最新微分方程在经济学中的应用

第四节 微分方程在经济学中的应用

微分方程在经济学中有着广泛的应用，有关经济量的变化、变化率问题常转化为微分方程的定解问题．一般应先根据某个经济法则或某种经济假说建立一个数学模型，即以所研究的经济量为未知函数，时间t 为自变量的微分方程模型，然后求解微分方程，通过求得的解来解释相应的经济量的意义或规律，最后作出预测或决策，下面介绍微分方程在经济学中的几个简单应用．

一、 供需均衡的价格调整模型

在完全竞争的市场条件下，商品的价格由市场的供求关系决定，或者说，某商品的供给量S 及需求量D 与该商品的价格有关，为简单起见，假设供给函数与需求函数分别为

S =a 1+b 1P , D =a -bP ,

其中a 1,b 1,a ,b 均为常数，且b 1＞0,b ＞0；P 为实际价格．

供需均衡的静态模型为

⎪⎩

⎪⎨⎧=+=-=).()(,,11P S P D P b a S bP a D

显然，静态模型的均衡价格为

P e =1

1b b a a +-． 对产量不能轻易扩大，其生产周期相对较长的情况下的商品，瓦尔拉（Ｗalras ）假设：超额需求［D (P )-S (P )］为正时，未被满足的买方愿出高价，供不应求的卖方将提价，因而价格上涨；反之，价格下跌，因此，t 时刻价格的变化率与超额需求D -S 成正比，即 t

P d d =k (D -S )，于是瓦尔拉假设下的动态模型为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=-=)].()([),

(),(11P S P D k t

P t P b a S t bP a D d d 整理上述模型得

t

P d d =λ(P e -P ), 其中λ=k (b +b 1)＞0,这个方程的通解为

P (t )=P e +C e -λt ．

假设初始价格为P (0)=P 0,代入上式得，C =P 0-P e ,于是动态价格调整模型的解为

P (t )=P e +(P 0-P e )·e -λt ，

由于λ＞0，故

lim ()t P t →+∞=P e ．

这表明，随着时间的不断延续，实际价格P (t )将逐渐趋于均衡价格P e ．

二、 索洛(Solow)新古典经济增长模型

设Y (t )表示时刻t 的国民收入，K (t )表示时刻t 的资本存量，L (t )表示时刻t 的劳动力，索洛曾提出如下的经济增长模型：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====.

),(),1,(),(0t L L t sY t K r Lf L K f Y λe d d 其中s 为储蓄率(s ＞0)，λ为劳动力增长率(λ＞0)，L 0表示初始劳动力(L 0＞0)，r =

L

K 称为资本劳力比，表示单位劳动力平均占有的资本数量．将K =rL 两边对t 求导，并利用t L d d =λL ，有

rL t

r L t L r t r L t K λ+=+=d d d d d d d d ． 又由模型中的方程可得

t

K d d =sLf (r ,1), 于是有

t

r d d +λr =sf (r ,1)． (10-4-1) 取生产函数为柯布-道格拉斯(Cobb -Douglas)函数，即

f (K ,L )=A 0K αL 1-α＝A 0Lr α，

其中A 0＞0，0＜α＜1均为常数．

易知f (r ,1)=A 0r α，将其代入(10-4-1)式中得

t

r d d +λr =sA 0r α． (10-4-2) 方程两边同除以r α，便有

r -α

t r d d +λr 1-α=sA 0． 令r 1-α=z ,则t

z d d =(1-α)λ-α t r d d ,上述方程可变为 t

z d d +(1-α)λz =sA 0(1-α)． 这是关于z 的一阶非齐次线性方程，其通解为 z =C e -λ(1-α)t +0

sA λ

(C 为任意常数)． 以z =r 1-α代入后整理得 r (t )=ααλλ---⎥⎦⎤⎢⎣⎡

+110)1(sA C t e

． 当t =0时，若r (0)=r 0,则有

C =r 01-α－

λ

s A 0． 于是有

r (t )= ααλαλλ----⎥⎦⎤⎢⎣⎡+110)1(010(sA A s r t )e -

． 因此， αλ-∞→=11

0)()(lim A s t r t ．

事实上，我们在(10-4-2)式中，令t

r d d =0,可得其均衡值r e =αλ-110)(A s . 三、 新产品的推广模型

设有某种新产品要推向市场，t 时刻的销量为x (t ),由于产品良好性能，每个产品都是一个宣传品，因此，t 时刻产品销售的增长率

t x d d 与x (t )成正比，同时，考虑到产品销售存在一定的市场容量N ，统计表明

t

x d d 与尚未购买该产品的潜在顾客的数量N -x (t )也成正比，于是有 t

x d d =kx (N -x )， (10-4-3) 其中k 为比例系数，分离变量积分，可以解得

x (t )=kNt

C N -+e 1 (10-4-4) 方程(10-4-3)也称为逻辑斯谛模型，通解表达式(10-4-4)也称为逻辑斯谛曲线．

由

t x d d =()

221kNt kNt

C k CN --+e e 以及

22t x d d =()

3231)1(kNt kNt kNt C C k CN ---+-e e e ， 当x (t *)＜N 时，则有t x d d ＞0，即销量x (t )单调增加．当x (t *)=2N 时，22t x d d =0;当x (t *)＞2

N 时，22t x d d ＜0；当x (t *)＜2

N 时，22t x d d ＞0．即当销量达到最大需求量N 的一半时，产品最为畅销，当销量不足N 一半时，销售速度不断增大，当销量超过一半时，销售速度逐渐减小．

国内外许多经济学家调查表明，许多产品的销售曲线与公式(10-4-4)的曲线十分接近，根据对曲线性状的分析，许多分析家认为，在新产品推出的初期，应采用小批量生产并加强广告宣传，而在产品用户达到20%到80%期间，产品应大批量生产，在产品用户超过80%时，应适时转产，可以达到最大的经济效益．