信号与线性系统分析 第4章 课件共124页文档
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《信号与系统分析》课件第4章
(4-23)
【例4-13】 设
，求其逆变换。
解 对F(s)进行部分分式展开，写出
用式(4-23)求出A1, A2, A3
于是 故
F(s)＝ 1 2 1 s 1 s 1 s 2
f(t)=e-tU(t)-2etU(t)+e-2tU(t)
【例4-14】求 换f(t)
的拉氏逆变
解 F(s)不是真分式，首先用长除法将F(s)表示为真分 式与s的多项式之和
【例4-1】 确定指数信号 f(t)=e-atU(t) (a>0, 实数)
的拉氏变换及其收敛域，并画出零极点图。 解 将f(t)代入式(4-1), 得
为求e-(s+a)t的极限，利用s=σ+jω, 得到
现在若σ>-a, 则当t→∞时, e-(σ+a)t→0, 此时
若σ≤-a, 则F(s)不存在, 因为积分不收敛。因此, 该信号拉氏变换的ROC是σ>-a, 或者等效为Re[s]>-a。 图4-2的阴影部分代表ROC, 极点位于s=-a处。
若f1(t)和f2(t)为因果信号，即对t<0, f1(t)=f2(t)=0, 则 (4-14)
4.2.6 微分定理
1. 时域微分
特别地，对因果信号，有
(4-15) (4-16)
【例4-6】 信号f(t)如图4-4所示，分别通过直接计算和 微分特性求 df (t) 的拉氏变换。
dt
图 4-4 【例4-6】图
解 因为
f(t)=U(t)-U(t-τ)
所以
本例中
和
的ROC均为Re[s]>0,
极点均在s=0处。但
有一个s=0的零
点， 抵消了该处的极点，相应地ROC扩大为整个s平面。
【例4-13】 设
，求其逆变换。
解 对F(s)进行部分分式展开，写出
用式(4-23)求出A1, A2, A3
于是 故
F(s)＝ 1 2 1 s 1 s 1 s 2
f(t)=e-tU(t)-2etU(t)+e-2tU(t)
【例4-14】求 换f(t)
的拉氏逆变
解 F(s)不是真分式，首先用长除法将F(s)表示为真分 式与s的多项式之和
【例4-1】 确定指数信号 f(t)=e-atU(t) (a>0, 实数)
的拉氏变换及其收敛域，并画出零极点图。 解 将f(t)代入式(4-1), 得
为求e-(s+a)t的极限，利用s=σ+jω, 得到
现在若σ>-a, 则当t→∞时, e-(σ+a)t→0, 此时
若σ≤-a, 则F(s)不存在, 因为积分不收敛。因此, 该信号拉氏变换的ROC是σ>-a, 或者等效为Re[s]>-a。 图4-2的阴影部分代表ROC, 极点位于s=-a处。
若f1(t)和f2(t)为因果信号，即对t<0, f1(t)=f2(t)=0, 则 (4-14)
4.2.6 微分定理
1. 时域微分
特别地，对因果信号，有
(4-15) (4-16)
【例4-6】 信号f(t)如图4-4所示，分别通过直接计算和 微分特性求 df (t) 的拉氏变换。
dt
图 4-4 【例4-6】图
解 因为
f(t)=U(t)-U(t-τ)
所以
本例中
和
的ROC均为Re[s]>0,
极点均在s=0处。但
有一个s=0的零
点， 抵消了该处的极点，相应地ROC扩大为整个s平面。
信号与线性系统分析第章完美版PPT
三论
❖ 老三论：系统论、控制论、信息论
系统论、控制论和信息论是本世纪四十年代先后创立并 获得迅猛发展的三门系统理论的分支学科。虽然它们仅有半 个世纪，但在系统科学领域中已是资深望重的元老，合称 “老三论”。人们摘取了这三论的英文名字的第一个字母， 把它们称之为SCI论。
❖ 新三论：耗散结构论、协同论、突变论
NANCHANG HANGKONG UNIVERSITY
信号与线性系统A
主讲：邓洪峰
南昌航空大学信息工程学院
课程位置
❖ 本课程为本科电子信息工程专业、通信工程 专业的一门学科基础必修课
❖ 研究生入学考试专业科目之一 ❖ 先修课程：电路分析基础、高等数学、线性
代数、复变函数、积分变换 ❖ 后续课程：自动控制原理、通信原理、数字
耗散结构论、协同论、突变论是本世纪七十年代以来陆 续确立并获得极快进展的三门系统理论的分支学科。它们虽 然时间不长，却已是系统科学领域中年少有为的成员，故合 称“新三论”，也称为DSC论。
信号处理
目录
❖ 第一章 信号与系统
（ 8课时）
❖ 第二章 连续系统的时域分析
（ 8课时）
❖ 第三章 离散系统的时域分析
（ 8课时）
❖ 第四章 傅里叶变换和系统的频域分析 （20课时）
❖ 第五章 连续系统的s域分析
❖ 第七章 系统函数
（ 8课时）
第四章 傅里叶变换和系统的频域分析 （20课时）
第七章 系统函数
（ 8课时）
参考书目
❖ 吴大正。信号与线性系统分析（第四版）。 北京：高等教育出版社
❖ 管致中，夏恭恪。 信号与线性系统。北京： 高等教育出版社
❖ 郑君里，杨为理等。信号与系统。北京：高 等教育出版社
信号与系统分析PPT电子教案第四章连续时间系统的复频域分析
(ansn an1sn1 a1s a0 )Y (s) (bmsm bm1sm1 b1s b0 )F (s)
n1
Ai (s) y(i) (0 ) i0
• 可见,时域的微分方程通过取拉氏变换 化成复频域的代数方程,并且自动地引入 了初始状态。响应的拉普拉斯变换为
n1
Y (s)
yzi (t) L1[Yzi (s)] 5eet 3e2t , t 0
系统的全响应 y(t) yzs (t) yzi (t) 3 et 2e2t , t 0
或直接对Y(s)取拉氏反变换,亦可求得全响应。 y(t) L1[Y (s)] 3 et 2e2t , t 0
直接求全响应时,零状态响应分量和零输 入响应分量已经叠加在一起,看不出不同 原因引起的各个响应分量的具体情况。 这时拉氏变换作为一种数学工具,自动引 入了初始状态。简化了微分方程的求解。
an
d n y(t) dt n
an1
d n1 y(t) dt n1
a1
dy(t) dt
a0 y(t)
bm
d m f (t) dt m
bm1
d
m1 f (t) dt m1
b1
df (t) dt
b0
f
(t)
对上式两边取拉普拉斯变换,并假定f(t)是因 果信号（有始信号），即t<0时,f(t)=0,因而
f (0 ) f (0 ) f (0 ) f (n1)(0 ) 0
零、极点图
线性系统的拉氏变换分析法
拉氏变换是分析线性连续系统的有力工具, 它将描述系统的时域微积分方程变换为s域 的代数方程,便于运算和求解;同时,它将系统 的初始状态自然地含于象函数方程中,既可 分别求得零输入响应、零状态响应,也可一 举求得系统的全响应。
n1
Ai (s) y(i) (0 ) i0
• 可见,时域的微分方程通过取拉氏变换 化成复频域的代数方程,并且自动地引入 了初始状态。响应的拉普拉斯变换为
n1
Y (s)
yzi (t) L1[Yzi (s)] 5eet 3e2t , t 0
系统的全响应 y(t) yzs (t) yzi (t) 3 et 2e2t , t 0
或直接对Y(s)取拉氏反变换,亦可求得全响应。 y(t) L1[Y (s)] 3 et 2e2t , t 0
直接求全响应时,零状态响应分量和零输 入响应分量已经叠加在一起,看不出不同 原因引起的各个响应分量的具体情况。 这时拉氏变换作为一种数学工具,自动引 入了初始状态。简化了微分方程的求解。
an
d n y(t) dt n
an1
d n1 y(t) dt n1
a1
dy(t) dt
a0 y(t)
bm
d m f (t) dt m
bm1
d
m1 f (t) dt m1
b1
df (t) dt
b0
f
(t)
对上式两边取拉普拉斯变换,并假定f(t)是因 果信号（有始信号），即t<0时,f(t)=0,因而
f (0 ) f (0 ) f (0 ) f (n1)(0 ) 0
零、极点图
线性系统的拉氏变换分析法
拉氏变换是分析线性连续系统的有力工具, 它将描述系统的时域微积分方程变换为s域 的代数方程,便于运算和求解;同时,它将系统 的初始状态自然地含于象函数方程中,既可 分别求得零输入响应、零状态响应,也可一 举求得系统的全响应。
信号与线性系统 管致中 第四版 第4章 ppt课件
j+2
HjE Rjj j1+2
2020/12/2
16
2) 从微分方程直接求解(方程两边取傅氏变换) 例：已知微分方程
y ''( t) 3 y '( t) 2 y ( t) x ( t)
求：系统函数 H( j) 。 解：对方程两边求傅氏变换，可得
[j()2 3 (j) 2 ]Y (j)X (j)
1 2j1 1 vo(t)1 2e t (t) 28
例：某系统的微分方程为
y " (t) 5 y '( t) 6 y ( t) x (t) 已知输入 x(t激 )e励 t(t),
初始状 y(0态 )2,y'(0)1, 试求全响应。
解(1： )求零状态yz响 s(t),用 应傅氏变换分析
X(j)F[x(t)] 1 j1
H(j)141 j11
27
例：已知 vS(t)2e2t(t)求：1.H( j) 2. h (t ) 3. vo (t)
H(j)141 j11
反变换，得 h(t)1(t)et(t) 4
V o (j ) V S(j )H (j )j 2 2 1 4 jj 1 2
2020/12/2
| H(j)| 2 42
0,| H ( j ) | 1
2020/12/2
2,| H(j)| 2
2
,|H (j)| 0 23
设含噪声 u1(t)信 5s号 itn) (： 3sin 2(t0)
u1(t)
h(t)
u2(t)
2020/12/2
24
三、系统响应： y(t)yx(t)yf(t)
yx(t)： 系统零输入响应，取决于系统自然频率和初始值；
HjE Rjj j1+2
2020/12/2
16
2) 从微分方程直接求解(方程两边取傅氏变换) 例：已知微分方程
y ''( t) 3 y '( t) 2 y ( t) x ( t)
求：系统函数 H( j) 。 解：对方程两边求傅氏变换，可得
[j()2 3 (j) 2 ]Y (j)X (j)
1 2j1 1 vo(t)1 2e t (t) 28
例：某系统的微分方程为
y " (t) 5 y '( t) 6 y ( t) x (t) 已知输入 x(t激 )e励 t(t),
初始状 y(0态 )2,y'(0)1, 试求全响应。
解(1： )求零状态yz响 s(t),用 应傅氏变换分析
X(j)F[x(t)] 1 j1
H(j)141 j11
27
例：已知 vS(t)2e2t(t)求：1.H( j) 2. h (t ) 3. vo (t)
H(j)141 j11
反变换，得 h(t)1(t)et(t) 4
V o (j ) V S(j )H (j )j 2 2 1 4 jj 1 2
2020/12/2
| H(j)| 2 42
0,| H ( j ) | 1
2020/12/2
2,| H(j)| 2
2
,|H (j)| 0 23
设含噪声 u1(t)信 5s号 itn) (： 3sin 2(t0)
u1(t)
h(t)
u2(t)
2020/12/2
24
三、系统响应： y(t)yx(t)yf(t)
yx(t)： 系统零输入响应，取决于系统自然频率和初始值；
信号与线性系统分析 第4章 课件
0
t
−0.5
0.5 f(t)
0
t
13
半波整流波形
-T -T -T -T
f(t) F
f(-t)
T
t
F
fod(t)
T
t
F
T
t
F fev(t)
T
t
14
全波整流信号 f1(t)=E|sin0t|
f1(t) E
-T
Tt
a n T 4 0 T 2 f ( t ) cn o t ) d s 4 T ( t E 0 T 2 s i0 t n ) cn ( o t ) d s( t
4 T E 0 T 2 s i0 t n )c( n o 0 t) s d(t (令 0 )
2 E 1 cn o )s(
n 2 1
( n 0, 1 ) ,2,
f1 (t) 2 E 1 3 2 c2 o 0 ts ) 1 ( 2 c5 4 o 0 ts ) (
15
16
• f(t)为奇谐函数：将f(t)移动T/2后，与原波形反相， 即对称于横轴 f(t)＝−f(tT/2)
f(t) 1
-T
Tt
奇谐函数的傅里叶级数展开式中只含奇次谐波，不含 偶次谐波。
f ( t ) a 1 c o t ) a s 3 c (3 o t ) s a 5 c (5 o t ) s ( b 1 s it ) n b 3 s (3 i t n ) b 5 s (5 i t n ) (
19
• 傅里叶级数小结：
f(t) a 2 0 n 1 a n co n t) s n ( 1 b n sin n t)(
f(t)A 2 0n 1A nco n s t＋ ( n)
信号与线性系统分析第四章
A0 An j ( nt n ) j ( nt n ) [e e ] 2 n 1 2
A0 1 j n jnt 1 An e e An e j n e jnt 2 2 n 1 2 n 1 第
23 页
指数形式的傅里叶形式
2 an T 2 bn T
T 2 T 2
f ( t ) cos(nt )dt f ( t ) sin ( nt )dt
第 11 页
T 2 T 2
例题1
an 0 n 2,4,6, 0, bn 4 , n 1,3,5, n
• 信号的傅里叶级数展开式为：
上式中第三项的n用–n代换，A– n=An、 – n= – n
A0 1 j n jnt 1 上式写为： An e e An e j n e jnt 2 2 n 1 2 n 1
令A0=A0ej0ej0t ，0=0 1 所以 f ( t ) An e j n e j nt 2 n
f (t )
n
F e
n
jnt
1 j cos(n )e jnt n n
第 19 页
四、周期信号的功率 —— Parseval 等式 A
f (t )
0
2
An cos(nt n )
n 1
周期信号一般是功率信号，其平均功率为
1 T
2
2
a0 f ( t ) an cos(nt ) bn sin( nt ) 2 n 1 n 1
2 .f(t)为奇函数——对称于原点
f (t ) f ( t )
4 an =0， bn T
信号与系统4教学ppt
上两式称为双边拉普拉斯变换对，可以表示为
f (t) F (s)
拉氏变换扩大了信号的变换范围。
变换域的内在联系
时域函数 f (t)傅氏变换 频域函数 F ()
时域函数 f (t)拉氏变换 复频域函数 F (s)
4.1.2 单边拉普拉斯变换
考虑到：1. 实际信号都是有始信号，即 t 0时，f (t) 0
作业
连续信号与系统的复频域分析概述
傅里叶变换（频域）分析法
– 在信号分析和处理方面十分有效：分析谐波成分、系统的频 率响应、波形失真、取样、滤波等
– 要求信号满足狄里赫勒条件 – 只能求零状态响应 – 反变换有时不太容易
拉普拉斯变换（复频域）分析法
– 在连续、线性、时不变系统的分析方面十分有效 – 可以看作广义的傅里叶变换 – 变换式简单 – 扩大了变换的范围 – 为分析系统响应提供了规范的方法
但反变换的积分限并不改变。
以后只讨论单边拉氏变换：
（1）f (t) 和 f (t) (t) 的拉氏正变换 F(s) 是一样的。
（2）反之，当已知 F(s) ，求原函数时，也无法得 到 t < 0 时的 f (t) 表达式。
例如，常数 1 和 (t) 的（单边）拉普拉斯变换是一
样的。
单边拉氏变换的优点：
0
可见： L[tn (t)] n L[tn1 (t)]
s
依次类推：
L[tn (t)]
n s
n
1 s
n
s
22 s
1 s
1 s
n! sn1
特别是 n=1 时，有
L[t (t)]
1 s2
拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系
1. 0 0 ：只有拉氏变换而无傅氏变换
[信息与通信]《信号与线性系统分析》第四章PPT课件
![[信息与通信]《信号与线性系统分析》第四章PPT课件](https://img.taocdn.com/s3/m/170f7f2b581b6bd97e19ea0d.png)
t2 t2 1 2 f 1 ( t )dt 2 f 1 ( t ) f 2 ( t )dt t1 t t 2 t1 c12
2c12
t2
t1
f 22 ( t )dt 0
解得
2018/11/24
c12
t2
t1
f1 ( t ) f 2 ( t )dt
* 2
*
两复变函数正交的条件是
t2
t1
f1 (t ) f (t )dt f (t ) f 2 (t )dt 0
* 2 t1
24
t2
2018/11/24
§四
用完备正交集表示信号
n t2 1 2 2 2 t1 f ( t )dt cr K r t 2 t1 r 1
f ( t ) c1 g1 ( t ) c2 g2 ( t ) cn gn ( t ) cr g r ( t )
r 1 n
由最小均方误差准则，要求系数
ci
满足
ci
t2
t1
f ( t ) gi ( t )dt
t2 t1
2018/11/24
gi ( t )dt
2
1 Ki
2018/11/24 3
主要内容
•本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出傅 里叶变换，建立信号频谱的概念。 •通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步掌 握傅里叶分析方法的应用。 •对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅里 叶级数，也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于傅 里叶变换的一种特殊表达形式。 •本章最后研究抽样信号的傅里叶变换，引入抽样定理。
2c12
t2
t1
f 22 ( t )dt 0
解得
2018/11/24
c12
t2
t1
f1 ( t ) f 2 ( t )dt
* 2
*
两复变函数正交的条件是
t2
t1
f1 (t ) f (t )dt f (t ) f 2 (t )dt 0
* 2 t1
24
t2
2018/11/24
§四
用完备正交集表示信号
n t2 1 2 2 2 t1 f ( t )dt cr K r t 2 t1 r 1
f ( t ) c1 g1 ( t ) c2 g2 ( t ) cn gn ( t ) cr g r ( t )
r 1 n
由最小均方误差准则，要求系数
ci
满足
ci
t2
t1
f ( t ) gi ( t )dt
t2 t1
2018/11/24
gi ( t )dt
2
1 Ki
2018/11/24 3
主要内容
•本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出傅 里叶变换，建立信号频谱的概念。 •通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步掌 握傅里叶分析方法的应用。 •对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅里 叶级数，也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于傅 里叶变换的一种特殊表达形式。 •本章最后研究抽样信号的傅里叶变换，引入抽样定理。
信号与线性系统分析第四章连续系统的频域分析4-6课件
T 2
t
T
o
T
t
jn t
f 0 t e
j t
dt
fT ( t ) Fn e n 1 T/2 jn t F f ( t ) e dt T n T T / 2
n
1 T T 在 , 内 f0t 与 fTt 相同 所以Fn F0( j ) T 2 2
比较:
可由 F0( j ) 求周期函数 fT( t )的谱系数 Fn
方法1 F0 ( j ) Fn F ( j )
f 0 t fT t
② ①
第 10 页
F0 ( j)
③ ④
1 Fn F0 ( j) T
n
F ( j) F0 ( j)( n)
2 谱线的幅度不是有限值, 因为F j 表示的是频谱密度。
频率范围无限小 , 幅度为。
第
例1 求周期性矩形脉冲信号的频谱函数。
6 页
解
n Fn Sa ( ) T 2
n FT [ pT (t )] 2 Sa( ) ( n) T n 2
Fn与F ( j ) 比较
T (t ) ()
三．如何由 F0 j 求Fn
即单个脉冲的 F0 ( j )与周期信号fT ( t )的谱系数Fn的关系 f 0 t f T t
T 2
第 9 页
o
设 f 0 t F0 j
F0 j
T/2 T / 2
0
π
0 o
π
0
2
0
信号与线性系统分析 (第四版)第四章 级数
f (t ) sin n tdt n 1,
T 2 T 2 T 2 T 2
b-n
f (t ) sin( n t ) dt bn
龚茂康
扬州大学信息工程学院
f (t )
a0 2
( an cos n t bn sin n t )
n 1
信号与线性系统分析
A0 2
A0 2
A n cos(n t n )
n 1
A n Cos n Cos(n t ) -A n Sin n Sin(n t )
n 1 n 1
a n An Cos n , b n An Sin n ,
A n an
0
an
信号与线性系统分析
(2)奇函数 : 关于原点对称, f ( t ) f (t )
f (t )
t
a0 0
f (t )
龚茂康
n 1
an 0
b n sin n t
扬州大学信息工程学院
f (t ) cos nt为t的奇函数
an
信号与线性系统分析
信号与线性系统分析
第四章
傅里叶变换和系统的频域分析
很多问题在时域求解比较麻烦, 例如卷积; 很多问题在时域解释不清,例如声 音信号中的高低音处理; 第一个变换域------频域; 如何在频域中描述信号和系统?
龚茂康 扬州大学信息工程学院
信号与线性系统分析
§4-1 信号分解为正交函数 常用正交函数集 ①三角函数集
上式的物理意义：
f t 中含有sint、sin3t、sin5t等的正弦分量。
T 2 T 2 T 2 T 2
b-n
f (t ) sin( n t ) dt bn
龚茂康
扬州大学信息工程学院
f (t )
a0 2
( an cos n t bn sin n t )
n 1
信号与线性系统分析
A0 2
A0 2
A n cos(n t n )
n 1
A n Cos n Cos(n t ) -A n Sin n Sin(n t )
n 1 n 1
a n An Cos n , b n An Sin n ,
A n an
0
an
信号与线性系统分析
(2)奇函数 : 关于原点对称, f ( t ) f (t )
f (t )
t
a0 0
f (t )
龚茂康
n 1
an 0
b n sin n t
扬州大学信息工程学院
f (t ) cos nt为t的奇函数
an
信号与线性系统分析
信号与线性系统分析
第四章
傅里叶变换和系统的频域分析
很多问题在时域求解比较麻烦, 例如卷积; 很多问题在时域解释不清,例如声 音信号中的高低音处理; 第一个变换域------频域; 如何在频域中描述信号和系统?
龚茂康 扬州大学信息工程学院
信号与线性系统分析
§4-1 信号分解为正交函数 常用正交函数集 ①三角函数集
上式的物理意义：
f t 中含有sint、sin3t、sin5t等的正弦分量。
信号与线性系统第四章解析
e(t
)
t
0
e
t
d
即将
e(t
)
分解为无限个
(t)之叠加。
r (t )
h(t )
e(t )
t
0
h
e
t
d
即零状态响应分解为所有被激励加权的 h(t)之叠加。
时域方法缺点：计算复杂。
二.频域分析法（是变换域分析法的一种）
e(t) E( j) H ( j) R( j) r(t)
r(t) h(t)e(t) 由时域卷积定理知：
•总结：在线性时不变系统的分析中，无论时域、频域的方法都可按信号 分解、求响应再叠加的原则来处理。
r(t) e(t)* h(t)
R( j) E( j) • H ( j)
当et t时， t 1 R j 1 H j 即冲激响应 ht F 1 H j
频域分析法需进行正反两次变换，且付氏变换的运 用要受绝对可积条件的限制，所以求连续系统的响应时 更多地采用复频域分析法（拉氏变换法）。但频域分析 法仍十分重要，因为
第四章 连续时间系统的频域分析
本章要点
F 连续时间系统的频域分析 F 理想低通滤波器的冲激响应与阶跃响应 F 调制与解调 F 系统无失真传输的条件
4.1 连续时间系统的频域分析
LTI系统的全响应＝零输入响应＋零状态响应 本节只研究零状态响应。
一.时域分析法
e(t )
r(t) e(t)*h(t)
h(t)
F[r(t)] F[h(t) e(t)] F[h(t)] F[e(t)]
即 R( j) H j E j
H
j
R E
j j
称为系统函数（或传递函数）
此方法称为频域分析法，另外还有复频域分析法、Z域
吴大正 信号与线性系统分析 第4章 傅里叶变换和系统的频域分析
j 1
第 7页
小结
函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和
f (t )
1 Ci Ki
C i i (t )
i
f (t ) i (t ) d t
Ki
t
t2
1
i2 (t ) d t
巴塞瓦尔能量公式
t
t2
1
f 2 (t ) d t
i 1
Ci2 K i
在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即n越 大，则均方误差越小。当n→∞时（为完备正交函数 集），均方误差为零。此时有
t2
t1
f 2 (t ) d t C 2 K j j
j 1
上式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式，表明：在区间 (t1,t2) f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解 的各正交分量能量的之和。 函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和 f (t ) C j j (t )
第 2页
二、信号正交与正交函数集
1. 信号正交： 定义在(t1，t2)区间的 1(t)和 2(t)满足
t2 ( t ) 2 ( t ) d t t1 1
0 (两函数的内积为0)
则称 1(t)和 2(t) 在区间(t1，t2)内正交。
2. 正交函数集： 若n个函数 1(t)， 2(t)，…， n(t)构成一个函数集， 这些函数在区间(t1，t2)内满足 i j 0, t2 t1 i ( t ) j ( t ) d t K 0, i j i 则称此函数集为在区间(t1，t2)的正交函数集。
A0 An j ( nt n ) j ( nt n ) [e e ] 2 n 1 2 A0 1 j n jnt 1 An e e An e j n e jnt 2 2 n 1 2 n 1
第 7页
小结
函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和
f (t )
1 Ci Ki
C i i (t )
i
f (t ) i (t ) d t
Ki
t
t2
1
i2 (t ) d t
巴塞瓦尔能量公式
t
t2
1
f 2 (t ) d t
i 1
Ci2 K i
在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即n越 大，则均方误差越小。当n→∞时（为完备正交函数 集），均方误差为零。此时有
t2
t1
f 2 (t ) d t C 2 K j j
j 1
上式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式，表明：在区间 (t1,t2) f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解 的各正交分量能量的之和。 函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和 f (t ) C j j (t )
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二、信号正交与正交函数集
1. 信号正交： 定义在(t1，t2)区间的 1(t)和 2(t)满足
t2 ( t ) 2 ( t ) d t t1 1
0 (两函数的内积为0)
则称 1(t)和 2(t) 在区间(t1，t2)内正交。
2. 正交函数集： 若n个函数 1(t)， 2(t)，…， n(t)构成一个函数集， 这些函数在区间(t1，t2)内满足 i j 0, t2 t1 i ( t ) j ( t ) d t K 0, i j i 则称此函数集为在区间(t1，t2)的正交函数集。
A0 An j ( nt n ) j ( nt n ) [e e ] 2 n 1 2 A0 1 j n jnt 1 An e e An e j n e jnt 2 2 n 1 2 n 1
信号与线性系统分析(第四版)--吴大正课件.
第 20 页
离散周期信号举例2
例 判断下列序列是否为周期信号，若是，确定其周期。 （1）f1(k) = sin(3πk/4) + cos(0.5πk) （2）f2(k) = sin(2k)
解 （1）sin(3πk/4) 和cos(0.5πk)的数字角频率分别为 β1 = 3π/4 rad， β2 = 0.5π rad 由于2π/ β1 = 8/3， 2π/ β2 = 4为有理数，故它们的周期 分别为N1 = 8 ， N2 = 4，故f1(k) 为周期序列，其周期为 N1和N2的最小公倍数8。 （2）sin(2k) 的数字角频率为 β1 = 2 rad；由于2π/ β1 = π为无理数，故f2(k) = sin(2k)为非周期序列 。
如：ε(t)是功率信号； tε(t)、 e t为非功率非能量信号;
δ(t)是无定义的非功率非能量信号。
第 25 页
5．一维信号和多维信号
一维信号： 只由一个自变量描述的信号，如语音信号。
多维信号： 由多个自变量描述的信号，如图像信号。 还有其他分类，如：
实信号与复信号 左边信号与右边信号 因果信号和反因果信号
③ S t ) 0 a ,t ( n π ， n 1 , 2 , 3
④ sitd n tπ, sitd n tπ
⑤
0t
2
limSat)(0
t
t
⑥ sit)n sπ c itn ( π t
t
第 31 页
§1.3 信号的基本运算
两信号的相加和相乘 信号的时间变化
➢ 平移 ➢ 反转 ➢ 尺度变换 信号的微分和积分
第7页
通信系统 为传送消息而装设的全套技术设备
信信
信信
信
信信
离散周期信号举例2
例 判断下列序列是否为周期信号，若是，确定其周期。 （1）f1(k) = sin(3πk/4) + cos(0.5πk) （2）f2(k) = sin(2k)
解 （1）sin(3πk/4) 和cos(0.5πk)的数字角频率分别为 β1 = 3π/4 rad， β2 = 0.5π rad 由于2π/ β1 = 8/3， 2π/ β2 = 4为有理数，故它们的周期 分别为N1 = 8 ， N2 = 4，故f1(k) 为周期序列，其周期为 N1和N2的最小公倍数8。 （2）sin(2k) 的数字角频率为 β1 = 2 rad；由于2π/ β1 = π为无理数，故f2(k) = sin(2k)为非周期序列 。
如：ε(t)是功率信号； tε(t)、 e t为非功率非能量信号;
δ(t)是无定义的非功率非能量信号。
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5．一维信号和多维信号
一维信号： 只由一个自变量描述的信号，如语音信号。
多维信号： 由多个自变量描述的信号，如图像信号。 还有其他分类，如：
实信号与复信号 左边信号与右边信号 因果信号和反因果信号
③ S t ) 0 a ,t ( n π ， n 1 , 2 , 3
④ sitd n tπ, sitd n tπ
⑤
0t
2
limSat)(0
t
t
⑥ sit)n sπ c itn ( π t
t
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§1.3 信号的基本运算
两信号的相加和相乘 信号的时间变化
➢ 平移 ➢ 反转 ➢ 尺度变换 信号的微分和积分
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通信系统 为传送消息而装设的全套技术设备
信信
信信
信
信信
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An an n 0,12 nmπm 为 整 数
f(t)为奇函数，则系数为
an0,
bnT 40 T 2f(t)sin n t)(dt
Anbn n12
n2m21πm为 整数
11
• 任何函数都可分解为奇函数和偶函数两部分
f(t)＝fod(t)＋fev(t) 由于 f(−t)＝fod(−t)＋fev(−t)＝−fod(t)＋fev(t) 所以
其展开的级数统称为傅里叶级数。
一. 周期信号的分解
设有周期信号f(t)，可分解为
f(t)a 2 0n 1a nco n s t) (n 1b nsin n t)(
an、bn称为傅里叶系数。可由下式求得
anT 2 T 2T 2f(t)con st()d,t n0,1,2,
6
bnT 2 T 2T 2f(t)sin n t()d,t n1, 2,
傅里叶级数的展开式为
n2,4 ,6, n1,3 ,5,
f( t ) 4 s it ) n 1 3 s (3 i n t ) 1 5 ( s5 i n t ) ( n 1 sn i n t ) (
9
图示方波信号分解 吉布斯(Gibbs)现象 ：当n时，在间断点处有9% 的偏差。 如果方波信号如图所示
0
8
bn
2 T
T
2Tf(t)sinn(t)dt 2
T 2 0 T 2(－ 1)sin n t)(d＋ tT 20 T 21sin n t)(dt
T 2n 1 [cn o t)s 0 ] T 2 (T 2n 1 [ co n ts )0 T 2 ] (
n2[1cons()]0n4,
i j i j
正交函数集例：（在区间[t0，t0+T]，且T=2） 三角函数集：{1，cos(nt)，sin(nt)；n＝1，2，3，…}
复指数函数集：{ejnt；n＝0，1，2，…}
2
二. 信号分解为正交函数
• 对任一函数f(t)用n个正交函数的线性组合来近似
n
f(t) Cjj(t) j1
选择Cj时使实际函数与近似函数之间的误差最小，取
均方误差
2t2 1t1 tt12f(t)j n1Cjj(t)2dt
要使均方误差最小，就是求函数的极值。对上式求极
值得
Cj
ft 2
t1
(
t
)
j
(
t
)dt
t 2
t1
2 j
(t
)dt
1
Kj
tt12f(t)j(t)dt
3
于是可得误差
2
1 t2
n
2
t2t1 t1f(t)j1Cjj(t) dt
t2 1 t1 t t 1 2 f2 (t)d 2 tj n 1C jt t 1 2 f(t) j(t)d j t n 1C 2 jt t 1 2 2 j(t)d t
t2 1t1 tt1 2f2(t)d t2j n 1C 2 jK jj n 1C 2 jK j
t2 1t1tt12f2(t)d t j n1C2jKj
f(t) 1
-T
T
t
-1
则傅里叶级数的展开式为
f( t) 4 c o t) s 1 3 c (3 o t)s 1 5 ( c5 o t)s 7 1 ( c7 o t)s (
10
二. 奇、偶函数的傅里叶系数
• 根据傅里叶系数计算式，f(t)为偶函数，则系数为
anT 40 T 2f(t)con st)(d,t bn0
解：傅里叶系数为
f(t) 1
-T
T
t
-1
an
2 T
T
2Tf(t)cosn ( t)dt 2
T 2 0T 2( 1)co n st)d ( tT 20 T 21co n st)d ( t
T 2n 1 [ sin n t)(0 ]T 2T 2n 1 [sn i n t)0 T 2 ](
4.1 信号分解为正交函数
• 在线性空间中，任何矢量可用相互垂直的单位矢量表 示。这组矢量称为正交矢量集。
一. 正交函数集 • 正交函数：函数1(t)和2(t)在区间(t1，t2)内正交，则
tt121(t)2(t)dt0
• 正交函数集：n个函数1(t)，…，n(t)在区间(t1，t2) 内构成的正交函数集{i(t)}满足
则单位电阻上信号的总能量等于信号的各正交分量的
能量之和。
C2jKj C2j
j1
j1
tt122j(t)dt
j1
tt12[Cjj(t)]2dt
5
4.2 傅里叶级数
• 周期信号在区间(t0，t0＋T)上可以展开成在完备正交 信号空间中的无穷级数。
• 三角函数集或复指数函数集是完备的正交函数集，由
• an是n的偶函数，即 a−n＝an ； bn是n的奇函数，即 b−n＝−bn 。
• f(t)分解式的另一种形式
式中
f(t)A 20n 1A ncon st＋ ( n)
A0=a0
An an 2bn 2
na
rcbtnan an
a n A n c o n sb n A n s i nn
7
例：将方波信号 展开为傅里叶 级数。
tt12i(t)j(t)d t K 0,i 0
i j i j
1
• Ki为常数，如果Ki＝1，则称该函数集为归一化正交 函数集。
• 完备正交函数集：在正交函数集之外，不存在函数 与之正交。
一个完备的正交函数集通常包括无穷多个函数。
• 正交复函数的定义：
tt12i(t)*j(t)d t K 0,i 0
F
T
t
F fev(t)
T
t
13
全波整流信号 f1(t)=E|sin0t|
f1(t) E
-T
Tt
a n T 40 T 2 f(t)co n ts )d( t 4 T E 0 T 2 si 0 n t)c(o n ts )d(t
均方误差总是大于等于0，增大n可使误差减小。
4
• 当n，误差为0，则有帕斯瓦尔(Parseval)方程
t2f2(t)dt＝
t1
j1
C2jKj
因此f(t)在区间(t1,t2)可分解为无穷多项正交函数之和
f(t) Cjj(t) j1
1
Cj
Kj
tt12f(t)j(t)dt
帕斯瓦尔方程物理意义：如果f(t)是电压或电流信号，
fod(t)f(t)2f(t) fev(t)f(t)2f(t)
例f(t)=e−t(t)，则
0.5 f(t)
fod (t)et(t)2et(t) fe v(t)et(t)2et(t)
0 −0.5 0.5 f(t)
0
t
t
12
半波整流波形
-T -T -T -T
f(t) F
f(-t)
T
t
F
fod(t)
T
t