算法设计与分析习题答案1-6章

{
mid=(low+high)/2;
if (k<r[mid])high=mid-1;
elseif (k>r[mid]) low=mid+1;
else return mid;
}
return 0;
}
2.请写出折半查找的递归算法，并分析时间性能。
求两个正整数m和n的最小公倍数。（提示：m和n的最小公倍数lcm(m,n)与m和n的最大公约数gcd(m,n)之间有如下关系：lcm(m,n)=m×n/gcd(m,n)）
设计递归算法生成n个元素的所有排列对象。
#include <iostream>
using namespace std;
int data[100];
设计分治算法求解一维空间上n个点的最近对问题。
参见4.4.1最近对问题的算法分析及算法实现
9. 在有序序列(r1,r2, …,rn)中，存在序号i（1≤i≤n），使得ri=i。请设计一个分治算法找到这个元素，要求算法在最坏情况下的时间性能为O(log2n)。
习题6
1.动态规划法为什么都需要填表如何设计表格的结构
在填写表格过程中，不仅可以使问题更加清晰，更重要的是可以确定问题的存储结构；
设计表格，以自底向上的方式计算各个子问题的解并填表。
2. 对于图所示多段图，用动态规划法求从顶点0到顶点12的最短路径，写出求解过程。
将该多段图分为四段；
首先求解初始子问题，可直接获得：
七桥问题属于一笔画问题。
输入：一个起点
输出：相同的点
1，一次步行
2，经过七座桥，且每次只经历过一次
3，回到起点
该问题无解：能一笔画的图形只有两类：一类是所有的点都是偶点。另一类是只有二个奇点的图形。
2．在欧几里德提出的欧几里德算法中（即最初的欧几里德算法）用的不是除法而是减法。请用伪代码描述这个版本的欧几里德算法
习题5
1.下面这个折半查找算法正确吗如果正确，请给出算法的正确性证明，如果不正确，请说明产生错误的原因。
int BinSearch(int r[ ], int n, int k)
{
intlow=0,high=n- 1;
int mid;
while (low<=high)
{
mid=(low+high)/2;
2. 证明：如果分治法的合并可以在线性时间内完成，则当子问题的规模之和小于原问题的规模时，算法的时间复杂性可达到O(n)。
O(N)=2*O(N/2)+x
O(N)+x=2*O(N/2)+2*x
a*O(N)+x=a*(2O(N/2)+x)+x=2*a*O(N/2)+(a+1)*x
由此可知，时间复杂度可达到O(n);
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
int value, k=1;
cin>>value;
for (int i = 2;i!=value;++i)
{
while (value % i == 0 )
{
k+=i;有4个人打算过桥，这个桥每次最多只能有两个人同时通过。他们都在桥的某一端，并且是在晚上，过桥需要一只手电筒，而他们只有一只手电筒。这就意味着两个人过桥后必须有一个人将手电筒带回来。每个人走路的速度是不同的：甲过桥要用1分钟，乙过桥要用2分钟，丙过桥要用5分钟，丁过桥要用10分钟，显然，两个人走路的速度等于其中较慢那个人的速度，问题是他们全部过桥最少要用多长时间
设a1,a2,…,an是集合{1, 2, …,n}的一个排列，如果i<j且ai>aj，则序偶(ai,aj)称为该排列的一个逆序。例如，2, 3, 1有两个逆序：(3, 1)和(2, 1)。设计算法统计给定排列中含有逆序的个数。
循环赛日程安排问题。设有n=2k个选手要进行网球循环赛，要求设计一个满足以下要求的比赛日程表：
（1）因为n人进行淘汰赛，要淘汰n-1人，所有要进行n-1场比赛。
（2）
10. 在120枚外观相同的硬币中，有一枚是假币，并且已知假币与真币的重量不同，但不知道假币与真币相比较轻还是较重。可以通过一架天平来任意比较两组硬币，最坏情况下，能不能只比较5次就检测出这枚假币
将120枚平均分为三组，记为：A，B，C；先将A,B比较，如果A,B重量不同（假如B比A重），再将B与C比较，如果B，C相同，则A有假币；如果B,C不同，再将A,C比较，如果A,C相同，则B有假币；如果A,C不同，则B有假币；如果A,B相同，则C有假币；
由于甲过桥时间最短，那么每次传递手电的工作应有甲完成
甲每次分别带着乙丙丁过桥
例如：
第一趟：甲，乙过桥且甲回来
第二趟：甲，丙过桥且甲回来
第一趟：甲，丁过桥
一共用时19小时
9．欧几里德游戏：开始的时候，白板上有两个不相等的正整数，两个玩家交替行动，每次行动时，当前玩家都必须在白板上写出任意两个已经出现在板上的数字的差，而且这个数字必须是新的，也就是说，和白板上的任何一个已有的数字都不相同，当一方再也写不出新数字时，他就输了。请问，你是选择先行动还是后行动为什么
矩阵乘法。两个n×n的矩阵X和Y的乘积得到另外一个n×n的矩阵Z，且Zij
满足 （1≤i,j≤n），这个公式给出了运行时间为O(n3)的算法。可以用分
治法解决矩阵乘法问题，将矩阵X和Y都划分成四个n/2×n/2的子块，从而X和Y的乘积可以用这些子块进行表达，即
从而得到分治算法：先递归地计算8个规模为n/2的矩阵乘积AE、BG、AF、BH、CE、DG、CF、DH，然后再花费O(n2)的时间完成加法运算即可。请设计分治算法实现矩阵乘法，并分析时间性能。能否再改进这个分治算法
d(0, 1)=c01＝5(0→1)
d(0, 2)=c02＝3(0→1)
再求解下一个阶段的子问题，有：
d(0,3)=d(0, 1)+c13=6(1→3)
d(0,4)=min{d(0,1)+c14,d(0,2)+c24}=8(1→4)
。。。。。。。。（以此类推）
最短路径为：0→1→3→8→11→12
3．用动态规划法求如下0/1背包问题的最优解：有5个物品，其重量分别为(3, 2, 1, 4,5)，价值分别为(25, 20, 15, 40, 50)，背包容量为6。写出求解过程。
3.分治策略一定导致递归吗如果是，请解释原因。如果不是，给出一个不包含递归的分治例子，并阐述这种分治和包含递归的分治的主要不同。
不一定导致递归。
如非递归的二叉树中序遍历。
这种分治方法与递归的二叉树中序遍历主要区别是：应用了栈这个数据结构。
4. 对于待排序序列(5, 3, 1, 9)，分别画出归并排序和快速排序的递归运行轨迹。
（1）每个选手必须与其他n-1个选手各赛一次；
（2）每个选手一天只能赛一次。
采用分治方法。
将2^k选手分为2^k-1两组，采用递归方法，继续进行分组，直到只剩下2个选手时，然后进行比赛，回溯就可以指定比赛日程表了
15. 格雷码是一个长度为2n的序列，序列中无相同元素，且每个元素都是长度为n的二进制位串，相邻元素恰好只有1位不同。例如长度为23的格雷码为(000, 001, 011, 010, 110, 111, 101, 100)。设计分治算法对任意的n值构造相应的格雷码。
9.竞赛树是一棵完全二叉树，它反映了一系列“淘汰赛”的结果：叶子代表参加比赛的n个选手，每个内部结点代表由该结点的孩子结点所代表的选手中的胜者，显然，树的根结点就代表了淘汰赛的冠军。请回答下列问题：
（1）这一系列的淘汰赛中比赛的总场数是多少
（2）设计一个高效的算法，它能够利用比赛中产生的信息确定亚军。
习题1
1. 图论诞生于七桥问题。出生于瑞士的伟大数学家欧拉（Leonhard Euler，1707—1783）提出并解决了该问题。七桥问题是这样描述的：一个人是否能在一次步行中穿越哥尼斯堡（现在叫加里宁格勒，在波罗的海南岸）城中全部的七座桥后回到起点，且每座桥只经过一次，图是这条河以及河上的两个岛和七座桥的草图。请将该问题的数据模型抽象出来，并判断此问题是否有解。
拿子游戏。考虑下面这个游戏：桌子上有一堆火柴，游戏开始时共有n根火柴，两个玩家轮流拿走1，2，3或4根火柴，拿走最后一根火柴的玩家为获胜方。请为先走的玩家设计一个制胜的策略（如果该策略存在）。
如果桌上有小于4根的火柴，先手必胜，如果是5根，先手必输；依次类推，同理15、20、25…….都是必输状态；所有每次把对手逼到15、20、25…….等必输状态，就可以获胜。
设最初两个数较大的为a, 较小的为b，两个数的最大公约数为factor。
则最终能出现的数包括:factor,factor*2,factor*3, ...,factor*(a/factor)=a. 一共a/factor个。
如果a/factor是奇数，就选择先行动；否则就后行动。
习题
1.分治法的时间性能与直接计算最小问题的时间、合并子问题解的时间以及子问题的个数有关，试说明这几个参数与分治法时间复杂性之间的关系。
计算两个正整数n和m的乘积有一个很有名的算法称为俄式乘法，其思想是利用了一个规模是n的解和一个规模是n/2的解之间的关系：n×m＝n/2×2m（当n是偶数）或：n×m＝(n-1)/2×2m＋m（当n是奇数），并以1×m＝m作为算法结束的条件。例如，图给出了利用俄式乘法计算50×65的例子。据说十九世纪的俄国农夫使用该算法并因此得名，这个算法也使得乘法的硬件实现速度非常快，因为只使用移位就可以完成二进制数的折半和加倍。请设计算法实现俄式乘法。
归并排序：
第一趟：（5,3）（1,9）；
第二趟：（3,5,1,9）；