(完整版)高考极坐标知识点及习题

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高考数学第7讲极坐标与参数方程知识点+典型例题+变式训练+基础训练+高考真题(精心整理,很实用)

第7讲极坐标与参数方程【基础知识】一.极坐标知识点1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，从O 引一条射线Ox ，选定一个单位长度以及计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫做极轴①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可. 2.极坐标与直角坐标的互化：二.参数方程知识点1.参数方程的概念：在平面直角坐标系中，若曲线C 上的点(,)P x y 满足()()x f t y f t =⎧⎨=⎩，该方程叫曲线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数。

（在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧==),(),(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数。

）相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

2．曲线的参数方程（1）圆222)()(r b y a x =-+-的参数方程可表示为)(.sin ,cos 为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x .（2）椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 的参数方程可表示为)(.sin ,cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x .（3）抛物线px y 22=的参数方程可表示为)(.2,22为参数t pt y pt x ⎩⎨⎧==. （4）经过点),(o o O y x M ，倾斜角为α的直线l 的参数方程可表示为⎩⎨⎧+=+=.sin ,cos o o ααt y y t x x （t 为参数）.3．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。

在参数方程与普通方程的互化中，必须使y x ,的取值范围保持一致. 规律方法指导：1.把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法.常见的消参方法有：代入消法；加减消参；平方和（差）消参法；乘法消参法；比值消参法；利用恒等式消参法；混合消参法等. 2.把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性，注意方程中的参数的变化范围。

(完整版)极坐标和参数方程知识点+典型例题及其详解

极坐标和参数方程知识点+典型例题及其详解知识点回顾(一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ⎩⎨⎧==)()(t f y t f x并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数．（二）常见曲线的参数方程如下：1．过定点（x 0,y 0），倾角为α的直线：ααsin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数）其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y )为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．根据t 的几何意义，有以下结论．错误!．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ,则AB ＝A B t t -＝B A A B t t t t ⋅--4)(2．错误!．线段AB 的中点所对应的参数值等于2BA t t +． 2．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：θθsin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数）3．中心在原点，焦点在x 轴(或y 轴）上的椭圆：θθsin cos b y a x == (θ为参数）（或 θθsin cos a y b x ==）中心在点（x0,y0）焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为参数）ααα(.sin ,cos 00⎩⎨⎧+=+=b y y a x x4．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的双曲线：θθtg sec b y a x == （θ为参数）（或 θθec a y b x s tg ==)5．顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：pty pt x 222== （t 为参数，p ＞0）直线的参数方程和参数的几何意义过定点P （x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）．（三）极坐标系1、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点,引一条射线Ox,叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。

专题：极坐标与参数方程知识点及对应例题

极坐标及参数方程一、极坐标知识点 1.极坐标系的概念：2．有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM . 3.极坐标与直角坐标的互化： (1)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x 轴的正半轴重合 ③两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式二、参数方程知识点（1）圆222)()(r b y a x =-+-的参数方程可表示为 )(.sin ,cos 为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x .（2）椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 的参数方程可表示为)(.sin ,cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x .（3）经过点),(o o O y x M ，倾斜角为α的直线l 的参数方程可表示为⎩⎨⎧+=+=.sin ,cos o o ααt y y t x x （t 为参数）.三、点到直线的距离公式、直线与圆、圆与圆位置关系极坐标方程典型例题1.点()22-，的极坐标为。

2.已知圆C ：22(1)(3)1x y ++-=，则圆心C 的极坐标为_______(0,02)ρθπ>≤<3.若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．4.化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（）A ．201y y +==2x 或B ．1x =C ．201y +==2x 或xD ．1y = 5.极坐标ρ=cos(θπ-4)表示的曲线是( )A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆6.极点到直线()cos sin 3ρθθ+________ 。

7.在极坐标系中，点3(2,)2π到直线l ：3cos 4sin 3ρθρθ-=的距离为 .8.在极坐标系中，点π(1,)2P 到曲线π3:cos()242l ρθ+=上的点的最短距离为．9.已知直线4sin cos :=-θρθρl ，圆θρcos 4:=C ，则直线l 与圆C 的位置关系是________.（相交或相切或相离？）10.在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a 的值。

(完整版)极坐标系知识点归纳总结

(完整版)极坐标系知识点归纳总结
极坐标系是一种描述平面上点位置的坐标系统，它由极径和极
角两个参数组成。

以下是极坐标系的一些重要知识点：
1. 极坐标转换公式：
- 点P的极坐标表示为：(r, θ)，其中r表示点P到极点的距离，θ表示点P与极轴的夹角。

- 点P的直角坐标表示为：(x, y)，则有以下公式：
- r = √(x^2 + y^2)
- θ = arctan(y / x)
2. 极坐标系与直角坐标系的关系：
- 极坐标系和直角坐标系可以相互转换。

- 极坐标转换为直角坐标的公式：
- x = r * cos(θ)
- y = r * sin(θ)
- 直角坐标转换为极坐标的公式：
- r = √(x^2 + y^2)
- θ = arctan(y / x)
3. 极径和极角的范围：
- 极径r可以是任意非负实数。

- 极角θ一般取值范围为[0, 2π)或(-π, π]，表示一个完整的圆周。

4. 极坐标系下的常见图形：
- 圆：r = a，其中a为正实数，表示以极点为圆心，以a为半径的圆。

- 直线：θ = k，其中k为常数，表示与极轴夹角为k的直线。

- 雅可比椭圆：r = a * (1 - e * cos(θ))，其中a和e为正实数，表示以极点为焦点，离心率为e的椭圆。

5. 极坐标系下的曲线方程：
- 极坐标系可以方便地描述一些复杂的曲线。

- 通过给定r和θ的函数关系，可以确定一条在极坐标系下的
曲线方程。

以上是对极坐标系知识点的简要归纳总结，希望对您有所帮助。

2023年新版极坐标及参数方程知识点及高考题汇编

1. 极坐标及参数方程知识点1．伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中旳任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ旳作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中旳坐标伸缩变换，简称伸缩变换。

2.极坐标系旳概念：在平面内取一种定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一种长度单位、一种角度单位(一般取弧度)及其正方向(一般取逆时针方向)，这样就建立了一种极坐标系。

3．点M 旳极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 旳距离||OM 叫做点M 旳极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边旳xOM ∠叫做点M 旳极角，记为θ。

有序数对),(θρ叫做点M 旳极坐标，记为),(θρM .极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表达同一种点。

极点O 旳坐标为)R )(,0(∈θθ. 4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ有关极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表达同一点。

假如规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内旳点可用唯一旳极坐标),(θρ表达；同步，极坐标),(θρ表达旳点也是唯一确定旳。

5．极坐标与直角坐标旳互化：6。

圆旳极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径旳圆旳极坐标方程是 r =ρ；在极坐标系中，以 )0,(a C )0(>a 为圆心， a 为半径旳圆旳极坐标方程是 θρcos 2a =；在极坐标系中，以 )2,(πa C )0(>a 为圆心，a 为半径旳圆旳极坐标方程是θρsin 2a =；7.在极坐标系中，)0(≥=ραθ表达以极点为起点旳一条射线；)R (∈=ραθ表达过极点旳一条直线.在极坐标系中，过点)0)(0,(>a a A ，且垂直于极轴旳直线l 旳极坐标方程是a =θρcos .8．参数方程旳概念：在平面直角坐标系中，假如曲线上任意一点旳坐标y x ,都是某个变数t 旳函数⎩⎨⎧==),(),(t g y t f x 并且对于t 旳每一种容许值，由这个方程所确定旳点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线旳参数方程，联络变数y x ,旳变数t 叫做参变数，简称参数。

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极坐标知识讲解一、极坐标系定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系．二、极坐标定义：设M 是平面内一点，OM 的长叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ，有序数对()ρθ，叫做点M 的极坐标．三、极坐标与直角坐标的互化内容：把直角坐标的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标为()x y ，，极坐标为()ρθ，，有co s s i n x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，也有222tan (0)x y yx x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩，这就是极坐标与直角坐标的互化公式．注：若0ρ<时，则0ρ->，我们规定点()M ρθ，与点()P ρθ-，关于极点对称．典型例题一．选择题（共10小题）1．（2017秋•天心区校级期末）点M，为极坐标系中的一点，给出如下各点的坐标：①，；②，；③，；④，．其中可以作为点M关于极点的对称点的坐标的是（）A．①②B．①③C．②③D．②④【解答】解：在极坐标系中，与点M，关于极点对称的点的坐标一是极径不变，极角互补，是：②，；另一种是极角不变，极径互为相反数，是③，；故选：C．2．（2017秋•南关区校级期末）在直角坐标系xOy中，点A（﹣2，2）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为（）A．，B．（2，）C．，D．，【解答】解：根据题意，设极坐标系下，点A的极坐标为（ρ，θ），则有ρ==2，tanθ=﹣1，则有θ=，分析可得：点A的极坐标为（2，）；故选：B．3．（2018春•兴庆区校级期末）点M的直角坐标为（﹣，﹣1）化为极坐标为（）A．（2，）B．（2，）C．（2，）D．（2，）【解答】解：∵点M的直角坐标为（﹣，﹣1），∴ρ==2，再根据此点位于第三象限，且tanθ==，∴可取θ=，故选：B．4．（2018春•滦南县期末）点M的极坐标（1，π）化成直角坐标为（）A．（1，0） B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（0，﹣1）【解答】解：点M的极坐标（1，π）化成直角坐标为（cosπ，sinπ），即（﹣1，0）．故选：B．5．（2018春•伊通县期末）点P极坐标为（2，），则它的直角坐标是（）A．（1，﹣） B．（﹣1，） C．（，﹣1） D．（﹣，1）【解答】解：根据题意，设P的直角坐标为（x，y）点P极坐标为（2，），则有，解可得，即P的直角坐标为（﹣，1）；故选：D．6．（2018春•新罗区校级期中）在极坐标系中，若点A（3，），B（﹣3，），则△AOB（O为极点）的面积为（）A．B．3 C．D．9【解答】解：∵在极坐标系中，点A（3，），B（﹣3，），O为极点，∴在平面直角坐标系中，A（，），B（﹣，﹣），O（0，0），∴=（﹣，﹣），=（，），||==3，||==3，cos＜，＞===﹣，∴sin＜，＞==，∴△AOB（O为极点）的面积为：＜，＞==．故选：C．7．（2018春•小店区校级期中）已知点P的直角坐标，，则它的一个极坐标为（）A．（4，）B．（4，）C．（﹣4，）D．（4，）【解答】解：根据题意，设P的一个极坐标为（ρ，θ）（0≤θ＜2π），点P的直角坐标，，即x=﹣2，y=﹣2，且P在第三象限；则ρ==4，tanθ==，且P在第三象限；则有θ=；则P的一个极坐标为（4，）；故选：B．8．（2018春•龙岩期中）点P极坐标为，，则它的直角坐标是（）A．，B．，C．，D．，【解答】解：点P极坐标为，，则它的直角坐标是（，1）．故选：D．9．（2017春•兴庆区校级期末）点M的直角坐标是，，则它的极坐标是（）A．，B．，C．，D．，【解答】解：=2，tanθ=，取θ=．∴极坐标为，．故选：A．10．（2016秋•西城区期末）在极坐标系中，已知点P（2，），则过点P且平行于极轴的直线的方程是（）A．ρsinθ=1B．ρsinθ=C．ρcosθ=1 D．ρcosθ=【解答】解：∵点P（2，）的直角坐标为（，1），此点到x轴的距离为1，故经过此点到x轴的距离为1的直线的方程是y=1，故过点P且平行于极轴的直线的方程是ρsinθ=1，故选：A．二．解答题（共5小题）11．写出下列各点的极坐标，如图所示．【解答】解：A（4，0），B，，C，，D，，E，，F，，G，．12．在极坐标系中，ρ1+ρ2=0，θ1+θ2=π，则点M1（ρ1，θ2），M2（ρ2，θ2）的位置关系？【解答】解：∵ρ1+ρ2=0，θ1+θ2=π，∴可得点M2（ρ2，θ2）即（﹣ρ1，π﹣θ2）与点M1（ρ1，θ2）的位置关系是关于极轴对称．13．在极坐标系中，作出下列各点：A（3，0）、B（﹣3，）、C（5，）、D（﹣2，π）、E（0，﹣）【解答】解：在极坐标系中，作出下列各点，如图所示：14．在极坐标系中，已知△ABC的三个顶点的极坐标系分别为A（2，）、B（2，π）、C（2，）．（1）判断△ABC的形状；（2）求△ABC的面积．【解答】解：（1）根据极坐标与直角坐标的互化方法，A（2，）、B（2，π）、C （2，），直角坐标分别为A（1，），B（﹣2，0），C（1，﹣），所以AB=CB=AC，所以△ABC是等边三角形；（2）△ABC的底边为AC，高为2，面积S==3．15．在极坐标系中，作出下列各点：（1）A（2，），B（6，﹣120°），C（1，），D（4，﹣），E（4，0），F（2.5，180°）；（2）A（3，），B（3，），C（3，），D（3，π），E（3，），并说明这5个点有什么关系；（3）A（﹣2，），B（﹣1，），C（3，），D（4.5，），E（4.55，），并说明这5个点有什么关系．【解答】解：（1）如图（1）所示：（2）A、B、C、D、E这5个点都在以极点为圆心、半径等于3的圆上，如图（2）所示：（3）A、B、C、D、E这5个点都在直线θ=上，如图（3）所示：。

极坐标及参数方程知识点及高考题汇编DOC.doc

极坐标及参数方程知识点及例题一、极坐标知识点1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点 O，从 O 引一条射线 Ox，选定一个单位长度以及计算角度的正方向 (通常取逆时针方向为正方向 )，这样就建立了一个极坐标系， O 点叫做极点，射线 Ox 叫做极轴①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可 .2．点 M 的极坐标：设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离| OM |叫做点 M 的极径，记为；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM 叫做点M 的极角，记为。

有序数对(,) 叫做点M 的极坐标，记为M ( ,) .极坐标( , )与( , 2k )(k Z) 表示同一个点。

极点O 的坐标为(0, )( R ) .3.极坐标与直角坐标的互化：(1)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与 x 轴的正半轴重合③两种坐标系中取相同的长度单位.(2)互化公式2 x2 y 2 , x cos ,y sin , tan y( x 0) x4.曲线的极坐标方程：1．直线的极坐标方程：若直线过点M ( 0 , 0 ) ，且极轴到此直线的角为，则它的方程为：sin()0 sin(0)几个特殊位置的直线的极坐标方程（ 1）直线过极点（2）直线过点M(a,0)且垂直于极轴（3）直线过M (b,) 且平2 行于极轴方程：（ 1）(R )或写成及（2）cos a（3）ρsinθ=b2．圆的极坐标方程：若圆心为 M ( 0 , 0 ) ，半径为 r 的圆方程为：22 0 cos()2 r 2几个特殊位置的圆的极坐标方程（ 1）当圆心位于极点， r 为半径（2）当圆心位于 C (a,0) (a>0),a 为半径（ 3）当圆心位于 C(a,) (a 0) ， a 为半径2 方程： (1) r (2)2acos (3)2asin5.在极坐标系中， (0) 表示以极点为起点的一条射线；(R)表示过极点的一条直线 .极坐标方程典型例题考点一极坐标与直角坐标的互化1.点 M 的直角坐标是 ( 1, 3) ，则点 M 的极坐标为（）A ． (2,)B ． (2,)C ．(2,2)D ． (2, 2k),( k Z) 33332.点 2， 2 的极坐标为。

(完整版)极坐标与参数方程知识点、题型总结

极坐标与参数方程知识点、题型总结一、伸缩变换：点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换),(y x P 的作用下，点对应到点，称伸缩变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ),(y x P ),(y x P '''一、1、极坐标定义：M 是平面上一点，表示OM 的长度，是，则有序实数实ρθMOx ∠数对,叫极径，叫极角；一般地，，。

，点P 的直角坐标、(,)ρθρθ[0,2)θπ∈0ρ≥极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)2、直角坐标极坐标 2、极坐标直角坐标⇒cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩⇒222tan (0)x y yx xρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩3、求直线和圆的极坐标方程：方法一、先求出直角坐标方程，再把它化为极坐标方程方法二、（1）若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)（2）若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ02－r 2＝0二、参数方程：（一）．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数并且对于的每一个允许值，由这个方程所确y x ,t ⎩⎨⎧==),(),(t g y t f x t 定的点都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数),(y x M 的变数叫做参变数，简称参数。

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的y x ,t 方程叫做普通方程。

（二）．常见曲线的参数方程如下：直线的标准参数方程1、过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线：（t 为参数）ααsin cos 00t y y t x x +=+=（1）其中参数t 的几何意义：点P （x 0，y 0），点M 对应的参数为t ，则PM =|t| (2)直线上对应的参数是。

高考数学十大专题技巧知识点+练习题专题一极坐标方程及其应用(综合型)(学生版).

高考数学十大专题技巧知识点+练习题专题一极坐标方程及其应用(综合型)1．极坐标系如图(1)所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．2．极坐标①极径：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ．②极角：以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ．③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)，一般不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系．我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角．图(1)图(2)3．极坐标与直角坐标的互化设M 为平面上的一点，它的直角坐标为(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)．由图(2)可知下面的关系式成立：＝ρcos θ，＝ρsin θ2＝x 2＋y 2，θ＝y x(x ≠0)，这就是极坐标与直角坐标的互化公式．4．常见曲线的极坐标方程[微点提醒]关于极坐标系1．极坐标系的四要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，四者缺一不可．2．一般地，点M(ρ，θ)的极坐标通式是(ρ，θ＋2kπ)或(－ρ，θ＋2kπ＋π)(k∈Z)．和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．3．极坐标与直角坐标的重要区别：多值性．【例题选讲】[例1]已知点P的直角坐标是(x，y)．以平面直角坐标系的原点为极坐标的极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．设点P的极坐标是(ρ，θ)，点Q的极坐标是(ρ，θ＋θ0)，其中θ0是常数．设点Q的直角坐标是(m，n)．(1)用x，y，θ0表示m，n；(2)若m，n满足mn＝1，且θ0＝π4，求点P的直角坐标(x，y)满足的方程．[例2]已知曲线C1＝4＋5cos t，＝5＋5sin t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(1)求C1的极坐标方程，C2的直角坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(其中ρ≥0，0≤θ<2π)．[例3](2017·全国Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l1＝2＋t，＝kt(t为参数)，直线l2的＝－2＋m，＝mk(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ＋sinθ)－2＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．[例4]已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρ 2.(1)将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．[例5]在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1：ρ2－4ρcosθ＋3＝0，θ∈[0，2π]，曲线C2：ρ＝3θ∈[0，2π]．(1)求曲线C1的一个参数方程；(2)若曲线C1和曲线C2相交于A，B两点，求|AB|的值．[例6]在平面直角坐标系xOy中，圆C ＝1＋cosφ，＝sinφ(φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C的极坐标方程；(2)直线l的极坐标方程是2ρ33，射线OM：θ＝π3与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．[例7]在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x＋3y＝53，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4sinθ．(1)求直线l的极坐标方程和圆C的直角坐标方程；(2)射线OP：θ＝π6与圆C的交点为O，A，与直线l的交点为B，求线段AB的长．[例8]在平面直角坐标系xOy中，曲线C ＝2cosθ＝2sinθ＋2(θ为参数)，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C的极坐标方程；(2)若直线l1，l2的极坐标方程分别为θ＝π6(ρ∈R)，θ＝2π3(ρ∈R)，设直线l1，l2与曲线C的交点为O，M，N，求△OMN的面积．[例9]在直角坐标系xOy中，曲线C1＝t cosα，＝t sinα(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，曲线C3：ρ＝23cosθ．(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．[例10]已知直线l ＝1＋2018t，＝3＋20183t(t为参数)．在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2＝4ρcosθ＋23ρsinθ－4.(1)求直线l普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，求|OA|·|OB|．[例11]在平面直角坐标系中，曲线C1＝2cosφ，＝sinφ(φ为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝π3与曲线C2交于点(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知极坐标系中两点A (ρ1，θ0)，2，θ0A ，B 都在曲线C 1上，求1ρ21＋1ρ22的值．[例12]极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ，曲线C 2＝m ＋t cos α，＝t sin α(t 为参数，0≤α＜π)，射线θ＝φ，θ＝φ＋π4，θ＝φ－π4与曲线C 1交于(不包括极点O )三点A ，B ，C ．(1)求证：|OB |＋|OC |＝2|OA |；(2)当φ＝π12时，B ，C 两点在曲线C 2上，求m 与α的值．1．极坐标方程与普通方程互化技巧(1)进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式；x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)．(2)巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程．(3)巧借两角和差公式，转化ρsin(θ±α)或ρcos(θ±α)的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程．(4)将直角坐标方程中的x 转化为ρcos θ，将y 换成ρsin θ，即可得到其极坐标方程．(5)进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响，并重视公式的逆向与变形使用．2．求解与极坐标有关的问题的主要方法(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用．(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解．若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．3．已知极坐标方程求线段的长度的方法(1)先将极坐标系下点的坐标、曲线方程转化为平面直角坐标系下的点的坐标、曲线方程，然后求线段的长度．(2)直接在极坐标系下求解，设A (ρ1，θ1)，B (ρ2，θ2)，则|AB |＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos(θ2－θ1)；如果直线过极点且与另一曲线相交，求交点之间的距离时，求出曲线的极坐标方程和直线的极坐标方程及交点的极坐标，则|ρ1－ρ2|即为所求．【对点训练】1．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρ＝22．(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标．2．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐极；(2)设M ，N 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．3．将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C ．(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．4．以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝21－sin θ.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过极点O 作直线l 交曲线于点P ，Q ，若|OP |＝3|OQ |，求直线l 的极坐标方程．5．已知曲线C＝2＋5cos α，＝1＋5sin α(α为参数)，以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)若直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ＋cos θ)＝1，求直线l 被曲线C 截得的弦长．6．在直角坐标系xOy 中，曲线C＝2cos α，＝2＋2sin α(α为参数)，直线l＝3－32t ，＝3＋12t(t 为参数)．在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O 的射线与曲线C 相交于不同于极点的点A ，且点A 的极坐标为(23，θ)，其中θ(1)求θ的值；(2)若射线OA 与直线l 相交于点B ，求|AB |的值．7．已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －2y ＝0，直线l＝－1＋t ，＝t(t 为参数)，射线OM的极坐标方程为θ＝3π4.(1)求圆C 和直线l 的极坐标方程；(2)已知射线OM 与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．8．在直角坐标系xOy 中，曲线C＝3＋5cos α，＝4＋5sin α(α为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)设l 1：θ＝π6，l 2：θ＝π3，若l 1，l 2与曲线C 分别交于异于原点的A ，B 两点，求△AOB 的面积．9．点P 是曲线C 1：(x －2)2＋y 2＝4上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中点，将点P逆时针旋转90°得到点Q，设点Q的轨迹为曲线C2.(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；(2)射线θ＝π3(ρ>0)与曲线C1，C2分别交于A，B两点，定点M(2，0)，求△MAB的面积.10．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1＝2＋cosα，＝2＋sinα(α为参数)，直线C2的方程为y＝3x．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C1和曲线C2的极坐标方程；(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求1|OA|＋1|OB|．。

极坐标与参数方程知识点、题型总结

极坐标与参数方程知识点、题型总结知识点和题型总结：一、伸缩变换伸缩变换是指点P(x,y)在变换作用下对应到点P'(x',y')，其中x' = λx (λ。

0)，y' = μy (μ。

0)。

这个变换称为伸缩变换。

二、极坐标和直角坐标的转换1、极坐标定义在平面上，点M的极坐标表示为(ρ,θ)，其中ρ表示OM 的长度，θ表示∠MOx的角度，且θ∈[0,2π)，ρ≥0.点P的直角坐标为(x,y)，极坐标为(ρ,θ)。

2、直角坐标转换为极坐标x = ρcosθ，y = ρsinθ。

3、极坐标转换为直角坐标ρ = √(x²+y²)，tanθ = y/x (x≠0)，x = ρcosθ，y = ρsinθ。

4、直线和圆的极坐标方程方法一：先求出直角坐标方程，再把它化为极坐标方程。

方法二：1）若直线过点M(ρ,θ)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ-α) = ρsin(θ-α)。

2）若圆心为M(ρ,θ)，半径为r的圆方程为ρ²-2ρrcos(θ-θ)+ρ²-r² = 0.三、参数方程1、参数方程的概念在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数，且对于t的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

2、常见曲线的参数方程1）直线的标准参数方程过定点(x,y)，倾角为α的直线：x = x+tcosα，y = y+tsinα (t为参数)。

其中参数t的几何意义是点P(x,y)，点M对应的参数为t，则PM = |t|。

直线上P1,P2对应的参数是t1,t2.|P1P2| = |t1-t2| = √((x1-x2)²+(y1-y2)²)。

极坐标与参数方程知识点及题型归纳总结

极坐标与参数方程知识点及题型归纳总结知识点精讲一、极坐标系在平面上取一个定点O ，由点O 出发的一条射线Ox 、一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系.点O 称为极点，Ox 称为极轴.平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ (弧度制)来刻画(如图16-31和图16-32所示). 这两个实数组成的有序实数对(,)ρθ称为点M 的极坐标. ρ称为极径，θ称为极角.二、极坐标与直角坐标的互化设M 为平面上的一点，其直角坐标为(,)x y ，极坐标为(,)ρθ，由图16-31和图16-32可知，下面的关系式成立:cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩或222tan (0)x y yx x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩（对0ρ<也成立）. 三、极坐标的几何意义r ρ=——表示以O 为圆心，r 为半径的圆；0θθ=——表示过原点(极点)倾斜角为0θ的直线，0(0)θθρ=≥为射线；2cos a ρθ=表示以(,0)a 为圆心过O 点的圆.(可化直角坐标: 22cos a ρρθ=222x y ax ⇒+=222()x a y a ⇒-+=.)四、直线的参数方程直线的参数方程可以从其普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为00()y y k x x -=-，其中tan (k αα=为直线的倾斜角)，代人点斜式方程:00sin ()()cos 2y y x x απαα-=-≠,即00cos sin x x y y αα--=. 记上式的比值为t ,整理后得00cos t sin x x t y y αα=+⎧⎨=+⎩,2πα=也成立，故直线的参数方程为00cos t sin x x t y y αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数，α为倾斜角，直线上定点000(,)M x y ，动点(,)M x y ，t 为0M M 的数量，向上向右为正(如图16-33所示).五、圆的参数方程若圆心为点00(,)M x y ，半径为r ，则圆的参数方程为00cos (02)sin x x r y y r θθπθ=+⎧≤≤⎨=+⎩.六、椭圆的参数方程椭圆2222C :1x y a b +=的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，(02)θπ≤≤）.七、双曲线的参数方程双曲线2222C :1x y a b -=的参数方程为sec tan x a y b θθ=⎧⎨=⎩(,)2k k πθπ≠+∈Z .八、抛物线的参数方程抛物线22y px =的参数方程为222x pt y pt⎧=⎨=⎩（t 为参数，参数t 的几何意义是抛物线上的点与顶点连线的斜率的倒数）.题型归纳即思路提示题型1 极坐标方程化直角坐标方程思路提示对于极坐标方程给出的问题解答一般都是通过化为直角坐标方程，利用直角坐标方程求解.这里需注意的是极坐标系与直角坐标系建立的对应关系及其坐标间的关系cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩. 例16.7 在极坐标系中，圆4sin ρθ=的圆心到直线6πθ=(ρ∈R )的距离是 .分析将极坐标方程转化为平面直角坐标系中的一般方程求解.解析极坐标系中的圆4sin ρθ=转化为平面直角坐标系中的一般方程为224x y y +=，即22(2)4x y +-=，其圆心为(0,2)，直线6πθ=转化为平面直角坐标系中的方程为：y x =，即0x =.圆心(0,2)到直线0x ==. 变式1 已知曲线12,C C 的极坐标方程分别为cos 3ρθ=，4cos ρθ=，(0,0)2πρθ≥≤<，则曲线1C 与2C 交点的极坐标为 .变式2 ⊙1O 和⊙2O 的极坐标方程分别为4cos ρθ=,4sin ρθ=-.(1)把⊙1O 和⊙2O 的极坐标方程分别化为直角坐方程; (2)求经过⊙1O 和⊙2O 交点的直线的直角坐标方程.变式3已知一个圆的极坐标方程是5sin ρθθ=-，求此圆的圆心和半径. 例16.8 极坐标方程(1)()0(0)ρθπρ--=≥表示的图形是（）A. 两个圆B.两条直线C.一个圆和一条射线D.一条直线和一条射线分析将极坐标方程化为直角坐标方程.解析因为(1)()0(0)ρθπρ--=≥，所以1ρ=或θπ=(0)ρ≥.11ρ=⇒=，得221x y +=，表示圆心在原点的单位圆；(0)θπρ=≥表示x 轴的负半轴，是一条射线.故选C.变式1 极坐标方程cos ρθ=和参数方程123x ty t =--⎧⎨=+⎩（t 参数)所表示的图形分别是( )A.圆、直线B.直线、圆C.圆、圆D.直线、直线变式2 在极坐标系中，点(2,)6P π-到直线:sin()16l πρθ-=的距离是 .变式3 直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为 .题型2 直角坐标方程化为极坐标方程思路提示如果题目中已知的曲线为直角坐标方程，而解答的问题是极坐标系下的有关问题，这里要利用直角坐标与极坐标关系式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，将直角坐标方程化为极坐标方程.例16.9 在直角坐标系xOy 中，圆1C ：224x y +=，圆2C ：22(2)4x y -+=.（1）在以O 为极点，x 轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆1C , 2C 的极坐标方程，并求出圆1C , 2C 的交点坐标（用极坐标表示）;（2）求出1C 与2C 的公共弦的参数方程.解析（1）圆1C 的极坐标方程为2ρ=，圆2C 的极坐标方程为4cos ρθ=.24cos ρρθ=⎧⎨=⎩解得2ρ=，3πθ=±，故圆1C 与圆2C 的交点的坐标为(2,),(2,)33ππ-. 注：极坐标系下点的表示不唯一.（2）解法一：由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得圆1C 与圆2C 的交点的坐标分别为.故圆1C 与2C 的公共弦的参数方程为1(x t y t=⎧≤≤⎨=⎩.解法二：将1x =代入cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得cos 1ρθ=，从而1cos ρθ=.于是圆1C 与2C 的公共弦的参数方程为1()tan 33x y ππθθ=⎧-≤≤⎨=⎩.变式1 曲线C 的直角坐标方程为2220x y x +-=，以原点为极点，x 轴的正半轴为极抽建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 _.题型3 参数方程化普通方程思路提示已知直线或曲线的参数方程讨论其位置关系、性质问题一般要通过消参（代入法、加减法，三角法)转化为普通方程解答.例16.10 若直线340x y m ++=与圆1cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩( θ为参数)没有公共点，则实数m 的取值范围是 . 解析将圆的参数方程1cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩( θ为参数)化为普通方程22(1)(2)1x y -++=，圆心(1,2)-，半径1r =.直线与圆无公共点，则圆心到直线的距离大于半径，|38|15m -+>|5|5m ⇒->，得10m >或0m <，即m 的范围是(,0)(10,)-∞+∞.变式 1 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程33x t y t=+⎧⎨=-⎩（参数t ∈R ），圆C 的参数方程为2cos 2sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩（参数[0,2]θ∈π），则圆C 圆心坐标为 _，圆心到直线l 的距离为 . 变式2 (2013湖北理16)在庄角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数，0a b >>），在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l与圆O 的极坐标方程分别为sin()4πρθ+=（m 为非零数）与b ρ=.若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为 . 变式3 参数方程sin cos sin cos x y θθθθ=+⎧⎨=⎩（θ是参数）的普通方程是 .例16.11 已知动圆22:2cos 2sin 0C x y ax by θθ+--=（,a b 是正常数，a b ≠，θ是参数），则圆心的轨迹是 .解析由动圆22:2cos 2sin 0C x y ax by θθ+--=得222222(cos )(sin )cos sin x a y b a b θθθθ-+-=+.圆心坐标为(cos ,sin )a b θθ（θ为参数），设cos x a θ=，sin y b θ=，则221x y a b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22221x y a b +=为所求轨迹方程，所以圆心的轨迹是椭圆.变式1 方程2232(05)1x t t y t ⎧=+⎪≤≤⎨=-⎪⎩表示的曲线是（） A. 线段 B. 双曲线的一支 C. 圆弧 D. 射线变式2 已知直线11cos :sin x t C y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），2cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.(1)当3πα=时，求1C 与2C 的交点坐标；(2)过坐标原点O 作1C 的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点.当α变化时，求点P 轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.题型4 普通方程化参数方程思路提示对于直线与圆锥曲线方程化为参数方程问题实质是引入第三个变量的换元法，这里有代数换元（如抛物线22y px =的参数方程222x pt y pt =⎧⎨=⎩）或三角换元（如椭圆22221x y a b +=的参数方程cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩）.例16.12 在平面直角坐标系xOy 中，设(,)P x y 是椭圆2213x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值.分析利用椭圆的参数方程，建立,x y 与参数θ的关系，运用三角函数最值的求法，求解x y +的最大值.解析点(,)P x y 是椭圆2213x y +=上的一个动点，则sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），[0,2]θ∈π，则sin x y θθ+=+2sin()3πθ=+，[0,2]θ∈π，故max ()2x y +=.变式1 已知点(,)P x y 是圆2220x y y +-=上的动点.(1)求2x y +的取值范围；(2)若0x y a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围. 变式2 直线l 过(1,1)P ，倾斜角6πα=.（1）写出l 的参数方程；（2）l 与圆224x y +=相交于,A B 两点，求P 到,A B 两点的距离之积.变式3 已知抛物线2:4C y x =，点(,0)M m 在x 轴的正半轴上，过M 的直线l 与C 相交于,A B 两点，O 为坐标原点.(1)若1m =时，l 的斜率为1，求以AB 为直径的圆的方程；(2)若存在直线l 使得||,||,||AM OM MB 成等比数列，求实数m 的取值范围.题型5 参数方程与极坐标方程的互化思路提示参数方程与极坐标方程的互化问题，需要通过普通方程这一中间桥梁来实现，先将参数方程（极坐标方程）化为普通方程，再将普通方程化为极坐标方程（参数方程）.例16.13 已知曲线C的参数方程为x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），C 在点(1,1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为 .分析把曲线C 的参数方程化为普通方程，求出切线l 的普通方程，然后把求出的直线l 的普通方程化为极坐标方程.解析由22sin cos 1t t +=得曲线C 的普通方程为222x y +=，过原点O 及切点(1,1)的直线的斜率为1，故切线l 的斜率为1-，所以切线l 的方程为1(1)y x -=--，即20x y +-=.把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入直线l 的方程可得cos sin 20ρθρθ+-=sin()204πθ+-=，化简得sin()4πθ+=变式1 设曲线C 的参数方程为2x ty t=⎧⎨=⎩（t 为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 .有效训练题 1.极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（）A. 一条射线和一个圆B. 两条直线C. 一条直线和一个圆D. 一个圆 2.圆cos )ρθθ=-的圆心的一个极坐标是（）A. (B. (2,)4πC. 3(2,)4π D. 7(2,)4π3.在极坐标系中，若等边△ABC 的两个顶点是(2,)4A π，5(2,)4B π.那么顶点C 的坐标可能是（）A. 3(4,)4πB. 3)4πC. )πD. (3,)π4.直线的参数方程为sin 501cos50x t y t ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），则直线的倾斜角为（）A. 40B. 50C. 140D.1305.过点(2,3)A 的直线的参数方程为232x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），若此直线与直线30x y -+=相交于点B ，则||AB =（）6.设曲线C 的参数方程23cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩( θ为参数)，直线l 的方程为320x y -+=，则曲线C 上到直线l的点的个数为（） A. 1 B. 2 C.3 D.4 7.已知直线l的极坐标方程为sin()42πρθ-=，圆M 的参数方程为22cos 12sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩( θ为参数)，则圆M 上的点到直线l 的最短距离为 .8.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C的参数方程分别为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数，02πθ≤≤）和1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），则曲线1C 与2C 的交点坐标为 . 9.已知抛物线的参数方程为222x pt y pt=⎧⎨=⎩（t 为参数），其中0p >，焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点M 作准线l 的垂线，垂足为E ，若||||EF MF =，点M 的横坐标是3，则p = .10.在极坐标系中，O 为极点，已知两点,M N 的极坐标分别为2(4,)3π，)4π,求△OMN 的面积. 11.已知椭圆221164x y +=，O 为坐标原点，,P Q 为椭圆上的两动点，若OP OQ ⊥，求22||||OP OQ +的最大值.12. 已知曲线12cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），曲线2247:cos 016C ρθ-+=.（1）若,P Q 分别是曲线1C 和曲线2C 上的两个动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）若曲线1C 上与x 轴、y 轴的正半轴分别交于,A B 点，P 是曲线1C 上第一象限内的动点，O 是坐标原点，试求四边形OAPB 面积的最大值.。

极坐标(含答案 )

极坐标x cos sin y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 222x y ρ+= 考点一。

直角坐标化极坐标(1)点M 的直角坐标是(1-，则点M 的极坐标为______. 解：点M 极坐标为：2(2,2),()3k k Z ππ+∈. （2）求直线3x-2y+1=0的极坐标方程。

解：极坐标方程为01sin 2cos 3=+-θρθρ。

(3)在极坐标系中，圆心在π）且过极点的圆的极坐标方程为______.解：圆心:)02(，-,22(2x y +=。

圆的极坐标方程为ρθ。

考点二。

极坐标化直角坐标（1）求普通方程)3R ∈=ρπθ（。

解：y=kx,且k=33tan=π,则直线方程为x 3y =。

（2）将曲线的极坐标方程ρ=４sin θ化成直角坐标方程。

解：将ρ=22y x +，sin θ=22y x y +代入ρ=4sin θ，得x 2+y 2=4y ，即x 2+(y-2)2=4.(3)求过圆4cos =ρθ的圆心，且垂直于极轴的直线极坐标方程．解：由θρcos 4=得θρρcos 42=．所以x y x 422=+，22(2)4x y -+=圆心坐标(2,0)直线方程为2=x ．直线的极坐标方程为2cos =θρ。

(4)将极坐标方程4sin 2θ=3化为普通方程。

解：由4sin 2θ=3,得4·222yx y +＝3,即y 2=3 x 2，y=±x 3. （5）化极坐标方程24sin 52θρ⋅=为普通方程。

解：21cos 4sin422cos 522θθρρρρθ-⋅=⋅=-=，即25x =，化简22554y x =+.表示抛物线.(6)求点 (,)π23到圆2cos ρθ= 的圆心的距离。

解：)3,2(π化为)3,1(，圆θρcos 2=化为0222=-+x y x ，圆心的坐标是)0,1(，故距离为3。

（7）求点M （4，）到直线l ：ρ（2cos θ+sin θ）=4的距离．（8）已知21,C C 极坐标方程分别为θρθρcos 4,3cos ==（20,0θρ<≤≥），求曲线1C 与2C 交点极坐标.解:21,C C 分别为4)2(,322=+-=y x x ,且0≥y ，两曲线交点为（3，3）. 所以，交点的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛6,32π。

极坐标知识点和题型总结大全

以下是关于极坐标的基本知识点和一些常见的题型总结：
1. 极坐标定义：极坐标是一种在平面上表示点位置的坐标系，使用极径（r）和极角（θ）来确定点的位置。

2. 极坐标转换：可以通过以下公式将直角坐标系中的点的坐标转换为极坐标：
r = √(x² + y²)
θ = arctan(y/x)
3. 极坐标转化为直角坐标：可以通过以下公式将极坐标转换为直角坐标系中的点的坐标：
x = r * cos(θ)
y = r * sin(θ)
4. 极坐标系下的图形方程：在极坐标系下，常见的图形方程有：
a) 直线：θ = k，其中k 为常数。

b) 圆：r = a，其中a 为常数。

c) 线段：a ≤ r ≤ b，其中a, b 为常数。

5. 极坐标系下的曲线方程：极坐标下的曲线方程可以通过变化极角或极径的方式得到，常见的曲线方程有：
a) 线：r = k，其中k 为常数。

b) 弧线：θ = k*θ0，其中k 为常数，θ0为起始角度。

c) 雅可比螺线：r = a * θ，其中a 为常数。

d) 心形线：r = a * (1 + cos(θ))，其中a 为常数。

在解题时，根据题目给出的条件和要求，可以灵活运用极坐标的转换公式和图形方程，进行坐标转换、方程建立和问题求解等操作。

请注意理解题目中给出的具体要求，如求极值、图形方程、面积等，并将其转化为极坐标下的形式进行求解。

以上是一些极坐标的基本知识点和一些常见的题型总结，希望对您有帮助。

如果有更具体的题目需要解答，可以提供相关题目，我将尽力帮助您解答。

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圆锥曲线的统一形式
1、设定点的距离为P ，求到定点到定点和定直线的距离之比为常数e 的点的轨迹的极坐标方程。

2、分析：①建系 ②设点 ③列出等式
④用极坐标ρ、θ表示上述等式，并化简得极坐标方程
说明：（1）为便于表示距离，取F 为极点，垂直于定直线l 的方向为极轴的
正方向。

（2）e 表示离心率，P 表示焦点到准线距离。

3、圆锥曲线的统一方程，1cos ep
e -θρ=（可表示椭圆、双曲线、抛物线）
当0<e<1时，方程表示椭圆，F 是左焦点，L 是左准线。

当1<e时，方程表示双曲线，F是右焦点，L是右准线。

当e=1时，方程表示抛物线，F是焦点，L是准线，开口向右。

练习：
1、确定方程表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。

2 的焦点为F，以F为极点，x轴正方向为极轴的正方向，2、已知抛物线x
y4
写出此抛物线的极坐标方程；
3、已知抛物线的极坐标方程为求抛物线的准线的极坐标方程；
4、圆锥曲线θ
θ
ρ2
cos sin 8=
的准线方程是( ) A 、2cos -=θρ B 、2cos =θρ C 、2sin -=θρ D 、2sin =θρ
5、从极点O 作圆C ：ρ=8cos θ的弦ON ，求ON 的中点M 的轨迹方程。

6、在极坐标系中与圆θρsin 4=相切的一条直线方程为（）
A 、2sin =θρ
B 、2cos =θρ
C 、4cos =θρ
D 、4cos -=θρ
参数方程
1、参数方程的意义：在平面直角坐标系中，若曲线C 上的点(,)P x y 满足()
()x f t y f t =⎧⎨
=⎩
，则该方程叫曲线的参数方程（变量t 是参变数，简称参数）
2、参数方程通过带入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围。

练习：将下列参数方程化为普通方程
（1）cos sin x a y b ϕ
ϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）；（2）00(x x at t y y bt =+⎧⎨=+⎩为参数）
（3）2
sin cos x y θθ=⎧⎨=⎩[0,2)θπ∈ （4）cos sin x a r y b r ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（ϕ为参数）
3、普通方程化为参数方程
（1）圆222()()x a y b r -+-=的参数方程：cos sin x a r y b r ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（ϕ为参数）
（
2
）
经
过
点
P
00()x y θ，倾斜角为的参数方程
：
（
3
）
椭
圆
22
22
1(0)x y a b a b +=>>的参数方程：
（4）抛物线22(0)y px p =>
4、普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也不一样。

练习（对参数方程的应用）
1、若直线的参数方程为12()23x t
t y t =+⎧⎨=-⎩
为参数，则直线的斜率为（）
A 、23
B 、23-
C 、32
D 、32
-
2、下列在曲线sin 2()cos sin x y θ
θθθ=⎧⎨=+⎩
为参数上的点是（）
A 、1(,2
B 、31
(,)42- C 、 D 、
3、将参数方程2
2
2sin ()sin x y θ
θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（） A 、2y x =- B 、2y x =+ C 、2(23)y x x =-≤≤ D 、2(01)y x y =+≤≤
4、参数方程()2()
t t
t t
x e e
t y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为__________________。

5、在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中，直线l ：02=++kx y 与曲线C ：
θρcos 2=相交，则k 的取值范围是（）
A 、34k <-
B 、4
3
-≥k C 、R k ∈ D 、R k ∈但0≠k
6、在椭圆22
11612
x y +=上找一点，使这一点到直线2120x y --=的距离的最小值。

7、直线122
()112
x t t y t
⎧
=-⎪⎪⎨
⎪=-+⎪⎩为参数被圆224x y +=截得的弦长为______________。

8、已知x 、y 满足4)2()1(22=++-y x ，求y x S -=3的最值。