三角形旋转全等常见模型-精品.pdf

1、绕点型（手拉手模型）

（1）自旋转：

自旋转构造放方法：①遇60°旋60°，构造等边三角形；

②遇90°旋90°，构造等腰直角三角形；

③遇等腰旋转顶角，构造旋转全等；

④遇中点180°，构造中心对称。

（2）共旋转（典型的手拉手模型）

例1、在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明：

（1）△ABE ≌△DBC

（2）AE=DC

（3）AE 与DC 的夹角为60。

（4）△AGB ≌△DFB

（5）△EGB ≌△CFB

（6）BH 平分∠AHC

（7）GF ∥AC

变式练习1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接

AE 与CD ，证明：（1）△ABE ≌△DBC

（2）AE=DC

（3）AE 与DC 的夹角为60。

（4）AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC H F G E D A B C E B

D A C

变式练习2、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明：

(1)△ABE ≌△DBC

(2)AE=DC

(3)AE 与DC 的夹角为60。（4）AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC （1）如图1，点C 是线段AB 上一点，分别以AC ，BC 为边在AB 的同侧作等边△ACM 和△CBN ，连接AN ，BM ．分别取BM ，AN 的中点E ，F ，连接CE ，CF ，EF ．观察并猜想△CEF 的形状，并说明理由．

（2）若将（1）中的“以AC ，BC 为边作等边△ACM 和△CBN ”改为“以AC ，BC 为腰在AB 的同侧作等腰△ACM 和△CBN ，”如图2，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若

H E

B D A C

不成立，请说明理由．

例4、例题讲解：

1. 已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B,C重合），以AD为边作菱形ADEF(按A,D,E,F逆时针排列），使∠DAF=60°,连接CF.

(1) 如图1，当点D在边BC上时，求证：① BD=CF ?②AC=CF+CD.

(2)如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；

(3)如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系。

2、半角模型

说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的

角拼接在一起，成对称全等。

例1、如图，正方形ABCD的边长为1，AB,AD上各存在一点P、Q，若△APQ的周长为2，求PC Q的度数。

D A C B

Q

P

例2、在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MN=BM +DN，求证：①∠

MAN=45°；②

△CMN 的周长=2AB ；③AM 、AN 分别平分∠BMN 和∠DNM 。

例3、在正方形ABCD 中，已知∠MAN=45°，若M 、N 分别在边CB 、DC 的延长线上移动：①试探究线段MN 、BM 、DN 之间的数量关系；②求证：AB=AH.

例4、在四边形ABCD 中，∠B+∠D=180°，AB=AD ，若E 、F 分别在边BC

、CD 且上，满足EF=BE+DF.求证：BAD EAF 21

。