(辽宁省)2014年高考真题数学(理)试题

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2014年辽宁省高考数学试卷(理科)

2014年辽宁省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共小题，每小题分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．．（分）已知全集， ≤ ， ≥ ，则集合∁（ ∪ ）（）． ≥ ． ≤ ． ≤ ≤ ．＜＜．（分）设复数满足（ ﹣ ）（ ﹣ ），则（）．． ﹣ ．． ﹣．（分）已知，，，则（）．＞＞．＞＞．＞＞．＞＞．（分）已知，表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）．若 ∥ ， ∥ ，则 ∥ ．若 ⊥ ， ⊂ ，则 ⊥．若 ⊥ ， ⊥ ，则 ∥ ．若 ∥ ， ⊥ ，则 ⊥．（分）设，，是非零向量，已知命题：若，，则；命题：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（）． ∨ ． ∧ ．（￢）∧（￢）． ∨（￢）．（分）把椅子排成一排，人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）．．．．．（分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）． ﹣ ． ﹣ ． ﹣ ． ﹣．（分）设等差数列的公差为，若数列为递减数列，则（）．＜．＞．＜．＞．（分）将函数（）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）．在区间，上单调递减．在区间，上单调递增．在区间 ﹣，上单调递减．在区间 ﹣，上单调递增10．（5分）已知点A （﹣2，3）在抛物线C ：y 2=2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（） A ． B ． C ． D ．11．（5分）当x ∈[﹣2，1]时，不等式ax 3﹣x 2+4x +3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[﹣5，﹣3]B ．[﹣6，﹣]C ．[﹣6，﹣2]D ．[﹣4，﹣3] 12．（5分）已知定义在[0，1]上的函数f （x ）满足： ①f （0）=f （1）=0；②对所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f（x）﹣f（y）|＜|x﹣y|．若对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜m恒成立，则m的最小值为（）A．B．C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

2014年辽宁省高考数学试卷(理科)(含解析版)

2014年辽宁省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）=（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0＜x＜1} 2．（5分）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（）A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i3．（5分）已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a 4．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α5．（5分）设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）6．（5分）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A．144B．120C．72D．247．（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8﹣2πB．8﹣πC．8﹣D．8﹣8．（5分）设等差数列{a n}的公差为d，若数列{}为递减数列，则（）A．d＜0B．d＞0C．a1d＜0D．a1d＞09．（5分）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递增B．在区间[，]上单调递减C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增10．（5分）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（）A．B．C．D．11．（5分）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣5，﹣3]B．[﹣6，﹣]C．[﹣6，﹣2]D．[﹣4，﹣3] 12．（5分）已知定义在[0，1]上的函数f（x）满足：①f（0）=f（1）=0；②对所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f（x）﹣f（y）|＜|x﹣y|．若对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜m恒成立，则m的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

2014年高考理科数学辽宁卷

2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁）数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2014年辽宁，理1，5分】已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)=（）（A）{x|x≥0}（B）{x|x≤1}（C）{x|0≤x≤1}（D）{x|0<x<1}【答案】D【解析】A∪B={x|x≥1或x≤0}，∴∁U(A∪B)={x|0<x<1}，故选D．【点评】本题考查了集合的并集、补集运算，利用数轴进行数集的交、并、补运算是常用方法．（2）【2014年辽宁，理2，5分】设复数z满足(z−2i)(2−i)=5，则z=（）（A）2+3i（B）2−3i（C）3+2i（D）3−2i【答案】A【解析】由(z−2i)(2−i)=5，得：z−2i=52−i =5(2+i)(2−i)(2+i)=2+i，∴z=2+3i，故选A．【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础的计算题．（3）【2014年辽宁，理3，5分】已知a=2−13，b=log213，c=log1213，则（）（A）a>b>c（B）a>c>b（C）c>a>b（D）c>b>a 【答案】C【解析】∵0<a=2−13<20=1，b=log213<log21=0，c=log1213=log23>log22=1，∴c>a>b，故选C．【点评】本题考查指数的运算性质和对数的运算性质，在涉及比较两个数的大小关系时，有时借助于0、1这样的特殊值能起到事半功倍的效果，是基础题．（4）【2014年辽宁，理4，5分】已知m,n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）（A）若m//α，n//α，则m//n（B）若m⊥α，n⊂α，则m⊥n（C）若m⊥α，m⊥n，则n//α（D）若m//α，m⊥n，则n⊥α【答案】B【解析】A：若m//α，n//α，则m，n相交或平行或异面，故A错；B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；C．若m⊥α，m⊥n，则n//α或n⊂α，故C错；D．若m//α，m⊥n，则n//α或n⊂α或n⊥α，故D错，故选B．【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型．（5）【2014年辽宁，理5，5分】设a,b,c是非零向量，已知命题p：若ab=0，bc=0，则ac=0；命题q：若a∥b，b ∥c ，则a ∥c ，则下列命题中真命题是（）（A ）p ∨q （B ）p ∧q （C ）(¬p)∧(¬q) （D ）p ∨(¬q) 【答案】A【解析】若ab =0，bc =0，则ab =bc ，即(a −c )b =0，则ac =0不一定成立，故命题p 为假命题，若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，故命题q 为真命题，则p ∨q ，为真命题，p ∧q ，(¬p)∧(¬q)，p ∨(¬q)都为假命题，故选A ．【点评】本题主要考查复合命题之间的判断，利用向量的有关概念和性质分别判断p ，q 的真假是解决本题的关键．（6）【2014年辽宁，理6，5分】6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（）（A ）144 （B ）120 （C ）72 （D ）24 【答案】D【解析】3人全排，有A 33=6种方法，形成4个空，在前3个或后3个或中间两个空中插入椅子，有4种方法，根据乘法原理可得所求坐法种数为6×4=24种，故选D ．【点评】本题考查排列知识的运用，考查乘法原理，先排人，再插入椅子是关键．（7）【2014年辽宁，理7，5分】某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）（A ）8−2π（B ）8−π（C ）8−π2（D ）8−π4【答案】B【解析】由三视图知：几何体是正方体切去两个14圆柱，正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，∴几何体的体积V =23−2×14×π×12×2=8−π，故选B ．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．（8）【2014年辽宁，理8，5分】设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{2a 1a n }为递减数列，则（）（A ）d <0 （B ）d >0 （C ）a 1d <0 （D ）a 1d >0 【答案】C【解析】∵等差数列{a n }的公差为d ，∴a n+1−a n =d ，又数列{2a 1a n }为递减数列，∴2a 1a n+12a 1a n=2a 1d <1，∴a 1d <0，故选C ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、数列的单调性、指数函数的运算法则等基础知识与基本技能方法，属于中档题．（9）【2014年辽宁，理9，5分】将函数y =3sin (2x +π3)的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数（）（A ）在区间[π12,7π12]上单调递减（B ）在区间[π12,7π12]上单调递增（C ）在区间[−π6,π3]上单调递减（D ）在区间[−π6,π3]上单调递增【答案】B【解析】把函数y =3sin (2x +π3)的图象向右平移π2个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：y =3sin [2(x −π2)+π3]．即y =3sin (2x −2π3)．由−π2+2kπ≤2x −2π3≤π2+2kπ，得π12+kπ≤x ≤7π12+kπ，k ∈Z ．取k =0，得π12≤x ≤7π12．∴所得图象对应的函数在区间[π12,7π12]上单调递增，故选B ．【点评】本题考查了函数图象的平移，考查了复合函数单调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”原则，是中档题．（10）【2014年辽宁，理10，5分】已知点A (−2,3)在抛物线C ：y 2=2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（）（A ）12（B ）23（C ）34（D ）43【答案】D【解析】∵点A (−2,3)在抛物线C ：y 2=2px 的准线上，即准线方程为：x =−2，∴p >0，−p2=−2即p =4，∴抛物线C ：y 2=8x ，在第一象限的方程为y =2√2√x ，设切点B (m,n )，则n =2√2√m ，又导数 y ′=2√2⋅12√x，则在切点处的斜率为√2√m，∴n−3m+2=√2√m即√2m +2√2=2√2m −3√m ，解√m =2√2 （−√22舍去），∴切点B (8,8)，又F (2,0)，∴直线BF 的斜率为8−08−2=43，故选D ．【点评】本题主要考查抛物线的方程和性质，同时考查直线与抛物线相切，运用导数求切线的斜率等，是一道基础题．（11）【2014年辽宁，理11，5分】当x ∈[−2,1]时，不等式ax 3−x 2+4x +3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是（）（A ）[−5,−3] （B ）[−6,−98] （C ）[−6,−2] （D ）[−4,−3] 【答案】C【解析】当x =0时，不等式ax 3−x 2+4x +3≥0对任意a ∈R 恒成立；当0<x ≤1时，ax 3−x 2+4x +3≥0可化为a ≥1x −4x 2−3x 3，令f (x )=1x −4x 2−3x 3，则f ′(x )=−1x 2+8x 3+9x 4=−(x−9)(x+1)x 4（*），当0<x ≤1时，f ′(x )>0，f (x )在0,1上单调递增，f (x )(1)max ∴a ≥−6；当−2≤x <0时，ax 3−x 2+4x +3≥0可化为a ≤1x −4x 2−3x 3，由（*）式可知，当−2≤x ≤−1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当−1<x <0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，f (x )(−1)min ，∴a ≤−2；综上所述，实数a 的取值范围是−6≤a ≤−2，即实数a 的取值范围是[−6,−2]，故选C ．【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集；若按照参数讨论则取并集．（12）【2014年辽宁，理12，5分】已知定义在[0,1]上的函数f(x)满足：①f(0)=f(1)=0；②对所有x,y ∈[0,1]，且x ≠y ，有|f(x)−f(y)|<12|x −y|．若对所有x,y ∈[0,1]，|f(x)−f(y)|<k ，则k 的最小值为（）（A ）12 （B ）14 （C ）12π （D ）18【答案】B【解析】依题意，定义在[0,1]上的函数y =f (x )的斜率|k |<12，不妨令k >0，构造函数()kx f x k kx⎧=⎨-⎩(0<k <12)，满足f (0)=f (1)=0，|f (x )−f (y )|<12|x −y |．当x ∈[0,12]，且y ∈[0,12]时，|f (x )−f (y )|=|kx −ky |=k |x −y |≤k |12−0|=k ×12<14；当x ∈[0,12]，且y ∈[12,1]，|f (x )−f (y )|=|kx −(k −ky )|=|k (x +y )−k |≤|k (1+12)−k|=k 2<14；当x ∈[12,1]，且y ∈[0,12]时，同理可得，|f (x )−f (y )|<14；当x ∈[12,1]，且y ∈[12,1]时，|f (x )−f (y )|=|(k −kx )−(k −ky )|=k |x −y |≤k ×(1−12)=k2<14；综上所述，对所有x,y ∈[0,1]，|f (x )−f (y )|<14，∵对所有x,y ∈[0,1]，|f (x )−f (y )|<k 恒成立，∴k ≥14，即k 的最小值为14，故选B ．【点评】本题考查函数恒成立问题，着重考查构造函数思想、分类讨论思想、函数方程思想与等价转化思想的综合运用，考查分析、推理及运算能力，属于难题．第II 卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）【2014年辽宁，理13，5分】执行右侧的程序框图，若输入x =9，则输出y = ．【答案】299【解析】由程序框图知：第一次循环x =9，y =93+2=5，|5−9|=4>1；第二次循环x =5，y =53+2=113，|113−5|=43>1；第三次循环x =113，y =119+2=299．|119+2−113|=49<1，满足条件|y −x |<1，跳出循环，输出y =299．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．（14）【2014年辽宁，理14，5分】正方形的四个顶点A(−1,−1),B(1,−1),C(1,1),D(−1,1)分别在抛物线y =−x 2和y =x 2上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在阴影区域的概率是．【答案】23【解析】∵A(−1,−1),B(1,−1),C(1,1),D(−1,1)，∴正方体的ABCD 的面积S =2×2=4，根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积S =2∫(1−x 2)dx 1−1=2(x −13x 3)|−11=2[(1−13)−(−1+13)]=2×43=83，则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是834=23．【点评】本题主要考查几何槪型的概率的计算，利用积分求出阴影部分的面积是解决本题的关键．（15）【2014年辽宁，理15，5分】已知椭圆C ：x 29+y 24=1，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN|+|BN|= ．【答案】12【解析】如图：MN 的中点为Q ，易得|QF 2|=12|NB |，|QF 1|=12|AN |，∵Q 在椭圆C 上，∴|QF 1|+|QF 2|=2a =6，∴|AN|+|BN|=12．【点评】本题考查椭圆的定义，椭圆的基本性质的应用，基本知识的考查．（16）【2014年辽宁，理16，5分】对于c >0，当非零实数a,b 满足4a 2−2ab +4b 2−c =0，且使|2a +b|最大时，3a−4b +5c 的最小值为．【答案】−2【解析】∵4a 2−2ab +4b 2−c =0，∴c 4=a 2−12ab +b 2=(a −b 4)2+1516b 2，由柯西不等式得，[(a −b 4)2+1516b 2][22+(6√15)2]≥[2(a −b4)+√154b ⋅6√15]2=|2a +b |2，故当|2a +b |最大时，有a−b42=√154b 6√15，∴a =32b ，c =10b 2，∴3a −4b +5c =332b−4b +510b 2=12(1b )2−2b =12(1b −2)2−2，当b =12时，取得最小值为−2．【点评】本题考查了柯西不等式，以及二次函数的最值问题，属于难题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）【2014年辽宁，理17，12分】在ΔABC 中，内角A ，B ，C 的对边a,b,c ，且a >c ，已知BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，cos B =13，b =3，求：（1）a 和c 的值；（2）cos(B −C)的值．解：（1）由BA ⃗⃗⃗⃗⃗ BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2得ac ⋅cos B =2．又cos B =13，所以ac =6．由余弦定理得22a c +=b 2+2ac ⋅cos B ．又因为b =3，所以22a c +=32+2×6×13=13．解{ac =6a 2+c 2=13得{a =2c =3或{a =3c =2．因为a >c ，∴{a =3c =2．（2）在ΔABC 中，sin B =√1−cos 2B =√1−(13)2=2√23．由正弦定理得bsin B=csin C ，所以sin C =c sin B b=2×2√233=4√29．因为a >c ，所以角C 为锐角．cos C =√1−sin 2C =(4√29)=79．cos(B −C)=cos B cos C +sin B sin C =13×79+2√23×4√29=2327．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．（18）【2014年辽宁，理18，12分】一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；（2）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．解：（1）设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个”．P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6，P(A2)=0.003×50=0.15．P(B)=0.6×0.6×0.15×2=0.108．（2）X可能取的值为0,1,2,3．相应概率为P(X=0)=C30×0.60×0.43=0.064；P(X=1)=C31×0.6×0.42= 0.288；P(X=2)=C32×0.62×0.4=0.432；P(X=3)=C33×0.63×0.40=0.216．X的分布列为：X0 1 2 3P0.064 0.288 0.432 0.216因为X∼B(3,0.6)×0.4=0.72．【点评】在n次独立重复试验中，事件A发生的次数服从二项分布、服从二项分布的随机变量的期望与方差公式，考查分布列的求法．（19）【2014年辽宁，理19，12分】如图，ΔABC和ΔBCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2，∠ABC=∠DBC=120o，E、F分别为AC、DC的中点．（1）求证：EF⊥BC；（2）求二面角E−BF−C的正弦值．解：解法一：（1）过E作EO⊥BC，垂足为O，连OF．由△ABC≌△DBC，可证出△EOC≌△FOC．所以∠EOC=∠FOC=π2，即FO⊥BC，又EO⊥BC，因此BC⊥面EFO．又EF⊂面EFO，所以EF⊥BC．（2）在图1中，过O作OG⊥BF，垂足为G，连结EG．由平面ABC⊥平面BCD，从而EO⊥面BCD，又OG⊥BF，由三垂线定理可知EG⊥BF，因此，∠EGO为二面角E-BF-C的平面角．在△EOC中，EO=12EC=12BC⋅cos30∘=√32，由△BGO∽△BFC知，OG=BOBC FC=√34，因此tan∠EGO=EOOG=2，从而sin∠EGO=2√55，即二面角E-BF-C正弦值为2√55．FEAB图1FEBAOG解法二：（1）由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 作垂直BC 的直线为x 轴，BC所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．易得B(0,0,0)，A(0,−1,√3)，D(√3,−1,0)，C(0,2,0)，因而 E(0,12,√32)，F(√32,12,0)，所以EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,0,−√32)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)，因此EF⃗⃗⃗⃗⃗ BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，从而EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以EF ⊥BC ．（2）在图2中，平面BFC 的一个法向量为n 1=(0,0,1)，设平面BEF 的法向量n 2=(x,y,z)，又BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12,0),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,√32)，由{n 2BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n 2BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得其中一个n 2=(1,−√3,1)．设二面角E-BF-C 大小为θ，且由题意知θ为锐角，则cos θ=|cos <n 1,n 2>|=|n 1⋅n 2|n 1|⋅|n 2||=5，因此，sin θ=2√55，即所求二面角正弦值为2√55．【点评】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力，空间向量的坐标运算，推理论证能力和运算求解能力．（20）【2014年辽宁，理20，12分】圆x 2+y 2=4的切线与x 轴正半轴， y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图），双曲线C 1:x 2a 2−y 2b 2=1过点P 且离心率为√3．（1）求C 1的方程；（2）椭圆C 2过点P 且与C 1有相同的焦点，直线l 过C 2的右焦点且与C 2交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程．解：（1）设切点坐标为(x 0,y 0)（x 0>0,y 0>0），则切线斜率为−x 0y 0，切线方程为y −y 0=−x0y 0(x −x 0)，即x 0x +y 0y =4,此时两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S =12⋅4x 0⋅4y 0=8x0y 0．由x 02+y 02=4≥2x 0y 0知当且仅当x 0=y 0=√2时x 0y 0有最大值，即S 有最小值，因此P 坐标为(√2,√2)，由题意知{2a 2−2b 2=1a 2+b 2=3a 2，解得a 2=1,b 2=2，故C 1方程为x 2−y 22=1．（2）由（1）知C 2的焦点坐标为(−√3,0),(√3,0)，由此设C 2的方程为x 23+b 12+y 2b 12=1，其中b 1>0，由P (√2,√2)在C 2上，得23+b 12+2b 12=1，解得b 12=3，因此C 2方程为x 26+y 23=1，显然，l 不是直线y =0，设l 的方程为x =my +√3，点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)由{x =my +√3x 26+y 23=1，得(m 2+2)y 2+2√3my −3=0,，又y 1,y 2是方程的根，因此{y 1+y 2=−2√3mm 2+2 (1)y 1y 2=−3m 2+2(2)，由x 1=my 1+√3,x 2=my 2+√3得{x 1+x 2=m(y 1+y 2)+2√3=4√3m 2+2 (3)x 1x 2=m 2y 1y 2+√3m(y 1+y 2)+3=6−6m 2m 2+2 (4)因AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2−x 1,√2−y 1)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2−x 2,√2−y 2)，由题意可知AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以x 1x 2−√2(x 1+x 2)+y 1y 2−√2(y 1+y 2)+4=0 （5）将（1）（2）（3）（4）代入（5）整理得，2m 2−2√6m +4√6−11=0，解得m =3√62−1或−√62+1，因此直线方程为x −(3√62−1)y −√3=0或x +(√62−1)y −√3=0．【点评】本题综合考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、向量垂直与数量积的关系、切线的斜率和切线的方程、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了转化和化归能力，考查了解决问题的能力，属于难题．（21）【2014年辽宁，理21，12分】已知函数f(x)=(cos x −x)(π+2x)−83(sin x +1)，g(x)=3(x −π)cos x −4(1+sin x)ln(3−2x π)．证明：（1）存在唯一x 0∈(0,π2)，使f(x 0)=0；（2）存在唯一x 1∈(π2,π)，使g(x 1)=0，且对（1）中的x 0，有x 0+x 1<π．考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）根据x ∈（0，）时，f ′（x ）＜0，得出f （x ）是单调减函数，再根据f （0）＞0，f （）＜0，得出此结论；（Ⅱ）构造函数h （x ）=﹣4ln （3﹣x ），x ∈[，π]，令t=π﹣x ，得u （t ）=h （π﹣t ），求出u （t ）存在唯一零点t 1∈（0，），即证g （x ）存在唯一的零点x 1∈（，π），满足x 0+x 1＜π．解答：证明：（Ⅰ）∵当x ∈（0，）时，f ′（x ）=﹣（1+sinx ）（π+2x ）﹣2x ﹣cosx ＜0，∴函数f （x ）在（0，）上为减函数，又f （0）=π﹣＞0，f （）=﹣π2﹣＜0；∴存在唯一的x 0∈（0，），使f （x 0）=0；（Ⅱ）考虑函数h （x ）=﹣4ln （3﹣x ），x ∈[，π]，令t=π﹣x ，则x ∈[，π]时，t ∈[0，]，记函数u （t ）=h （π﹣t ）=﹣4ln （1+t ），则u′（t）=﹣•=﹣=﹣==，由（Ⅰ）得，当t∈（0，x0）时，u′（t）＞0；在（0，x0）上u（x）是增函数，又u（0）=0，∴当t∈（0，x0]时，u（t）＞0，∴u（t）在（0，x0]上无零点；在（x0，）上u（t）是减函数，由u（x0）＞0，u（）=﹣4ln2＜0，∴存在唯一的t1∈（x0，），使u（t1）=0；∴存在唯一的t1∈（0，），使u（t1）=0；∴存在唯一的x1=π﹣t1∈（，π），使h（x1）=h（π﹣t1）=u（t1）=0；∵当x∈（，π）时，1+sinx＞0，∴g（x）=（1+sinx）h（x）与h（x）有相同的零点，∴存在唯一的x1∈（，π），使g（x1）=0，∵x1=π﹣t1，t1＞x0，∴x0+x1＜π．点评：本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据导数来研究函数的单调性与最值问题，利用函数的单调性研究函数的零点问题，是较难的题目．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．Array（22）【2014年辽宁，理22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，EP交圆于E、C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．（1）求证：AB为圆的直径；（2）若AC=BD，求证：AB=ED．解：（1）∵PD =PG ∴∠PDG =∠PGD ∵PD 为圆的切线，∴∠PDA =∠DBA又∵∠PGD =∠EGA ∴∠DBA =∠EGA ∴∠DBA +∠BAD =∠EGA +∠BAD ， ∴∠BDA =∠PFA ∵AF ⊥EP ∴∠PFA =90°∴∠BDA =90°∴AB 为直径．（2）连接BC,DC ∵AB 是直径∴∠BDA =∠ACB =90°，在RtΔBDA 与RtΔACB 中，AB =BA,AC =BD ，RtΔBDA ≅RtΔACB ，∴∠DAB =∠CBA ∵∠DCB =∠DAB ∴∠DAB =∠CBA ∴DC//AB ∵AB ⊥EP ∴DC ⊥EP,∠DCE =90°∴ED 为直径，由（1）AB =ED ．【点评】本题考查圆的切线的性质，考查三角形全等的证明，考查直径所对的圆周角为直角，属于中档题．（23）【2014年辽宁，理23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）将圆x 2+y 2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C ．（1）写出C 的参数方程；（2）设直线l:2x +y −2=0与C 的交点为P 1,P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解：（1）设(x 1,y 1)为圆x 2+y 2=1上任意一点，按题中要求变换后的点(x,y)．根据题意得{x =x 1y =2y 1，所以{x 1=x y 1=y 2．由x 12+y 12=1得x 2+y 42=1．故C 的参数方程为{x =cos θy =2sin θ（θ为参数）．（2）由{4x 2+y 2=42x +y −2=0解得{x =1y =0或{x =0y =2．不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段中点坐标(12,1)．所求直线的斜率为k =12，于是所求直线方程为y −1=12(x −12)，即2x −4y +3=0．化为极坐标方程为2ρcos θ−4ρsin θ+3=0，即ρ=34sin θ−2cos θ．【点评】本题主要考查求点的轨迹方程的方法，极坐标和直角坐标的互化，用点斜式求直线的方程，属于中档题．（24）【2014年辽宁，理24，10分】（选修4-5：不等式选讲）设函数f(x)=2|x −1|+x −1，g(x)=16x 2−8x +1，记f(x)≤1的解集为M ，g(x)≤4的解集为N ．（1）求M ；（2）当x ∈M ∩N 时，证明：x 2f(x)+x[f(x)]2≤14．解：（1）f(x)=2|x −1|+x −1={3x −3,x ∈[1,+∞)1−x,x ∈(−∞,1)．当x ≥1时，f(x)=3x −3≤1，解得1≤x ≤43；当x <1时，f(x)=1−x ≤1，解得0≤x <1．所以f(x)≤1的解集为M ={x|0≤x ≤43}．（2）g(x)=16x 2−8x +1≤4，解得N ={x|−14≤x ≤34}．M ∩N ={x|0≤x ≤34}．当x ∈M ∩N 时，f(x)=1−x ．x 2f(x)+x[f(x)]2 x 2(1−x)+x(1−x)2=x −x 2=14−(x −12)2，x ∈{x|0≤x ≤34}．∴x 2f(x)+x[f(x)]2≤14．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论、等价转化的数学思想，属于中档题．。

2014年普通高等学校招生考试辽宁理数

2014年辽宁省高考数学试卷(理科)答案与解析

2014年辽宁省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2014•辽宁）已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）=（）A．{x|x≥0} B．{x|x≤1} C．{x|0≤x≤1} D．{x|0＜x＜1}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：先求A∪B，再根据补集的定义求C U（A∪B）．解答：解：A∪B={x|x≥1或x≤0}，∴C U（A∪B）={x|0＜x＜1}，故选：D．点评：本题考查了集合的并集、补集运算，利用数轴进行数集的交、并、补运算是常用方法．2．（5分）（2014•辽宁）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（）A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：把给出的等式两边同时乘以，然后利用复数代数形式的除法运算化简，则z可求．解答：解：由（z﹣2i）（2﹣i）=5，得：，∴z=2+3i．故选：A．点评：本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础的计算题．3．（5分）（2014•辽宁）已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a考点：对数的运算性质．专题：计算题；综合题．分析：利用指数式的运算性质得到0＜a＜1，由对数的运算性质得到b＜0，c＞1，则答案可求．解答：解：∵0＜a=＜20=1，b=log2＜log21=0，c=log=log23＞log22=1，∴c＞a＞b．故选：C．点评：本题考查指数的运算性质和对数的运算性质，在涉及比较两个数的大小关系时，有时借助于0、1这样的特殊值能起到事半功倍的效果，是基础题．4．（5分）（2014•辽宁）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：A．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；B．运用线面垂直的性质，即可判断；C．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断．解答：解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．故选B．点评：本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型．5．（5分）（2014•辽宁）设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）考点：复合命题的真假；平行向量与共线向量．专题：简易逻辑．分析：根据向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论．解答：解：若•=0，•=0，则•=•，即（﹣）•=0，则•=0不一定成立，故命题p为假命题，若∥，∥，则∥平行，故命题q为真命题，则p∨q，为真命题，p∧q，（￢p）∧（￢q），p∨（￢q）都为假命题，故选：A．点评：本题主要考查复合命题之间的判断，利用向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假是解决本题的关键．6．（5分）（2014•辽宁）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A．144 B．120 C．72 D．24考点：计数原理的应用．专题：应用题；排列组合．分析：使用“插空法“．第一步，三个人先坐成一排，有种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有种办法．根据分步计数原理可得结论．解答：解：使用“插空法“．第一步，三个人先坐成一排，有种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有种办法．根据分步计数原理，6×4=24．故选：D．点评：本题考查排列知识的运用，考查乘法原理，先排人，再插入椅子是关键．7．（5分）（2014•辽宁）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8﹣2πB．8﹣πC．8﹣D．8﹣考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：几何体是正方体切去两个圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算．解答：解：由三视图知：几何体是正方体切去两个圆柱，正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，∴几何体的体积V=23﹣2××π×12×2=8﹣π．故选：B．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．8．（5分）（2014•辽宁）设等差数列{a n}的公差为d，若数列{}为递减数列，则（）A．d＜0 B．d＞0 C．a1d＜0 D．a1d＞0考点：数列的函数特性．专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：由于数列{2}为递减数列，可得=＜1，解出即可．解答：解：∵等差数列{a n}的公差为d，∴a n+1﹣a n=d，又数列{2}为递减数列，∴=＜1，∴a1d＜0．故选：C．点评：本题考查了等差数列的通项公式、数列的单调性、指数函数的运算法则等基础知识与基本技能方法，属于中档题．9．（5分）（2014•辽宁）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递减B．在区间[，]上单调递增C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式，然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间，取k=0即可得到函数在区间[，]上单调递增，则答案可求．解答：解：把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin[2（x﹣）+]．即y=3sin（2x﹣）．当函数递增时，由，得．取k=0，得．∴所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．故选：B．点评：本题考查了函数图象的平移，考查了复合函数单调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”原则，是中档题．10．（5分）（2014•辽宁）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（）A．B．C．D．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意先求出准线方程x=﹣2，再求出p，从而得到抛物线方程，写出第一象限的抛物线方程，设出切点，并求导，得到切线AB的斜率，再由两点的斜率公式得到方程，解出方程求出切点，再由两点的斜率公式求出BF的斜率．解答：解：∵点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，即准线方程为：x=﹣2，∴p＞0，=﹣2即p=4，∴抛物线C：y2=8x，在第一象限的方程为y=2，设切点B（m，n），则n=2，又导数y′=2，则在切点处的斜率为，∴即m=2m，解得=2（舍去），∴切点B（8，8），又F（2，0），∴直线BF的斜率为，故选D．点评：本题主要考查抛物线的方程和性质，同时考查直线与抛物线相切，运用导数求切线的斜率等，是一道基础题．11．（5分）（2014•辽宁）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）C．[﹣6，﹣2]D．[﹣4，﹣3] A．[﹣5，﹣3]B．[﹣6，﹣]考点：函数恒成立问题；其他不等式的解法．专题：综合题；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：分x=0，0＜x≤1，﹣2≤x＜0三种情况进行讨论，分离出参数a后转化为函数求最值即可，利用导数即可求得函数最值，注意最后要对a取交集．解答：解：当x=0时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0对任意a∈R恒成立；当0＜x≤1时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≥，令f（x）=，则f′（x）==﹣（*），当0＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上单调递增，f（x）max=f（1）=﹣6，∴a≥﹣6；当﹣2≤x＜0时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≤，由（*）式可知，当﹣2≤x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，f（x）min=f（﹣1）=﹣2，∴a≤﹣2；综上所述，实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2，即实数a的取值范围是[﹣6，﹣2]．故选：C．点评：本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集；若按照参数讨论则取并集．12．（5分）（2014•辽宁）已知定义在[0，1]上的函数f（x）满足：①f（0）=f（1）=0；②对所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f（x）﹣f（y）|＜|x﹣y|．若对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜m恒成立，则m的最小值为（）A．B．C．D．考点：函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：依题意，构造函数f（x）=（0＜k＜），分x∈[0，]，且y∈[0，]；x∈[0，]，且y∈[，1]；x∈[0，]，且y∈[，1]；及当x∈[，1]，且y∈[，1]时，四类情况讨论，可证得对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜恒成立，从而可得m≥，继而可得答案．解答：解：依题意，定义在[0，1]上的函数y=f（x）的斜率|k|＜，依题意，k＞0，构造函数f（x）=（0＜k＜），满足f（0）=f（1）=0，|f（x）﹣f（y）|＜|x﹣y|．当x∈[0，]，且y∈[0，]时，|f（x）﹣f（y）|=|kx﹣ky|=k|x﹣y|≤k|﹣0|=k×＜；当x∈[0，]，且y∈[，1]，|f（x）﹣f（y）|=|kx﹣（k﹣ky）|=|k（x+y）﹣k|≤|k（1+）﹣k|=＜；当y∈[0，]，且x∈[，1]时，同理可得，|f（x）﹣f（y）|＜；当x∈[，1]，且y∈[，1]时，|f（x）﹣f（y）|=|（k﹣kx）﹣（k﹣ky）|=k|x﹣y|≤k×（1﹣）=＜；综上所述，对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜，∵对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜m恒成立，∴m≥，即m的最小值为．故选：B．点评：本题考查函数恒成立问题，着重考查构造函数思想、分类讨论思想、函数方程思想与等价转化思想的综合运用，考查分析、推理及运算能力，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

2014年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含答案及解析)

2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2} 2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5B．5C．﹣4+i D．﹣4﹣i3．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1B．2C．3D．54．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5B．C．2D．15．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8B．0.75C．0.6D．0.456．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．78．（5分）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0B．1C．2D．39．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．10B．8C．3D．210．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A．B．C．D．11．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）13．（5分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=．14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为．15．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是．16．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．（Ⅰ）证明{a n+}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：++…+＜．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．19．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．20．（12分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C 上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．六、解答题（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】求出集合N的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：∵N={x|x2﹣3x+2≤0}={x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}={x|1≤x≤2}，∴M∩N={1，2}，故选：D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5B．5C．﹣4+i D．﹣4﹣i【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数的几何意义求出z2，即可得到结论．【解答】解：z1=2+i对应的点的坐标为（2，1），∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，∴（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（﹣2，1），则对应的复数，z2=﹣2+i，则z1z2=（2+i）（﹣2+i）=i2﹣4=﹣1﹣4=﹣5，故选：A．【点评】本题主要考查复数的基本运算，利用复数的几何意义是解决本题的关键，比较基础．3．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1B．2C．3D．5【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】将等式进行平方，相加即可得到结论．【解答】解：∵|+|=，|﹣|=，∴分别平方得+2•+=10，﹣2•+=6，两式相减得4•=10﹣6=4，即•=1，故选：A．【点评】本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5B．C．2D．1【考点】HR：余弦定理．【专题】56：三角函数的求值．【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积，AB，BC的值代入求出sinB的值，分两种情况考虑：当B为钝角时；当B为锐角时，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，利用余弦定理求出AC的值即可．【解答】解：∵钝角三角形ABC的面积是，AB=c=1，BC=a=，∴S=acsinB=，即sinB=，当B为钝角时，cosB=﹣=﹣，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2+2=5，即AC=，当B为锐角时，cosB==，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2﹣2=1，即AC=1，此时AB2+AC2=BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，则AC=．故选：B．【点评】此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．5．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8B．0.75C．0.6D．0.45【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，由此解得p的值．【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，解得p=0.8，故选：A．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题．6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π．底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：=．故选：C．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．7【考点】EF：程序框图．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】根据条件，依次运行程序，即可得到结论．【解答】解：若x=t=2，则第一次循环，1≤2成立，则M=，S=2+3=5，k=2，第二次循环，2≤2成立，则M=，S=2+5=7，k=3，此时3≤2不成立，输出S=7，故选：D．【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础．8．（5分）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0B．1C．2D．3【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】52：导数的概念及应用．【分析】根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．【解答】解：，∴y′（0）=a﹣1=2，∴a=3．故选：D．【点评】本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题．在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视．9．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．10B．8C．3D．2【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．由，解得，即C（5，2）代入目标函数z=2x﹣y，得z=2×5﹣2=8．故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．10．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A．B．C．D．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B 两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点纵坐标的和与积，把△OAB的面积表示为两个小三角形AOF与BOF的面积和得答案．【解答】解：由y2=2px，得2p=3，p=，则F（，0）．∴过A，B的直线方程为y=（x﹣），即x=y+．联立，得4y2﹣12y﹣9=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y 1+y 2=3，y 1y 2=﹣．∴S△OAB =S △OAF +S△OFB =×|y 1﹣y 2|==×=．故选：D ．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数学转化思想方法，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，然后利用一元二次方程的根与系数关系解题，是中档题．11．（5分）直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为（） A ．B ．C ．D ．【考点】LM ：异面直线及其所成的角．【专题】5F ：空间位置关系与距离．【分析】画出图形，找出BM 与AN 所成角的平面角，利用解三角形求出BM 与AN 所成角的余弦值．【解答】解：直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，如图：BC 的中点为O ，连结ON ，，则MN0B 是平行四边形，BM 与AN 所成角就是∠ANO ，∵BC=CA=CC 1，设BC=CA=CC 1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB===，在△ANO 中，由余弦定理可得：cos ∠ANO===．故选：C ．【点评】本题考查异面直线对称角的求法，作出异面直线所成角的平面角是解题的关键，同时考查余弦定理的应用．12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】H4：正弦函数的定义域和值域．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈Z，再由题意可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，可得m2 ＞m2+3，由此求得m的取值范围．【解答】解：由题意可得，f（x0）=±，即=kπ+，k∈z，即x0=m．再由x02+[f（x0）]2＜m2，即x02+3＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，∴m2 ＞m2+3，∴m2＞4．求得m＞2，或m＜﹣2，故选：C．【点评】本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，体现了转化的数学思想，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）13．（5分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=．【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x7的系数，再根据x7的系数为15，求得a的值．【解答】解：（x+a）10的展开式的通项公式为T r=•x10﹣r•a r，+1令10﹣r=7，求得r=3，可得x7的系数为a3•=120a3=15，∴a=，故答案为：．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为1．【考点】GP：两角和与差的三角函数；HW：三角函数的最值．【专题】56：三角函数的求值．【分析】由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sinx，从而求得函数的最大值．【解答】解：函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）=sin[（x+φ）+φ]﹣2sinφcos （x+φ）=sin（x+φ）cosφ+cos（x+φ）sinφ﹣2sinφcos（x+φ）=sin（x+φ）cosφ﹣cos（x+φ）sinφ=sin[（x+φ）﹣φ]=sinx，故函数f（x）的最大值为1，故答案为：1．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式的应用，正弦函数的最值，属于中档题．15．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是（﹣1，3）．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2），即可得到结论．【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，∴不等式f（x﹣1）＞0等价为f（x﹣1）＞f（2），即f（|x﹣1|）＞f（2），∴|x﹣1|＜2，解得﹣1＜x＜3，故答案为：（﹣1，3）【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2）是解决本题的关键．16．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是[﹣1，1] ．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【专题】5B：直线与圆．【分析】根据直线和圆的位置关系，画出图形，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN≤1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．（Ⅰ）证明{a n+}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：++…+＜．【考点】87：等比数列的性质；8E：数列的求和．【专题】14：证明题；54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即=常数，又首项不为0，所以为等比数列；再根据等比数列的通项化式，求出{a n}的通项公式；（Ⅱ）将进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式．【解答】证明（Ⅰ）==3，∵≠0，∴数列{a n+}是以首项为，公比为3的等比数列；∴a n+==，即；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当n≥2时，∵3n﹣1＞3n﹣3n﹣1，∴＜=，∴当n=1时，成立，当n≥2时，++…+＜1+…+==＜．时，++…+＜．∴对n∈N+【点评】本题考查的是等比数列，用放缩法证明不等式，证明数列为等比数列，只需要根据等比数列的定义就行；数列与不等式常结合在一起考，放缩法是常用的方法之一，通过放大或缩小，使原数列变成一个等比数列，或可以用裂项相消法求和的新数列．属于中档题．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E﹣ACD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O点，连接EO，∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB，（2分）EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC；（6分）（Ⅱ）解：延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥平面AMD，∴CD⊥MD．∵二面角D﹣AE﹣C为60°，∴∠CMD=60°，∵AP=1，AD=，∠ADP=30°，∴PD=2，E为PD的中点．AE=1，∴DM=，CD==．三棱锥E﹣ACD的体积为：==．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，几何体的体积的求法，二面角等指数的应用，考查逻辑思维能力，是中档题．19．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【考点】BK：线性回归方程．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，写出线性回归方程．（Ⅱ）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t的值，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，=×（1+2+3+4+5+6+7）=4，=×（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，∴== =0.5，=﹣=4.3﹣0.5×4=2.3．∴y关于t的线性回归方程为=0.5t+2.3；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b=0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t=9代入=0.5t+2.3，得：=0.5×9+2.3=6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．【点评】本题考查线性回归分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件，本题是一个基础题．20．（12分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C 上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为，建立关于a，c的方程即可求C的离心率；（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程组关系，求出N的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，∴M的横坐标为c，当x=c时，y=，即M（c，），若直线MN的斜率为，即tan∠MF1F2=，即b2==a2﹣c2，即c2+﹣a2=0，则，即2e2+3e﹣2=0解得e=或e=﹣2（舍去），即e=．（Ⅱ）由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，设M（c，y），（y＞0），则，即，解得y=，∵OD是△MF1F2的中位线，∴=4，即b2=4a，由|MN|=5|F1N|，则|MF1|=4|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|，即设N（x1，y1），由题意知y1＜0，则（﹣c，﹣2）=2（x1+c，y1）．即，即代入椭圆方程得，将b2=4a代入得，解得a=7，b=．【点评】本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用．【分析】对第（Ⅰ）问，直接求导后，利用基本不等式可达到目的；对第（Ⅱ）问，先验证g（0）=0，只需说明g（x）在[0+∞）上为增函数即可，从而问题转化为“判断g′（x）＞0是否成立”的问题；对第（Ⅲ）问，根据第（Ⅱ）问的结论，设法利用的近似值，并寻求ln2，于是在b=2及b＞2的情况下分别计算，最后可估计ln2的近似值．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）得f′（x）=e x+e﹣x﹣2，即f′（x）≥0，当且仅当e x=e﹣x即x=0时，f′（x）=0，∴函数f（x）在R上为增函数．（Ⅱ）g（x）=f（2x）﹣4bf（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（e x﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，则g′（x）=2[e2x+e﹣2x﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣2）]=2[（e x+e﹣x）2﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣4）]=2（e x+e﹣x﹣2）（e x+e﹣x+2﹣2b）．①∵e x+e﹣x＞2，e x+e﹣x+2＞4，∴当2b≤4，即b≤2时，g′（x）≥0，当且仅当x=0时取等号，从而g（x）在R上为增函数，而g（0）=0，∴x＞0时，g（x）＞0，符合题意．②当b＞2时，若x满足2＜e x+e﹣x＜2b﹣2即，得，此时，g′（x）＜0，又由g（0）=0知，当时，g（x）＜0，不符合题意．综合①、②知，b≤2，得b的最大值为2．（Ⅲ）∵1.4142＜＜1.4143，根据（Ⅱ）中g（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（e x﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，为了凑配ln2，并利用的近似值，故将ln即代入g（x）的解析式中，得．当b=2时，由g（x）＞0，得，从而；令，得＞2，当时，由g（x）＜0，得，得．所以ln2的近似值为0.693．【点评】1．本题三个小题的难度逐步增大，考查了学生对函数单调性深层次的把握能力，对思维的要求较高，属压轴题．2．从求解过程来看，对导函数解析式的合理变形至关重要，因为这直接影响到对导数符号的判断，是解决本题的一个重要突破口．3．本题的难点在于如何寻求ln2，关键是根据第（2）问中g（x）的解析式探究b的值，从而获得不等式，这样自然地将不等式放缩为的范围的端点值，达到了估值的目的．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．【考点】N4：相似三角形的判定；NC：与圆有关的比例线段．【专题】17：选作题；5Q：立体几何．【分析】（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE=EC；（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2．【解答】证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，∵PC=2PA，D为PC的中点，∴PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PDA=∠CDE，∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，∴OE⊥BC，∴E是的中点，∴BE=EC；（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD，∴BD•DC=PB•2PB，∵AD•DE=BD•DC，∴AD•DE=2PB2．【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）利用即可得出直角坐标方程，利用cos2t+sin2t=1进而得出参数方程．（2）利用半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，则直线CD的斜率与直线l的斜率相等，即可得出直线CD的倾斜角及D的坐标．【解答】解：（1）由半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]，即ρ2=2ρcosθ，可得C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1（0≤y≤1）．可得C的参数方程为（t为参数，0≤t≤π）．（2）设D（1+cos t，sin t），由（1）知C是以C（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，∵直线CD的斜率与直线l的斜率相等，∴tant=，t=．故D的直角坐标为，即（，）．【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．六、解答题（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．（Ⅱ）由f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|a+|=a+≥2=2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即6﹣a+＜5，即a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．综上可得，a的取值范围（，）．【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。

2014年辽宁省数学(理)科(有答案)试卷

1 3
,c
=
log 1
2
1 3
，则（
）
A． a b c B． a c b C． c a b D． c b a
4.已知 m，n 表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）
A．若 m / /, n / /, 则 m / /n
B．若 m ⊥ ， n ，则 m ⊥ n
C．若 m ⊥ ， m ⊥ n ，则 n / / D．若 m / / ， m ⊥ n ，则 n ⊥
解
ac a2
= +
6 c2
=
13
，得
a=2，c=3
或Байду номын сангаас
a=3，c=2.
因为 a>c,∴ a=3，c=2.
（Ⅱ）在 ABC 中， sin B = 1− cos2 B = 1− (1)2 = 2 2 .
3
3
由正弦定理，得 sin C = c sin B = 2 2 2 = 4 2 ，又因为 a = b c ，所以 C 为锐角，因此
又 EO⊥BC，因此 BC⊥面 EFO，
又 EF 面 EFO，所以 EF⊥BC.
（方法二）由题意，以 B 为坐标原点，在平面 DBC 内过 B 左垂直 BC 的直线为 x 轴，BC 所在直线为 y 轴，在平面 ABC 内过 B 作垂直 BC 的直线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
易得 B （ 0,0,0 ）， A(0 ， -1 ， 3 ),D( 3 ,-1,0) ， C(0,2,0), 因而 E(0, 1 , 3 ), F( 3 , 1 , 0) , 所以
b
33 9
cosC =
1− sin2 C =
1− (4

2014年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(理科)

2014年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(理科)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014辽宁,理1)已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=().A.{x|x≥0}B.{x|x≤1}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0<x<1}答案:D解析:∵A∪B={x|x≤0或x≥1},∴∁U(A∪B)={x|0<x<1}.故选D.2.(2014辽宁,理2)设复数z满足(z-2i)(2-i)=5,则z=().A.2+3iB.2-3iC.3+2iD.3-2i答案:A解析:∵(z-2i)(2-i)=5,∴z-2i=.∴z=2i+=2i+=2i+2+i=2+3i.故选A.3.(2014辽宁,理3)已知a=,b=log2,c=lo,则().A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a答案:C解析:∵0<a=<20=1,b=log2<log21=0,c=lo>lo=1,∴c>a>b.故选C.4.(2014辽宁,理4)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是().A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊥α,n⊂α,则m⊥nC.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥α,m⊥n,则n⊥α答案:B解析:对A:m,n还可能异面、相交,故A不正确.对C:n还可能在平面α内,故C不正确.对D:n还可能在α内,故D 不正确.对B:由线面垂直的定义可知正确.5.(2014辽宁,理5)设a,b,c是非零向量.已知命题p:若a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q:若a∥b,b∥c,则a∥c,则下列命题中真命题是().A.p∨qB.p∧qC.( p)∧( q)D.p∨( q)答案:A解析:对命题p中的a与c可能为共线向量,故命题p为假命题.由a,b,c为非零向量,可知命题q为真命题.故p∨q 为真命题.故选A.6.(2014辽宁,理6)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为().A.144B.120C.72D.24答案:D解析:插空法.在已排好的三把椅子产生的4个空档中选出3个插入3人即可.故排法种数为=24.故选D.7.(2014辽宁,理7)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为().A.8-2πB.8-πC.8-D.8-答案:B解析:由三视图知,原几何体是棱长为2的正方体挖去两个底面半径为1,高为2的四分之一圆柱,故几何体的体积为8-2×π×2×=8-π.故选B.8.(2014辽宁,理8)设等差数列{a n}的公差为d,若数列{}为递减数列,则().A.d<0B.d>0C.a1d<0D.a1d>0答案:C解析:∵数列{}为递减数列,∴,n∈N*,∴a1a n>a1a n+1,∴a1(a n+1-a n)<0.∵{a n}为公差为d的等差数列,∴a1d<0.故选C.9.(2014辽宁,理9)将函数y=3sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数().A.在区间上单调递减B.在区间上单调递增C.在区间上单调递减D.在区间上单调递增答案:B解析:设平移后的函数为f(x),则f(x)=3sin=3sin=-3sin.令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,解得f(x)的递减区间为,k∈Z,同理得递增区间为,k∈Z.从而可判断得B正确.10.(2014辽宁,理10)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C 的焦点为F,则直线BF的斜率为().A.B.C.D.答案:D解析:由题意可知准线方程x=-=-2,∴p=4,∴抛物线方程为y2=8x.由已知易得过点A与抛物线y2=8x相切的直线斜率存在,设为k,且k>0,则可得切线方程为y-3=k(x+2).联立方程消去x得ky2-8y+24+16k=0.(*) 由相切得Δ=64-4k(24+16k)=0,解得k=或k=-2(舍去),代入(*)解得y=8,把y=8代入y2=8x,得x=8,即切点B 的坐标为(8,8),又焦点F为(2,0),故直线BF的斜率为.11.(2014辽宁,理11)当x∈[-2,1]时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是().A.[-5,-3]B.C.[-6,-2]D.[-4,-3]答案:C解析:∵当x∈[-2,1]时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,即当x∈[-2,1]时,不等式ax3≥x2-4x-3(*)恒成立.(1)当x=0时,a∈R.(2)当0<x≤1时,由(*)得a≥恒成立.设f(x)=,则f'(x)=-.当0<x≤1时,x-9<0,x+1>0,∴f'(x)>0,∴f(x)在(0,1]上单调递增.当0<x≤1时,可知a≥f(x)max=f(1)=-6.(3)当-2≤x<0时,由(*)得a≤.令f'(x)=0,得x=-1或x=9(舍).∴当-2≤x<-1时,f'(x)<0,当-1<x<0时,f'(x)>0,∴f(x)在[-2,-1)上递减,在(-1,0)上递增.∴x∈[-2,0)时,f(x)min=f(-1)=-1-4+3=-2.∴可知a≤f(x)min=-2.综上所述,当x∈[-2,1]时,实数a的取值范围为-6≤a≤-2.故选C.12.(2014辽宁,理12)已知定义在[0,1]上的函数f(x)满足:①f(0)=f(1)=0;②对所有x,y∈[0,1],且x≠y,有|f(x)-f(y)|<|x-y|.若对所有x,y∈[0,1],|f(x)-f(y)|<k恒成立,则k的最小值为().A.B.C.D.答案:B解析:不妨令0≤x<y≤1,则|f(x)-f(y)|<|x-y|.法一:2|f(x)-f(y)|=|f(x)-f(0)+f(x)-f(y)-[f(y)-f(1)]|≤|f(x)-f(0)|+|f(x)-f(y)|+|f(y)-f(1)|<|x-0|+|x-y|+|y-1|=x+(y-x)+(1-y)=,即得|f(x)-f(y)|<,对所有x,y∈[0,1],|f(x)-f(y)|<k恒成立,只需k大于|f(x)-f(y)|的最大值即可.故k≥.因此k的最小值为.法二:当|x-y|≤时,|f(x)-f(y)|<|x-y|≤,当|x-y|>时,|f(x)-f(y)|=|[f(x)-f(1)]-[f(y)-f(0)]|≤|f(x)-f(1)|+|f(y)-f(0)|<|x-1|+|y-0|=(1-x)+y=(y-x)<,对所有x,y∈[0,1],|f(x)-f(y)|<k恒成立,只需k大于|f(x)-f(y)|的最大值即可.故k≥.因此k的最小值为.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2014辽宁,理13)执行右侧的程序框图,若输入x=9,则输出y=.答案:解析:输入x=9,则y=5,|y-x|=4>1,执行否,x=5,y=,|y-x|=>1,执行否,x=,y=,|y-x|=<1,执行是,输出y=. 14.(2014辽宁,理14)正方形的四个顶点A(-1,-1),B(1,-1),C(1,1),D(-1,1)分别在抛物线y=-x2和y=x2上,如图所示,若将一个质点随机投入正方形ABCD中,则质点落在图中阴影区域的概率是.答案:解析:由题意可知空白区域的面积为[x2-(-x2)]d x=x3.又正方形的面积为4,∴阴影部分的面积为4-,∴所求概率为.15.(2014辽宁,理15)已知椭圆C:=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=.答案:12解析:如图,设MN的中点为P,则由F1是AM的中点,可知|AN|=2|PF1|.同理可得可知|BN|=2|PF2|.∴|AN|+|BN|=2(|PF1|+|PF2|).根据椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a=6,∴|AN|+|BN|=12.16.(2014辽宁,理16)对于c>0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大时,的最小值为.答案:-2解析:要求|2a+b|最大值,只需求(2a+b)2的最大值.∵4a2-2ab+4b2-c=0,∴4a2+b2=c+2ab-3b2.∴(2a+b)2=4a2+b2+4ab=c+2ab-3b2+4ab=c+6ab-3b2=c+3b(2a-b)=c+·2b(2a-b)≤c+=c+,即(2a+b)2≤c,当且仅当2b=2a-b,即3b=2a时取到等号,即(2a+b)2取到最大值.故3b=2a时,|2a+b|取到最大值.把3b=2a,即b=代入4a2-2ab+4b2-c=0,可得c=a2.∴-2.∴当时,取到最小值-2.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)(2014辽宁,理17)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>c.已知=2,cos B=,b=3.求:(1)a和c的值;(2)cos(B-C)的值.分析:(1)将条件中的·=2,转化为边角的量表示,可得a与c的关系,再结合余弦定理列方程组求解.(2)由(1)及正弦定理可得sin C,进而求出cos C,再由两角差的余弦公式求出cos(B-C)的值.解:(1)由·=2,得c·a cos B=2.又cos B=,所以ac=6.由余弦定理,得a2+c2=b2+2ac cos B.又b=3,所以a2+c2=9+2×2=13.解得a=2,c=3或a=3,c=2.因a>c,所以a=3,c=2.(2)在△ABC中,sin B=,由正弦定理,得sin C=sin B=·.因a=b>c,所以C为锐角,因此cos C=.于是cos(B-C)=cos B cos C+sin B sin C=··.18.(本小题满分12分)(2014辽宁,理18)一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率;(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的分布列,期望E(X)及方差D(X).分析:(1)先由频率分布直方图计算出日销售量不低于100和日销售量低于50的概率.再由3天中连续2天日销售量不低于100,可分为第1,2天或第2,3天日销售量不低于100两种情况,从而由独立事件概率公式求值.(2)由题意知随机变量X服从二项分布,则可列出分布列及求出期望、方差.解:(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”,A2表示事件“日销售量低于50个”,B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”.因此P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6,P(A2)=0.003×50=0.15,P(B)=0.6×0.6×0.15×2=0.108.(2)X可能取的值为0,1,2,3,相应的概率为P(X=0)=·(1-0.6)3=0.064,P(X=1)=·0.6(1-0.6)2=0.288,P(X=2)=·0.62(1-0.6)=0.432,P(X=3)=·0.63=0.216.分布列为X0 1 2 3P0.064 0.288 0.432 0.216因为X~B(3,0.6),所以期望E(X)=3×0.6=1.8,方差D(X)=3×0.6×(1-0.6)=0.72.19.(本小题满分12分)(2014辽宁,理19)如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F分别为AC,DC的中点.(1)求证:EF⊥BC;(2)求二面角E-BF-C的正弦值.分析:法一:几何法.(1)证明线线垂直,可由线面垂直证得,可寻求过EF的平面与BC垂直即可.(2)由面面垂直可得线面垂直,再利用线面垂直性质构造二面角求解.法二:建立空间直角坐标系.(1)求各点坐标,利用向量垂直的条件证明线线垂直.(2)平面BFC的法向量易求出,平面BEF的法向量可运用法向量条件求得,再运用公式求出两法向量夹角的余弦值,进而求出所求正弦值.(1)证明:(方法一)过E作EO⊥BC,垂足为O,连OF,由△ABC≌△DBC可证出△EOC≌△FOC.图1所以∠EOC=∠FOC=,即FO⊥BC.又EO⊥BC,因此BC⊥面EFO.又EF⊂面EFO,所以EF⊥BC.图2(方法二)由题意,以B为坐标原点,在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴,BC所在直线为y轴,在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴,建立如图所示空间直角坐标系.易得B(0,0,0),A(0,-1,),D(,-1,0),C(0,2,0),因而E,F,所以,=(0,2,0),因此·=0.从而,所以EF⊥BC.(2)解:(方法一)在图1中,过O作OG⊥BF,垂足为G,连EG.由平面ABC⊥平面BDC,从而EO⊥面BDC.又OG⊥BF,由三垂线定理知EG⊥BF.因此∠EGO为二面角E-BF-C的平面角.在△EOC中,EO=EC=BC·cos30°=,由△BGO∽△BFC知,OG=·FC=,因此tan∠EGO==2.从而sin∠EGO=,即二面角E-BF-C正弦值为.(方法二)在图2中,平面BFC的一个法向量为n1=(0,0,1).设平面BEF的法向量n2=(x,y,z).又.由得其中一个n2=(1,-,1).设二面角E-BF-C大小为θ,且由题意知θ为锐角,则cosθ=|cos<n1,n2>|=.因此sinθ=,即所求二面角正弦值为.20.(本小题满分12分)(2014辽宁,理20)圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴、y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图).双曲线C1:=1过点P且离心率为.(1)求C1的方程;(2)椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点,直线l过C2的右焦点且与C2交于A,B两点.若以线段AB为直径的圆过点P,求l的方程.分析:(1)设出切点P的坐标,利用直线和圆相切的性质,求出切线,进而求出切线与坐标轴的交点,运用基本不等式求出取最值时P的坐标代入双曲线方程求得结果.(2)运用待定系数法求出椭圆方程,将以AB为直径的圆过点P转化为·=0,运用韦达定理求解.解:(1)设切点坐标为(x0,y0)(x0>0,y0>0),则切线斜率为-,切线方程为y-y0=-(x-x0),即x0x+y0y=4.此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S=··.由=4≥2x0y0,知当且仅当x0=y0=时x0y0有最大值,即S有最小值.因此点P的坐标为().由题意知解得a2=1,b2=2.故C1方程为x2-=1.(2)由(1)知C2的焦点坐标为(-,0),(,0),由此设C2的方程为=1,其中b1>0.由P()在C2上,得=1,解得=3.因此C2方程为=1.显然,l不是直线y=0.设l的方程为x=my+,点A(x1,y1),B(x2,y2).由得(m2+2)y2+2my-3=0.又y1,y2是方程的根,因此由x1=my1+,x2=my2+,得因为=(-x1,-y1),=(-x2,-y2).由题意知·=0,所以x1x2-(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+4=0.⑤将①,②,③,④代入⑤式整理,得2m2-2m+4-11=0.解得m=-1或m=-+1.因此直线l的方程为x-y-=0或x+y-=0.21.(本小题满分12分)(2014辽宁,理21)已知函数f(x)=(cos x-x)(π+2x)-(sin x+1),g(x)=3(x-π)cos x-4(1+sinx)ln.证明:(1)存在唯一x0∈,使f(x0)=0;(2)存在唯一x1∈,使g(x1)=0,且对(1)中的x0,有x0+x1<π.分析:(1)先判断f(x)的单调性,再运用根的存在性定理证明.(2)可构造函数h(x)=,再换元后,结合(1)可求出x0与x1的关系.证明:(1)当x∈时,f'(x)=-(1+sin x)(π+2x)-2x-cos x<0,函数f(x)在上为减函数.又f(0)=π->0,f=-π2-<0,所以存在唯一x0∈,使f(x0)=0.(2)考虑函数h(x)=-4ln,x∈.令t=π-x,则x∈时,t∈.记u(t)=h(π-t)=-4ln,则u'(t)=.由(1)得,当t∈(0,x0)时,u'(t)>0.当t∈时,u'(t)<0.在(0,x0)上u(t)是增函数.又u(0)=0,从而当t∈(0,x0]时,u(t)>0.所以u(t)在(0,x0]上无零点.在上u(t)为减函数,由u(x0)>0,u=-4ln2<0,知存在唯一t1∈,使u(t1)=0.所以存在唯一的t1∈,使u(t1)=0.因此存在唯一的x1=π-t1∈,使h(x1)=h(π-t1)=u(t1)=0.因为当x∈时,1+sin x>0,故g(x)=(1+sin x)h(x)与h(x)有相同的零点,所以存在唯一的x1∈,使g(x1)=0,因为x1=π-t1,t1>x0,所以x0+x1<π.请考生在第22,23,24三题中任选一题做答.如果多做,则按所做的第一题记分.做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22.(本小题满分10分)(2014辽宁,理22)选修4—1:几何证明选讲如图,EP交圆于E,C两点,PD切圆于D,G为CE上一点且PG=PD,连接DG并延长交圆于点A,作弦AB垂直EP,垂足为F.(1)求证:AB为圆的直径;(2)若AC=BD,求证:AB=ED.分析:(1)证明AB是直径,即证明∠BDA=90°.由∠PFA=90°,从而寻求∠BDA=∠PFA就可证明.(2)要证AB=DE,即证DE为直径,连DC,即证∠DCE=90°,从而只需证明AB∥DC即可.证明:(1)因为PD=PG,所以∠PDG=∠PGD.由于PD为切线,故∠PDA=∠DBA.又由于∠PGD=∠EGA,故∠DBA=∠EGA,所以∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD,从而∠BDA=∠PFA.由于AF⊥EP,所以∠PFA=90°.于是∠BDA=90°.故AB是直径.(2)连接BC,DC.由于AB是直径,故∠BDA=∠ACB=90°.在Rt△BDA与Rt△ACB中,AB=BA,AC=BD,从而Rt△BDA≌Rt△ACB.于是∠DAB=∠CBA.又因为∠DCB=∠DAB,所以∠DCB=∠CBA,故DC∥AB.由于AB⊥EP,所以DC⊥EP,∠DCE为直角.于是ED为直径.由(1)得ED=AB.23.(本小题满分10分)(2014辽宁,理23)选修4—4:坐标系与参数方程将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.(1)写出C的参数方程;(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.分析:(1)利用相关点法先求出直角坐标方程,再写出参数方程.(2)先联立方程求出P1,P2两点的坐标,进而求出P1P2的中点坐标,得到与l垂直的直线方程,再化为极坐标方程.解:(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为C上点(x,y),依题意,得由=1,得x2+=1,即曲线C的方程为x2+=1.故C的参数方程为(t为参数).(2)由解得不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为,所求直线斜率为k=,于是所求直线方程为y-1=,化为极坐标方程,并整理得2ρcosθ-4ρsinθ=-3,即ρ=.24.(本小题满分10分)(2014辽宁,理24)选修4—5:不等式选讲设函数f(x)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x2-8x+1.记f(x)≤1的解集为M,g(x)≤4的解集为N.(1)求M;(2)当x∈M∩N时,证明:x2f(x)+x[f(x)]2≤.分析:(1)分类讨论去绝对值符号即可.(2)在x∈M∩N的条件下,先化简x2f(x)+x[f(x)]2,再配方求其最大值即可.解:(1)f(x)=当x≥1时,由f(x)=3x-3≤1得x≤,故1≤x≤;当x<1时,由f(x)=1-x≤1得x≥0,故0≤x<1.所以f(x)≤1的解集为M=.(2)证明:由g(x)=16x2-8x+1≤4,得16≤4,解得-≤x≤.因此N=.故M∩N=.当x∈M∩N时,f(x)=1-x,于是x2f(x)+x·[f(x)]2=xf(x)[x+f(x)]=x·f(x)=x(1-x)=.。

2014年高考理数真题试卷(辽宁卷)

第1页，总22页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2014年高考理数真题试卷（辽宁卷）考试时间：**分钟满分：**分姓名：____________班级：____________学号：___________题号一二三总分核分人得分注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 15 分钟收取答题卡第Ⅰ卷客观题第Ⅰ卷的注释评卷人得分一、单选题（共12题)1. （2014•辽宁）已知全集U=R ，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁U （A∁B ）=（） A . {x|x≥0} B . {x|x≤1} C . {x|0≤x≤1} D . {x|0＜x ＜1}2. （2014•辽宁）已知a=，b=log 2 ，c=log，则（）A . a ＞b ＞cB . a ＞c ＞bC . c ＞a ＞bD . c ＞b ＞a3. （2014•辽宁）已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A . 若m∁α，n∁α，则m∁nB . 若m∁α，n∁α，则m∁nC . 若m∁α，m∁n ，则n∁αD . 若m∁α，m∁n ，则n∁α4. （2014•辽宁）将函数y=3sin （2x+ ）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（） A . 在区间[，]上单调递减 B . 在区间[，]上单调递增 C . 在区间[﹣ ， ]上单调递减 D . 在区间[﹣ ， ]上单调递增5. （2014•辽宁）设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{ }为递减数列，则（）A . d ＜0B . d ＞0C . a 1d ＜0D . a 1d ＞06. （2014•辽宁）当x∁[﹣2，1]时，不等式ax 3﹣x 2+4x+3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是（）答案第2页，总22页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A . [﹣5，﹣3]B . [﹣6，﹣ ]C . [﹣6，﹣2]D . [﹣4，﹣3]7. （2014•辽宁）设复数z 满足（z ﹣2i ）（2﹣i ）=5，则z=（） A . 2+3i B . 2﹣3i C . 3+2i D . 3﹣2i8. （2014•辽宁）已知点A （﹣2，3）在抛物线C ：y 2=2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（） A . B . C . D .9. （2014•辽宁）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（） A . 144 B . 120 C . 72 D . 24 10. （2014•辽宁）已知定义在[0，1]上的函数f （x ）满足：①f （0）=f （1）=0； ②对所有x ，y∁[0，1]，且x≠y ，有|f （x ）﹣f （y ）|＜ |x ﹣y|．若对所有x ，y∁[0，1]，|f （x ）﹣f （y ）|＜m 恒成立，则m 的最小值为（） A . B . C . D .11. （2014•辽宁）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A . 8﹣2πB . 8﹣πC . 8﹣D . 8﹣12. （2014•辽宁）设，，是非零向量，已知命题p ：若 • =0， • =0，则 • =0；命题q ：若 ∁ ， ∁ ，则 ∁ ，则下列命题中真命题是（）。

2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(辽宁卷带解析)试题

2014年全国普通高等学校招生统一考试理科（辽宁卷）数学试题1、【题文】已知全集，则集合（）A．B．C．D．2、【题文】设复数z满足，则（）A．B．C．D．3、【题文】已知，，则（）A．B．C．D．4、【题文】已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）A．若则B．若，，则C．若，，则D．若，，则5、【题文】设是非零向量，已知命题P：若，，则；命题q：若，则，则下列命题中真命题是（）A．B．C．D．6、【题文】6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（）A．144 B．120 C．72 D．247、【题文】某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．8、【题文】设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（）A．B．C．D．9、【题文】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间上单调递减B．在区间上单调递增C．在区间上单调递减D．在区间上单调递增10、【题文】已知点在抛物线C：的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（）A．B．C．D．11、【题文】当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）C．D．A．B．12、【题文】已知定义在上的函数满足：①；②对所有，且，有.若对所有，，则k的最小值为（）A．B．C．D．13、【题文】执行右侧的程序框图，若输入，则输出 .14、【题文】正方形的四个顶点分别在抛物线和上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在阴影区域的概率是 .15、【题文】已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则 .16、【题文】对于，当非零实数a，b满足，且使最大时，的最小值为 .17、【题文】在中，内角A，B，C的对边a，b，c，且，已知，，，求：（1）a和c的值；（2）的值.18、【题文】一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；（2）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望及方差.19、【题文】如图，和所在平面互相垂直，且，，E、F分别为AC、DC的中点.（1）求证：；（2）求二面角的正弦值.20、【题文】圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线过点P且离心率为. （1）求的方程；（2）椭圆过点P且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆心过点P，求的方程.21、【题文】已知函数，.证明：（1）存在唯一，使；（2）存在唯一，使，且对（1）中的.22、【题文】如图，EP交圆于E、C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.（1）求证：AB为圆的直径；（2）若AC=BD，求证：AB=ED.23、【题文】将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.（1）写出C的参数方程；（2）设直线与C的交点为，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.24、【题文】设函数，，记的解集为M，的解集为N.（1）求M；（2）当时，证明：.。

2014年高考理科数学辽宁卷(含详细答案)

数学试卷第1页（共45页）数学试卷第2页（共45页）数学试卷第3页（共45页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(供理科考生使用)注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U =R ,{|0}A x x =≤,{|1}B x x =≥,则集合()UA B = （）A .{|0}x x ≥B .{|1}x x ≤C .{|01}x x ≤≤D .{|01}x x ＜＜ 2.设复数z 满足(2i)(2i)5z --=,则z =（）A .23i +B .23i -C .32i +D .32i - 3.已知132a -=,21log 3b =,121log 3c =,则（）A .a b c ＞＞B .a c b ＞＞C .c a b ＞＞D .c b a ＞＞4.已知m ,n 表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是（）A .若m α∥,n α∥,则m n ∥B .若m α⊥,n α⊂,则m n ⊥C .若m α⊥,m n ⊥,则n α∥D .若m α∥,m n ⊥,则n α⊥5.设a ,b ,c 是非零向量.已知命题p ：若a b 0=,b c 0=,则a c 0=；命题q ：若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c ,则下列命题中真命题是（）A .p q ∨B .p q ∧C .()()p q ⌝∧⌝D .()p q ∨⌝6.6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为（）A .144B .120C .72D .247.某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为（） A .82π- B .8π-C .π82-D .π84-8.设等差数列{}n a 的公差为d .若数列1{2}n a a 为递减数列,则（）A .0d ＜B .0d ＞C .10a d ＜D .10a d ＞9.将函数π3sin(2)3y x =+的图象向右平移π2个单位长度,所得图象对应的函数（） A .在区间π7π[,]1212上单调递减B .在区间π7π[,]1212上单调递增C .在区间ππ[,]63-上单调递减D .在区间ππ[,]63-上单调递增10.已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上,过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ,记C 的焦点为F ,则直线BF 的斜率为（）A .12B .23C .34D .4311.当[2,1]x ∈-时,不等式32430ax x x -++≥恒成立,则实数a 的取值范围是（）A .[5,3]--B .9[6,]8--C .[6,2]--D .[4,3]--12.已知定义在[0,1]上的函数()f x 满足：①(0)(1)0f f ==；②对所有,[0,1]x y ∈,且x y ≠,有1|()()|||2f x f y x y --＜. 若对所有,[0,1]x y ∈,|()()|f x f y k -＜恒成立,则k 的最小值为（）A .12B .14C .12πD .18第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.13.执行如图所示的程序框图,若输入9x =,则输出y =________.14.正方形的四个顶点(1,1)A --,(1,1)B -,(1,1)C ,(1,1)D -分别在抛物线2y x =-和2y x =上,如图所示.若将一个质点随机投入正方形ABCD 中,则质点落在图中阴影区域的概率是________.15.已知椭圆C ：22194x y +=,点M 与C 的焦点不重合.若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ,B ,线段MN 的中点在C 上,则||||AN BN +=________.16.对于0c ＞,当非零实数a ,b 满足224240a ab b c -+-=且使|2|a b +最大时,345a b c-+的最小值为________.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷第4页（共45页）数学试卷第5页（共45页）数学试卷第6页（共45页）三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）在ABC △中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a c ＞.已知2BA BC =,1cos 3B =,3b =.求：（Ⅰ）a 和c 的值；（Ⅱ）cos()B C -的值.18.（本小题满分12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.（Ⅰ）求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；（Ⅱ）用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X 的分布列、期望()E X 及方差()D X .19.（本小题满分12分）如图,ABC △和BCD △所在平面互相垂直,且2AB BC BD ===,120ABC DBC ∠=∠=,E ,F 分别为AC ,DC 的中点.（Ⅰ）求证：EF ⊥BC ；（Ⅱ）求二面角E BF C --的正弦值.20.（本小题满分12分）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴、y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P （如图）.双曲线1C ：22221x y a b-=过点P 且离心率为3.（Ⅰ）求1C 的方程；（Ⅱ）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点,直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ,B 两点.若以线段AB 为直径的圆过点P ,求l 的方程.21.（本小题满分12分）已知函数8()(cos )(π2)(sin 1)3f x x x x x =-+-+,2()3(π)cos 4(1sin )ln(3)πxg x x x x =--+-.证明：（Ⅰ）存在唯一0π(0,)2x ∈,使0()0f x =；（Ⅱ）存在唯一1π(,π)2x ∈,使1()0g x =,且对（Ⅰ）中的0x ,有01πx x +＜.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图,EP 交圆于E ,C 两点,PD 切圆于D ,G 为CE 上一点且PG PD =,连接DG 并延长交圆于点A ,作弦AB 垂直EP ,垂足为F .（Ⅰ）求证：AB 为圆的直径；（Ⅱ）若AC BD =,求证：AB ED =.23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C .（Ⅰ）写出C 的参数方程；（Ⅱ）设直线l ：220x y +-=与C 的交点为1P ,2P ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-,2()1681g x x x =-+.记()1f x ≤的解集为M ,()4g x ≤的解集为N . （Ⅰ）求M ；（Ⅱ）当x MN ∈时,证明：221()[()]4x f x x f x +≤.3 / 152014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学(供理科考生使用)答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】D【解析】由题意可知，{|01}A B x x x =≤≥或，所以(){|01}UA B x x =<<.故选D.【提示】先求AB ，再根据补集的定义求()UAB .【提示】把给出的等式两边同时乘以12i-，然后利用复数代数形式的除法运算化简，则z 可求.【提示】利用指数式的运算性质得到01a <<，由对数的运算性质得到0b <，1c >，则答案可求. 【考点】对数的基本运算 4.【答案】B【解析】由题可知，若m α∥，n α∥则m 与n 平行、相交或异面，所以A 错误；若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥，故B 正确；若m α⊥，m n ⊥，则n α∥或n α⊂，故C 错误.若m α∥，m n ⊥，则n α∥或n α⊥或n 与α相交，故D 错误.故选B.【提示】A.运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断； B.运用线面垂直的性质，即可判断；C.运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D.运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断. 【考点】空间直线与直线，直线与平面的位置关系 5.【答案】A【解析】由向量数量积的几何意义可知，命题p 为假命题；命题q 中，当0b ≠时，a ，c 一定共线，故命数学试卷第10页（共45页）数学试卷第11页（共45页）数学试卷第12页（共45页）题q 是真命题.故p q ∨为真命题.故选A.【提示】根据向量的有关概念和性质分别判断p ，q 的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论. 【考点】向量的平行与垂直，真假命题的判定 6.【答案】D【解析】这是一个元素不相邻问题，采用插空法，333424A C =.故选D.【提示】使用“插空法”根据分步计数原理可得结论.【提示】几何体是正方体切去两个14圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算.【提示】由于数列1{2}n a a 为递减数列，可得11112212n na a a d a a +=<，解出即可.5 / 15【提示】由题意先求出准线方程2px =-，再求出p ，从而得到抛物线方程，写出第一象限的抛物线方程，设出切点，并求导，得到切线AB 的斜率，再由两点的斜率公式得到方程，解出方程求出切点，再由两点的斜率公式求出BF 的斜率.数学试卷第16页（共45页）数学试卷第17页（共45页）数学试卷第18页（共45页）【提示】利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论. 【提示】画出图形，利用中点坐标以及椭圆的定义，即可求出||||AN BN +的值.7 / 15【提示】首先把：224240a ab b c +-=-，转化为222343(2)4a b a b +≥+，再由柯西不等式得到|2|a b +，分别用b 表示a ，c ，在代入到345a b c-+得到关于b 的二次函数，求出最小值即可. （Ⅰ）由2BA BC =得，cos 2c a B =2222cos a c b B +=+. 29213c +=+⨯.解2ac a =⎧⎨+⎩，2c =2224339=22799⎫=⎪⎪⎭. 17224223sin 393927B C =+=数学试卷第22页（共45页）数学试卷第23页（共45页）数学试卷第24页（共45页）【提示】（Ⅰ）利用平面向量的数量积运算法则化简2BA BC =，将cos B 的值代入求出6ac =，再利用余弦定理列出关系式，将b ，cos B 以及ac 的值代入得到2213a c +=，联立即可求出ac 的值；（Ⅱ）由cos B 的值，利用同角三角函数间基本关系求出sin B 的值，由c ，b ，sin B ，利用正弦定理求出sin C 的值，进而求出cos C 的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值.033(10.6)-=130.6(10.6)-2230.6(10.6)-3330.60.216=0 0.064因为~(3,0.6)X B ，所以期望为()30.6 1.8E X =⨯=，方差()30.6(10.6)0.72D X =⨯⨯-=.【提示】（Ⅰ）由频率分布直方图求出事件1A ，2A 的概率，利用相互独立事件的概率公式求出事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”的概率；（Ⅱ）写出X 可取得值，利用相互独立事件的概率公式求出X 取每一个值的概率；列出分布列.根据服从二项分布的随机变量的期望与方差公式求出期望()E X 及方差()D X . 【考点】频率分布直方图，随机事件的概率随机变量的期望和方差19.【答案】（Ⅰ）证明：方法一，过点E 作EO BC ⊥，垂足为O ，连接OF 。

2014高考辽宁理数Word版含答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()U C AB =（）A ．{|0}x x ≥B ．{|1}x x ≤C ．{|01}x x ≤≤D ．{|01}x x << 2.设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =（） A ．23i + B ．23i - C ．32i + D ．32i - 3.已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>4.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥5.设,,a b c 是非零向量，学科网已知命题P ：若0a b ∙=，0b c ∙=，则0a c ∙=；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（） A ．p q ∨ B ．p q ∧ C ．()()p q ⌝∧⌝ D ．()p q ∨⌝6.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（） A ．144 B ．120 C ．72 D ．247.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A ．82π- B ．8π- C ．82π-D ．84π-8.设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a 为递减数列，则（） A ．0d < B ．0d > C ．10a d < D ．10a d > 9.将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（）A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增 10.已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，学科网过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（） A ．12 B ．23 C ．34 D ．4311.当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．[5,3]-- B ．9[6,]8-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]-- 12.已知定义在[0,1]上的函数()f x 满足： ①(0)(1)0f f ==；②对所有,[0,1]x y ∈，且x y ≠，有1|()()|||2f x f y x y -<-.若对所有,[0,1]x y ∈，|()()|f x f y k -<，则k 的最小值为（） A ．12 B ．14 C ．12π D ．18第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.执行右侧的程序框图，若输入9x =，则输出y = .14.正方形的四个顶点(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)A B C D ----分别在抛物线2y x =-和2y x =上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在阴影区域的概率是 .15.已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += .16.对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345a b c-+的最小值为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ∙=，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值；（2）cos()B C -的值. 18. （本小题满分12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；（2）用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望()E X 及方差()D X .19. （本小题满分12分）如图，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，0120ABC DBC ∠=∠=，E 、F 分别为AC 、DC 的中点.（1）求证：EF BC ⊥；（2）求二面角E BF C --的正弦值.20. （本小题满分12分）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图），双曲线22122:1x y C a b-=过点P .（1）求1C 的方程；（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程.21. （本小题满分12分）已知函数8()(cos )(2)(sin 1)3f x x x x x π=-+-+，2()3()cos 4(1sin )ln(3)xg x x x x x π=--+-.证明：（1）存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =；（2）存在唯一1(,)2x ππ∈，使1()0g x =，且对（1）中的01x x π+<.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F. （1）求证：AB 为圆的直径；（2）若AC=BD ，求证：AB=ED.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. （1）写出C 的参数方程；（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N. （1）求M ；（2）当x M N ∈时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤.数学（理）参考答案一、选择题（1）D （2）A （3）C （4）B （5）A （6）D （7）B （8）C （9）B （10）D （11）C （12）B 二、填空题（13）929（14）32（15）12（16）-2 三、解答题17.【答案】（1） 2,3==c a （2） 2723【解析】（1）2,3.2,3∴5,6c ∴2-cos 23cos ,3,31cos 222====>=+=+====•==c a c a c a c a a acb c a B ac B ca BC BA b B 所以，解得，且（2）2723)-cos(.2723sin sin cos cos )-cos(924sin ,972c -cos ,2,3,3322sin 31cos 222==+=∴==+=====∴=C B C B C B C B C ab b a C c b a B B 所以，18.【答案】（1） 0.108 （2） 1.8,0.72【解析】（1）108.0.108.02)(501002.15.050003.0)50(,6.050)002.0004.0006.0()100≥(2所以，所求事件概率为，则且一日销量低于日销量不低于表示连续表示日销售量，则用==+==•=<==•++==b a baa aab A p A Y p b Y p a Y（2）.72.08.1.72.0)-1(,8.16.0*3.216.0)-1()3(.432.0)-1()2(.288.0)-1()1(.064.0)-1()0(∴).6.0,3(~,6.0100)1(.3,2,1,00333122321133003和分别为和方差望的分布列如下，数学期的概率知，日销量不低于由可取DX EX X a na DX na EX a a C x p a a C x p a a C x p a a C x p B X a X ==================19.【答案】（1）省略（2） 552【解析】（1）BCBC BC H EH FH EH FH EH FH BC H BCE BCF BE RT BCE ABC EC AE BA BC BF RT BCF CBD FC DF BD BC ⊥EF EF ⊥∴EFH ⊥∴∩BC,⊥BC,⊥21BH BC,⊥BC,⊥ΔΔ∴EC ⊥,Δ∴120∠,,FC ⊥,Δ∴120∠,,所以，面则上，且在全等，设与三角形为且同理三角形为且==°===°===（2）552θsin CD --552,sin 55113100100||||,cos ∴)1,1,3-(002321230210),,()0,23,21(),23,0,21(),0,0,21-(),0,23,0(),23,0,0()1,0,0(2.,,,HF ,∴HF ⊥⊥,12121212122221=>=<=++++++>=<==++=++========的正弦值所以，二面角，解出一个法向量，即的法向量面的一个法向量显然，面轴建立坐标系为分别以）知由（BF E n n n n n n n y x z x n n z y x n BEF B F E n BCF BF BE z y x EH HC HC EH20.【答案】（1） 12-22=y x （2） 326-2,322-63+=+=y x y x 或【解析】（1）12-1231-)2,2(,,3).2,2(2,168211682116)(4214421,,4,,,222222222222242242242222====∴=+====++=++≥+++=++===y x a b c by a x P a b c a c P s n m r r n m r n m r n m s mn r r n m P r 所以，双曲线方程为，，中代入双曲线方程把点取最大值，这时时，仅当三角形面积由射影定理得为点上下两段线段长分别设圆半径（2）326-2,322-6326-2,22-63∴21)-6(26262-7262)11-62(4-664)11-68(4-2462∴011-6462-2m ⇒064-1162-2m ⇒064-143-62)m 62-76-62-3(⇒0)62-7(2)62-7(62)m 3-2(323--3⇒0)2)(62-7(]2-)m 2-3([32-)1(-3∴062-7)](2-)m 2-3([)1(23-,232-0,3-32)2(136062-7)](2-)m 2-3([)1(2)(2-)2-3()()m 2-3()2-)(2-()2-3)(2-3()2-)(2-()2-)(2-()2-,2-)(2-,2-(0).,(),,(,3.0∴⊥)0,3(136.631)2,2(31∴)0,3(),0,3-()2,2(212222222221212221221222221212212122121221212121221122112222222222222222+=+===±=±=±=±==+=++=++++=++++=+++=+++++=+=+=++=+=++++=++++++=+++=+==•=+==•=+===+=+==+y x y x m m m m m m m m m m m m y y y y m m y y m m y y m y y m y x y y y y m y y y y y y y y m y y m y m y y y x x y x y x PA y x B y x A m y x PA PB PA l y x a b by a x P c c b a by a x P 或所以，所求直线方程为由韦达定理得联立得：与椭圆方程设直线方程，且过右焦点为由题知，直线所以，椭圆方程为，中，解得代入椭圆方程把点，，设椭圆方程，焦点为椭圆过21. 【答案】（1） 0.108 （2） 1.8,0.72【解析】（1）上仅有一个零点，在所以，单调递减单调递减，且单调递减单调递增，单调递增上，，在上有零点，在，)2π0()(↓)1(sin 38-)2π)(-(cos )(∴↓)1(sin 38-↓)2π)(cos -(-∴↑0cos -↑02π)2π0()2π0()(∴0)2(38-)π2)(2π-()2π(,038-π)0(∴)1(sin 38-)2π)(-(cos )(x f x x x x x f y x y x x x y x x y x y x f f f x x x x x f ++==+=++=>+=>+=<=>=++=（2）（II ）考虑 ].,2[),23ln(4sin 1cos )(3)(ππππ∈--+-=x x x x x h 令,x t -=π则],2[ππ∈x 时，]2,0[π∈t 记)sin 1)(2()(3)(),21ln(4sin 1cos 3-)('t t t f t u t t t t t h t u ++=+-+==πππ则）（由（I ）得，当0)()2,(,0)(),0('0'0〈∈〉∈t u x t t u x t 时，当时，π在（0，0x ）上)(t u 是增函数，又)00(=u ，从而当),0(0x t ∈时，)(t u 0〉，所以)(t u 在],0(0x 上无零点。

14年高考真题——理科数学(辽宁卷)-推荐下载

2014 年高考真题理科数学（解析版）卷
2014 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁）卷
数学（理科）
一．选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给也的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1．已知全集U R ， A x | x 0， B x | x 1，则集合 ðU A B ( )
（A）x | x 0 （B）x | x 1 （C）x | 0 x 1 （D）
x | 0 x 1
2．设复数 z 满足 z 2i2 i 5 ，则 z ( )
（A） 2 3i （B） 2 3i （C） 3 2i （D） 3 2i
2
（B）在区间

个单位长度，所得图象对应函数(
12
,
7 12

（D） c b a

上单调递增
辽宁
)
2014 年高考真题理科数学（解析版）卷
（C）在区间

6
,
3

上单调递减
10．已知点 A2, 3在抛物线 C ： y2 2 px 的准线上，过点 A 的直线与 C 在第一象
1
（B）
4
1 （C） 2
二．填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
1
（D）
8
13．执行右侧的程序框图，若输入 x 9 ，则输出 y
。
14．正方形的四个顶点 A1, 1， B 1, 1， C 1,1，
D 1,1分别在抛物线 y x2 和 y x2 上，如图所示，若将

1 3
，则(
)
（C） c a b

[历年真题]2014年辽宁省高考数学试卷(理科)

2014年辽宁省高考数学试卷（理科）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U（A∪B）=（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0＜x＜1}2．（5分）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5,则z=（）A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i3．（5分）已知a=,b=log2,c=log,则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a4．（5分）已知m,n表示两条不同直线,α表示平面,下列说法正确的是（）A．若m∥α,n∥α,则m∥n B．若m⊥α,n⊂α,则m⊥nC．若m⊥α,m⊥n,则n∥αD．若m∥α,m⊥n,则n⊥α5．（5分）设,,是非零向量,已知命题p:若•=0,•=0,则•=0；命题q:若∥,∥,则∥,则下列命题中真命题是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）6．（5分）6把椅子排成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为（）A．144 B．120 C．72 D．247．（5分）某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A．8﹣2πB．8﹣πC．8﹣D．8﹣8．（5分）设等差数列{a n}的公差为d,若数列{}为递减数列,则（）A．d＜0 B．d＞0 C．a1d＜0 D．a1d＞09．（5分）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数（）A．在区间[,]上单调递减B．在区间[,]上单调递增C．在区间[﹣,]上单调递减D．在区间[﹣,]上单调递增10．（5分）已知点A（﹣2,3）在抛物线C:y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为（）A．B．C．D．11．（5分）当x∈[﹣2,1]时,不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是（）A．[﹣5,﹣3]B．[﹣6,﹣]C．[﹣6,﹣2]D．[﹣4,﹣3]12．（5分）已知定义在[0,1]上的函数f（x）满足:①f（0）=f（1）=0；②对所有x,y∈[0,1],且x≠y,有|f（x）﹣f（y）|＜|x﹣y|．若对所有x,y∈[0,1],|f（x）﹣f（y）|＜m恒成立,则m的最小值为（）A．B．C． D．二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.考生根据要求作答．13．（5分）执行如图的程序框图,若输入x=9,则输出y=．14．（5分）正方形的四个顶点A（﹣1,﹣1）,B（1,﹣1）,C（1,1）,D（﹣1,1）分别在抛物线y=﹣x2和y=x2上,如图所示,若将一个质点随机投入正方形ABCD中,则质点落在图中阴影区域的概率是．15．（5分）已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合,若M关于C的焦点的对称点分别为A、B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=．16．（5分）对于c＞0,当非零实数a,b满足4a2﹣2ab+4b2﹣c=0且使|2a+b|最大时,﹣+的最小值为．三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a,b,c,且a＞c,已知•=2,cosB=,b=3,求:（Ⅰ）a和c的值；（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．18．（12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立．（Ⅰ）求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；（Ⅱ）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的分布列,期望E（X）及方差D（X）．19．（12分）如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°,E、F分别为AC、DC的中点．（Ⅰ）求证:EF⊥BC；（Ⅱ）求二面角E﹣BF﹣C的正弦值．20．（12分）圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P（如图）,双曲线C1:﹣=1过点P且离心率为．（Ⅰ）求C1的方程；（Ⅱ）若椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点,直线l过C2的右焦点且与C2交于A,B两点,若以线段AB为直径的圆过点P,求l的方程．21．（12分）已知函数f（x）=（cosx﹣x）（π+2x）﹣（sinx+1）g（x）=3（x﹣π）cosx﹣4（1+sinx）ln（3﹣）证明:（Ⅰ）存在唯一x0∈（0,）,使f（x0）=0；（Ⅱ）存在唯一x1∈（,π）,使g（x1）=0,且对（Ⅰ）中的x0,有x0+x1＜π．四、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．选修4-1:几何证明选讲.22．（10分）如图,EP交圆于E,C两点,PD切圆于D,G为CE上一点且PG=PD,连接DG并延长交圆于点A,作弦AB垂直EP,垂足为F．（Ⅰ）求证:AB为圆的直径；（Ⅱ）若AC=BD,求证:AB=ED．选修4-4:坐标系与参数方程23．将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C．（Ⅰ）写出C的参数方程；（Ⅱ）设直线l:2x+y﹣2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．不等式选讲24．设函数f（x）=2|x﹣1|+x﹣1,g（x）=16x2﹣8x+1．记f（x）≤1的解集为M,g（x）≤4的解集为N．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）当x∈M∩N时,证明:x2f（x）+x[f（x）]2≤．2014年辽宁省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2014•辽宁）已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U（A∪B）=（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0＜x＜1}【分析】先求A∪B,再根据补集的定义求C U（A∪B）．【解答】解:A∪B={x|x≥1或x≤0},∴C U（A∪B）={x|0＜x＜1},故选:D．【点评】本题考查了集合的并集、补集运算,利用数轴进行数集的交、并、补运算是常用方法．2．（5分）（2014•辽宁）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5,则z=（）A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i【分析】把给出的等式两边同时乘以,然后利用复数代数形式的除法运算化简,则z可求．【解答】解:由（z﹣2i）（2﹣i）=5,得:,∴z=2+3i．故选:A．【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算,是基础的计算题．3．（5分）（2014•辽宁）已知a=,b=log2,c=log,则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a【分析】利用指数式的运算性质得到0＜a＜1,由对数的运算性质得到b＜0,c＞1,则答案可求．【解答】解:∵0＜a=＜20=1,b=log2＜log21=0,c=log=log23＞log22=1,∴c＞a＞b．故选:C．【点评】本题考查指数的运算性质和对数的运算性质,在涉及比较两个数的大小关系时,有时借助于0、1这样的特殊值能起到事半功倍的效果,是基础题．4．（5分）（2014•辽宁）已知m,n表示两条不同直线,α表示平面,下列说法正确的是（）A．若m∥α,n∥α,则m∥n B．若m⊥α,n⊂α,则m⊥nC．若m⊥α,m⊥n,则n∥αD．若m∥α,m⊥n,则n⊥α【分析】A．运用线面平行的性质,结合线线的位置关系,即可判断；B．运用线面垂直的性质,即可判断；C．运用线面垂直的性质,结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D．运用线面平行的性质和线面垂直的判定,即可判断．【解答】解:A．若m∥α,n∥α,则m,n相交或平行或异面,故A错；B．若m⊥α,n⊂α,则m⊥n,故B正确；C．若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α,故C错；D．若m∥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α或n⊥α,故D错．故选B．【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系,考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质,记熟这些定理是迅速解题的关键,注意观察空间的直线与平面的模型．5．（5分）（2014•辽宁）设,,是非零向量,已知命题p:若•=0,•=0,则•=0；命题q:若∥,∥,则∥,则下列命题中真命题是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）【分析】根据向量的有关概念和性质分别判断p,q的真假,利用复合命题之间的关系即可得到结论．【解答】解:若•=0,•=0,则•=•,即（﹣）•=0,则•=0不一定成立,故命题p为假命题,若∥,∥,则∥平行,故命题q为真命题,则p∨q,为真命题,p∧q,（￢p）∧（￢q）,p∨（￢q）都为假命题,故选:A．【点评】本题主要考查复合命题之间的判断,利用向量的有关概念和性质分别判断p,q的真假是解决本题的关键．6．（5分）（2014•辽宁）6把椅子排成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为（）A．144 B．120 C．72 D．24【分析】使用“插空法“．第一步,三个人先坐成一排,有种,即全排,6种；第二步,由于三个人必须隔开,因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子,2号位置与3号位置之间摆放一张凳子,剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡,随便摆放即可,即有种办法．根据分步计数原理可得结论．【解答】解:使用“插空法“．第一步,三个人先坐成一排,有种,即全排,6种；第二步,由于三个人必须隔开,因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子,2号位置与3号位置之间摆放一张凳子,剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡,随便摆放即可,即有种办法．根据分步计数原理,6×4=24．故选:D．【点评】本题考查排列知识的运用,考查乘法原理,先排人,再插入椅子是关键．7．（5分）（2014•辽宁）某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A．8﹣2πB．8﹣πC．8﹣D．8﹣【分析】几何体是正方体切去两个圆柱,根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高,把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算．【解答】解:由三视图知:几何体是正方体切去两个圆柱,正方体的棱长为2,切去的圆柱的底面半径为1,高为2,∴几何体的体积V=23﹣2××π×12×2=8﹣π．故选:B．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积,根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．8．（5分）（2014•辽宁）设等差数列{a n}的公差为d,若数列{}为递减数列,则（）A．d＜0 B．d＞0 C．a1d＜0 D．a1d＞0【分析】由于数列{2}为递减数列,可得=＜1,解出即可．【解答】解:∵等差数列{a n}的公差为d,∴a n+1﹣a n=d,又数列{2}为递减数列,∴=＜1,∴a1d＜0．故选:C．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、数列的单调性、指数函数的运算法则等基础知识与基本技能方法,属于中档题．9．（5分）（2014•辽宁）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数（）A．在区间[,]上单调递减B．在区间[,]上单调递增C．在区间[﹣,]上单调递减D．在区间[﹣,]上单调递增【分析】直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式,然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间,取k=0即可得到函数在区间[,]上单调递增,则答案可求．【解答】解:把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度,得到的图象所对应的函数解析式为:y=3sin[2（x﹣）+]．即y=3sin（2x﹣）．当函数递增时,由,得．取k=0,得．∴所得图象对应的函数在区间[,]上单调递增．故选:B．【点评】本题考查了函数图象的平移,考查了复合函数单调性的求法,复合函数的单调性满足“同增异减”原则,是中档题．10．（5分）（2014•辽宁）已知点A（﹣2,3）在抛物线C:y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为（）A．B．C．D．【分析】由题意先求出准线方程x=﹣2,再求出p,从而得到抛物线方程,写出第一象限的抛物线方程,设出切点,并求导,得到切线AB的斜率,再由两点的斜率公式得到方程,解出方程求出切点,再由两点的斜率公式求出BF的斜率．【解答】解:∵点A（﹣2,3）在抛物线C:y2=2px的准线上,即准线方程为:x=﹣2,∴p＞0,=﹣2即p=4,∴抛物线C:y2=8x,在第一象限的方程为y=2,设切点B（m,n）,则n=2,又导数y′=2,则在切点处的斜率为,∴即m=2m,解得=2（舍去）,∴切点B（8,8）,又F（2,0）,∴直线BF的斜率为,故选D．【点评】本题主要考查抛物线的方程和性质,同时考查直线与抛物线相切,运用导数求切线的斜率等,是一道基础题．11．（5分）（2014•辽宁）当x∈[﹣2,1]时,不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是（）A．[﹣5,﹣3]B．[﹣6,﹣]C．[﹣6,﹣2]D．[﹣4,﹣3]【分析】分x=0,0＜x≤1,﹣2≤x＜0三种情况进行讨论,分离出参数a后转化为函数求最值即可,利用导数即可求得函数最值,注意最后要对a取交集．【解答】解:当x=0时,不等式ax3﹣x2+4x+3≥0对任意a∈R恒成立；当0＜x≤1时,ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≥,令f（x）=,则f′（x）==﹣（*）,当0＜x≤1时,f′（x）＞0,f（x）在（0,1]上单调递增,f（x）max=f（1）=﹣6,∴a≥﹣6；当﹣2≤x＜0时,ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≤,由（*）式可知,当﹣2≤x＜﹣1时,f′（x）＜0,f（x）单调递减,当﹣1＜x＜0时,f′（x）＞0,f（x）单调递增,f（x）min=f（﹣1）=﹣2,∴a≤﹣2；综上所述,实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2,即实数a的取值范围是[﹣6,﹣2]．故选:C．【点评】本题考查利用导数研究函数的最值,考查转化思想、分类与整合思想,按照自变量讨论,最后要对参数范围取交集；若按照参数讨论则取并集．12．（5分）（2014•辽宁）已知定义在[0,1]上的函数f（x）满足:①f（0）=f（1）=0；②对所有x,y∈[0,1],且x≠y,有|f（x）﹣f（y）|＜|x﹣y|．若对所有x,y∈[0,1],|f（x）﹣f（y）|＜m恒成立,则m的最小值为（）A．B．C． D．【分析】依题意,构造函数f（x）=（0＜k＜）,分x∈[0,],且y∈[0,]；x∈[0,],且y∈[,1]；x∈[0,],且y∈[,1]；及当x∈[,1],且y∈[,1]时,四类情况讨论,可证得对所有x,y∈[0,1],|f（x）﹣f（y）|＜恒成立,从而可得m≥,继而可得答案．【解答】解:依题意,定义在[0,1]上的函数y=f（x）的斜率|k|＜,依题意可设k＞0,构造函数f（x）=（0＜k＜）,满足f（0）=f（1）=0,|f（x）﹣f（y）|＜|x﹣y|．当x∈[0,],且y∈[0,]时,|f（x）﹣f（y）|=|kx﹣ky|=k|x﹣y|≤k|﹣0|=k×＜；当x∈[0,],且y∈[,1],|f（x）﹣f（y）|=|kx﹣（k﹣ky）|=|k（x+y）﹣k|≤|k （1+）﹣k|=＜；当y∈[0,],且x∈[,1]时,同理可得,|f（x）﹣f（y）|＜；当x∈[,1],且y∈[,1]时,|f（x）﹣f（y）|=|（k﹣kx）﹣（k﹣ky）|=k|x﹣y|≤k×（1﹣）=＜；综上所述,对所有x,y∈[0,1],|f（x）﹣f（y）|＜,∵对所有x,y∈[0,1],|f（x）﹣f（y）|＜m恒成立,∴m≥,即m的最小值为．故选:B．【点评】本题考查函数恒成立问题,着重考查构造函数思想、分类讨论思想、函数方程思想与等价转化思想的综合运用,考查分析、推理及运算能力,属于难题．二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.考生根据要求作答．13．（5分）（2014•辽宁）执行如图的程序框图,若输入x=9,则输出y=．【分析】根据框图的流程模拟运行程序,直到满足条件|y﹣x|＜1,计算输出y的值．【解答】解:由程序框图知:第一次循环x=9,y=+2=5,|5﹣9|=4＞1；第二次循环x=5,y=+2=,|﹣5|=＞1；第三次循环x=,y=+2．|+2﹣|=＜1,满足条件|y﹣x|＜1,跳出循环,输出y=．故答案为:．【点评】本题考查了循环结构的程序框图,根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．14．（5分）（2014•辽宁）正方形的四个顶点A（﹣1,﹣1）,B（1,﹣1）,C（1,1）,D （﹣1,1）分别在抛物线y=﹣x2和y=x2上,如图所示,若将一个质点随机投入正方形ABCD中,则质点落在图中阴影区域的概率是．【分析】利用几何槪型的概率公式,求出对应的图形的面积,利用面积比即可得到结论．【解答】解:∵A（﹣1,﹣1）,B（1,﹣1）,C（1,1）,D（﹣1,1）,∴正方体的ABCD的面积S=2×2=4,根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积S=2=2=2[（1﹣）﹣（﹣1+）]=2×=,则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是．故答案为:．【点评】本题主要考查几何槪型的概率的计算,利用积分求出阴影部分的面积是解决本题的关键．15．（5分）（2014•辽宁）已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合,若M关于C的焦点的对称点分别为A、B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=12．【分析】画出图形,利用中点坐标以及椭圆的定义,即可求出|AN|+|BN|的值．【解答】解:如图:MN的中点为Q,易得,,∵Q在椭圆C上,∴|QF1|+|QF2|=2a=6,∴|AN|+|BN|=12．故答案为:12．【点评】本题考查椭圆的定义,椭圆的基本性质的应用,是对基本知识的考查．16．（5分）（2014•辽宁）对于c＞0,当非零实数a,b满足4a2﹣2ab+4b2﹣c=0且使|2a+b|最大时,﹣+的最小值为﹣2．【分析】首先把:4a2﹣2ab+4b2﹣c=0,转化为=,再由柯西不等式得到|2a+b|2,分别用b表示a,c,在代入到﹣+得到关于b的二次函数,求出最小值即可．【解答】解:∵4a2﹣2ab+4b2﹣c=0,∴=由柯西不等式得,[][]=|2a+b|2故当|2a+b|最大时,有∴∴﹣+===,当b=时,取得最小值为﹣2．故答案为:﹣2【点评】本题考查了柯西不等式,以及二次函数的最值问题,属于难题．三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．17．（12分）（2014•辽宁）在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a,b,c,且a＞c,已知•=2,cosB=,b=3,求:（Ⅰ）a和c的值；（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．【分析】（Ⅰ）利用平面向量的数量积运算法则化简•=2,将cosB的值代入求出ac=6,再利用余弦定理列出关系式,将b,cosB以及ac的值代入得到a2+c2=13,联立即可求出ac的值；（Ⅱ）由cosB的值,利用同角三角函数间基本关系求出sinB的值,由c,b,sinB,利用正弦定理求出sinC的值,进而求出cosC的值,原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后,将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解:（Ⅰ）∵•=2,cosB=,∴c•acosB=2,即ac=6①,∵b=3,∴由余弦定理得:b2=a2+c2﹣2accosB,即9=a2+c2﹣4,∴a2+c2=13②,联立①②得:a=3,c=2；（Ⅱ）在△ABC中,sinB===,由正弦定理=得:sinC=sinB=×=,∵a=b＞c,∴C为锐角,∴cosC===,则cos（B﹣C）=cosBcosC+sinBsinC=×+×=．【点评】此题考查了正弦、余弦定理,平面向量的数量积运算,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握定理是解本题的关键．18．（12分）（2014•辽宁）一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立．（Ⅰ）求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；（Ⅱ）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的分布列,期望E（X）及方差D（X）．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图求出事件A1,A2的概率,利用相互独立事件的概率公式求出事件“在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”的概率；（Ⅱ）写出X可取得值,利用相互独立事件的概率公式求出X取每一个值的概率；列出分布列．根据服从二项分布的随机变量的期望与方差公式求出期望E（X）及方差D（X）．【解答】解:（Ⅰ）设A1表示事件“日销售量不低于100个”,A2表示事件“日销售量低于50个”B表示事件“在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”,因此P（A1）=（0.006+0.004+0.002）×50=0.6,P（A2）=0.003×50=0.15,P（B）=0.6×0.6×0.15×2=0.108,（Ⅱ）X可能取的值为0,1,2,3,相应的概率为:,,,随机变量X的分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216因为X～B（3,0.6）,所以期望E（X）=3×0.6=1.8,方差D（X）=3×0.6×（1﹣0.6）=0.72．【点评】在n次独立重复试验中,事件A发生的次数服从二项分布、服从二项分布的随机变量的期望与方差公式,考查分布列的求法．19．（12分）（2014•辽宁）如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°,E、F分别为AC、DC的中点．（Ⅰ）求证:EF⊥BC；（Ⅱ）求二面角E﹣BF﹣C的正弦值．【分析】（Ⅰ）以B为坐标原点,在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴,BC 所在直线为y轴,在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴,建立如图所示空间直角坐标系,得到E、F、B、C点的坐标,易求得此•=0,所以EF⊥BC；（Ⅱ）设平面BFC的一个法向量=（0,0,1）,平面BEF的法向量=（x,y,z）,依题意,可求得一个=（1,﹣,1）,设二面角E﹣BF﹣C的大小为θ,可求得sinθ的值．【解答】（Ⅰ）证明:由题意,以B为坐标原点,在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴,BC所在直线为y轴,在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴,建立如图所示空间直角坐标系,易得B（0,0,0）,A（0,﹣1,）,D（,﹣1,0）,C（0,2,0）,因而E（0,,）,F（,,0）,所以=（,0,﹣）,=（0,2,0）,因此•=0,所以EF⊥BC．（Ⅱ）解:在图中,设平面BFC的一个法向量=（0,0,1）,平面BEF的法向量=（x,y,z）,又=（,,0）,=（0,,）,由得其中一个=（1,﹣,1）,设二面角E﹣BF﹣C的大小为θ,由题意知θ为锐角,则cosθ=|cos＜,＞|=||=,因此sinθ==,即所求二面角正弦值为．【点评】本题主要考查空间点、线、面位置关系,二面角等基础知识,同时考查空间想象能力,空间向量的坐标运算,推理论证能力和运算求解能力．20．（12分）（2014•辽宁）圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P（如图）,双曲线C1:﹣=1过点P且离心率为．（Ⅰ）求C1的方程；（Ⅱ）若椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点,直线l过C2的右焦点且与C2交于A,B两点,若以线段AB为直径的圆过点P,求l的方程．【分析】（Ⅰ）设切点P（x0,y0）,（x0＞0,y0＞0）,利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得切线的斜率和切线的方程,即可得出三角形的面积,利用基本不等式的性质可得点P的坐标,再利用双曲线的标准方程及其性质即可得出；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得椭圆C2的焦点．可设椭圆C2的方程为（b1＞0）．把P的坐标代入即可得出方程．由题意可设直线l的方程为x=my+,A（x1,y1）,B（x2,y2）,与椭圆的方程联立即可得出根与系数的关系,再利用向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解:（Ⅰ）设切点P（x0,y0）,（x0＞0,y0＞0）,则切线的斜率为,可得切线的方程为,化为x0x+y0y=4．令x=0,可得；令y=0,可得．∴切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形的面积S==．∵4=,当且仅当时取等号．∴．此时P．由题意可得,,解得a2=1,b2=2．故双曲线C1的方程为．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知双曲线C1的焦点（±,0）,即为椭圆C2的焦点．可设椭圆C2的方程为（b1＞0）．把P代入可得,解得=3,因此椭圆C2的方程为．由题意可设直线l的方程为x=my+,A（x1,y1）,B（x2,y2）,联立,化为,∴,．∴x 1+x2==,x1x2==．,,∵,∴,∴+,∴,解得m=或m=,因此直线l的方程为:或．【点评】本题综合考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、向量垂直与数量积的关系、切线的斜率和切线的方程、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,考查了转化和化归能力,考查了解决问题的能力,属于难题．21．（12分）（2014•辽宁）已知函数f（x）=（cosx﹣x）（π+2x）﹣（sinx+1）g（x）=3（x﹣π）cosx﹣4（1+sinx）ln（3﹣）证明:（Ⅰ）存在唯一x0∈（0,）,使f（x0）=0；（Ⅱ）存在唯一x1∈（,π）,使g（x1）=0,且对（Ⅰ）中的x0,有x0+x1＜π．【分析】（Ⅰ）根据x∈（0,）时,f′（x）＜0,得出f（x）是单调减函数,再根据f（0）＞0,f（）＜0,得出此结论；（Ⅱ）构造函数h（x）=﹣4ln（3﹣x）,x∈[,π],令t=π﹣x,得u（t）=h（π﹣t）,求出u（t）存在唯一零点t1∈（0,）,即证g（x）存在唯一的零点x1∈（,π）,满足x0+x1＜π．【解答】证明:（Ⅰ）∵当x∈（0,）时,f′（x）=﹣（1+sinx）（π+2x）﹣2x﹣cosx ＜0,∴函数f（x）在（0,）上为减函数,又f（0）=π﹣＞0,f（）=﹣π2﹣＜0；∴存在唯一的x0∈（0,）,使f（x0）=0；（Ⅱ）考虑函数h（x）=﹣4ln（3﹣x）,x∈[,π],令t=π﹣x,则x∈[,π]时,t∈[0,],记函数u（t）=h（π﹣t）=﹣4ln（1+t）,则u′（t）=﹣•=﹣=﹣==,由（Ⅰ）得,当t∈（0,x0）时,u′（t）＞0；在（0,x0）上u（x）是增函数,又u（0）=0,∴当t∈（0,x0]时,u（t）＞0,∴u（t）在（0,x0]上无零点；在（x0,）上u（t）是减函数,且u（x0）＞0,u（）=﹣4ln2＜0,∴存在唯一的t1∈（x0,）,使u（t1）=0；∴存在唯一的t1∈（0,）,使u（t1）=0；∴存在唯一的x1=π﹣t1∈（,π）,使h（x1）=h（π﹣t1）=u（t1）=0；∵当x∈（,π）时,1+sinx＞0,∴g（x）=（1+sinx）h（x）与h（x）有相同的零点,∴存在唯一的x1∈（,π）,使g（x1）=0,∵x1=π﹣t1,t1＞x0,∴x0+x1＜π．【点评】本题考查了导数的综合应用问题,解题时应根据导数来研究函数的单调性与最值问题,利用函数的单调性研究函数的零点问题,是较难的题目．四、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．选修4-1:几何证明选讲.22．（10分）（2014•辽宁）如图,EP交圆于E,C两点,PD切圆于D,G为CE上一点且PG=PD,连接DG并延长交圆于点A,作弦AB垂直EP,垂足为F．（Ⅰ）求证:AB为圆的直径；（Ⅱ）若AC=BD,求证:AB=ED．【分析】（Ⅰ）证明AB为圆的直径,只需证明∠BDA=90°；（Ⅱ）证明Rt△BDA≌Rt△ACB,再证明∠DCE为直角,即可证明AB=ED．【解答】证明:（Ⅰ）∵PG=PD,∴∠PDG=∠PGD,∵PD为切线,∴∠PDA=∠DBA,∵∠PGD=∠EGA,∴∠DBA=∠EGA,∴∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD,∴∠BDA=∠PFA,∵AF⊥EP,∴∠PFA=90°．∴∠BDA=90°,∴AB为圆的直径；（Ⅱ）连接BC,DC,则∵AB为圆的直径,∴∠BDA=∠ACB=90°,在Rt△BDA与Rt△ACB中,AB=BA,AC=BD,∴Rt△BDA≌Rt△ACB,∴∠DAB=∠CBA,∵∠DCB=∠DAB,∴∠DCB=∠CBA,∴DC∥AB,∵AB⊥EP,∴DC⊥EP,∴∠DCE为直角,∴ED为圆的直径,∵AB为圆的直径,∴AB=ED．【点评】本题考查圆的切线的性质,考查三角形全等的证明,考查直径所对的圆周角为直角,属于中档题．选修4-4:坐标系与参数方程23．（2014•辽宁）将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C．（Ⅰ）写出C的参数方程；（Ⅱ）设直线l:2x+y﹣2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x,y）,再根据点（x,）在圆x2+y2=1上,求出C的方程,化为参数方程．（Ⅱ）解方程组求得P1、P2的坐标,可得线段P1P2的中点坐标．再根据与l垂直的直线的斜率为,用点斜式求得所求的直线的方程,再根据x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程．【解答】解:（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x,y）,由题意可得点（x,）在圆x2+y2=1上,∴x2+=1,即曲线C的方程为x2+=1,化为参数方程为（0≤θ＜2π,θ为参数）．（Ⅱ）由,可得,,不妨设P1（1,0）、P2（0,2）,则线段P1P2的中点坐标为（,1）,再根据与l垂直的直线的斜率为,故所求的直线的方程为y﹣1=（x﹣）,即x ﹣2y+=0．再根据x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα﹣2ρsinα+=0,即ρ=．【点评】本题主要考查求点的轨迹方程的方法,极坐标和直角坐标的互化,用点斜式求直线的方程,属于中档题．不等式选讲24．（2014•辽宁）设函数f（x）=2|x﹣1|+x﹣1,g（x）=16x2﹣8x+1．记f（x）≤1的解集为M,g（x）≤4的解集为N．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）当x∈M∩N时,证明:x2f（x）+x[f（x）]2≤．【分析】（Ⅰ）由所给的不等式可得①,或②,分别求得①、②的解集,再取并集,即得所求．（Ⅱ）由g（x）≤4,求得N,可得M∩N=[0,]．当x∈M∩N时,f（x）=1﹣x,不等式的左边化为﹣,显然它小于或等于,要证的不等式得证．【解答】解:（Ⅰ）由f（x）=2|x﹣1|+x﹣1≤1 可得①,或②．解①求得1≤x≤,解②求得0≤x＜1．综上,原不等式的解集为[0,]．（Ⅱ）证明:由g（x）=16x2﹣8x+1≤4,求得﹣≤x≤,∴N=[﹣,],∴M∩N=[0,]．∵当x∈M∩N时,f（x）=1﹣x,∴x2f（x）+x[f（x）]2 =xf（x）[x+f（x）]=﹣≤,故要证的不等式成立．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法,体现了分类讨论、等价转化的数学思想,属于中档题．参与本试卷答题和审题的老师有:清风慕竹；sxs123；双曲线；maths；刘长柏；沂蒙松；minqi5；wyz123；wfy814；qiss；whgcn；sllwyn；wdnah；742048；caoqz （排名不分先后）菁优网2017年3月24日。

2014年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学试题(理科)解析版

【答案】C
【解析】
a
=
-1
23
∈
(
1 2
，1),
b
=
log
2
1 3
∈
(-2，-1),
c
=
log
1 2
1 3
∈
(1,2).∴
c > a > b.选C.
4.已知 m，n 表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）
A．若 m / / , n / / , 则 m / /n
B．若 m ， n ，则 m n
2014 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
理科数学
第Ⅰ卷（共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项
是符合题目要求的.
1.已知全集U R, A {x | x 0}, B {x | x 1} ，则集合 CU (A B) （
若 a / /b,b / /c ，则 a / /c ，则下列命题中真命题是（）
A． p q B． p q C． (p) (q) D． p (q)
【答案】A 【解析】命题 p 为假，命题 q 为真，所以 A 正确。选 A
6 把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（）
8.设等差数列{an} 的公差为 d，若数列{2a1an } 为递减数列，则（）
A． d 0 B． d 0 C． a1d 0 D． a1d 0
【答案】C 【解析】
由同增异减知，a1an递减,即a1an+1 < a1an.分情况解得 : a1 > 0且d < 0;或a1 < 0且d > 0. ∴ a1d < 0.选C.