关于常见的运筹学灵敏度分析课件
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运筹学对偶理论与灵敏分析PPT课件
2x1 x2 3x3 2x4 20
x1
4
0
试验证弱对偶性原理。
第25页/共86页
解：
m i nW 20y1 20y2
（D）
y1 2 y2 1
22
y1 y1
y2 3 y2
2 3
3 y1 2 y2 4
y1 0, y2 0
由观察可知：
__
X =（1.1.1.1），
Y__=（1.1），分别是
（1）若原问题是
MaxZ CX
(P)
s.t.
AX b X 0
(2) 其对偶问题为
MinW bY
(D)
YA C
s.t.
Y
0
这两个式子的变换关系称为“对称形式的对偶关系”。
第11页/共86页
怎样写出非对称形式的对偶问题？ 根据对应规律（参见对偶关系表）直接 写出；
第12页/共86页
原问题（或对偶问题） 对偶问题（或原问题）
第7页/共86页
如果模型(2.1)称为原问题（P）， 则模型(2.2)称为对偶问题（D）。 任何线性规划问题都有对偶问题。
原问题与对偶问题之间没有严格的 界限，它们互为对偶。
第8页/共86页
(P) 例1.1
MaxZ 2x1 3x2
x1 2x2 8
s.t.44
x1 x2
16 12
x1, x2 0
第37页/共86页
对偶性质定理总结：
定理2弱对偶定理： 判断原问题（对偶问题）目标函数值的上界 （下界）。
定理3、4、5： 判断原问题（对偶问题）解的两种对应关系。
判断原问题（对偶问题）有无最优解。
定理6互补松弛性定理： 根据原问题（或对偶问题）最优解，直接求出 对偶问题（或原问题）的最优解。
运筹学课件 灵敏度分析与参数规划
2013-4-7 灵敏度分析与参数规划 5-7
灵敏度分析的任务
线性规划的灵敏度分析要解决两个问题：
一个或几个系数或要素变化后，当前的
最优解或最优基是否有变。
这些系数在什么范围内变动时，当前的
最优解或最优基不变。 另外，一旦当前解受影响就要运用适当 方法对其进行调整，以便得到新的最优解。
2013-4-7 灵敏度分析与参数规划 5-8
分析结果的处理方法
针对上述五种不同的分析结果，可按下列相 应的调整方法进行处理。 分析结果 处理方法
最优解不变
最优基不变 变为可行解 变为正则解 变为普通解
2013-4-7 灵敏度分析与参数规划
计算 CN - CBB-1N
计算 XB(*) = B-1b 原始解法求最优解 对偶解法求最优解 混合解法求最优解
2013-4-7 灵敏度分析与参数规划 5-3
生产计划问题
cj CB XB
0 0 0 -1 0 0 3 -1 2 0 3 -1 2 0 3 -1
b
2 3 x1 x2
0 x3
0 x4
0 x5
0 0 1 0 -1/2 0 1/4 -3/4 -1/2 [2] 1/4 1/4 0 1 0 0
θ
x3 8 x4 16 x5 12 z 0 x3 2 x4 16 x2 3 z -9 x1 2 x4 8 x2 3 z -13 x1 4 x5 4 x2 2 z -14
5-14
2013-4-7
灵敏度分析与参数规划
2. 基变量系数 cr 的变化分析
当基变量 xr 的系数 cr (CB)变化 cr 时，就会引起 CB 的变化，从而影响到各非基变量 xj 对应的j 。 设 CB=( 0, …, cr , …,0 )，若要求原最优解不变，则 新的检验数必须满足 j' = cj - (CB +CB )B-1Pj = cj - CBB-1Pj - CB B-1Pj =j - [(0, …,cr , …,0)(b1j, …, brj, …, bmj)T] =j - cr brj ≤0 于是得到 cr ≤j／brj , brj < 0 j=1 , 2 , …, n cr ≥j／brj , brj > 0 cr的变化范围为是 max { j /brj | brj > 0 }≤ cr ≤ min { j /brj | brj < 0 }
灵敏度分析的任务
线性规划的灵敏度分析要解决两个问题：
一个或几个系数或要素变化后，当前的
最优解或最优基是否有变。
这些系数在什么范围内变动时，当前的
最优解或最优基不变。 另外，一旦当前解受影响就要运用适当 方法对其进行调整，以便得到新的最优解。
2013-4-7 灵敏度分析与参数规划 5-8
分析结果的处理方法
针对上述五种不同的分析结果，可按下列相 应的调整方法进行处理。 分析结果 处理方法
最优解不变
最优基不变 变为可行解 变为正则解 变为普通解
2013-4-7 灵敏度分析与参数规划
计算 CN - CBB-1N
计算 XB(*) = B-1b 原始解法求最优解 对偶解法求最优解 混合解法求最优解
2013-4-7 灵敏度分析与参数规划 5-3
生产计划问题
cj CB XB
0 0 0 -1 0 0 3 -1 2 0 3 -1 2 0 3 -1
b
2 3 x1 x2
0 x3
0 x4
0 x5
0 0 1 0 -1/2 0 1/4 -3/4 -1/2 [2] 1/4 1/4 0 1 0 0
θ
x3 8 x4 16 x5 12 z 0 x3 2 x4 16 x2 3 z -9 x1 2 x4 8 x2 3 z -13 x1 4 x5 4 x2 2 z -14
5-14
2013-4-7
灵敏度分析与参数规划
2. 基变量系数 cr 的变化分析
当基变量 xr 的系数 cr (CB)变化 cr 时，就会引起 CB 的变化，从而影响到各非基变量 xj 对应的j 。 设 CB=( 0, …, cr , …,0 )，若要求原最优解不变，则 新的检验数必须满足 j' = cj - (CB +CB )B-1Pj = cj - CBB-1Pj - CB B-1Pj =j - [(0, …,cr , …,0)(b1j, …, brj, …, bmj)T] =j - cr brj ≤0 于是得到 cr ≤j／brj , brj < 0 j=1 , 2 , …, n cr ≥j／brj , brj > 0 cr的变化范围为是 max { j /brj | brj > 0 }≤ cr ≤ min { j /brj | brj < 0 }
运筹学图解法的灵敏度分析 PPT课件
交于该顶点的两条直线的斜率即cj变动范围，cj在两 条直线斜率之间变动时，原线性规划问题的最优解
不变，最优值变动（cj变动）。
11
四、约束条件中右边系数bi的 灵敏度分析
例：
max F 6 x 1 4 x 2 s .t . 2 x 1 3 x 2 10 4 x 1 2 x 2 12 x1, x2 0
18
图解法
400
2x1x2 400
可行解域为OABCD 最优解为B点（50，250）
300
A
B
x2 250
200
C
100
x1x2 300
最优生产方案为： 甲生产50，乙生产250；
此时， 总利润为27500元。
D
O
100
200
300
400
5x0110x200
19
现提高设备可利用台时数
（b1=300
12
讨论：当b1=10 b1=11时对 原问题的影响
x2
5
4x12x212
A 3
B
1
2x13x210
O
C
2
4
6
x1
6x14x20 6x14x220
13
讨论：b1变动对原问题的影响 （b1=10 b1=11）
x2
5
4x12x2 12
A’
A3
B’
B
2x13x2 11
1
2x13x210
O
C
2
4
6
x1
6x14x20
100
设备台时的约束条件
为0
D D’
O
100
200
300
400
不变，最优值变动（cj变动）。
11
四、约束条件中右边系数bi的 灵敏度分析
例：
max F 6 x 1 4 x 2 s .t . 2 x 1 3 x 2 10 4 x 1 2 x 2 12 x1, x2 0
18
图解法
400
2x1x2 400
可行解域为OABCD 最优解为B点（50，250）
300
A
B
x2 250
200
C
100
x1x2 300
最优生产方案为： 甲生产50，乙生产250；
此时， 总利润为27500元。
D
O
100
200
300
400
5x0110x200
19
现提高设备可利用台时数
（b1=300
12
讨论：当b1=10 b1=11时对 原问题的影响
x2
5
4x12x212
A 3
B
1
2x13x210
O
C
2
4
6
x1
6x14x20 6x14x220
13
讨论：b1变动对原问题的影响 （b1=10 b1=11）
x2
5
4x12x2 12
A’
A3
B’
B
2x13x2 11
1
2x13x210
O
C
2
4
6
x1
6x14x20
100
设备台时的约束条件
为0
D D’
O
100
200
300
400
运筹学_第11讲 灵敏度分析1
第20页
例1-2 分析λi分别在什么范围变化时，最优基不变？
max z = 2x1 + 3x2
对偶问题决策变量的最优解<影子价格>： Y*T= CBB-1
第7页
分析 cj 的变化 c j c j c j
基变量 基变量 基可
系数
行解
基变量 XB
CB
XB B-1b
I
非基变量
XN
Xs
B-1N
B-1
Y*T= CBB-1
最c j优值z j可 原问题 能对已偶变问题
0 CN－CBB-1N －CBB-1 Z*=CBB-1b 结论或继续计算的步骤
得最优解为：
cj zj
0 0 0 1/ 4 1/ 2
X*=(7/2, 3/2, 15/2, 0, 0)T
即每天生产3.5单位产品Ⅰ，1.5单位产品Ⅱ时总利润最多，且 zmax=8.5(百元)。
第14页
例2-1
产品Ⅰ利润降至1.5百元/单位，产品Ⅱ的利润 增至2百元/单位，生产计划如何变化？
解：(2) 将产品Ⅰ、Ⅱ的利润变化反映在最终单纯形表中，可得
max z = 21x.51x+1x+22x2 s.t. 5x2 ≤15
6x1+2x2 ≤24 x1+ x2 ≤5
x1, x2 ≥0
因有非基变量的检验数大于零
需继续用单纯形法迭代计算，
cj CB 基 b
1.25 21 0 0 0 x1 x2 x3 x4 x5
0 x3 15/ 2 0 0 1 5/ 4 15/ 2
原问题 对偶问题值可能已变结论或继续计算的步骤
0 可行解 可行解 问题的最优解或最优基不变
可行解 非可行解 用单纯形法继续迭代求最优解
运筹学-线性规划灵敏度分析_图文
在目前计算机普及率很高的情况下，通常的方法是程序 中修改A后重新计算成即可。
例2.1 在例1.1中新增一种产品:防盗门
例2.2 在例1.1中新增一个约束：电力限制
作业:P50—52,1,3,5
运筹学 小结： 一般信息的变化： 价值向量—市场变化 右端向量—资源变化 系数矩阵—技术进步
线性规划
C的变化只影响检验数（对偶问题的解），不影响原问题 的基本解；
格，所以它们所需要的主要原料（木材和玻璃）、制作时间、最大销售量与利润均 不相同。该厂每天可提供的木材、玻璃和工人劳动时间分别为600单位、1000单位 与400小时，详细的数据资料见下表。问： （1）应如何安排这四种家具的日产量，使得该厂的日利润最大？ （2）家具厂是否愿意出10元的加班费，让某工人加班1小时？ （3）如果可提供的工人劳动时间变为398小时，该厂的日利润有何变化？ （4）该厂应优先考虑购买何种资源？ （5）若因市场变化，第一种家具的单位利润从60元下降到55元，问该厂的生产计 划及日利润将如何变化？
表1 雅致家具厂基本数据
家具类型 1
劳动时间 （小时/件）
2
木 材（单 位/件）
4
玻 璃（ 单位/件）
6
单位产品利 润（元/件）
60
最大销售量 （件）
100
2
1
2
2
20
200
3
3
1
1ห้องสมุดไป่ตู้
40
50
4
2
2
2
30
100
可提供量
400小时
600单位
1000单位
解：依题意，设置四种家具的日产量分别为决策变量 x1,x2,x3,x4,目标要求是日利润最大化，约束条件为三 种资源的供应量限制和产品销售量限制。
例2.1 在例1.1中新增一种产品:防盗门
例2.2 在例1.1中新增一个约束：电力限制
作业:P50—52,1,3,5
运筹学 小结： 一般信息的变化： 价值向量—市场变化 右端向量—资源变化 系数矩阵—技术进步
线性规划
C的变化只影响检验数（对偶问题的解），不影响原问题 的基本解；
格，所以它们所需要的主要原料（木材和玻璃）、制作时间、最大销售量与利润均 不相同。该厂每天可提供的木材、玻璃和工人劳动时间分别为600单位、1000单位 与400小时，详细的数据资料见下表。问： （1）应如何安排这四种家具的日产量，使得该厂的日利润最大？ （2）家具厂是否愿意出10元的加班费，让某工人加班1小时？ （3）如果可提供的工人劳动时间变为398小时，该厂的日利润有何变化？ （4）该厂应优先考虑购买何种资源？ （5）若因市场变化，第一种家具的单位利润从60元下降到55元，问该厂的生产计 划及日利润将如何变化？
表1 雅致家具厂基本数据
家具类型 1
劳动时间 （小时/件）
2
木 材（单 位/件）
4
玻 璃（ 单位/件）
6
单位产品利 润（元/件）
60
最大销售量 （件）
100
2
1
2
2
20
200
3
3
1
1ห้องสมุดไป่ตู้
40
50
4
2
2
2
30
100
可提供量
400小时
600单位
1000单位
解：依题意，设置四种家具的日产量分别为决策变量 x1,x2,x3,x4,目标要求是日利润最大化，约束条件为三 种资源的供应量限制和产品销售量限制。
灵敏度分析(运筹学).ppt
0
0
1
0
0
0
x3
1 0
0 1 1
0 2 -1
-1
0
x4
0 1
0
0
-3/2 -1 1
-1
2.5.1 单纯形法的矩阵描述
1. 约束方程系数矩阵的变化
约束方程系数矩阵
，进行初等行
变换，相当于左乘一个相应的初等阵。
即
，在A中所包含的矩阵B，左
乘 后，则得到
。
2. 约束方程右端项的变化
3. 目标函数系数的变化
1. 灵敏度分析的概念：
当某一个参数发生变化后，引起最优解如何改变的 分析。 可以改变的参数有： bi——约束右端项的变化，通常称资源的改变； cj ——目标函数系数的变化，通常称市场条件的变 化； pj ——约束条件系数的变化，通常称工艺系数的变 化； 其他的变化有：增加一种新产品、增加一道新的工 序等。
2．分析原理及步骤：
（1）借助最终单纯形表将变化后的结果按下述基
本原则反映到最终表里去。
B①-1bi△变b化：=
（b+△b）´=B-1 b´+B-1 △b
（b+△b）=
B-1
b+
②pj变化：（pj+△ pj ）´= B-1 （pj+△ pj ）= B-1 pj+ B-1 △ pj = pj ´+ B-1 △ pj
围来确定最优解是否改变。 由于系数的改变，最优值z可能发生 变化而不再是原值了。
2、约束条件右端值的变化
约束条件右端值每增加一个单位 引起的最优值的改进量称为对偶 价格。
对偶价格只适用于在右端值仅发 生了很小变动的情况
2.5.3 单纯形法灵敏度分析
灵敏度分析PPT课件
（２）检验数 CN CB B1N ，即 j C j CB B1 p j 发生变 化，即对解的正则性有影响，而对解的可行性没有影响。 此时若解的正则性满足，则最优解不变
（３） B1b 和 CN CBB1N 同时发生变化
一、目标系数 c j 的灵敏度分析
１、非基变量的目标系数 c j 的灵敏度分析
回答两个问题：
①这些系数在什么范围内发生变化时，最优基不变 （即最优解或最优解结构不变）？
②系数变化超出上述范围时，如何用最简便的方法 求出新的最优解？
灵敏度分析的基本原理
对于标准线性规划问题
设 X B 为基本解， CB 是基对应的目标系数向量，B1是 基的逆矩阵，则原问题可表示为：
是最优解的条件是：
25 b1 100 20 b2 80 Z * 280
3
求（1）为使最优解不发生变化时目标函数系数 bj允许 变化的范围。（2）如第二个约束条件右端常数变为60， 确定新的最优目标函数值。
三、增加新的变量的灵敏度分析
例4.1 已知线性规划问题
问当新增变x7 ， 且 c7 50, P7 (2,3, 2)T 最优基是否发 生变化？
第四章 灵敏度分析
在根据一定数据求得最优解后，当这些数据 中某一个或某几个发生变化时，对最优解会产生 什么影响。或者说，要使最优解保持不变，各个 数据可以有多大的幅度的变动。这种研究线性规 划模型的原始数据变化对最优解产生的影响就叫 做线性规划的灵敏度分析。
灵敏度分析的内容
目标函数的系数变化对最优解的影响； 约束方程右端系数变化对最优解的影响； 约束方程组系数阵变化对最优解的影响 ；
２、基变量的目标系数 c j 的灵敏度分析
例2.1 已知线性规划问题
x1
（３） B1b 和 CN CBB1N 同时发生变化
一、目标系数 c j 的灵敏度分析
１、非基变量的目标系数 c j 的灵敏度分析
回答两个问题：
①这些系数在什么范围内发生变化时，最优基不变 （即最优解或最优解结构不变）？
②系数变化超出上述范围时，如何用最简便的方法 求出新的最优解？
灵敏度分析的基本原理
对于标准线性规划问题
设 X B 为基本解， CB 是基对应的目标系数向量，B1是 基的逆矩阵，则原问题可表示为：
是最优解的条件是：
25 b1 100 20 b2 80 Z * 280
3
求（1）为使最优解不发生变化时目标函数系数 bj允许 变化的范围。（2）如第二个约束条件右端常数变为60， 确定新的最优目标函数值。
三、增加新的变量的灵敏度分析
例4.1 已知线性规划问题
问当新增变x7 ， 且 c7 50, P7 (2,3, 2)T 最优基是否发 生变化？
第四章 灵敏度分析
在根据一定数据求得最优解后，当这些数据 中某一个或某几个发生变化时，对最优解会产生 什么影响。或者说，要使最优解保持不变，各个 数据可以有多大的幅度的变动。这种研究线性规 划模型的原始数据变化对最优解产生的影响就叫 做线性规划的灵敏度分析。
灵敏度分析的内容
目标函数的系数变化对最优解的影响； 约束方程右端系数变化对最优解的影响； 约束方程组系数阵变化对最优解的影响 ；
２、基变量的目标系数 c j 的灵敏度分析
例2.1 已知线性规划问题
x1
运筹学第11讲灵敏度分析1
表中解仍为最优解的条件是
cj
CB
基
b
2 1 1c2 0 x1 x2 x3
0 x4
0 x5
0
2
x3 15 / 2 x1 7 / 2
3/ 2
0
1
0 0
1
1 5/ 4 15 / 2
0 1/ 4 1/ 2 0 1/ 4 3/ 2
1 c 2 1 3c2
1 1c2 x2
0
4 2 cj z j 1 3c2 1 c 2 0 0 0 1/ 1/ 4 4 2 2 0 0； 2 2 4 4 1 c2 1 即 1→1+△c2 3 2 故当产品Ⅱ的利润在 [ , 2]范围变化时，最优生产计划不变。 3
因有非基变量的检验数大于零
需继续用单纯形法迭代计算，
cj
CB
1.5 2
2 1基b源自x101x2
0 0
1
0 x3
0 x4
0 x5
x3 15 / 2 1.5 2 x1 7 / 2 x2 3/ 2 2 1
0
cj z j
1 5/ 4 15 / 2
0 1/ 4 1/ 2 0 1/ 4 3/ 2
1/ 9/4 1/ 4 2 0 1/8
CB
基
b
3
4
2 x1 1
3 x2
0 x3
1/ 2
2
0 x4
0 x5
qi
2
x1 x4 x2
cj z j
0 0
1
0 1/ 5
1 4/5
0
3
0 0 0
3
0
1
0 1/ 5 0 1/ 5
第 9页
cj
CB
基
b
2 1 1c2 0 x1 x2 x3
0 x4
0 x5
0
2
x3 15 / 2 x1 7 / 2
3/ 2
0
1
0 0
1
1 5/ 4 15 / 2
0 1/ 4 1/ 2 0 1/ 4 3/ 2
1 c 2 1 3c2
1 1c2 x2
0
4 2 cj z j 1 3c2 1 c 2 0 0 0 1/ 1/ 4 4 2 2 0 0； 2 2 4 4 1 c2 1 即 1→1+△c2 3 2 故当产品Ⅱ的利润在 [ , 2]范围变化时，最优生产计划不变。 3
因有非基变量的检验数大于零
需继续用单纯形法迭代计算，
cj
CB
1.5 2
2 1基b源自x101x2
0 0
1
0 x3
0 x4
0 x5
x3 15 / 2 1.5 2 x1 7 / 2 x2 3/ 2 2 1
0
cj z j
1 5/ 4 15 / 2
0 1/ 4 1/ 2 0 1/ 4 3/ 2
1/ 9/4 1/ 4 2 0 1/8
CB
基
b
3
4
2 x1 1
3 x2
0 x3
1/ 2
2
0 x4
0 x5
qi
2
x1 x4 x2
cj z j
0 0
1
0 1/ 5
1 4/5
0
3
0 0 0
3
0
1
0 1/ 5 0 1/ 5
第 9页
运筹学课件灵敏度分析
运筹学教程
Cj
210
CB 基 b X1 x2 x3
0 x3 15 0
51
2 x1 5 1
10
0 x4 2 0
-4 0
Cj-Zj
0
-1 0
00 x4 x5 00 01 1 -6 0 -2
工厂的最优生产计划改为只生产产品1，每天 的生产数量5件。
解：（2）
设每天的调试可用能力为5
运筹学教程
1 b' B1b 0
x5
x4
5
24
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
用单纯形法求解如下：
运筹学教程
Cj
210 0 0
CB 基 b X1 x2 x3 x4
x5
0 x3 15/2 0 2 x1 7/2 1 1 x2 3/2 0
01 00 10
5/4 -15/2 ¼ -1/2 -1/4 3/2
Cj-Zj
0
8
2
3 / 2 0 2
运筹学教程
将其反映到最终的单纯形表，原问题非可行解， 采用dual单纯形法
Cj
2
CB 基 b X1
0 x3 35/2 0
2 x1 11/2 1
1 x2 -1/2 0
Cj-Zj
0
10 x2 x3 01 00 10 00
00 x4 x5 5/4 -15/2 ¼ -1/2 [-1/4] 3/2 -1/4 -1/2
aij
y i
i 1
运筹学教程
（2）、检查原问题是否仍为可行解。 （3）、检查对偶问题是否仍为可行解。
原问题
可行解 可行解 非可行解 非可行解
对偶问题
可行解 非可行解 可行解 非可行解
运筹学课件2.5 灵敏度分析
a11 的变化范围。
由于 y 1.5 0 0 0 1 0 1 B 0 .5 0 0 1.25 1 0
当 a11 从3变为 3 a11 时，x1 的检验数变为
c1 z c1 y1
' 1 ' 1
y2
4 1.5
增加新产品相当于增加一个决策 变量，系数矩阵也将增加一列
设研制出一种新产品—小旅行车，每辆旅
行车用钢材1.5吨，工时1.25小时，座椅 0.25套，利润3千元，试问该新产品是否该 投产？（给出数学模型，再讨论） 1 .5 1.25 p 第一种解法：设该车产量为 x6 ，则 6
4
3
0
0
0
0
xB B 1b x1 x5 200 0 x2 600 0 x1 200 1 x7 -200 0
2600
x2 x3 x4 x5
0 1 0 0 0.5 1 -0.5 -0.5 -0.4 -0.4 0.4 0 1 0 0 0
x7
0 0 0 1
j
0
0
-1
2
-0.4
0
0
cj
CB
0 3 பைடு நூலகம் 0
4
3
0
0
0
0
xB B 1b x1 0 x5 0 x2 200 0 x1 400 1 x3 400 0
2200
x2 x3 x4 x5
0 1 0 0 0 0 0 1 -0.4 -0.4 0.4 0 1 0 0 0
x7
1 2 -1 -2
j
0
0
0
-0.4
0
-2
增加约束后，最优目标函数值不会更好，一般 会差一些。
运筹学课件 灵敏度分析举例
x2
1 0
x3
1 -1/2
x4
-2 3/2
20 x1 15
j cj z j
CB
30 50
cj xB
50
30
0
0
35 0 x1 7.5 1 j c j z j 1425 0
x2
b
x1
x2
1 0 0
x3
x4
1/2 -1/2 -1/4 3/4 -2.5 -22.5
木工用量 4 x1 3x2 120 木工可使用量 油漆工用量 负条件。
2 x1 x2 50 油漆工可使用量 决策变量还应当满足 x 0 ， x2 0，叫做非 1
例1的数学模型
max z 50x1 30x2
s.t.
4 x1 3x2 120 2 x1 x2 50 x1 , x2 0
x3
1
0
x4
0
1
30
25
x4
j cj z j
0
50
30
0
0
第一次换基并求解
CB
0 50
x3 x1
cj xB b
20 25 1250
50
30
0
x1
0 1 0
x2
（1） 1/2 5
x3
1 0 0
x4
-2 1/2 -25 20 50
0
j cj z j
第二次换基和求解
cj xB
50 30 0 0
CB
30 50
x2
b
x1
0 1 0
x2
1 0 0
运筹学第二章 线性规划灵敏度分析课件
第2章 线性规划 灵敏度分析
关于运筹学第二章 线性规划灵敏度分析
东北财经大学工商管理学院
第1页，此课件共33页哦
2.1 线性规划灵敏度分析
第2章 线性规划 灵敏度分析
▪ 在第1章的讨论中，假定以下的线性规划
模型中的各个系数cj、bi、aij是确定的常
数，并根据这些数据，求得最优解。
n
Max(Min) z c j x j j 1
▪ 使用电子表格进行分析(重新运行规划求解)
东北财经大学工商管理学院
规划求解后，最优 解发生了改变，变 成了（2/3，8）， 总利润也由3600元 增加到了4200元。 可见，车间2更新生 产工艺后，为工厂 增加了利润。
第23页，此课件共33页哦
2.7 增加一个新变量
第2章 线性规划 灵敏度分析
▪ 例2.1 如果工厂考虑增加一种新产品：防盗门，其单位利润为400元。 生产一个防盗门会占用车间1、车间2、车间3各2、1、1工时,总利
第2章 线性规划 灵敏度分析
▪ 方法1：使用电子表格进行分析（重新运 行规划求解）
总利润为3750元，
增加了：3750-
3600=150元。由于
总利润增加了，而目标 函数系数不变，所以最 优解一定会发生改变， 从图中可以看出，最优 解由原来的（2，6）
变为（1.667，6.5）
东北财经大学工商管理学院
电最多为90kw),最优解是否会发生变化? ▪ 使用电子表格进行分析(重新运行规划求解)
东北财经大学工商管理学院
可见电力约束 的确限制了新 产品门和窗的 产量，最优解 变成(1.5,6),总 利润也相应的 下降为3450元 。
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2.9 影子价格
关于运筹学第二章 线性规划灵敏度分析
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2.1 线性规划灵敏度分析
第2章 线性规划 灵敏度分析
▪ 在第1章的讨论中，假定以下的线性规划
模型中的各个系数cj、bi、aij是确定的常
数，并根据这些数据，求得最优解。
n
Max(Min) z c j x j j 1
▪ 使用电子表格进行分析(重新运行规划求解)
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规划求解后，最优 解发生了改变，变 成了（2/3，8）， 总利润也由3600元 增加到了4200元。 可见，车间2更新生 产工艺后，为工厂 增加了利润。
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2.7 增加一个新变量
第2章 线性规划 灵敏度分析
▪ 例2.1 如果工厂考虑增加一种新产品：防盗门，其单位利润为400元。 生产一个防盗门会占用车间1、车间2、车间3各2、1、1工时,总利
第2章 线性规划 灵敏度分析
▪ 方法1：使用电子表格进行分析（重新运 行规划求解）
总利润为3750元，
增加了：3750-
3600=150元。由于
总利润增加了，而目标 函数系数不变，所以最 优解一定会发生改变， 从图中可以看出，最优 解由原来的（2，6）
变为（1.667，6.5）
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电最多为90kw),最优解是否会发生变化? ▪ 使用电子表格进行分析(重新运行规划求解)
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可见电力约束 的确限制了新 产品门和窗的 产量，最优解 变成(1.5,6),总 利润也相应的 下降为3450元 。
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2.9 影子价格
敏感性分析(运筹学) ppt课件
ppt课件 12:44 36
百分之百法则的作用
可用于确定在保持最优解不变的条件下，目标 函 数系数的变动范围 百分百法则通过将允许的增加或减少值在各个 系数之间分摊，从而可以直接显示出每个系数 的允许变动值 线性规划研究结束以后，如果将来条件变 化 ，致使目标函数中一部分或所有系数都发生变 动，百分百法则可以直接表明最初最优解是否 保持不变
ppt课件
10
资源定价的决策方案
例：某厂生产甲乙产品，（1）如何安排每周的利润为最大? 甲 乙 资源成本 资源拥有量
原材料 (kg) 设备 (工时) 电力 (度)
销售价格(元)
9 4 3
390
4 5 10
352
20 50 1
360 200 300
（2）如果企业可以不生产，那资源出让如何定价？
1、最优生产决策
12:44
椅
Profit = $15/Chair
ppt课件 23
自己动手
拼装玩具生产
如果桌子的利润是$35，最优解会怎样变化呢？ 如果又有一个额外的大块，会增加总利润吗？ 如果桌子和椅子构成改变，最优解会变化吗？ 如果还有一些原材料，你愿意以多大的代价购买呢？ 你怎么来分析这些问题？
ppt课件 12:44
原问题（求极小） 右边 －3 －6 －2 0 0 2 －1 0
y1
y2 y3
7
－1 0
－ 3
6
maxT 7 y1 y2 s.t. 2 y1 16 y2 7 y3 1 3 y1 7 y y 2 y3 0 ppt课件 y1 , y2 , y3 0
如果决策者考虑自己不生产甲乙两种产品，而把原拟用于生产 这两种产品的原材料、设备工时、电量资源全部出售给外单位， 或者做代加工，则应如何确定这三种资源的价格。 设原材料的单位出让获利为y1，设备工时的单位出让获利为y2， 电量的单位出让获利为y3 。 出让决策的线性规划模型：
百分之百法则的作用
可用于确定在保持最优解不变的条件下，目标 函 数系数的变动范围 百分百法则通过将允许的增加或减少值在各个 系数之间分摊，从而可以直接显示出每个系数 的允许变动值 线性规划研究结束以后，如果将来条件变 化 ，致使目标函数中一部分或所有系数都发生变 动，百分百法则可以直接表明最初最优解是否 保持不变
ppt课件
10
资源定价的决策方案
例：某厂生产甲乙产品，（1）如何安排每周的利润为最大? 甲 乙 资源成本 资源拥有量
原材料 (kg) 设备 (工时) 电力 (度)
销售价格(元)
9 4 3
390
4 5 10
352
20 50 1
360 200 300
（2）如果企业可以不生产，那资源出让如何定价？
1、最优生产决策
12:44
椅
Profit = $15/Chair
ppt课件 23
自己动手
拼装玩具生产
如果桌子的利润是$35，最优解会怎样变化呢？ 如果又有一个额外的大块，会增加总利润吗？ 如果桌子和椅子构成改变，最优解会变化吗？ 如果还有一些原材料，你愿意以多大的代价购买呢？ 你怎么来分析这些问题？
ppt课件 12:44
原问题（求极小） 右边 －3 －6 －2 0 0 2 －1 0
y1
y2 y3
7
－1 0
－ 3
6
maxT 7 y1 y2 s.t. 2 y1 16 y2 7 y3 1 3 y1 7 y y 2 y3 0 ppt课件 y1 , y2 , y3 0
如果决策者考虑自己不生产甲乙两种产品，而把原拟用于生产 这两种产品的原材料、设备工时、电量资源全部出售给外单位， 或者做代加工，则应如何确定这三种资源的价格。 设原材料的单位出让获利为y1，设备工时的单位出让获利为y2， 电量的单位出让获利为y3 。 出让决策的线性规划模型：
运筹学课件 第五节 灵敏度分析
参数 aij,bi,cj 的变化引起的单纯形表上的有关 数字的变化：
b ' B 1b Pj B 1 Pj
' m
(c j z j ) c j aij yi
' i 1
运筹学教程
（2）、检查原问题是否仍为可行解。
（3）、检查对偶问题是否仍为可行解。
原问题
可行解 可行解 非可行解 非可行解
0 0 x3 x4 4/5 1 -1/5 0 1/5 0 -1/10 0
0 x5 -6 1 0 -3/2
随利润的变化，调整如下：
生产产品1为2件，产品2为3件。
运筹学教程
解（2）设产品2的利润1+
Cj
CB 基 b 0 x3 15/2 2 x1 7/2 1+ x2 3/2 Cj-Zj
2 X1 0 1 0 0
运筹学教程
CB 0 2 3
2 x1 基 b x5 3/8 0 x1 11/4 1 x2’ 15/8 0 Cj-Zj 0
Cj
3 x2’ 0 0 1 0
0 0 0 x3 x4 x5 -1/24 -1/6 1 -1/12 1/6 0 1/8 0 0 -5/24 -1/3 0
-M x6 1/24 1/12 -1/8 -M+5/24
将其反映到单纯形表
Cj CB 基 b 0 x3 15/2 2 x1 7/2 1 x2 3/2 Cj-Zj Cj 基 b x3 -9 2 x1 x2’ 3 Cj-Zj
2 X1 0 1 0 0 2 X1 0 1 0 0
1 x2 0 0 1 0 1 x2 0 0 1 0
3 0 X2’ x3 11/2 1 ½ 0 ½ 0 3/2 0 3 x2’ 0 0 1 0 0 x3 1 0 0 0
b ' B 1b Pj B 1 Pj
' m
(c j z j ) c j aij yi
' i 1
运筹学教程
（2）、检查原问题是否仍为可行解。
（3）、检查对偶问题是否仍为可行解。
原问题
可行解 可行解 非可行解 非可行解
0 0 x3 x4 4/5 1 -1/5 0 1/5 0 -1/10 0
0 x5 -6 1 0 -3/2
随利润的变化，调整如下：
生产产品1为2件，产品2为3件。
运筹学教程
解（2）设产品2的利润1+
Cj
CB 基 b 0 x3 15/2 2 x1 7/2 1+ x2 3/2 Cj-Zj
2 X1 0 1 0 0
运筹学教程
CB 0 2 3
2 x1 基 b x5 3/8 0 x1 11/4 1 x2’ 15/8 0 Cj-Zj 0
Cj
3 x2’ 0 0 1 0
0 0 0 x3 x4 x5 -1/24 -1/6 1 -1/12 1/6 0 1/8 0 0 -5/24 -1/3 0
-M x6 1/24 1/12 -1/8 -M+5/24
将其反映到单纯形表
Cj CB 基 b 0 x3 15/2 2 x1 7/2 1 x2 3/2 Cj-Zj Cj 基 b x3 -9 2 x1 x2’ 3 Cj-Zj
2 X1 0 1 0 0 2 X1 0 1 0 0
1 x2 0 0 1 0 1 x2 0 0 1 0
3 0 X2’ x3 11/2 1 ½ 0 ½ 0 3/2 0 3 x2’ 0 0 1 0 0 x3 1 0 0 0
运筹学灵敏度分析PPT课件
0 a1r br
a1r
B 1
br
air br
br
air
0 amr br
amr
B-1的第r列
进一步得，最终表中 b 列元素
B-1b
bi + a ir br 0,
air br bi
i=1，2，…，m i=1，2，…，m
air > 0
br bi / air ; air < 0
0 4 0.25 0
B1b
+
B1
b2
4
+
0.5
b2 0
0 2 0.125 0
可得 △b2≥-4/0.25=-16, △b2≥-4/0.5=-8, △b2≤2/0.125=16 由公式知△b2变化范围[-8,16], 显然b2变化范围[8,32]
例题: 将上面例题进行实际应用。每台设备台时的影子价格为1.5元。若该 厂又从别处抽出4台时用于生产两种产品，求这时该厂生产两种产品的最优方 案。
生产规模条件下单位产品利润或单价的可变范围。 2、代表单位原料单价时，灵敏度分析用于预先确定保持现有配方条件下，原
料单价的可变动范围。
第10页/共11页
感谢您的观看！
第11页/共11页
解：这时最终计算表为
第7页/共11页
cj
2 3 + △c2 0
0
0
CB XB b x1
x2
x3
x4
x5
2 x1 4 1 0
0 0.25 0
0 x5 4 0 0
-2 0.5
1
3 x2 2 0 1 0.5 –0.125 0
cj-zj
0 △c2 -1.5 -0.125 0
a1r
B 1
br
air br
br
air
0 amr br
amr
B-1的第r列
进一步得，最终表中 b 列元素
B-1b
bi + a ir br 0,
air br bi
i=1，2，…，m i=1，2，…，m
air > 0
br bi / air ; air < 0
0 4 0.25 0
B1b
+
B1
b2
4
+
0.5
b2 0
0 2 0.125 0
可得 △b2≥-4/0.25=-16, △b2≥-4/0.5=-8, △b2≤2/0.125=16 由公式知△b2变化范围[-8,16], 显然b2变化范围[8,32]
例题: 将上面例题进行实际应用。每台设备台时的影子价格为1.5元。若该 厂又从别处抽出4台时用于生产两种产品，求这时该厂生产两种产品的最优方 案。
生产规模条件下单位产品利润或单价的可变范围。 2、代表单位原料单价时，灵敏度分析用于预先确定保持现有配方条件下，原
料单价的可变动范围。
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解：这时最终计算表为
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cj
2 3 + △c2 0
0
0
CB XB b x1
x2
x3
x4
x5
2 x1 4 1 0
0 0.25 0
0 x5 4 0 0
-2 0.5
1
3 x2 2 0 1 0.5 –0.125 0
cj-zj
0 △c2 -1.5 -0.125 0
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9
例题17 对于下列线性规划模型,为使最优解不变，讨论非 基变量y1的目标函数系数c3的变化范围。
maxZ 4x13x2 2 y1
s.t.32xx1123xx22
y1 24 2 y1 26
x1, x2 0
(材料约束 ) (工时约束 )
用单纯形法求得其最优表为：
cj
CB
XB
b
3
x2
4
4
x1
6
关于常见的运筹学 灵敏度分析
灵敏度分析
n
maxz cjxj
或
j1
n
ajxj
bi(i 1,2,L,m)
j1
xj 0(j1,2,L,n)
maxz=cx
AX b
X
0
2
灵敏度分析（2）
面对市场变化，灵敏度分析的任务是须解决以下两类问题
一、当系数A、b、C中的某个发生变化时,目前的最优基是 否仍最优（即目前的最优生产方案是否要变化）?(称为模 型参数的灵敏度分析)
时，它的变化只影响xj的系数列B-1Pj和检验数 j ，为使最 优方案不变，只需 j 0
14
例18 对于下列规划问题的最优解，若由于工艺改进，y1的 技术系数改为p3=(1,1)T，试讨论最优解的变化。
maxZ 4x13x2 2 y1
s.t.32xx1123xx22
y1 24 2 y1 26
Z
36
4
320
0
x1
x2
y1
x3
x4
0
1 -1/5 3/5 -2/5
1
0 4/5 -2/5 3/5
0
0 3/5 1/5
6/5
10
解：因为y1为非基变量，其目标函数系数c3的变化只会影
响到y1的检验数，因此为使最优解不变，只需 3 0
即
C 323/51/35
若C3=3,则
cj
CB
XB
3
x2
4
x1
Z
2
3 5
代入最优单纯形表中相应位置
4
320
0
b
x1
x2 y1
x3
x4
4
0
1 -1/5 3/5 -2/5
6
1
0 4/5 -2/5 3/5
36
0
0 -2/5 1/5
6/5
继续迭代以求出新的最优解。
11
（2）当CB(即基变量的目标函数系数)中某个Cj发生变化时
则会影响到所有变量的检验数σ=CBB-1A－C
0
0
12
55C 1
5 65 3C 10
1 55 2C 10 5 65 3C 10
2C 11 2 即 2C 14.5
若 C 1 5 ,则 C B B 1 A C 00 1 58 5 C B B 1 b 3 6 6 C 1 4 将上述数字替换单纯形表中相应位置的数字得：
从矩阵形式的单纯形表中可以看出，b的变化只影响最优 解的变化和最优值的变化。
b
X
XB
B-1b
B-1A
Z
C BB-1b
C BB-1A-C
因此，当 B1b0时，最优基不变（即生产产品的品种 不变，但数量及最优值会变化）。
B1b0 是一个不等式组，从中可以解得b的变化范围
若B-1b中有小于0的分量，则需用对偶单纯形法迭代，5
2 5
b2
3 5
b
0 20
解得：
16b236
写 B-1
6
若b2变化超过范围，则需用对偶单纯形法进行求解。如 b2=6，则
B 1b 3 2 //5 5 3 2 //5 5 2 6 4 16 20
CBB1b3 416212
将上述数字替换最优单纯形表中相应位置的数据得：
cj
4
3
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
3
x2
4
5
x1
6
0
1
3/5
-2/5
1
0
-2/5
3/5
Z
42
0
0
-1/5
8/5
13
用单纯形法迭代得最优解表如下：
cj
4
3
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
0
x3
20/3
0
5/3
1
5
x1
26/3
1
2/3
0
Z
130/3 0
1/3
0
0
x4 -2/3 1/3 16/15
（3）技术系数aij变化的分析 第一种情况（当jJN）：即aij为非基变量xj的技术系数
二、增加一个变量或增加一个约束条件时，目前的最优基 是否仍最优（即目前的最优生产方案是否要变化） (称为 模型结构的灵敏度分析)
灵敏度分析的方法是在目前最优基B下进行的。即当参 数A、b、c中的某一个或几个发生变化时，考察是否影响 以下两式的成立？
B 1b 0
CBB
1AC
0
3
1、对于参数b的灵敏度分析
解不等式组
CBB1AC0
就可得到 Cj的范围
例18 设基变量x1的系数C1变化为 C1C1 ，在最优性不变 的条件下，试确定 C1 的范围
解：
C B B 1 A C 3 4 C 1 1 0 0 1 3 / 2 5 /5 3 2 / /5 5 4 C 13 0 0
4 C 131 5 5 2 C 15 6 5 3 C 1 4 C 1300 12
cj
CB
XB
b
3
x2
12
4
x1
-6
Z
12
4
3
0
0
x1
x2
x3
x4
0
1
3/5
-2/5
1
0
-2/5
3/5
0
0
1/5
6/5
7
用对偶单纯形法迭代，求出的最优单纯形表如下：
cj
4
3
CB
XB
b
x1
x2
3
x2
3
3/2
1
0
x3
15
-5/2
0
Z
9
1/2
0
0
0
x3
x4
0
1/2
1
-3/2
0
3/2
得到新的最优解为：x1=0,x2=3; maxz=9
x1, x2 0
(材料约束 ) (工时约束 )
cj
4
320
0
CB
XB
b
x1
8
2.对价值系数Cj变化的分析
（1）当CN（非基变量的目标函数系数）中某个Cj发生变 化时，只影响到非基变量xj的检验数
由于
j ( C B B 1 P j) ( C jC j)jC j
所以,当 j 0 即当 Cj j 时,最优解不变（最小值）
反之,当 j 0 时,最优解改变,需要用单纯形法重新进 行迭代,以求得新的最优解.
cj
4
3
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
3
x2
4
4
x1
6
0
1
3/5
-2/5
1
0
-2/5
3/5
Z
36
0
0
1/5
6/5
5
从矩阵形式的单纯形表中可知，b2的变化只影响解 的可行性B-1b≥0,因此，为使最优解不变，只需变化以后的
B-1b≥0即可。
B1b32//55 32//552b247545285253bb220
b变化的时候，仅对B-1b有影响
此时，基变量不变
4
P33 例题16 对于生产计划问题，为使最优方案不变，试 讨论第二个约束条件b2的变化范围。
解：生产计划问题的数学模型和最优单纯形表为：
maxZ 4x13x2 2x13x2 24
s.t.3x12x2 26 x1, x2 0
(材料约束) (工时约束)