平面的基本性质(1)

察 思
问题2 如图，两个平面只有一个公共点，是吗？ 考
?
问题3 照相机架为什么只有三只脚？自行车只用 一只撑脚？
观察下列问题，你能得到什么结论？
B
αA
C来自百度文库
B A
公理3.经过不在同一直线上 C 的三点有且只有一个平面.
应用：确定平面的依据 判定点或线的共面;
推论1.一条直线和直线外一点唯一确定一个平面。
∴AB、AC、BC共面
A BC
证法3： ∵ A、B、C三点不在一条直线上
∴过A、B、C三点可以确定平面 (公理3) ∵ A∈ , B∈ ∴AB (公理1) 同理 BC , AC
∴AB、AC、BC共面
A BC
练1.直线l 与过点P的三条直线a1 , a2 , a3 分别 交于 A，B，C三点（A，B，C异于点P），求证： 这四条直线共面。
察 思
问题2 如图，两个平面只有一个公共点，是吗？ 考
?
问题3 照相机架为什么只有三只脚？自行车只用 一只撑脚？
公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线上的所有点都在这个平面内
A B
AB
B A α
l
如果直线l 上所有点都在平面α内就说直线l在平 面α内，或者说平面α经过直线l,否则，就说直 线l在平面α外 应用：
A
a
β
B
C
数学语言表示:
A直线a 有且只有一个平面， 使得A ，a .
推论1：经过一条直线和直线外一点，有
且只有一个平面.
已知：点A a
A
a
BC
求证：过点A和直线a有且只有一个平面.
证明（: 存在性）∵A a , 在a上任取两点B、C，
∴过不共线的三点A,B,C有一个平面 （公理3）
∵B∈ ，C∈ ∴a （公理1）
平面的基本性质
一.平面的概念：
光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的 平面形象，数学中的平面概念是现实平面加以抽 象的结果。
二.平面的特征：
观察思考
平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是 无限延伸的。
三.平面的表示方法：
平面可以用小写的希腊字母或大写的英文字 母表示，也可以用三个或三个以上字母表示。
1.判断点或直线在平面内的依据;
2.判断点或直线共面的依据
六.平面性质研究
观
问题1 泥匠如何检查墙面是否平整？ 木匠如何检查桌面是否平整？
察 思
问题2 如图，两个平面只有一个公共点，是吗？ 考
?
问题3 照相机架为什么只有三只脚？自行车只用 一只撑脚？
公理二：如果两个平面有一个公共点，那么它
们还有其它公共点，这些公共点的集合是一条
a
点A在直线a上： 记为：A∈a
点B不在直线a上：记为：B∈a
A
B
(2)点与平面的位置关系：
点A在平面α上： 记为：A∈α 点B不在平面α上：记为：B∈ α
α
B A
(3)直线与平面的位置关系：
直线a上的所有点都在平面α上，称直线a
在平面α内，或称平面α通过直线a.记为：a α
直线a与平面α只有一个公共点A时，称直 线a与平面α相交。 记为：a∩α＝A
公理3：确定平面，证明唯一性。
作业：教学与测试 测试反馈
知识回顾 Knowledge
Review
祝您成功！
∴过点A和直线a有一个平面
（唯一性）
又由公理3,经过不共线的三点A、B、C的平面
只有一个 ∴经过a和点A的平面只有一个.
推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。
a
βb
C
数学语言表示:
直线a b C 有且只有一个平面， 使得a ，b .
推论3.两条平行直线唯一确定一个平面。
βA
Ba b
C
数学语言表示:
证：P、Q、R三点在同一直线上。
A
Q
C B
R P
例4：已知：空间四边形ABCD，平面四
边形EFGH的顶点分别在空间四边
形的各边AD,AB,BC,CD上,若EF与
GH不平行，求证：三条直线
EF,GH,BD共点。
方法小结
六.平面性质研究
观
问题1 泥匠如何检查墙面是否平整？ 木匠如何检查桌面是否平整？
直线a // b 有且只有一个平面， 使得a ，b .
思考1：不共面的四点可以确定多少个平面？ 思考2：四条相交于同一点的直线a,b,c,d并且任意三条都不在同一平 面内，有它们中的两条来确定平面，可以确定多少个平面。
例1：如图，直线AB、BC、CA两两相交，交点 分别为A、B、C，判断这三条直线是否共面， 并说明理由.
a
a
α
A α
例1.把下列语句用集合符号表示，并画出直观图。 （1）点A在平面α内，点B不在平面α内，点A，B
都在直线 a上； （2）平面α与平面β相交于直线 m，直线 a 在平
面α内且平行于直线 m.
B A α
a
α
a
m β
六.平面性质研究
观
问题1 泥匠如何检查墙面是否平整？ 木匠如何检查桌面是否平整？
Aa1 B
a2
αP
C a3
例2图
练2.已知直线a，b ，c互相平行，直线l 与直线 a，b，c分别交于D ，E，F三点，求证这 四 条直线共面。
ab c l
DE F α
例3图
练习： 1.如图找平面BA 1C 1与平面B 1AC的交线
D A
C B
D1 A1
C1 B1
2.P、Q分别是正方体ABCD—A 1B 1C 1D 1的 棱AA1、CC1上的点，画出过B、P、Q三点 的截面
A BC
共面
证明：∵AB∩AC=A
∴直线AB、AC确定一个平面 (推论2)
∵B∈AB ,C∈AC
∴B∈ ,C∈ ∴BC (公理1) ∴直线AB、BC、CA都在平面内
即它们共面
A BC
证法2： ∵A直线BC
∴过点A和直线BC确定平面 ∵ A∈ , B∈BC ∴ B∈ ,∴AB 同理 AC
3.两平面两个公共点 的连线就是它们的交 线
β
P
l
α
例2．在长方体ABCD—A1B1C1D1 中，画出平面A1C1D与平面B1D1D 的交线.
D1
C1
O
A1
B1
D A
C B
例3：如图画出平面 与平面ADE的交线 画出DE与平面 的交点
A
B
D
C P
E
变式：如图，已知△ABC三边所在的
直线分别交平面 于点P、Q、R，求
经过这个公共点的直线。
A A
l
β
如果两个平面有一条公共
直线，则称这两个平面相
交，这条公共直线叫做这
P
两个平面的交线。
l
α
应用：判定两个平面有交线及交线位置的依据
1.判定两个平面相交:如果两个平面有一个公 共点,那么它们相交;
2.判定点在直线上:点若是某两个平面的公共点, 那么这点就在这两个平面的交线上;
D1 A1
C1 B1
Q
P
D
C
A B
小结
1、平面的概念、平面的画法及其表示方法
2、空间图形的点、线、面的基本位置关系 及表示
3、平面的基本性质 公理1
公理2
4、应用
公理3 （3个 推论）
公理1：判断线面、点面位置关系 证明线在面内、点在面内
公理2：确定两个平面的交线 确定直线与平面的交点位置 证明三点共线、三线共点
D
α
β
A
如：平面α，平面β，平面ABCD等。
C B
四.平面的画法： （1）水平放置的平面：
（2）垂直放置的平面：
β
α
通常把表示平面的平行四边形的锐角画成450
（3）在画图时，如果图形的一部分被另一部分遮住， 可以把遮住部分画成虚线，也可以不画。
五.用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：
(1)点与直线的位置关系：