极限的运算法则
极限的运算法则
常数因子可以提到极限记号外面.
推论2
如果 lim f ( x)存在,而n是正整数,则 lim[ f ( x)]n [lim f ( x)]n .
二、求极限方法举例
例1
求
lim
x2
x2
x3 1 3x
5
.
解 lim( x 2 3 x 5) lim x 2 lim 3 x lim 5
5 1
2 lim
x
7
3
x 4
x
5 x3 1 x3
2. 7
(无穷小因子分出法)
小结: 当a0 0, b0 0, m和n为非负整数时有
lim
x
a0 x m b0 x n
a1 x m 1 b1 x n1
am bn
0ab,00当,当n n
m m,
,
,当n m,
无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出 无穷小,然后再求极限.
lim
x x0
f
( x)
a
0
(
lim
x x0
x)n
a1
(
lim
x x0
x)n1
an
a0 x0 n a1 x0 n1 an f ( x0 ).
2. 设
f
(
x)
P( x) Q( x)
,
且Q( x0
)
0,
则有
lim P( x)
lim f ( x) x x0
x x0
lim Q( x)
x x0
一、极限运算法则
定理 设 lim f ( x) A, lim g( x) B,则 (1) lim[ f ( x) g( x)] A B; (2) lim[ f ( x) g( x)] A B; (3) lim f ( x) A , 其中B 0. g( x) B
极限的运算法则及计算方法
极限的运算法则及计算方法极限是微积分中的一个重要概念，用于研究函数在接近其中一点时的趋势。
在许多情况下，计算极限可以通过应用一些运算法则来简化。
本文将介绍极限的运算法则以及一些常用的计算方法。
一、极限的四则运算法则1. 乘法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) * g(x))的极限等于f(x)的极限乘以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) * g(x)] = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)。
2. 除法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在且g(x)不等于0，则(f(x) / g(x))的极限等于f(x)的极限除以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) / g(x)] = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)。
3. 加法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) + g(x))的极限等于f(x)的极限加上g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)。
4. 减法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) - g(x))的极限等于f(x)的极限减去g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) - g(x)] = lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)。
二、极限的乘方法则1. 幂函数法则：对于任意正整数n，如果函数f(x)的极限存在，则(f(x)^n)的极限等于f(x)的极限的n次方，即lim(x→a) [f(x)^n] = [lim(x→a) f(x)]^n。
2. 平方根法则：如果函数f(x)的极限存在且大于等于0，则√[f(x)]的极限等于f(x)的极限的平方根，即lim(x→a) √[f(x)] =√[lim(x→a) f(x)]。
三、特殊函数的极限计算法则1. 三角函数：常见的三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等。
极限的运算法则
目录
特例1：常数因子可提到极限记号外面
lim[c f (x)] c lim f (x) （c为常数）
特例2：推广到有限个函数的积
lim[ f (x)]n [lim f (x)]n A（n n N*）
x
a0 xm b0 xn
a1 xm1 b1 xn1
am bn
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a0 ,当n m（分子最高次幂 分母最高次幂） b0
0, 当m （n 分子最高次幂 分母最高次幂）
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目录
练习
1.求
lim
x
5x2 7x2
3x 6x
4 1
解
x2 16
(x 4)(x 4)
lim
lim
lim(x 4) 8
x4 x 4 x4
x4
x4
目录
lim x2 9 x3 x 3
解 分析：因为 lim（x2 9） 0，lim（x 3） 0.
x3
x3
lim x2 9 lim ( x 3)( x 3) lim( x 3) 6
lim
x
3x2
1
2 lim
x
3
3 x2 1 x2
lim(2
x
3 x2
)
lim(3
x
1 x2 )
20 2 30 3
目录
lim x 1 . ( 型 ) x x2 x 1
lim
1 x
1.3 极限运算法则
解 先用 x 3去除分子分母，再求极限
3 2 3 2 2x 3x 5 x lim 3 lim x 7 x 4 x 2 1 x 4 7 x
2 . 7
5 x3 1 3 x
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§1.3 极限运算法则
例3
2x 3 求 lim 2 . x 3 x x 1
( x) a
取 min 0 , 1 , 则当 0 x x0 时 0 ( x) a u a 因此
x x0
f ( u) A ,
故 lim f [ ( x )] A.
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§1.3 极限运算法则
lim( x 2 3 x 2) lim x 2 lim 3 x lim 2
x 1 x 1 x 1 x 1
(lim x )2 3lim x 2 12 3 1 2 6 0,
x 1 x 1
lim( x 1) x 1 11 1 x 1 lim 2 . 2 x 1 x 3 x 2 lim( x 3 x 2) 6 3
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§1.3 极限运算法则
思考练习
在自变量同一变化过程中，若 f ( x ) 有极限，g( x )无极限，那么 f ( x ) g( x )是 否有极限？为什么？
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§1.3 极限运算法则
思考练习
解答
没有极限．
假设 f ( x ) g( x ) 有极限， f ( x ) 有极限， 由极限运算法则可知：
g( x ) f ( x ) g( x ) f ( x ) 必有极限，
与已知矛盾，故假设错误．
函数极限的四则运算法则公式
函数极限的四则运算法则公式
1.两个函数的和的极限等于两个函数极限之和，即
lim[f(x) + g(x)] = lim f(x) + lim g(x)
2. 两个函数的差的极限等于两个函数极限之差，即
lim[f(x) - g(x)] = lim f(x) - lim g(x)
3. 两个函数的积的极限等于两个函数极限之积，即
lim[f(x) * g(x)] = lim f(x) * lim g(x)
4. 两个函数的商的极限等于两个函数极限之商，即
lim[f(x) / g(x)] = lim f(x) / lim g(x) (其中lim g(x) ≠ 0)
这些四则运算法则公式对于求解函数极限问题非常有用，可以大大简化计算过程，提高求解效率。
需要注意的是，在应用这些公式时，应先确定各个函数的极限是否存在，以及分母函数是否为零。
- 1 -。
极限的运算法则
lim(
n
1 n2
2 n2
n n2
)
lim
n
1
2
n2
n
1 n(n 1)
lim 2 n
n2
1 2
lim(1
n
n1 )
1. 2
目录
小结
------极限求法;
1.多项式与分母不为零的分式函数代入法求极限;
2.利用无穷小与无穷大的关系求 A型极限;
0
0
3.消去零因子法求 0极限;
4.分子分母同除以x的最高次方法求 (x 型) 极限; 5.通分法求 极限;
0
则来计算的极限
目录
*求未定式极限方法举例、练习 1. 0 型有理式 0
约零因子法（因 式分解）
方法：分子分母分解因式，消去使他们趋于
零的公因子
( 0型) 0
解
目录
x2 9 lim x3 x 3
解 分析：因为 lim（x2 9） 0，lim（x 3） 0.
x3
x3
lim x2 9 lim ( x 3)( x 3) lim( x 3) 6
lim[c f (x)] c lim f (x) （c为常数）
特例2：推广到有限个函数的积
3、除法法则: 商的极限等于极限的商
lim
f (x) g( x)
lim f (x)
lim g(x)
A B
（B 0）
小 结: 函数的和、差、积、商的极限等于函数极限
的和、差、积、商
目录
(1)和函数的极限等于极限的和. (2)积函数的极限等于极限的乘积. (3)商函数的极限等于极限的商(分母不为零).
lim
x
2 3
2.4 极限的运算法则
10
极限的运算法则
练习
x5 1 lim 7 x2 x 1 x3 x3 2 lim lim x3 x 2 9 x 3 x 3 x 3
高 等 数 直接代入法 学 经 1 济 6 消零因子法 类
8 x 3 8 x 3
x x
(2) lim[ f ( x ) g( x )] A B ;
f ( x) A (3) lim , 其中B 0. x g( x ) B
高 等 数 学 经 济 类
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2
极限的运算法则
推论1
如果 lim f ( x )存在, 而c为常数, 则 lim[cf ( x )] c lim f ( x ).
3 xlim 1
8 x 3 lim x 1 x 1
8 x 3
x 1
x 1
11
lim
x 1 8 x 3
x 1
1 6
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极限的运算法则
高 3x x 1 等 例6 求 lim 2 . ( 型) x 2 x 4 x 3 数 学 解 x 时, 分子, 分母的极限都是无穷大 .经 济 2 先用x 去除分子分母, 分出无穷小, 再求极限.类
则 lim( x 2 ax b ) 1 a b 0.
x 1
x ＋ax b ( x 1 a )( x 1) 于是 lim 2 lim x 1 x 2 x 3 x 1 ( x 3)( x 1)
2
Байду номын сангаас经 济 类
x 1 a 2 a lim 2. x 1 x3 4 故a 6, b 7.
第四节 极限的运算法则
a0 b , 当n m , 0 m m 1 a0 x a1 x a m lim 0,当n m , n n 1 x b x b x bn 0 1 , 当n m ,
无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂 除分子、分母,以分出无穷小,然后再求极限.
. 解: x 时, 分子, 分母的极限都是无穷大
先用x 去除分子分母, 分出无穷小, 再求极限.
3
3 2 3 2 2x 3x 5 x lim 3 lim 2 x 7 x 4 x 1 x 4 7 x
(无穷小因子分出法)
5 3 x 2. 7 1 3 x
小结: 当a 0 0, b0 0, m 和n为非负整数时有
x2 2
x2
x2
小结: 1. 设 f ( x ) a x n a x n 1 a , 则有 0 1 n
x x0
lim f ( x ) a 0 ( lim x ) n a1 ( lim x ) n 1 a n
a0 x0 a1 x0
lim P ( x )
二、求下列各极限:
1 1 1 1、 lim(1 ... n ) n 2 4 2
( x h) 2 x 2 2、 lim h 0 h
1 3 3、 lim( ) 3 x 1 1 x 1 x
1 x 3 4、 lim x 8 2 3 x
5、 lim ( x x x x )
0
n
x x0
n 1
a n f ( x 0 ).
x x0
P( x) 2. 设 f ( x ) , 且Q( x 0 ) 0, 则有 Q( x )
极限四则运算法则
DOCS SMART CREATE
极限四则运算法则
DOCS
01
极限四则运算的基本概念
极限的定义与性质
极限的定义
• 数列极限：当自变量趋向某一值时，数列的项趋向另一值
• 函数极限：当自变量趋向某一值时，函数的值趋向另一值
极限的性质
• 极限存在唯一性：如果一个函数在某个点存在极限，那么这个极限是唯一的
DOCS
间接法求解极限的步骤
• 通过已知条件和极限的性质，间接求出极限的值
• 分析已知条件，找出与极限相关的表达式
• 根据极限的性质，将表达式变形
• 求出极限的值
无穷小量与无穷大量在极限运算中的应用
无穷小量的概念
• 当自变量趋向某一值时，函数值趋向于0，但永远无法等于0
无穷大量的概念
• 当自变量趋向某一值时，函数值趋向于无穷大，但永远无法等于无穷
• 将复杂的极限问题转化为导数问题
过求导数的方法求解极限
• 通过洛必达法则求解极限，简化运算过程
对数函数与指数函数在极限运算中的技巧
对数函数与指数函数在极限运算中的性质
• 对数函数的极限：当自变量趋向于无穷大时，对数函数的极限等于无穷小量
• 指数函数的极限：当自变量趋向于无穷大时，指数函数的极限等于无穷大量
对数函数与指数函数在极限运算中的应用
• 利用对数函数和指数函数的性质，简化极限运算
• 通过变换函数形式，将复杂的极限问题转化为简单的极限问题
04
极限四则运算的案例分析
连续函数与间断函数的极限分析
连续函数的极限分析
断续函数的极限分析
• 连续函数在一点的极限等于函数在该点的值
极限的运算法则
极限的运算法则极限是微积分中的一个重要概念，是描述函数逐渐趋近于其中一特定值的过程。
在计算极限时，可以利用一系列的运算法则来简化计算过程。
这些运算法则包括基本四则运算法则、乘法法则、除法法则、指数法则和复合函数法则等。
- 两个函数的和差的极限：lim(x->a)(f(x)±g(x))=L1±L2- 两个函数的积的极限：lim(x->a)(f(x)g(x))=L1L2- 两个函数的商的极限（假设L2≠0）：lim(x->a)(f(x)/g(x))=L1/L22.乘法法则：对于两个函数f(x)和g(x)，若lim(x->a)f(x)=L1，lim(x->a)g(x)=L2，则有以下乘法法则：- 两个函数的乘积的极限：lim(x->a)(f(x)g(x))=L1L23.除法法则：对于两个函数f(x)和g(x)，若lim(x->a)f(x)=L1，lim(x->a)g(x)=L2，则有以下除法法则：- 两个函数的商的极限（假设L2≠0）：lim(x->a)(f(x)/g(x))=L1/L24.指数法则：对于函数f(x)，若lim(x->a)f(x)=L，则有以下指数法则：- 函数的n次幂的极限：lim(x->a)[f(x)]^n=[lim(x->a)f(x)]^n=L^n- 函数的指数函数的极限：lim(x->a)a^f(x)=a^L（a>0）5.复合函数法则：对于复合函数f(g(x))，若lim(x->a)g(x)=L，lim(u->L)f(u)=M，则有以下复合函数法则：- 复合函数的极限：lim(x->a)f(g(x))=lim(u->L)f(u)=M运用这些极限的运算法则，我们可以简化函数的极限计算过程，从而更方便地求解各种问题。
这些法则在求导等相关应用中也有重要的意义。
极限的性质及运算法则
去心邻域 在该邻域内 有f(x)0(或f(x)0) 定理3 如果在x0的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0)
而且 lim f(x)=A 那么 A0(或 A0)
x x0
推论 如果j(x)f(x) 而limj(x)=a limf(x)=b 那么ab
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2x3 x2 5 lim = 2 2x 1 x 3x
•讨论
有理函数的极限 lim
a0 x n a1x n 1 an b0 xm b1 x m 1 bm
x
=?
•提示
0 0 a0 x n a1x n 1 an a0 a0 x n a1x n 1 an a0 lim lim = = m b x m 1 b m b x m 1 x b x x b x bm b b 0 0 1 1 m 0 0
当 Q ( x 0 ) = 0 且 P ( x 0 ) 0 时
lim
当Q(x0)=P(x0)=0时 约去分子分母的公因式(xx0)
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铃
3x3 4x2 2 例5 例 5 求 lim 3 5x 2 3 x 7 x
解 先用x3去除分子及分母 然后取极限
二、极限的四则运算法则
定理5 如果 lim f(x)=A lim g(x)=B 则 lim[f(x)g(x)] 存在 并且 lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)=AB lim f(x)g(x)=lim f(x)lim g(x)=AB lim [c f(x)]=c lim f(x) (c 为常数)
x 1 x 1 x 1 x 1
(完整版)极限四则运算
§1.5 极限的运算法则极限定义为我们提供了一种求极限的方法,但这种方法使用起来很不方便,并且在大多数情形下也是不可行的.这一节我们将给出极限的若干运算法则,应用这些法则将帮助我们比较方便的进行有关极限的证明和计算. 一 无穷小的运算定理设,,αβγ是0x x →时的无穷小，即0lim ()0,lim ()0,lim ()0,x x x x x x x x x αβγ→→→===下面来叙述有关无穷小的运算定理。
定理1 1）有限个无穷小的和也是无穷小；2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小。
推论：1）常数与无穷小的乘积是无穷小；2） 有限个无穷小的乘积也是无穷小。
二 极限的四则运算法则利用极限与无穷小的关系及无穷小的运算性质，下面叙述极限的极限的四则运算法则。
定理2 如果()0lim x x f x A →=， ()0lim x x g x B →= 则()()()(),()(),0()f x f xg x f x g x B g x ±≠，的极限都存在，且（1） ()()()()0lim lim lim ;x x x x x x f x g x f x g x A B →→→±=±=±⎡⎤⎣⎦（2） ()()()()0lim lim lim ;x x x x x x f x g x f x g x AB →→→==⎡⎤⎣⎦（3） ()()()()000lim lim(0).lim x xx x x x f x f x A B g x g x B→→→==≠ 证 1因为()0lim x x f x A →=， ()0lim x x g x B →=，所以，当0x x →时，0,01>∃>∀δε，当100δ<-<x x 时，有2)(ε<-A x f ，对此ε，02>∃δ，当200δ<-<x x 时，有2)(ε<-B x g ，取},m in{21δδδ=，当δ<-<00x x 时，有εεε=+<-+-≤-+-=+-+22)()())(())(()())()((B x g A x f B x g A x f B A x g x f 所以B A x g x f x x +=+→))()((lim 0。
极限的运算法则
不能直接使用极
1 “, 0 ”“ ”“0 ”“” 限的四则运算法
0
则来计算的极限
目录
*求未定式极限方法举例、练习 1. 0 型有理式 0
约零因子法（因 式分解）
方法：分子分母分解因式，消去使他们趋于
零的公因子
x2 16 lim x4 x 4
(0型 ) 0
解 lim x 2 1 6 lim (x 4 )(x 4 ) lim (x 4 ) 8 x 4x 4 x 4 x 4 x 4
x 1
lim
x1
x2
1
0 0
x1 lim
x1 (x1)(x1)
1 lim
x1 x 1
1 2
目录
练习
求lxi m 1(13x3
1 ). 1x
3 lxi m 1(1x3
11 x x3x2). lxi m 13(11xx3x2)
2xx2
2.利用无穷小与无穷大的关系求 A 型极限;
0
0
3.消去零因子法求 0极限;
4.分子分母同除以x的最高次方法求 (x 型) 极限; 5.通分法求 极限;
6.利用左右极限求分段函数极限.
7.复合函数的极限. 8.无穷小与有界变量的积是无穷小.
目录
例：lim （x23x5） . x2
代入法
解： lim (x23x5)lim x2li3 m xli5 m
x2
x 2
x 2
x 2
223253
课本例题：lim(x2 2x) x2
例：
x2 1
lim
.
x3 x 4
解：lim(x4) limxlim434 10
1-5极限的运算法则
o
1
x
小结
1.极限的四则运算法则及其推论;
2.求极限的多种方法：
(1) 多项式与分式函数代入法求极 限 ; 消去零因子法求极限; (2) (3) 无穷小因子分出法求极限; (4) 利用无穷小运算性质求极限; (5) 利用左右极限求分段函数极限.
思考题
若 f ( x ) 有极限，g ( x ) 无极限， 在某个过程中，
lim Pn ( x ) Pn ( x ) x x0 lim R( x ) lim x x0 x x0 P ( x ) lim Pm ( x ) m x x0 Pn ( x0 ) R( x0 ). Pm ( x0 ) 若Pm ( x0 ) 0, 则商的法则不能应用.
2 3 n 1 例 求 lim n2 n2 n2 . n n 2
解： 当 n 时, 是无穷多个无穷小之和．
先变形再求极限.
2 n 1 2 n 1 lim 2 2 2 lim 2 n n n n n n 1 n( n 1) 1 1 1 2 lim lim 1 . 2 n n 2 n n 2
0 0
二、求极限方法举例
例
x3 1 求 lim 2 . x2 x 3 x 5
2 x2
2 lim x 3 x lim 5 解: lim( x 3 x 5) x 2 lim x2 x2
(lim x )2 3lim x lim 5
x2 x2 x2
由无穷小与无穷大的关系,得
4x 1 lim 2 . x 1 x 2 x 3
例
x 1 求 lim 2 . x 1 x 2 x 3
1.2.2极限的运算法则
f ( x ) A , g( x ) B . 其中 0, 0.
由无穷小运算法则, 得
[ f ( x ) g( x )] ( A B ) 0. (1)成立. [ f ( x ) g( x )] ( A B ) ( A )( B ) AB ( A B) 0.
无穷小分出法:以分式中自变量的最高次幂除分 子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.
例 解
1 2 n 求 lim ( 2 2 2 ). n n n n
n 时, 是无限多个无穷小之和．
先变形再求极限.
1 2 n 1 2 n lim ( 2 2 2 ) lim n n n n n n2
练习题答案
一、1、-5； 5、0； 二、1、2； 1 5、 ； 2 2、3； 6、0； 2、2 x ； 6、0； 3、2；
1 7、 ； 2 3、-1； mn 7、 . mn
1 4、 ； 5 3 30 8、( ) . 2 4、-2；
作业: P24
Ex 1（3）(6), Ex2 (3) (8)
x x0 x x0
a0 x0 a1 x0
n
n 1
an f ( x0 ).
P( x) 2. 设 f ( x ) , 且Q( x 0 ) 0, 则有 Q( x )
P ( x0 ) lim f ( x ) f ( x0 ). x x0 lim Q( x ) Q( x 0 )
3 2
解
x 时, 分子, 分母的极限都是无穷大. ( 型 )
5 x3 2. 1 7 3 x
函数极限的四则运算法则证明过程
函数极限的四则运算法则证明过程函数极限的四则运算法则是指在计算函数极限时，如果两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商的极限也存在，并且满足一定的运算规则。
下面我们来逐步证明四则运算法则的正确性。
1. 和的极限法则证明：设函数序列{f_n(x)}和{g_n(x)}分别收敛于函数f(x)和g(x)，即lim{n→∞}f_n(x) = f(x)和lim{n→∞}g_n(x) = g(x)。
我们要证明lim{n→∞}(f_n(x) + g_n(x)) = f(x) +g(x)。
根据极限的定义，对于任意ε > 0，存在N1和N2，当n>N1时有|f_n(x) - f(x)| < ε/2，当n>N2时有|g_n(x) - g(x)| < ε/2。
取N = max{N1, N2}，则当n>N时有|f_n(x) + g_n(x) - (f(x) + g(x))| = |(f_n(x) -f(x)) + (g_n(x) - g(x))| ≤ |f_n(x) - f(x)| + |g_n(x) - g(x)| < ε/2 + ε/2 = ε。
因此，lim{n→∞}(f_n(x) + g_n(x)) = f(x) + g(x)。
2. 差的极限法则证明：类似地，我们可以证明lim{n→∞}(f_n(x) - g_n(x)) = f(x) - g(x)。
3. 积的极限法则证明：要证明lim{n→∞}(f_n(x) * g_n(x)) = f(x) * g(x)，我们可以利用极限的乘法法则进行证明。
具体证明步骤略。
4. 商的极限法则证明：对于lim{n→∞}(f_n(x) / g_n(x)) = f(x) / g(x)，我们需要额外假设g(x) ≠ 0，以避免出现除以零的情况。
具体证明步骤略。
综上所述，通过以上证明过程，我们可以得出函数极限的四则运算法则的正确性。
在实际计算函数极限时，可以根据这些法则简化计算过程，提高计算的效率。
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7.7 (2)极限的运算法则
一、教学内容分析
本小节的教学内容是在理解无穷数列极限的概念的基础上学习数列极限的运算性质及四个重要的极限，鉴于高二学生现有的数学基础，教材采取从实际的例子引入，给出数列极限的运算性质及四个重要极限的结论，然后通过例题加以说明的方式.
教学重点是数列极限的运算性质，教学中要强调运算性质成立的条件是两个数列的极限都存在.
教学难点是数列极限的运算性质及四个重要极限结论的灵活运用，会进行恒等变形，运算性质可从两个数列推广到有限个数列，注意有限与无限的本质区别.
二、教学目标设计
掌握数列极限的运算性质，会利用这些性质计算数列的极限.
知道数列极限的四个重要结论，并会用它们来求有关数列的极限；
会运用式的恒等变形，把分子、分母极限不存在的分式转化为若干个极限存在的数列的代数和，从而求出极限，提高观
察，分析以及等加转换的能力.
三、教学重点及难点
重点：数列极限的运算性质.
难点：数列极限的运算性质及重要极限的灵活运用.
四、教学流程设计
五、教学过程设计
一、复习回顾
1、数列极限的定义.
2、已知1
23-=n n a n 试判断数列{}n a 是否有极限，如果有，写 出它的极限.
二、讲授新课
1、实例引入
计算由抛物线x y =2，x 轴以及直线x=1所围成的区域
面积S ：2
6)12)(1(lim lim n n n S S n n n --==∞→∞→ 2、数列极限的运算性质
（1）数列极限的运算性质
如果B b A a n n n n ==∞
→∞→lim ,lim ，那么 （1）B A b a b a n n n n n n n ±=±=±∞
→∞→∞→lim lim )(lim ； （2）B A b a b a n n n n n n n ⋅=⋅=⋅∞
→∞→∞→lim lim )(lim ； （3）B A b a b a n n n n n n n ==∞
→∞→∞→lim lim lim ； （2）的推论：若C 是常数，则A C a C b C n n n n n ⋅=⋅=⋅∞
→∞→∞→lim lim )(lim 说明：1、运算性质成立的条件
2、在数列商的极限中，作为分母的数列的项及其极 限都不为零.
（2）常用的数列极限的几个结论
（1）对于数列{}n q ，当1<q 时，有0lim =∞
→n n q （2）对于数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1，有01lim =∞→n
n （3）对于无穷常数列{}C ，有C C n =∞
→lim （3）例题解析
例1：（1）)27(lim n n -∞→；（2）n n n 43lim +∞→；（3）26)12)(1(lim n
n n n --∞→ 例2：（1）)23741(lim 2222n n n n n n -++++∞→ （2）13
23
443lim +++∞→+-n n n n n 说明：1、（2）（3）中，当n 无限增大时，分式中的分子，分
母的极限都不存在，因式极限的运算性质不能直接运 用，为此，可将公式中的分子，分母同时除以n 的最 高次幂，再运用极限的运算性质求出极限；
2、极限的运算性质可由两个数列的和、差、积、商推
广到有限项的和、差、积、商.
3、巩固练习
1.“B b A a n n n n ==∞→∞→lim ,lim ”是“B A b a n n n +=+∞
→)(lim ”成立的 什么条件？为什么？
2.已知2lim ,3lim -==∞→∞→n n n n b a ，求n
n n n b b a 2lim +∞→ 3.计算：
（1）)3
2(lim ++∞→n n n ；（2）22
)12()2(3lim -+∞→n n n ； （3）)1
131211(lim 2222++++++++∞→n n n n n n （4）n
n n n n 5335lim 121-++++∞→ 三、课堂小结
1、数列极限的运算性质
（1）条件
（2）运算
（3）推广
2、四个重要极限 思考题：设0,0>>b a ，求2
1lim ++∞→+-n n n
n n b a b a。