高考数学专题2指数函数、对数函数和幂函数2.1.2第1课时指数函数的图象和性质学案湘教版必修1(2

2018版高考数学专题2 指数函数、对数函数和幂函数2.1.2 第1课时指数函数的图象和性质学案湘教版必修1
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第1课时指数函数的图象和性质
[学习目标] 1。

理解指数函数的概念和意义。

2.能借助计算器或计算机画出指数函数的图象.3。

初步掌握指数函数的有关性质．
［知识链接］
1．a r·a s＝a r＋s；（a r)s＝a rs；（ab)r＝a r·b r。

其中a＞0,b＞0，r,s∈R.
2．在初中，我们知道有些细胞是这样分裂的:由1个分裂成2个，2个分裂成4个,….1个这样的细胞分裂x次后，第x次得到的细胞个数y与x之间构成的函数关系为y＝2x，x∈{0,1,2,…｝．
［预习导引]
1．函数y＝a x叫作指数函数，其中a是不等于1的正实数，函数的定义域是R.
2．从图象可以“读”出的指数函数y＝a x(a＞1）的性质有：
(1)图象总在x轴上方,且图象在y轴上的射影是y轴正半轴（不包括原点)．由此，函数的值域是R＋；
(2）图象恒过点（0,1)，用式子表示就是a0＝1;
（3）函数是区间(－∞，＋∞）上的递增函数，由此有:当x＞0时，有a x＞a0＝1；当x＜0时，有0＜a x＜a0＝1.
3．如果底数a∈(0，1),那么,它的倒数错误!＞1，y＝a x＝错误!－x，它的图象和y＝错误!x的图象关于y轴对称，可以类似地得到函数y＝a x(0＜a＜1）的性质：
(1)图象总在x轴上方，且图象在y轴上的射影是y轴正半轴（不包括原点）．由此，函数的值域是R＋;
（2)图象恒过点（0,1),用式子表示就是a0＝1；
（3）函数是区间(－∞，＋∞）上的递减函数，由此有：当x＞0时,有0＜a x＜a0＝1；当x＜0时，有a x＞a0＝1.
要点一指数函数的概念
例1 给出下列函数:
①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3;⑤y＝(－2)x。

其中，指数函数的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．4
答案B
解析①中,3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1,幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中,y＝x3的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．⑤中,底数－2＜0，不是指数函数．
规律方法 1.指数函数的解析式必须具有三个特征：(1）底数a为大于0且不等于1的常数；（2）指数位置是自变量x；(3)a x的系数是1.
2．求指数函数的关键是求底数a，并注意a的限制条件．
跟踪演练1 若函数y＝(4－3a)x是指数函数，则实数a的取值范围为________________．
答案{a|a＜错误!，且a≠1}
解析y＝（4－3a)x是指数函数，需满足：
错误!解得a＜错误!且a≠1.
故a的取值范围为{a｜a＜错误!,且a≠1｝．
要点二指数函数的图象
例2 如图是指数函数①y＝a x，②y＝b x，③y＝c x，④y＝d x的图象，则a，b，c,d与1的大小关系是（）
A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c
C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c
答案B
解析方法一在y轴的右侧，指数函数的图象由下到上,底数依次增大．
由指数函数图象的升降,知c＞d＞1，b＜a＜1。

∴b＜a＜1＜d＜c.
方法二作直线x＝1，与四个图象分别交于A、B、C、D四点，由于x＝1代入各个函数可得函数值等于底数的大小，所以四个交点的纵坐标越大，则底数越大，由图可知b＜a＜1＜d＜c.故选B。

规律方法 1.无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝a x(a＞0，a≠1）的图象与直线x ＝1相交于点(1，a)，由图象可知：在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大．
2．处理指数函数的图象：①抓住特殊点，指数函数图象过点(0，1)；②巧用图象平移变换；
③注意函数单调性的影响．
跟踪演练2 （1)函数y＝|2x－2|的图象是（)
(2)直线y＝2a与函数y＝｜a x－1|（a＞0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________．
答案(1)B （2）(0，错误!）
解析（1）y＝2x－2的图象是由y＝2x的图象向下平移2个单位长度得到的,故y＝|2x－2|的图象是由y＝2x－2的图象在x轴上方的部分不变，下方部分对折到x轴的上方得到的．（2）当a＞1时,在同一坐标系中作出函数y＝2a和y＝｜a x－1|的图象（如图(1))．由图象可知两函数图象只能有一个公共点，此时无解．当0＜a＜1时，作出函数y＝2a和y＝｜a x－1|的图象（如图（2））．若直线y＝2a与函数y＝|a x－1|（a＞0且a≠1)的图象有两个公共点，由图象可知0＜2a＜1，所以0＜a＜错误!。

要点三 指数型函数的定义域、值域 例3 求下列函数的定义域和值域： （1)y ＝2
14
x -;（2）y ＝错误!；(3）y ＝错误!2
2 3.－－x x
解 (1）由x －4≠0,得x ≠4， 故y ＝2
14
x -的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠4｝．
又错误!≠0,即21
4
x -≠1，
故y ＝2
14
x -的值域为{y |y ＞0，且y ≠1｝．
（2）由1－2x
≥0,得2x
≤1，∴x ≤0, ∴y ＝错误!的定义域为（－∞，0］．
由0＜2x ≤1，得－1≤－2x ＜0,∴0≤1－2x
＜1， ∴y ＝错误!的值域为[0，1)． (3）y ＝错误!2
23－－x x 的定义域为R 。

∵x 2
－2x －3＝(x －1)2
－4≥－4， ∴错误!
x 2－2x －3
≤错误!－4
＝16.
又∵错误!2
23－－x x ＞0, 故函数y ＝错误!
223
－－x x 的值域为(0,16]．
规律方法 对于y ＝a
f (x )
(a ＞0，且a ≠1）这类函数，
（1)定义域是使f （x )有意义的x 的取值范围; (2）值域问题，应分以下两步求解： ①由定义域求出u ＝f （x ）的值域；
②利用指数函数y ＝a u
的单调性求得此函数的值域．
跟踪演练3 (1)函数f （x )＝错误!＋错误!的定义域为（ ) A ．（－3,0］
B ．(－3,1]
C ．(－∞，－3)∪(－3，0]
D ．（－∞，－3)∪(－3，1]
（2)函数f（x)＝错误!x－1，x∈[－1,2］的值域为____________．答案(1）A （2）［－错误!，2]
解析(1)由题意，得自变量x应满足错误!
解得错误!∴－3＜x≤0.
（2)∵－1≤x≤2，∴错误!≤错误!x≤3，
∴－8
9
≤错误!x－1≤2,∴值域为错误!。

1．下列各函数中，是指数函数的是（)
A．y＝（－3）x B．y＝－3x
C．y＝3x－1D．y＝错误!x
答案D
解析由指数函数的定义知a＞0且a≠1，故选D.
2．函数y＝错误!x的图象可能是（)
答案C
解析0＜错误!＜1且过点（0，1）,故选C.
3．函数y＝2x，x∈[1，＋∞)的值域是（）
A．[1，＋∞）B．［2，＋∞）
C．[0，＋∞）D．(0，＋∞)
答案B
解析y＝2x在R上是增函数，且21＝2,故选B.
4．函数f(x)＝a x的图象经过点（2，4)，则f（－3）的值是________．
答案1 8
解析由题意知4＝a2，所以a＝2，因此f(x）＝2x，
故f（－3）＝2－3＝错误!。

5．函数y＝错误!21－x的值域是________．
答案(0，2]
解析∵x2－1≥－1,∴y＝错误!21－x≤错误!－1＝2,
又y＞0,∴函数值域为（0,2］．
1。

指数函数的定义域为（－∞,＋∞），值域为(0,＋∞），且f（0）＝1.
2．当a＞1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快．当0＜a＜1时，a的值越小，图象越靠近y轴,递减的速度越快．
一、基础达标
1．y＝2x－1的定义域是（)
A．(－∞，＋∞） B．（1，＋∞)
C．[1，＋∞）D．（0,1）∪（1，＋∞)
答案A
解析不管x取何值，函数式都有意义，故选A.
2．已知集合M＝｛－1，1｝,N＝错误!，则M∩N等于（）
A．{－1，1｝B．｛－1}C．{0｝D．{－1,0｝
答案B
解析∵错误!＜2x＋1＜4，∴2－1＜2x＋1＜22，
∴－1＜x＋1＜2，∴－2＜x＜1.
又∵x∈Z，∴x＝0或x＝－1，即N＝｛0，－1}，
∴M∩N＝｛－1｝．
3．函数y＝2x＋1的图象是( ）
答案A
解析当x＝0时，y＝2，且函数单调递增,故选A。

4．当x∈[－2,2)时,y＝3－x－1的值域是( )
A．(－8
9
，8] B．［－
8
9
，8]
C．(错误!，9）D．［错误!，9]
答案A
解析y＝3－x－1，在x∈[－2，2）上是减函数，∴3－2－1＜y≤32－1,即－错误!＜y≤8。

5．指数函数y＝（2－a）x在定义域内是减函数,则a的取值范围是________．
答案(1,2）
解析由题意可知，0＜2－a＜1，即1＜a＜2.
6．函数y＝a x－5＋1(a≠0)的图象必经过点________．
答案(5，2)
解析指数函数的图象必过点(0,1),即a0＝1，由此变形得a5－5＋1＝2，所以所求函数图象必过点(5,2)．
7．已知函数f（x)＝a x－1（x≥0）的图象经过点（2,错误!)，其中a＞0且a≠1.
（1）求a的值;
（2）求函数y＝f(x）(x≥0)的值域．
解（1)因为f（x)的图象过点(2，错误!)，
所以a2－1＝错误!，则a＝错误!。

（2)由(1)知,f(x)＝(错误!）x－1，x≥0.
由x≥0，得x－1≥－1,
于是0＜(错误!)x－1≤(错误!）－1＝2，
所以函数y＝f(x）（x≥0）的值域为(0，2］．
二、能力提升
8．函数y＝5－|x｜的图象是( ）
答案D
解析 当x ＞0时,y ＝5
－|x |
＝5－x
＝（15
)x
，又原函数为偶函数,故选D.
9．已知函数f (x )＝错误!若f (a ）＋f (1）＝0，则实数a 的值等于（ ） A ．－3B ．－1C ．1D ．3 答案 A
解析 依题意，f （a )＝－f （1）＝－21
＝－2，∵2x
＞0, ∴a ≤0，∴f (a )＝a ＋1＝－2，故a ＝－3,所以选A 。

10．方程｜2x
－1｜＝a 有唯一实数解，则a 的取值范围是________． 答案 ｛a |a ≥1或a ＝0｝
解析 作出y ＝|2x
－1|的图象，如图，要使直线y ＝a 与图象的交点只有一个，∴a ≥1或a ＝0。

11．求函数y ＝（错误!)
222
－x x (0≤x ≤3）的值域．
解 令t ＝x 2
－2x ＋2，则y ＝（错误!)t
， 又t ＝x 2
－2x ＋2＝（x －1)2
＋1, ∵0≤x ≤3，
∴当x ＝1时，t min ＝1,当x ＝3时,t max ＝5。

故1≤t ≤5,∴（错误!）5
≤y ≤（错误!)1
， 故所求函数的值域[1
32，错误!]．
三、探究与创新
12．函数f (x )＝a x
(a ＞0，且a ≠1）在区间[1,2]上的最大值比最小值大错误!，求a 的值． 解 （1)若a ＞1，则f (x ）是增函数，
∴f （x )在［1,2］上的最大值为f (2)，最小值为f (1)． ∴f （2）－f (1）＝错误!，即a 2
－a ＝错误!. 解得a ＝错误!.
（2）若0＜a ＜1，则f (x ）是减函数，
∴f （x ）在［1,2]上的最大值为f （1）,最小值为f (2）， ∴f （1）－f (2)＝错误!，即a －a 2＝错误!，
解得a＝错误!.
综上所述，a＝错误!或a＝错误!。

13．设0≤x≤2,y＝4
1
2
－
x
－3·2x＋5，试求该函数的最值．
解令t＝2x,0≤x≤2，
∴1≤t≤4.
则y＝22x－1－3·2x＋5＝错误!t2－3t＋5.
又y＝错误!（t－3)2＋错误!,t∈［1,4],
∴y＝错误!(t－3）2＋错误!，在t∈［1，3]上是减函数；在t∈［3,4］上是增函数，∴当t＝3时,y min＝错误!;当t＝1时,y max＝错误!.
故函数的最大值为错误!，最小值为错误!。