平面的基本性质(1)
平面的基本性质
∴过不共线的三点A,B,C有一个平面 （公理3）
∵B∈ ，C∈ ∴a （公理1）
∴过点A和直线a有一个平面
（唯一性）
又由公理3,经过不共线的三点A、B、C的平面
只有一个 ∴经过a和平点面的A基本的性质平面只有一个.
推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。
a
βb
C
数学语言表示:
直 线 a bC 有 且 只 有 一 个 平 面 ， 使 得 a， b.
平面的基本性质
一.平面的概念：
光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的 平面形象，数学中的平面概念是现实平面加以抽 象的结果。
二.平面的特征：
观察思考
平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是 无限延伸的。
三.平面的表示方法：
平面可以用小写的希腊字母或大写的英文字 母表示，也可以用三个或三个以上字母表示。
察 思
问题2 如图，两个平面只有一个公共点，是吗？ 考
?
问题3 照相机架为什么只有三只脚？自行车只用
一只撑脚？
平面的基本性质
公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线上的所有点都在这个平面内
BAAB
B A α
l
如果直线l 上所有点都在平面α内就说直线l在平 面α内，或者说平面α经过直线l,否则，就说直 线l在平面α外 应用：
平面的基本性质
推论3.两条平行直线唯一确定一个平面。
βA
Ba b
C
数学语言表示:
直 线 a//b 有 且 只 有 一 个 平 面 ， 使 得 a， b.
思考1：不共面的四点可以确定多少个平面？ 思考2：四条相交于同一点的直线a,b,c,d并且任意三条都不在同一平 面内，有它们中的两条来确定平面，可以确定多少个平面。
平面的基本性质与推论
如果点A , 点B , 那么直线AB
C 练习1、下列说法正确的是_____
A:任何三点不一定都在同一平面内 B:平面与平面可以只有唯一的一个公共点 C:若点A∈平面α,点A∈平面β,点B∈平 面α,点B∈平面β,则α∩β=AB D: 若A∈平面α,B∈平面α,C∈平面α, 则α是唯一确定的
点A在平面内，记作 A 点A不在平面内，记作 A
直线l在平面内，记作 l 直线l不在平面内，记作 l 平面与平面相交于直线a, 记作 a 直线l和直线m相交于点A, 记作 l m A 简记作l m A
基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面 内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。
不共线的三点确定一个平面。
R
平面ABC α
A Q P C
B
基本性质3：如果不重合的两个平面有一个公共 点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线。 两个平面相交 两个平面的交线 注意：
α β
P
a
2.平面的基本性质的推论： 推论1:经过一条直线和直线外一点,有且只有一
个平面.
B A C
推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.
1.平面的基本性质：
点和直线的基本性质： （1）连接两点的线中，线段最短 （2）过两点有一条直线，并且只有一条直线。 基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面 内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。 直线在平面内 或平面经过直线 B
A α 作用:可以判断一条直线是否在一个平面内。
基本性质2：经过不在同一直线的三点有且只有 一个平面。
A B C
推论3:经过两条平行直论：
已知两条直线相交，过其中任意一条直线上 的一点作另一条直线的平行线，这些平行线是否 都共面？ A
平面的基本性质教案(1)
课题：10.1平面的基本性质课题：10.1平面的基本性质【教学目标】1.知识目标：理解和掌握平面的三个基本性质，并学会应用性质进行一些简单的分析和判断。
2. 能力目标：通过实例和多媒体进行直观教学，培养学生的观察能力和空间想象能力。
通过应用性质进行一些简单的分析和判断，培养逻辑思维能力。
3.情感目标：（1）通过创设主题式故事情境，增强学习兴趣。
（2）结合生活，进行“数学来源于生活”的唯物主义观念教育。
（3）通过问题解决，培养学生合作交流、独立思考等良好的个性品质，以及勇于批判、敢于创新的科学精神。
【教学重点】平面的基本性质。
因为研究空间图形时，往往将有关点、线归结到一个平面内，再利用平面图形的性质解决。
所以要求学生对基本性质有较深刻的理解。
【教学难点】平面的基本性质的掌握与运用。
因为平面的基本性质既抽象又枯燥，而中职幼师专业的学生想象和思维都较弱，所以掌握与运用三个平面的基本性质会有一定的难度。
【教学方法】遵循学生的认知规律，结合多媒体将具体与抽象、感性与理性、动手与动脑有机地结合在一起。
进行思考、交流，师生共同讨论等学法。
根据中职学生想象能力、思维能力较弱的特点，尽量从直观入手，因此考虑通过创设既靠近生活，又体现数学本质，并且能从情感上激发学生主动、深入思考的有效情境（主题式故事情境）作为载体的启发式教法。
【教学过程】图9−5公理1作为判断和证明直线是否在平图9−8反映了只要“两面共一点”，就两面共一线，且过这一点，线唯把信封的一角竖立在桌面上，那么信封所在平面和桌面所在平面只交于一点，对吗？如图：在长方体ABCD—A1B1C1D1是棱A1B1上的中点，画出C1三点所确定的平面α与长方体表面的交线。
《平面的基本性质》第1课时示范课教学设计【高中数学教案】
《平面的基本性质》教学设计第1课时◆教学目标了解平面的基本事实与推论，能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实，理解三个基本事实的地位与作用；会用平面的基本事实正面点共线、线共点、点线共面三个典型问题，熟悉符号语言、文字语言、图形语言之间的转换．◆教学重难点◆教学重点：掌握平面的基本事实及推论．教学难点：能用图形、文字、符号三种语言描述平面的基本事实，并能解决空间线面的位置关系问题．◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、问题导入前面我们通过几何体的学习，已经直观地认识了点、线、面之间的位置关系，从本节开始，我们将在直观认识的基础上来论证它们之间的关系，以期进一步培养大家的空间想象能力和逻辑能力．问题1：观察如图11－2－2，的凳子，把凳子看成一个平面，思考（1）如果把一个平面固定在空间中，至少需要固定几个点？（2）有多少个平面能通过空间中指定的一点？有多少平面能通过空间中指定制定的两点？引语：要解决这个问题，就需要进一步学习平面的基本事实与推论.（板书：平面的基本事实与推论）【新知探究】问题2：确定平面的依据是什么？师生活动：学生分析解题思路，给出答案．追问：基本事实1的作用是什么？预设的答案：基本事实1： 文字表示：经过不在一条直线上的3个点，有且只有一个平面.符号表示：A ，B ，C 三点不共线⇒存在唯一的平面α使A ，B ，C ∈α图形表示：注：（1）可以简单地说成“不共线的3点确定一个平面”(2)过不共线的3点A ，B ，C 的平面，通常记作平面ABC ，用图象直观地表示平面时，为了增加立体感，习惯上讲平面用平行四边形表示.(3)如图的平面α可以看成由不共线的3点A ，B ，C 确定的，此时显然有：,,A B C ααα∈∈∈(4)如果给定的3个点同在一直线上，那么有无数个平面通过这3个点，也就是说，此时这三个点不能“确定”一个平面，例如，如果给定的3个点都在长方体的一条棱上，那么过这三个点就会有无数个平面.作用：①确定平面的依据；②判定点、线共面设计意图：通过对生活简单事实出发，通过观察分析归纳出平面基本事实．发展学生数学抽象和直观想象的核心素养．问题3：尝试与发现：这就是说，如果A B αα∈∈， ，那么直线AB α∈，如图11－2－4所示．师生活动：学生分析解题思路，给出答案追问：基本事实2的作用是什么？预设的答案：基本事实2：文字表示：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. 符号表示：A ∈α，B ∈α⇒AB ⊂α图形表示：作用：①判定直线是否在平面内；②判断一个面是否是平面注：基本事实2可以作为判断一个面是否是平面的依据：如果一个面内的任意两点所确定的直线都在这个平面内，那么这个面就是平面．例如，球面不是一个平面，因为球面上任意两点所确定的直线中，只有两个点在球面上.设计意图：培养学生分析和归纳的能力.问题4：如图11－2－6所示，当用裁纸刀裁纸时，可以认为刀锋是在一个平面内运动的．（1）裁纸刀裁出的是什么样的痕迹？（2）两个平面相交时，公共点具有什么特点？师生活动：学生分析解题思路，给出答案追问：基本事实3的作用是什么？预设的答案：基本事实3：文字表示：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号表示：P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l图形表示：注：（1）基本事实3说明，两个不重合的平面，只要有一个公共点，就一定有无数个公共点，而且这无数个公共点能构成一条直线，这条直线通常也称为两个平面的交线，如图所示，有,A a a αβ∈=；（2）在画两个平面相交时，其中一个平面被另一个平面遮住的部分应该画出虚线或不画，如图所示；（3）根据基本事实3可知，棱柱中，有公共棱的两个面所在的平面一定是相交的，而且公共棱是交线的一部分.作用：①判定两个平面相交的依据；②判定点在直线上设计意图：培养学生分析和归纳的能力. 【巩固练习】例1. 用符号语言表示下列语句，并画出图形：(1)三个平面α、β、γ相交于一点P ，且平面α与平面β交于P A ，平面α与平面γ交于PB ，平面β与平面γ交于PC ；(2)平面ABD 与平面BCD 相交于BD ，平面ABC 与平面ADC 交于AC ．师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案： (1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P ，α∩β＝P A ，α∩γ＝PB ，β∩γ＝PC ．用图形表示如图①.(2)符号语言表示：平面ABD ∩平面BDC ＝BD ．平面ABC ∩平面ADC ＝AC ．图形表示如图②.设计意图：用符号语言表示语句． 例2. 证明：两两相交且不过同一个点的3条直线必在同一个平面内.师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：证明：设直线,,AB BC AC 两两相交，交点分别是,,A B C显然，,,A B C 3点不共线，因此它们能确定一个平面α.因为,,A B αα∈∈ 那么直线AB α⊂同理,AC BC αα⊂⊂即直线,,AB BC AC 都在平面α内.设计意图：基本事实1的运用．例3. 如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 上的一点，试说明1,,D A E 3点确定的平面与平面ABCD 相交，并画出这两个平面的交线.师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：因为A ∈面1D AE ，A ∈面ABCD所以面1D AE ABCD ≠∅，即面1D AE 与面ABCD 相交．延长1D E 与DC ，设它们相交于F ，如图所示，则：F ∈直线1D E ，直线1D E ⊂面1D AE ．F ∈直线DC ，直线DC ⊂面ABCD ．则F ∈面1D AE 面ABCD ，从而AF 为面1D AE 与面ABCD 的交线，如图所示.设计意图：基本事实3的运用．【课堂小结】问题：（1）三个基本事实的作用有哪些？（2）证明几点共线的方法有哪些？（3）证明证明多线共点的方法有哪些？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：1．三个基本事实的作用基本事实1——判定点共面、线共面的依据；基本事实2——判定直线在平面内的依据；基本事实3——判定点共线、线共点的依据．2．证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点．或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上．3．证明多线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线．设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确平面的基本事实的有关知识．布置作业：【目标检测】1. 下列说法正确的是()A．三点可以确定一个平面B．若直线上有一个点在一个平面内，则这条直线在这个平面内C．把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面相交于一点D．如果两个平面有三个不共线的点，那么这两个平面重合设计意图：基本事实的运用．2. 若A ∈平面α，B ∈平面α，C ∈直线AB ，则( )A ．C ∈αB ．C ∉α C ．AB ⊄αD ．AB ∩α＝C设计意图：用符号语言表示语句．3. 经过空间任意三点作平面( )A ．只有一个B ．可作二个C ．可作无数多个D ．只有一个或有无数多个设计意图：基本事实的运用．4. 如图所示，在正方体1111ABCD A B C D 中．画出平面1AC 与平面1BC D 及平面1ACD 与平面1BDC 的交线．设计意图：基本事实的运用．5. 如图，已知E ，F ，G ，H 分别是四面体A －BCD 的棱AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：E ，F ，G ，H 四点共面．设计意图：基本事实的运用．参考答案： 1. D A 错误，不共线的三点可以确定一个平面；B 错误，直线上的两个点在一个平面内，则这条直线在这个平面内；C 错误，三角板所在平面与桌面所在平面相交于一条直线；D 正确，过不共线的三个点有且只有一个平面．2. A 因为A ∈平面α，B ∈平面α，所以AB ⊂α.又因为C ∈直线AB ，所以C ∈α.3. D 当三点在一条直线上时，过这三点的平面能作无数个；当三点不在同一条直线上时，过这三点的平面有且只有一个．4. 如图，∵AC BD O ⋂=，1C DC E ⋂=．∴O ∈平面1AC ，O ∈平面1BC D ．又1C ∈平面1AC ，1C ∈平面1BC D ．∴平面 1AC ⋂平面11BC D OC =．同理平面1ACD ⋂平面1BDC OE =．A A 15. 在△ABD 中，∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点，∴EH ∥BD ．同理FG ∥BD ，则EH ∥FG .故E ，F ，G ，H 四点共面．。
平面的基本性质
D
C
A
B
符号表达：一般用希腊字母 , , 等来表示， 如：平面
也可用表达平行四边形旳两个相对顶点旳字母来
表达，如：平面AC，平面ABCD
一种平面在不同旳摆放状态下旳画法
四.点、直线、平面之间旳基本关系
空间图形旳基本元素是点、直线、平面， 从运动旳观点看，点动成线，线动成面，从而 能够把直线、平面看成是点旳集合.所以，它 们之间旳关系除了用文字和图形表达外，还能 够借用集合中旳符号语言来表达.
文字语言：
公理2.假如两个平面有一种公共点，那么它们还有 其他公共点，这些公共点旳集合是经过这个公共点 旳一条直线。
图形语言：
β
a
α
P
符号语言：P PFra bibliotekl且P l
公理2旳作用有二：
一是鉴定两个平面相交，即假如两个平面有一种 公共点，那么这两个平面相交；(画交线)
二是鉴定点在直线上，即点若是某两个平面旳公 共点，那么这点就在这两个平面旳交线上.
假如把桌面看作一种平面，把你旳笔看作 是一条直线旳话，你觉得在什么情况下， 才干使你旳笔所代表旳直线上全部旳点都 能在桌面上？
··
文字语言： 公理1.假如一条直线上两点在 一种平面内，那么这条直线上 旳全部旳点都在这个平面内 （即直线在平面内）。
图形语言：
α
A
B
符号语言： A B
直线AB
平面旳基本性质（1）
一.平面旳概念：
光滑旳桌面、平静旳湖面等都是我们很熟悉. 象这些桌面、平静旳湖面、镜面、黑板面等都
给我们以平__面__旳印象
数学中旳平面概念是现实平面加以抽象旳成果。
1.2.1平面的基本性质(1)(2014年人教A版数学必修二导学案)
）
例 3、把下列语句用集合符号表示，并画出直观图． （1）点 A 在平面 内，点 B 不在平面 内，点 A ， B 都在直线 a 上； （2）平面 与平面 相交于直线 m ，直线 a 在平面 内且平行于直线 m ．
例 3、如图， ABC 中，若 AB，BC 在平面 内，判断 AC 是否在平面 内．
C． P , Q , PQ D． AB , AB , AB 3．为什么许多自行车后轮旁只安装一只撑脚？
4．四条线段顺次首尾相接，所得的图形一定是平面图形吗？
/ /
4．平面 平面 l ，直线 a ，且 a 与 l 不平行，在 内作直线 b ，使 a， b 相交．
a l
5．在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中，画出平面 ACD1 与平面 BDC1 的交线，并说明
/ /
A
B
C
【学后反思】
/ /
备课大师：免费备课第一站！
课题:1.2.1 平面的基本性质（1）检测案
班级： 【课堂检测】 姓名： 学号： 第 学习小组
1．用符号表示“点 A 在直线 l 上， l 在平面 外” ，正确的是（ ） A． A l ， l B． A l，l C． A l，l D． A l，l 2．下列叙述中，正确的是（ A． P , Q , PQ ） B． AB , C AB, D AB, CD
3．平面的表示方法：
4．用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系： 点与直线的位置关系：
点与平面的位置关系：
直线与平面的位置关系：
5．平面的基本性质： 公理 1 ：文字语言描述为： 符号语言表示为：
高中数学 第1章 立体几何初步 1.2.1 平面的基本性质高一数学教案
[探究问题]
1．把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点？为什么？
[提示]由下边的图可知它们不是相交于一点，而是相交于一条直线．
2．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．试问CE，D1F，DA三线是否交于一点？为什么？
③A a，a α⇒A α；④A∈a，a α⇒A α.
A．1B．2
C．3D．4
D[①不正确，如a∩α＝A；②不正确，“a∈α”表述错误；③不正确，如图所示，A a，a α，但A∈α；④不正确，“A α”表述错误．]
2.如图所示，点A∈α，B α，C α，则平面ABC与平面α的交点的个数是______个．
①公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．
用符号表示为： ⇒AB α．
②公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．
用符号表示为： ⇒α∩β＝l且P∈l．
③公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．
(2)α∩β＝l，m∩α＝A，m∩β＝B，A l，B l
点线共面问题
【例2】 已知一条直线与另外三条互相平行的直线都相交，证明：这四条直线共面．
思路探究：法一： → →
→
法二： → →
[证明]如图．
法一：∵a∥b，∴a，b确定平面α.
又∵l∩a＝A，l∩b＝B，
∴l上有两点A，B在α内，即直线l α.
2．证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．
[解]已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.
求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．
《平面的基本性质》(第一课时)
《平面的基本性质》（第一课时）教案
江苏省东台中学杨晓翔
一、教案背景
1. 学科：数学
2. 课时：1
3.面向学生：高一学生通过初中平面几何的学习，已掌握了点、线的概念、表示方法和画法。
但对初中学习过的点和直线的特征及基本性质印象不深。
二、教学课题
《平面的基本性质》（第一课时）
教学目标：
1.初步了解平面的概念，掌握平面的基本画法。
理解平面的基本性质，掌握它的应用；
2.会用图形、文字和符号描述点、直线、平面及其相互位置关系；
三、教材分析
本节课是苏教版必修2第一章《立体几何初步》的第二部分《点、线、面之间的位置关系》的第一课时。
教学重点：理解平面概念及基本性质。
教学难点：文字语言、图形语言和符号语言的转换与使用。
教学准备：多媒体课件和网络教室。
四、教学方法
多媒体教学和实验教学等。
五、教学过程
通过这一节课的研究，我们掌握了哪些知识，还有哪些感
本节课，我们类比了一参照物——直线，运用三种语言——文
七、教学反思
本节课从实例出发，引导学生从具体的实物中抽象出平面，并逐步探索其本质属性，为公理化研究问题打下伏笔，完成了一次从感悟到理性思维的飞跃；采用类比推理的模
式，让立体几何的建模与学习成为教师与学生合作下的“再创造”，实现了从二维平面到三维空间质的飞跃；集合语言的使用，加快了数学建模的进程，体现了数学符号语言的抽象美和简洁美，渗透了借形引数、以数证形、数形相辅的数学思想。
整节课内容较多，课时稍紧，可根据不同基础的学生作适当调整。
平面的基本性质(一)
推论3 过两条平行线有且只有一个平 推论3 过两条平行线有且只有一个平 有且只有 面。
α
公理3 如果两个不重合平面有一个公 公理 共点， 共点，那么它们有且只有一条过该点 的公共直线。 的公共直线。
应用： 应用： 判断多点是否共线
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点， 公理 如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 注意： 注意：
P ∈α ∩ β ⇒α ∩ βl且P ∈l =
1.以后说到两个平面，如不特 以后说到两个平面， 以后说到两个平面 别说明都是指两个不重合的平 面。
2.这是判定两平面相交以及 这是判定两平面相交以及 它们的交点共线的依据。 它们的交点共线的依据。
两个不重合的平面，只要它们有公共点， 两个不重合的平面，只要它们有公共点， 就是相交的位置关系，交集是一条直线， 相交的位置关系 它们 就是相交的位置关系，交集是一条直线， 叫做这两个平面的交线。 叫做这两个平面的交线。 交线
如：
β
α
平面α
D A B C
平面β
平面ABCD 平面BD 平面AC
表示两平面相交的画法
画两平面相交，当其中一个平面被另一个平面遮住时， 画两平面相交，当其中一个平面被另一个平面遮住时， 应把被遮住的部分画成虚线或不画。 应把被遮住的部分画成虚线或不画。 虚线
点与直线的位置关系
B• A•
a
点A 在直线 a 上，记作：A ∈ a
“只有”——唯一性 只有” 唯一性
公理2 过不在一条直线上的三点， 公理 过不在一条直线上的三点，有 且只有一个平面 且只有一个平面
这是确定平面的依据之一 3、公理的推论 、 推论1 过一条直线和直线外一点有且 推论 过一条直线和直线外一点有且 只有一个平面 一个平面。 只有一个平面。
1.2.1 平面的基本性质与推论
张喜林制1.2.1 平面的基本性质与推论教材知识检索考点知识清单1．点与直线的基本性质连接两点的线中， 最短；过两点有 ，并且只有 ． 2．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线上的 ，这时我们就说：直线在 或 ．公理2：经过 的三点，有且只有一个 即 的三点确定 ．公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有 条过 的公共直线． 3．平面基本性质的推论推论1：经过一条直线和____，有且只有____推论 2：经过两条____，有且只有____ ． 推论3：经过两条____，有且只有____．要点核心解读1．平面的基本性质 (1)公理l①三种语言表述文字语言：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内， 图形语言：如图1-2 -1-1． 符号语言：⇒∈∈∈∈ααB A l B l A ,,,.α⊂l②公理1的条件是“线上有两点在平面内”，结论是“线上的所有点都在平面内”，这个结论阐述两个观点，一是整条直线在平面内，二是直线上的所有点在平面内． ③作用：判定直线是否在平面内，判定点是否在平面内． (2)公理2①三种语言表述文字语言：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．图形语言：如图1-2 -1-2．符号语言：A ，B ，C 三点不共线等有且仅有一个平面α，使.,,ααα∈∈∈C B A②公理2的条件是“过不在同一直线上的三点”，结论是“有且仅有一个平面”，要注意“不在同一条直线上”这一附加条件，舍之则结论不成立．结论中“有且仅有”即“存在且唯一”，又可称之为“确定”平面．③公理2的三个推论推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．④公理2及三个推论的作用：其一是确定平面，其二可用来证明点、线共面的问题，其三是用来作为计算平面个数的依据． (3)公理3①三种语言表述文字语言：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线． 图形语言：如图1-2 -1-3．符号语言：.l P l P ∈=⇒∈且βαβα②公理3的条件是“两面共一点”，结论是“两面共一线，且过这一点，线唯一”．③作用：其一是判定两个平面是否相交，其二是判定点在直线上，可用来证明多点共线或多线共点问题2．平面基本性质的理解及应用 平面基本性质的三条公理及推论，是我们学习和研究立体几何问题的重要基础，根据平面的基本性质，常将空间图形转化为平面图形解决，这是解答立体几何问题的重要思想方法．(1)公理1是判定直线是否在平面内的依据，运用公理1可判定直线是否在某一平面内．(2)公理2以及推论是确定平面的依据，确定一个平面，包括两层意思：①存在一个平面；②只有一个平面．公理2及其三个推论是四个等价命题．(3)公理3是确定两个平面相交于一条直线的依据，运用公理3可判定多点共线或点在线上．(4)证明空间三点共线的问题．通常证明这些点都在两个平面的交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证明第三点既在第一个平面内又在第二个平面内，当然必在两个平面的交线上．(5)证明空间三线共点的问题可把其中一条作为分别过其余两条的两个平面的交线，然后存证另两条直线的交点在此直线上．(6)证明空间几点共面的问题，可先取三点（不共线的三点）确定一个平面，再证其他各点都在这个平面内．(7)证明空间几条直线共面的问题，可先取两条（相交或平行）直线确定一个平面，再证其余直线在这个平面内，或者从这些直线中取任意两条确定若干个平面，再一一确定这些平面重合．典例分类剖析考点1 判断命题的正误 命题规律判断对给出的公理及推论的理解或不同表述是否正确. [例1] (1)下列命题中不正确的是( ).A.若一条直线上有一点在平面外，则直线上有无穷多个点在平面外B ．若,,,ABC B A ∈∈∈αα则α∈C C ．若,,,,B b l A a lb a ==⊂⊂ αα则α⊂lD ．若一条直线上有两点在已知平面外，则直线上的所有点都在平面外(2)直线⊂a 平面α，直线⊂b 平面b N a M ∈∈,,α且,l M ∈,l N ∈则( )．α⊂l A . α⊂/l B . M l C =α. N l D =α . [试解] ．（做后再看答案，发挥母题功能）[解析] (1)根据公理l ，直线在平面内的条件是直线上有两个点在平面内即可，因此选D ．,,,,,,)2(ααα∈∴⊂⊂∈∈N M b a b N a M 而M ．N 确定直线L ．根据公理1可知,α⊂l 故选A ．[答案](1)D(2)A母题迁移 1．下列命题：(1)空间不同的3点确定一个平面； (2)有3个公共点的两个平面必重合；(3)空间两两相交的三条直线确定一个平面； (4)三角形是平面图形；(5)平行四边形、梯形、四边形都是平面图形； (6)垂直于同一直线的两直线平行；(7)-条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交； (8)两组对边相等的四边形是平行四边形， 其中正确的命题是 ． 考点2 平面个数的确定 命题规律由给定的条件，借助公理确定平面的个数． [例2] (1)不共面的四点可以确定几个平面？(2)三条直线两两平行但不共面，它们可以确定几个平面？ (3)共点的三条直线可以确定几个平面？ (4)空间三点可以确定几个平面？[答案] (1)不共面的四点可以确定四个平面．(2)三条直线两两平行但不共面，它们可以确定三个平面． (3)共点的三条直线可以确定一个或三个平面．(4)若空间三点不共线，由公理2，则可以确定一个平面；若空间三点共线，则过三点的平面有无数多个，但这三点都不能确定其中的任何一个平面，此时有0个平面．故空间三点可以确定一个或0个平面． [点拨] (1)判定平面的个数问题关键是要紧紧地抓住已知条件，做到不重不漏．平面的个数问题主要是根据已知条件和公理2及其三个推论来判定．(2)题中“确定”即“有且只有”．“有”是说平面存在，“只有”是说平面的唯一性．(3)解此类问题要注意理解“确定”的含义，否则(4)中就会错答为“可确定一个或无数个平面”． 母题迁移 2．四条直线两两平行，任意三条不共面，过其中的任意两条作一个平面，共可以作平面____个.考点3 线共点问题命题规律 证明满足某些条件的几条直线交于一点．[例3] 如图1-2 -1-5所示，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 分别在AB 、BC 、CD 上，且满足===GD CG FB CF EB AE :,1:2::,1:3过E 、F 、G 的平面交AD 于H(1)求AH ：HD ；(2)求证：EH 、FC 、BD 三线共点．[答案] (1) ,//,2AC EF FBCFEB AE ∴== //EF ∴平面ACD ．而⊂EF 平面EFCR ，平面 EFGH平面,GH ACD =.3.//,//,//==∴∴∴GDCGHD AH GH AC AC nEF GH EF,//)2(GH EF 且,41,31==AC GH AC EF ∴=/∴,GH EF 四边形EFGH 为梯形．令,P FG EH= 则⊂∈∈EH FG P EH P 又,,平面ABD ，⊂FG 平面BCD ，平面 ABD 平面,BD BCD =BD FG EH BD P 、、∴∈∴⋅三线共点．[点拨] 证明线共点的问题实质上是证明点在线上的问题，其基本理论是把直线看作两平面的交线，点看作是两平面的公共点，由公理3得证．母题迁移 3．三个平面两两相交得到三条交线，如果其中有两条相交于一点，那么第三条也经过这个点．考点4 点共线问题命题规律 证明满足某些条件的几个点在一条直线上.[例4] 正方体1111D C B A ABCD -中，对角线C A 1与平面1BDC 交于点O ，AC 、BD 交于点M ，求证：点M O C 、、1共线．[解析] 要证若干点共线的问题，只需证这些点同在两个相交平面内即可．[答案] 如图1-2-1-6所示，C C A A C C A A 1111//、⇒确定平面,1C A的交线上与平面在平面平面直线平面平面平面D BC C A O D BC D BC C A O C A 111111111⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∈⇒=∈⇒⎭⎬⎫∈⊂O O C A O C A C A ,D BC C A 111111M C O M C C A D BC O ∈⇒⎭⎬⎫=平面平面的交线上与平面在平面即M C O 、、1三点共线．[点拨] 证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点．这样就可根据公理3证明这些点都在这两个平面的公共直线上， 母题迁移 4．已知△ABC 在平面α外，直线,P AB =α 直线,R AC =α 直线,Q BC =α 如图1 -2-1 -7.求证：P 、Q 、R 三点共线． 考点5点、线共面问置命题规律证明满足某些条件的若干个点或直线在题同一平面内.[例5] 如图1-2 -1-8所示，M 、N 、P 、Q 分别是正方体////D C B A ABCD -中棱///CC D C BC AB 、、、的中点．求证：M 、N 、P 、Q 四点共面．[解析] 要证这四点共面，方法较多，但注意到本题中点P 、Q 、N 、M 的特殊性及对正方体的理解和认识，可证直线PQ 和MN 相交或M P// NQ.[答案] 证法一：如图l-2-1-8所示，连接MN 并延长交DC 的延长线于O ，则≅∆MBN ,OCN ∆.BM CO =∴连接PQ 并延长交DC 的延长线于,/O 则,//CQ O Q PC ∆≅∆/////,,.O O CO CO PC MB PC CO 、又∴=∴==∴ 重合，∴ PQ 、MN 相交且确定一个平面，故M 、N 、P 、Q 四点共面．证法二：∴,///PC MB 四边形P MBC /为平行四边形．⋅∴∴NQ MP BC NQ BC MP //,//.////∴ MP 与NQ 确定一个平面， 故M 、N 、P 、Q 四点共面．[点拨] 一般地，证明若干个点共面，可证明这些点所在的直线相交，或先证明其中的三点共面，再证明其他的点也在这个平面内，这往往就要用到有关的定理或推论， 母题迁移 5．求证：两两相交且不共点的四条直线共面．学业水平测试1．下列叙述中正确的是( )．A ．因为,,αα∈∈Q P 所以α∈PQB ．因为,,βα∈∈Q P 所以PQ =βαC ．因为,,,ABD AB C AB ∈∈⊂α所以α∈CD D ．因为,,βα⊂⊂AB AB 所以)()(βαβα∈-∈∏B A2．下列命题中是真命题的是( )． A ．空间不同的三点确定一个平面B ．有三个内角是直角的空间四边形是矩形C ．三条直线中任意两条均相交，则这三条直线确定一个平面D ．顺次连接空间四边形各边的中点所得的四边形其对角线必共面3．在空间，若四点中的任意三点不共线，则此四点不共面．此结论( )． A ．正确 B ．不正确 C ．无法判断 D ．缺少条件 4．已知点A ，直线a ，平面α;,αα∉⇒⊂/∈A a a A ①;,αα∈⇒∈∈A a a A ②⊂∉a a A ,③;αα∉⇒A .,αα⊂⇒⊂∈A a a A ④以上命题正确的个数为 ．5．下列命题：①空间3点确定一个平面；②有3个公共点的两个平面必重合；③空间两两相交的三条直线确定一个平面；④三角形是平面图形；⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；⑥垂直于同一直线的两直线平行；⑦一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交；⑧两组对边相等的四边形是平行四边形，其中正确的命题是 ． 6．有空间不同的五个点．(1)若有某四点共面，则这五点最多可确定多少个平面？(2)若任意四点都在同一平面内，则这五点共能确定多少个平面？并证明你的结论，高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分） 一、选择题（6分x 7 = 42分）1．空间四点A 、B 、C 、D 共面而不共线，那么四点中( )． A ．必有三点共线 B ．必有三点不共线 C ．至少有三点共线 D ．不可能有三点共线 2．如图1-2-1-11所示，平面,l =βα 点、A ,α∈B 点β∈C 且,,R l AB l C =∉ 设过A 、B 、C 三点的平面为γ，则γβ是( )．A ．直线ACB ．直线BC C ．直线CRD ．以上均不正确3．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成( )． A.5部分 B.6部分 C.7部分 D.8部分 4．在空间内，可以确定一个平面的条件是( )．A ．两两相交的三条直线B ．三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交C ．三个点D ．三条直线，它们两两相交，但不交于同一点5．如图1-2 -1-12所示，正方体-ABCD 1111D C B A 中，P 、Q 、R 分别是11C B AD AB 、、的中点．那么，正方体过P 、Q 、R 的截面图形是( )．A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形6．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面a 共有( )． A ．3个 B ．4个 C ．6个 D ．7个7．三条直线两两相交，由这三条直线所确定的平面个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．1或3二、填空题（5分x4 =20分）8．如果一条直线与一个平面有一个公共点，则这条直线可能有 个点在这个平面内． 9．有下面几个命题：①如果一条线段的中点在一个平面内，那么它的两个端点也在这个平面内；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④四边形有三条边在同一个平面内，则第四条边也在这个平面内；⑤点A 在平面α外，点A 和平面a 内的任何一条直线都不共面． 其中正确命题的序号是 ．（把你认为正确的序号都填上） 10.如图1-2 -1 -13所示，正方体-ABCD 1111D C B A 中，E 、F 分别为1CC 和1AA 的中点，画出平面F BED 1与平面ABCD 的交线的作法为11．如图1-2 -1-14所示，E 、F 分别是正方体的面11A ADD 和面11B BCC 的中心，则四边形E BFD 1在该正方体的面上的投影可能是 （要求：把图1-2 -1 -15中可能的图的序号都填上）三、解答题（共38分）12.（8分）如图1-2-1-16所示，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 为AB 的中点，F 为1AA 的中点．求证：DA F D CE 、、1A 三线交于一点．13.（10分）如图1-2-1 -17所示，在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，M 为AB 的中点，N 为1BB的中点，D 为平面11B BCC 的中心．(1)过O 作一直线与AN 交于P ，与CM 交于Q （只写作法，不必证明）；(2)求PQ 的长．14.（10分）如图1-2-1-18所示，正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是1111.B C C D 的中点。
高中数学《平面的基本性质》教案
高中数学《平面的基本性质》教案章节一：平面的概念1.1 教学目标让学生理解平面的基本概念，包括平面的定义和表示方法。
让学生掌握平面的性质，如平面的无限延展性和平面的包含关系。
1.2 教学内容平面定义：平面是无限延展的、无厚度的二维空间。
平面表示方法：用希腊字母“π”表示平面。
平面性质：平面的无限延展性，平面内任意两点可以确定一条直线。
1.3 教学步骤引入平面的概念，引导学生思考日常生活中的平面例子。
讲解平面的定义和表示方法，通过图形和实例进行说明。
引导学生理解平面的性质，通过实际操作和几何证明来加深理解。
章节二：平面的基本性质2.1 教学目标让学生掌握平面的基本性质，包括平面的连续性、平行的性质和平面的包含关系。
2.2 教学内容平面连续性：平面上的任意两点都可以用一条直线连接。
平面平行性质：同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。
平面包含关系：一条直线可以包含在平面内，也可以不包含在平面内。
2.3 教学步骤回顾平面的概念和表示方法，引导学生思考平面的性质。
讲解平面的连续性，通过图形和实例进行说明。
讲解平面的平行性质，通过实际操作和几何证明来加深理解。
讲解平面的包含关系，通过实际操作和几何证明来加深理解。
章节三：平面的画法3.1 教学目标让学生掌握平面的画法，包括平面在坐标系中的表示和平面的方程。
3.2 教学内容平面在坐标系中的表示：平面可以用方程表示，如Ax + By + C = 0。
平面方程的求法：通过已知的平面上的点和平面的法向量来求解平面方程。
3.3 教学步骤引导学生回顾平面的概念和性质，引出平面的画法。
讲解平面在坐标系中的表示方法，通过图形和实例进行说明。
讲解平面方程的求法，通过实际操作和几何证明来加深理解。
章节四：平面与直线的关系4.1 教学目标让学生掌握平面与直线的关系，包括平面与直线的相交和平行。
4.2 教学内容平面与直线的相交：平面与直线相交时，交点称为直线在平面上的投影。
平面与直线的平行：平面与直线平行时，直线上的任意点都不在平面内。
1.2.1平面的基本性质与推论
中国人民大学附属中学
一．平面的基本性质： 平面的基本性质： 1．公理1： ．公理 ： ①文字语言：如果一条直线上的两点在 文字语言： 一个平面内， 一个平面内，那么这条直线上的所有点 都在这个平面内 ； ②图形语言： 图形语言： ③符号语言：A∈l；B∈l，A∈α，B∈α 符号语言： ∈ ； ∈ ， ∈ ， ∈
⇒ AB ⊂ α.
练习： 练习：
（2） l ⊂ α, A∈l ⇒ ）
A∈α （1） ） ⇒ AB ⊂α 。 B∈α
A∈α
。
公理1的作用有两个：（1）作为判断和证 公理 的作用有两个：（ ）作为判断和证 的作用有两个：（ 明直线是否在平面内的依据， 明直线是否在平面内的依据，即只需要看 的依据 直线上是否有两个点在平面内就可以了； 直线上是否有两个点在平面内就可以了；
可以用来检验某一个面是否为 （2）公理 可以用来检验某一个面是否为 ）公理1可以用来 平面，检验的方法为： 平面，检验的方法为：把一条直线在面内 旋转，固定两个点在面内后， 旋转，固定两个点在面内后，如果其他点 也在面内，则该面为平面。 也在面内，则该面为平面。
2．公理2： ．公理 ： 文字语言：经过不在同一条直线 不在同一条直线上的三 ①文字语言：经过不在同一条直线上的三 有且只有一个平面， 点，有且只有一个平面，也可以说成不共 线的三点确定一个平面。 确定一个平面 线的三点确定一个平面。 ②图形语言： 图形语言： 三点不共线， ③符号语言：A、B、C三点不共线，有且 符号语言： 、 、 三点不共线 只有一个平面α，使得A∈ ， ∈ ， 只有一个平面 ，使得 ∈α，B∈α， C∈α. ∈
（2）推论 ： ）推论3： 经过两条平行直线， 文字语言 :经过两条平行直线，有且只有一 经过两条平行直线 个平面. 个平面 图形语言： 图形语言： a，b是两条直线 是两条直线 符号语言： 符号语言： a//b a，b共面于平面 ，且α是惟一的 . ， 共面于平面 共面于平面α， 是惟一的
高考一轮复习第七章 第三节 平面的基本性质及两直线的位置关系
返回
怎 么 考 1.从高考内容上来看，多以空间几何体为载体考查点、线面 间的位置关系及异面直线问题．
2.高考中各种题型均有涉及，难度中、低档.
返回
返回
一、平面的基本性质及推论 1．平面的基本性质： 基本性质1：如果一条直线上的 两点在一个平面内，那么 这条直线上的所有点都在这个平面内． 基本性质2：经过 不在同一直线上 的三点，有且只有一个平 面．
(1)求AH∶HD；
(2)求证：EH、FG、BD三线共点．
返回
AE CF 解：(1)∵EB＝FB＝2，∴EF∥AC. ∴EF∥平面 ACD. 而 EF⊂平面 EFGH，且平面 EFGH∩平面 ACD＝GH， ∴EF∥GH.而 EF∥AC.∴AC∥GH. AH CG ∴HD＝GD＝3，即 AH∶HD＝3∶1.
返回
EF 1 GH 1 (2)证明：∵EF∥GH，且AC＝ ， AC ＝ ， 3 4 ∴EF≠GH.∴四边形 EFGH 为梯形． 令 EH∩FG＝P，则 P∈EH，而 EH⊂平面 ABD，P∈ FG，FG⊂平面 BCD，平面 ABD∩平面 BCD＝BD， ∴P∈BD.∴EH、FG、BD 三线共点．
返回
[高手点拨] 找与三条异面直线都相交的直线，可以转化成在一
个平面内作与三条直线都相交的直线，因而可考虑过一
条直线及另外一条直线上的一点作平面，进而研究公共 交线问题，本题解法较多，但关键在于构造平面，要求 考生具有较强的空间想象能力．
返回
点击此图进入
返回
1 1 是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90° ，BC 綊 AD，BE 綊 2 2 FA，G、H 分别为 FA、FD 的中点．
返回
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形； (2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？
“平面的基本性质”教案
平面的基本性质教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解平面的基本性质；（2）学会运用平面的基本性质解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、实践、交流等活动，培养学生的空间想象能力；（2）学会利用平面的基本性质进行几何图形的分析与判定。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对平面几何的兴趣；（2）培养学生的逻辑思维能力和团队合作精神。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）平面的基本性质；（2）运用平面的基本性质解决实际问题。
2. 教学难点：（1）平面的性质在实际问题中的应用；（2）空间想象能力的培养。
三、教学准备1. 教具准备：（1）平面模型；（2）几何画板；（3）多媒体课件。
2. 学具准备：（1）学生用书；（2）笔记本；（3）铅笔、橡皮。
四、教学过程1. 导入新课（1）利用多媒体课件展示生活中的平面实例，引导学生关注平面几何在实际生活中的应用；（2）提问：同学们，你们认为平面有什么特点？2. 探究平面的基本性质（1）引导学生观察平面模型，让学生直观感受平面的特点；（2）引导学生通过实践操作，发现平面的基本性质；（3）师生互动，共同总结平面的基本性质。
3. 巩固新知（1）利用几何画板展示平面的基本性质，加深学生对知识的理解；（2）出示例题，引导学生运用平面的基本性质解决问题；（3）学生分组讨论，交流解题心得，培养团队合作精神。
4. 拓展与应用（1）出示拓展题目，引导学生运用平面的基本性质解决实际问题；（2）学生独立思考，教师巡回指导；（3）学生展示解题过程，师生共同点评。
五、课后作业1. 必做题：完成学生用书上的练习题；2. 选做题：利用网络资源，搜集生活中的平面实例，分析其应用平面的基本性质。
教学反思：本节课通过观察、实践、交流等活动，使学生掌握了平面的基本性质，并能运用所学知识解决实际问题。
在教学过程中，注重培养了学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
但在时间安排上，感觉拓展环节稍显紧张，今后可以适当调整教学进度，给予学生更多思考和展示的机会。
平面的基本性质
平面的基本性质
1平面的定义
平面是指三维空间中的两维物体，它由一组点所组成，且任意两点间的距离都是一样的。
在数学中，可用直线和点表示平面，它分为平行于坐标轴的抽象平面和构成几何图形的实际平面。
2特征
（1）法线性质
所有点在一个平面上，且这个平面有一个通用的法线，法线的方向总是指着所有平面上的点的一边。
因此，法线在某种程度上可以作为这个平面的一个标识，可以用来找出某点在这个平面上的位置。
（2）子平面性质
在一个平面上，可以在任意方向上投射任意许多的点，从而得到任意子空间。
一个子空间不再是一个完整的平面，但它具有平面和空间的某些性质，如二维特性和空间平行性等。
3经典定理
（1）平面垂直于坐标轴的定理：如果一个平面的法线都垂直于每一个坐标轴，那么这个平面在每一个坐标轴上垂直于另一条坐标轴。
（2）平面平行定理：如果一个平面和另一个平面的法线之间没有成比例的关系，那么这两个平面就是平行的。
4应用
平面的知识可以被广泛应用于不同领域，如机械技术、建筑设计、工程计算、人体解剖学等。
特别地，工程技术中，借助平面的计算可以得到准确的结果，进而更好地解决工程问题。
此外，可以用平面的性质来进行仿射变换。
在人体解剖学上，也经常会用到平面的几何图形，比如重建人体器官的形状。
高中数学平面的基本性质(1)课件
Page 14
通常画平行四边形来表示平面.
四面体
三个平面相交 且交于一点
Page 15
在画平行四边形表示平面时，所表示的 平面如果是水平平面，通常把锐角画成45°， 横边画成邻边的两倍.
45°
如果是非水平平面，只要画成平行四边形. 铅直平面
l A
平面α与平面β相 交于AB
α APage 23β NhomakorabeaB
AB
【例1】已知命题： ①10个平面重叠起来，要比5个平面 重叠起来厚； ②有一个平面的长是50m，宽是20m； ③黑板面是平面； ④平面是绝对的平，没有大小、没有厚 度，可以无限延展的抽象的数学概念. ④ 其中正确的的命题是__________.
Page 16
如果几个平面画在一起，当一个 平面有一部分被另一个平面遮住时， 应把被遮部分的线段画成虚线或不画.
Page 17
两相交平面的画法：
β α α β
Page 18
平面与平面相交的画法
E M F
N
α∩β=AB 两个平面的交线必须画出,被别的平面遮 盖的部分线段,画成虚线或不画.
3. 平面的表示法
Page 7
1. 平面的特点
问题：请同学们观察下面的纸盒，它 是由几个面构成的？
Page 8
Page 9
Page 10
问题：还有哪些面留给我们平面的形象 呢？ 桌面、黑板、地面、海平面等. 问题：当我们想象海平面是一平如镜时，它有 什么特点？ 很大、很平. 以上例子给我们“平面”的直观，但平面是 一个不加定义的概念，具有“平”、“无限 延展”、“无厚薄”的特点.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
察 思
问题2 如图，两个平面只有一个公共点，是吗？ 考
?
问题3 照相机架为什么只有三只脚？自行车只用 一只撑脚？
公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线上的所有点都在这个平面内
A B
AB
B A α
l
如果直线l 上所有点都在平面α内就说直线l在平 面α内，或者说平面α经过直线l,否则，就说直 线l在平面α外 应用：
1.判断点或直线在平面内的依据;
2.判断点或直线共面的依据
六.平面性质研究
观
问题1 泥匠如何检查墙面是否平整？ 木匠如何检查桌面是否平整？
察 思
问题2 如图，两个平面只有一个公共点，是吗？ 考
?
问题3 照相机架为什么只有三只脚？自行车只用 一只撑脚？
公理二：如果两个平面有一个公共点，那么它
们还有其它公共点，这些公共点的集合是一条
∴AB、AC、BC共面
A BC
证法3： ∵ A、B、C三点不在一条直线上
∴过A、B、C三点可以确定平面 (公理3) ∵ A∈ , B∈ ∴AB (公理1) 同理 BC , AC
∴AB、AC、BC共面
A BC
练1.直线l 与过点P的三条直线a1 , a2 , a3 分别 交于 A，B，C三点（A，B，C异于点P），求证： 这四条直线共面。
证：P、Q、R三点在同一直线上。
A
Q
C B
R P
例4：已知：空间四边形ABCD，平面四
边形EFGH的顶点分别在空间四边
形的各边AD,AB,BC,CD上,若EF与
GH不平行，求证：三条直线
EF,GH,BD共点。
方法小结
六.平面性质研究
观
问题1 泥匠如何检查墙面是否平整？ 木匠如何检查桌面是否平整？
3.两平面两个公共点 的连线就是它们的交 线
β
P
l
α
例2．在长方体ABCD—A1B1C1D1 中，画出平面A1C1D与平面B1D1D 的交线.
D1
C1
O
A1
B1
D A
C B
例3：如图画出平面 与平面ADE的交线 画出DE与平面 的交点
A
B
D
C P
E
变式：如图，已知△ABC三边所在的
直线分别交平面 于点P、Q、R，求
Aa1 B
a2
αP
C a3
例2图
练2.已知直线a，b ，c互相平行，直线l 与直线 a，b，c分别交于D ，E，F三点，求证这 四 条直线共面。
ab c l
DE F α
例3图
练习： 1.如图找平面BA 1C 1与平面B 1AC的交线
D A
C B
D1 A1
C1 B1
2.P、Q分别是正方体ABCD—A 1B 1C 1D 1的 棱AA1、CC1上的点，画出过B、P、Q三点 的截面
D1 A1
C1 B1
Q
P
D
C
A B
小结
1、平面的概念、平面的画法及其表示方法
2、空间图形的点、线、面的基本位置关系 及表示
3、平面的基本性质 公理1
公理2
4、应用
公理3 （3个 推论）
公理1：判断线面、点面位置关系 证明线在面内、点在面内
公理2：确定两个平面的交线 确定直线与平面的交点位置 证明三点共线、三线共点
察 思
问题2 如图，两个平面只有一个公共点，是吗？ 考
?
问题3 照相机架为什么只有三只脚？自行车只用 一只撑脚？
观察下列问题，你能得到什么结论？
B
αA
C
B A
公理3.经过不在同一直线上 C 的三点有且只有一个平面.
应用：确定平面的依据 判定点或线的共面;
推论1.一条直线和直线外一点唯一确定一个平面。
直线a // b 有且只有一个平面， 使得a ，b .
思考1：不共面的四点可以确定多少个平面？ 思考2：四条相交于同一点的直线a,b,c,d并且任意三条都不在同一平 面内，有它们中的两条来确定平面，可以确定多少个平面。
例1：如图，直线AB、BC、CA两两相交，交点 分别为A、B、C，判断这三条直线是否共面， 并说明理由.
D
α
β
A
如：平面α，平面β，平面ABCD等。
C B
四.平面的画法： （1）水平放置的平面：
（2）垂直放置的平面：
β
α
通常把表示平面的平行四边形的锐角画成450
（3）在画图时，如果图形的一部分被另一部分遮住， 可以把遮住部分画成虚线，也可以不画。
五.用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：
(1)点与直线的位置关系：
A BC
共面
证明：∵AB∩AC=A
∴直线AB、AC确定一个平面 (推论2)
∵B∈AB ,C∈AC
∴B∈ ,C∈ ∴BC (公理1) ∴直线AB、BC、CA都在平面内
即它们共面
A BC
证法2： ∵A直线BC
∴过点A和直线BC确定平面 ∵ A∈ , B∈BC ∴ B∈ ,∴AB 同理 AC
∴过点A和直线a有一个平面
（唯一性）
又由公理3,经过不共线的三点A、B、C的平面
只有一个 ∴经过a和点A的平面只有一个.
推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。
a
βb
C
数学语言表示:
直线a b C 有且只有一个平面， 使得a ，b .
推论3.两条平行直线唯一确定一个平面。
βA
Ba b
C
数学语言表示:
经过这个公共点的直线。
A A
l
β
如果两个平面有一条公共
直线，则称这两个平面相交来自这条公共直线叫做这P两个平面的交线。
l
α
应用：判定两个平面有交线及交线位置的依据
1.判定两个平面相交:如果两个平面有一个公 共点,那么它们相交;
2.判定点在直线上:点若是某两个平面的公共点, 那么这点就在这两个平面的交线上;
a
a
α
A α
例1.把下列语句用集合符号表示，并画出直观图。 （1）点A在平面α内，点B不在平面α内，点A，B
都在直线 a上； （2）平面α与平面β相交于直线 m，直线 a 在平
面α内且平行于直线 m.
B A α
a
α
a
m β
六.平面性质研究
观
问题1 泥匠如何检查墙面是否平整？ 木匠如何检查桌面是否平整？
A
a
β
B
C
数学语言表示:
A直线a 有且只有一个平面， 使得A ，a .
推论1：经过一条直线和直线外一点，有
且只有一个平面.
已知：点A a
A
a
BC
求证：过点A和直线a有且只有一个平面.
证明（: 存在性）∵A a , 在a上任取两点B、C，
∴过不共线的三点A,B,C有一个平面 （公理3）
∵B∈ ，C∈ ∴a （公理1）
平面的基本性质
一.平面的概念：
光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的 平面形象，数学中的平面概念是现实平面加以抽 象的结果。
二.平面的特征：
观察思考
平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是 无限延伸的。
三.平面的表示方法：
平面可以用小写的希腊字母或大写的英文字 母表示，也可以用三个或三个以上字母表示。
a
点A在直线a上： 记为：A∈a
点B不在直线a上：记为：B∈a
A
B
(2)点与平面的位置关系：
点A在平面α上： 记为：A∈α 点B不在平面α上：记为：B∈ α
α
B A
(3)直线与平面的位置关系：
直线a上的所有点都在平面α上，称直线a
在平面α内，或称平面α通过直线a.记为：a α
直线a与平面α只有一个公共点A时，称直 线a与平面α相交。 记为：a∩α＝A
公理3：确定平面，证明唯一性。
作业：教学与测试 测试反馈
知识回顾 Knowledge
Review
祝您成功！