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试卷一计算题

1、设平面通过点（5，-7,4）且在x,y,z 三个轴上截距相等，求平面方程。 设平面方程为a x +a y +a

z =1

因为平面过（5，-7,4） a 5-a 7+a

4=1 a=2

∴所求平面方程为x+y+z=2

2、求曲线z=2

2y x +在点p （4,2）处的偏导数z y （0,0）

y

y y y y x y y x y y x y =+=+=+=+=)20(2

1)2222(212)(22122(2222)2 2y(0,0)=y(0,0)=0 3、设z=ln ()

1

)(2

+++

+y x y x ,求z x 和z y

2)(11

y x x

z

++=?? , 2

)(11

y x y

z

++=??

4、求f(x)=e x

cosx 的麦克劳林展开式（至含x 4

的项）

....6311...)4

21....)(4321(cos 4

4,

4,2,4,3,2+--+=++-++++

+=x x x x x x x x x x x 5、求表面积为36，而体积为最大的长方形的体积。 长方体长、宽、高分别为x,y,z. 则2xy+2

2x +22y =36

且长方体体积v(x,y,z)=

2xy 令F=)18(2-+++yz xz xy xy λ

由 ???

???

?=++=++==++==++=180)(0)(0

)(2

2yz xz xy y x xy Fz z x x Fy z y y Fx λλλ 得6===z y x

由实际问题知 当

6===z y x 时，长方体体积最大为63

6m

6、求微分方程y ”-6y ’+8y=0的通解

086=+'-'y y y 令k y ='

0862=+-k k （k-2）(k-4)=0

???==???

?=-=-4

2040

221k k k k

x x e c ce x k e c kx e c y 422221---=-+-=∴

试卷二计算题

1、试求空间直线??

?-=+=7

652z y z x 的对称式方程

由x=z z+5 得z x =-25 由y=6z-7 得z y =+67

所以直线对称方程为：z y x =+=-6

7

25 2

、

设

,

sin ),(,cos ),(y e y x y e y x x x ==ψφ试

证

：

)2,2(),(),(22y x y x y x φψφ=-

)

2,2(cos )sin (cos )sin ()cos (),(),(222222222y x y x e y y e y e y e y x y x x x x ρρρ==-=-=-3、设

,sin y xe z y =求dz

y

ey x

x y ey x y xey zx sin 22sin 2)sin (2===

2=xeysiny

?

?

????+=+===

)cos sin .(.2)

(sin 2sin 2)(22)sin (22)sin (2y ey y ey x ey y y y y ey x y y ey x y y xey zy dy y xey y xey dx y ey dy y

z

dx x z dz )cos sin ()sin (++=??+??=

4、求函数222sin sin 2sin y y x xy y x z ++=的全微分

)cos (sin sin 2sin 22y x x y y y x x

z

++=?? y y y y x x y x y

z 20cos (sin sin 2sin 2+++=??

[][]

dy y y y y x x y x y y y y x x y zx dz 2)cos (sin sin 2sin 2)cos (sin sin 2sin 222+++++++=

5、设

,122y x z ++=

求)1,1(y z

??????++?++=++++=++=??y y y x y

y x y y x y x xy y x y z 2)(22)(22)1(2121

21.1211222222222222

22

22

2112222200(121

y x y y x y

y y y

y x ++=++?=++++=

3

11111

11

2)1,1(22

2=

++=

???===∴y x y y

6、求一连续可微函数，它在x ＜2

π

时满足微分方程y ”+y ’=x ，在

x ＞2

π

时满足y ”+4y ’=0，

且当x=0时y,y 之值均为0. 当x ＜2

π时，

x x c x c y ++=sin cos 21

由y(0)=y(0)=0 得01

=c 12-=c 从而x x y +-=sin 1

当

x ＞

2

π

时，x B x A y 222sin cos += ∴函数在2

π

=x 有连续导数

从而

122212-=??? ??=??? ??πππy y 12221112-=

??

? ??=??? ??πππy y 2

1π

-

=∴A 21-

=B

故 x x y 222sin 21cos 21-??? ?

?

-=π

??

?

??

---∴x

x x x y 22sin 21

cos )21(sin π x ≤2π x ＞2π