空气阻力与地球自转影响下自由落体的运动_孙梅娟

　第25卷第8期宿州学院学报V o l .25,N o .8

　2010年8月J o u r n a l o f S u z h o u U n i v e r s i t y A u g .2010

d o i :10.3969/j .i s s n .1673-2006.2010.08.004

空气阻力与地球自转影响下自由落体的运动

孙梅娟, 韩修林

(阜阳师范学院物理与电子科学学院,安徽阜阳　236041)

摘要:讨论自由落体东偏时,同时考虑了空气阻力与地球自转的影响,并结合空气阻力模型建立了相应的落体运动微分方程。忽略二阶小量,依次得到落体的运动规律。最后利用M a t h e m a t i c a 编程作出了落体的位移-时间图像,

并与忽略阻力时的情形作了对比,定量地说明了在空气阻力与地球自转影响下与忽略空气阻力相比,自由落体的偏东量值变大,此外东偏量值还与质点所在处的纬度有关,纬度越小的地方东偏量值越大,在两极没有东偏量,在赤道处东偏最大。

关键词:空气阻力;地球自转;自由落体;运动微分方程;M a t h e m a t i c a 编程中图分类号:O 313.1 文献标识码:A 文章编号:1673-2006(2010)08-0010-03

收稿日期:2010-05-28

基金项目:安徽省教育厅教学研究项目(2008j y x m 451)。作者简介:孙梅娟(1980-),女,安徽利辛人,硕士,讲师,主要研究方向:理论物理。

落体运动普遍存在于自然界中,已有不少文献[1-2]

运用不同的方法讨论了只考虑地球自转时落体的偏向问题,而事实上自由落体在下落过程中还受到空气阻力的影响

[3]

。本文介绍了同时考虑两

种影响,并设空气阻力与落体速度的一次方成正比

时,从其动力学方程求出自由落体运动的近似解。并利用M a t h e m a t i c a 编程作出了位移-时间图像,定量地说明了同时考虑空气阻力与地球自转影响时与忽略空气阻力相比落体的东偏量值变大。

1　自由落体运动微分方程与求解

设在地球表面纬度λ处,一质量为m 的物体自高度h 处作初速度为0的自由落体运动。如图1所示,选取固结在地面上的一组坐标系οx y z ,ο点在地面,x 轴切于经线向南,y 轴切于纬线向东,z 轴沿地球径向。ο点的纬度为λ

。

图1　地表坐标系中落体的3个坐标

F i g .1　t h e t h r e e c o o r d i n a t e s o f t h e f a l l i n g b o d y i n

t h e s u r f a c e c o o r d i n a t e s y s t e m

由于空气阻力与空气密度以及物体的运动速度、形状、体积等因素有关,如果空气密度改变不大,则空气阻力将简化为只与物体的速度有关[4]

,假定自由落体下落的速度远小于低速炮弹的速度,则空气阻力可设为f =-m k v (k 为常数)[5]

,则质点运动微分方程为

m ＆=2m ω＆s i n λ-m k ＆

m ＆=-2m ω(＆s i n λ+＆c o s λ)-m k ＆m ＆=-m g+2m ω＆c o s λ-m k ＆

　(1) 初始条件为t =0时,x ＆=y ＆=z ＆=0,x =y

=0,z =h 。积分并代入初始条件[6]

可得

x ＆=2ωy s i n λ-k x

y ＆=-2ω(x s i n λ+z ′c o s λ)-k y z ＆=-g t +2ωy c o s λ-k z ′

　(2)其中z ′=z -h 。将(2)式代入(1)式,整理后得

　＆=-4ω2

(x s i n λ+z ′s i n λc o s λ) -4k ωy s i n λ+k 2

x ＆=-4ω2

y +2g ωt c o s λ+ 4k ω(x s i n λ+z ′c o s λ)+k 2

y ＆=-g -4ω2

(x s i n λc o s λ+z ′c o s 2λ) -4k ωy c o s λ+k 2

z '+k g t (3)

由于地球自转角速度ω和空气阻力因子k 都较

小,故可略去二阶小量ω2,k 2

,k ω。则(3)式可化简为

＆=0

＆=-2g ωt c o s λ＆=-g +k g t

　(

4)10

对(4)式积分两次,并代入初始条件可得

x=0

y=13

g ωt c o s λz -h=-12g t 2+16

k g t

3

　(5)消去t 可得轨道方程为

z =k y 2ωc o s λ-1

2g 3y g ωc o s λ

2

3+h (6)

由此可看出,在空气阻力与地球自转影响下落体的偏向是偏东略南,但方向的偏向是二阶小量,故可略去,近似认为是零,而且由于考虑了空气阻力落体的轨道不再是半立方抛物线。

2　赤道处自由落体的运动规律

由式(5)可以看出,在λ=±π/2即南北两极无

东偏,而在λ=0即赤道处东偏值最大。因此,我们只讨论赤道处自由落体的运动规律。

地球自转角速度ω=7.3×10-5

r a d /s ,赤道处的重力加速度约为g ≈9.78m /s 2

,取空气阻力因子

k=8.0×10-5s -1

,设物体自h=10m 处做无初速自由落体运动,其所能达到的最大速度约为2g h ≈13.986m /s ,远小于低速炮弹的速度

,故可认为空气阻力与速度的一次方成正比。由M a t h e m a t i c a 编程,可作出同时考虑空气阻力和地球自转影响和忽略空气阻力时自由落体在Z 方向上的位移-时间图像,如图2和图3。

图2　空气阻力和地球自转影响下落体的z -t 曲线图F i g .2　f a l l i n g b o d y ′s z -t d i a g r a m a f f e c t e d b y a i

r

r e s i s t a n c e a n d t h e E a r t h ′s r o t a t i o n

图3　忽略空气阻力时落体的z -t 曲线图

F i g .3　f a l l i n g b o d y ′s z -t

d i a g r a m w h i

l ei g n o r i n g a i r r e s i s t a n c e 〗同理可作出同时考虑空气阻力和地球自转影响和忽略空气阻力时自由落体的东偏图,如图4和

图5。

图4　空气阻力和地球自转影响下落体的y -t 曲线图

F i g .4　f a l l i n g b o d y ′s y -t d i a g r a m a f f e c t e d b y

a i r r e s i s t a n c e a n dt h e E a r t h ′s r o t a t i o n

图5　忽略空气阻力时落体的y -t 曲线图

F i g .5　F a l l i n g b o d y ′s y -t d i a g r a m w h i l ei g n o r i n g a i r r e s i s t a n c e

3　结论

本文考查了落体运动在空气阻力和地球自转影

响下的动力学方程。通过忽略二阶小量,求出了落体运动微分方程的近似解,并用M a t h e m a t i c a 编程作出相应的位移-时间图像。

东偏现象普遍存在于自由落体运动中,这是一个由地球自转所产生的物理现象,但是由于该偏移量太小,故在日常生活中不易发觉。此外,东偏量值还与质点所在处的纬度有关,纬度越小的地方东偏量值越大,在两极没有东偏量,在赤道处东偏最大。

在同一纬度处,若自由落体运动的初始高度增大,落体运动时间增加,东偏量也随之增大。

另外,在考虑空气阻力对自由落体运动的影响下,我们发现在同一高度处自由下落的物体与忽略空气阻力相比,由于空气阻力的影响落体运动时间增加,东偏量值也随之增大,而且落体的轨道方程不再是半立方抛物线。

参考文献:

[1]刘立平.关于落体东偏和南偏的定性解释[J ].榆林学院

学报,2008,18(2):41-42.

[2]张冠芬.地球自转对质点下落的影响[J ].雁北师范学院

学报,2004,20(2):56-58.(下转第84页)

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