝360°－150°－120°＝90°， ∴AC ＝OA 2＋OC 2＝2.10．已知△ABC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 于点D ，BC 于点E ，连接ED ，ED ＝EC. (1)求证：AB ＝AC ； (2)若AB ＝4，BC ＝23，求CD 的长．解：(1)证明：∵ED ＝EC ， ∴∠EDC ＝∠C.∵点A ，B ，E ，D 都在⊙O 上， ∴∠CDE ＝∠B ， ∴∠B ＝∠C ，∴AB ＝AC.(2)如图，连接AE.∵AB 为直径，∴AE ⊥BC.又AB ＝AC ，∴BE ＝CE ＝12BC ＝3.∵∠C ＝∠C ，∠CDE ＝∠B ，∴△CDE ∽△CBA ， ∴CD CB ＝CEAC ，∴CE ·CB ＝CD ·CA. 又AC ＝AB ＝4，∴3×23＝4CD ，∴CD ＝32.11．(天津南开区一模)如图1，在⊙O 中，直径AB ＝4，CD ＝2，直线AD ，BC 相交于点E. (1)∠E 的度数为__60°__；(2)如图2，AB 与CD 交于点F ，请补全图形并求∠E 的度数； (3)如图3，直径AB 与弦CD 不相交，求∠AEC 的度数．解：(2)如图2，直线AD ，CB 交于点E ，连接OD ，OC ，AC. ∵OD ＝OC ＝CD ＝2，∴△DOC 为等边三角形， ∴∠DOC ＝60°，∴∠DAC ＝30°，∴∠EBD ＝30°. ∵AB 为直径，∴∠ADB ＝90°， ∴∠E ＝90°－30°＝60°. (3)如图3，连接OD ，OC.∵OD ＝OC ＝CD ＝2，∴△DOC 为等边三角形， ∴∠DOC ＝60°，∴∠CBD ＝30°. ∵AB 是直径，∴∠ADB ＝90°， ∴∠BED ＝60°，∴∠AEC ＝60°.。

第2课时圆周角定理的推论

第2课时圆周角定理的推论一、学法点津本节课的内容比拟简单，学好本节课的关键是掌握一些数学思想方法在探究过程中的运用．在探究直径所对的圆周角这一定理时利用度量的方法可以初步探究出“直径所对的圆周角是直角〞这一性质；在探究圆内接四边形的性质时可以利用类比上节课探究圆周角定理的方法进展探究；在探究圆内接四边形的对角互补性质时利用“由特殊到一般〞，先探究对角是直角的特殊情况时的结论，使自己有了初步的感知，然后再对一般的情况进展证明就比拟容易了．二、学点归纳总结(一)知识要点总结1．圆周角定理推论：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．2．圆内接四边形的概念：四个顶点都在圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．3．圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．(二)规律方法总结1．运用圆周角定理的推论作辅助线的口诀记忆法：(1)直径所对的圆周角是直角→“见直径出直角〞；(2)90°的圆周角所对的弦是直径→“见直角连直径〞．2．圆内接四边形的性质的推论：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角．(三)易错问题误区点拨对圆内接四边形的性质把握不清．【典例】如图3－4－86，∠EAD是圆内接四边形ABCD的一个外角，那么()图3－4－86A．∠EAD＝∠B B．∠EAD＝∠DC．∠EAD＝∠C D．∠EAD＝∠B＋∠C【错解】D【错解分析】圆内接四边形的两个性质：内角互补；外角等于其内对角．往往容易与三角形外角的性质混淆．【正解】C【正解分析】∵∠EAD是圆内接四边形ABCD的一个外角，∴∠BAD＋∠EAD＝180°，∠BAD＋∠C＝180°，∴∠EAD＝∠C.应选C.三、稳固拓展练习1．[湖州中考] 如图3－4－87，AB是△ABC外接圆的直径，∠A＝35°，那么∠B的度数是(C)图3－4－87A．35°B．45°C．55°D．65°[解析] ∵AB是△ABC外接圆的直径，∴∠C＝90°.∵∠A ＝35°，∴∠B ＝90°－∠A ＝55°.应选C.2．[日照中考] 如图3－4－87，在△ABC 中，以BC 为直径的圆分别交边AC ，AB 于E ，D 两点，连接BD ，DE.假设BD 平分∠ABC ，那么以下结论不一定成立的是(D)A ．BD ⊥ACB ．AC 2＝2AB·AEC ．△ADE 是等腰三角形D ．BC ＝2AD[解析] ∵BC 是直径，∴∠BDC ＝90°，∴BD ⊥AC ，故A 正确；∵BD 平分∠ABC ，BD ⊥AC ，∴△ABC 是等腰三角形，∴∠A ＝∠C ，AD ＝CD.∵四边形BCDE 是圆内接四边形，∴∠AED ＝∠C ，∴△ADE ∽△ABC ，△ADE 是等腰三角形，∴AD ＝DE ＝CD ，∴AC AE ＝BC DE ＝2BC 2DE ＝2AB AC，∴AC 2＝2AB·AE ，故B 正确；由B 的证明过程，可得C 选项正确．应选D.图3－4－88 图3－4－893．[常州中考] 如图3－4－89，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，BD 为⊙O 的直径，AD ＝6，那么DC ＝．[解析] ∵BD 为⊙O 的直径，∴∠BAD ＝∠BCD ＝90°.∵∠BAC ＝120°，∴∠CAD ＝120°－90°＝30°，∴∠CBD ＝∠CAD ＝30°.∴∠BDC ＝90°－∠CBD ＝90°－30°＝60°.∵AB ＝AC ，∴∠ADB ＝∠ADC ，∴∠ADB ＝12∠BDC ＝12×60°＝30°.在Rt △ABD 中，∵AD ＝6，∴BD ＝AD÷cos30°＝6÷32＝4 3.在Rt △BCD 中，DC ＝12BD ＝12×43＝2 3.故答案为2 3. 4.如图3－4－90，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，OD ⊥AC ，垂足为E ，图3－4－90连接BD.(1)求证：BD 平分∠ABC ；(2)当∠ODB ＝30°时，求证：BC ＝OD.证明：(1)∵OD ⊥AC ，OD 为半径，∴CD ︵＝AD ︵，∴∠CBD ＝∠ABD ，∴BD 平分∠ABC.(2)∵OB ＝OD ，∴∠OBD ＝∠ODB ＝30°，∴∠AOD ＝∠OBD ＋∠ODB ＝30°＋30°＝60°.又∵OD ⊥AC 于点E ，∴∠OEA ＝90°，∴∠A ＝180°－∠OEA －∠AOD ＝180°－90°－60°＝30°.又∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∴在Rt △ACB 中，BC ＝12AB.又∵OD ＝12AB ，∴BC ＝OD. 5．如图3－4－91，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，DP ∥AC ，交BA 的延长线于点P ，求证：AD·DC ＝PA·BC.图3－4－91 图3－4－92证明：如图3－4－92，连接BD.∵DP ∥AC ，∴∠PDA ＝∠DAC.∵∠DAC ＝∠DBC ，∴∠PDA ＝∠DBC.∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠DAP ＝∠DCB ，∴△PAD ∽△DCB.∴PA ∶DC ＝AD ∶BC ，即AD·DC ＝PA·BC.四、挑战课标中考1．[毕节中考] 如图3－4－93是以△ABC 的边AB 为直径的半圆O ，点C 恰好在半圆上，过点C 作CD ⊥AB 于点D.cos ∠ACD ＝35，BC ＝4，那么AC 的长为(D) 图3－4－93A ．1 B.203 C ．3 D.163[解析] ∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＋∠BCD ＝90°.∵CD ⊥AB ，∴∠BCD ＋∠B＝90°，∴∠B ＝∠ACD.∵cos ∠ACD ＝35，∴cosB ＝35，∴tanB ＝43.在Rt △ABC 中，∵BC ＝4，∴tanB ＝AC BC ＝AC 4＝43，∴AC ＝163. [解题策略] 此题考察了圆周角定理以及三角函数的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．2．[兰州中考] 如图3－4－94，△ABC 为⊙O 的内接三角形，AB 为⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，∠ADC ＝54°，那么∠BAC 的度数等于__36°__．图3－4－94[解析] ∵∠ABC 与∠ADC 是AC ︵所对的圆周角，∴∠ABC ＝∠ADC ＝54°.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠BAC ＝90°－∠ABC ＝90°－54°＝36°.[解题策略] 此题考察了圆周角定理与直角三角形的性质．此题比拟简单，注意掌握“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等〞与“直径所对的圆周角是直角〞定理的应用．3．[无锡中考] 如图3－4－95，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是半圆O 上的两点，且OD ∥BC ，OD 与AC 交于点E.(1)假设∠B ＝70°，求∠CAD 的度数；(2)假设AB ＝4，AC ＝3，求DE 的长．图3－4－95[解析] (1)根据圆周角定理的推论可得∠ACB ＝90°，那么∠CAB 的度数即可求得．在等腰三角形AOD 中，根据等边对等角求得∠DAO 的度数，那么∠CAD 的度数即可求得；(2)易证OE 是△ABC 的中位线，利用中位线定理求得OE 的长，那么DE 的长即可求得．解：(1)∵AB 是半圆O 的直径，∴∠ACB ＝90°.又∵OD ∥BC ，∴∠AEO ＝∠ACB ＝90°，即OE ⊥AC ，∠CAB ＝90°－∠B ＝90°－70°＝20°，∠AOD ＝70°.∵OA ＝OD ，∴∠DAO ＝∠ADO ＝180°－∠AOD 2＝180°－70°2＝55°. ∴∠CAD ＝∠DAO －∠CAB ＝55°－20°＝35°.(2)在直角三角形ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝42－32＝7.∵OE ⊥AC ，∴AE ＝EC.又∵OA ＝OB ，∴OE ＝12BC ＝72. 又∵OD ＝12AB ＝2，∴DE ＝OD －OE ＝2－72. [解题策略] 此题考察了圆周角定理以及三角形的中位线定理，证明OE 是△ABC 的中位线是解(2)题的关键．。

《圆》知识点及练习题

《圆》知识点及练习题一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；A四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+；外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+；相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+；内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-；内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

初三数学九上圆所有知识点总结和常考题型练习题

圆知识点、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；23、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念:1、圆：至U定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）3 、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4 、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;5 、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

四、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1 :（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论, 即：①AB是直径②AB_CD ③CE=DE ④弧BC二弧BD ⑤弧AC二弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即:在Θ O 中，I AB // CD.∙.弧AC =弧BD五、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。

此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：① AOB "DOE :② AB=DE ；③OC =OF :④弧BA二弧BD六、圆周角定理I1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

1、点在圆内― d ：：—点C在圆内;2、点在圆上― d = r—点B在圆上;3、点在圆外— d r—点A在圆外;1、直线与圆相离— d ∙ r = 尢父点；2、直线与圆相切— d = r—有一个交点;3、直线与圆相交— d ：—有两个交点;、点与圆的位置关系三、直线与圆的位置关系OADEODCAOBA八、切线的性质与判定定理(1) 切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：∙∙∙ MN _OA 且MN 过半径OA 外端••• MN 是Θ O 的切线(2) 性质定理：切线垂直于过切点的半径(如上图)推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。

专题17 圆周角重难点题型专训(八大题型)(解析版)

第二十四章圆专题17圆周角重难点题型专训（八大题型）【题型目录】题型一圆周角的概念辨析题型二圆周角定理题型三同弧或等弧所对的圆周角相等问题题型四半圆所对的圆周角是直角问题题型五90°的圆周角所对的弦是直径问题题型六已知圆内接四边形求角度题型七求四边形外接圆的直径题型八圆周角综合问题【知识梳理】知识点一、圆周角1．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90 的圆周角所对的弦是直径。

（在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角）2．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．3．一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。

圆内接四边形定理：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角。

【经典例题一圆周角的概念辨析】1．（2020秋·浙江宁波·九年级校考期中）下列说法：（1）三点确定一个圆；（2）直径所对的圆周角是直角；（3）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；（4）相等的圆心角所对的弧相等；（5）圆内接四边形的对角互补．其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】根据确定圆的条件、直径的性质、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质一一判断即可．【详解】解：（1）任意三点确定一个圆；错误，应该是不在同一直线上的三点可以确定一个圆；（2）直径所对的圆周角是直角；正确；（3）平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，错误，直径与直径互相平分，但不一定互相垂直；（4）相等的圆心角所对的弧相等；错误，应该是在同圆或等圆中；（5）圆内接四边形对角互补；正确；故选：B．【点睛】本题考查确定圆的条件、直径的性质、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD的顶点A，B，C在圆上，且边CD与该圆交于点E，AC，BE交于点F.下列角中，弧AE所对的圆周角是()A ．∠ADEB ．∠AFEC ．∠ABED ．∠ABC【答案】C 【分析】直接运用圆周角的定义进行判断即可.【详解】解：弧AE 所对的圆周角是：∠ABE 或∠ACE故选：C【点睛】本题考查了圆周角的定义，掌握圆周角的定义是解题的关键.3．（2023·湖南娄底·校考一模）已知点A 、B 、C 、D 在圆O 上，且FD 切圆O 于点D ，OE CD 于点E ，对于下列说法：①圆上 AbB 是优弧；②圆上 AbD 是优弧；③线段AC 是弦；④CAD 和ADF 都是圆周角；⑤COA 是圆心角，其中正确的说法是．【答案】①②③⑤【分析】根据优弧的定义，弦的定义，圆周角的定义，圆心角的定义逐项分析判断即可【详解】解： AbB ， AbD 都是大于半圆的弧，故①②正确，,A C ∵在圆上，则线段AC 是弦；故③正确；∵,,C A D 都在圆上，CAD 是圆周角而F 点不在圆上，则ADF 不是圆周角故④不正确；∵O 是圆心，,C A 在圆上COA 是圆心角故⑤正确故正确的有：①②③⑤故答案为：①②③⑤【点睛】本题考查了优弧的定义，弦的定义，圆周角的定义，圆心角的定义，理解定义是解题的关键．优弧是大于半圆的弧，任意圆上两点的连线是弦，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角，顶点在圆心，并且两边都和圆相交的角叫做圆心角．4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，直线l 经过O 的圆心O ，且与O 交于A B 、两点，点C 在O 上，且30AOC ，点P 是直线l 上的一个动点(与圆心O 不重合)，直线CP 与O 相交于另一点Q ，如果QP QO ，则OCP .【答案】40°、20°、100°【分析】点P 是直线l 上的一个动点，因而点P 与线段AO 有三种位置关系，在线段AO 上，点P 在OB 延长线上，点P 在OA 的延长线上．分这三种情况进行讨论即可．【详解】解：①根据题意，画出图1，在QOC 中，OC OQ ，∴OQC OCP =，在OPQ △中，QP QO =，∴QOP QPO =，又∵30AOC ＝，∴30QPO OCP AOC OCP =+=+，在OPQ △中，180QOP QPO OQC ++=，即 3030180OCP OCP OCP ++＋+=，整理得，3120OCP =，∴40OCP ．②当P 在线段OA 的延长线上，如图21180211802OC OQ OQP QOC OQ PM OPQ OQP∵∵，①，，②，在OQP 中，30180QOC OQP OPQ +++=③，把①②代入③得20QOC =，则80OQP=∴100OCP =；③当P 在线段OA 的反向延长线上，如图3，1180211802301502OC OQ OCP OQC COQ OQ PQ P OQP AOC COQ POQ P POQ P OCP OQC∵∵∵∵，①，，②，，③，，④，①②③④联立得10P =，1801501020OCP ==．故答案为：40°、20°、100°．【点睛】本题主要考查了圆的认识及等腰三角形等边对等角的性质，画出图形，进行分类讨论是解题的关键．5．（2023·甘肃酒泉·统考三模）把下面的语句还原成图形：作图区域：(1)M 的半径为1cm ，AB 是M 的一条弦（AB 不经过M ），AMB 、ACB 分别是劣弧 AB 所对应的圆心角和圆周角；(2) DE 是O 中的一条弧，且 AB DE．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）画非直径的弦AB ，在优弧 AB 上取点C ，连接AC ，BC ，即可解答；（2）在M 上取一点D ，以AB 为半径画弧，交M 于点E ，即可．【详解】（1）解：如图，AMB 和ACB 为所作；作图区域：（2）解：如图，在M 上取一点D ，以AB 为半径画弧，交M 于点E ，根据等弦对等弧，可得 AB DE， DE即为所作，作图区域：【点睛】本题考查了作图-复杂作图，熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解乘基本作图，逐步操作即可．6．（2023秋·河南信阳·九年级统考期末）（1）【学习心得】小明同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝°．（2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝27°，求∠BAC的数．（3）【问题拓展】如图3，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG 于点H．若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是．【答案】（1）45；（2）27°；（3）25﹣2【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．（2）由A、B、C、D共圆，得出∠BDC=∠BAC，（3）根据正方形的性质可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE 和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，利用“SAS”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2=∠3，从而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB=90°，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=12AB=2，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小．【详解】解：（1）如图1，∵AB＝AC，AD＝AC，∴以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点B、C、D必在⊙A上，∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，∴∠BDC＝12∠BAC＝45°，故答案是：45；（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO．∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴点A、B、C、D共圆，∴∠BDC＝∠BAC，∵∠BDC＝27°，∴∠BAC＝27°，（3）如图3，在正方形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ，∠BAD ＝∠CDA ，∠ADG ＝∠CDG ，在△ABE 和△DCF 中，AB CD BAD CDA AE DF，∴△ABE ≌△DCF （SAS ），∴∠1＝∠2，在△ADG 和△CDG 中，AD CD ADG CDG DG DG，∴△ADG ≌△CDG （SAS ），∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵∠BAH +∠3＝∠BAD ＝90°，∴∠1+∠BAH ＝90°，∴∠AHB ＝180°﹣90°＝90°，取AB 的中点O ，连接OH 、OD ，则OH ＝AO ＝12AB ＝2，在Rt △AOD 中，OD ＝22AO AD ＝2224 ＝25，根据三角形的三边关系，OH +DH ＞OD ，∴当O 、D 、H 三点共线时，DH 的长度最小，最小值＝OD ﹣OH ＝25﹣2．故答案为：25﹣2．【点睛】本题主要考查了圆的综合题，需要掌握圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握圆的性质及正方形的性质是解题的关键．【经典例题二圆周角定理】1．（2023春·福建福州·九年级校考期中）如图，点A ，B ，C ，D 在O 上，140AOC ，B 是弧AC 的中点，则D 的度数是（）A ．30B ．35C ．45D ．70【答案】B 【分析】连接OB ，如图，利用圆心角、弧、弦的关系，然后根据圆周角定理求解．【详解】解：连接OB ，如图所示，∵B 是弧AC 的中点，即 AB BC ，∴111407022AOB COB AOC ，∵D 和AOB 都对 AB ，∴1352D AOB ．故选：B ．【点睛】本题考查了圆周角定理：熟练掌握圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理是解决问题的关键．2．（2023春·陕西榆林·九年级校考期中）如图，O 是ABC 的外接圆，且AB 是O 的直径，点D 在O 上，连接OD 、BD ，且BD BC ，若50BOD ，则ABC 的度数为（）A ．65B ．50C ．30D ．25【答案】A 【分析】根据BD BC 得出1252BAC BOD ，根据AB 是O 的直径，得出90ACB ，最后根据直角三角形两锐角互余，即可解答．【详解】解：∵BD BC ，50BOD ，∴1252BAC BOD ，∵AB 是O 的直径，∴90ACB ，∴9065ABC ACB ，故选：A ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，解题的关键是在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半，直径所对的圆周角是直角．3．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考开学考试）如图，AB 是O 的一条弦，OD AB ，垂足为点C ，交O 于点D ，点E 在O 上，30AED ，10OB ，则弦AB 的长是．【答案】103【分析】根据垂径定理得到 AD BD，结合30AED 得到60BOD ，结合三角函数直接求解即可得到答案；【详解】解：∵OD AB ，∴ AD BD，2AB BC ，∵30AED ，∴60BOD ，∴30OBC ，∵10OB ，∴152OC OB ，∴2253BC OB OC ，∴103AB ，故答案为：103．【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理及勾股定理，解题的关键是得到 AD BD．4．（2023秋·九年级课时练习）如图，已知,C D 是半圆O 上的三等分点，连接,,,,AC BC CD OD BC 和OD 相交于点E ，有下列结论：①30CBA ；②OD BC ；③12OE AC；④四边形AODC 是菱形．其中正确的有（填序号）．【答案】①②③④【分析】①首先根据点C ，D 是半圆O 上的三等分，求出AOC 的度数；然后根据圆周角定理，求出CBA 的度数即可；②根据三角形的内角和定理，求出90BEO ，即可判断出OD BC ；③根据垂径定理判断出E 是BC 的中点，然后得到OE 是ABC 的中位线，即可判断出12OE AC ，④先证明AC OD ∥，再证明AOC 是等边三角形，得到AC OA OD ，根据菱形的判定方法可判断四边形AODC 是菱形.【详解】解：连接OC ，∵已知,C D 是半圆O 上的三等分点，∴1180603AOC COD BOD ，∴11603022CBA AOC ，故①正确；∴180180603090BEO BOD CBA ，∴OD BC ，故②正确；∴BE CE ，OB OC ，∴OE 是ACB △的中位线，∴12OE AC ，故③正确；∵AB 是半圆O 的直径，∴AC BC ，又OD BC ，∴AC OD ∥，∵OC OA ，60AOC ，∴AOC 是等边三角形，∴AC OA OD ，∴四边形AODC 是平行四边形，又AC OA ，∴四边形AODC 是菱形．故④正确，故答案为：①②③④．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦三者的关系，菱形的判定和性质，等边三角形的判定，三角形的内角和定义及中位线性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图1，已知AB 为O 的直径，C 为O 上一点，CE AB 于E ，D 为弧BC 的中点，连接AD ，分别交CE CB 、于点F 和点G ．(1)求证：CF CG ；(2)如图2，若AF DG ，连接OG ，求证：OG AB ．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接AC ，根据直径所对的圆周角是直角可得90ACB ，从而可得∠CAG +∠AGC ＝90°，根据垂直定义可得90CEA ，从而可得90FAE AFE ，然后根据已知可得 DCDB ，从而可得CAG FAE ，进而可得AGC AFE ，最后根据对顶角相等可得AFE CFG ，从而可得AGC CFG 进而根据等角对等边即可解答；（2）连接,AC CD ，利用（1）的结论，再根据等角的补角相等可得AFC CGD ，然后根据SAS 证明AFC DGC ≌，从而可得AC CD ，进而可得 AC DCDB ，最后根据等弧所对的圆周角相等可得ABC DAB ，从而可得GA GB ，进而利用等腰三角形的三线合一性质即可解答．【详解】（1）证明：连接AC ，∵AB 为O 的直径，∴90ACB ，∴90CAG AGC ，∵CE AB ，∴90CEA ，∴90FAE AFE ，∵D 为弧BC 的中点，∴ DCDB ，∴CAG FAE ，∴AGC AFE ，∵AFE CFG ，∴AGC CFG ，∴CF CG ；（2）解：连接,AC CD ，∵CFG CGF ，∴180180CFG CGF ，∴AFC CGD ，∵CF CG ，AF DC ，∴ SAS AFC DGC ≌，∴AC CD ，∴ AC DC，∵ DCDB ，∴ AC DB，∴ABC DAB ，∴GA GB ，∵OA OB ，∴GO AB ．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．6．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）如图，AB 是O 的一条弦，OD AB ，垂足为点C ，交O 于点D ，点E 在O 上．(1)若50AOD Ð=°，求DEB 的度数；(2)若6OC ，10OA ，求AB 的长．【答案】(1)25(2)AB 的长为16【分析】（1）根据垂径定理的推论可得 AD DB，再根据同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解即可；（2）利用勾股定理列式求出AC ，根据垂径定理的推论可得AC BC ，即可求解．【详解】（1）解：∵AB 是O 的一条弦，OD AB ，∴ AD DB，又∵50AOD Ð=°，∴11502522DEB AOD ．（2）解：∵OD AB ，∴=90AOC ，在Rt AOC 中，22221068AC OA OC ，∵AB 是O 的一条弦，OD AB ，∴AC BC ，则216AB AC CB AC ．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理的推论，解题的关键是明确在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．【经典例题三同弧或等弧所对的圆周角相等问题】1．（2021春·福建南平·九年级统考阶段练习）如图，ACD 是O 的内接三角形，AC CD ，连接AO 并延长交O 于点B ，连接BC ，若32BAC ，则ACD 等于（）A ．64B ．62C ．60D ．58【答案】A 【分析】先证明90ACB ，可得903258ADC ABC ，证明58CAD ADC ，再利用三角形的内角和定理可得答案．【详解】解：∵AB 为O 的直径，∴90ACB ，∵32BAC ，∴903258ADC ABC ，∵AC CD ，∴58CAD ADC ，∴18025864ACD ；故选A ．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，熟记圆周角定理是解本题的关键．2．（2022·北京西城·校考模拟预测）如图，ADC △内接于O ，BC 是O 的直径，若66A ，则BCD 等于（）A ．66B ．34C ．24D ．14【答案】C 【分析】根据同弧所对圆周角相等得到66B A ，根据直径所对的圆周角是直角得到=90BDC ，根据直角三角形两锐角互余，得到24BCD ．【详解】∵66A ，∴66B A ，∵BC 是O 的直径，∴=90BDC ，∴906624BCD ．故选：C ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理及推论．熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，半圆（或直径）所对的圆周角是直角，直角三角形两锐角互余，是解决问题的关键．3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，ABC 内接于O ，AB 是O 的直径，点D 是O 上一点，55CDB ，则ABC °．【答案】35【分析】根据圆周角定理和三角形的内角和定理即可得到结论．【详解】解：AB ∵是O 的直径，90ACB ，55A D ∵==，18035ABC ACB A ==，故答案为：35．【点睛】本题考查了考查了圆周角定理、三角形的外接圆与外心，熟练掌握圆周角定理是解题关键．4．（2023·云南德宏·统考一模）已知：如图，AB 是O 的直径，AB 垂直弦CD 于点E ，则在不添加辅助线的情况下，图中与CDB 相等的角是（写出一个即可）．【答案】CAB 或BCD 或DAB【分析】利用垂径定理和圆周角定理即可求解．【详解】∵AB CD ，AB 是O 直径，∴ BCBD ，∴CDB CAB BCD DAB ，故答案为：CAB 或BCD 或DAB ．【点睛】此题考查了垂径定理和圆周角定理，解题的关键是熟练掌握以上定理的应用．5．（2023秋·九年级课时练习）如图所示，四边形ABCD 内接于O ，50,25,65B ACD BAD ．求证：(1)AD CD ；(2)AB 是O 的直径．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接BD ，根据圆周角定理得125ACD ，再由50ABC 可计算出225 ，则 AD CD，然后根据圆心角、弧、弦的关系即可得到AD CD ；（2）根据三角形内角和定理可计算出180190ADB BAD ，则根据圆周角的推理即可得到AB 为O 的直径．【详解】（1）证明：连接BD ，如图，125ACD ∵，而50ABC ，21502525ABC ，12 ，AD CD，AD CD ；（2）65BAD ∵，125 ，1801180652590ADB BAD ，AB 为O 的直径．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90 的圆周角所对的弦是直径．6．（2022秋·甘肃定西·九年级统考期末）已知：O 的两条弦AB ，CD 相交于点M ，且AB CD ．(1)如图1，连接AD .求证：AM DM ．(2)如图2.若AB CD ．在 BD 上取一点E ，使 BE BC ，AE 交CD 于点F ，连接AD 、DE ．判断E 与DFE 是否相等，并说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)E 与DFE 相等．理由见解析【分析】（1）根据AB CD 得 AB CD ，即 AC BC BC BD ， AC BD，得A D ，即可得；（2）连接AC ，根据 BEBC 得CAB EAB ，根据AB CD 得AC AF ，即ACF AFC ，根据,ACF E AFC DFE ，即可得．【详解】（1）证明：AB CD ∵，C AB D即 AC BCBC BD ， AC BD ，A D ，AM DM ．（2）E 与DFE 相等．理由如下：解：连接AC ，如图，BEBC ∵，CAB EAB ，AB CD ∵，AC AF ，ACF AFC ，,ACF E AFC DFE ∵，DFE E ．【点睛】本题考查了圆的性质，解题的关键是掌握圆周角定理，垂经定理，角、弧、弦的关系．【经典例题四半圆所对的圆周角是直角问题】1．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在ABC 中，AC BC ，O 是ABC 的外接圆，AB 是O 的直径，点D 在O 上，连接CD 交AB 于点E ，连接OD ，若120BOD ，则BED 的度数为（）A ．60B ．75C ．100D ．105【答案】D 【分析】连接BD ，根据等腰三角形的性质得到30OBD ODB ，根据平角的定义得到18012060AOD ，根据圆周角定理得到90ACB ，求得45A ，根据圆周角定理得到45CDB A ，根据三角形内角和定理即可得到结论．【详解】解：连接BD ，OD OB ∵，120BOD ，30OBD ODB ，18012060AOD ，AB ∵是O 的直径，45A ABC ，AC BC ∵，45A ，45CDB A ，15CDO CDB ODB ，1806015105BED ，故选：D ．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰直角三角形的性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．2．（2022·河北衡水·校考模拟预测）如图，点A ，B ，C 在O 上，BC OA ∥，连接BO 并延长，交O 于点D ，连接AC ，.DC 若40D ，下列结论不正确的是（）A ．50BB ．直线AO 垂直平分CDC ．12A BD ．30ACB【答案】D 【分析】根据圆周角定理可得90BCD ，从而根据三角形内角和求出B ，A 选项即可判断；根据平行的性质及圆周角定理设A ACB x ，则2BOA x ，根据三角形内角和即可求出x 的值，从而求出A ，ACB ，AOB ，从而可判断C 、D 选项；延长AO 交CD 于点E ，根据对顶角相等可得到DOE ，从而求出90OED ，再结合垂径定理可判断出AO 与CD 的关系，即可判断出选项B ．【详解】解：如图，延长AO 交CD 于点E ，BD Q 是O 的直径，90BCD ，180180904050B BCD D ，故A 选项正确，不符合题意；BC OA ∥∵，设A ACB x ，则2BOA x ，250x x x∵25x ，25ACB A ，50BOA故D 选项不正确，符合题意；50B ∵，12A B ；故C 选项正确，不符合题意；根据对顶角相等可得：50DOE BOA ，180504090OED ，OE CD ，O ∵是圆心，DE CE ，直线AO 垂直平分CD ；故B 选项正确，不符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查圆周角定理及垂径定理，涉及到垂直平分线的定义、三角形内角和等，解题关键是熟练运用圆周角定理和垂径定理．3．（2023·江苏·统考中考真题）如图，AD 是O 的直径，ABC 是O 的内接三角形．若DAC ABC ，4AC ，则O 的直径AD ．【答案】42【分析】连接CD ，OC ，根据在同圆中直径所对的圆周角是90 可得=90ACD ，根据圆周角定理可得COD COA ，根据圆心角，弦，弧之间的关系可得AC CD ，根据勾股定理即可求解．【详解】解：连接CD ，OC ，如图：∵AD 是O 的直径，∴=90ACD ，∵DAC ABC ，∴COD COA ，∴AC CD ，又∵4AC ，∴4CD ，在Rt ACD △中，22224442AD AC CD，故答案为：42．【点睛】本题考查了在同圆中直径所对的圆周角是90 ，圆周角定理，圆心角，弦，弧之间的关系，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．4．（2022秋·江苏泰州·九年级校考阶段练习）如图，已知O 的直径AB ，D 为O 上一点（不与A 、B 重合），连接AD 、BD ．弦DC 平分ADB ，交AB 于点E ，过点A 作AF CD 于点F ，交O 于点G ，连接DG ，若DG AE ，则G 的度数为．【答案】67.5【分析】DG 交AB 于H ，如图，根据圆周角定理得到90ADB ，则=45ADC ，再证明45DAF ，AF DF ，则可判断Rt Rt AEF DGF ≌，所以EAF GDF ，接着证明90DHE AFE ，则根据垂径定理得到 BDBG ，然后根据圆周角定理得到22.5BAG BAD ，最后利用互余可计算出G 的度数．【详解】解：DG 交AB 于H ，如图，O ∵ 的直径AB ，90ADB ，∵弦DC 平分ADB ，45ADC ，AF CD ∵，90AFD ，45DAF ，AF DF ，在Rt AEF 和Rt DGF △中，AE DG AF DF， Rt Rt HL AEF DGF ≌，EAF GDF ，AEF DEH ∵，90DHE AFE ，AB DG ，BDBG ，122.52BAG BAD DAG ，9067.5G GAH ．故答案为：67.5．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90 的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．5．（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）已知：如图，点E 是边长为2的正方形ABCD 中AB 边上一点（不与A 、B 重合），以CE 为直径的O 分别交DE 和CD 于点F 、M ，DH CE 于点H ．(1)求证：BE CM(2)猜想AE 与HE 的大小关系，并说明理由．(3)当DF CH 时，求DEH △的面积．【答案】(1)见解析(2)AE HE ，理由见解析(3)65【分析】（1）连接EM ，根据正方形性质得出90B BCM ，根据直径所对圆周角为直角得出90CM E ，证明四边形BEMC 为矩形，即可求证BE CM ；（2）根据题意可得90A DHE ，AD CD ，在Rt DCH △中，DH CD ，则DH AD ，根据勾股定理得出222AE DE AD ，222HE DE DH ，得出22AE HE ，则AE HE ；（3）连接CF ，证明 Rt Rt HL CDF DCH ≌，得出DCH CDE ，则DE CE ，根据三线合一得出112CM DM CD ，即可用勾股定理求出5DE CE ，根据1122DCE S DC EM CE DH ，求出455DH ，在Rt DEH △中，用勾股定理求出355EH ，最后根据三角形面积公式即可求解．【详解】（1）解：连接EM ，∵四边形ABCD 为正方形，，∴90B BCM ，∵CE 为O 直径，∴90CM E ，∴四边形BEMC 为矩形，∴BE CM ；（2）解：AE HE ，理由如下，∵四边形ABCD 是正方形，DH CE ，∴90A DHE ，AD CD ，∵在Rt DCH △中，DH CD ，∴DH AD ，在Rt ADE △中，根据勾股定理可得：222AE DE AD ，在Rt HDE △中，根据勾股定理可得：222HE DE DH ，∴22AE HE ，即AE HE ；（3）解：连接CF ，∵CE 为O 直径，∴90CFE CFD ，在Rt CDF △和Rt DCH △中，CD DC CH DE，∴ Rt Rt HL CDF DCH ≌，∴DCH CDE ，则DE CE ，由（1）可得90CM E ，∴112CM DM CD ，∵四边形BEMC 为矩形，∴2EM BC ，在Rt CME △中，根据勾股定理可得：225CE CM EM ，则5DE CE ，∵1122DCE S DC EM CE DH ，∴DC EM CE DH ，即225DH ，解得：455DH ，在Rt DEH △中，22355EH DE DH，∴113545622555DEH S EH DH ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，并熟练运用，正确作出辅助线，构造矩形和全等三角形．6．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点B ，C 为O 上两定点，点A 为O 上一动点，过点B 作BE AC ∥，交O 于点E ，点D 为射线BC 上一动点，且AC 平分BAD ，连接CE ．(1)求证：AD EC ∥；(2)连接EA ，若BC CD ，试判断四边形EBCA 的形状，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)四边形EBCA 是矩形，理由见解析【分析】（1）根据角平分线的定义，可得BAC DAC ，再根据圆周角定理可得E BAC ，再根据平行线的性质可得E ECA ，进而得到ECA DAC ，最后再根据内错角相等两直线平行，即可证明结论；（2）由角平分线的定义，可得BAC DAC ，再根据等腰三角形三线合一的性质，可得90ACB ACD ，即90AEB ，进而得到90EBC ACD ，再根据矩形的判定定理，即可得出答案．【详解】（1）证明：∵AC 平分BAD ，∴BAC DAC ，∵E BAC ，∴E DAC ，∵BE AC ∥，∴E ECA ，∴ECA DAC ，∴EC AD ∥．（2）解：四边形EBCA 是矩形，理由如下：∵AC 平分BAD ，∴BAC DAC ，又∵BC CD ，∴90ACB ACD ，∴AB 为O 的直径．∴90AEB ，又∵BE AC ∥，∴90EBC ACD ，∴四边形EBCA 是矩形．【点睛】本题主要考查圆周角定理、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、矩形的判定定理，灵活运用相关知识是解答本题的关键．【经典例题五90°的圆周角所对的弦是直径问题】1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，ABC 是等边三角形，2AB ，点P 是ABC 内一点，且30BAP CBP ，连接CP ，则CP 的最小值为（）A ．12B ．32C ．23D ．31【答案】D 【分析】根据等边三角形的性质得到60ABC ，AB BC AC ，继而推出90APB ，可得点P 在以AB 为直径的圆上，得知当C ，D ，P 三点共线时，CP 最小，再利用等边三角形的性质和勾股定理求解即可．【详解】解：∵ABC 是等边三角形，∴60ABC ，AB BC AC ，∵30BAP CBP ，∴ 6030BAP ABP ，整理得：90BAP ABP ，则90APB ，∴点P 在以AB 为直径的圆上，如图，设AB 的中点为D ，连接DP ，即DP 长度不变，∴CP DP CD ，∴当C ，D ，P 三点共线时，CP 最小，此时CD AB ，∵2AB BC AC ，∴112DP AB ，223CD BC BD ，∴CP 的最小值为31CD DP ，故选D ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，三角形三边关系的应用，解题的关键是根据已知条件推出90APB ，得到点P 在以AB 为直径的圆上．2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，正方形ABCD 中，12AB ，点P 为边DA 上一个动点，连接CP ，点E 为CD 上一点，且4DE ，在AB 上截取点Q 使EQ CP ，交CP 于点M ，连接BM ，则BM 的最小值为（）A ．8B ．12C ．4104D ．835【答案】C 【分析】如图所示，过点E 作EF AB 于F ，当点P 运动时，点M 在以CE 为直径的半圆上，即点M 在圆心为O 的半圆上运动，当点M 运动到OB 连线上时，BM 的值最小，根据题意可证Rt Rt (HL)EFQ CDP △≌△，由此可证CEM 是直角三角形，可得点M 在以CE 为直径的半圆上运动，可求出半圆的半径，在Rt BCO △中，可求出OB 的长，由此即可求解．【详解】解：如图所示，过点E 作EF AB 于F ，连接BO ，如图所示：∵四边形ABCD 是正方形，∴12AB BC CD AD ====，90A ABC BCD D EFQ ，∵EF AB ，∴四边形AFED 是矩形，则AD EF CD ，在Rt EFQ △和Rt CDP △中，EQ CP EF CD，∴Rt Rt (HL)EFQ CDP △≌△，∴FEQ DCP ，∵90FEQ CEM CEF +，∴90DCP CEM +，∴90EMC ，即CEM 是直角三角形，∴当点P 运动时，点M 在以CE 为直径的半圆上运动，设圆心为O ，当点M 运动到OB 连线上时，BM 的值最小，∵12,4CD DE ，∴1248CE CD DE ，则半圆的半径118422OE OC CE ，在Rt BCO △中，2222412410OB OC BC ，当点M 运动到OB 连线上时，BM 的值最小，∴BM 的最小值为4104 ，故C 正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查正方形与圆的结合求最值，理解动点的运动规律，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识是解题的关键．3．（2023·重庆·九年级统考学业考试）如图，四边形ABCD 是矩形，4,6AB AD ，点E 是平面内的一个动点，连接AE DE 、，在运动的过程中，AE 始终垂直于DE ，将AE 绕点A 顺时针旋转90 得到AF ，连接CF ，则CF 的最大值为．【答案】373【分析】先通过AE DE ，则可判断点E 在AD 为直径的圆上运动，将AD 绕点A 顺时针旋转90 至AD ，设AD 的中点为M ，则点E 在AD 为直径的圆上运动，当点C ，M ，F 三点共线时，CF 有最大值，最后利用勾股定理即可求解．【详解】如图，∵AE DE ，∴90AED ，∴点E 在AD 为直径的圆上运动，将AD 绕点A 顺时针旋转90 至AD ，设AD 的中点为M ，又∵AE AF ，∴由题意可知点E 在AD 为直径的圆上运动，当点C ，M ，F 三点共线时，CF 有最大值，∵四边形ABCD 是矩形，∴6AD BC ，4AB ，90ABC ，∵6AD AD ，M 为'AD 中点，∴3AM ，1BM ，在Rt MBC 中，由勾股定理得：22221637CM BM BC，∴CF 的最大值为：373 ．【点睛】此题考查了旋转变换和圆有关的概念，解题的关键是正确理解点E ，F 的运动路径是圆．4．（2023·山东·统考中考真题）如图，在四边形ABCD 中，90,5,4,ABC BAD AB AD AD BC ，点E 在线段BC 上运动，点F 在线段AE 上，ADF BAE ∠∠，则线段BF 的最小值为．。

中考数学复习----《圆周角定理》知识点总结与专项练习题(含答案)

中考数学复习----《圆周角定理》知识点总结与专项练习题（含答案）知识点总结1.圆心角、弦以及弧之间的关系：①定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

②推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧。

2.圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

3.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

4.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

5.圆的内接四边形：①定义：四个顶点都在圆上的四边形叫做圆的内接四边形。

②性质：I：圆内接四边形的对角互补。

II：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。

练习题1、（2022•襄阳）已知⊙O的直径AB长为2，弦AC长为2，那么弦AC所对的圆周角的度数等于．【分析】首先利用勾股定理逆定理得∠AOC＝90°，再根据一条弦对着两种圆周角可得答案．【解答】解：如图，∵OA＝OC＝1，AC＝，∴OA2+OC2＝AC2，∴∠AOC＝90°，∴∠ADC＝45°，∴∠AD'C＝135°，故答案为：45°或135°．2、（2022•日照）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB＝12cm，BC＝5cm，则圆形镜面的半径为．【分析】连接AC，根据∠ABC＝90°得出AC是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出AC 即可．【解答】解：连接AC，∵∠ABC＝90°，且∠ABC是圆周角，∴AC是圆形镜面的直径，由勾股定理得：AC＝＝＝13（cm），所以圆形镜面的半径为cm，故答案为：cm．3、（2022•永州）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠ADC＝30°，则∠BOC＝度．【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半求出∠AOC的度数，根据平角的定义即可得到∠BOC＝180°﹣∠AOC的度数．【解答】解：∵∠ADC是所对的圆周角，∴∠AOC＝2∠ADC＝2×30°＝60°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣60°＝120°．故答案为：120．4、（2022•苏州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝28°，则∠D＝°．【分析】如图，连接BC，证明∠ACB＝90°，求出∠ABC，可得结论．【解答】解：如图，连接BC．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝62°，∴∠D＝∠ABC＝62°，故答案为：62．5、（2022•湖州）如图，已知AB 是⊙O 的弦，∠AOB ＝120°，OC ⊥AB ，垂足为C ，OC 的延长线交⊙O 于点D ．若∠APD 是AB ⌒所对的圆周角，则∠APD 的度数是．【分析】由垂径定理得出，由圆心角、弧、弦的关系定理得出∠AOD ＝∠BOD ，进而得出∠AOD ＝60°，由圆周角定理得出∠APD ＝∠AOD ＝30°，得出答案．【解答】解：∵OC ⊥AB ，∴，∴∠AOD ＝∠BOD ，∵∠AOB ＝120°，∴∠AOD ＝∠BOD ＝∠AOB ＝60°，∴∠APD ＝∠AOD ＝×60°＝30°，故答案为：30°．6、（2022•徐州）如图，A 、B 、C 点在圆O 上，若∠ACB ＝36°，则∠AOB ＝．【分析】利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即可得出结论．【解答】解：∵∠ACB ＝∠AOB ，∠ACB ＝36°，∴∠AOB ＝2×∠ACB ＝72°．故答案为：72°．7、（2022•锦州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC＝130°，连接AC，则∠BAC的度数为．【分析】利用圆内接四边形的性质和∠ADC的度数求得∠B的度数，利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝130°，∴∠B＝180°﹣∠ADC＝180°﹣130°＝50°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°，故答案为：40°．8、（2022•雅安）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为．【分析】根据邻补角的概念求出∠BCD，根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理解答即可．【解答】解：∵∠DCE＝72°，∴∠BCD＝180°﹣∠DCE＝108°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝72°，由圆周角定理，得∠BOD＝2∠A＝144°，故答案为：144°．9、（2022•甘肃）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，若∠ABC＝110°，则∠ADC＝°．【分析】根据圆内接四边形的对角互补即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝110°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣110°＝70°，故答案为：70．。

初三圆周角定理及其推论练习题

初三圆周角定理及其推论练习题圆周角定理是初中数学中的一个重要概念，它帮助我们理解和计算圆内的角度。

本文将介绍圆周角定理及其推论，并提供一些相关的练习题供读者加深理解和巩固知识。

一、圆周角定理圆周角定理是指：圆心角的度数等于其所对的弧的度数的两倍。

记作：∠AOB = 2∠ACB。

在一个圆中，以圆心为顶点的角叫做圆心角，以圆弧为底的角叫做弦对的圆周角。

图1: 圆心角和弦对的圆周角示意图根据圆周角定理，可以得出以下推论：推论1：在同一个圆上，圆心角相等的弧相等；弧相等的圆心角相等。

推论2：在同一个圆上，以弦分割的圆弧所对的圆心角相等。

推论3：在同一个圆上，以弦为底的圆周角相等的弧相等；弧相等的圆周角相等。

推论4：在同一个圆上，平分相同弧的两个圆心角的弦相等。

二、练习题现在我们来做一些练习题，加深对圆周角定理及其推论的理解。

1. 图2中，∠AOB = 80°，求∠ACB的度数。

图2: 圆心角的度数求解解：根据圆周角定理可知，∠AOB = 2∠ACB，代入已知条件80°，得到2∠ACB = 80°，再将其化简得∠ACB = 40°。

2. 图3中，∠ACD = 30°，求∠AED的度数。

图3: 弦对的圆周角的度数求解解：根据圆周角定理的推论3可知，以弦分割的圆弧所对的圆心角相等，∠ACB = ∠AED。

又已知∠ACD = 30°，所以∠AED = ∠ACB = 30°。

3. 图4中，弧AB = 80°，求∠AOB的度数。

图4: 弧长求解圆心角的度数解：根据推论1可知，圆心角相等的弧相等，所以∠AOB =2∠ACB。

又已知弧AB = 80°，所以∠AOB = 2 × 80° = 160°。

4. 图5中，弧CD = 弧EF，求∠CED的度数。

图5: 弧长相等的圆心角的度数求解解：根据推论3可知，以弦为底的圆周角相等的弧相等，所以弧CD = 弧EF。

专题04 圆周角定理(解析版) -2021-2022学年九年级数学之专攻圆各种类型题的解法(人教版)

专题04 圆周角定理1.圆周角的定义顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.2.圆周角定理及其推论定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC 与∠BOC 存在怎样的数量关系.推论：1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．2）直径所对的圆周角是直角．圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．3.圆周角与圆心角的关系中圆心的位置存在的情形（1）圆心O 在∠BAC 的一边上（如图甲）（2）圆心O 在∠BAC 的内部（如图乙）（3）圆心O 在∠BAC 的外部（如图丙）甲乙丙4.圆周角和直径的关系概念规律重在理解12BAC BOC ∠=∠半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°.5.方法总结在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题．6.圆内接四边形如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.推论1：圆的内接四边形的对角互补.推论2：圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.注意：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据．典例解析掌握方法【例题1】（2021湖南邵阳）如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，则∠AOB 的大小为（）A．25°B．30°C．35°D．40°【答案】B【解析】由圆周角定理可得∠BOC＝2∠BAC＝60°，继而∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°．∵∠BAC与∠BOC所对弧为，由圆周角定理可知：∠BOC＝2∠BAC＝60°，又∠AOC＝90°，∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°．【例题2】（2021黑龙江鹤岗）如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC的长为5cm，点D在圆上且∠ADC＝30°，则⊙O的半径为cm．【答案】5．【解析】连接OC，证明△AOC是等边三角形，可得结论．解：如图，连接OC．∵∠AOC＝2∠ADC，∠ADC＝30°，∴∠AOC＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴OA＝AC＝5（cm），∴⊙O的半径为5cm．【例题3】如图，线段AB是☉O的直径，点C是☉O上的任意一点（除点A、B外），那么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角，想一想，∠ACB会是怎样的角？【答案】见解析。

数学九年级上册圆周角知识点

数学九年级上册圆周角知识点圆周角最初叫詹妮特角，因为它的顶点在圆周上，于是就将其更名为圆周角。

顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

下面是整理的数学九年级上册圆周角知识点，仅供参考希望能够帮助到大家。

数学九年级上册圆周角知识点一、圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

①定理有三方面的意义：a.圆心角和圆周角在同一个圆或等圆中;(相关知识点如何证明四点共圆)b.它们对着同一条弧或者对的两条弧是等弧c.具备a、b两个条件的圆周角都是相等的，且等于圆心角的一半.②因为圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.二、圆周角定理的推论推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等推论2：半圆(或直径)所对的`圆周角等于90°;90°的圆周角所对的弦是直径推论3：如果三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形三、推论解释说明圆周角定理在九年级数学知识点中属于几何部分的重要内容。

①推论1是圆中证明角相等最常用的方法，若将推论1中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立.因为一条弦所对的圆周角有两个.②推论2中“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”③圆周角定理的推论2的应用非常广泛，要把直径与90°圆周角联系起来，一般来说，当条件中有直径时，通常会作出直径所对的圆周角，从而得到直角三角形，为进一步解题创造条件④推论3实质是直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理.数学不等式与不等式组知识点1.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

2.一元一次不等式：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。

3.一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

初中数学《圆周角定理及点圆关系》讲义及练习

内容基本要求略高要求较高要求圆的有关概念理解圆及其有关概念会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题圆的性质知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题能运用圆的性质解决有关问题圆周角了解圆周角与圆心角的关系；了解直径所对的圆周角是直角会求圆周角的度数，能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题一、圆周角定理圆心角和圆周角1．圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等． 2．圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 3．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．4．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．圆是平面几何中的一个重要内容．由于圆与直线型图形可组合成一些复杂的几何问题，所以它经常出现在数学竞赛中．圆的基本性质有：⑴ 直径所对的圆周角是直角． ⑵ 同弧所对的圆周角相等．⑶ 经过圆心及一弦中点的直线垂直平分该弦．二、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，其它各组量都相等。

三、点与圆的位置关系点与圆的位置关系知识点睛中考要求第十讲圆周角定理及点与圆关系点与圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定．设O⊙的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有：点在圆外⇔d r>；点在圆上⇔d r<.=；点在圆内⇔d r确定圆的条件1. 圆的确定确定一个圆有两个基本条件：①圆心(定点)，确定圆的位置；②半径(定长)，确定圆的大小．只有当圆心和半径都确定时，圆才能确定．2. 过已知点作圆⑴经过点A的圆：以点A以外的任意一点O为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A的圆，这样的圆有无数个．⑵经过两点A B、、的圆：以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A B 的圆，这样的圆也有无数个．⑶过三点的圆：若这三点A B C、、三点不共线时，圆心是线段AB、、共线时，过三点的圆不存在；若A B C与BC的中垂线的交点，而这个交点O是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．n≥个点的圆：只可以作0个或1个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆⑷过n()4心．3. 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：⑴”不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；⑵”确定”一词的含义是”有且只有”，即”唯一存在”．4. 三角形的外接圆⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．⑵三角形外心的性质：①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处(即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半)；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部.四、相交弦定理（选讲）相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等．如图，弦AB和CD交于O⋅=⋅．⊙内一点P，则PA PB PC PDP ODC BA相交弦定理的推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．教学重点：圆周角的概念和圆周角定理教学难点：圆周角定理的证明中由“一般到特殊”的数学思想方法和完全归纳法的数学思想．一、圆周角定理【例1】 (08山西太原)如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，连接AC AD ，，若35CAB ∠=，则ADC ∠的度数为．【解析】直径所对圆周角是90°且同弧所对圆周角相等．所以得55°．【巩固】⑴(08龙岩)如图，量角器外沿上有A B 、两点，它们的度数分别是7040︒︒、，则1∠的度数为_________．⑵ 如图，ABC △的三个顶点都在O ⊙上，302cm C AB ∠==，，则O ⊙的半径为______cm ．O1BAOCBAOCBA【解析】 ⑴ ()117040152∠=︒-︒=︒． ⑵ 连接OA ，OB∵30C ∠=︒，∴260O C ∠=∠=︒，又∵OA OB =，∴OAB ∆为等边三角形， ∴2OA AB ==，即O 的半径为2．【巩固】⑴ 已知O ⊙的弦AB 长等于圆的半径，求该弦所对的圆周角．⑵ (06年安徽课改)如图所示，在ABC ∆中，45C ∠=︒，4AB =，则O ⊙的半径为( )A.22B.4C.23D.5CBD OA重、难点例题精讲BABA【解析】 ⑴ 连接OA 、OB ，设弦AB 所对的圆周角为ACB ∠．∵AB OA OB ==∴AOB ∆是等边三角形 ∴60AOB ∠=︒∴当点C 在AB 上时(劣弧上)，1(360)2ACB AOB ∠=︒-∠1(36060)1502=⨯︒-︒=︒．当点C 在AmB 上时(优弧上)，1302ACB AOB ∠=∠=︒故该弦所对的圆周角为30︒或150︒． ⑵ 如右图所示连接OA 、OB ，因为45C ∠=︒，290AOB C ∠=∠=︒4AB=，所以半径为OA OB ==．【例2】 (07年威海中考题)如图，AB 是O 的直径，点C ，D ，E 都在O 上，若C D E ==∠∠∠，求A B +∠∠．B ABA【解析】连接AC 、BC∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∴90CAB CBA ∠+∠=︒，又∵D CBA ∠=∠，E CAB ∠=∠，∴90D E ∠+∠=︒，又∵DCE D E ∠=∠=∠，∴45DCE D E ∠=∠=∠=︒，∴9045135DAB EBA DCB ECA ACB DCE ∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒+︒=︒，即135A B +=︒∠∠【巩固】(08年济宁改编)如图，四边形ABCD 中，AB AC AD ==，若7613CAD BDC ∠=︒∠=︒，，则CBD ∠=_________，BAC ∠=__________．DCBA【解析】以A 为圆心，AB 为半径作辅助圆则C D 、均在A ⊙上，∴1382CBD CAD ∠=∠=︒，226BAC BDC ∠=∠=︒．【例3】如图，AB 为O ⊙的直径，CD 是O ⊙的弦，AB CD 、的延长线交于点E ，若218AB DE E =∠=︒，，求AOC ∠的度数．EE【解析】连结OD∵AB 是直径，2AB DE =，∴12DE AB OD ==∴18DOE E ∠=∠=︒，∴36ODC DOE E ∠=∠+∠=︒∵OC OD =，∴36OCD ODC ∠=∠=︒， ∴54AOC OCD E ∠=∠+∠=︒．【巩固】如图所示CD 是O ⊙的直径，87EOD ∠=︒，AE 交O ⊙于B ，且AB OC =，求A ∠ 的度数．DD【解析】连结OB∵AB OC =，OB OC =，∴OB AB = 设A x ∠=，则BOA x ∠=． ∴2OBE BOA A x ∠=∠+∠=． ∵OE OB =，∴2OEA OBE x ∠=∠=．∴387EOD E A x ∠=∠+∠==︒ ∴29x =︒，即29A ∠=︒．【巩固】如图，已知AB 为⊙O 的直径，20E ∠=︒，50DBC ∠=︒，则CBE ∠=______．B【解析】连结AC ．设∠DCA ＝x°，则∠DBA ＝x°，所以∠CAB ＝x°＋20°．因为AB 为直径，所以∠BCA＝90°，则∠CBA ＋∠CAB ＝90°．又 ∠DBC ＝50°，∴ 50＋x ＋(x ＋20)＝90． ∴ x ＝10．∴∠CBE ＝60°．所以答案是60°．【例4】 (07重庆)已知，如图：AB 为O ⊙的直径，AB AC =，BC 交O ⊙于点D ，AC 交O ⊙于点E ，45BAC ∠=︒．给出以下五个结论：①22.5EBC ∠=︒，；②BD DC =；③2AE EC =；④劣弧AE 是劣弧DE 的2倍；⑤AE BC =．其中正确结论的序号是．【解析】由题意可知122.52EBC BAC ∠=∠=︒，故①正确，连接AD 可得90ADB ∠=︒，由等腰三角形三线合一的性质可知BD DC =，故②正确；2ABE EBD ∠=∠，由弧的度数和它所对的圆心角是相等的，可知2AE DE =，故④正确， ∴正确结论的序号是：①②④．【例5】如图AB 是半圆O 的直径，点C D 、在弧AB 上，且AD 平分CAB ∠，已知106AB AC ==，，求AD的长．【解析】延长AC 交BD 的延长线于E ，∵AB 是半圆的直径，AD 平分CAB ∠，则可得10AE AB ==，BD ED =， ∴4CE AE AC =-=，∵90ACB ∠=︒，∴8BC =，在RtBCE ∆中，BE =，∴BD DE ==∴AD =【例6】 (08乌鲁木齐)如图所示的半圆中，AD 是直径，且32AD AC ==，，则sin B 的值是________．DCA B【例7】 ⑴(09河北)如下左图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A B O 、、是小正方形顶点，O ⊙的半径为1，P 是O ⊙上的点，且位于右上方的小正方形内，则APB ∠等于__________．PO BAB⑵(09四川成都)如上右图，ABC ∆内接于O ⊙，120AB BC ABC =∠=︒，，AD 为O ⊙的直径，6AD =，那么BD =_________．⑶(09山东泰安)O ⊙的半径为1，AB 是O ⊙的一条弦，且AB =AB 所对圆周角的度数为_____________．【解析】 ⑴45︒；⑵60︒或120︒．【例 1】 (07年枣庄中考题)如图，ABC ∆内接于O ⊙，120BAC ∠=︒，AB AC =，BD 为O ⊙的直径，6AD =，则BC = .A【解析】连接CD .证明ABD CDB ∆∆≌，∴6BC AD ==.【例8】如图，过O ⊙的直径AB 上两点M N ，，分别作弦CD EF ，，若CD EF AC BF =，∥．求证：⑴BEC ADF =；⑵ AM BN =．【解析】 ⑴ ∵AC BF =，∴AC BF =， ∵AB 是直径，∴AEB ADB =，∴AEB AC ADB BF -=-，即BEC ADF =． ⑵ 由⑴可知CAM FBN ∠=∠，∵CD EF ∥，∴CMA DMB FNB ∠=∠=∠，又AC BF =，∴ACM BFN ∆∆≌，∴AM BN =．【例9】如图，点A B C 、、是O ⊙上的三点，AB OC ∥．⑴ 求证：AC 平分OAB ∠；⑵ 过点O 作OE AB ⊥于点E ，交AC 于点P ．若230AB AOE =∠=︒，，求PE 的长．【解析】 ⑴ ∵AB OC ∥，∴BAC C ∠=∠，∵OA OC =，∴OAC C ∠=∠，∴BAC OAC ∠=∠，∴AC 平分OAB ∠．⑵ ∵OE AB ⊥，∴112AE AB ==，在Rt AOE ∆中，9030OEA AOE ∠=︒∠=︒，，∴22AO AE OE ==，以下可以用两种不同方法解答：解法一：∵AB OC ∥，∴12AE PE OC OP ==∴13PE OE =解法二：由⑴得AC 平分OAB ∠，∴2OA OPAE PE==，∴13PE OE =【例10】 ⑴如图，AB 是O ⊙的直径，CD AB ⊥，设COD α∠=，则2sin 2AB AD α⋅=_____________．O PFEDC B A⑵ 如图，AB 是O ⊙的直径，弦PC 交OA 于点D ，弦PE 交OB 于点F ，且OC DC OF EF ==，．若C E ∠=∠，则CPE ∠=___________．⑶ 已知：如图，MN 是O ⊙的直径，点A 是半圆上一个三等分点，点B 是AN 的中点，P 是MN 上一动点，O ⊙的半径为1，则PA PB +的最小值是_____________．【解析】 ⑴1；⑵40︒；⑶作B 点关于MN 的对称点B ′，连结AB ′与MN 交于点P ，易证得，此时PA PB +取得最小值．根据圆的对称性，B ′点在O ⊙上，且B N BN =′， ∵A 是半圆的三等分点，∴13AN MAN =，∴60AON ∠=︒，∵B 是AN 的中点，∴1302BON AON ∠=∠=︒，∴30B ON ∠=︒′，∴90AOB AON B ON ∠=∠+∠=︒′′， ∵O ⊙半径为1，∴1OA OB ==′，∴AB ′，∴PA PB +【巩固】(09浙江衢州)如图，AD 是O ⊙的直径．⑴ 如图1，垂直于AD 的两条弦11B C ，22B C 把圆周4等分，则1B ∠的度数是___________，2B ∠的度数是____________；⑵ 如图2，垂直于AD 的三条弦112233B C B C B C 、、把圆周6等分，分别求123B B B ∠∠∠，，的度数；⑶ 如图3，垂直于AD 的n 条弦112233n n B C B C B C B C ，，，…，把圆周2n 等分，请你用含n 的代数式表示n B ∠的度数(只需直接写出答案)．图3图2图1-1n -2B n 3B B 2【解析】 ⑴ 22.567.5︒︒，；⑵ ∵圆周被6等分，∴111223360660B C C C C C ===÷=︒．∵直径11AD B C ⊥，∴1111302AC B C ==︒，∴()()12311153060453060607522B B B ∠=︒∠=⨯︒+︒=︒∠=⨯︒+︒+︒=︒，，．⑶ ()()90451136036012222n n B n n n n -︒︒︒⎡⎤∠=⨯+-⋅=⎢⎥⎣⎦(或3604590908nB n n ︒︒∠=︒-=︒-)【例11】已知如图，ACD ∆的外角平分线CB 交其外接圆于B ，连接BA 、BD ，求证：BA BD =．N【解析】 ∵ACB BCN ∠=∠，又∵ACB ADB ∠=∠；BCN BAD ∠=∠， ∴BAD BDA ∠=∠， ∴BA BD =．【巩固】已知如图，ACD ∆的外角平分线CB 交其外接圆于B ，连接BA 、BD ，过B 作BM AC ⊥于M ，BN CD ⊥于N ，则下列结论中一定正确的有．①CM CN =；②MBN ABD ∠=∠；③AM DN =；④BN 为⊙O 的切线．【解析】可证得BCM ∆≌BCN ∆．∴CM CN =，故①正确；四边形BMCN 的内角和为360︒可知，180MBN MCN ∠+∠=︒，又∵180MCN ACD ∠+∠=︒， ∴MBN ACD ∠=∠， ∵ACD ABD ∠=∠，∴MBN ABD ∠=∠，故②正确；利用外角平分线易证AB BD =，又∵BM BN =，AMB DNB ∠=∠， ∴ABM DBN ∆∆≌，∴AM DN =，故③正确；若BN 为⊙O 的切线，则NBC BAC ∠=∠， ∵90NBC BCN ∠+∠=︒，而BCN ACB ∠=∠， ∴90BAC ACB ∠+∠=︒， ∴AC 为O ⊙直径．而AC 不一定为O ⊙直径，故④不正确．【巩固】(09辽宁)已知∆ABC 中，=AB AC ，D 是∆ABC 外接圆劣弧AC 上的点(不与点A C ，重合)，延长BD 至E ．⑴ 求证：AD 的延长线平分∠CDE ；⑵ 若30∠=︒BAC ，∆ABC 中BC边上的高为2∆ABC 外接圆的面积．AB CD【解析】 ⑴ 如图，设F 为AD 延长线上一点∵D 在∆ABC 外接圆上(A B C D 、、、四点共圆) ∴∠=∠CDF ABC又=AB AC ，∴∠=∠ABC ACB ，且∠=∠ADB ACB ，∴∠=∠ADB CDF对顶角∠=∠EDF ADB ，故∠=∠EDF CDF ，即AD 的延长线平分∠CDE ．⑵ 设O 为外接圆圆心，连接AO 交BC 于H ，则⊥AH BC ．连接OC ，由题意15∠=∠=︒OAC OCA ，75∠=︒ACB ， ∴60∠=︒OCH ．设圆半径为r，则2+=r 2=r ，外接圆的面积为4π．二、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系【例12】如图所示在O ⊙中，2AB CD =，那么( )A.2AB CD >B.2AB CD <C.2AB CD =D.AB 与2CD的大小关系不能确定【解析】如图所示，作DE CD =，则2CE CD =，∵在CDE ∆中CD DE CE +>，∴2CD CE >， ∵2AB CD =，∴AB CE >，∴AB CE >，即2AB CD >．故选A ．【例13】已知AB AC 、是O ⊙的弦，AD 平分BAC ∠交O ⊙于D ，弦DE AB ∥交AC 于P ，求证：OP 平分APD ∠．【解析】过O 点分别作OF AC OG DE ⊥⊥，，垂足分别为F G 、．∵DE AB ∥，∴BAD D ∠=∠，∵AD 平分BAC ∠，∴BAD CAD ∠=∠，∴CAD D ∠=∠， ∴AE CD =，∴AE EC CD EC +=+，即AC DE = ∴AC DE =， ∵OF AC OG DE ⊥⊥，，∴OF OG =，∴点O 在APD ∠的平分线上，即OP 平分APD ∠．【巩固】已知，如图M N ，为O 中劣弧AB 的三等分点，E F ，为弦AB 的三等分点，连接ME 并延长，交直线MF 于点P ，连接AP BP ，交O 于C D ，两点，求证：3AOB APB ∠=∠．PNMOFEDCBAQPNMOFEDCBA【解析】连接CN AN ，，ON OM ，，连接MN 并延长，交PA 的延长线于Q ．∵M N ，三等分AB ，∴AM BN =，故MN AB ∥，由AE EF =，可证得QM MN =，由AM MN =得AM MN =， ∴MA MQ MN ==， ∴QAN ∠为直角，∴90CAN ∠=︒，故CN 为O 直径，故O 在CN 上∴22AON ACN MON ∠=∠=∠∴MON ACN ∠=∠，故OM AP ∥，同理可证：ON AB ∥于是可证得：MON APB ∠=∠，∵3AOB MON ∠=∠，∴3AOB APB ∠=∠．【例14】 (2008年广州市数学中考试题)如图，射线AM 交一圆于点B C ，，射线AN 交该圆于点D 、E ，且BC DE =．⑴ 求证：AC AE =⑵ 分别作线段CE 的垂直平分线与MCE ∠的平分线，两线交于点F ．求证：EF 平分CEN ∠．NME【解析】 ⑴ 作OP AM ⊥，OQ AN ⊥，由BC DE =，得OP OQ =，证APO AQO ∆∆≌，可得AP AQ =，由BC CD =，得CP EQ = ∴AC AE =． ⑵ ∵AC AE =，∴ACE AEC ∠=∠，∴MCE NEC ∠=∠， ∵F 在线段CE 的中垂线上， ∴FC FE =，∴FCE FEC ∠=∠，∵12FCE MEC ∠=∠，∴12FEC NEC ∠=∠，即EF 平分CEN ∠．三、点与圆的位置关系【例15】一个已知点到圆周上的点的最大距离为5cm ，最小距离为1cm ，则此圆的半径为______．【解析】 ⑴ 当点在圆外时，512cm 2r -==，⑵ 当点在圆内时，513cm 2r +==．【例16】已知：四边形ABCD 中，AB CD ∥，AD BC =，135BAD ∠=︒，20AB =，40CD =，以A 为圆心，AB 长为半径作圆．求证：在A ⊙上，在A ⊙内，A ⊙外都有线段DC 上的点.C【解析】如图所示，作AE CD ⊥于E∵ABCD 是等腰梯，AE CD ⊥，135BAD ∠=︒，20AB =，40CD =∴20AD =<，20AC = ∴D 点在A ⊙内，C 点在A ⊙外，圆内一点与圆外一点的连线，必与圆有一交点，所以A ⊙上，A ⊙内， A ⊙外都有线段DC 上的点.【例17】在平面直角坐标系内，以原点O 为圆心，5为半径作O ⊙，已知A ，B ，C 三点的坐标分别为()34A ，，()33B --，，(4C ，，试判断A ，B ，C 三点与O ⊙的位置关系.【解析】∵5OA =5OB =5OC >∴点A 在O ⊙上，点B 在O ⊙内，点C 在O ⊙外.【点评】要判定点与圆的位置关系，就是要比较点到圆心的距离与半径的大小关系.【例18】在ABC ∆ 中，90C ∠=︒，4AC =，5AB =，以点C 为圆心，以r 为半径作圆，请回答下列问题，并说明理由.⑴ 当r 取何值时，点A 在C ⊙上，且点B 在C ⊙内部？⑵ 当r 在什么范围内取值时，点A 在C ⊙外部，且点B 在C ⊙的内部？ ⑶ 是否存在这样的实数r ，使得点B 在C ⊙上，且点A 在C ⊙内部？CBA【解析】如右图所示在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，5AB =，根据勾股定理得：3BC ==⑴ 当4r =时，点A 在C ⊙上，且点B 在C ⊙内.因为4AC r ==，所以点A 在C ⊙上，34BC r =<=，所以B 在C ⊙内； ⑵ 当34r <<时，点A 在C ⊙的外部，且点B 在C ⊙的内部.由于3BC =，要使点B 在C ⊙的内部，必须C ⊙的半径3r >；又由于4AC =，要使点A 在C ⊙的外部，必须C ⊙的半径4r <. 综合上述两方面可知，34r <<.⑶ 不存在这样的实数r ，使得点B 在C ⊙上，且点A 在C ⊙内部.因为3BC =，要使点B 在C ⊙上，必须3r =，此时，由于4AC r =>，所以点A 在C ⊙的外部，点A 不在C ⊙的内部，所以这样的实数r 不存在.【例19】已知ABC ∆中，90C ∠=︒，2AC =，3BC =，AB 的中点为M ，⑴ 以C 为圆心，2为半径作C ⊙，则点A ，B ，M 与C ⊙的位置关系如何？ ⑵ 若以C 为圆心作C ⊙，使A ，B ，M 三点至少有一点在C ⊙内，且至少有一点在C ⊙外，求C ⊙半径r 的取值范围．M CBA【解析】如右图所示⑴ ∵2AC =，且C ⊙的半径也为2，即AC r =∴点A 在C ⊙上.又∵3BC =，2R =，BC r > ∴点B 在C ⊙外.在ABC ∆中，AB = ∵M 为AB 的中点∴122MC AB ==<∴点M 在C ⊙内； ⑵ ∵2AC =，3BC =，MC ∴BC AC MC >>∴要使A ，B ，M 三点中至少有一点在C ⊙内，且至少有一点在C ⊙外，则C ⊙的半径r 的3r <<.【点评】⑴ 要判定点A ，B ，M 与C ⊙的位置关系，只要比较AC ，BC ，MC 的长度与C ⊙的半径的大小关系即可；⑵ 由⑴求得AC ，BC ，MC 的长度即可确定C ⊙的半径r 的取值范围.【例20】 ABC ∆中，10AB AC ==，12BC =，求其外接圆的半径．【解析】作高AD ，设点O 是ABC ∆OB∵AB AC =，AD BC ⊥，∴16BD BC ==在Rt ABD ∆中，8AD 设O ⊙的半径为R ，则OB AO R ==，8OD R =-. 在Rt OBD ∆中， 222OB BD OD =+∴2226(8)R R =+-，解得254R =.∴外接圆的半径为254.【点评】运用外心到三角形的三个顶点的距离相等这一性质，注意，三角形的外心在等腰三角形底边的中垂线上.四、相交弦定理（选讲）相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等．如图，弦AB 和CD 交于O ⊙内一点P ，则PA PB PCPD ⋅=⋅．相交弦定理的推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．【例21】 ⑴ 如下左图，在O ⊙中，弦AB 与CD 相交于点P ，已知3cm 4cm 2cm PA PB PC ===，，，那么PD = cm ．⑵ 如下中图，在O ⊙中，弦AB 与半径OC 相交于点M ，且OM MC =，若 1.54AM BM ==，，则OC 的长为( )A． BC． D ．⑶ 如下右图，在O ⊙中，P 为弦AB 上一点，PO PC ⊥，PC 交O ⊙于C ，那么( )A ．2OP PA PB =⋅ B ．2PC PA PB =⋅C ．2PA PB PC =⋅D ．2PB PA PC =⋅【解析】 ⑴6；⑵D ；⑶B ．【例22】如图，圆的半径是A C 、两点在圆上，点B 在圆内，6AB =，2BC =，90ABC ∠=︒求点B到圆心的距离．【解析】连结OB ，则线段OB 的长就是所求点B 到圆心的距离．连结OA ，延长AB 交O ⊙于D ，过O 点作OE AD ⊥于E ，延长CB 交O ⊙于F ．设BD x =，由相交弦定理可得AB BD BC BF ⋅=⋅，则3AB BDBF x BC⋅==，∵OE AD ⊥，∴()()11166222AE AD x BE x ==+=-，，()()11132232222OE CF BC x x =-=+-=-，在Rt AOE ∆中，90AEO ∠=︒，∴222OE AE OA +=，即()()22113265044x x -++=，解得4x =，∴()()1134256412OE BE=⨯-==-=，，OB =【例23】如图，正方形ABCD 内接于O ⊙，点P 在劣弧AB 上，连结DP 交AC 于点Q ．若QP QO =，则QCQA的值为___________．【解析】连结DO ，设O ⊙半径为r ，QO m =，则QP m QC r m QA r m ==+=-，，．在O ⊙中，根据相交弦定理得QA QC QP QD ⋅=⋅，即()()r m r m mQD -+=，∴22r m QD m-=，由勾股定理得222QD DO QO =+，即22222r m r m m ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，解得33m r =． ∴313231QC r m QA r m ++===+--．【习题1】 (2007浙江温州)如图，已知ACB ∠是O 的圆周角，50ACB ∠=︒，则圆心角AOB ∠是( )A ．40︒B ． 50︒C ． 80︒D ． 100︒【解析】考察同弧所对圆心角圆周角关系．答案选：D ．【习题2】如图，将圆沿AB 折叠后，圆弧恰好经过圆心，则AmB 等于．A ． 60°B ． 90°C ． 120°D ． 150°mBAO【解析】答案选C ．【习题3】 (09四川凉山)如图，O ⊙是ABC ∆的外接圆，已知50ABO ∠=︒，则ACB ∠的大小为__________．OCBA【解析】 40︒．【习题4】 (09四川南充)如图，AB 是O ⊙的直径，点C D 、在O ⊙上，110BOC ∠=︒，AD OC ∥，则AOD ∠=___________．OD CBA家庭作业【解析】 40︒．【习题5】如果两条弦相等，那么( )A ．这两条弦所对的弧相等B ．这两条弦所对的圆心角相等C ．这两条弦的弦心距相等D ．以上答案都不对【解析】考察圆心角定理，关键是这些条件成立的前提是在同圆或等圆中．所以选D ．【习题6】如图，AB 为⊙O 的直径，AC 交⊙O 于E 点，BC 交⊙O 于D 点，CD =BD ，∠C =70°．现给出以下四个结论：①∠A =45°； ②AC =AB ； ③AE BE =； ④22CE AB BD ⋅=．其中正确结论的序号是A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④ED C BAO【解析】考察利用圆中角可推出等弧，等弦，相似．答案选 C ．【习题7】如图，量角器外缘边上有A P Q ，，三点，它们所表示的读数分别是180，70，30，则PAQ ∠的大小为( )A ．10B ．20C ．30D ．40【解析】考察同弧所对圆心角是圆周角的2倍．答选 B ．【习题8】 (首师大附中2008-2009初三月考)定义：定点A 与O ⊙上的任意一点之间的距离的最小值称为点A 与O ⊙之间的距离．现有一矩形ABCD 如图，14cm 12cm AB BC ==，，K ⊙与矩形的边AB BC CD 、、分别相切于点E F G 、、，则点A 与K ⊙的距离为______________．GEK DB A【解析】连结KE AK 、，由题意可知K ⊙的半径为6cm ，6cm EK AB BE ⊥=，，∴8cm AE =，∴2210cm AK AE EK =+=， ∴点A 与K ⊙的距离为1064cm -=．【备选1】如图，CD 为O ⊙的直径，过点D 的弦DE 平行于半径OA ，若D ∠的度数是50︒，则C ∠的度数是 A ．25︒ B ．40︒ C ．30︒ D ．50︒O EDCA【解析】 A ．【备选2】 (08泰安)如图，在O ⊙中，AOB ∠的度数为m ，C 是ACB 上一点，D E 、是AB 上不同的两点(不与A B 、两点重合)，则D E ∠+∠的度数为____________．OEDCBA【解析】 ()136018022mD E m ∠+∠=︒-=︒-．【备选3】如图，已知⊙O 的弦AB 、CD 相交于点E ，AC 的度数为60°，BD 的度数为100°，则AEC∠等于( )A ． 60°B ． 100°C ． 80°D ． 130°EDC BO A【解析】连结BC ，则∠AEC ＝∠B ＋∠C ＝21×60°＋21×100°＝80°．所以答案是C ．【备选4】设Rt ABC ∆的两条直角边长分别为3，4则此直角三角形的内切圆半径为，外接圆半径为【解析】内切圆半径为1()12r a b c =+-=；外接圆半径为 2.52cR ==.【备选5】等边三角形的外接圆的半径等于边长的( )倍．月测备选A ．23B ．33C ．3D ．21【解析】考察等边三角形与外接圆半径的关系，所以选B【备选6】 (08山东滨州)如图所示，AB 是⊙O 的直径，AD=DE ，AE 与BD 交于点C ，则图中与∠BCE相等的角有( )BAA ． 2个B ． 3个C ． 4个D ． 5个【解析】考察同弧，等弧所对圆周角相等，所以选B ．【备选7】 (宜宾)已知：如图，四边形ABCD 是O ⊙的内接正方形，点P 是劣弧CD 上不同于点C 的任意一点，则BPC ∠的度数是( )A.45︒ B .60︒ C.75︒ D.90︒P【解析】连接BO ，CO ，可得90BOC ∠=︒，∴1452BPC BOC ∠=∠=︒，故选A ．【备选8】 (09浙江温州)如图，80AOB ∠=︒，则弧AB 所对圆周角ACB ∠的度数是A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．80︒【解析】 A ．【备选9】 Rt ABC ∆的两条直角边3BC =，4AC =，斜边AB 上的高为CD ，若以C 为圆心，分别以12r =，2 2.4r =，33r =为半径作圆，试判断D 点与这三个圆的位置关系.DCBA【解析】在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =，∴5AB =由面积相等得，AC BC AB CD ⋅=⋅.∴122.45AC BC CD AB ⋅===∴ 2.4d CD ==∴1d r >， 2d r =， 3d r <∴点D 与三个圆的位置关系分别是：在圆外，在圆上，在圆内.【点评】要判定点与圆的位置关系，就是要比较点到圆心的距离与半径的大小关系.。

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