信息学奥赛之递归
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ch:char; begin
reaLeabharlann Baidu(ch); if ch<>'&' then reverse; write(ch); end; begin reverse; writeln; end.
测试数据： 输入：
abcdefghijklmn& 输出：
&nmlkjihgfedcba
例3：利用递归，将一个十进制整数K转化为N进制整数（N<=10）。
在这里，为了定义n!，就必须先定义(n-1)!，为了定义(n1)!，又必须先定义(n-2)!……，上述这种用自身的简单情况 来定义自己的方式称为递归定义。
一个递归定义必须是有确切含义的，也就是说，必须一步 比一步简单，最后是有终结的，决不允许无限循环下去。
上面的例子中，当N=0时定义一个数1，是最简单的情况， 称为递归的边界，它本身不再使用递归定义。
汉诺塔（tower of Hanoi）问题
有n个大小不等的中空圆盘，按照从小到大的顺序 迭套在立柱A上，另有两根立柱B和C。现要求把全 部圆盘从A柱（源柱）移到C柱（目标柱），移动 过程中可借助B柱（中间柱）。移动时有如下的要 求： ①一次只移动一个盘； ②不允许把大盘放在小盘上边； ③可使用任意一根立柱暂存圆盘。
（1）读入一个字符； （2）读（该字符后的）子串并倒序输出； （3）然后输出读入字符（指（1）读入的字符） （4）在（2）中若子串是空（即遇字符’&’），表示子串 已完，不再处理子串。
以上（2）表示一操作依赖另一操作，所以需要用递归调 用。（4）表示已知操作（递归的终止）。
程序如下： program aa; procedure reverse; var
先以三个盘的移动为例，看一下移动过程。
运行结果：Enter the number of disks in Hanoi tower：3 A→C A→B C→B A→C B→A B→C A→C
分析：首先将A柱上方的n-1个盘子从A柱移到B柱， 此过程中C柱为中间柱；接着将A柱剩下的一个盘子 移到C柱；最后再将B柱上的n-1个盘子移到C柱，此 过程中A柱为中间柱，这就变成了移动n-1个盘子的 问题了。定义过程hanoi，实现这一递归算法：
再如：前面多次提到的求N!的问题。 我们知道：当N>0时，N!=N*(N-1)!，因此，求N!的问题化成 了求N*(N-1)!的问题，而求(N-1)!的问题又与求N!的解法相同， 只不过是求阶乘的对象的值减去了1，当N的值递减到0时， N!=1，从而结束以上过程，求得了N!的解。
也就是说，求解N!的过程可以用以下递归方法来表示：
end.
输入：
input n=5 输出：
5! =120
如图展示了程序的执行过程：
例2：读入一串字符倒序输出，以字符’&’为结束标志，用过 程来实现。
分析：由题意可知，读一串字符当然只能一个个地读入，要 倒序输出，就要一直读到字符’&’。如输入的一段字符为 ABCDEFGH&’，则倒序输出的结果应该是’&HGFEDCBA’。
每一递归都有其边界条件。递归是从自身出发来达到边界 条件。
递归的调用
在Pascal程序中，子程序可以直接自己调用自己或间 接调用自己，则将这种调用形式称之为递归调用。
递归调用时必须符合以下三个条件： （1）可将一个问题转化为一个新的问题，而新问题的
解决方法仍与原问题的解法相同，只不过所处理的对象有所 不同而已，即它们只是有规律的递增或递减。
fac(n:integer):longint; begin if n=0 then fac:=1 else fac:=fac(n-1)*n; end;
测试数据：
begin write('input n='); read(n); if n<0 then
writeln('n<0,data errer') else begin t:=fac(n); writeln(n,'! =',t) end
read(n); s:=fib(n); writeln(s); end.
Begin If n=1 then FIB:=0 Else if n=2 then FIB:=1 Else FIB:=FIB(n-1)+FIB(n-2)
End;
测试数据： 输入：
5 输出：
3
2．某些问题虽然没有明显的递归关系或结构， 但问题的解法是不断重复执行一种操作，只 是问题规模由大化小，直至某个原操作（基 本操作）就结束，如汉诺塔问题，这种问题 使用递归思想来求解比其它方法更简单。
递归的定义
所谓递归就是一个函数或过程可以直接或间接 地调用自己。我们大家都熟悉一个民间故事：从前有一
座山，山上有一座庙，庙里有一个老和尚正在给小和尚讲故 事，故事里说，从前有一座山，山上有一座庙，庙里有一个 老和尚正在给小和尚讲故事，故事里的故事是说……。象这 种形式，我们就可以称之为递归的一种形象描述，老和尚什 么时候不向下讲了，故事才会往回返，最终才会结束。
end.
测试数据： 输入：K和N的值 19 3 输出：转化后的N进制整数 201
递归的一般适合场合
1．数据的定义形式是按递归定义的. 如：裴波那契数列的定义为：
Fn=Fn-1+Fn-2 F1=0 F2=1 begin
program aa; var n:integer; s:longint; Function FIB(N:integer):integer;
（2）可以通过转化过程使问题回到对原问题的求解。 （3）必须要有一个明确的结束递归的条件，否则递归 会无止境地进行下去。 下面我们通过一些例子，来解释递归程序的设计。
例1：按照以上的分析，用递归的方法来求N！的解。
程序如下：
program aa; var t:longint; n:integer; function
program aa; var n,k:integer; procedure
tentok(k,n:integer); var r:integer; begin r:=k mod n; k:=k div n; if k<>0 then tentok(k,n); write(r); end;
begin read(k,n); tentok(k,n); writeln;
reaLeabharlann Baidu(ch); if ch<>'&' then reverse; write(ch); end; begin reverse; writeln; end.
测试数据： 输入：
abcdefghijklmn& 输出：
&nmlkjihgfedcba
例3：利用递归，将一个十进制整数K转化为N进制整数（N<=10）。
在这里，为了定义n!，就必须先定义(n-1)!，为了定义(n1)!，又必须先定义(n-2)!……，上述这种用自身的简单情况 来定义自己的方式称为递归定义。
一个递归定义必须是有确切含义的，也就是说，必须一步 比一步简单，最后是有终结的，决不允许无限循环下去。
上面的例子中，当N=0时定义一个数1，是最简单的情况， 称为递归的边界，它本身不再使用递归定义。
汉诺塔（tower of Hanoi）问题
有n个大小不等的中空圆盘，按照从小到大的顺序 迭套在立柱A上，另有两根立柱B和C。现要求把全 部圆盘从A柱（源柱）移到C柱（目标柱），移动 过程中可借助B柱（中间柱）。移动时有如下的要 求： ①一次只移动一个盘； ②不允许把大盘放在小盘上边； ③可使用任意一根立柱暂存圆盘。
（1）读入一个字符； （2）读（该字符后的）子串并倒序输出； （3）然后输出读入字符（指（1）读入的字符） （4）在（2）中若子串是空（即遇字符’&’），表示子串 已完，不再处理子串。
以上（2）表示一操作依赖另一操作，所以需要用递归调 用。（4）表示已知操作（递归的终止）。
程序如下： program aa; procedure reverse; var
先以三个盘的移动为例，看一下移动过程。
运行结果：Enter the number of disks in Hanoi tower：3 A→C A→B C→B A→C B→A B→C A→C
分析：首先将A柱上方的n-1个盘子从A柱移到B柱， 此过程中C柱为中间柱；接着将A柱剩下的一个盘子 移到C柱；最后再将B柱上的n-1个盘子移到C柱，此 过程中A柱为中间柱，这就变成了移动n-1个盘子的 问题了。定义过程hanoi，实现这一递归算法：
再如：前面多次提到的求N!的问题。 我们知道：当N>0时，N!=N*(N-1)!，因此，求N!的问题化成 了求N*(N-1)!的问题，而求(N-1)!的问题又与求N!的解法相同， 只不过是求阶乘的对象的值减去了1，当N的值递减到0时， N!=1，从而结束以上过程，求得了N!的解。
也就是说，求解N!的过程可以用以下递归方法来表示：
end.
输入：
input n=5 输出：
5! =120
如图展示了程序的执行过程：
例2：读入一串字符倒序输出，以字符’&’为结束标志，用过 程来实现。
分析：由题意可知，读一串字符当然只能一个个地读入，要 倒序输出，就要一直读到字符’&’。如输入的一段字符为 ABCDEFGH&’，则倒序输出的结果应该是’&HGFEDCBA’。
每一递归都有其边界条件。递归是从自身出发来达到边界 条件。
递归的调用
在Pascal程序中，子程序可以直接自己调用自己或间 接调用自己，则将这种调用形式称之为递归调用。
递归调用时必须符合以下三个条件： （1）可将一个问题转化为一个新的问题，而新问题的
解决方法仍与原问题的解法相同，只不过所处理的对象有所 不同而已，即它们只是有规律的递增或递减。
fac(n:integer):longint; begin if n=0 then fac:=1 else fac:=fac(n-1)*n; end;
测试数据：
begin write('input n='); read(n); if n<0 then
writeln('n<0,data errer') else begin t:=fac(n); writeln(n,'! =',t) end
read(n); s:=fib(n); writeln(s); end.
Begin If n=1 then FIB:=0 Else if n=2 then FIB:=1 Else FIB:=FIB(n-1)+FIB(n-2)
End;
测试数据： 输入：
5 输出：
3
2．某些问题虽然没有明显的递归关系或结构， 但问题的解法是不断重复执行一种操作，只 是问题规模由大化小，直至某个原操作（基 本操作）就结束，如汉诺塔问题，这种问题 使用递归思想来求解比其它方法更简单。
递归的定义
所谓递归就是一个函数或过程可以直接或间接 地调用自己。我们大家都熟悉一个民间故事：从前有一
座山，山上有一座庙，庙里有一个老和尚正在给小和尚讲故 事，故事里说，从前有一座山，山上有一座庙，庙里有一个 老和尚正在给小和尚讲故事，故事里的故事是说……。象这 种形式，我们就可以称之为递归的一种形象描述，老和尚什 么时候不向下讲了，故事才会往回返，最终才会结束。
end.
测试数据： 输入：K和N的值 19 3 输出：转化后的N进制整数 201
递归的一般适合场合
1．数据的定义形式是按递归定义的. 如：裴波那契数列的定义为：
Fn=Fn-1+Fn-2 F1=0 F2=1 begin
program aa; var n:integer; s:longint; Function FIB(N:integer):integer;
（2）可以通过转化过程使问题回到对原问题的求解。 （3）必须要有一个明确的结束递归的条件，否则递归 会无止境地进行下去。 下面我们通过一些例子，来解释递归程序的设计。
例1：按照以上的分析，用递归的方法来求N！的解。
程序如下：
program aa; var t:longint; n:integer; function
program aa; var n,k:integer; procedure
tentok(k,n:integer); var r:integer; begin r:=k mod n; k:=k div n; if k<>0 then tentok(k,n); write(r); end;
begin read(k,n); tentok(k,n); writeln;