《排列》导学案2.doc

复习引入《排列》导学案2教学目标:知识与技能：了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。

过程与方法：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题情感、态度与价值观：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题.教学重点：排列、排列数的概念教学难点：排列数公式的推导授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪1分类加法计数原理：做-•件事情，完成它可以有n类办法，在笫一类办法屮有" 种不同的方法，在笫二类办法屮有加2种不同的方法，……，在笫n类办法屮有加”种不同的方法那么完成这件事共有N = +加2 +・・・+加〃种不同的方法2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有"种不同的方法，做第二步有加2种不同的方法，……，做第n步有加”种不同的方法，那么完成这件事有N = m[xm2x--xm n 种不同的方法分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题，区别在于:分类加法计数原理针対的是“分类”问题，其中各种方法相互独立,每一种方法只属于某一类,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存,某一步骤屮的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤，只有各个步骤都完成才算做完这件事应用两种原理解题：1•分清要完成的事情是什么；2.是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；3.有无特殊条件的限制二、讲解新课：1问题：问题1.从甲、乙、丙3名同学屮选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？分析：这个问题就是从甲、乙、丙3名同学小每次选取2名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题，共有6种不同的排法：甲乙甲丙乙甲乙丙丙甲丙乙，其中被取的对彖叫做元素解决这一问题可分两个步骤:第1步，确定参加上午活动的同学，从3人中任选1人, 有3种方法；笫2步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从余下的2人屮去选，于是有2种方法.根据分步乘法计数原理，在3 名同学屮选出2名，按照参加上午活动在前，参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共有3X2=6种，如图1.2—1所示.上午下午相应的排法甲V：■一乙甲乙-7丙甲丙乙V —甲乙甲■丙乙丙丙V —-甲丙甲7丙乙图1.2—1把上面问题屮被取的对象叫做元素，于是问题可叙述为：从3个不同的元素a, b , 0 中任取2个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？所有不同的排列是ab, ac, ba, be, ca, cb,共有3X2=6种.问题2.从1,2,3, 4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？分析：解决这个问题分三个步骤：第一步先确定左边的数，在4个字母中任取1个，有4种方法；第二步确定中间的数，从余下的3个数中取，有3种方法；第三步确定右边的数, 从余下的2个数中取，有2种方法由分步计数原理共有：4X3X2=24种不同的方法，用树型图排出，并写出所有的排列由此可写出所有的排法显然，从4个数字中，每次取出3个，按“百” “十” “个”位的顺序排成一列，就得到一个三位数.因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数.可以分三个步骤来解决这个问题：第1步，确定百位上的数字，在1 ,2,3, 4这4个数字中任取1个，有4种方法；第2步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后,十位上的数字只能从余下的3个从4个不同的元素a, b, c,数字中去取，有3种方法;第3步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下 的2个数字屮去取，有2种方法.根据分步乘法计数原理，从1 ,2,3, 4这4个不同的数字中，每次取出3个数 字，按“百” “十” “个”位的顺序排成一列，共有4X3X2 二 24种不同的排法，因而共可得到24个不同的三位数，如图1. 2-2所示.由此对写出所有的三位数:123, 124,132, 134,142, 143, 213, 214, 231, 234, 241, 243, 312, 314, 321, 324, 341, 342, 412,413, 421, 423, 431, 432 o同样，问题2可以归结为:d 屮任取3个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？ 所有不同排列是abc, abd, acb, acd, adb, adc, bac, bad, boa, bed, bda, bd c, cab, cad, cba, cbd, eda, ed b,dab , dac, dba, dbc, dca, de b. 共有4X3X2二24种.\34\4/ 2/2树形图如下2.排列的概念： 从力个不同元素中，任取加(m<n )个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从刃个不同元素屮取出m 个元素的一个排列 • • • • • • •说明：(1)排列的定义包插两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；(2)两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同3. 排列数的定义：从斤个不同元素屮，任取加(m< n)个元素的所有排列的个数叫做从〃个元素屮取出 加元素的排列数，用符号表示注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从比个不同元素中，任取加个元 素按照二底旳顺序排成一列,不是数；“排列数”是指从刃个不同元素中，任取加(m<w) 个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号只表示排列数，而不表示具体的排列4. 排列数公式及其推导：由的意义：假定有排好顺序的2个空位，从个元素勺卫2••…匕中任取2个元素去 填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列，反过来，任一个排列总可以由这 样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数盂.由分步计数原理完成上 述填空共有n{n -1)种填法，・・・A ； =n(n-1)由此 求可以按依次填3个空位来考虑，・・・崙"(斤-1)5-2), 求以按依次填m 个空位来考虑A ： = n(n 一l)(n 一2)・・・⑺_加+1), 排列数公式：A ： = 7?(72 - l)(n-2)--(n-m + l) (m, n e N\m <n)说明：(1)公式特征：第一个因数是72,后面每一个因数比它前面一个 少1,最后一个因数是/i-m + l,共有加个因数；(2)全排列：当n = m 时即舁个不同元素全部取出的一个排列•全排列数：= (叫做 n 的阶乘) 另外，我们规定0!=1 . 例1.用计算器计算：(1) A 加 (2) £1； (3) A ：D由(2 ) ( 3 )我们看到，A ；* = 那么，这个结果有没有一般性呢？即占,A ；；—川“ A ；M (n-m)l'排列数的另一个计算公式：第1位第2位第3位第in 位图 1(b5A： = n(n -1)(/? -2)-••(/:- m +1)加・1・3・・・(2〃—3)(2〃—1) n\1・3・5…（2料一1）=右边n{n - l)(n _ 2)…(n —加 + l)(n _ 加)…3 • 2 • 1/?! A：(/?- m)(« _ 加 _ 1) • • • 3 • 2 • 1(n-m)! A；；［：即A：二——(n-m)\例2.解方程：3A>2A；+1+6A；.解：由排列数公式得：3x(x-l)(x-2) = 2(x + l)x + 6x(x-l),T 兀n 3 ,・°・ 3(兀一1)(兀一2) = 2(兀 +1) + 6(x — 1),即3x~ — 17x +10 = 0,2解得兀=5或兀二一，・・・兀»3, HxeN\ :.原方程的解为兀=5・3例3.解不等式：& >6爲解：原不等式即一>6 -------------------- - -- ,(9 — Q! (11-x)!也就是一'—> ----------------- - ----------- ,化简得：X2-21X +104>0,(9-x)! (ll-x)(10-x)(9-x)!解得xv8或兀>13, XV2<x<9, I XG 7V\所以，原不等式的解集为{2,3,4,5,6,7}.例4.求证：（1）A；： = A；：• A；；］；：；（2）字1 = 1・3・5…（2〃一1）・2" • n!72丨证明：（1）A；・A；：［；：=—（n-m）! = n! = A；；9 A原式成立（n-m）!/ 、（2n）l2〃（2〃一1）・（2〃一2）・・・4・3212”・川2"・川25" —1)…2・1・(2〃—1)(2兀一3)…3 12“・川•••原式成立说明：（1）解含排列数的方程和不等式时要注意排列数中,且加这些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围；（2）公式船二斤⑺-1）（川-2）・・・（斤-加+ 1）常用來求值，特别是加‘均为己知时，公式A：二—,常用来证明或化简（n-m）!；(2)lxl!+2x2!+3x3!+・・・+ 〃x 川q/1 1 2 3 n — 1例 5 • 化 阳j: ⑴ ---- 1 --- 1 ---- --- ---------2! 3! 4! n\⑴解: 原式 =1! --------- 1 ---------- 1 ---------- ---- ------------------ =1 -------2! 2! 3! 3! 4! (H -1)! n\ n\⑵提示：由(n +1)! = (/? +1)n! = /?x H !+/?!,得HXH ! =+,说明:77 —1_ 1 1n\ (M-1)! n\。