极限的运算法则

7.7 (2)极限的运算法则

一、教学内容分析

本小节的教学内容是在理解无穷数列极限的概念的基础上学习数列极限的运算性质及四个重要的极限，鉴于高二学生现有的数学基础，教材采取从实际的例子引入，给出数列极限的运算性质及四个重要极限的结论，然后通过例题加以说明的方式.

教学重点是数列极限的运算性质，教学中要强调运算性质成立的条件是两个数列的极限都存在.

教学难点是数列极限的运算性质及四个重要极限结论的灵活运用，会进行恒等变形，运算性质可从两个数列推广到有限个数列，注意有限与无限的本质区别.

二、教学目标设计

掌握数列极限的运算性质，会利用这些性质计算数列的极限.

知道数列极限的四个重要结论，并会用它们来求有关数列的极限；

会运用式的恒等变形，把分子、分母极限不存在的分式转化为若干个极限存在的数列的代数和，从而求出极限，提高观

察，分析以及等加转换的能力.

三、教学重点及难点

重点：数列极限的运算性质.

难点：数列极限的运算性质及重要极限的灵活运用.

四、教学流程设计

五、教学过程设计

一、复习回顾

1、数列极限的定义.

2、已知1

23-=n n a n 试判断数列{}n a 是否有极限，如果有，写 出它的极限.

二、讲授新课

1、实例引入

计算由抛物线x y =2，x 轴以及直线x=1所围成的区域

面积S ：2

6)12)(1(lim lim n n n S S n n n --==∞→∞→ 2、数列极限的运算性质

（1）数列极限的运算性质

如果B b A a n n n n ==∞

→∞→lim ,lim ，那么 （1）B A b a b a n n n n n n n ±=±=±∞

→∞→∞→lim lim )(lim ； （2）B A b a b a n n n n n n n ⋅=⋅=⋅∞

→∞→∞→lim lim )(lim ； （3）B A b a b a n n n n n n n ==∞

→∞→∞→lim lim lim ； （2）的推论：若C 是常数，则A C a C b C n n n n n ⋅=⋅=⋅∞

→∞→∞→lim lim )(lim 说明：1、运算性质成立的条件

2、在数列商的极限中，作为分母的数列的项及其极 限都不为零.

（2）常用的数列极限的几个结论

（1）对于数列{}n q ，当1

→n n q （2）对于数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1，有01lim =∞→n

n （3）对于无穷常数列{}C ，有C C n =∞

→lim （3）例题解析

例1：（1）)27(lim n n -∞→；（2）n n n 43lim +∞→；（3）26)12)(1(lim n

n n n --∞→ 例2：（1）)23741(lim 2222n n n n n n -++++∞→ （2）13

23

443lim +++∞→+-n n n n n 说明：1、（2）（3）中，当n 无限增大时，分式中的分子，分

母的极限都不存在，因式极限的运算性质不能直接运 用，为此，可将公式中的分子，分母同时除以n 的最 高次幂，再运用极限的运算性质求出极限；

2、极限的运算性质可由两个数列的和、差、积、商推

广到有限项的和、差、积、商.

3、巩固练习

1.“B b A a n n n n ==∞→∞→lim ,lim ”是“B A b a n n n +=+∞

→)(lim ”成立的 什么条件？为什么？

2.已知2lim ,3lim -==∞→∞→n n n n b a ，求n

n n n b b a 2lim +∞→ 3.计算：

（1）)3

2(lim ++∞→n n n ；（2）22

)12()2(3lim -+∞→n n n ； （3）)1

131211(lim 2222++++++++∞→n n n n n n （4）n

n n n n 5335lim 121-++++∞→ 三、课堂小结

1、数列极限的运算性质

（1）条件

（2）运算

（3）推广

2、四个重要极限 思考题：设0,0>>b a ，求2

1lim ++∞→+-n n n

n n b a b a