2019高考数学二轮复习每日一题规范练第二周理

每日一题 规范练(第二周)[题目1] (本小题满分12分)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R)．(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值；(2)若f (x 0)＝65，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，求cos 2x 0的值．解：(1)f (x )＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1) ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以函数f (x )的最小正周期为π.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2，最小值为－1.(2)因为f (x 0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x0＋π6＝65，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x0＋π6＝35，又x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，知2x 0＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x0＋π6＝－1－sin2⎝⎛⎭⎪⎫2x0＋π6＝－45，所以cos 2x 0＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x0＋π6－π6＝cos(2x 0＋π6)·cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x0＋π6sin π6＝－45×32＋35×12＝3－4310. [题目2] (本小题满分12分)已知数列{a n }是等差数列，a 2＝6，前n 项和为S n 数列{b n }是等比数列，b 2＝2，a 1b 3＝12，S 3＋b 1＝19.(1)求{a n }，{b n }的通项公式；(2)求数列{b n cos(a n π)}的前n 项和T n . 解：(1)因为数列{a n }是等差数列，a 2＝6， 所以S 3＋b 1＝3a 2＋b 1＝18＋b 1＝19， 所以b 1＝1，因为b 2＝2，数列{b n }是等比数列， 所以b n ＝2n －1，则b 3＝4.由a 1b 3＝12，得a 1＝3，则等差数列{a n }的公差为d ＝a 2－a 1＝3. 所以a n ＝3＋3(n －1)＝3n (n ∈N *)．(2)设C n ＝b n cos(a n π)，由(1)得C n ＝b n cos(a n π)＝(－1)n 2n －1，则C n ＋1＝(－1)n ＋12n，所以Cn ＋1Cn＝－2， 又C 1＝－1，所以数列{b n cos(a n π)}是以－1为首项，－2为公比的等比数列． 所以T n ＝－1×[1－（－2）n]1－（－2）＝13[(－2)n－1]．[题目3] (本小题满分12分)通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下2×2列联表：(1)将题中的2×2(2)能否有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关？请说明理由；(3)如果按性别进行分层抽样，从以上爱好该项运动的大学生中抽取6人组建“运动达人社”，现从“运动达人社”中选派3人参加某项校际挑战赛，记选出3人中的女大学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望．附：K 2＝n （（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）.解：(1)题中的2×2列联表补充如下：(2)K 2＝55×45×60×40≈8.25＞6.635，所以有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关．(3)由题意，抽取的6人中包括男生4名，女生2名，X 的取值为0，1，2， 则P (X ＝0)＝C34C36＝15，P (X ＝1)＝C24C12C36＝35，P (X ＝2)＝C14C22C36＝15，故X 的分布列为E (X )＝0×15＋1×35＋2×15＝1.[题目4] (本小题满分12分)在如图所示的几何体ABCDE 中，DA ⊥平面EAB ，CB ∥DA ，EA ＝DA ＝AB ＝2CB ，EA ⊥AB ，M 是线段EC 上的点(不与端点重合)，F 为线段DA 上的点，N 为线段BE 的中点．(1)若M 是线段EC 的中点，AF ＝3FD ，求证：FN ∥平面MBD ； (2)若EM MC ＝λ，二面角M ­BD ­A 余弦值为13，求λ的值． (1)证明：连接MN .因为M ，N 分别是线段EC ，线段BE 的中点， 所以MN ∥CB 且MN ＝12CB ＝14DA ， 又AF ＝3FD ，所以FD ＝14DA ， 所以MN ＝FD ，又CB ∥DA ，所以MN ∥DA ，所以MN ∥FD . 所以四边形MNFD 为平行四边形，所以FN ∥MD ， 又FN ⊄平面MBD ，MD ⊂平面MBD ， 所以FN ∥平面MBD .(2)解：由已知，分别以直线AE ，AB ，AD 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A ­xyz ，如图所示．设CB ＝1，则A (0，0，0)，B (0，2，0)，C (0，2，1)，D (0，0，2)，E (2，0，0)DB →＝(0，2，－2)，DC →＝(0，2，－1)，CE →＝(2，－2，－1)， 因为EM →＝λMC →，所以CM →＝11＋λCE →，DM →＝DC →＋CM →＝DC →＋11＋λCE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋λ，2λ1＋λ，－2－λ1＋λ＝11＋λ(2，2λ，－2－λ)． 设平面ABD 的一个法向量为n 1＝(1，0，0)， 平面MBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有n ⊥DB →，n ⊥DM →.所以⎩⎪⎨⎪⎧n·DB →＝0⇒2y －2z ＝0⇒y ＝z ，n·DM →＝0⇒2x ＋2λy －（2＋λ）z ＝0，令z ＝1，则n ＝⎝⎛⎭⎪⎫2－λ2，1，1. 因为平面ABD 与平面MBD 所成二面角的余弦值为13，所以|cos 〈n ，n 1〉|＝|n·n1||n||n1|＝13⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－λ2⎝ ⎛⎭⎪⎫2－λ22＋2＝13，解得λ＝1或λ＝3.又因为平面ABD 与平面MBD 所成二面角为锐角， 所以λ＝1.[题目5] (本小题满分12分)已知a 为实数，函数f (x )＝a ln x ＋x 2－4x .(1)若x ＝3是函数f (x )的一个极值点，求实数a 的值；(2)设g (x )＝(a －2)x ，若存在x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e，e ，使得f (x 0)≤g (x 0)成立，求实数a 的取值范围．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x ＋2x －4＝2x2－4x ＋ax.因为x ＝3是函数f (x )的一个极值点，所以f ′(3)＝0，解得a ＝－6. 经检验，当a ＝－6时，x ＝3是函数f (x )的一个极小值点，符合题意， 故实数a 的值为－6.(2)由f (x 0)≤g (x 0)，得(x 0－ln x 0)a ≥x 20－2x 0， 记F (x )＝x －ln x (x ＞0)，则F ′(x )＝x －1x(x ＞0)， 所以当0＜x ＜1时，F ′(x )＜0，F (x )单调递减；当x ＞1时，F ′(x )＞0，F (x )单调递增． 所以F (x )＞F (1)＝1＞0， 所以a ≥x20－2x 0x 0－ln x 0.记G (x )＝x2－2x x －ln x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ， 记G (x )＝x2－2x x －ln x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ， 则G ′(x )＝（2x －2）（x －ln x ）－（x －2）（x －1）（x －ln x ）2＝（x －1）（x －2ln x ＋2）（x －ln x ）2.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e，e ，所以2－2ln x ＝2(1－ln x )≥0，所以x －2ln x ＋2＞0，所以当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e，1时，G ′(x )＜0，G (x )单调递减；当x ∈(1，e]时，G ′(x )＞0，G (x )单调递增． 所以G (x )min ＝G (1)＝－1，所以a ≥G (x )min ＝－1， 故实数a 的取值范围为[－1，＋∞)．[题目6] (本小题满分12分)已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为23，且椭圆C 与y 轴交于A (0，－1)，B (0，1)两点．(1)求椭圆C 的标准方程及离心率；(2)设P 点是椭圆C 上的一个动点且在y 轴的右侧，直线PA ，PB 与直线x ＝3交于M ，N 两点．若以MN 为直径的圆与x 轴交于E ，F 两点，求P 点横坐标的取值范围及|EF |的最大值． 解：(1)由题意，得b ＝1，c ＝3，所以a ＝b2＋c2＝2，离心率e ＝c a ＝32， 椭圆C 的标准方程为x24＋y 2＝1.(2)设P (x 0，y 0)(0＜x 0≤2)，A (0，－1)，B (0，1)， 所以k PA ＝y0＋1x0，直线PA 的方程为y ＝y0＋1x0x －1， 同理得直线PB 的方程为y ＝y0－1x0x ＋1， 直线PA 与直线x ＝3的交点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，3（y0＋1）x0－1， 直线PB 与直线x ＝3的交点为N ⎝⎛⎭⎪⎫3，3（y0－1）x0＋1， 线段MN 的中点⎝⎛⎭⎪⎫3，3y0x0，所以圆的方程为(x －3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －3y0x02＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x02. 令y ＝0，则(x －3)2＋9y20x 20＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x02，因为x204＋y 20＝1，所以(x －3)2＝134－6x0，因为这个圆与x 轴相交于E 、F 两点，所以该方程有两个不同的实数解，则134－6x0＞0，又0＜x 0≤2，因为x204＋y 20＝1，所以(x －3)2＝134－6x0，因为这个圆与x 轴相交于E 、F 两点，所以该方程有两个不同的实数解，因为这个圆与x 轴相交于E 、F 两点，所以该方程有两个不同的实数解， 则134－6x0＞0，又0＜x 0≤2， 解得x 0∈⎝ ⎛⎦⎥⎤2413，2.故P 点横坐标的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤2413，2.设交点坐标E (x 1，0)，F (x 2，0)， 则|EF |＝|x 1－x 2|＝2 134－6x0(2413＜x 0≤2)， 所以|EF |的最大值为1.[题目7] 1.(本小题满分10分)[选修4­4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α＋2，y ＝4sin α(α为参数)，以O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB |的值．解：(1)将方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α＋2，y ＝4sin α消去参数α得x 2＋y 2－4x －12＝0，所以曲线C 的普通方程为x 2＋y 2－4x －12＝0，将x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ代入上式可得ρ2－4ρcos θ＝12， 所以曲线C 的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＝12. (2)设A ，B 两点的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ1，π6，⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，π6，由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－4ρcos θ＝12，θ＝π6消去θ得ρ2－23ρ－12＝0，根据题意可得ρ1，ρ2是方程ρ2－23ρ－12＝0的两根，所以ρ1＋ρ2＝23，ρ1ρ2＝－12， 所以|AB |＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝215. 2．(本小题满分10分)[选修4­5：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|x －a |＋2|x －1|.(1)当a ＝2时，求关于x 的不等式f (x )＞5的解集； (2)若关于x 的不等式f (x )≤|a －2|有解，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时，不等式为|x －2|＋2|x －1|＞5， 若x ≤1，则－3x ＋4＞5，即x ＜－13， 若1＜x ＜2，则x ＞5，舍去， 若x ≥2，则3x －4＞5，即x ＞3，综上，不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(3，＋∞)．(2)因为|x －a |＋|x －1|≥|a －1|，所以f (x )＝|x －a |＋2|x －1|≥|a －1|＋|x －1|≥|a －1|， 得到f (x )的最小值为|a －1|， 又|a －1|≤|a －2|，所以a ≤32.。