41转动惯量与转动定律

an
r
atv
at r an r 2
a r et r 2en
例1 一飞轮半径为 0.2m、 转速为150r·min-1， 因 受制动而均匀减速，经 30 s 停止转动 . 试求：（1） 角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开 始后 t = 6 s 时飞轮的角速度；（3）t = 6 s 时飞轮边缘 上一点的线速度、切向加速度和法向加速度 .
y)]Ldy
p0Lh
1 2
gLh2
代入数据，得
F 5.911010 N
h 100m
L 1000m
y
dF [ p0 g(h y)]Ldy dF 对通过点 Q 的轴的力矩 h dF
dy
y
dM ydF
O
Q
dM y[ p0 g(h y)]Ldy
h
M 0 y[ p0 g(h y)]Ldy
z
k
Fz
F
O r
F
2）合力矩等于各分力矩的矢量和
M M1 M2 M3
3） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消
Mij M ji
例1 有一大型水坝高110 m、长1000m，水深100m， 水面与大坝表面垂直，如图所示 . 求作用在大坝上的力， 以及这个力对通过大坝基点 Q 且与 x 轴平行的力矩 .
1 2
p0 Lh2
1 6
g Lh3
代入数据，得
M 2.141012 N m
2、 转动定律
1）单个质点 m 与转 轴刚性连接
Ft mat mr
M rF sin
M rFt mr2 M mr2
2）刚体
质量元受外力 Fej，内力 Fij
Mej Mij mjrj2
外力矩
内力矩
z
M
Ft F
a R
a
mB g
mA mB mC 2
FT1
mA
mAmB g mB mC
2
A mA
FT1
C mC FT2
FT2
(mA mC 2)mB g mA mB mC 2
如令 mC 0，可得
mB B
FT1
FT2
mAmB g mA mB
（2） B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率
v 2ay
mB g FT2 mBa RFT2 RFT1 M f J
a R
A mA
FT1
C mC FT2
mB B
a mBg M f R mA mB mC / 2
FT1
mA (mBg M f / R) mA mB mC / 2
FT2 mB
(mA mC 2) g Mf mA mB mC 2
处的质量元 dm dr dJ r2dm r2dr
J 2 l /2 r2dr 1 l3
0
12
1 ml2
12
如转轴过端点垂直于棒
J l r 2dr 1 ml2
0
3
4、平行轴定理
在例2中JC 表示相对通过质心的轴的转动惯量，
=======JA表示相对通过棒端的轴的转动惯量。 =======两轴平行，相距L/2。可见：
2π 2π
（2）t 6s时，飞轮的角速度
0
t
(5
π
π 6
6)rad
s1
4
π
rad
s1
（3）t 6s 时，飞轮边缘上一点的线速度大小
v r 0.2 4 π m s2 2.5 m s2
该点的切向加速度和法向加速度
at
r
0.2 (
π)m s2 6
0.105
m s2
an r2 0.2 (4 π)2 m s2 31.6 m s2
x
x0
v0t
1 2
at
2
v2 v02 2a(x x0)
0 t
0
0t
1 2
t
2
2 02 2( 0)
4、角速度矢量
角速度的方向：与刚 体转动方向呈右手螺旋关 系。
在定轴转动中，角速 度的方向沿转轴方向。
ω 角速度矢量
5、 角量与线量的关系
d
dt
d
dt
d2
d2t
v ret
a et
A
mA
FT1
FN
PmA AO
FT1
x
FT1
FC
PC
FT2
C
mC FT2
mB B
FT2
O
mB PB y
解 （1）隔离物体分别对物体 A、B 及滑轮作受力分析，取 坐标如图，运用牛顿第二定 律 、转动定律列方程 .
FT1 mAa
mB g FT2 mBa
RFT2 RFT1 J
3、转动惯量的计算 质量离散分布 质量连续分布
J＝ miri2
i
J r2dm
dm为质量元，简称质元。其计算方法如下：
dm dl
线密度
dm ds
面密度
dm dV
体密度
例2 一质量为 m 、长为 l 的均匀细长棒，求 通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 .
A
C
B
A
B
L/2
L/2
X
Lຫໍສະໝຸດ Baidu
X
r 解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为
R
例5、一个飞轮的质量为69kg，半径为0.25m, 正在以
每分1000转的转速转动。现在制动飞轮，要求在5.0秒
内使它均匀减速而最后停下来。
F
求闸瓦对轮子的压力N 为多大？
（假设飞轮的质量都集中在
轮缘上）μ =0.50 .
0
解：飞轮匀减速制动时有角加速度
0
t 0 1000r / min 2000 / 60 104.7rad/s
4-2 力矩 、转动定律、转动惯量
M
1、力矩
F 对转轴 Z 的力矩
M rF
O
z
M
r
F
P*
d
M Fr sin Fd
d : 力臂
1）若力 F 不在转动平面内，把力分解为平行和垂 直于转轴方向的两个分量
F Fz F 其中 Fz 对转轴的力
矩为零，故 F 对转轴的
力矩
M zk r F
M z rF sin
形滑轮C，并系在另一质量为 mB 的物体B上.滑轮与绳索间没 有滑动，且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计.
问：（1）两物体的线加速度为多少？水平和竖直两段绳索
的张力各为多少？
A mA
C
mC
mB B
（2）物体 B 从静止 落下距离y时，其速 率是多少？
（3）若滑轮与轴承 间的摩擦力不能忽略，
并设它们间的摩擦力 矩为M.再求线加速度 及绳的张力.
J
A＝J
C＋m
L 2
2
1 12
mL2
1 4
mL2
1 3
mL2
推广：若有任一轴与过质心的轴平行，相距为
d，刚体对其转动惯量为J ，则有：
J＝JC＋md2。
例3 一质量为 m 、半径为 R 的均匀圆盘，求通
过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 .
解 设圆盘面密度为 ，
在盘上取半径为 r ，宽为 dr
O
r
m
Fn
z
Fej
O rj mj
Fij
Mej Mij mjrj2α
j
j
Mij M ji Mij 0
j
Mej ( mjrj2 )α
j
定义转动惯量 J mjrj2
j
转动定律 M J
z
Fej
O rj mj
Fij
2
J r dm
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成 正比 ，与刚体的转动惯量成反比 .
0 t 5s 0 0 20.9rad/s2
t
fr
N
外力矩是摩擦阻力矩，
角加速度为负值。
0
M＝ fr R NR J mR2
NR mR2
N mR 784N
特点： 角位移，角速度和角加速度均相同；
质点在垂直转轴的平面内运动，且作圆周 运动。
z
角位移
A
r1 o1
A
B
r2
o2
B
角速度 角加速度
d
dt
d
dt
刚体的定轴转动
匀变速转动公式
当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体 做匀变速转动 .
质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
v v0 at
y
y
dA
x
dy
hy
x
O
Q
O
解 设水深h，坝长L，在坝面上取面积元 dA Ldy
作用在此面积元上的力
dF pdA pLdy
h 100m
L 1000m
y
令大气压为 p0 ，则
p p0 g(h y) h y dF [ p0 g(h y)]Ldy O
dA
dy
x
F
h
[
0
p0
g (h
的圆环
圆环质量 dm 2 π rdr
O
RR
r
dr
圆环对轴的转动惯量
dJ r2dm 2 π r3dr
J R 2 π r3dr π R4
0
2
而 m π R2
所以 J 1 mR2 2
例4 质量为 mA 的物体 A 静止在光滑水平面上，和一质量
不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为R、质量为 mC的圆柱
第四章 刚体的转动
第4-1讲: 转动惯量、定轴转动定律
4-1 刚体的定轴转动定律
1、刚体 系统内任意两质点间的距离始终保持不变
2、平动 当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定 的直线，在运动中始终保持它的方向不变，这种运 动叫平动。
3、刚体的定轴转动
刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的圆周运 动，且在相同时间内转过相同的角度。
2mB gy
mA mB mC / 2
（3） 考虑滑轮与轴承间的摩
擦力矩 M f ，转动定律 RFT2 RFT1 Mf J
结合（1）中其它方程
FT1 mAa
mBg FT2 mBa
RFT2 RFT1 M f J
a R
FT1
Mf
FT2
FT2
FN
mB
PB
mA FT1
PA
FT1 mAa
解 （1）0 5 π rad s1, t = 30 s 时， 0.
设 t = 0 s 时，0 0 .飞轮做匀减速运动
0 0 5 π rad s1 π rad s2
t
30
6
飞轮 30 s 内转过的角度
2 02 (5 π)2 75 π rad 2 2 ( π 6)
转过的圈数 N 75 π 37.5 r