最新微分方程在经济学中的应用

第四节 微分方程在经济学中的应用
微分方程在经济学中有着广泛的应用，有关经济量的变化、变化率问题常转化为微分方程的定解问题．一般应先根据某个经济法则或某种经济假说建立一个数学模型，即以所研究的经济量为未知函数，时间t 为自变量的微分方程模型，然后求解微分方程，通过求得的解来解释相应的经济量的意义或规律，最后作出预测或决策，下面介绍微分方程在经济学中的几个简单应用．
一、 供需均衡的价格调整模型
在完全竞争的市场条件下，商品的价格由市场的供求关系决定，或者说，某商品的供给量S 及需求量D 与该商品的价格有关，为简单起见，假设供给函数与需求函数分别为
S =a 1+b 1P , D =a -bP ,
其中a 1,b 1,a ,b 均为常数，且b 1＞0,b ＞0；P 为实际价格．
供需均衡的静态模型为
⎪⎩
⎪⎨⎧=+=-=).()(,,11P S P D P b a S bP a D
显然，静态模型的均衡价格为
P e =1
1b b a a +-． 对产量不能轻易扩大，其生产周期相对较长的情况下的商品，瓦尔拉（Ｗalras ）假设：超额需求［D (P )-S (P )］为正时，未被满足的买方愿出高价，供不应求的卖方将提价，因而价格上涨；反之，价格下跌，因此，t 时刻价格的变化率与超额需求D -S 成正比，即 t
P d d =k (D -S )，于是瓦尔拉假设下的动态模型为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=-=)].()([),
(),(11P S P D k t
P t P b a S t bP a D d d 整理上述模型得
t
P d d =λ(P e -P ), 其中λ=k (b +b 1)＞0,这个方程的通解为
P (t )=P e +C e -λt ．
假设初始价格为P (0)=P 0,代入上式得，C =P 0-P e ,于是动态价格调整模型的解为
P (t )=P e +(P 0-P e )·e -λt ，
由于λ＞0，故
lim ()t P t →+∞=P e ．
这表明，随着时间的不断延续，实际价格P (t )将逐渐趋于均衡价格P e ．
二、 索洛(Solow)新古典经济增长模型
设Y (t )表示时刻t 的国民收入，K (t )表示时刻t 的资本存量，L (t )表示时刻t 的劳动力，索洛曾提出如下的经济增长模型：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====.
),(),1,(),(0t L L t sY t K r Lf L K f Y λe d d 其中s 为储蓄率(s ＞0)，λ为劳动力增长率(λ＞0)，L 0表示初始劳动力(L 0＞0)，r =
L
K 称为资本劳力比，表示单位劳动力平均占有的资本数量．将K =rL 两边对t 求导，并利用t L d d =λL ，有
rL t
r L t L r t r L t K λ+=+=d d d d d d d d ． 又由模型中的方程可得
t
K d d =sLf (r ,1), 于是有
t
r d d +λr =sf (r ,1)． (10-4-1) 取生产函数为柯布-道格拉斯(Cobb -Douglas)函数，即
f (K ,L )=A 0K αL 1-α＝A 0Lr α，
其中A 0＞0，0＜α＜1均为常数．
易知f (r ,1)=A 0r α，将其代入(10-4-1)式中得
t
r d d +λr =sA 0r α． (10-4-2) 方程两边同除以r α，便有
r -α
t r d d +λr 1-α=sA 0． 令r 1-α=z ,则t
z d d =(1-α)λ-α t r d d ,上述方程可变为 t
z d d +(1-α)λz =sA 0(1-α)． 这是关于z 的一阶非齐次线性方程，其通解为 z =C e -λ(1-α)t +0
sA λ
(C 为任意常数)． 以z =r 1-α代入后整理得 r (t )=ααλλ---⎥⎦⎤⎢⎣⎡
+110)1(sA C t e
． 当t =0时，若r (0)=r 0,则有
C =r 01-α－
λ
s A 0． 于是有
r (t )= ααλαλλ----⎥⎦⎤⎢⎣⎡+110)1(010(sA A s r t )e -
． 因此， αλ-∞→=11
0)()(lim A s t r t ．
事实上，我们在(10-4-2)式中，令t
r d d =0,可得其均衡值r e =αλ-110)(A s . 三、 新产品的推广模型
设有某种新产品要推向市场，t 时刻的销量为x (t ),由于产品良好性能，每个产品都是一个宣传品，因此，t 时刻产品销售的增长率
t x d d 与x (t )成正比，同时，考虑到产品销售存在一定的市场容量N ，统计表明
t
x d d 与尚未购买该产品的潜在顾客的数量N -x (t )也成正比，于是有 t
x d d =kx (N -x )， (10-4-3) 其中k 为比例系数，分离变量积分，可以解得
x (t )=kNt
C N -+e 1 (10-4-4) 方程(10-4-3)也称为逻辑斯谛模型，通解表达式(10-4-4)也称为逻辑斯谛曲线．
由
t x d d =()
221kNt kNt
C k CN --+e e 以及
22t x d d =()
3231)1(kNt kNt kNt C C k CN ---+-e e e ， 当x (t *)＜N 时，则有t x d d ＞0，即销量x (t )单调增加．当x (t *)=2N 时，22t x d d =0;当x (t *)＞2
N 时，22t x d d ＜0；当x (t *)＜2
N 时，22t x d d ＞0．即当销量达到最大需求量N 的一半时，产品最为畅销，当销量不足N 一半时，销售速度不断增大，当销量超过一半时，销售速度逐渐减小．
国内外许多经济学家调查表明，许多产品的销售曲线与公式(10-4-4)的曲线十分接近，根据对曲线性状的分析，许多分析家认为，在新产品推出的初期，应采用小批量生产并加强广告宣传，而在产品用户达到20%到80%期间，产品应大批量生产，在产品用户超过80%时，应适时转产，可以达到最大的经济效益．
习题10-4
1． 某公司办公用品的月平均成本C 与公司雇员人数x 有如下关系：
C ′=C 2e -x -2C
且C (0)=1,求C (x )．
2． 设R =R (t )为小汽车的运行成本，S =S (t )为小汽车的转卖价值，它满足下列方程：
R ′=S
a , S ′=-bS , 其中a ,
b 为正的已知常数，若R (0)=0,S (0)=S 0(购买成本)，求R (t )与S (t )．
3． 设D =D (t )为国民债务，Y =Y (t )为国民收入，它们满足如下的关系：
D ′=αY +β, Y ′=γY
其中α,β,γ为正已知常数．
(1) 若D (0)=D 0,Y (0)=Y 0,求D (t )和Y (t );
(2) 求极限)
()(lim t Y t D t +∞→． 4． 设C =C (t )为t 时刻的消费水平，I =I (t )为t 时刻的投资水平，Y =Y (t )为t 时刻的国民收入，它们满足下列方程
⎪⎩
⎪⎨⎧>'=><<+=+=.0,,,,0,10,,为常数均为常数k C k I b a b a b aY C I C Y
(1) 设Y (0)=Y 0，求Y (t ),C (t ),I (t );
(2) 求极限)
()(lim t I t Y t +∞→ 5． 某养殖场在一池塘内养鱼，该池塘最多能养鱼5000条，鱼可以自然繁殖，因此鱼数y 是时间t 的函数y =y (t )，实验表明，其变化率与池内鱼数y 和池内还能容纳的鱼数(5000-y )的乘积成正比，若开始放养的鱼为400条，两个月后池塘内鱼的数量为550条，求放养半年 后池塘内鱼的条数． 2019年一级建造师《市政工程》真题答案
一、单选题(1-10小题)
1.行车荷载和自然因素对路面结构的影响,随着深度的增加而（）
A.逐渐增强
B.逐渐减弱
C.保持一致
D.不相关
答案：B
2.沥青玛蹄脂碎石混合料的结构类型属于()结构。

A.骨架-密实
B.悬浮-密实
C.骨架-空隙
D.悬浮-空隙
答案：A
3.根据《城镇道路工程施工与质量验收规范》(CJJ1-2008),土方路基压实度检测的方法是（）。

A.环刀法、灌砂法和灌水法
B.环刀法、钻芯法和灌水法
C.环刀法、钻芯法和灌砂法
D.灌砂法、钻芯法和灌水法
答案：A
4.采用滑模摊铺机摊铺水泥混凝土路面时,如混凝土坍落度较大,应采取（）。

A.高频振动,低速度摊铺。