椭圆离心率的三种求法、中点弦方程三种求法

椭圆离心率的三种求法：

(1)若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定a 2，b 2，求a ，c 的值，利用公式e ＝c a 或利用22

1a

b e -=直接求解. (2)求椭圆的离心率时，若不能直接求得

c a

的值，通常由已知寻求a ，b ，c 的关系式，再与a 2＝b 2＋c 2组成方程组，消去b 得只含a ，c 的方程，再化成关于e 的方程求解.

(3)求离心率时要充分利用题设条件中的几何特征构建方程求解，从而达到简化运算的目的. 涉及椭圆离心率的范围问题要依据题设条件首先构建关于a ，b ，c 的不等式，消去b 后，转化为关于e 的不等式，从而求出e 的取值范围.

1. 若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被点⎪⎭

⎫ ⎝⎛0,2b 分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为( )

A.1617

B.41717

C.45

D.255

解析 依题意，得c ＋b 2c －b 2＝53，∴c ＝2b ，∴a ＝b 2＋c 2＝5b ，∴e ＝2b 5b

＝255. 答案D 点评 本题的解法是直接利用题目中的等量关系，列出条件求离心率.

2. 设P 是椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，F 1，F 2是其左，右焦点.已知∠F 1PF 2＝60°，求椭圆离心率的取值范围.

分析 本题主要考查椭圆离心率取值范围的求法，建立不等关系是解答此类问题的关键. 解 方法一 根据椭圆的定义，有|PF 1|＋|PF 2|＝2a .①

在△F 1PF 2中，由余弦定理，得

cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝12

， 即|PF 1|2＋|PF 2|2－4c 2＝|PF 1||PF 2|.②

①式平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝4a 2.③

由②③，得|PF 1||PF 2|＝4b 23

.④ 由①和④运用基本不等式，得

|PF 1||PF 2|≤2212||||⎪⎭

⎫ ⎝⎛+PF PF ，即4b 23≤a 2. 由b 2＝a 2－c 2，得43(a 2－c 2)≤a 2，解得e ＝c a ≥12

. 又e ＜1，∴该椭圆的离心率的取值范围是[12

，1). 方法二 如图，设椭圆与y 轴交于B 1，B 2两点，则当点P 位于B 1或B 2处时，点P 对两焦点的张角最大，故∠F 1B 2F 2≥∠F 1PF 2＝60°，从而∠OB 2F 2≥30°.

在Rt △OB 2F 2中，e ＝c a ＝sin ∠OB 2F 2≥sin 30°＝12

. 又e ＜1，∴12

≤e ＜1. ∴该椭圆的离心率的取值范围是[12

，1). 点评 在求椭圆离心率的取值范围时，常需建立不等关系，通过解不等式来求离心率的取值范围，建立不等关系的途径有：基本不等式，利用椭圆自身存在的不等关系(如基本量之间的大小关系或基本量的范围，点与椭圆的位置关系所对应的不等关系，椭圆上点的横、纵坐标的有界性等)，判别式，极端情况等等.如上面方法二就应用了“当点P 运动到短轴的端点时，点P 对两焦点的张角最大”这一极端情况.

(2016全国Ⅰ高考)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆的中心到的距离为短轴长的4

1，则该椭圆的离心率为（ B ） A.

31 B. 21 C. 32 D.43 解：设椭圆是焦点在x 轴上的标准方程，上顶点与右焦点分别为)0,(),0(c F b B 、，则直线l 的方程为0=-+bc cy bx 。又椭圆短轴长为2b ，椭圆中心到的距离为a

bc c b bc

=+22，所以b a bc 241⋅=，即2

1=a c 。

（2017济南一中调考）设椭圆的两个焦点分别为21F F 、，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若21PF F ∆为等腰直角三角形。则椭圆的离心率为（ D ）

A. 22

B. 2

12- C. 22- D.12- 解：由题意得a b c 22=，解得12-=a

c 。

椭圆的中点弦方程的求法有三：

（1）方程组法：通过解直线于与椭圆方程联立的方程组，利用一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式求解；

（2）点差法：设直线与椭圆的交点（弦的端点）坐标为),(),(1211y x B y x A 、，将这两点的

坐标代入椭圆方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点),(00y x 和斜率AB k 有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。

（3）中点转移法：先设出弦的一个端点的坐标，再借助中点得出弦的另一个端点的坐标，分别代入椭圆方程作差可得。

1.已知椭圆14

162

2=+y x ，过点P (2,1)作一条弦，使弦在这点被平分，求此弦所在的直线方程. 分析 注意根与系数的关系及中点坐标公式的应用.本题也可用两方程直接相减求解.

解 方法一 由题意，知所求直线的斜率存在，设此直线的方程为y ＝k (x －2)＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝k (x －2)＋1，

x 216＋y 24＝1

消去y 并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0. 设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

则x 1，x 2是方程的两根，所以x 1＋x 2＝8(2k 2－k )4k 2＋1

. 因为点P 为弦AB 的中点，所以2＝x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1

，解得k ＝－12. 故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.

方法二 (点差法)设所求直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).因为点P 为弦AB 的中点，

所以x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又因为A ，B 在椭圆上，所以x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16.两式相减，