实验设计期末考试整理

一、一元线性回归数据分析

1.简答题

对于多元线性回归模型，为什么在进行了总体显著性F 检验之后，还要对每个回归系数进行是否为0的t 检验？

答：多元线性回归模型的总体显著性F 检验是检验模型中全部解释变量对被解释变量的共同影响是否显著。通过了此F 检验，就可以说模型中的全部解释变量对被解释变量的共同影响是显著的，但却不能就此判定模型中的每一个解释变量对被解释变量的影响都是显著的。因此还需要就每个解释变量对被解释变量的影响是否显著进行检验，即进行t 检验。

2.选择题

以Y 表示实际观测值,∧

Y

表示回归估计值，则普通最小二乘法估计参数的准则是使 D 。 A 0Y Y =⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∧ B 02

=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∧Y Y C 最小=⎪⎭

⎫ ⎝⎛-∑∧Y Y D 最小=⎪⎭

⎫ ⎝⎛-∑∧2Y Y 3.计算题

为研究某合成物的转化率T(%)与实验中的压强p(atm,1atm=101.325kPa)的关系，得到如下实验数据，使用最小二乘法确定转户率与压强的经验公式。

p(atm):2、4、5、8、9

T(%):2.01、2.98、3.50、5.02、5.07

解：根据上述实验数据在普通直角坐标系中画出T-p 散点图

图中可以看出，这些点近似于直线分布，故可以设T-p 经验式为：

T=a+bp,上述经验式可以有多种组合：

⎩⎨⎧=+=+98.2401.22a b a b ⎩

⎨⎧=+=+02.5850.35b a b a 由第一个方程组解得a=1.040,b=0.485,由第二个方程组解得a=0.900,b=0.520,不同的组合会解出不同的a,b 值，这一矛盾可以利用最小二乘法求得a,b 值，拟得最好的T=a+bp 。 根据最小二乘法有：

⎝⎛∑=515i i x ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫∑∑==51251i i i i x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b a ⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=∑∑==5151i i i i i y x y

分别求得 ⎩⎨⎧=+=+23.1191902858.18285b a b a

解得a=1.155,b=0.4573 T=1.155+0.4753p

求得的经验式显著性检验(α=0.05)

所以当α=0.05，n=5时，查得相关系数临界值rmin=0.8783。r>rmin 经验式有意义 F 检验：

(1) 离差平方和

()xx n i i T L y y

SS =-=∑=21

回归平方和

21∑=∧⎪⎭⎫ ⎝

⎛-=n i R y y SS 残差 21∑=∧⎪⎭⎫ ⎝

⎛-=n i i e y y SS 推导结果为：

xy R bL SS =

F 检验实际上就是方差分析，包括以下主要内容：

(2) 自由度

总离差平方和SST 的自由度为：dfT=n-1

回归平方和SSR 的自由度为：dfR=1

残差平方和SSe 的自由度为：dfe=n-2

显然，三种自由度之间的关系 为：dfT=dfR+dfe

(3) 均方

(4) F 检验

F 服从自由度为（1，n-2）的F 分布。在给定的显著水平α下，从F 分布表中查得F α(1，

R R R df SS MS =e e e df SS MS =e R SS SS F =()

033

.7716.35076.762512=⨯-=-=∑=y n y L i i yy 182

.15716.36.5523.1191=⨯⨯-=-=∑=y x n y x L n i i i xy ()2.336.551902212=⨯-=-=∑=x n x L n i xx 994.0033.72.33182.15=⨯==yy xx xy L L L r ∑=51i i x ∑=51i i y ∑=512i i x i

i i y x ∑=5

1

从表中可以看出F>F0.01(1，4),所以影响显著。