第十二章微分方程习题及解答
高等数学(上册)第12章(1)习题答案_吴赣昌_人民大学出版社_高数_
高等数学(上册)第12章(1)习题答案_吴赣昌_人民大学出版社_高数_第十二章微分方程内容概要§12.1微分方程的基本概念内容概要课后习题全解1．指出下列微分方程的阶数：知识点：微分方程阶的定义★（1）某(y)24yy3某y0；解：出现的未知函数y的最高阶导数的阶数为1，∴方程的阶数为1。
注：通常会有同学误解成未知函数y的幂或y的导数的幂。
例：（错解）方程的阶数为2。
((y))★（2）2某y2y某2y0；解：出现的未知函数y的最高阶导数的阶数为2，∴方程的阶数为2。
★（3）某y5y2某y0；解：出现的未知函数y的最高阶导数的阶数为3，∴方程的阶数为3。
★（4）(7某6y)d某(某y)dy0。
(n)思路：先化成形如F(某,y,y,,y解：化简得)0的形式，可根据题意选某或y作为因变量。
dy6y7某，出现的未知函数y的最高阶导数的阶数为1，∴方程的阶数为1。
d某某y2指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：知识点：微分方程的解的定义思路：将所给函数及其相应阶导数代入方程验证方程是否成立。
★（1）某y2y，y5某2；2解：将y10某，y5某代入原方程得左边所以某10某25某22y右边，y5某2是所给微分方程的解。
y2y0,yC1co某C2in某；解：yC1in某C2co某，将y2C1co某2C2in某，yC1co某C2in某，代入原方程得：左边所以★（3）y2y2C1co某2C2in某2(C1co某C2in某)右边，yC1co某C2in某是所给微分方程的解。
y22yy20,yC1某C2某2；某某2解：将yC1某C2某，yC12C2某，y2C2，代入原方程得：2C14C2某2(C1某C2某2)22y左边=yy22C20右边2某某某某所以yC1某C2某2是所给微分方程的解。
y(12)y12y0yC1e1某C2e2某；1某解：将yC1eC2e2某，yC11e1某C22e2某，yC112e1某C222e2某，代入原方程得：左边y(12)y12y22C11e1某C22e2某(12)(C11e1某C22e2某)12(C1e1某C2e2某) 0所以右边，yC1e1某C2e2某是所给微分方程的解。
微分方程(习题及解答)0001
2第十二章 微分方程 § 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、 、单项选择题 1.下列所给方程中，不是微分方程的是 (A) xy 2y ； (C) y y 0 ； 4 2•微分方程5y y xy (A) 1 ； (B) 2 ；3. 下列所给的函数，是微分方程 (A) y C i cosx ；(C) y cosx Csinx ；齐次微分方程2y (3)( x 2(7x(B) (D) 0的阶数是( (C) 3 ； y (B) (D) 4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是 (A) y e x y ； (B) xy (C) y xy 1 0 ； (D) (x ). 2 2 y C ；6y)dx (x y)d y ).(D) 4 ； 0的通解的是( ). C 2 sin x ；G cosx ( ). y x ； y)dx (x 5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是 (A) y (C) y 、填空题 c x y e ;xy x 0 ；(B) xy (D) (x 答(B). 答(C).C 2 si nx 答(D).y)dy 0.答(A).(2y x y)dx答(D).1. 函数y 5x 2是否是微分方程 xy 2y 的解？ 答: 是.2 . 微分方程 dx dy0, y x 3 4的解是 .答:2x 2y25 .y x3x2冬C .3 . 微分方程 3x 2 5x 5y 0的通解是 . 答: y5 24 . 微分方程 xy y lny 0的通解是 答: yCxe .5 . 微分方程 1 2 x y -1 y 2的通解是 . 答: arcsin y arcsin x6. 微分方程 xy y y(ln y ln x)的通解是 . 答: _yxCxe三、解答题y)；C .xy a(y 2(x y)d y1•求下列微分方程的通解. ⑵ (1) sec xtanydx s ec ytanxdy 0 ； 解:解：dy 心y⑶ —10 ； ⑷dx解:解：2 . 求下列微分方程满足所给初始条件的特解：(1) 2x yy e ,y x 0 0 ;(2) 解:解：⑶ xdy 2ydx 0, yx 21;⑷解:解：y (y 2 x 3 o.y si nx yl ny2xtf - dt ln 2，求f (x)的非积分表达式. 答：f(x) e x ln2 .0 2§ 一阶线性微分方程、全微分方程23xy xy 的通解.可降阶的高阶微分方程、二阶线性微分方程、单项选择题 1.方程ysinx 的通解是().1.下列所给方程中，是一阶微分方程的是((A)字址dx (C)乎dx 2•微分方程(X (A) 齐次微分方程； (C) 可分离变量的微分方程；23(lnx)y ；(B)(x y)2 ；(D) y 2)dx 2xydy ).dy dx2y x 1(x(x y)dx (x y)dy 答(B).0的方程类型是 (B) 一阶线性微分方程; (D)全微分方程.( ).答(D).二、填空题1 .微分方程xy e 的通解为.答: y Cedx32 .微分方程 (x 2 y)dx xdy 0的通解为.答：x3xy 3 •方程(x y)(dx dy) dx dy 的通解为.答: x y 三、简答题C .ln(x y)1 .求下列微分方程的通解:3.方程xy . x (A)齐次方程；(C)伯努利方程；(B) 一阶线性方程；(D)可分离变量方程.答(A).xxxe(1)ycosx sin xex 竺dx解:⑶ 解:xy3x 解:⑷解:ytanx sin2x ；(5) (y 2 6x)塑 dx 2ye y(xe y 2y)dy 0 ；解:解:(a 22xy y 2)dx (x y)2dy 0 . 解: 2 .求下列微分方程满足所给初始条件的特解. (1)乎 3y 8, y x 0 2 ；dx解：dy dx解:sin x ,y xx3* •设连续函数f (X )、单项选择题 y 2 y 是()• 3* .求伯努利方程— dx解：(A) y cosx (C) y sin x2.微分方程1C 1x 2 C 2x C 3 ； 2 Gx? C 2X C 3 ；2y xy 满足条件y (A) y (x 1)2；(B) y cosx G ; (D) y(B)2sin 2x .答(A) y x2的解是(2).1(C) y -(x3. 对方程y1)21 2 ；y 2，以下做法正确的是 y p 代入求解；(D)答(C).(A)令 y p(x)， (C)按可分离变量的方程求解；4. 下列函数组线性相关的 是(2 x2 x(A) e , 3e ;(C) sinx, cosx ;5. 下列方程中，二阶线性微分方程是(A) y (C) y 6. y 1, (A) y (C) y (D) yp(y), yp p 代入求解；答(B).).32y(y)0 ；2 o 2y 3x ； py qy y 2 ； C 2『2，其中C 2『2，其中2x y y 2是yC i y i C i y iG% (B) 2xe 3x ,e ；(D)2xe 2x,xe).(B) y 2yy xy (D) y 2xy2x y则其通解是().(B) yC 1y1C 2 y2 ；(0的两个解, xe ;2e x .((B)令 y(D)按伯努利方程求解. 答(A).答(D).y 1与y 线性相关; y 与y 2线性无关.7.下列函数组线性相关的 是( ).(A) e 2x , 3e 2x ； (C) si nx,、填空题 答(D).1 .微分方程 cosx； (B) (D) 3x2xy x sinx 的通解为 2x : e , e2xe , xe答(A).答:sin x C 1e xC 1x C 2. x C 2.三、简答题 1 •求下列微分方程的通解.2(1) y 1 (y)； (2) y 如)2解： 解:2 .求方程y x(y )2 0满足条件y x12，y x 1 1的特解.2 .微分方程 答:y y x 的通解为 解： § 二阶常系数线性齐次微分方程、单项选择题 1.下列函数中，不是微分方程 y y 0的解的是( ).(A) y sin x ； (B) y cosx ； (C) y e x ；(D) y sin x cosx .答(C).x 3 x2.下列微分方程中，通解是 y GeC ?e 的方程是( ).(A) y 2y 3y 0 ；(B) y 2y 5y 0 ； (C) yy 2y 0 ；(D) y 2y y 0 .答(A)3.下列微分方程中， 通解是y C 1e xC 2 x xe 的方程是().(A) y 2y y 0 ；(B) y 2yy 0 ；(C) y2y y 0 ；(D) y 2y4y 0 .答(B)4.下列微分方程中， 通解是y xe (C 1 cos2x C 2sin2x)的方程是().(A) y 2y 4y 0 ；(B) y2y 4y 0(C) y2y5y 0 ；(D)y 2y5y 0 .答(D) 5.若方程 ypyqy 0的系数满足1 p q 0 ，则方程的一个解是( ).(A) x ；(B) x e ;(C) xe(D) sin x . 答(B)6*.设 y f(x)是方程 y 2y 2y 0 的一个解，若 f(X o ) 0, f (xj 0,则 f(x)在 x x 0 处( ).(A) x 0的某邻域内单调减少;(B) X 0的某邻域内单调增加；(C)取极大值；(D)取极小值.答(C).、填空题1 •微分方程的通解为 y 4y 0的通解为. 答： y C 1 C 2e 4x .2 .微分方程y y 2y 0的通解为 答: y C 1e x C 2e 2x .3 .微分方程y4y 4y 0的通解为 答: y Ge 2x C 2xe 2x .4 .微分方程y 4y 0的通解为答: y C 1 cos2x C 2si n2x 5 .方程 y 6y 13y 0 的通解为 __________________________ . 答：y e 3x (C 1 cos2x C 2sin 2x). 三、简答题1 •求下列微分方程的通解：(1) y y 2y 0 ； (2) 4d ^ 20空 25x 0 .dt 2 dt解：解：、单项选择题 1.微分方程 y y2x 的一个特解应具有形式 ( ).(A) Ax 2;(B) Ax 2Bx ；(C) Ax 2Bx C ；(D) x(Ax 2Bx C).答(C).2.微分方程 y y2x 的一个特解应具有形式 ().(A) Ax 2 ；(B) Ax 2Bx -(C) Ax 2Bx C ；(D) x(Ax 2Bx C).答(C)3.微分方程y 5y6y xe 2x 的一个特解应具有形式( ).(A) Axe 2x;(B) (Ax 2x B)e(C) (Ax 2Bx C)e 2x ；(D) x(Ax B)e 2x答(B) 4.微分方程y y2 y x 2e x 的一个特解应具有形式().(A) Ax 2e x(B) (Ax 2x Bx)e解:2 •求下列方程满足初始条件的特解.(1) y 4y 3y 0,y x 0 10, y x 06⑵ y 25y 0, y x 05,y x 02.解:§ 二阶常系数线性非齐次微分方程(C) x(Ax2Bx C)e x；(D) (Ax2 Bx C)e x.答(C).5. 微分方程y 2y 3y e x sin x的一个特解应具有形式().(A) e x(AcosxBsinx)；(B) Ae x sinx ；(C) xe x (Asin x Bcosx) ；(D) Axe x sinx 答(A). 、填空题1 .微分方程y 4y 3 x x的一个特解形式为答:y*3x x4 82.微分方程y 2y x的一个特解形式为. 答:y* x(Ax B).3 .微分方程y 5y 6y xe x的一个特解形式为.答:y* (Ax B)e x.4.微分方程y 5y 6y xe3x的一个特解形式为.答:y* x(Ax B)e3x.5 .微分方程y y sin x的一个特解形式为. 答：y* Asin x .6 .微分方程y y si n x的一个特解形式为. 答：y* x(Acosx Bsin x)三、简答题1.求下列微分方程的通解•：(1) 2y y y 2e x；(2) y 5y 4y 3 2x ；解:解：⑶y 6y 9y (x 1)e2x.解:。
第十二章微分方程与差分方程简介
第十二章 微分方程与差分方程简介学习测试题答案1. 选择题（1）由题书P454一阶线性微分方程的通解讨论知)()('x Q y x P y +=的通解为])([)()(C dx e x Q e y dxx P dxx P +⎰⎰=⎰-。
（2）)()(1''22222xyf x y x y x y x y x y y y x xy =++±=++=⇒++=，因此方程应为齐次方程。
（3）022=+ydxx dy 为可分离变量的方程，分离变量得022=+dx x dy y ，其通解为C x y =+33，因为2)1(=y ，因此9=C ，即特解为933=+x y 。
（4）对微分方程x y sin ='''两边同时积分得1cos C x y +-=''，再积分一次得21sin C x C x y ++-='，再积分一次可得微分方程通解3212cos C x C x C x y +++=。
（5）由题对应的特点方程为03=+λλ，因此对应的特点根为0=λ或i ±=λ，因此方程的通解为321sin cos C x C x C y ++=。
（6）由二阶齐次线性方程解的结构可知2211y C y C +仍为微分方程的解，但只有当1y 和2y 线性无关时，2211y C y C +才为微分方程的通解。
且由于它含有至少一个任意常数，因此它不是微分方程的特解。
（7）由题微分方程方程中只显现y 和y 的导数，没有显现x ，由高阶导数的降阶方式知可令)(y P y ='，那么)()(y P dyy dP y ⋅=''。
（8）此题为欧拉方程，由欧拉方程解法知做变换t e x =，方程可化为00)1(2=-⇒=-+-y Dy y Dy y D D ，对应的特点方程为012=-λ，因此1±=λ，那么通解为t t e C e C y -+=21，作反变换x t ln =，原微分方程通解为xC x C y 121+=。
高等数学(经济类)课后习题及答案第十二章 微分方程答案
习题12—1（A ）1. 指出下列各微分方程的阶数：（1）y y x 3='； （2）0d 2d )(3=--y x x x y ； （3）y y x y x '='+''+2)2(； （4）22()yy y y ''''''=-；（5）(5)(3)242cos y yy y x ''+-+=； （6）232d d 2d d P P tt t t+=； （7）0222)4(=+'-''+'''-y y y y y；答案：（1）一阶；（2）一阶；（3）二阶；（4）三阶；（5）五阶；（6）二阶；（7）四阶. 2. 验证下列各函数是否为所给微分方程的解. 如果是解，请指出是通解，还是特解？（1）函数3y x =，微分方程y y x 3='；（2）函数sin 3y C x =，微分方程90y y ''+=；（3）由C x y xy =++22确定的函数)(x y y =，微分方程(1)()0y dx x y dy +++=； （4）函数xy λe =（其中λ是给定的实数），微分方程0=+'''y y ．解：（1）因为23y x '=，左式233=xy x x y '==⋅=右式，所以函数3y x =是微分方程y y x 3='解．又因为函数3y x =不包含任意常数，所以是特解．（2）因为9sin39y C x y ''=-=-，即90y y ''+=，所以函数sin 3y C x =是微分方程90y y ''+=解，但是由于sin 3y C x =中只有一个任意常数，又因为微分方程是二阶的，所以sin 3y C x =既不是微分方程90y y ''+=的通解，也不是特解，只是解．（3）等式C x y xy =++22两边同时对x 求导，有d d 10d d y y y x y x x+++=，整理得(1)()0y dx x y dy +++=，所以由C x y xy =++22确定的函数)(x y y =是(1)()0y dx x y dy +++=的解，又C x y xy =++22中含有一个任意常数，而(1)()0y dx x y dy +++=是一阶微分方程，所以Cx y xy =++22是(1)()0y dx x y dy +++=通解．（4）因为x y λe =，则有3e xy λλ'''=，所以33ee (1)e xx x y y λλλλλ'''+=+=+．当1λ=-时，3(1)e 0x y y λλ'''+=+=，则x y λe =是微分方程0=+'''y y 的解，并且是特解；当1λ≠-时，3(1)e0xy y λλ'''+=+≠，则x y λe =不是微分方程0=+'''y y 的解．3. 若函数e xy α=是微分方程0y y ''''-=的解，求的α值．解：由e x y α=得，e x y αα'=，3e xy αα'''=，将它们代入微分方程0y y ''''-=，得32e e (1)=0x x x y y e ααααααα''''-=-=-，所以1α=-，0或1．4．验证下列所给的各函数是微分方程的通解，并求满足初始条件的特解.（1）函数21y Cx =+，微分方程22xy y '=-，初始条件(1)2y =； （2）函数22x y C +=，微分方程0yy x '+=，初始条件1)1(=y ；（3）函数12()xy C C x e =+，微分方程20y y y '''-+=，初始条件(0)0y =，(0)1y '=.解：（1）因为2y Cx '=，所以222(1)222xy x Cx Cx y '=⋅=+-=-．又2Cx y =中含有一个任意常数，22xy y '=-是一阶微分方程，所以函数21y Cx =+是微分方程22xy y '=-的通解．由(1)2y =，可得1C =，所以微分方程22xy y '=-满足初始条件(1)2y =的特解是2+1y x =．（2）对隐函数22x y C +=的两边求关于x 的导数，得220x yy '+=，即0yy x '+=．又22x y C +=中含有一个任意常数，0yy x '+=是一阶微分方程，所以隐函数22x y C +=是微分方程0yy x '+=的通解．由1)1(=y ，可得2C =，所以微分方程0yy x '+=满足初始条件1)1(=y 的特解是222x y +=．（3）因为212()e x y C C C x '=++，212(2)e xy C C C x ''=++，所以2y y y '''-+21221212(2222)e 0x C C C x C C C x C C x =++---++=．又因为函数12()x y C C x e =+中含有两个独立的任意常数，而20y y y '''-+=是二阶微分方程，所以12()xy C C x e =+是微分方程20y y y '''-+=的通解．由初始条件(0)0y =，(0)1y '=，有12101C C C =⎧⎨+=⎩，，得01=C ，12=C ，所以微分方程20y y y '''-+=满足初始条件(0)0y =，(0)1y '=的特解是e xy x =．习题12—1（B ）1．给定微分方程21y x '=+， （1）求过点(1,3)的积分曲线方程；（2）求出与直线13+=x y 相切的积分曲线方程．解：易验证2y x x C =++是微分方程21y x '=+的通解．（1）由曲线2y x x C =++过点(1,3)，有311C =++，得1C =，所求积分曲线为21y x x =++．（2）若曲线2y x x C =++与直线13+=x y 相切，则有213x +=（斜率相等），得1x =． 当1=x 时，4=y ，所以切点为(1,4)，将其代入2y x x C =++，有411C =++，得2C =，所求曲线为22y x x =++．2．将积分方程2()()sin cos xf t dt xf x x x x π=--⎰（其中)(x f 是连续函数）转化为微分方程，给出初始条件，并求函数)(x f ． 解：将2()()sin cos xf t dt xf x x x x π=--⎰两边同时对x 求导，有()()()sin cos sin f x f x xf x x x x x '=+--+， 即()cos f x x '=，这就是所求的微分方程，容易得到其通解为()cos sin f x xdx x C ==+⎰．将2x π=代入到原方程2()()sin cos x f t dt xf x x x x π=--⎰中，有0()12f π=-，得初始条件为()12f π=，所以有11C =+，得0C =，所求函数为()sin f x x =．习题12—2（A ）1. 求下列可分离变量的微分方程的通解：（1）32yy x '=； （2）e yy x -'=；（3）y '=； （4）2(3)0ydx x x dy +-=．解：（1）分离变量32d 4d y y x x =，两边积分32d 4d y y x x =⎰⎰，整理得通解为24y x C =+．（2）分离变量e d d yy x x =，两边积分e d d y y x x =⎰⎰，整理得通解为21e 2y x C =+，或写作2ln()2x y C =+．（3）分离变量d y y =，两边积分d y y =⎰，整理得通解为1ln y C =，进而原方程通解为：y Ce =（4）分离变量有2d d 3y x y x x =--，整理得d 111()d 33y x y x x=---，两边积分d 111()d 33y x y x x ==---⎰⎰，整理得通解为11ln (ln 3ln )d 3y x x x C =---+，进而原方程通解为：3(3)x y Cx -=．2. 求下列齐次方程的通解：（1）2xy x y '=+； （2）(2)x y y y '-=；（3）22()d d 0x y x xy y -+=； （4）d (1ln)d 0yx y y x x-+=． 解：（1）将方程改写为2y y x '=+，令u xy=，则x u x u x y y d d d d +=='，于是原方程化为d 2d u u xu x +=+，即2d d x u x =，积分得2ln ln u x C =+，即2ln yCx x=，所以原方程通解为2ln y x Cx =．（2）将方程改写为2d d -=y x y x ，令v yx =则y vy v y x d d d d +=，于是原方程化为2d d -=+v y v yv ，即y y v d 2d -=，积分得C y v ln ln 2+-=，即2ln yCy x =，所以原方程通解为2lny Cy x =．（3）将方程改写为d d y y x x x y =-，令u xy=，则x u x u x y d d d d +=，于是原方程化为d 1d u u x u x u +=-，即d d xu u x=-，积分得2ln 22u C x =-+，即222ln y C x x =-，所以原方程通解为2y 2x =2(ln )C x -．（4）将方程改写为(1ln )dy y y dx x x =+，令y u x =，则xu x u x y y d d d d +=='，于是原方程化为(1ln )du u xu u dx +=+，即ln du dxu u x=，积分得1ln ln ln u x C =+，即ln u Cx =（其中1)C C e =±，所以原方程通解为lnyCx x=，或写作e Cx y x =． 3. 求下列一阶线性微分方程的通解：（1）2y xy x '-=； （2）d 2e d x yy x+=； （3）sin cos e x y y x -'+=； （4）2(2cos )d (+1)d 0xy x x x y -+=．解：（1）法一：相应齐次方程为0y xy '-=，即d d y x x y =，积分得211ln 2y x C =+，即22e x y C =（其中1)C C e =±．令22()ex y u x =，代入原方程，有222222ee e2x x x u xu xu x '+-=，即222ex u x -'=，得2222()2ed 2e x x u x x x C --==-+⎰，所以原方程通解为222222(2e )e e 2x x x y C C -=-+=-．法二：()P x x =-、()2Q x x =，方程通解为 ()d ()d [()e d ]e P x xP x x y Q x x C -⎰⎰=+⎰d d (2e d )e x x x xx x C -⎰⎰=+⎰2222(2ed )e x x x x C -=+⎰2222(2e)e x x C -=-+22e 2x C =-．（2）()1P x =、()2e xQ x =，方程通解为 ()d ()d d d [()e d ]e (2e e d )e P x xP x x x xx y Q x x C x C --⎰⎰⎰⎰=+=+⎰⎰22(2e d )e (e )e e e x x x x x x x C C C ---=+=+=+⎰．（3）()cos P x x =、sin ()exQ x -=，方程通解为()d ()d cos d cos d sin [()e d ]e (e e d )e P x xP x x x x x x x y Q x x C x C ---⎰⎰⎰⎰=+=+⎰⎰sin sin (d )e ()e x x x C x C --=+=+⎰．（4）方程化为222cos 11x x y y x x '+=++，则有22()1x P x x =+、2cos ()1xQ x x =+，方程通解为 2222d d ()d ()d 112cos [()e d ]e (e d )e 1xxxx P x xP x xx x x y Q x x C x C x --++⎰⎰⎰⎰=+=++⎰⎰221sin (cos d )+1+1x Cx x C x x +=+=⎰． 4．求下微分方程满足所给初始条件的特解： （1）d 1d 2y x x y -=，(3)1y =； （2）sec y xy x y x '+=，2)1(π=y ； （3）2e xy y x '-=，(0)2y =； （4）ln ln xy x y x '+=，(e)1y =．解：（1）这是可分离变量方程，分离变量为2d (1)d y y x x =-，积分得22(1)2x y C -=-+，即方程通解为22(1)2x y C -+=．由(3)1y =，有3C =，方程特解为22(1)32x y -+=． （2）这是齐次方程secy y y x x '+=，令u xy=，则x u xu x y d d d d +=，于是原方程化为d sec d u u xu u x ++=，即d cos d xu u x=-，积分得1sin ln u x C =-+，即方程的通解为sin eyxx C =（其中1)C C e =±．由2)1(π=y ，可得1C e=，所以方程特解为sin 1e yx x -=．（3）这是一阶线性方程，2()1()e xP x Q x x =-=、，因此，方程通解为d d 2(e e d )e (e d )e [(1)e )]e x xx x x x x y x x C x x C x C -⎰⎰=+=+=-+⎰⎰． 由(0)2y =，有21C =-+，得3=C ，方程特解为xx x y 2e )1(2e 3-+=．（4）原方程可化为11ln y y x x x '+=，这是一阶线性方程，1()ln P x x x =、1()Q x x=，方程通解为11d d 2ln ln 1111[e d ]e (ln )ln 2ln 2ln x x x x x xC y x C x C x x x x-⎰⎰=+=+=+⎰．由(e)1y =，有1121C =+，得12C =，所以方程特解为11(ln )2ln y x x =+．习题12—2（B ）1．求下列伯努利微分方程的通解： （1）yx xy y =-'； （2）2xy y y =-'． 解：（1）1-=n ，令21y y z n==-（21=-n ），则原方程化为x n xz n x z )1()1(d d -=--，即x xz xz22d d =-，该方程通解为 222222d 2d (2e d )e (2e d )e (e )e e 1x x x xx x x x x z x x C x x C C C ---⎰⎰=+=+=-=-⎰⎰．所以，原方程通解为1e 22-=x C y ． （2）2=n ，令yyz n11==-（11-=-n ）， 则原方程化为x n z n x z )1()1(d d -=--，即x z xz-=+d d ，该方程通解为 1e e )e e (e )d e (e )d e (d d +-=+-=-=⎰+⎰-=----⎰⎰x C x C x x C C x x z x x x x x x xx ．所以，原方程通解为1e 1+-=-x C yx ． 2．用适当的变量代换求下列微分方程的通解： （1）22x y x y +=+'； （2）1+-='y x y ；（3）)ln (ln y x y y y x +=+'； （4）xy x y y xy 22tan 2+='．解：（1）令u x y =+2，则x u x x y d d 2d d =+，于是u x u=d d ，分离变量有x uu d d =，积分得C x u +=2，原方程通解为C x x y +=+22． （2）令1x y u -+=，则x u x y d d d d 1=-，于是u x u =-d d 1，即u xu-=1d d ，分离变量得x u u u u d )1(d -=-，或x u u d d )111(2-=-+，积分得x C u u -=-+)1ln (2，所以原方程通解为x C y x y x -=+--++-)11ln 1(2．（3）令u xy =，则x u x y xy d d d d =+，于是u x u x u ln d d =，分离变量得xxu u u d ln d =，积分得Cx u ln ln ln =，即Cx u e =，所以原方程通解为Cxxy e 1=．（4）u x y =2，即xu y =2，则x u x u y y d d 2+='，原方程化为u x xu xu x xu tan d d 2+=+，分离变量有xxu u d d cot =，该方程通解为Cx u ln sin ln =，即Cx u =sin ，所以原方程通解为Cx xy =2sin ．3．求微分方程(0(0)ydx x dy y -=>的通解．解：将方程改写为222)(1d d yxy x y y x x y x ++=++=这是以)(y x x =为未知函数的齐次方程，为此令yv x =，则y v y v y x d d d d +=，于是方程化为21d d v yvy +=，分离变量有yyv v d 1d 2=+，积分得C y v v ln ln )1ln(2+=++，即Cy v v =++21，进而原方程通解为Cx Cy 211+=． 4．求微分方程2d d yx yx y +=的通解． 解：方程改写为y y x y x +=d d ，即y yxy x =-d d ，这是一阶线性微分方程，通解为 2d d )d ()d e(ey Cy y C y y y C x yy yy+=+=⎰+⎰=⎰⎰-．５．设函数)(x f 连续，且不恒为零，若⎰⎰+=120d )(2d )()(t t tf t t f x f x ，求函数)(x f ．解：方程两边同时对x 求导，有)()(x f x f ='，分离变量有x ffd d =，得通解为x C x fe )(=．记a t t tf =⎰12d )(，则a t t f x f x2d )()(0+=⎰，令0=x ，得初始条件a f 2)0(=．用0=x 代入到x C x f e )(=之中，有a C 2=，所以x a x f e 2)(=．由)e 21e (2)d e e(2d e 4d )(102221021221022102t t t t a t t a t t at t tf a -=-===⎰⎰⎰)1e ()e 21e (22210222+=-=a a t ， 得1e 12+=a ，所以1e e 2)(2+=x x f ．６．设连续函数)(x f 满足1)(d )()(12-=+⎰x f t tt f t f x ，求函数)(x f ． 解：方程1)(d )()(12-=+⎰x f t t t f t f x 两边同时对x 求导，有)()()(2x f xx f x f '=+，令)(x f y =，则方程可以改写为y x y y x +=2d d ，即y yxy x =-d d ，这是一阶线性微分方程，通解为 )()d ()d e(ed d y C y y C y y y C x yy yy+=+=⎰+⎰=⎰⎰-．用1=x 代入到方程1)(d )()(12-=+⎰x f t tt f t f x 之中，得初始条件1)1(=f ，于是11+=C ，故0=C ，于是2y x =，即所以函数为x x f =)(（注：根据初始条件1)1(=f ，所以不能取x x f -=)(）．习题12—3（A ）1. 求下列各微分方程的通解：（1）2+1y x ''=； （2）2cos e x y x '''=+； （3）20y xy '''-=； （4）2e xy y '''-=；（5）201y y y'''+=-． 解：（1）2311(1)3y x dx x x C '=+=++⎰， 342112111()d 3122y x x C x x x C x C =++=+++⎰．（2）2211(cos e )d sin e 22x xy x x x C ''=+=++⎰， 2211211(sin e 2)d cos e 224x x y x C x x C x C '=++=-+++⎰， 2121(cos e 2)d 4x y x C x C x =-+++⎰221231sin e 8x x C x C x C =-++++． （3）方程不显含y ，令)(x p y ='，则p y '=''，于是d 20d pxp x-=，分离变量为d 2d p x x p =，积分得2ln p x C =+，即213p C x =（其中13)C C e =±，于是原方程降阶为213y C x '=，原方程通解为23121d 3C x C x x C y +==⎰．（4）方程不显含y ，令)(x p y ='，则p y '=''，于是2e xp p '-=，这是一阶线性微分方程，其通解为d d 2111(e e d )e (e d )e (e )e x x x x x x xp x C x C C -⎰⎰=+=+=+⎰⎰，于是原方程降阶为21e e x x y C '=+，所以原方程的通解为221121(e e )d e e 2x x xx y C x C C =+=++⎰． （5）方程不显含x ，令()y q y '=，则y qq '''=，于是2d 0d 1q q q y y +=-，即d 0d 1q q y y+=-，这是可分离变量的方程，先分离变量d d 1q y q y=--，再两边积分，并整理可得1(1)q C y =-．所以1d (1)d yC y x=-，解得12e 1C x y C =+，这就是原方程的通解． 2. 求下列各微分方程满足初始条件的特解： （1）311y x '''=+，(1)1y =，(1)1y '=，1(1)2y ''=；（2）2y y x '''-=，(0)1y =，(0)0y '=； （3）2eyy ''=，(0)0y =，(0)1y '=．解：（1）13211(1)d 2y x x C x x ''=+=-++⎰，由1(1)2y ''=，得10C =，所以212y x x''=-+； 222111()d 222y x x x C x x '=-+=++⎰，由(1)1y '=，得02=C ，所以21122y x x '=+； 2331111()d ln 2226y x x x x C x =+=++⎰，由1)1(=y ，得356C =，所以方程满足初始条件的特解为3115ln 266y x x =++． （2）方程不显含y ，令)(x p y ='，则p y '=''，原方程化为2p p x '-=，此方程通解为d d 1111(2e d )e (2e d )e (2e 2e )e e 22x xx x x x x x p x x C x x C C x C x ----⎰⎰=+=+=--=--⎰⎰，即1e 22xy C x '=--，由(0)0y '=，得12C =，从而2(e 1)x y x '=--，此方程通解为222(e 1)d 2e 2x x y x x x x C =--=--+⎰，由(0)1y =，得21C =-，所以方程满足初始条件的特解为22e 21x y x x =---．（3）方程不显含x ，令()y q y '=，则y qq '''=，于是2e y qq '=，分离变量有2d e d yq q y =，积分得221e yp C =+，即y '=由1)0(='y ，可知道0>'y ，所以y '=再由(0)0y =，(0)1y '=，得01=C ，所以e y y '=．分离变量有e d d yy x -=，积分得2e y x C --=+，由0)0(=y ，得21C =-，于是e 1y x --=-，化简为ln (1)y x =--，这就是方程满足初始条件的特解．习题12—3（B ）1. 求下列各微分方程的通解： （1）()e n ax b yx =+（a ，b 为常数）； （2）0ln=''-''xy y y x ；（3）2)(y y '=''． 解：（1）由于1e d e axax x a =⎰，11d 1t t x x x t +=+⎰，故原方程的通解为 1121211e [()(1)(1)]axb n n n n n n y b n b n b x C x C x C x C a-+---=+++-++++++．（２）方程不显含y ，令)(x p y ='，则p y '=''，于是x p p p x ln='，即xpx p p ln ='，这是齐次方程，令u x p =，则x u x u x p p d d d d +=='，原方程化为u u xux u ln d d =+，分离变量有x x u u u d )1(ln d =-，积分得x C u 1ln )1ln(ln =-，即11e +==x C u xp ，原方程降阶为11e +='x C x y ，原方程通解为⎰⎰+++-==x x C x x y x C x C x C )d e e (1d e 11111112111)1(e 11C C x C x C +-=+． （３）方程既不显含y ，也不显含x ．（方法1）令)(x p y ='，则p y '=''，则2p p ='，分离变量有x ppd d 2=，积分得11C x p -=-，即xC p -=11，原方程降阶为x C y -='11，所以原方程的通解为)ln(d 121x C C x C xy --=-=⎰．（方法2）令()y q y '=，则y qq '''=，于是2d d q qq y =，分离变量有2d d q q q y=，积分得2ln q y C =-，即原方程降阶为2e d d C y xy-=，分离变量为x y y C d d e 2=-，积分得12e C x y C -=--，化简为)ln(12x C C y --=，这就是原方程的通解．2. 求下列各微分方程满足初始条件的特解： （1）2)(1y y '+=''，(0)1y =，(0)0y '=；（2）3()y y y ''''=+，(0)0y =，(0)1y '=；（3）)(22y y y y '-'=''，(0)1y =，(0)2y '=．解：（1）按不显含y 的方程求解，（注：本题按不显含x 方程求解困难）．令)(x p y ='，则p y '=''，于是21p p +='，分离变量有x ppd 1d 2=+，积分得1arctan C x p +=，即1arctan C x y +='，由(0)0y '=，得01=C ，于是x y tan ='，积分得2tan d ln cos y x x C x ==-⎰，由(0)1y =，得12=C ，所以方程满足初始条件的特解为1ln cos y x =-．（2）令()y q y '=，则y qq '''=，得3d d qqq q y=+，因为0q =不满足初始条件(0)1y '=，所以0q ≠，分离变量有2d d 1qy q =+，积分得1arctan q y C =-，即1tan ()y q y C '==-． 由初始条件(0)0y =，(0)1y '=，有11tan (0C =+），得14C π=，故tan ()4y y π'=-． 分离变量d d tan ()4y x y π=-，积分并整理得2sin ()e 4xy C π-=．再由初始条件(0)0y =，得22C =-arcsin 24x y =+π． （3）这是不含x 的二阶可降阶微分方程，令()y q y '=，则y qq '''=，则方程化为22()yqq q q '=-．因为0q =不满足初始条件2)0(='y ，所以0q ≠，分离变量有d d 21q yq y=-，积分得21ln(1)ln q C y -=，解得211y q C y '==+．由初始条件(0)1y =，(0)2y '=，有121+=C ，得11=C ，故12+='y y ，分离变量有x y y d 1d 2=+，积分得1arctan C x y +=，再由初始条件1)0(=y ，得42π=C ，所以原方程满足初始条件的特解为4arctan π+=x y ，即xxx y tan 1tan 1)4tan(-+=+=π．习题12—4（A ）1．指出下列各对函数在其定义区间内的线性相关性：（1）3x 与2x ； （2）e x 与e xx ； （3）e x-与2ex-； （4）x e 与5e x；（5）sin x 与x 2sin ； （6）x x cos sin 与x 2sin ； （7）e sec x x 与e tan xx ； （8）x ln 与ln x μ（0μ>）．解：（1）因为233x xx =不恒为常数，所以3x 与2x 在区间)(∞+-∞，内线性无关． （2）因为e ex x x x =不恒为常数，所以e x与e x x 在区间)(∞+-∞，内线性无关． （3）因为2e e e x xx ---=不恒为常数，所以e x -与2e x -在区间)(∞+-∞，内线性无关． （4）因为5e 5ex x =恒为常数，所以xe 与5e x 在区间)(∞+-∞，内线性相关． （5）因为sin 22cos sin xx x=不恒为常数，所以sin x 与x 2sin 在区间)(∞+-∞，内线性无关． （6）因为sin 22sin cos xx x=恒为常数，所以x x cos sin 与x 2sin 在区间)(∞+-∞，内线性相关．（7）因为e tan sin e sec x x xx x=不恒为常数，所以e sec x x 与e tan x x 在区间)(∞+-∞，内线性无关．（8）因为ln 0ln x xμμ=>恒为常数，所以x ln 与ln x μ在区间)0(∞+，内线性相关． 2．验证函数21e x y =，22e xy x =是微分方程440y y y '''-+=的两个线性无关的解，并写出该方程的通解．解：因为21e xy =，所以22112e =4e x xy y '''=，，因此 222111444e 8e 4e 0xx x y y y '''-+=-+=，所以21e xy =是440y y y '''-+=的解；同理，22e xy x =是440y y y '''-+=的解．又因为2221e exx y x x y ==不恒为常数，所以函数21e x y =，22e x y x =是微分方程440y y y '''-+=的两个线性无关的解．因此二阶线性齐次微分方程440y y y '''-+=通解为2112212()e x y C y C y C C x =+=+．3．通过观察给出微分方程0y y ''+=的两个线性无关的特解，并写出该方程的通解． 解：0y y ''+=是二阶线性齐次微分方程，改写为y y ''=-，二阶导数与自身呈相反数的函数有1sin y x =，2cos y x =，它们是0y y ''+=的两个解，又21cos cot sin y x x y x==不恒为常数，于是1sin y x =，2cos y x =线性无关，所以方程0y y ''+=的通解为12sin cos y C x C x =+．4．写出下列各二阶常系数线性齐次微分方程的通解：（1）320y y y '''-+=； （2）10250y y y '''-+=；（3）2100y y y '''-+=； （4）02d d 22=-x tx．解：（1）特征方程为2320r r -+=，即(1)(2)0r r --=，特征根为11=r 、22r =（不相等实根），所以方程320y y y '''-+=的通解是212e e x x y C C =+．（２）特征方程为210250r r -+=，即2(5)0r -=，特征根为125r r ==（两个相等实根），所以方程10250y y y '''-+=的通解是512()e xy C C x =+．（3）特征方程为22100r r -+=，由二次代数方程求根公式，得特征根为21322b y i a -===±（一对共轭复根），所以方程2100y y y '''-+=的通解是12(cos3sin 3)e xy C x C x =+． （4）特征方程为022=-r ，特征根为21=r 、22-=r （不同实根），所以方程02d d 22=-x tx的通解是ttC C x 2221e e -+=（注意t 是自变量，x 是因变量）．5．求下列各微分方程满足初始条件的特解：（1）22d d 340d d y yy t t+-=，(0)2y =，(0)3y '=-； （2）20y y y '''-+=，(0)1y =，(0)2y '=； （3）450y y y '''-+=，(0)1y =，(0)0y '=．解：（1）特征方程为2340r r +-=，即(1)(4)0r r -+=，特征根为11=r 、24r =-，所以方程22d d 340d d y yy t t +-=的通解是412e e t t y C C -=+，且412e 4e t t dy C C dt-=-． 由初始条件(0)2y =，(0)3y '=-，有1212243C C C C +=⎧⎨-=-⎩，，得1211C C =⎧⎨=⎩，，所以方程满足初始条件(0)2y =，(0)3y '=-的特解是4e e t ty -=+．（2）特征方程为2210r r -+=，即2(1)0r -=，特征根为121r r ==，所以方程20y y y '''-+=的通解是12()e x y C C x =+，且212()e x y C C C x '=++．由初始条件(0)1y =，(0)2y '=，有12112C C C =⎧⎨+=⎩，，得1211C C =⎧⎨=⎩，，所以方程满足初始条件(0)1y =，(0)1y '=-的特解是(1)e x y x =+．（3）特征方程为2450r r -+=，由二次代数方程求根公式，得特征根为2r i ==±，所以方程450y y y '''-+=的通解是212(cos sin )e x y C x C x =+，且21221[(2)cos (2)sin ]e xy C C x C C x '=++-．由初始条件(0)1y =，(0)0y '=，有112120C C C =⎧⎨+=⎩，，得1212C C =⎧⎨=-⎩，，所以方程满足初始条件(0)1y =，(0)0y '=的特解是2(cos 2sin )e xy x x =-． 6．求下列各二阶常系数线性非齐次微分方程的通解：（1）x y y +=+''1； （2）xy y y -=+'+''e 22； （3）223y y y x x '''+-=+-； （4）xx y y e 4=-''.解：（1）相应齐次方程为0=+''y y ，特征方程012=+r ，特征根为i r i r -==21、，相应齐次方程通解为x C x C Y sin cos 21+=．这里x x f +=1)(，01==λ、n 不是特征根，因此设b ax y +=*，将其代入到原方程之中，有x b ax +=+1，比较系数得11==b a 、，于是原方程的一个特解为x y +=1*．原方程的通解为x x C x C y Y y +++=+=1sin cos 21*．（2）相应齐次方程为02=+'+''y y y ，特征方程0122=++r r ，即0)1(2=+r ，特征根为121-==r r ，相应齐次方程通解为xx C C Y -+=e )(21．这里xx f -=e 2)(，10-==λ、n 是二重特征根，因此设x x ax a x y --=⋅=e e 22*，将其代入到原方程之中，化简有22=a ，得1=a ，于是原方程的一个特解为xx y -=e 2*，原方程的通解为212()exx y C C x x e --=++．（3）相应齐次方程为02=-'+''y y y ，特征方程0122=-+r r ，即0)1)(12(=+-r r ，特征根为2/1121=-=r r 、，相应齐次方程通解为2/21e e x x C C Y +=-．这里2()3f x x x =+-，02==λ、n 不是特征根，因此设c bx ax y ++=2*，代入到原方程之中，有224(2)()3a ax b ax bx c x x ++-++=+-，比较系数有12143a a b a b c -=-⎧⎪-=⎨⎪+-=⎩，，，得112a b c ===、、，于是原方程的一个特解为*22y x x =++．所以，原方程的通解为*/2212e e 2x x y Y y C C x x -=+=++++．（4）相应齐次方程为0=-''y y ，特征方程012=-r ，特征根为1121-==r r 、，相应齐次方程通解为xx C C Y -+=e e 21．这里xx x f e 4)(=，x x P n 4)(=，11==λ、n 是单重特征根，因此设x x bx ax b ax x y e )(e )(2*+=+=，将其代入到原方程之中，化简有x b ax a 4)2(22=++，比较系数得11-==b a 、，于是原方程的一个特解为x x x y e )(2*-=，所以原方程的通解为*y Y y +=x x x x x C C e )(e e 221-++=-．7．求下列各二阶常系数线性非齐次微分方程满足初始条件的特解： （1）261y y x '''-=-，(0)1y =，(0)3y '=；（2）xy y e 54=+''，(0)0y =，(0)1y '=；解：（1）相应齐次方程为20y y '''-=，特征方程220r r -=，特征根为10r =、22r =，相应齐次方程通解为212e xY C C =+．这里()61f x x =-，1n =、0λ=是单重特征根，因此设*2()y x ax b ax bx =+=+，代入到原方程之中，有42261ax a b x -+-=-，得32a =-，1b =-，于是原方程的一个特解为*232y x x =--． 所以，原方程的通解为*22123e 2x y Y y C C x x =+=+--． 222e 31x y C x '=--，由初始条件(0)1y =，(0)3y '=，有1221213C C C +=⎧⎨-=⎩，，得11C =-、22C =，所以方程261y y x '''-=-满足初始条件(0)1y =，(0)3y '=的特解为2232e 12x y x x =---．（2）相应齐次方程为04=+''y y ，特征方程042=+r ，特征根为i r i r 2221-==、，相应齐次方程通解为x C x C Y 2sin 2cos 21+=．这里x x f e 5)(=，10==λ、n 不是特征根，因此设xa y e *=，代入到原方程之中，有x x x a a e 5e 4e =+，得1=a 于是原方程的一个特解为xy e *=．所以，原方程的通解为xx C x C y Y y e 2sin 2cos 21*++=+=．122sin 22cos 2e x y C x C x '=-++，由初始条件(0)0y =，(0)1y '=，有1210211C C +=⎧⎨+=⎩，，得11C =-、20C =，所以方程xy y e 54=+''满足初始条件(0)0y =，(0)1y '=的特解为e cos x y x =-．8. 求常系数线性非齐次微分方程2e xy +y =x+'''的通解.解：相应齐次方程为0='+''y y ，特征方程02=+r r ，特征根为1021-==r r 、，相应齐次方程通解为x12Y C C e -=+．这里x x x f e 2)(+=，将其分为)()()(21x f x f x f +=，x x f 2)(1=、xx f e )(2=．对x y y 2='+''，这里01==λ、n 是单重特征根，因此设bx ax b ax x y +=+=2*1)(， 代入到x y y 2='+''之中，有x b ax a 2)2(2=++，比较系数得21-==b a 、，于是方程x y y 2='+''的一个特解为x x y 22*1-=；对xy y e ='+''，不难观察得一个特解2/e *2xy =．于是，原方程的一个特解为2/e 22*2*1*xx x y y y +-=+=．所以，原方程的通解为*y Y y +=2/e 2e221x xx x C C +-++=-．.习题12—4（B ）1．若)(1x y ϕ=，)(2x y ϕ=是二阶线性非齐次微分方程)()()(x f y x Q y x P y =+'+''的两个解，证明)()(12x x y ϕϕ-=是相应线性齐次微分方程0)()(=+'+''y x Q y x P y 的解． 证：因为)()(12x x y ϕϕ-=，所以212121()()[()()]()[()()]()[()()]y P x y Q x y x x P x x x Q x x x φφφφφφ'''++''''''=-+-+-)]()()()()([)]()()()()([111222x x Q x x P x x x Q x x P x ϕϕϕϕϕϕ+'+''-+'+''= ()()0f x f x =-=．所以)()(12x x y ϕϕ-=是相应线性齐次微分方程0)()(=+'+''y x Q y x P y 的解．2．已知函数x x x x y 21e e )(+=，x x x x y -+=e e )(2，xx x x x y -++=e e e )(23都是微分方程)()()(x f y x Q y x P y =+'+''的解，写出该方程的通解．解：)()()(x f y x Q y x P y =+'+''是二阶非齐次线性微分方程，由函数xx x x y 21e e )(+=，x x x x y -+=e e )(2，x x x x x y -++=e e e )(23都是它的解，根据上题，则x x y y y y 22313e e =-=--、是相应齐次线性微分方程0)()(=+'+''y x Q y x P y 的两个解，而它们之比不恒等于常数，于是它们是线性无关的解，所以0)()(=+'+''y x Q y x P y 的通解为212x xY C e C e -=+，根据二阶非齐次线性微分方程解的结构，得方程)()()(x f y x Q y x P y =+'+''的通解是 22112C e e x x x x y Y y C e e x -=+=+++．3．若二阶常系数线性齐次微分方程的两个特解是2/21e ,e x x y y ==，写出该微分微分方程及其通解．解：由二阶常系数线性齐次微分方程的两个特解是2/21e ,e x x y y ==，则该二阶常系数线性齐次微分方程的特征根是21121==r r 、，于是特征方程是0)21)(1(=--r r ，即01322=+-r r ，所以微分方程为032=+'-''y y y ，通解为2/21e C e x x C y +=．4．若二阶常系数线性齐次微分方程有一个特解xx y 21e -=，写出该微分微分方程及其通解．解：由二阶常系数线性齐次微分方程有一个特解xx y 21e -=，则该二阶常系数线性齐次微分方程有一个特征根2-=r ，并且是二重根，于是特征方程是0)2(2=+r ，即0442=++r r ， 所以微分方程为044=+'+''y y y ，通解为xx C y 221)e C (-+=．5．求下列各常系数线性非齐次微分方程的通解：（1）x x y y cos 4=+''； （2）xy y -=''+''e ．解： （1）相应齐次方程为0=+''y y ，特征方程为012=+r ，特征根为i r i r -==21、，应齐次方程通解为x C x C Y sin cos 21+=．这里x x x f cos 4)(=，最高多项式次数1=n ，i i =+βα是单重特征根，为此设*22[()cos +()sin ]=()cos +()sin y x ax b x cx d x ax bx x cx dx x =++++，代入到原方程之中，有x x x c b ax x d a cx cos 4sin )224(cos )224(=+--+++，比较系数有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=+=，，，，022*******b c a d a c 得，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====，，，，0110d c b a 于是原方程的一个特解为x x x x y sin cos 2*+=． 所以，原方程的通解是x x x x x C x C y sin cos sin cos 221+++=．（2） 相应齐次方程为0=''+'''y y ，特征方程为023=+r r ，特征根为、021==r r ，13-=r 应齐次方程通解为x C x C C Y -++=e 321．对原方程xy y -=''+''e ，这里10-==λ，n 是单重特征根，为此设xax y -=e *，代入到原方程之中，有x x x x a x a ---=-+-e e )2(e)3(，即x x a --=e e ，得1=a ，于是原方程x y y -=''+''e 的一个特解为x x y -=e *．所以，原方程的通解是*y Y y +=xx x C x C C --+++=e e 321．6．求下列各二阶常系数线性非齐次微分方程满足初始条件的特解： （1）x y y sin =+''，(0)1y =，(0)0y '=；（2）x y y xcos e 5='-''，(0)0y =，(0)2y '=．解：（1）相应齐次方程为0=+''y y ，特征方程为012=+r ，特征根为i r i r -==21、，应齐次方程通解为x C x C Y sin cos 21+=．对原方程x y y sin =+''，这里多项式最高次数i i n =+=βα，0是单重特征根，为此设x bx x ax y sin cos *+=，代入到原方程之中，有x x b x a sin cos 2sin 2=+-，比较系数有0212==-b a 、，得021=-=b a 、，于是原方程的一个特解为x x y cos 2*-=．所以，原方程的通解是x xx C x C y Y y cos 2sin cos 21*-+=+=． x xx C x C y sin 2cos )21(sin 21+-+-='，由初始条件(0)1y =，(0)0y '=，得21121==C C 、，所以方程满足初始条件的特解为x x x y sin 21cos )21(+-=． （2）相应齐次方程为0='-''y y ，特征方程为02=-r r ，特征根为1021==r r 、，应齐次方程通解为xC C Y e 21+=．对原方程x y y xcos e 5='-''，这里多项式最高次数i i n +=+=10βα，不是特征根，为此设*(cos sin )x y e a x b x =+，代入到原方程之中，有]sin )2(cos )2[(e x b a x a b x--+-x x cos e 5=，比较系数有⎩⎨⎧=--=-，，0252b a a b 得⎩⎨⎧=-=，，21b a 于是原方程的一个特解为)cos sin 2(e *x x y x -=，原方程的通解是)cos sin 2(e e 21*x x C C y Y y x x -++=+=．)cos sin 3(e e 2x x C y xx++='，由初始条件(0)0y =，(0)2y '=，有⎩⎨⎧=+=-+，，2101221C C C 得1021==C C 、，所以原方程满足初始条件的特解是x x x y e )cos sin 21(-+=．7．若连续函数()y f x =满足0()e ()()d xxf x t x f t t =+-⎰，求()y f x =的表达式．解：0()e ()d ()d xx xf x tf t t x f t t =+-⎰⎰，0()e ()d xxf x f t t '=-⎰，()e ()x f x f x ''=-，于是函数()y f x =满足微分方程e x f f ''+=，初始条件是(0)(0)1f f '==．e xf f ''+=是二阶常系数线性非齐次微分方程，相应齐次方程是0f f ''+=，特征方程为012=+r ，特征根为i r i r -==21、，应齐次方程通解为12cos sin Y C x C x =+．对原方程e xf f ''+=，这里10==λ，n 不是特征根，为此设*e xf a =，代入到原方程之中，得21=a ，于是原方程的一个特解为*1e 2x f =． 所以，原方程的通解是*121()cos sin e 2xf x Y f C x C x =+=++． 因为121()sin cos e 2xf x C x C x '=-++，由初始条件(0)(0)1f f '==，有12112112C C ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，得2121==C C ，所以所求函数是1()(cos sin e )2xf x x x =++．8. 证明：若()f x 满足方程()(1)f x f x '=-，则必满足方程()()0f x f x ''+=，并求方程()(1)f x f x '=-的解．解：先证()f x 必满足方程()()0f x f x ''+=．由于()(1)f x f x '=-，则求导可得()(1)(1)[1(1)]()f x f x f x f x '''=--=---=-， 故证明了()f x 必满足方程()()0f x f x ''+=． 下面求解方程()(1)f x f x '=-．由于方程()()0f x f x ''+=的通解为12()cos sin f x C x C x =+，且()(1)f x f x '=-， 所以1212sin cos cos(1)sin (1)C x C x C x C x -+=-+-，令0x =可得212cos1sin1C C C =+，则112cos1(1sin1)1sin1cos1C C C +==-，从而方程()(1)f x f x '=-的解为11sin1()(cos sin )cos1f x C x x +=+．习题12—5（A ）1. 设在冷库中存储的某种新鲜水果500吨，放置一段时间之后开始腐烂，腐烂率是未腐烂数量的0.001倍，设腐烂的数量为y 吨，则显然它是时间t 的函数，求此函数的表达式． 解：由题意知0.001(500)dyy dt=⨯-， 分离变量得，0.001500dydt y=-，两边积分，并整理得0.001500e t y C -=-（C 为任意常数），再结合(0)0y =，容易求出500C =，所以水果腐烂数量与时间的函数关系式为0.001500(1e )t y -=-．2. 已知某商品的需求量Q （单位：kg ）对价格P （单位：元）的弹性为ln 2EQP EP=-，且当0P =时，需求量600Q =Kg. （1）求该商品对价格的需求函数()Q P ；（2）求当价格1P =元时，市场对该商品的需求量； （3）当+P →∞时，需求量是否趋于稳定？ 解：（1）由已知条件知，ln 2EQ P dQP EP Q dP=⋅=-， 分离变量得ln 2dQdP Q=-， 所以有()2P Q P C -=（C 为任意常数）．再由(0)600Q =得，600C =，所以()6002P Q P -=⨯．（2）由（1）可知，当1P =元时，1(1)6002300Q -=⨯=（kg ）．（3）由()6002PQ P -=⨯可知，当+P →∞时，0Q →，即随着商品价格的无限增大，。
高等数学第12章课后习题答案(科学出版社).
习题 12.11. 判断下列方程是几阶微分方程:;)1(2y x dxdy +=;042)2(2=+-⎪⎭⎫⎝⎛x dx dy dx dy x;052)3(322=+⎪⎭⎫⎝⎛-xy dx dy dx y d x 2334(4)2()1xy x y x y x '''++=+.解 (1)是一阶线性微分方程; (2)是一阶非线性微分方程; (3)是二阶非线性微分方程; (4)是二阶非线性微分方程.2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：（1）2xy y '=，25y x =； （2）0y y ''+=，3sin 4cos y x x =-； （3）20y y y '''-+=，2e x y x =； （4）2()0xy x y yy ''''++=，y x =． 解 (1)是; (2)是; (3)不是; (4)不是二阶非线性微分方程.3. 验证函数x C x y sin )(2+=(C 为任意常数)是方程0sin 2cot =--x x x y dxdy的通解, 并求满足初始条件0|2==πx y 的特解.解 要验证一个函数是否是方程的通解，只要将函数代入方程，看是否恒等，再看函数式中所含的独立的任意常数的个数是否与方程的阶数相同.将x C x y sin )(2+=求一阶导数,得dxdy,cos )(sin 22x C x x x ++= 把y 和dxdy代入方程左边得 x x x y dxdysin 2cot --x x x x C x x C x x x sin 2cot sin )(cos )(sin 222-+-++=.0≡ 因方程两边恒等,且y 中含有一个任意常数,故x C x y sin )(2+=是题设方程的通解. 将初始条件02==πx y 代入通解x C x y sin )(2+=中，得C +=402π .42π-=C 从而所求特解为 .s i n422x x y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=π 4．写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程.(1) 一曲线通过原点，并且它在(,)x y 处的切线斜率等于2x y +; (2) 一曲线通过点(2,3)，它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分.解：由题意，2y x y '=+，00x y==解：设该曲线的方程为()y f x =，(,)x y 为其上任意一点，该点处的切线斜率为y '，过该点的切线方程为()Y y y X x '-=-。
高等数学科学出版社下册课后答案第十二章 微分方程 习题简答
习题 12.11. (1) 是一阶线性微分方程; (2) 是一阶非线性微分方程; (3) 是二阶非线性微分方程; (4)是二阶非线性微分方程.2. (1) 是; (2)是; (3)不是; (4)不是二阶非线性微分方程.3. 验证略,所求特解为 .s i n422x x y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=π 4．(1) 2y x y '=+，00x y==(2)xy y '-=以及初值条件23x y ==。
习 题 12-21．( 1) C x y =+-1010； (2)； C x y +=a r c s i n a r c s i n (3) C e e y x =-+)1)(1(； (4) C x y +-=sin 1C x a a y+--=)1ln(1；2.(1) 2)(arctan 21x y =； (2)0)cos 2(cos =-y x ； (3) )4(412--=x y ； (4) y e xcos 221=+；(5) 0322=+-y y x ； (6) )2(ln 222+=x x y ； 3. (物体冷却的数学模型))20(--=T k dtdT. 4. ).310107(265.45335h h gt +-⨯=π5. 6分钟后，车间内2CO 的百分比降低到%.056.0习题12-31． (1) x C x y sin e )(-+=；(2) x x C y 2cos 2cos -=；(3) 1sin esin -+=-t C s t； (4) 2e 2x C y -+=； (5) )2()2(3-+-=x C x y ;（6）)||(ln 12C y yx +=2． (1) 412e e 22++-=x y xx； (2) 11332e 2--=x x x y ； (3) x x y sec =； (4) )cos 1(1x xy --π=； (5) 1e5sin cos =+xx y ； （6）.ln 1ln 21⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x y 3.⎰-=dx dx d e y ϕ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎰⎰C dx e dxd x dx dx d ϕϕϕ)(⎰+=-])([)()(C d e x e x x ϕϕϕϕ.1)()(x Ce x ϕϕ-+-= 4. ,62320⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=T t t m F x .0T t ≤≤5 ..224⎪⎭⎫⎝⎛+=C x x y 6. yx ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2)(l n 2x a C .1= 习题12-41. (1) Cxy x =-331; (2) x sin y +y cos x =C ; (3) xe y -y 2=C ;(4) .132C yx y =+- (5)不是全微分方程;(6) 不是全微分方程.2. (1) y x +1, x -y =ln(x +y )+C ; (2) 21y , C x y x =+22.(3) 21y , Cxy y x =--3122; (4) 221y x +为, x 2+y 2=Ce 2x ; (5) 21x , x ln x +y 2=Cx ; (6) 2y x , 032=-x y x .3. (1)2212yx e Cy x =; (2) C y y x y x =++||ln 3113322.4. (1)21ln 2x C x y +-=; (2) x C x x y cos 1tan ++=. 习 题12-51、（1）21c x c e y x ++=（2）21212x y x x c e c =--++（3）12ln y C x C =+ （4）12arcsin()xy c e c =+（5）.3231C x x C y +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=（6）221121()c y c x c -=+ 2、(1).4521cos 412-++=x x e y x (2) .133++=x x y （3）x y 11+= （4）11y x=-(5) ).4tan(π+=x y3、 .212+=x y 4、2)1()(-=x x f5 、.2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==-a xa x e e a a x ach y 这曲线叫做悬链线.习题12-61. (1) 线性相关(2) 线性无关(3) 线性无关(4) 线性无关2. 略.3. (1) y x x x x e C e C e xe -+++=2202x x x e C e C xe -++=221，其中.101C C += (2) ;22x x xe e y y y -=-'-''(3) .342x x x xe e e y ++=- 4. .33221x C x C y ++=习题12-71.(1) y ＝C 1e -x＋C 2e-2x；(2)＝C 1e 0x ＋C 2e-2/3x＝C 1＋C 2e-2/3x ；(3) y ＝C 1cos2x ＋C 2sin2x ．（4）x ＝(C 1＋C 2t) e 5t/2；(5) .321x x e C e C y +=-(6）.)(221x e x C C y -+=(7）).2sin 2cos (21x C x C e y x +=-(8))3sin 3cos (212x C x C e y x +=．(9) y ＝C 1cosx ＋C 2sinx ＋C 3e x ＋C 4e -x；（10）).2sin 2cos (4321x C x C e x C C y x +++=（11）w ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=x C x C ex 2sin 2cos 212βββ.2sin 2cos 432⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-x C x C ex βββ(12) .sin )(cos )(54321x x C C x x C C C y ++++= (13) x x xxe C e C e C eC y --+++=432221.sin cos 65x C x C ++(14) y ＝C 1＋C 2x ＋(C 3＋C 4x)e x. 2. ϕ(x)＝1/2(cosx ＋sinx ＋e x)．3. ,04852)4(=+'-''+'''-y y y y y .2sin 2cos )(4321x C x C e x C C y x +++=4.略.习题12-81. (1) ;30*x e b y =(2) ;)(210*x e b x b x y -+=(3) .)(21202*x e b x b x b x y -++=(4) *(c o s 2s i n 2).xy x e a xb x =+2.（1）.31*+-=x y （2）*y **21y y +=.3)221(22++-=x e x x x 3. (1) .)121(2221x x x e x x e C e C y -++=(2) y .21s i n c o s 21x e x x C x C +++=(3) y *y Y +=.81)(2321x x e e x C x C C +++=-(4) .cos 2sin cos 21x x x C x C y -+=（5）.2sin 942cos 31sin cos 21x x x x C x C y +-+=4． y ＝－1/16 sin2x ＋1/8 x(1＋sin2x) 5..32cos cos 3sin )(++-=x x x x y 6. .221x x x xe e C e C y ++=7.y .1)(ln ln 321xx x C C -++=8. y .2123321x x C x C C -++= 9. .)1(41)1()1ln(2141x x x y +++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=本章复习题A1.（1）二;（2）;（3）ln(ln )xy x x e=+;（4）''2'50y y y -+=；（5）2()x Ax B x e -+. 2. （1） A （2） (A)（3）（C ）（4） (B )（5）（C ） 3. （1）);(12x x e Ce xy +=（2）3221Cy y x += （3）C x xy +=2；（4）x Ce x y tan 1tan -+-=（5）13423++=x Cx y （6）22)1(1-=-x C y （7）31)1(tan x e C y -=- （8）221ln xCx y +-=（9）C x e x x +=+2)1(；（10）C xy x =-4. （1）322142224181C x C x C x e y x +++-=； （2）2212C x C e xe y x x ++-= （3）21|)cos(|ln C C x y ++-= （4）)sin cos (e 212x C x C y x+=x x x2cos e 412-5. （1）)1(ln 222+=x x y （2）)2sin 22(cos x x e y x +=- （3）x x x y 2sin 31sin 31cos +--= （4）2135672--+=-x e e y x x ． 6. 2231()()4f x x x=- 7. 可知当敌舰行245个单位距离时，将被鱼雷击中。
第十二章 微分方程习题课 (一)(二)
(3) y′ =
3x + y − 6x + 3 2x y − 2 y
2 2
d y 3( x − 1)2 + y2 = 化方程为 dx 2y( x − 1)
dy dy dt dy = = 令t=x–1,则 dx d t dx d t dy 3t 2 + y2 (齐次方程 齐次方程) 齐次方程 = dt 2t y 令y=ut
y 方法 1 这是一个齐次方程 . 令 u = x 方法 2 化为微分形式
( 6x3 + 3x y2 )dx + ( 3x2 y + 2y3 )dy = 0
∂P ∂Q ∵ = 6x y = ∂y ∂x
故这是一个全微分方程 故这是一个全微分方程 .
5
求下列方程的通解: 例2. 求下列方程的通解 (1) x y′ + y = y( ln x + ln y )
22
为通解的微分方程 .
提示: 提示 由通解式可知特征方程的根为
(7) y′′ + 2 y′ + 5y = sin2x
特征根: 特征根 齐次方程通解 通解: 齐次方程通解 Y = e−x (C1 cos 2x + C2 sin 2x ) 令非齐次方程特解为 令非齐次方程特解为 特解 代入方程可得 A题1，2，3(1), (2), (3), (4), (5), (9), (10) ， ，
(题3只考虑方法及步骤 题 只考虑方法及步骤 只考虑方法及步骤)
P326 题2 求以 为通解的微分方程. 为通解的微分方程 ( x + C )2 + y2 = 1 消去 C 得 提示: 提示 2( x + C )+ 2 y y′ = 0 P327 题3 求下列微分方程的通解 求下列微分方程的通解: 提示: 提示 令 u = x y , 化成可分离变量方程 : 提示: 提示 这是一阶线性方程 , 其中
【2019年整理】复习第12讲微分方程(统考汇集)(1990～1998)
第十二章微分方程 一、解一阶微分方程要点：可分离变量方程，齐次方程，一阶线性方程，全微分方程；标准形式, 相应解法。
例题(华工1990)求定解问题tgx 曳_2ecosxIL dx cosx .解法 1：业.竺y=2e cosx , e —*)dX =e —Edx sin xQ(x)e ("'dx = 2sinxe cosxdx = -2ecosx1 c。
0y=^[C —2e];s i nx代入初始条件：-1=(C-2)得 C=1 ；故 y=^(1-2e co>s).s i rx角牟法 2: sin x-d ^ cosx y =2sin xecosx ,dx即 -^ (y sin x) =2sinxe cosx，积分得：ysin x = C - 2e cosx ,dx代入初始条件：-1=C-2 即 C=1, 故 y=^(i_2e cox;).s i rx例题(华工1991)求微分方程sec 2 x ，y' + 2sec 2x ，y =sin2x 满足初始条件 y|x 出=2的特解。
2 2 1解法 1: (ysec 2 x) =sin2x,积分得 ysec 2x = —— cos2x + c ;2当 x=0时，y=2代入得 2=_l+cn c=§; 2 2•'•特解为 ysec 2x = -2cos2x 。
2 2y = 0,y|肝=-1的解。
x =一sin xC;解法2： y 2tgx y =2sinxcos3xy = e 一，网妙(c + f2sin x cos3xe)sin xdx 3 2cosx(c 2 sin xcos xe sin xdx cosx dx)2=cos x(c，12 sin xcosxdx)2 / . 2 、=cos x(c sin x)当x = 0 , y = 2代入：2=c+0=> c = 2. •特解y = cos2x(2 cos2x)解法3:先解得方程曳+2tgx 7=0的通解y = ccos2x。
第12章 微分方程 习题 12- (3)
1 = − sin x + Ce x . y (2)
方程化为
y
−
1 2
y′ −
4 2 y = x, x
6
1
令z=
1 y2
, 方程化为 z′ − 2 x z= , 2 x
求解此线性方程, 得
z=e ∫ x dx
2
x − ∫ dx 1 [ ∫ e x dx + C ] = x 2 ( ln x + C ) , 2 2
解此方程, 得
1 − ln 1 − 2u 3 = ln x + C , 2
3
x3 − 2 y 3 = Cx . (8)
方程化为
dy y y = + tan , x dx x
令
du y = u, y ′ = u + x , 方程化为 x dx u+x du = u + tan u , dx dx , x
解此方程, 得
− ln 1 − u 2 + ln C = ln x , y 2 = x( x − C ) . (5)
方程化为
2
dy 1 y y = [2 − ( ) 2 ] , x dx 2 x
令
du y = u, y ′ = u + x , 方程化为 x dx u+x du u = (2 − u 2 ) , dx 2 2du dx , − 3 = x u
(4)
(1) 方程化为
( xy )′ = y ln xy ,
令 u = xy , 方程化为
u ln u , x du dx = , u ln u x u′ =
求解此微分方程, 得
ln ln u = ln x + ln C , xy = eCx . (2)
微分方程试题
第十二章 微分方程考试内容 常微分方程的概念 微分方程的解、通解、初始条件和特解 变量可分离的方程 齐次方程 一阶线性方程 伯努利（Bernoulli ）方程 全微分方程 可用简单的变量代换求解的某些微分方程 可降阶的高阶微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程 高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 欧拉（Euler ）方程 包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组 微分方程的幂级数解法 微分方程（或方程组）的简单应用问题。
练习题与答案[练习题] 1、填空题（1）微分方程x 2dy+(3xy-y)dx=0的通解为 。
（2）微分方程（x 2-1）dy+(2xy-cosx)dx=0,y|x=0=1的特解为 。
（3）一曲线过点（e,1），且在此曲线上任一点M(x,y)的法线斜率为xy x x x ln ln +-，则此曲线方程为 。
（4）通解为y=C 1e x +C 2e -2x 的微分方程是 。
2、选择题（1）满足方程⎰=1)()1)(()(）为（的可导函数的自然数为大于x f n x nf dt tx f 。
nx C D nx C C C C B n nCxA cos sin )()(1）（）（为常数）（-（2）微分方程)(sin 3)4(=+=-n x y x e y y 的特解可设为。
)sin cos ()(sin cos )(sin cos )(sin )(x C x B Ae x D xC x B Axe C xC x B Ae B xB Ae A xxx x +++++++（3）已知的解，则为的解，为xx e y y e y x y y x y =+==+=''21''21微分方程x e x y y +=+''的通解为y ＝（ ）。
（A ）x e x 21+（B ）x e x C x C x +++21sin cos 21 （C ）x x C x C ++sin cos 21 （D ）x C x C sin cos 21+（4）已知x y xy 4'''=+的一个特解为x 2，又对应的齐次方程0'''=+y xy 有一个特解lnx ，则原方程的通解y=( )。
常微分方程习题及答案
第十二章常微分方程(A)一、就是非题1.任意微分方程都有通解。
()2.微分方程的通解中包含了它所有的解。
()3.函数y=3sin x-4cos x就是微分方程y''+y=0的解。
()4.函数y=x2⋅e x就是微分方程y''-2y'+y=0的解。
()5.微分方程xy'-ln x=0的通解就是y=12(ln x)2+C(C为任意常数)。
(6.y'=sin y就是一阶线性微分方程。
()7.y'=x3y3+xy不就是一阶线性微分方程。
()8.y''-2y'+5y=0的特征方程为r2-2r+5=0。
()9.dydx=1+x+y2+xy2就是可分离变量的微分方程。
()二、填空题1.在横线上填上方程的名称①(y-3)⋅ln xdx-xdy=0就是。
②(xy2+x)dx+(y-x2y)dy=0就是。
③x dydx=y⋅lnyx就是。
④xy'=y+x2sin x就是。
⑤y''+y'-2y=0就是。
2.y'''+sin xy'-x=cos x的通解中应含个独立常数。
3.y''=e-2x的通解就是。
4.y''=sin2x-cos x的通解就是。
5.xy'''+2x2y'2+x3y=x4+1就是阶微分方程。
6.微分方程y⋅y''-(y')6=0就是阶微分方程。
7.y=1x所满足的微分方程就是。
)8.y '=9.2y的通解为。
x dx dy +=0的通解为。
y x5dy 2y 10.-=(x +1)2,其对应的齐次方程的通解为。
dx x +111.方程xy '-(1+x 2)y =0的通解为。
12.3阶微分方程y '''=x 3的通解为。
三、选择题1.微分方程xyy ''+x (y ')-y 4y '=0的阶数就是( )。
常微分方程习题与答案
第十二章常微分方程(A)、是非题1.任意微分方程都有通解。
（）2 •微分方程的通解中包含了它所有的解。
（）3. 函数y =3si nx-4cosx是微分方程y，y=0的解。
（）4. 函数y = x2・e x是微分方程y'；"-2y ' y = 0的解。
（）5. 微分方程xy"T nx=0的通解是y =丄（1 nx）2+C （C为任意常数）。
（）26. y"=siny是一阶线性微分方程。
（）7. / = x3y3 xy不是一阶线性微分方程。
（）8 . /-2/ 5^0的特征方程为『-2—5=0。
（）9. dy = 1 x y2 xy2是可分离变量的微分方程。
（）dx、填空题1 .在横线上填上方程的名称①y _ 3 ln xdx _ xdy 二0 是__________________________ 。
②xy2 x dx y _ x2 y dy = 0 是__________________________ 。
③x-d^ = y l n 丫是。
dx x④xy ：= y x2 sin x 是__________________ 。
⑤y y -2y =0是________________________ 。
2 . y si nxy"-x=cosx的通解中应含____________ 个独立常数。
3. _____________________________________ y “ = e Qx的通解是。
4. ______________________________________ y = sin 2x - cos x 的通解是。
5. _______________________________ x^ 2x2y 2，x3y=x4，1是阶微分方程。
6•微分方程y y - y Q =0是________________ 阶微分方程。
i7. y-丄所满足的微分方程是。
微分方程解3
微分方程解3第十二章微分方程（客观题）题解四、解答下列各题：1．谋微分方程y'=xy的吉龙德.x2dy+c1解：分离变量，得=xdx，积分，得所求的通解为lny=2y 即y=ce.2.求微分方程xdy-3ydx=0满足初始条件y(1)=1的特解.x22求解：拆分变量，得dy3dx，两边分数，得所求的吉龙德为lny=3lnx+lnc=yx 即y=cx3当x=1,y=1代入，得c=1，所以直和为y=x33．求方程x(y2-1)dx+y(x2-1)dy=0的通解.求解：拆分变量，得.xydx+dy=0，22x-1y-1积分，得所求的通解为ln(x2-1)+ln(y2-1)=lnc即为(x2-1)(y2-1)=c4．求方程dyy+=1的通解.dxx-求解：y=e⎰xdx1[⎰e⎰xdx1dx+c]=e-lnx11x2(⎰edx+c)=(⎰xdx+c)=(+c)xx2lnx即x2-2xy=c5．求方程(x+1)2dy+2xy=4x2的通解.dxdy2x4x2+y=2解：原方程变形为dxx2+1x+1y=e-⎰x2+1dx2x4x2⎰x2+1dx4x2lnx(2+1)lnx(2+1)(⎰2edx+c)=e(⎰2edx+c)x+1x+12x=11432(4xdx+c)=(x+c)x2+1⎰x2+1314(x3+c).即y=2x+136．谋方程(ex+y-ex)dx+(ex+y+ey)dy=0的吉龙德.exey求解：拆分变量，得ex+1dx+ey-1dy=0，积分，得所求的通解为ln(ex+1)+ln(ey-1)=lnc即为(ex+1)(ey-1)=c7．求方程dydx+2xy=2xe-x2的吉龙德.解：先求解对应的齐次方程dydx+2xy=0拆分变量dy=-2xdx，两边分数，的吉龙德lny=-x2+lnc，即y=ce-x2再求非齐次方程的解，设y=c(x)e-x2为原方程的解，代入原方程，得c'(x)=2x，Champsaurc(x)=x2+c，则所求原方程的通解为y=(x2+c)e-x2.8．谋方程y'''=xex的吉龙德.解：y''=⎰xexdx=xex-ex+c'y'=⎰(xex-ex+c1')dx=xex-2ex+c1'x+c2,y=⎰(xex-2ex+c1'x+c2)dx=(x-3)ex+c1x2+c2x+c3.9．谋方程y''+2y'+3y=0的吉龙德.解：特征方程为r2+2r+3=0，其根r1,2=-1±2i是一对共轭复根，因此所求吉龙德为y=e-x(c1co2x+c2si2x).10．求方程y''+10y'+25y=0的通解.求解：特征方程为r2+10r+25=0，其根r1=r2=-5为成正比的两个实根，因此所求通解为y=(c5x1+c2x)e-.11．求方程y''-4y'+3y=0满足条件y(0)=6,y'(0)=10的特解.求解：特征方程为r2-4r+3=0，其根r1=1,r2=3为雷同的两个实根，因此所求吉龙德为2y=cx3x1e+c2e.当x=0,y=6,y'=10时，Champsaurc1=4,c2=2，即特解为y=4ex+2e3x.12．谋方程y''+25y=0满足条件y(0)=2,y'(0)=5的直和.解：特征方程为r+25=0，其根r1,2=±5i为一对共轭复根，因此所求通解为y=c1co5sx+c2sin5x.当x=0,y=2,y'=5时，解得c1=2,c2=1，即为直和为y=2cos5x+sin5x.13．一曲线通过点（2，3），他在两坐标轴间的任意切线线段均被切点所平分，求这曲线方程.解：设切点为p(x,y)，则切线在x轴、y轴的截距分别为2x、2y，22yy，即tanα=-，从而的该曲线应当满足用户的微分方程2xxdyy=-dxxtan(π-α)=于是dydx=-⎰y⎰x，lny=-lnx-lnc，即xy=c当x=2,y=3时，c=6，所求曲线方程为xy=6.14．求一曲线方程，这曲线经过原点，并且它在点(x,y)处的切线斜率等于2x+y.求解：由题意，得y'=2x+y,y(0)=0，于是dx-dxx-xx-xy=e⎰[2xe⎰dx+c]=e[2xedx+c]=e[-2xde+c]⎰⎰⎰=ex(-2xe-x-2e-x+c)当x=0,y=0时，c=2，所求曲线方程为y=2(e-x-1).15．求微分方程y''+y=x+1的一个特解.2求解：λ=0不是特征方程r+1=0的木，所以设立直和为x2y*=b0x2+b1x+b2*''""=2b0x+b1,y*=2b0，将y*,y*,y*代入原方程，得32b0+b0x+b1+b2≡x2+1于是得b0=1,b1=0,b2=-1，所求直和为y*=x2-1.16．求微分方程y''-3y'+2y=xe2x的通解.求解：特征方程为r-3r+2=0，其根r1=1,r2=2，对应的齐次方程的吉龙德就是y=c1ex+c2e2x因λ=2是特征方程单根，所以设特解为y*=x(b0x+b1)e2x2'y*=e2x[2b0x2+(2b0+2b1)x+b1]则"y*=e2x[4b0x2+(8b0+4b1)x+(2b0+4b1)]将y,y,y**'*"代入原方程，得2b0x+(2b0+b1)≡x于是得b0=11,b1=-1，则直和为y*=(x2-x)e2x22122x原方程的通解为y=c1ex+c2e2x+(x-x)e.217．谋微分方程y''+10y'+25y=2e-5x的吉龙德.解：特征方程为r+10r+25=0，其根r1=r2=-5，对应的齐次方程的通解是y=(c1+c2x)e-5x因λ=-5就是特征方程重根，所以设立直和为y*=bx2e-5x将y,y,y**2'*"*2-5x代入原方程，得b=1，则特解为y=xe2-5x原方程的吉龙德为y=(c1+c2x)e-5x+xe.18．求微分方程y''+3y'+2y=e-xcosx的一个特解.求解：先求方程y''+3y'+2y=e(-1+i)x（1）2**(-1+i)x的特解y，因λ=-1+i不是特征方程r+3r+2=0的根，所以设特解为y=be，则y*'"'"=b(-1+i)e(-1+i)x，y*=-2bie(-1+i)x，将y*,y*,y*代入原方程，得-2bi+3b(-1+i)+2b=1111=--i-1+i2211(-1+i)x1i*=(--)(coxs+isinx)e-x则特解为y=(--i)e22221111-x=e[(-cosx+sinx)+i(-cosx-sinx)]2222得b=由于原方程右端是方程（1）的实部，因此原方程的特解y*1是y*的实部，即y1=*1-xe(sinx-cosx).219．求微分方程y''+y'=x2的通解.求解：特征方程为r+r=0，Champsaurr1=0,r2=-1.，故齐次方程的吉龙德为y=c1+c2e-x因λ=0是特征方程的单根，可设y*=x(ax2+ba+c)211,b=-1,c=2，非齐次方程的直和为y*=x3-x2+2x33132所求方程的通解为y=c1+c2e-x+x-x+2x.3代入原方程，得a=20．设f(x)具备二阶已连续导数，f(0)=0,f'(0)=1，且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy=0.为一全微分方程，求f(x)及此全微分方程的通解.求解：这里p=xy(x+y)-f(x)y,q=f'(x)+x2y由∂p∂q知：x2+2xy-f(x)=f''(x)+2xy=∂y∂x即f''(x)+f(x)=x2解得f(x)=c1cosx+c2sinx+x2-2，由f(0)=0,f'(0)=1，求得c1=2,c2=1从而得f(x)=2cosx+sinx+x2-2[xy2-(2cosx+sinx)y]dx+(-2sinx+cosx+2x+x2y)dy=0其吉龙德为-2ysinx+ycosx+122xy+2xy=c.2x=ln2x21．设y=e是微分方程xy'+p(x)y=x的一个解，求此微分方程满足条件y=0的特解.求解：把直和y=e代入原方程，得p(x)=xe代入原方程，得xy'+(xex-xx-x-x.-x)y=x化成标准形式，y'+(e-1)y=1，此为一阶线性微分方程，其吉龙德为-(e-x-1)dx(e[⎰e⎰-x-1)dxdx+c]=ex+cex+exx+e-x-12-xx=ln2=0，得c=-e，故所求特解为y=e-e5-12.∂2z∂2z22．设立函数f(u)具备二阶已连续导数，而z=f(esiny)满足用户方程2+2=e2xz,谋f(u).∂x∂yx解：令u=exsiny，则z=f(u),u=exsiny由无机函数的谋偏导公式，得∂2z∂z∂zxx=f'(u)esiny,=f'(u)ecosy，2=f'(u)exsiny+f''(u)e2xsin2y∂x∂y∂x∂2zx2x2'''=-f(u)esiny+f(u)ecosy，代入原方程，得f''(u)-f(u)=02∂y由此解得f(u)=c1eu+c2e-u（其中c1,c2为任意常数）.23．未知y1=xex+e2x,y2=xex+e-x,y3=xex+e2x-e-x就是某二阶线性微分方程的三个求解，谋此微分方程.解：由题设，并根据二阶线性非齐次微分方程解的结构知，y1-y3=e-x就是齐次方程的求解，而y2-e-x=xex仍为非齐次方程的直和，进而得y1-xex=e2x为齐次方程的求解，即有e2x与e-x就是适当齐次方程的两个线性毫无关系的求解，且xe不为齐次方程的一个直和，故xy=xex+c1e2x+c2e-x是所求方程的通解，有y'=ex+xex+2c1e2x-c2e-x，y''=2ex+xex+4c1e2x+c2e-x消去c1,c2得所求方程为y''-y'-2y=ex-2xex.24．已知连续函数f(x)满足条件f(x)=⎰3x0tf()dt+e2x，谋f(x).3解：两端同时对x求导数，得一阶线性微分方程f'(x)=3f(x)+2e2x即f'(x)-3f(x)=2ef(x)=(q(x)e⎰2x⎰p(x)dx-p(x)dx=(⎰2e2x⋅e-3xdx+c)e3xdx+c)e⎰=(2⎰e-xdx+c)e3x=ce3x-2e2x3x2x由于f(0)=1，只须c=3，于是f(x)=3e-2e.。
高等数学第12章微分方程习题
(2) dy = 1 + y2 ; dx y + x2 y
(3) xdy + ydx = sin xdx ;
(4) ( y2 − 6x) dy + 2 y = 0 ; dx
(5) dx − xdy = x5 ydy ; 解 (1) 方程可化为
2
dy
=
( y )2 x
,
dx y −1
x
所以方程为一阶齐次方程.
将此解代入微分方程中, 得 A = − 1 , B = 0 . 该非齐次微分方程的通解为 2
(9) 特征方程为
y
=
C1
cos
x
+
C2
sin
x
−
x 2
cos
x
.
r2 + 2r + a = 0 ,
其根为 r1,2 = −1 ± 1 − a . 当 a < 1时, 方程的通解为
y = C1e(−1+ 1−a )x + C2e(−1− 1−a )x ; 当 a = 1时, 方程的通解为
求解此线性方程, 得
∫ y
=
e−∫
1 x ln
dx
x[
1
+
ln
x
e∫
1 x ln
dx
x dx
+
C]
=
x
+
C
.
ln x
ln x
(4) 方程化为
d( x2 ) + d( y2 ) + 1
2
2 1+ ( x )2
ydx − xdy y2
=0,
y
d( x2 ) + d( y2 ) + 1 d( x ) = 0 ,
高等数学课后习题及参考答案(第十二章)
高等数学课后习题及参考答案（第十二章）习题12-1 1试说出下列各微分方程的阶数(1)x (y ')2-2yy '+x =0 解 一阶 (2)x 2y '-xy '+y =0 解 一阶 (3)xy '''+2y '+x 2y =0解 三阶(4)(7x -6y )dx +(x +y )dy =0解 一阶(5)022=++C Qdt dQ RdtQ d L解 二阶(6)θρθρ2sin =+d d解 一阶 2 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解(1)xy '=2y y =5x 2解 y '=10x因为xy '=10x 2=2(5x 2)=2y 所以y =5x 2是所给微分方程的解(2)y '+y =0y =3sin x -4cos x解 y '=3cos x +4sin x因为y '+y =3cos x +4sin x +3sin x -4cos x =7sin x -cos x ≠0所以y =3sin x -4cos x 不是所给微分方程的解(3)y ''-2y '+y =0 y =x 2e x解 y '=2xe x +x 2e xy ''=2e x +2xe x +2xe x +x 2e x =2e x +4xe x +x 2e x因为y ''-2y '+y =2e x +4xe x +x 2e x -2(2xe x +x 2e x )+x 2e x =2e x ≠0所以y =x 2e x 不是所给微分方程的解(4)y ''-(1+2)y '+12y =0xx e C e C y 2121λλ+= 解 x x e C e C y 212211λλλλ+=' xx e C e C y 21222211λλλλ+=''因为y y y 2121)(λλλλ+'+-'')())((2121212121221121222211x x x x x x e C e C e C e C e C e C λλλλλλλλλλλλλλ++++-+= =0所以x x e C e C y 2121λλ+=是所给微分方程的解3 在下列各题中验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解(1)(x -2y )y '=2x -yx 2-xy +y 2=C解 将x 2-xy +y 2=C 的两边对x 求导得 2x -y -xy '+2y y '=0即 (x -2y )y '=2x -y所以由x 2-xy +y 2=C 所确定的函数是所给微分方程的解(2)(xy -x )y ''+xy '2+yy '-2y '=0 y =ln(xy )解 将y =ln(xy )的两边对x 求导得y y x y '+='11 即x xy yy -='再次求导得)(1)()()1()(2222y y y y y x x xy x xy y y y x x xy y x y y x xy y y '+'-'-⋅-=-+-'-=--'+--'=''注意到由y y x y '+='11可得1-'='y x y yx 所以)2(1])1([12y y y y x x xy y y y y y x x xy y '+'-'-⋅-='+'-'-'-⋅-=''从而 (xy -x )y ''+xy '2+yy '-2y '=0即由y =ln(xy )所确定的函数是所给微分方程的解4 在下列各题中确定函数关系式中所含的参数 使函数满足所给的初始条件 (1)x 2-y 2=Cy |x =0=5解 由y |x =0=0得02-52=C C =-25 故x 2-y 2=-25(2)y =(C 1+C 2x )e 2x y |x =0=0y '|x =0=1解 y '=C 2e 2x +2(C 1+C 2x )e 2x由y |x =0=0y '|x =0=1得⎩⎨⎧=+=1121C C C解之得C 1=0 C 2=1故y =xe 2x(3)y =C 1sin(x -C 2) y |x ==1 y '|x ==0解 y '=C 1cos(x -C 2) 由y |x ==1y '|x ==0得⎩⎨⎧=-=-0)cos(1)sin(2121C C C C ππ 即⎩⎨⎧=-=0cos 1sin 2121C C C C解之得C 1=1 22π=C 故)2sin(π-=x y 即y =-cos x5写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程(1)曲线在点(x y )处的切线的斜率等于该点横坐标的平方解 设曲线为y =y (x ) 则曲线上点(xy )处的切线斜率为y '由条件y '=x 2 这便是所求微分方程(2)曲线上点P (xy )处的法线与x 轴的交点为Q 且线段PQ 被y 轴平分解 设曲线为y =y (x ) 则曲线上点P (xy )处的法线斜率为y '-1 由条件第PQ 中点的横坐标为0 所以Q 点的坐标为(-x0) 从而有y x x y '-=+-10即yy '+2x =0 6用微分方程表示一物理命题某种气体的气压P 对于温度T 的变化率与气压成正比 所温度的平方成反比解 2T P k dT dP = 其中k 为比例系数习题12-21 求下列微分方程的通解 (1)xy '-y ln y =0 解 分离变量得dx xdy y y 1ln 1=两边积分得⎰⎰=dx xdy y y 1ln 1即 ln(ln y )=ln x +ln C , 故通解为y =e Cx .(2)3x 2+5x -5y '=0 解 分离变量得5dy =(3x 2+5x )dx 两边积分得⎰⎰+=dxx x dy )53(52即 123255C x x y ++=故通解为C x x y ++=232151 其中151C C =为任意常数(3)2211y y x -='-解 分离变量得2211x dx y dy-=-两边积分得⎰⎰-=-2211x dx y dy即 arcsin y =arcsin x +C故通解为y =sin(arcsin x +C ) (4)y '-xy '=a (y 2+y ')解 方程变形为(1-x -a )y '=ay 2分离变量得dx x a a dy y--=112两边积分得⎰⎰--=dx x a a dy y112即 1)1ln(1C x a a y----=-故通解为)1ln(1x a a C y --+= 其中C =aC 1为任意常数(5)sec 2x tan ydx +sec 2y tan xdy =0 解 分离变量得dx xx y y y tan sec tan sec 22-=两边积分得⎰⎰-=dx xx y y y tan sec tan sec 22 即 ln(tan y )=-ln(tan x )+ln C故通解为tan x tan y =C(6)y x dxdy+=10解 分离变量得10-y dy =10x dx 两边积分得⎰⎰=-dxdy x y 1010即 10ln 10ln 1010ln 10C x y +=-- 或 10-y =10x +C 故通解为y =-lg(C -10x )(7)(e x +y -e x )dx +(e x +y +e y )dy =0解 方程变形为e y (e x +1)dy =e x (1-e y )dx分离变量得dxe e dy e e xx y y +=-11两边积分得⎰⎰+=-dx e e dy e e xx y y 11 即 -ln(e y )=ln(e x +1)-ln C 故通解为(e x +1)(e y -1)=C(8)cos x sin ydx +sin x cos ydy =0 解 分离变量得dx xx dy y ysin cos sin cos -= 两边积分得⎰⎰-=dx xx dy y ysin cos sin cos 即 ln(sin y )=-ln(sin x )+ln C 故通解为sin x sin y =C(9)0)1(32=++x dxdyy解 分离变量得(y +1)2dy =-x 3dx 两边积分得⎰⎰-=+dxx dy y 32)1(即 14341)1(31C x y +-=+故通解为4(y +1)3+3x 4=C (C =12C 1) (10)ydx +(x 2-4x )dy =0 解 分离变量得dx xx dy y )411(4-+=两边积分得⎰⎰-+=dx xx dy y )411(4即 ln y 4=ln x -ln(4-x )+ln C 故通解为y 4(4-x )=Cx2 求下列微分方程满足所给初始条件的特解(1)y '=e 2x -y y |x =0=0 解 分离变量得 e y dy =e 2x dx 两边积分得⎰⎰=dxe dy e x y 2即 C e e x y +=221或 )21ln(2C e y x +=由y |x =0=0得0)21ln(=+C 21=C所以特解)2121ln(2+=x e y(2)cos x sin ydy =cos y sin xdx 4|0π==x y解 分离变量得 tan y dy =tan x dx 两边积分得⎰⎰=xdxydy tan tan即 -ln(cos y )=-ln(cos x )-ln C 或 cos y =C cos x 由4|0π==x y 得CC ==0cos 4cos π 21=C所以特解为x y cos cos 2=(3)y 'sin x =y ln yey x ==2π解 分离变量得dx xdy y y sin 1ln 1=两边积分得⎰⎰=dx x dy y y sin 1ln 1即 Cx y ln )2ln(tan )ln(ln +=或2tan x C e y =由e y x ==2π得4tan πC e e = C =1所以特解为2tan x e y =(4)cos ydx +(1+e -x )sin ydy =0 4|0π==x y解 分离变量得dx e e dy y y xx +=-1cos sin两边积分得⎰⎰+=-dx e e dy y y xx 1cos sin即 ln|cos y |=ln(e x +1)+ln |C |或 cos y =C (e x +1)由4|0π==x y 得)1(4cos 4+=ππe C 42=C 所以特解为)1(42cos +=x e y(5)xdy +2ydx =0 y |x =2=1 解 分离变量得 dx xdy y 21-=两边积分得⎰⎰-=dx xdy y 21即 ln y =-2ln x +ln C 或 y =Cx -2由y |x =2=1得C ⋅2-2=1 C =4 所以特解为24xy =3. 有一盛满了水的圆锥形漏漏斗, 高为10cm , 顶角为60︒, 漏斗下面有面积为0. 5cm 2的孔, 求水面高度变化的规律及流完所需的时间.解 设t 时该已流出的水的体积为V , 高度为x 则由水力学有 x dtdV )9802(5.062.0⨯⨯⨯=, 即dt x dV )9802(5.062.0⨯⨯⨯=. 又因为330tan x x r =︒=,故 dx x dx r V 223ππ-=-=,从而 dx x dt x 23)9802(5.062.0π-=⨯⨯⨯,即 dx x dt 2398025.062.03⨯⨯⨯=π,因此 C x t +⨯⨯⨯-=2598025.062.032π.又因为当t =0时, x =10, 所以251098025.062.053⨯⨯⨯⨯=πC ,故水从小孔流出的规律为645.90305.0)10(98025.062.0532252525+-=-⨯⨯⨯⨯=x x t π.令x =0, 得水流完所需时间约为10s .4. 质量为1g (克)的质点受外力作用作直线运动, 这外力和时间成正比, 和质点运动的速度成反比. 在t =10s 时, 速度等于50cm/s , 外力为4g cm/s 2, 问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少？解 已知v t k F =, 并且法t =10s 时, v =50cm/s , F =4g cm/s 2, 故50104k =, 从而k =20, 因此vt F 20=.又由牛顿定律, F =ma , 即vt dt dv 201=⋅, 故v dv =20t d t . 这就是速度与时间应满足的微分方程. 解之得C t v +=221021, 即C t v 2202+=.由初始条件有C +⨯=⨯2210105021, C =250. 因此500202+=t v .当t =60s 时, cm/s 3.26950060202=+⨯=v .5. 镭的衰变有如下的规律: 镭的衰变速度与它的现存量R 成正比. 由经验材料得知, 镭经过1600年后, 只余原始量R 0的一半. 试求镭的量R 与时间t 的函数关系.解 由题设知,R dt dR λ-=, 即dt RdR λ-=,两边积分得ln R =-λt +C 1, 从而 )( 1C t e C Ce R ==-λ.因为当t =0时, R =R 0, 故R 0=Ce 0=C , 即R =R 0e -λt .又由于当t =1600时, 021R R =, 故λ16000021-=e R R , 从而16002ln =λ.因此t te R e R R 000433.0010002ln 0--==.6. 一曲线通过点(2, 3), 它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分, 求这曲线方程.解 设切点为P (x , y ), 则切线在x 轴, y 轴的截距分别为2x , 2y , 切线斜率为x yx y -=--2002,故曲线满足微分方程:xy dx dy -=, 即dx x dy y 11-=,从而 ln y +ln x =ln C , xy =C .因为曲线经过点(2, 3), 所以C =2⨯3=6, 曲线方程为xy =6.7. 小船从河边点O 处出发驶向对岸(两岸为平行直线). 设船速为a , 船行方向始终与河岸垂直, 又设河宽为h , 河中任一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比(比例系数为k ). 求小船的航行路线.解 建立坐标系如图. 设t 时刻船的位置为(x , y ), 此时水速为)(y h ky dtdx v -==, 故dx =ky (h -y )dt . 又由已知, y =at , 代入上式得 dx =kat (h -at )dt , 积分得C t ka kaht x +-=3223121.由初始条件x |t =0=0, 得C =0, 故3223121t ka kaht x -=.因此船运动路线的函数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=-=ayy t ka kaht x 3223121, 从而一般方程为)312(32y y h a k x -=.习题12-31 求下列齐次方程的通解 (1)022=---'x y y y x解 原方程变为1)(2--=xy x y dx dy令xyu =则原方程化为12-+=+u u dxdu x u 即dxx du u 1112=-两边积分得C x u u ln ln )1ln(2+=-+ 即Cx u u =-+12将xyu =代入上式得原方程的通解 Cx xyx y =-+1)(2 即222Cx x y y =-+(2)xy y dx dy xln =解 原方程变为xyx y dx dy ln =令xy u =则原方程化为u u dxdu x u ln =+ 即dx x du u u 1)1(ln 1=-两边积分得ln(ln u -1)=ln x +ln C 即u =e Cx +1将xyu =代入上式得原方程的通解y =xe Cx +1(3)(x 2+y 2)dx -xydy =0 解 这是齐次方程令xy u =即y =xu 则原方程化为(x 2+x 2u 2)dx -x 2u (udx +xdu )=0即dxxudu 1=两边积分得u 2=ln x 2+C将xyu =代入上式得原方程的通解y 2=x 2(ln x 2+C )(4)(x 3+y 3)dx -3xy 2dy =0解 这是齐次方程 令x yu = 即y =xu则原方程化为(x 3+x 3u 3)dx -3x 3u 2(udx +xdu )=0即dx x du u u 121332=-两边积分得C x u ln ln )21ln(213+=-- 即2312x Cu -= 将xyu =代入上式得原方程的通解x 3-2y 3=Cx(5)0ch 3)ch 3sh 2(=-+dy xyx dx x y y x y x解 原方程变为xyx y dx dy +=th 32令xyu = 则原方程化为u u dx du x u +=+th 32 即dx xdu u u 2sh ch 3=两边积分得3ln(sh u )=2ln x +ln C 即sh 3u =Cx 2将xyu =代入上式得原方程的通解22sh Cx xy=(6)0)1(2)21(=-++dy yx e dx e y xy x解 原方程变为yx y xe e yx dydx 21)1(2+-=令yx u = 则原方程化为uu e e u dy du y u 21)1(2+-=+ 即uue e u dy du y 212++-=分离变量得dyy du eu e u u1221-=++两边积分得ln(u +2e u )=-ln y +ln C 即y (u +2e u )=C将y x u =代入上式得原方程的通解Ce yx y y x=+)2(即C ye x yx=+22 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解 (1)(y 2-3x 2)dy +2xydx =0 y |x =0=1解 这是齐次方程 令xyu =, 即y =xu 则原方程化为(x 2u 2-3x 2)(udx +xdu )+2x 2udx =0即 dx x du u u u 1332=-- 或dx xdu u u u 1)11113(=-+++-两边积分得-3ln |u |+ln|u +1|+ln|u -1|=ln|x |+ln|C | 即u 2-1=Cxu 3将xyu =代入上式得原方程的通解y 2-x 2=Cy 3由y |x =0=1得C =1 故所求特解为y 2-x 2=y 3(2)xyy x y +=' y |x =1=2解 令xyu =, 则原方程化为 u u dx du x u +=+1 即dx xudu 1=两边积分得C x u +=ln 212将xyu =代入上式得原方程的通解y 2=2x 2(ln x +C )由y |x =1=2得C =2 故所求特解为y 2=2x 2(ln x +2)(3)(x 2+2xy -y 2)dx +(y 2+2xy -x 2)dy =0 y |x =1=1解 这是齐次方程 令xyu =, 即y =xu 则原方程化为(x 2+2x 2u -x 2u 2)dx +(x 2u 2+2x 2u -x 2)(udx +xdu )=0即 dxx du u u u u u 1112232-=+++-+或 dx xdu u u u 1)1211(2=+-+ 两边积分得ln|u +1|-ln(u 2+1)=ln|x |+ln|C | 即u +1=Cx (u 2+1)将xyu =代入上式得原方程的通解x +y =C (x 2+y 2)由y |x =1=1得C =1 故所求特解为x +y =(x 2+y 2)3设有连结点O (00)和A (11)的一段向上凸的曲线弧A O对于A O上任一点P (xy ) 曲线弧P O与直线段OP 所围图形的面积为x 2 求曲线弧A O的方程解 设曲线弧A O的方程为y =y (x ) 由题意得20)(21)(x x xy dx x y x=-⎰两边求导得x x y x x y x y 2)(21)(21)(='--即 4-='x yy令xy u = 则有4-=+u dx du x u 即dx xdu u 41-=两边积分得u =-4ln x +C将xyu =代入上式得方程的通解y =-4x ln x +Cx 由于A (1 1)在曲线上 即y (1)=1 因而C =1 从则所求方程为y =-4x ln x +x习题12-41. 求下列微分方程的通解:(1)x e y dxdy-=+;解 )()()(C x e C dx e e e C dx e e e y x x x x dxx dx +=+⋅=+⎰⋅⎰=-----⎰⎰.(2)xy '+y =x 2+3x +2;解 原方程变为x x y x y 231++=+'.])23([11C dx e xx e y dx x dxx +⎰⋅++⎰=⎰- ])23([1])23([12C dx x x xC xdx x x x +++=+++=⎰⎰xC x x C x x x x +++=+++=22331)22331(1223.(3)y '+y cos x =e -sin x ;解 )(cos sin cos C dx e e e y xdxx dx +⎰⋅⎰=⎰--)()(sin sin sin sin C x e C dx e e e x x x x +=+⋅=---⎰.(4)y '+y tan x =sin 2x ;解 )2sin (tan tan C dx e x e y xdx xdx +⎰⋅⎰=⎰- )2sin (cos ln cos ln C dx e x e x x +⋅=⎰- ⎰+⋅=)cos 1cos sin 2(cos C dx xx x x=cos x (-2cos x +C )=C cos x -2cos 2x . (5)(x 2-1)y '+2xy -cos x =0;解 原方程变形为1cos 1222-=-+'x x y x x y .)1cos (1221222C dx e x x e y dx x xdx x x +⎰⋅-⎰=⎰--- )(sin 11])1(1cos[112222C x x C dx x x x x +-=+-⋅--=⎰. (6)23=+ρθρd d ;解 )2(33C d e e d d +⎰⋅⎰=⎰-θρθθ)2(33C d e e +=⎰-θθθ θθθ33332)32(--+=+=Ce C e e .(7)x xy dxdy42=+;解 )4(22C dx e x e y xdxxdx +⎰⋅⎰=⎰-)4(22C dx e x e x x +⋅=⎰- 2222)2(x x x Ce C e e --+=+=. (8)y ln ydx +(x -ln y )dy =0;解 原方程变形为y x y y dy dx 1ln 1=+.)1(ln 1ln 1C dy e ye x dy y y dyy y +⎰⋅⎰=⎰-)ln 1(ln 1C ydy yy +⋅=⎰yC y C y y ln ln 21)ln 21(ln 12+=+=.(9)3)2(2)2(-+=-x y dxdyx ; 解 原方程变形为2)2(221-=--x y x dx dy.])2(2[21221C dx e x e y dxx dx x +⎰⋅-⎰=⎰---⎰+-⋅--=]21)2(2)[2(2C dx x x x=(x -2)[(x -2)2+C ]=(x -2)3+C (x -2).(10)02)6(2=+-y dxdyx y .解 原方程变形为y x y dy dx 213-=-.])21([33C dy e y e x dy y dy y +⎰⋅-⎰=⎰- )121(33C dy yy y +⋅-=⎰32321)21(Cy y C y y +=+=.2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解:(1)x x y dx dysec tan =-, y |x =0=0;解 )sec (tan tan C dx e x e y xdxxdx+⎰⋅⎰=⎰-)(cos 1)cos sec (cos 1C x xC xdx x x +=+⋅=⎰. 由y |x =0=0, 得C =0, 故所求特解为y =x sec x .(2)x x x ydx dy sin =+, y |x =π=1;解)sin (11C dx e xx e y dx x dx x +⎰⋅⎰=⎰-)cos (1)sin (1C x xC xdx x x x +-=+⋅=⎰.由y |x =π=1, 得C =π-1, 故所求特解为)cos 1(1x x y --=π.(3)x e x y dx dycos 5cot =+, 4|2-==πx y ; 解 )5(cot cos cot C dx e e e y xdx x xdx +⎰⋅⎰=⎰-)5(sin 1)sin 5(sin 1cos cos C e xC xdx e x x x +-=+⋅=⎰. 由4|2-==πx y , 得C =1, 故所求特解为)15(sin 1cos +-=x e x y .(4)83=+y dxdy, y |x =0=2; 解 )8(33C dx e e y dxdx +⎰⋅⎰=⎰-x x x x x Ce C e e C dx e e 3333338)38()8(---+=+=+=⎰.由y |x =0=2, 得32-=C , 故所求特解为)4(323x e y --=.(5)13232=-+y x x dx dy , y |x =1=0. 解)1(32323232C dx e e y dxx x dx x x +⎰⋅⎰=⎰---)21()1(22221131313C e e x C dx e x e x x x x x +=+=--⎰. 由y |x =1=0, 得eC 21-=, 故所求特解为)1(211132--=x e x y .3. 求一曲线的方程, 这曲线通过原点, 并且它在点(x , y )处的切线斜率等于2x +y .解 由题意知y '=2x +y , 并且y |x =0=0. 由通解公式得)2()2(C dx xe e C dx xe e y x x dxdx +=+⎰⎰=⎰⎰--=e x (-2xe -x -2e -x +C )=Ce x -2x -2.由y |x =0=0, 得C =2, 故所求曲线的方程为y =2(e x -x -1).4. 设有一质量为m 的质点作直线运动, 从速度等于零的时刻起, 有一个与运动方向一至、大小与时间成正比(比例系数为k 1)的力作用于它, 此外还受一与速度成正比(比例系数为k 2)的阻力作用. 求质点运动的速度与时间的函数关系.解 由牛顿定律F =ma , 得v k t k dtdv m 21-=, 即t m kv m k dt dv 12=+.由通解公式得 )()(222211C dt e t m k e C dt e t m k ev t m kt m k dt mk dt m k +⋅=+⎰⋅⎰=⎰⎰--)(22222121C e k m k te k k et m kt mk tmk +-=-. 由题意, 当t =0时v =0, 于是得221k mk C =. 因此 )(22122121222k m k e k m k te k k ev t m k t m k t m k +-=-即 )1(222121t m ke k mk t k k v ---=.5. 设有一个由电阻R =10Ω、电感L =2h(亨)和电源电压E =20sin5t V (伏)串联组成的电路. 开关K 合上后, 电路中有电源通过. 求电流i 与时间t 的函数关系. 解 由回路电压定律知01025sin 20=--i dt di t , 即t i dtdi 5sin 105=+.由通解公式得t dtdt Ce t t C dt e t e i 5555cos 5sin )5sin 10(--+-=+⎰⋅⎰=⎰.因为当t =0时i =0, 所以C =1. 因此)45sin(25cos 5sin 55π-+=+-=--t e e t t i t t (A).6. 设曲dy x x xf dx x yf L])(2[)(2-+⎰在右半平面(x >0)内与路径无关, 其中f (x )可导, 且f (1)=1, 求f (x ).解 因为当x >0时, 所给积分与路径无关, 所以 ])(2[)]([2x x xf xx yf y -∂∂=∂∂,即 f (x )=2f (x )+2xf '(x )-2x , 或 1)(21)(=+'x f x x f .因此xC x C dx x x C dx e e x f dx x dxx +=+=+⎰⋅⎰=⎰⎰-32)(1)1()(2121. 由f (1)=1可得31=C , 故x x x f 3132)(+=.7. 求下列伯努利方程的通解:(1))sin (cos 2x x y y dxdy-=+;解 原方程可变形为x x ydx dy y sin cos 112-=+, 即x x y dx y d cos sin )(11-=---. ])cos sin ([1C dx e x x e y dxdx +⎰⋅-⎰=--⎰x Ce C dx e x x e x x x sin ])sin (cos [-=+-=⎰-, 原方程的通解为x Ce yx sin 1-=.(2)23xy xy dxdy=-; 解 原方程可变形为 x y x dxdy y =-1312, 即x xy dx y d -=+--113)(. ])([331C dx e x e y xdxxdx +⎰⋅-⎰=⎰--)(222323C dx xe e x x +-=⎰-31)31(222232323-=+-=--x x x Ce C e e , 原方程的通解为311223-=-x Ce y . (3)4)21(3131y x y dx dy -=+; 解 原方程可变形为 )21(31131134x y dx dy y -=+, 即12)(33-=---x y dx y d . ])12([3C dx e x e y dxdx +⎰⋅-⎰=--⎰x x x Ce x C dx e x e +--=+-=⎰-12])12([, 原方程的通解为1213--=x Ce yx .(4)5xy y dxdy=-; 解 原方程可变形为 x ydx dy y =-4511, 即x y dx y d 44)(44-=+--. ])4([444C dx e x e y dxdx +⎰⋅-⎰=⎰--)4(44C dx xe e x +-=⎰- x Ce x 441-++-=,原方程的通解为x Ce x y 44411-++-=.(5)xdy -[y +xy 3(1+ln x )]dx =0. 解 原方程可变形为)ln 1(11123x y x dx dy y +=⋅-⋅, 即)ln 1(22)(22x y x dx y d +-=+--.])ln 1(2[222C dx e x e ydx x dx x +⎰⋅+-⎰=⎰-- ])ln 1(2[122C dx x x x++-=⎰ x x x x C 94ln 322--=, 原方程的通解为x x x x C y 94ln 32122--=. 8. 验证形如yf (xy )dx +xg (xy )dy =0的微分方程, 可经变量代换v =xy 化为可分离变量的方程, 并求其通解. 解 原方程可变形为)()(xy xg xy yf dx dy -=. 在代换v =xy 下原方程化为)()(22v g x v vf x v dx dv x -=-, 即dx xdu v f v g v v g 1)]()([)(=-, 积分得 C x du v f v g v v g +=-⎰ln )]()([)(, 对上式求出积分后, 将v =xy 代回, 即得通解.9. 用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程, 然 后求出通解:(1)2)(y x dxdy+=;解 令u =x +y , 则原方程化为 21u dx du =-, 即21udu dx +=.两边积分得x =arctan u +C .将u =x +y 代入上式得原方程的通解x =arctan(x +y )+C , 即y =-x +tan(x -C ).(2)11+-=yx dx dy;解 令u =x -y , 则原方程化为111+=-udx du , 即dx =-udu .两边积分得1221C u x +-=.将u =x +y 代入上式得原方程的通解12)(21C y x x +--=, 即(x -y )2=-2x +C (C =2C 1).(3)xy '+y =y (ln x +ln y );解 令u =xy , 则原方程化为u x u x u x u dx du x x ln )1(2=+-, 即du uu dx x ln 11=.两边积分得ln x +ln C =lnln u , 即u =e Cx . 将u =xy 代入上式得原方程的通解 xy =e Cx , 即Cx e xy 1=.(4)y '=y 2+2(sin x -1)y +sin 2x -2sin x -cos x +1; 解 原方程变形为y '=(y +sin x -1)2-cos x . 令u =y +sin x -1, 则原方程化为 x u x dx du cos cos 2-=-, 即dx du u =21. 两边积分得C x u+=-1.将u =y +sin x -1代入上式得原方程的通解C x x y +=-+-1sin 1, 即Cx x y +--=1sin 1.(5)y (xy +1)dx +x (1+xy +x 2y 2)dy =0 . 解 原方程变形为)1()1(22y x xy x xy y dx dy +++-=. 令u =xy , 则原方程化为)1()1(1222u u x u u x u dx du x +++-=-, 即)1(1223u u x u dx du x ++=. 分离变量得du uu u dx x )111(123++=. 两边积分得u uu C x ln 121ln 21+--=+.将u =xy 代入上式得原方程的通解xy xy y x C x ln 121ln 221+--=+, 即 2x 2y 2ln y -2xy -1=Cx 2y 2(C =2C 1).习题12-5 1判别下列方程中哪些是全微分方程并求全微分方程的通解(1)(3x 2+6xy 2)dx +(6x 2y +4y 2)dy =0解 这里P =3x 2+6xy 2 Q =6x 2y +4y 2因为x Qxy y P ∂∂==∂∂12所以此方程是全微分方程 其通解为Cdy y y x dx x yx=++⎰⎰02202)46(3即 Cy y x x =++3223343(2)(a 2-2xy -y 2)dx -(x +y )2dy =0解 这里P =a 2-2xy -y 2Q =-(x +y )2 因为x Qy x y P ∂∂=--=∂∂22所以此方程是全微分方程 其通解为Cdy y x dx a yx=+-⎰⎰0202)(即 a 2x -x 2y -xy 2=C(3)e y dx +(xe y -2y )dy =0解 这里P =e y Q =xe y -2y因为x Qe y P y ∂∂==∂∂所以此方程是全微分方程 其通解为Cdy y xe dx e yy x =-+⎰⎰000)2(即 xe y -y 2=C(4)(x cos y +cos x )y '-y sin x +sin y =0解 原方程变形为(x cos y +cos x )dy -(y sin x +sin y )dx =0这里P =-(y sin x +sin y ) Q =x cos y +cos x因为x Qx y y P ∂∂=-=∂∂sin cos所以此方程是全微分方程 其通解为Cdy x y x dx yx=++⎰⎰00)cos cos (0即 x sin y +y cos x =C 解(5)(x 2-y )dx -xdy =0 解 这里P =x 2-yQ =-x 因为xQy P ∂∂=-=∂∂1所以此方程是全微分方程 其通解为Cxdy dx x yx=-⎰⎰002即 C xy x =-331(6)y (x -2y )dx -x 2dy =0解 这里P =y (x -2y ) Q =-x 2 因为yx y P 4-=∂∂ x x Q 2-=∂∂所以此方程不是全微分方程 (7)(1+e 2)d+2e 2d=0解 这里P =1+e 2 Q =2e 2因为x Qe y P ∂∂==∂∂θ22所以此方程是全微分方程 其通解为Cd e d =+⎰⎰θθρθρρ02022即(e 2+1)=C(8)(x 2+y 2)dx +xydy =0解 这里P =x 2+y 2 Q =xy 因为y y P 2=∂∂ y x Q=∂∂所以此方程不是全微分方程2利用观察法求出下列方程的积分因子并求其通解(1)(x +y )(dx -dy )=dx +dy解 方程两边同时乘以yx +1得yx dydx dy dx ++=- 即d (x -y )=d ln(x +y )所以y x +1为原方程的一个积分因子 并且原方程的通解为x -y =ln(x +y )+C(2)ydx -xdy +y 2xdx =0解 方程两边同时乘以21y 得02=+-xdx yxdyydx 即0)2()(2=+x d y x d所以21y为原方程的一个积分因子并且原方程的通解为C x y x =+22(3)y 2(x -3y )dx +(1-3y 2x )dy =0解 原方程变形为xy 2dx -3y 3dx +dy -3x 2dy =0两边同时乘以21y并整理得)33(2=+-+xdy ydx ydyxdx 即0)(3)1()2(2=--xy d yd x d所以21y为原方程的一个积分因子并且原方程的通解为C xy yx =--3122 (4)xdx +ydy =(x 2+y 2)dx解 方程两边同时乘以221y x +得 022=-++dx y x ydyxdx 即0)]ln(21[22=-+dx y x d所以221y x +为原方程的一个积分因子 并且原方程的通解为x 2+y 2=Ce 2x(5)(x -y 2)dx +2xydy =0 解 原方程变形为 xdx -y 2dx +2xydy =0两边同时乘以21x得0222=-+x dx y xydy x dx 即0)()(ln 2=+x y d x d 所以21x为原方程的一个积分因子 并且原方程的通解为C xy x =+2ln 即x ln x +y 2=Cx(6)2ydx -3xy 2dx -xdy =0 解 方程两边同时乘以x 得 2xydx -x 2dy -3x 2y 2dx =0 即yd (x 2)-x 2dy -3x 2y 2dx =0再除以y 2得03)(2222=--dx x ydyx x yd 即0)(32=-x y x d所以2yx 为原方程的一个积分因子并且原方程的通解为032=-x yx3 验证)]()([1xy g xy f xy -是微分方程yf (xy )dx +xg (xy )dy =0的积分因子并求下列方程的通解解 方程两边乘以)]()([1xy g xy f xy -得0])()([)]()([1=+-dy xy xg dx xy yf xy g xy f xy 这里)]()([)(xy g xy f x xy f P -= )]()([)(xy g xy f y xy g Q -=因为x Qxy g xy f xy g xy f xy g xy f y P ∂∂=-'-'=∂∂2)]()([)()()()( 所以)]()([1xy g xy f xy -是原方程的一个积分因子(1)y (x 2y 2+2)dx +x (2-2x 2y 2)dy =0解 这里f (xy )=x 2y 2+2 g (xy )=2-2x 2y 2所以3331)]()([1y x xy g xy f xy =- 是方程的一个积分因子方程两边同乘以3331y x 得全微分方程 032323222232=-++dy y x y x dx y x x其通解为Cdy y x y x dx x x y x=-++⎰⎰132221323232即 Cy x y x =-+-)11ln (ln 31222或2212yx e Cy x =(2)y (2xy +1)dx +x (1+2xy -x 3y 3)dy =0解 这里f (x y )=2x y +1 g (x y )=1+2x y -x 3 y 3 , 所以441)]()([1yx xy g xy f xy =- 是方程的一个积分因子 方程两边同乘以441yx 得全微分方程2112433334=-+++dy y x y x xy dx y x xy其通解为 C dy y x y x xy dx x x y x =-+++⎰⎰14333142112即 C y y x y x =++||ln 31133224用积分因子法解下列一阶线性方程(1)xy '+2y =4ln x解 原方程变为xxy x y ln 42=+' 其积分因子为22)(x e x dxx =⎰=μ在方程x x y x y ln 42=+'的两边乘以x 2得x 2y '+2xy =4x ln x 即(x 2y )'=4x ln x两边积分得C x x x xdx x y x +-==⎰222ln 2ln 4原方程的通解为21ln 2x Cx y +-=(2)y '-tan x ⋅y =x解 积分因子为x e x xdxcos )(tan =⎰=-μ在方程的两边乘以cos x 得 cos x ⋅y '-sin x ⋅y =x cos x 即(cos x ⋅y )'=x cos x两边积分得C x x x xdx x y x ++==⋅⎰cos sin cos cos方程的通解为xCx x y cos 1tan ++=习题12-61 求下列各微分方程的通解 (1)y ''=x +sin x解 12cos 21)sin (C x x dx x x y +-=+='⎰21312sin 61)cos 21(C x C x x dx C x x y ++-=+-=⎰原方程的通解为213sin 61C x C x x y ++-=(2)y '''=xe x解 12C e xe dx xe y x x x +-==''⎰21122)2(C x C e xe dx C e xe y x x x x ++-=+-='⎰3221213)22(C x C x C e xe dx C x C e xe y x x x x +++-=++-=⎰原方程的通解为32213C x C x C e xe y x x +++-=(3)211xy +=''解 12arctan 11C x dx xy +=+='⎰x C dx xx x x dx C x y 1211arctan )(arctan ++-=+=⎰⎰212)1ln(21arctan C x C x x x +++-=原方程的通解为2121ln arctan C x C x x x y +++-=(4)y ''=1+y '2解 令p =y ' 则原方程化为p '=1+p 2 即dx dp p=+211两边积分得arctan p =x +C 1 即y '=p =tan(x +C 1) 211|)cos(|ln )tan(C C x dx C x y ++-=+=⎰原方程的通解为21|)cos(|ln C C x y ++-=(5)y ''=y '+x解 令p =y ' 则原方程化为 p '-p =x由一阶线性非齐次方程的通解公式得1)()(111--=+=+⎰⋅⎰=⎰⎰--x e C C dx xe e C dx e x e p x x x dxdx即 y '=C 1e x -x -1于是 221121)1(C x x e C dx x e C y x x +--=--=⎰原方程的通解为22121C x x e C y x +--=(6)xy ''+y '=0解 令p =y ' 则原方程化为 x p '+p =0 即01=+'p xp由一阶线性齐次方程的通解公式得xC e C e C p xdxx 1ln 111==⎰=--即 x C y 1=' 于是 211ln C x C dx xCy +==⎰原方程的通解为 y =C 1ln x +C 2(7)yy ''+'=y '2 解 令p =y ' 则dydppdx dy dy dp y =⋅='' 原方程化为 21p dydpyp=+ 即dy y dp p p 112=-两边积分得||ln ||ln |1|ln 2112C y p +=- 即22121y C p ±-当|y '|=|p |>1时 方程变为 2211y C y +±=' 即dxdy y C ±=+21)(11两边积分得arcsh(C 1y )=±C 1x +C 2 即原方程的通解为)(sh 1121x C C C y ±=当|y '|=|p |<1时方程变为2211y C y -±=' 即dxdy y C ±=-21)(11两边积分得arcsin(C 1y )=±C 1x +C 2 即原方程的通解为)(sin 1121x C C C y ±=(8)y 3y ''-1=0 解 令p =y ' 则dydp py ='' 原方程化为013=-dydppy 即pdp =y -3dy两边积分得122212121C y p +-=- 即p 2=-y -2+C 1故 21--±='y C y 即dx dy yC ±=--211两边积分得)(12121C x C y C +±=-即原方程的通解为 C 1y 2=(C 1x +C 2)2(9)y y 1=''解 令p =y ' 则dydp py ='' 原方程化为y dy dp p1= 即dyypdp 1=两边积分得122221C y p += 即1244C y p += 故 12C y y +±=' 即dx dy C y ±=+11两边积分得原方程的通 211231]2)(32[C C y C C y x ++-+±=(10)y ''=y '3+y ' 解 令p =y '则dydppy ='' 原方程化为 p p dy dp p +=3 即0)]1([2=+-p dydpp由p =0得y =C 这是原方程的一个解由0)1(2=+-p dydp得arctan p =y -C 1 即y '=p =tan(y -C 1)从而 )sin(ln )tan(1112C y dy C y C x -=-=+⎰ 故原方程的通解为12arcsin C e y C x +=+2 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解(1)y 3 y ''+1=0 y |x =1=1 y '|x =1=0解 令p =y ', 则dy dpp y ='', 原方程化为013=+dy dppy , 即dy ypdp 31-=, 两边积分得1221C yp +=, 即y y C y 211+±='.由y |x =1=1, y '|x =1=0得C 1=-1, 从而y y y 21-±=',分离变量得 dx dy yy=-±21, 两边积分得221C x y +=-± 即22)(1C x y +-±=由y |x =1=1得C 2=-1, 2)1(1--=x y 从而原方程的通解为22x x y -=.(2)y ''-ay '2=0 y |x =0=0 y '|x =0=-1解 令p =y ', 则原方程化为02=-ap dxdp即adxdp p=21两边积分得11C ax p+=- 即11C ax y +-='由y '|x =0=-1得C 1=111+-='ax y 两边积分得2)1ln(1C ax a y ++-=由y |x =0=0得C 2=0故所求特解为)1ln(1+-=ax ay(3)y '''=e ax y |x =1=y '|x =1=y ''|x =1=0 解 11C e adx e y ax ax +==''⎰由y ''|x =1=0得a e aC 11-=2211)11(C x e a e a dx e a e a y a ax a ax +-=-='⎰由y '|x =1=0得a a e ae a C 2211-=dx e a e a x e a e a y a a a ax )1111(22⎰-+-= 322311211C x e a x e a x e a e a a a a ax +-+-= 由y |x =1=0得a a a a e a e a e a e a C 32312111-+-= 故所求特解为 322232)22()1(2a a a e a x a e a x e a e y a a a ax ----+-=(4)y ''=e 2y y |x =0=y '|x =0=0解 令p =y ', 则dydpp y ='', 原方程化为y e dydpp 2= 即pdp =e 2y dy积分得p 2=e 2y +C 1即12C e y y +±='由y |x =0=y '|x =0=0得C 1=-1 故12-±='y e y 从而dx dy e y±=-112 积分得-arcsin e -y =±x +C 2 由y |x =0=0得22π-=C 故x x e y cos )2sin(=-=-π从而所求特解为y =-lncos x (5)yy 3='' y |x =0=1y '|x =0=2解 令p =y ', 则dydppy ='', 原方程化为 y dydpp 3= 即dy y pdp 3=两边积分得12322221C y p += 即1232C y y +±=' 由y |x =0=1 y '|x =0=2得C 1=0432y y =' 从而dxdy y 243=-两边积分得24124C x y += 即42)4121(C x y +=由y |x =0=1得C 2=4故原方程的特解为4)121(+=x y(6)y ''+y '2=1 y |x =0=0 y '|x =0=0解 令p =y ', 则dy dpp y ='', 原方程化为12=+p dydpp 即2222=+p dydp于是 1)2(211222+=+⎰⋅⎰=--⎰y dydy e C C dy e e p即 121+±='-y e C y由y |x =0=0 y '|x =0=0得C 1=-1ye y 21--±='故dx dy ey ±=--211两边积分得22)1ln(C x e e y y +±=-+由y |x =0=0得C 2=0xe e y y ±=-+)1ln(2从而得原方程的特解y =lnch x3 试求y ''=x 的经过点M (01)且在此点与直线121+=x y 相切的积分曲线解 1221C x y +='21361C x C x y ++=由题意得y |x =0=121|0='=x y由21|0='=x y 得211=C 再由y |x =0=1得C 2=1 因此所求曲线为121613++=x x y4 设有一质量为m 的物体 在空中由静止开始下落 如果空气阻力为R =c 2v 2(其中c 为常数 v 为物体运动的速度) 试求物体下落的距离s 与时间t 的函数关系解 以t =0对应的物体位置为原点 垂直向下的直线为s 正轴 建立坐标系由题设得⎪⎩⎪⎨⎧==-===0| |0022t t v s v c mg dt dv m将方程分离变量得 dt vc mg mdv =-22两边积分得 1||ln C kt mgcv mgcv +=-+(其中m g c k 2=) 由v |t =0=0得C 1=0ktmgcv mg cv =-+||ln 即ktem gcv m g cv =-+。
常微分方程习题及答案
第十二章常微分方程(A)7. y=-所满足的微分方程是x、是非题 1•任意微分方程都有通解。
（） 2.微分方程的通解中包含了它所有的解。
（） 3.函数y =3sinx —4cosx 是微分方程y" + y=0的解。
（ ） 4.函数y=x 2 ■e x 是微分方程y"-2y ，+y=0的解。
（）1 25.微分方程xy'-1 n X = 0的通解是j In x ） +C （C 为任意常数）。
（） 6.y' 7. y'8. y 9. dydx 、填空题=sin y 是一阶线性微分方程。
（） = x 3y 3+xy 不是一阶线性微分方程。
（） -2/ +5y=0 的特征方程为 r 2-2 r + 5=0。
(= 1+x + y 2 +xy 2是可分离变量的微分方程。
（） 1.在横线上填上方程的名称 ①(y -3 H n xdx-xdy =0 是 ②(xy 2 +x dx + (y - X 2y dy = 0是 2. 3.4. 5. ③x —.ln y 是 dx x ④ xy’ = y +x 2sinx 是y ^+sin xy’—x =cosx 的通解中应含y =sin2x -cosx 的通解是 xy'" + 2x 2y"2 +x 3y = x 4 +1是6.微分方程yry"-(y '6 =0是个独立常数。
阶微分方程。
阶微分方程。
12. 3阶微分方程yJx 3的通解为三、选择题1 .微分方程xyy "+x （y ，3-y 4y = 0的阶数是（） A. 3 B . 4 C . 5 D . 22 .微分方程 厂-x 2y"-x 5=1的通解中应含的独立常数的个数为（）。
A. 3 B . 5 C . 4 DA . y = 2xB . y = X 2C .24 .微分方程y'=3y 3的一个特解是（）。
微分方程(习题及解答)
第十二章 微分方程§12.1 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程一、单项选择题1. 下列所给方程中，不是微分方程的是( ) ．(A)2xy y '=； (B)222x y C +=；(C)0y y ''+=； (D)(76)d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B).2. 微分方程4(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( )．(A)1； (B)2； (C)3； (D)4； 答(C).3. 下列所给的函数，是微分方程0y y ''+=的通解的是( )．(A)1cos y C x =； (B)2sin y C x =；(C)cos sin y x C x =+； (D)12cos sin y C x C x =+ 答(D).4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是( )．(A)x y y e +'=； (B)xy y x '+=；(C)10y xy '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(A).5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是( )．(A)x y y e +'=； 2(B)xy y x '+=；(C)0y xy x '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(D).二、填空题1．函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解? ． 答：是 .2．微分方程3d d 0,4x x y y y x=+==的解是 ． 答：2225x y +=． 3．微分方程23550x x y '+-=的通解是． 答：3252x x y C =++． 4．微分方程ln 0xy y y '-=的通解是 ． 答： Cx y e =.5'的通解是 ． 答：arcsin arcsin y x C =+．6．微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是． 答：Cx y e x=． 三、解答题1．求下列微分方程的通解．(1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=； (2) 2()y xy a y y '''-=+； 解： 解：(3) d 10d x y y x +=； (4) 23d (1)0.d y y x x++= 解： 解：2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： (1) 20,0x y x y e y -='==； (2) 2sin ln ,x y x y y y e π='==；解： 解： (3) 2d 2d 0,1x x y y x y =+==； (4) d 10d x y y x+=． 解： 解：3*．设连续函数20()d ln 22xt f x f t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰，求()f x 的非积分表达式． 答：()ln 2x f x e =⋅． §12.2 一阶线性微分方程、全微分方程一、单项选择题1. 下列所给方程中，是一阶微分方程的是( ).2d (A)3(ln )d y y x y x x+=； 52d 2(B)(1)d 1y y x x x -=++ 2d (C)()d y x y x=+； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B). 2. 微分方程2()d 2d 0x y x xy y ++=的方程类型是( )．(A) 齐次微分方程； (B)一阶线性微分方程；(C) 可分离变量的微分方程； (D)全微分方程． 答(D).3. 方程y y x y x ++='22是( )．(A)齐次方程； (B)一阶线性方程；(C)伯努利方程； (D)可分离变量方程. 答(A).二、填空题1．微分方程d d x y ye x-+=的通解为 ． 答：x x y Ce xe --=+． 2．微分方程2()d d 0x y x x y --=的通解为 ． 答：33x xy C -=． 3．方程()(d d )d d x y x y x y +-=+的通解为 ． 答：ln()x y x y C --+=． 三、简答题1．求下列微分方程的通解：(1) sin cos x y y x e -'+=； (2) d ln d y y x y x x=； 解： 解：(3) 232xy y x x '+=++； (4) tan sin 2y y x x '+=；解： 解： (5) 2d (6)20d y y x y x-+=； (6) (2)d 0y y e xe y y +-=； 解： 解：(7) 222(2)d ()d 0a xy y x x y y ---+=．解：2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解． (1) 0d 38,2d x y y y x=+==； (2) d sin ,1d x y y x y x x x π=+==． 解： 解：3*．求伯努利方程2d 3d y xy xy x-=的通解． 解：§12.3 可降阶的高阶微分方程、二阶线性微分方程一、单项选择题1. 方程x y sin ='''的通解是( ).(A)322121cos C x C x C x y +++=； (B)1cos C x y +=； (C)322121sin C x C x C x y +++=； (D)x y 2sin 2=. 答(A) 2. 微分方程y y xy '''''+=满足条件21x y ='=，21x y ==的解是( ).(A)2(1)y x =-； (B)212124y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭； (C)211(1)22y x =-+； (D )21524y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． 答(C). 3. 对方程2y y y '''=+，以下做法正确的是( )．(A)令()y p x '=，y p '''=代入求解； (B)令()y p y '=，y p p '''=代入求解；(C)按可分离变量的方程求解； (D)按伯努利方程求解． 答(B).4. 下列函数组线性相关的().是(A)22,3x x e e ; (B)23,x x e e ； (C)sin ,cos x x ; (D)22,x x e xe ． 答(A).5. 下列方程中，二阶线性微分方程是( )．(A)32()0y y y '''-=； (B)2x y yy xy e '''++=；(C)2223y x y y x '''++=； (D)222x y xy x y e '''++=． 答(D).6. 12,y y 是0y py qy '''++=的两个解，则其通解是( )．(A)112y C y y =+； (B)1122y C y C y =+；(C)1122y C y C y =+，其中1y 与2y 线性相关；(D)1122y C y C y =+，其中1y 与2y 线性无关． 答(D).7. 下列函数组线性相关的().是22(A),3x x e e ； 23(B),x x e e ；(C)sin ,cos x x ； 22(D),x x e xe ． 答(A).二、填空题1．微分方程sin y x x ''=+的通解为． 答： 312sin .6x y x C x C =-++ 2．微分方程y y x '''=+的通解为． 答： 212.2x x y C e x C =--+ 三、简答题1．求下列微分方程的通解． (1) 21()y y '''=+； (2) 21()2y y '''=． 解： 解：2．求方程2()0y x y '''+=满足条件12x y ='=，11x y ==-的特解．解：§12.4 二阶常系数线性齐次微分方程一、单项选择题1. 下列函数中，不是微分方程0y y ''+=的解的是( )．(A)sin y x =； (B)cos y x =；(C)x y e =； (D)sin cos y x x =+． 答(C).2. 下列微分方程中，通解是312x x y C e C e -=+的方程是( )．(A)230y y y '''--=； (B )25y y y '''-+=； (C)20y y y '''+-=； (D)20y y y '''-+=． 答(A).3. 下列微分方程中，通解是12x x y C e C xe =+的方程是( )．(A)20y y y '''--=； (B)20y y y '''-+=；(C)20y y y '''++=； (D)240y y y '''-+=． 答(B).4. 下列微分方程中，通解是12(cos2sin 2)x y e C x C x =+的方程是( )．(A)240y y y '''--=； (B)240y y y '''-+=(C)250y y y '''++=； (D )250y y y '''-+=． 答(D).5. 若方程0y py qy '''++=的系数满足10p q ++=，则方程的一个解是( )．(A)x ； (B)x e ； (C)x e -； (D)sin x ． 答(B). 6*. 设()y f x =是方程220y y y '''-+=的一个解，若00()0,()0f x f x '>=，则()f x 在0x x =处( )．(A)0x 的某邻域内单调减少； (B )0x的某邻域内单调增加； (C) 取极大值； (D) 取极小值． 答(C).二、填空题1．微分方程的通解为40y y '''-=的通解为 ． 答：412x y C C e =+．2．微分方程20y y y '''+-=的通解为 ． 答：212x x y C e C e -=+．3．微分方程440y y y '''-+=的通解为 ． 答：2212x x y C e C xe =+．4．微分方程40y y ''+=的通解为 ． 答：12cos2sin 2y C x C x =+．5．方程6130y y y '''++=的通解为 ． 答：312(cos2sin 2)x y e C x C x -=+．三、简答题1．求下列微分方程的通解：(1) 20y y y '''--=； (2) 22d d 420250d d x x x t t-+=． 解： 解：2．求下列方程满足初始条件的特解． (1) 00430,10,6x x y y y y y ==''''-+===； (2) 00250,5,2x x y y y y=='''+===．解： 解： §12.5 二阶常系数线性非齐次微分方程一、单项选择题1. 微分方程2y y x ''+=的一个特解应具有形式( )．2(A)Ax ； 2(B)Ax Bx +；2(C)Ax Bx C ++； 2(D)()x Ax Bx C ++． 答(C).2. 微分方程2y y x '''+=的一个特解应具有形式( )．2(A)Ax ； 2(B)Ax Bx +；2(C)Ax Bx C ++； 2(D)()x Ax Bx C ++． 答(C).3. 微分方程256x y y y xe -'''-+=的一个特解应具有形式( )．2(A)x Axe -； 2(B)()x Ax B e -+；22(C)()x Ax Bx C e -++； 2(D)()x x Ax B e -+． 答(B).4. 微分方程22x y y y x e '''+-=的一个特解应具有形式( )．2(A)x Ax e ； 2(B)()x Ax Bx e +；2(C)()x x Ax Bx C e ++； 2(D)()x Ax Bx C e ++． 答(C).5. 微分方程23sin x y y y e x '''+-=的一个特解应具有形式( )．(A)(cos sin )x e A x B x +； (B )s i n x A e x ；(C)(sin cos )x xe A x B x +； (D)sin x Axe x 答(A).二、填空题1．微分方程34y y x x ''+=+的一个特解形式为 答：3*48x x y =-． 2．微分方程2y y x '''+=的一个特解形式为 . 答：*()y x Ax B =+．3．微分方程56x y y y xe '''-+=的一个特解形式为 . 答：*()x y Ax B e =+．4．微分方程356x y y y xe '''-+=的一个特解形式为 . 答：3*()x y x Ax B e =+．5．微分方程sin y y x ''-=的一个特解形式为 . 答：*sin y A x =．6．微分方程sin y y x ''+=的一个特解形式为 . 答：*(cos sin )y x A x B x =+.三、简答题1．求下列微分方程的通解．：(1) 22x y y y e '''+-=； (2) 5432y y y x '''++=-；解： 解：(3) 269(1)x y y y x e '''-+=+．解：。
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第十二章 微分方程§12.1 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程一、单项选择题1. 下列所给方程中，不是微分方程的是( ) ．(A)2xy y '=； (B)222x y C +=；(C)0y y ''+=； (D)(76)d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B).2. 微分方程4(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( )．(A)1； (B)2； (C)3； (D)4； 答(C).3. 下列所给的函数，是微分方程0y y ''+=的通解的是( )．(A)1cos y C x =； (B)2sin y C x =；(C)cos sin y x C x =+； (D)12cos sin y C x C x =+ 答(D).4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是( )．(A)x y y e +'=； (B)xy y x '+=；(C)10y xy '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(A).5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是( )．(A)x y y e +'=； 2(B)xy y x '+=；(C)0y xy x '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(D).二、填空题1．函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解? ． 答：是 .2．微分方程3d d 0,4x x y y y x=+==的解是 ． 答：2225x y +=． 3．微分方程23550x x y '+-=的通解是． 答：3252x x y C =++． 4．微分方程ln 0xy y y '-=的通解是 ． 答： Cx y e =.5．微分方程'=的通解是 ． 答：arcsin arcsin y x C =+．6．微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是． 答：Cx ye x=． 三、解答题1．求下列微分方程的通解．(1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=； (2) 2()y xy a y y '''-=+； 解： 解： (3) d 10d x y y x +=； (4) 23d (1)0.d y y x x++= 解： 解：2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： (1) 20,0x y x y e y -='==； (2) 2sin ln ,x y x y y y e π='==；解： 解： (3) 2d 2d 0,1x x y y x y =+==； (4)d 10d x y y x +=． 解： 解： 3*．设连续函数20()d ln 22x tf x f t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰，求()f x 的非积分表达式． 答：()ln 2x f x e =⋅．§12.2 一阶线性微分方程、全微分方程一、单项选择题1. 下列所给方程中，是一阶微分方程的是( ).2d (A)3(ln )d y y x y x x+=； 52d 2(B)(1)d 1y y x x x -=++ 2d (C)()d y x y x=+； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B). 2. 微分方程2()d 2d 0x y x xy y ++=的方程类型是( )．(A) 齐次微分方程； (B)一阶线性微分方程；(C) 可分离变量的微分方程； (D)全微分方程． 答(D).3. 方程y y x y x ++='22是( )．(A)齐次方程； (B)一阶线性方程；(C)伯努利方程； (D)可分离变量方程. 答(A).二、填空题1．微分方程d d x y ye x-+=的通解为 ． 答：x x y Ce xe --=+． 2．微分方程2()d d 0x y x x y --=的通解为 ． 答：33x xy C -=． 3．方程()(d d )d d x y x y x y +-=+的通解为 ． 答：ln()x y x y C --+=． 三、简答题1．求下列微分方程的通解：(1) sin cos x y y x e -'+=； (2) d ln d y y x y x x=； 解： 解：(3) 232xy y x x '+=++； (4) tan sin 2y y x x '+=； 解： 解： (5) 2d (6)20d y y x y x-+=； (6) (2)d 0y y e xe y y +-=； 解： 解：(7) 222(2)d ()d 0a xy y x x y y ---+=．解：2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解． (1) 0d 38,2d x y y y x=+==； (2) d sin ,1d x y y x y x x x π=+==． 解： 解： 3*．求伯努利方程2d 3d y xy xy x -=的通解． 解：§12.3 可降阶的高阶微分方程、二阶线性微分方程一、单项选择题1. 方程x y sin ='''的通解是( ).(A)322121cos C x C x C x y +++=； (B)1cos C x y +=； (C)322121sin C x C x C x y +++=； (D)x y 2sin 2=. 答(A) 2. 微分方程y y xy '''''+=满足条件21x y ='=，21x y ==的解是( ).(A)2(1)y x =-； (B)212124y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭； (C)211(1)22y x =-+； (D)21524y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． 答(C). 3. 对方程2y y y '''=+，以下做法正确的是( )． (A)令()y p x '=，y p '''=代入求解； (B)令()y p y '=，y p p '''=代入求解；(C)按可分离变量的方程求解； (D)按伯努利方程求解． 答(B).4. 下列函数组线性相关的().是(A)22,3x x e e ; (B)23,x x e e ；(C)sin ,cos x x ; (D)22,x x e xe ． 答(A).5. 下列方程中，二阶线性微分方程是( )．(A)32()0y y y '''-=； (B)2x y yy xy e '''++=；(C)2223y x y y x '''++=； (D)222x y xy x y e '''++=． 答(D). 6. 12,y y 是0y py qy '''++=的两个解，则其通解是( )．(A)112y C y y =+； (B)1122y C y C y =+；(C)1122y C y C y =+，其中1y 与2y 线性相关；(D)1122y C y C y =+，其中1y 与2y 线性无关． 答(D).7. 下列函数组线性相关的().是22(A),3x x e e ； 23(B),x x e e ；(C)sin ,cos x x ； 22(D),x x e xe ． 答(A).二、填空题1．微分方程sin y x x ''=+的通解为． 答： 312sin .6x y x C x C =-++ 2．微分方程y y x '''=+的通解为．答： 212.2x x y C e x C =--+ 三、简答题1．求下列微分方程的通解．(1) 21()y y '''=+； (2) 21()2y y '''=．解： 解：2．求方程2()0y x y '''+=满足条件12x y ='=，11x y ==-的特解．解： §12.4 二阶常系数线性齐次微分方程一、单项选择题1. 下列函数中，不是微分方程0y y ''+=的解的是( )．(A)sin y x =； (B)cos y x =；(C)x y e =； (D)sin cos y x x =+． 答(C).2. 下列微分方程中，通解是312x x y C e C e -=+的方程是( )．(A)230y y y '''--=； (B)250y y y '''-+=；(C)20y y y '''+-=； (D)20y y y '''-+=． 答(A).3. 下列微分方程中，通解是12x x y C e C xe =+的方程是( )．(A)20y y y '''--=； (B)20y y y '''-+=；(C)20y y y '''++=； (D)240y y y '''-+=． 答(B).4. 下列微分方程中，通解是12(cos2sin 2)x y e C x C x =+的方程是( )．(A)240y y y '''--=； (B)240y y y '''-+=(C)250y y y '''++=； (D)250y y y '''-+=． 答(D).5. 若方程0y py qy '''++=的系数满足10p q ++=，则方程的一个解是( )．(A)x ； (B)x e ； (C)x e -； (D)sin x ． 答(B). 6*. 设()y f x =是方程220y y y '''-+=的一个解，若00()0,()0f x f x '>=，则()f x 在0x x =处( )．(A)0x 的某邻域内单调减少； (B)0x 的某邻域内单调增加；(C) 取极大值； (D) 取极小值． 答(C).二、填空题1．微分方程的通解为40y y '''-=的通解为 ． 答：412x y C C e =+．2．微分方程20y y y '''+-=的通解为 ． 答：212x x y C e C e -=+．3．微分方程440y y y '''-+=的通解为 ． 答：2212x x y C e C xe =+．4．微分方程40y y ''+=的通解为 ． 答：12cos2sin 2y C x C x =+．5．方程6130y y y '''++=的通解为 ． 答：312(cos2sin 2)x y e C x C x -=+．三、简答题1．求下列微分方程的通解：(1) 20y y y '''--=； (2) 22d d 420250d d x x x t t-+=． 解： 解：2．求下列方程满足初始条件的特解． (1) 00430,10,6x x y y y y y ==''''-+===； (2) 00250,5,2x x y y y y =='''+===．解： 解： §12.5 二阶常系数线性非齐次微分方程一、单项选择题1. 微分方程2y y x ''+=的一个特解应具有形式( )．2(A)Ax ； 2(B)Ax Bx +；2(C)Ax Bx C ++； 2(D)()x Ax Bx C ++． 答(C).2. 微分方程2y y x '''+=的一个特解应具有形式( )．2(A)Ax ； 2(B)Ax Bx +；2(C)Ax Bx C ++； 2(D)()x Ax Bx C ++． 答(C).3. 微分方程256x y y y xe -'''-+=的一个特解应具有形式( )．2(A)x Axe -； 2(B)()x Ax B e -+；22(C)()x Ax Bx C e -++； 2(D)()x x Ax B e -+． 答(B).4. 微分方程22x y y y x e '''+-=的一个特解应具有形式( )．2(A)x Ax e ； 2(B)()x Ax Bx e +；2(C)()x x Ax Bx C e ++； 2(D)()x Ax Bx C e ++． 答(C).5. 微分方程23sin x y y y e x '''+-=的一个特解应具有形式( )．(A)(cos sin )x e A x B x +； (B)sin x Ae x ；(C)(sin cos )x xe A x B x +； (D)sin x Axe x 答(A).二、填空题1．微分方程34y y x x ''+=+的一个特解形式为 答：3*48x x y =-． 2．微分方程2y y x '''+=的一个特解形式为 . 答：*()y x Ax B =+．3．微分方程56x y y y xe '''-+=的一个特解形式为 . 答：*()x y Ax B e =+．4．微分方程356x y y y xe '''-+=的一个特解形式为 . 答：3*()x y x Ax B e =+．5．微分方程sin y y x ''-=的一个特解形式为 . 答：*sin y A x =．6．微分方程sin y y x ''+=的一个特解形式为 . 答：*(cos sin )y x A x B x =+.三、简答题1．求下列微分方程的通解．：(1) 22x y y y e '''+-=； (2) 5432y y y x '''++=-； 解： 解：(3) 269(1)x y y y x e '''-+=+．解：。