关于常见的运筹学灵敏度分析课件
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时，它的变化只影响xj的系数列B-1Pj和检验数 j ，为使最 优方案不变，只需 j 0
14
例18 对于下列规划问题的最优解，若由于工艺改进，y1的 技术系数改为p3=(1,1)T，试讨论最优解的变化。
maxZ 4x13x2 2 y1
s.t.32xx1123xx22
y1 24 2 y1 26
关于常见的运筹学 灵敏度分析
灵敏度分析
n
maxz cjxj
或
j1
n
ajxj
bi(i 1,2,L,m)
j1
xj 0(j1,2,L,n)
maxz=cx
AX b
X
0
2
灵敏度分析（2）
面对市场变化，灵敏度分析的任务是须解决以下两类问题
一、当系数A、b、C中的某个发生变化时,目前的最优基是 否仍最优（即目前的最优生产方案是否要变化）?(称为模 型参数的灵敏度分析)
从矩阵形式的单纯形表中可以看出，b的变化只影响最优 解的变化和最优值的变化。
b
X
XB
B-1b
B-1A
Z
C BB-1b
C BB-1A-C
因此，当 B1b0时，最优基不变（即生产产品的品种 不变，但数量及最优值会变化）。
B1b0 是一个不等式组，从中可以解得b的变化范围
若B-1b中有小于0的分量，则需用对偶单纯形法迭代，以 求出新的最优方案。
二、增加一个变量或增加一个约束条件时，目前的最优基 是否仍最优（即目前的最优生产方案是否要变化） (称为 模型结构的灵敏度分析)
灵敏度分析的方法是在目前最优基B下进行的。即当参 数A、b、c中的某一个或几个发生变化时，考察是否影响 以下两式的成立？
B 1b 0
CBB
1AC
0
3
1、对于参数b的灵敏度分析
9
例题17 对于下列线性规划模型,为使最优解不变，讨论非 基变量y1的目标函数系数c3的变化范围。
maxZ 4x13x2 2 y1
s.t.32xx1123xx22
y1 24 2 y1 26
x1, x2 0
(材料约束 ) (工时约束 )
用单纯形法求得其最优表为：
cj
CB
XB
b
3
x2
4
4
x1
6
解不等式组
CBB1AC0
就可得到 Cj的范围
例18 设基变量x1的系数C1变化为 C1C1 ，在最优性不变 的条件下，试确定 C1 的范围
解：
C B B 1 A C 3 4 C 1 1 0 0 1 3 / 2 5 /5 3 2 / /5 5 4 C 13 0 0
4 C 131 5 5 2 C 15 6 5 3 C 1 4 C 1300 12
x1, x2 0
(材料约束 ) (工时约束 )
cj
4
320
0
CB
XB
b
x1
由
72
5 48
5
2 5
b2
3 5
b
0 20
解得：
16b2百度文库6
写 B-1
6
若b2变化超过范围，则需用对偶单纯形法进行求解。如 b2=6，则
B 1b 3 2 //5 5 3 2 //5 5 2 6 4 16 20
CBB1b3 416212
将上述数字替换最优单纯形表中相应位置的数据得：
2
3 5
代入最优单纯形表中相应位置
4
320
0
b
x1
x2 y1
x3
x4
4
0
1 -1/5 3/5 -2/5
6
1
0 4/5 -2/5 3/5
36
0
0 -2/5 1/5
6/5
继续迭代以求出新的最优解。
11
（2）当CB(即基变量的目标函数系数)中某个Cj发生变化时
则会影响到所有变量的检验数σ=CBB-1A－C
cj
CB
XB
b
3
x2
12
4
x1
-6
Z
12
4
3
0
0
x1
x2
x3
x4
0
1
3/5
-2/5
1
0
-2/5
3/5
0
0
1/5
6/5
7
用对偶单纯形法迭代，求出的最优单纯形表如下：
cj
4
3
CB
XB
b
x1
x2
3
x2
3
3/2
1
0
x3
15
-5/2
0
Z
9
1/2
0
0
0
x3
x4
0
1/2
1
-3/2
0
3/2
得到新的最优解为：x1=0,x2=3; maxz=9
cj
4
3
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
3
x2
4
4
x1
6
0
1
3/5
-2/5
1
0
-2/5
3/5
Z
36
0
0
1/5
6/5
5
从矩阵形式的单纯形表中可知，b2的变化只影响解 的可行性B-1b≥0,因此，为使最优解不变，只需变化以后的
B-1b≥0即可。
B1b32//55 32//552b247545285253bb220
8
2.对价值系数Cj变化的分析
（1）当CN（非基变量的目标函数系数）中某个Cj发生变 化时，只影响到非基变量xj的检验数
由于
j ( C B B 1 P j) ( C jC j)jC j
所以,当 j 0 即当 Cj j 时,最优解不变（最小值）
反之,当 j 0 时,最优解改变,需要用单纯形法重新进 行迭代,以求得新的最优解.
cj
4
3
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
3
x2
4
5
x1
6
0
1
3/5
-2/5
1
0
-2/5
3/5
Z
42
0
0
-1/5
8/5
13
用单纯形法迭代得最优解表如下：
cj
4
3
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
0
x3
20/3
0
5/3
1
5
x1
26/3
1
2/3
0
Z
130/3 0
1/3
0
0
x4 -2/3 1/3 16/15
（3）技术系数aij变化的分析 第一种情况（当jJN）：即aij为非基变量xj的技术系数
Z
36
4
320
0
x1
x2
y1
x3
x4
0
1 -1/5 3/5 -2/5
1
0 4/5 -2/5 3/5
0
0 3/5 1/5
6/5
10
解：因为y1为非基变量，其目标函数系数c3的变化只会影
响到y1的检验数，因此为使最优解不变，只需 3 0
即
C 323/51/35
若C3=3,则
cj
CB
XB
3
x2
4
x1
Z
0
0
12
55C 1
5 65 3C 10
1 55 2C 10 5 65 3C 10
2C 11 2 即 2C 14.5
若 C 1 5 ,则 C B B 1 A C 00 1 58 5 C B B 1 b 3 6 6 C 1 4 将上述数字替换单纯形表中相应位置的数字得：
b变化的时候，仅对B-1b有影响
此时，基变量不变
4
P33 例题16 对于生产计划问题，为使最优方案不变，试 讨论第二个约束条件b2的变化范围。
解：生产计划问题的数学模型和最优单纯形表为：
maxZ 4x13x2 2x13x2 24
s.t.3x12x2 26 x1, x2 0
(材料约束) (工时约束)
14
例18 对于下列规划问题的最优解，若由于工艺改进，y1的 技术系数改为p3=(1,1)T，试讨论最优解的变化。
maxZ 4x13x2 2 y1
s.t.32xx1123xx22
y1 24 2 y1 26
关于常见的运筹学 灵敏度分析
灵敏度分析
n
maxz cjxj
或
j1
n
ajxj
bi(i 1,2,L,m)
j1
xj 0(j1,2,L,n)
maxz=cx
AX b
X
0
2
灵敏度分析（2）
面对市场变化，灵敏度分析的任务是须解决以下两类问题
一、当系数A、b、C中的某个发生变化时,目前的最优基是 否仍最优（即目前的最优生产方案是否要变化）?(称为模 型参数的灵敏度分析)
从矩阵形式的单纯形表中可以看出，b的变化只影响最优 解的变化和最优值的变化。
b
X
XB
B-1b
B-1A
Z
C BB-1b
C BB-1A-C
因此，当 B1b0时，最优基不变（即生产产品的品种 不变，但数量及最优值会变化）。
B1b0 是一个不等式组，从中可以解得b的变化范围
若B-1b中有小于0的分量，则需用对偶单纯形法迭代，以 求出新的最优方案。
二、增加一个变量或增加一个约束条件时，目前的最优基 是否仍最优（即目前的最优生产方案是否要变化） (称为 模型结构的灵敏度分析)
灵敏度分析的方法是在目前最优基B下进行的。即当参 数A、b、c中的某一个或几个发生变化时，考察是否影响 以下两式的成立？
B 1b 0
CBB
1AC
0
3
1、对于参数b的灵敏度分析
9
例题17 对于下列线性规划模型,为使最优解不变，讨论非 基变量y1的目标函数系数c3的变化范围。
maxZ 4x13x2 2 y1
s.t.32xx1123xx22
y1 24 2 y1 26
x1, x2 0
(材料约束 ) (工时约束 )
用单纯形法求得其最优表为：
cj
CB
XB
b
3
x2
4
4
x1
6
解不等式组
CBB1AC0
就可得到 Cj的范围
例18 设基变量x1的系数C1变化为 C1C1 ，在最优性不变 的条件下，试确定 C1 的范围
解：
C B B 1 A C 3 4 C 1 1 0 0 1 3 / 2 5 /5 3 2 / /5 5 4 C 13 0 0
4 C 131 5 5 2 C 15 6 5 3 C 1 4 C 1300 12
x1, x2 0
(材料约束 ) (工时约束 )
cj
4
320
0
CB
XB
b
x1
由
72
5 48
5
2 5
b2
3 5
b
0 20
解得：
16b2百度文库6
写 B-1
6
若b2变化超过范围，则需用对偶单纯形法进行求解。如 b2=6，则
B 1b 3 2 //5 5 3 2 //5 5 2 6 4 16 20
CBB1b3 416212
将上述数字替换最优单纯形表中相应位置的数据得：
2
3 5
代入最优单纯形表中相应位置
4
320
0
b
x1
x2 y1
x3
x4
4
0
1 -1/5 3/5 -2/5
6
1
0 4/5 -2/5 3/5
36
0
0 -2/5 1/5
6/5
继续迭代以求出新的最优解。
11
（2）当CB(即基变量的目标函数系数)中某个Cj发生变化时
则会影响到所有变量的检验数σ=CBB-1A－C
cj
CB
XB
b
3
x2
12
4
x1
-6
Z
12
4
3
0
0
x1
x2
x3
x4
0
1
3/5
-2/5
1
0
-2/5
3/5
0
0
1/5
6/5
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用对偶单纯形法迭代，求出的最优单纯形表如下：
cj
4
3
CB
XB
b
x1
x2
3
x2
3
3/2
1
0
x3
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Z
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1/2
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1/2
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得到新的最优解为：x1=0,x2=3; maxz=9
cj
4
3
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
3
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0
1
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-2/5
1
0
-2/5
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Z
36
0
0
1/5
6/5
5
从矩阵形式的单纯形表中可知，b2的变化只影响解 的可行性B-1b≥0,因此，为使最优解不变，只需变化以后的
B-1b≥0即可。
B1b32//55 32//552b247545285253bb220
8
2.对价值系数Cj变化的分析
（1）当CN（非基变量的目标函数系数）中某个Cj发生变 化时，只影响到非基变量xj的检验数
由于
j ( C B B 1 P j) ( C jC j)jC j
所以,当 j 0 即当 Cj j 时,最优解不变（最小值）
反之,当 j 0 时,最优解改变,需要用单纯形法重新进 行迭代,以求得新的最优解.
cj
4
3
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
3
x2
4
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x1
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0
1
3/5
-2/5
1
0
-2/5
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Z
42
0
0
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用单纯形法迭代得最优解表如下：
cj
4
3
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
0
x3
20/3
0
5/3
1
5
x1
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1
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0
Z
130/3 0
1/3
0
0
x4 -2/3 1/3 16/15
（3）技术系数aij变化的分析 第一种情况（当jJN）：即aij为非基变量xj的技术系数
Z
36
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0
x1
x2
y1
x3
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0
1 -1/5 3/5 -2/5
1
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0
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6/5
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解：因为y1为非基变量，其目标函数系数c3的变化只会影
响到y1的检验数，因此为使最优解不变，只需 3 0
即
C 323/51/35
若C3=3,则
cj
CB
XB
3
x2
4
x1
Z
0
0
12
55C 1
5 65 3C 10
1 55 2C 10 5 65 3C 10
2C 11 2 即 2C 14.5
若 C 1 5 ,则 C B B 1 A C 00 1 58 5 C B B 1 b 3 6 6 C 1 4 将上述数字替换单纯形表中相应位置的数字得：
b变化的时候，仅对B-1b有影响
此时，基变量不变
4
P33 例题16 对于生产计划问题，为使最优方案不变，试 讨论第二个约束条件b2的变化范围。
解：生产计划问题的数学模型和最优单纯形表为：
maxZ 4x13x2 2x13x2 24
s.t.3x12x2 26 x1, x2 0
(材料约束) (工时约束)