基于MATLAB的鲍威尔法求极值问题
matlab计算多元函数极值极其极值点
matlab计算多元函数极值极其极值点《从简到繁，深入探讨matlab计算多元函数极值极其极值点》1. 引言在数学中，多元函数是一种以多个变量为自变量的函数，它与一元函数有着本质的区别。
而计算多元函数的极值及其极值点是数学分析中一个重要且复杂的问题。
本文将从简到繁地探讨如何利用matlab来计算多元函数的极值及其极值点，以帮助读者更深入地理解这一数学概念。
2. 多元函数的极值我们需要明确什么是多元函数的极值。
对于一个多元函数，如果在某一点处的函数值大于或小于其邻域内所有其他点处的函数值，那么这个点就是该多元函数的极大值点或极小值点。
而这个极值点所对应的函数值就是多元函数的极值。
在matlab中，可以通过最优化工具箱中的相关函数来计算多元函数的极值，比如fmincon函数用于求解约束极小化问题。
3. 计算多元函数的极值为了更具体地说明如何在matlab中计算多元函数的极值，我们以一个简单的二元函数为例：z = f(x, y) = x^2 + y^2。
我们希望找到这个函数的极值及其极值点。
我们需要定义这个函数并选定初始点，然后利用matlab中的优化函数进行计算。
具体的代码如下：```matlab% 定义目标函数fun = @(x) x(1).^2 + x(2).^2;% 设定初始点x0 = [1, 2];% 求解极小值[x, fval] = fmincon(fun, x0, A, b, Aeq, beq, lb, ub, nonlcon);```在这段代码中，我们首先利用@(x)定义了目标函数f(x, y) = x^2 + y^2，然后设定了初始点x0 = [1, 2]。
最后利用fmincon函数计算了函数的极小值x和其对应的函数值fval。
通过这个简单的例子，读者可以初步了解如何在matlab中计算多元函数的极值。
4. 深入探讨除了简单的二元函数外，实际应用中常常遇到更复杂的多元函数，这时利用matlab计算极值就显得尤为重要。
(完整版)实验五用matlab求二元函数的极值
实验五 用matlab 求二元函数的极值1．计算二元函数的极值对于二元函数的极值问题,根据二元函数极值的必要和充分条件,可分为以下几个步骤: 步骤1.定义二元函数),(y x f z =.步骤2.求解方程组0),(,0),(==y x f y x f y x ,得到驻点.步骤3.对于每一个驻点),(00y x ,求出二阶偏导数22222,,.z z z A B C x x y y ∂∂∂===∂∂∂∂ 步骤4. 对于每一个驻点),(00y x ,计算判别式2B AC -,如果02>-B AC ,则该驻点是极值点,当0>A 为极小值, 0<A 为极大值;如果02=-B AC ,需进一步判断此驻点是否为极值点; 如果02<-B AC 则该驻点不是极值点.2．计算二元函数在区域D 内的最大值和最小值设函数),(y x f z =在有界区域D 上连续，则),(y x f 在D 上必定有最大值和最小值。
求),(y x f 在D 上的最大值和最小值的一般步骤为：步骤1. 计算),(y x f 在D 内所有驻点处的函数值；步骤2. 计算),(y x f 在D 的各个边界线上的最大值和最小值；步骤3. 将上述各函数值进行比较，最终确定出在D 内的最大值和最小值。
3．函数求偏导数的MATLAB 命令MATLAB 中主要用diff 求函数的偏导数,用jacobian 求Jacobian 矩阵。
可以用help diff, help jacobian 查阅有关这些命令的详细信息例1 求函数32824-+-=y xy x z 的极值点和极值. 首先用diff 命令求z 关于x,y 的偏导数>>clear; syms x y;>>z=x^4-8*x*y+2*y^2-3;>>diff(z,x)>>diff(z,y)结果为ans =4*x^3-8*yans =-8*x+4*y即.48,843yxyzyxxz+-=∂∂-=∂∂再求解方程，求得各驻点的坐标。
利用MATLAB求多元函数的极值(2)
利用MATLAB求多元函数的极值分两种情况，（1）无约束条件；（2）有约束条件。
（2）有约束条件下求极小值的方法:假设多变量非线性函数的数学模型为min f(x)c(x)<=0ceq(x)=0A·x<=bAeq·x<=x<=beqlb<=x<=ubX, b,beq,lb,ub为矢量,A,Aeq为矩阵，c(X),ceq（X)为函数（可非线性）。
命令格式：x = fmincon(fun,x0,A,b)x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq)x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)[x,fval] = fmincon(...)[x,fval,exitflag] = fmincon(...)[x,fval,exitflag,output] = fmincon(...)[x,fval,exitflag,output,lambda] = fmincon(...)[x,fval,exitflag,output,lambda,grad] = fmincon(...) [x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian]= fmincon(...) 例如求函数满足条件的极小值解：首先,编制M-file文件function f myfun(x)f=-x(1)*x(2)*x(3)然后重写约束条件为两个小于或等于一个常数的不等式,因为约束条件是线性的，用矩阵表示为Ax<=b 其中；其次,猜测估计提供一个起点,调用优化程序。
x0 = [10; 10; 10]; % 猜测可能的结果作为起点[x,fval] = fmincon(@myfun,x0,A,b)x =24.000012.000012.0000fval =-3.4560e+03A*x-b=-72当x1=24，x2=12，x3=12，时函数有极小值-3.4560e+03。
matlab计算两个极值点的方法
matlab计算两个极值点的方法摘要：一、引言二、Matlab计算极值点的原理1.导数法2.二次规划法3.梯度下降法三、具体操作步骤1.导入数据2.计算导数3.寻找极值点四、实例演示1.简单的二维函数2.复杂的三维函数五、总结与展望正文：一、引言在工程实践中，经常会遇到需要求解极值点的问题。
Matlab作为一款强大的数学计算软件，为我们提供了多种求解极值点的方法。
本文将详细介绍如何在Matlab中计算两个极值点，以及具体的操作步骤。
二、Matlab计算极值点的原理1.导数法求解极值点的一种常用方法是利用函数的导数。
Matlab中提供了求导函数`fprintf`，可以方便地对函数进行求导。
找到函数的零点，即为极值点。
2.二次规划法二次规划法是一种求解无约束优化问题的方法。
通过构建一个目标函数和相应的约束条件，利用Matlab中的优化工具箱求解。
找到目标函数的极值点。
3.梯度下降法梯度下降法是一种迭代算法，通过不断更新变量值，使目标函数值逐步逼近极值。
Matlab中的梯度下降函数`fminbnd`可以用于求解极值点。
三、具体操作步骤1.导入数据首先，我们需要导入所需的函数和数据。
例如，我们可以使用`load`函数导入一个已经保存的矩阵或使用`x=1:10`创建一个区间数据。
2.计算导数对于简单的函数，我们可以直接使用`fprintf`函数求导。
例如，假设我们有函数`f(x)=x^3-6x^2+9`，可以计算其导数`df(x)=3x^2-12x`。
3.寻找极值点利用Matlab中的`zeros`函数找到导数为零的点，这些点即为极值点。
例如，求解方程`3x^2-12x=0`，得到极值点x=0和x=4。
4.对于复杂函数或三维函数，可以使用`fminbnd`函数求解极值点。
首先，定义目标函数和约束条件。
然后，调用`fminbnd`函数，得到极值点。
四、实例演示1.简单的二维函数假设我们有函数`f(x,y)=x^2+y^2-6x-8y+10`，在Matlab中可以按照以下步骤求解极值点：（1）计算导数：`df(x,y)=2x-6+2y-8`（2）寻找极值点：`zeros(2*10)`（3）求解极值点：使用`fminbnd`函数，设置初始猜测值`x0=y0=1`，得到极值点约为（2.24，3.24）。
matlab计算函数极值,如何用MATLAB求函数的极值点和最大值
matlab计算函数极值,如何⽤MATLAB求函数的极值点和最⼤值两种⽅法：1、求导的⽅法：syms x y；>>y=x^3+x^2+1>>diff(y)ans =3*x^2 + 2*x>>solve(ans)ans=-2/3极值有两点。
同时也是最值；2、直接⽤最⼩值函数：求最⼤值，既求-y的最⼩值：>>f=@(x)(-x^3-x^2-1)f =@(x)(-x^3-x^2-1)>>x=fminunc(f,-3,3)%在-3；-3范围内找Warning: Gradient must be provided fortrust-region method; using line-search methodinstead. > In fminunc at354Optimization terminated: relative infinity-norm of gradient lessthan options.TolFun.x =-0.6667>> f(x)ans =-1.1481在规定范围内的最⼤值是1.1481由于函数的局限性，求出的极值可能是局部最⼩(⼤)值。
求全局最值要⽤遗传算法。
例⼦：syms xf=(200+5*x)*(0.65-x*0.01)-x*0.45;s=diff(f);%⼀阶导数s2=diff(f,2);%⼆阶导数h=double(solve(s));%⼀阶导数为零的点可能就是极值点，注意是可能，详情请见⾼数课本fori=1:length(h)ifsubs(s2,x,h(i))<0disp(['函数在' num2str(h(i))'处取得极⼤值，极⼤值为' num2str(subs(f,x,h(i)))])elseifsubs(s2,x,h(i))>0disp(['函数在' num2str(h(i))'处取得极⼩值，极⼩值为'num2str(subs(f,x,h(i)))])elsedisp(['函数在' num2str(h(i))'处⼆阶导数也为0，故在该点处函数可能有极⼤值、极⼩值或⽆极值'])%%%详情见⾼数课本endend。
matlab实验鲍威尔法
实验报告实验名称：鲍威尔法院（系）：机电学院专业班级：机械制造及其自动化姓名：学号：2013年5 月13 日实验一：鲍威尔法实验日期：2013年5 月13 日一、实验目的了解MATLAB的基本运用了解MATLB在优化中的使用二、实验原理鲍威尔法也是一种共轭法，利用函数值来构造共轭方向，同时引入坐标轮换的概念，利用搜索前后两个点之间的连线形成新的共轭方向，替换旧的共轭方向。
三、实验内容鲍威尔法程序：x0=[12;10];xk=x0;ie=10^(-7);ae=1;%初始化搜索方向d=zeros(2,2);d(:,1)=[1;0];d(:,2)=[0;1];Inc=zeros(2,1);k=0;MLN=100;%迭代求解while (ae>ie&&k<MLN)syms x1syms x2xktemp=xk;fun1=fun(x1,x2);fun1=inline(fun1);f0=feval(fun1,xk(1),xk(2));F0=f0;if k>0F0=eval(F0);end%沿d1方向进行一维搜索syms asyms x1;syms x2;xk1=xk+a*d(:,1);x1=xk1(1);x2=xk1(2);fun1=fun(x1,x2);fxa=diff(fun1,'a');a=solve(fxa);xk1=inline(xk1);xk1=feval(xk1,a);xk1(1)=eval(xk1(1));xk1(2)=eval(xk1(2));syms x1;syms x2;fun1=fun(x1,x2);fun1=inline(fun1);f1=feval(fun1,xk1(1),xk1(2)); f1=eval(f1);Inc(1)=f0-f1;%沿d2方向进行搜索syms a;syms x1;syms x2;xk2=xk1+a*d(:,2);x1=xk2(1);x2=xk2(2);fun1=fun(x1,x2);fxa=diff(fun1,'a');a=solve(fxa);xk2=inline(xk2);xk2=feval(xk2,a);xk2(1)=eval(xk2(1));xk2(2)=eval(xk2(2));syms x1;syms x2;fun1=fun(x1,x2);fun1=inline(fun1);f2=feval(fun1,xk2(1),xk2(2));f2=eval(f2);F2=f2;Inc(2)=f1-f2;[Incm,row]=max(Inc);x3=2*xk2-xk;%计算反射点syms x1;syms x2;fun1=fun(x1,x2);fun1=inline(fun1);f3=feval(fun1,x3(1),x3(2));f3=eval(f3);F3=f3;temp1=(F0-2*F2+F3)*(F0-F2-Incm)^2; temp2=0.5*Incm*(F0-F3)^2;%判断是否更换搜索方向if (F3<F0&&temp1<temp2)syms a;syms x1;syms x2;d(:,row)=xk2-xk;xk=xk2+a*d(:,row);x1=xk(1);x2=xk(2);fun1=fun(x1,x2);fxa=diff(fun1,'a');a=solve(fxa);xk=inline(xk);xk=feval(xk,a);%不更换搜索方向else if F2<F3xk=xk2;elsexk=x3;endendxkerror=eval(xk2-xktemp); ae=norm(xkerror);k=k+1;endx=eval(xk)函数程序：function [f]=fun(x1,x2)f=2*x1^2+4*x1*x2+x2^2执行结果：x =四、实验小结通过本实验了解了了matlab的基本操作方法，了解鲍威尔法的原理与基本运用。
matlab极值点
MATLAB极值点一、引言MATLAB是一种强大的数学建模和仿真软件，广泛应用于科学研究、工程设计和数据分析等领域。
在MATLAB中，寻找极值点是一项常见的任务，它对于优化问题的求解和函数的分析具有重要意义。
本文将详细介绍MATLAB中寻找极值点的方法和应用。
二、MATLAB中的极值点寻找方法2.1 梯度下降法梯度下降法是一种常用的优化算法，它通过迭代的方式逐步逼近函数的极小值点。
在MATLAB中，可以使用fminunc函数来实现梯度下降法。
该函数需要提供一个目标函数和初始点，然后通过迭代计算来寻找极小值点。
2.2 全局优化方法全局优化方法是一种寻找函数全局极小值点的算法。
MATLAB中提供了fmincon函数来实现全局优化。
该函数需要提供一个目标函数和约束条件，然后通过迭代计算来寻找全局极小值点。
2.3 网格搜索法网格搜索法是一种简单但有效的寻找函数极值点的方法。
在MATLAB中，可以使用gridsearch函数来实现网格搜索法。
该函数需要提供一个目标函数、搜索范围和步长，然后通过遍历搜索来寻找极值点。
三、MATLAB中极值点的应用3.1 函数优化在许多实际问题中，需要寻找一个函数的最优解。
例如，在工程设计中，需要找到一个函数的最小值点来满足设计要求。
MATLAB中的优化工具箱提供了丰富的函数和方法来解决这类问题。
3.2 数据分析在数据分析中，寻找极值点可以帮助我们理解数据的特征和趋势。
例如，我们可以通过寻找时间序列数据的极大值点来找到数据的峰值。
MATLAB中的统计工具箱提供了各种函数和方法来进行数据分析和极值点的寻找。
3.3 图像处理在图像处理中，寻找图像的极值点可以帮助我们定位图像的边缘和特征点。
例如，在边缘检测中，我们可以通过寻找图像的极小值点来找到图像的边缘。
MATLAB中的图像处理工具箱提供了各种函数和方法来进行图像处理和极值点的寻找。
四、总结本文介绍了MATLAB中寻找极值点的方法和应用。
用Matlab软件求多元函数的偏导数和极值
数学实验五 用Matlab 软件求多元函数的偏导数和极值一、多元函数的偏导数1．调用格式一：diff('多元函数','自变量',n)其中，n 为所求偏导数的阶数．例1 已知y x z 2cos 2=，求x z ∂∂、x y z ∂∂∂2和22y z ∂∂． 解 打开Ｍ文件编辑窗口，在其中输入下面命令集：pzpx=diff('x^2*cos(2*y)','x')p2zpypx=diff(pzpx,'y')p2zpy2=diff('x^2*cos(2*y)','y',2)取名为exa9保存，再在命令窗口中输入命令exa9，程序运行结果如下：pzpx =2*x*cos(2*y)p2zpypx =-4*x*sin(2*y)p2zpy2 =-4*x^2*cos(2*y)即y x x z 2cos 2=∂∂，y x x y z 2sin 42−=∂∂∂，y x yz 2cos 4222−=∂∂． 2．调用格式二：syms x y z …diff(f,自变量,n)例2 已知)5sin(32z y x u +−=，求x u ∂∂、x y z u ∂∂∂∂3和33z u ∂∂． 解 在命令行中依次输入：syms x y zu=sin(x^2-y^3+5*z);ux=diff(u,x);uxy=diff(ux,y);uxyz=diff(uxy,z);uz3=diff(u,z,3);ux,uxyz,uz3运行结果如下：ux =2*cos(x^2-y^3+5*z)*xuxyz =30*cos(x^2-y^3+5*z)*y^2*xuz3 =-125*cos(x^2-y^3+5*z)即)5cos(232z y x x xu +−=∂∂，)5cos(303223z y x xy x y z u +−=∂∂∂∂， )5cos(1253233z y x zu +−−=∂∂． 二、隐函数的导数在Matlab 中没有直接求隐函数导数的命令，但可调用Maple 中求隐函数导数的命令，调用格式如下：maple('implicitdiff(f(u,x,y,z,…，)=0,u,x)')例3 求由多元方程xyz z y x =++222所确定的隐函数dxz ∂． 解 在命令行中输入：pzpx=maple('implicitdiff(x^2+y^2+z^2-x*y*z=0,z,x)')运行结果是：pzpx =(2*x-y*z)/(-2*z+x*y)即 zxy yz x x z 22−−=∂∂． 三、多元函数的极（或最）值在Matlab 中同样有求多元函数的极（或最）小值的函数，但由于多元函数的形式比较复杂，不同情况用到不同的Matlab 函数．若要求多元函数u 在某一区域的极（或最）大值，可转化为求u −在该区域内的极（或最）小值．1．非线性无约束情形求极（或最）小值点或极（或最）小值的调用格式是：[x,fval]=fminsearch(‘f ’,x0)f 是被最小化的目标函数名，x0是求解的初始值向量．例４ 求二元函数2331042),(y xy xy x y x f +−+=的最值点和最值．解 打开Ｍ文件编辑窗口，在其中输入下面命令集：%必须对自变量进行转化x=x(1)，y=x(2)[Xmin,fmin]=fminsearch('2*x(1)^3+4*x(1)*x(2)^3-10*x(1)*x(2)+x(2)^2',[0,0]);[Xmax,Fmin]=fminsearch('-2*x(1)^3-4*x(1)*x(2)^3+10*x(1)*x(2)-x(2)^2',[0,0]);fmax=-Fmin;Xmin,fminXmax,fmax取名为exa10保存，再在命令窗口中输入命令exa10，程序运行结果如下：Xmin =1.0016 0.8335fmin =-3.3241Xmax =-1.0000 1.0000fmax =2．非线性有约束情形非线性有约束优化问题的数学模型如下：式中，x,b,beq,lb 和ub 是向量，A 和Aeq 是矩阵，c(x)和ceq(x)为函数，返回标量．f(x)，c(x)和ceq(x)可以是非线性函数．求极（或最）小值点或极（或最）小值的调用格式如下：[x,fval]=fmincon('fun',x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)nonlcon 参数计算非线性不等式约束c(x)<=0和非线性等式约束ceq(x)=0．例5 求表面积为6m 2的体积最大的长方体体积．解 设长方体的长、宽、高分别为x1、x2、x3，则f(x)=-x(1)*x(2)*x(3)，S.t x(1)*x(2)+x(2)*x(3)+x(3)*x(1)-3=0，x(i)>0,i=1,2,3．⑴ 建立函数文件fun1打开Ｍ文件编辑窗口，在其中输入下面命令集：function F=fun1(x) %函数文件必须是function 开头F=-x(1)*x(2)*x(3);单击“保存”按钮，自动取名为fun1，再击保存．⑵ 建立非线性约束函数文件yceqfunction [c,ceq]=yceq(x)c=x(1)*x(2)+x(2)*x(3)+x(3)*x(1)-3;ceq=[];保存方法同上，自动取名为yceq ，再击保存．⑶ 编制主程序：打开Ｍ文件编辑窗口，在其中输入下面命令集：x0=[3;3;3]; %给长宽高一个初值A=[];b=[];Aeq=[];beq=[];lb=[0,0,0];ub=[];[xmax,fmin]=fmincon('fun1',x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,'yceq'); %函数要加单引号Vmax=-fmin;xmax,Vmax取名为exa11保存，再在命令窗口中输入命令exa11，程序运行结果如下：xmax =1.00001.00001.0000Vmax =ubx lb beqx Aeq bx A x ceq x c x f Min ≤≤≤⋅≤⋅=≤0)(0)()(四、上机实验1．用help命令查看函数diff，fminsearch和fmincon等的用法．2．上机验证上面各例．3．作相关小节练习中多元函数的偏导数，极（或最）值．。
Matlab中如何求一个序列的极值
Matlab中如何求一个序列的极值？我们知道，在Matlab中有专门求序列最大值和最小值的函数，分别是Max 和Min，但是有时候我们不满足于求整个序列的最值，而是对序列的极值，也就是局部的最值感兴趣。
对于解析函数，这个比较简单，只要令一阶倒数为零求出对应的自变量就行了。
然而对于离散的序列，这种方法显然不可行，一个比较费劲或者说比较笨的方法就是手工查找，仔细考察序列的每一个值，用手工的方法将极值逐一挑出来。
然而对于比较长的序列，这种方法显然不可行。
我们期望有一个自动判断序列中某个点是极值点的函数，把这个艰巨的任务交给Matlab，让Matlab帮我们去找，这样可以节省我们宝贵的时间，把更多的时间放在更有意义的事情上面。
假设我们有一个长度为N的序列v（N，1），下面就是Matlab中实现求v的极值点的命令，其中用到了逻辑数组下标的方法：N = 100;v = rand (N,1);t = 0:length(v)-1;Lmax = diff(sign(diff(v)))== -2; % logic vector for the local max value Lmin = diff(sign(diff(v)))== 2; % logic vector for the local min value % match the logic vector to the original vecor to have the same lengthLmax = [false; Lmax; false];Lmin = [false; Lmin; false];tmax = t (Lmax); % locations of the local max elementstmin = t (Lmin); % locations of the local min elementsvmax = v (Lmax); % values of the local max elementsvmin = v (Lmin); % values of the local min elements% plot them on a figureplot(t,v);xlabel('t'); ylabel('v');hold on;plot(tmax, vmax, 'r+');plot(tmin,vmin, 'g+');hold off;结果如图所示：红色十字代表极大值，绿色十字代表极小值。
matlab求曲线极值程序,matlab函数求极值matlab函数求极值.ppt
matlab求曲线极值程序,matlab函数求极值matlab函数求极值.pptmatlab函数求极值matlab函数求极值* * 函数的极值 1、⼀元函数的极值 函数命令：fminbnd 调⽤格式：[x,feval,exitflag,output]=fminbnd(fun,x1,x2,options) %求fun在区间(x1,x2)上的极值. 返回值： x:函数fun在(x1,x2)内的极值点 feval:求得函数的极值 exitflag: exitflag>0,函数收敛于解x处 exitflag=0,已达最⼤迭代次数 exiflag<0,函数在计算区间内不收敛. 例1：求函数 在 上的极⼩值. fun=inline('(x+pi)*exp(abs(sin(x+pi)))')[x,feval,exitflag,output]=fminbnd(fun,-pi/2,pi/2) fun = Inline function: fun(x) = (x+pi)*exp(abs(sin(x+pi))) x = -1.2999e-005 feval = 3.1416 exitflag = 1 output = iterations: 21 funcCount: 22 algorithm: 'golden section search, parabolic interpolation' message: [1x112 char] xx=-pi/2:pi/200:pi/2; yxx=(xx+pi).*exp(abs(sin(xx+pi))); plot(xx,yxx) xlabel('x'),grid on % 可以⽤命令[xx,yy]=ginput(1) 从局部图上取出极值点及相应函数值 例2：求解函数humps的极⼩值. type humps %humps 是⼀个Matlab提供的M 函数⽂件 function [out1,out2] = humps(x) %HUMPS A function used by QUADDEMO, ZERODEMO and FPLOTDEMO. % Y = HUMPS(X) is a function with strong maxima near x = .3 % and x = .9. % % [X,Y] = HUMPS(X) also returns X. With no input arguments, % HUMPS uses X = 0:.05:1. % % Example: % plot(humps) % % See QUADDEMO, ZERODEMO and FPLOTDEMO. % Copyright 1984-2002 The MathWorks, Inc. % $Revision: 5.8 $ $Date: 2002/04/15 03:34:07 $ if nargin==0, x = 0:.05:1; end y = 1 ./ ((x-.3).^2 + .01) + 1 ./ ((x-.9).^2 + .04) - 6; if nargout==2, out1 = x; out2 = y; else out1 = y; end[x,y]=fminbnd(@humps,0.5,0.8) x = 0.6370 y = 11.2528 xx=0:0.001:2; yy=humps(xx); plot(xx,yy) 例3：求 在(0,1)内的极⼩值. type myfunmin1 %显⽰M⽂件内容 function f=myfunmin1(x) f=x.^x; [x,y]=fminbnd(@myfunmin1,0,1) x = 0.3679 y =0.6922 xx=0:0.001:1; yy=myfunmin1(xx); plot(xx,yy) [x,y]=fminbnd('x.^x',0,1) x = 0.3679 y = 0.6922 2、 多元函数的极值 函数命令：fminsearch 调⽤格式：[x,feval,exitflag,output]=fminsearch(fun,x0,optipons) % 求在x0附近的极值 例4：求 的极⼩值. type myfunmin2 function f=myfunmin2(v) x=v(1); y=v(2); f=100*(y-x.^2).^2+(1-x).^2;[sx,sfeval]=fminsearch(@myfunmin2,[1 1]) sx。
MATLAB求函数零点与极值
MATLAB求函数零点与极值
1. roots函数
针对多项式求零点(详见MATLAB多项式及多项式拟合)
2. fzero函数
返回⼀元函数在某个区间内的的零点.
x0 = fzero(@(x)x.^2-3*x-4,[1,5]);
只能求区间⾥⾯的⼀个零点，并且要求在给定区间端点函数值异号，所以使⽤之前应该先作图，得出单个零点分布的区间，然后使⽤该函数求零点.若有多个零点，则需多次使⽤该函数.
如需求上例中的全部零点，先作图
fplot(@(x)x.^2-3*x-4,[-10,10]);
得知两个零点的分布区间，然后两次使⽤fzero函数求对应区间的零点.
x1 = fzero(@(x)x.^2-3*x-4,[-2,0]);
x2 = fzero(@(x)x.^2-3*x-4,[2,6]);
3. solve函数
求⼀元函数(⽅程)的零点.
x0 = solve('x^2-3*x-4=0','x');
注意⽅程需包含’=0’部分，另外，不建议直接将⽅程写在函数solve的参数部分，可以⽤符号运算的⽅法.
4. fminbnd函数
求⼀元函数在某个区间内的最⼩值和对应的最⼩值点.
[x0,fmin]=fminbnd(@(x)x+1/(x+1),-0.5,2);
求极值与极值点之前须估计极值点的区间，保证在该区间没有使得函数值趋于⽆穷的点.。
matlab极值点
matlab极值点【最新版】目录1.MATLAB 简介2.极值点的概念3.MATLAB 中求解极值点的方法4.应用实例正文一、MATLAB 简介MATLAB（Matrix Laboratory）是一款强大的数学软件，广泛应用于科学计算、数据分析、可视化等领域。
它基于矩阵运算，可以方便地处理大量数据，同时提供了丰富的工具箱和函数，为用户提供了极大的便利。
二、极值点的概念极值点，又称为临界点，是指函数在某一点处取得最大值或最小值的点。
在数学、物理等科学领域中，寻找极值点是研究函数性质的一个重要任务。
三、MATLAB 中求解极值点的方法在 MATLAB 中，有多种方法可以求解极值点。
这里我们介绍两种常用的方法：fsolve 函数和 fmincon 函数。
1.fsolve 函数fsolve 函数可以用于求解非线性方程组或方程的根。
对于求解极值点问题，我们可以将极值点的条件转化为方程或方程组，然后使用 fsolve 函数求解。
例如，对于函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x，我们可以通过求解 f(x)= 0 得到极值点。
使用 fsolve 函数，代码如下：```matlabf = @(x) x^3 - 6*x^2 + 9*x;x0 = -1;[x, fval] = fsolve(f, x0);```2.fmincon 函数fmincon 函数可以用于求解带约束的最小值问题。
在求解极值点时，我们可以将极值点的条件转化为优化问题，并添加相应的约束条件，然后使用 fmincon 函数求解。
例如，对于函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x，我们可以通过求解 f(x) 的最小值得到极值点。
使用 fmincon 函数，代码如下：```matlabf = @(x) x^3 - 6*x^2 + 9*x;A = [1, -6, 9];b = [0, 0, 0];Aeq = [];beq = [];lb = [];ub = [];[x, fval] = fmincon(f, [], [], A, b, Aeq, beq, lb, ub);```四、应用实例假设我们要研究函数 g(x) = x^4 - 4x^3 + 3x^2 在区间 [0, 10] 上的极值点。
matlab计算函数最大值及最小值
matlab计算函数最大值及最小值在MATLAB中，有几种方法可以计算一个函数的最大值和最小值。
下面将介绍几种常用的方法。
1.通过绘制函数图像找到最大值和最小值：首先，可以通过绘制函数图像来观察函数的最大值和最小值所在的位置。
可以使用plot函数来绘制函数的图像。
例如，我们想计算函数y=x^3-2x的最大值和最小值：```x=-10:0.1:10;y=x.^3-2*x;plot(x, y)```通过观察图像，可以确定函数的最大值和最小值的位置。
2. 使用fminbnd函数找到函数的最小值：MATLAB中的fminbnd函数可以用于寻找函数的最小值。
该函数使用了黄金分割算法。
例如，我们想计算函数y=x^3-2x的最小值：```[x, y] = fminbnd(f, -10, 10);```这段代码将返回函数的最小值y以及对应的x值。
3. 使用fmincon函数找到函数的最小值（约束最优化）：如果函数有特定的约束条件，可以使用fmincon函数来计算函数的最小值。
fmincon函数基于无约束的最优化算法，并添加了约束条件。
例如，我们想计算函数y=x^2的最小值，但限制x的范围在0到1之间：```x0=0.5;%初始解A=[];b=[];Aeq = [];beq = [];lb = 0; % x的下限ub = 1; % x的上限[x, y] = fmincon(f, x0, A, b, Aeq, beq, lb, ub);```这段代码将返回函数的最小值y以及对应的x值。
4. 使用max和min函数找到向量或矩阵的最大值和最小值：如果需要计算向量或矩阵的最大值和最小值，可以使用MATLAB中的max和min函数。
例如，计算向量x=[1,2,3,4,5]的最大值和最小值：```x=[1,2,3,4,5];max_value = max(x);min_value = min(x);```这段代码将返回向量x的最大值和最小值。
用MATLAB求极值
用MATLAB求极值灵活的运用MATLAB的计算功能，可以很容易地求得函数的极值。
例3.6.1 求223441x xyx x++=++的极值解首先建立函数关系：s yms s ↙y=(3*x^2+4*x+4)/( x^2+x+1); ↙然后求函数的驻点：dy=diff(y); ↙xz=solve(dy) ↙xz=[0] [-2]知道函数有两个驻点x1=0和x2=-2，考察函数在驻点处二阶导数的正负情况：d2y=diff(y,2); ↙z1=limit(d2y,x,0) ↙z1=-2z2=limit(d2y,x,-2) ↙z2=2/9于是知在x1=0处二阶导数的值为z1=-2,小于0，函数有极大值；在x2=-2处二阶导数的值为z2=2/9，大于0，函数有极小值。
如果需要，可顺便求出极值点处的函数值：y1=limit(y,x,0) ↙y1=4y2=limit(y,x,-2) ↙y2=8/3事实上，如果知道了一个函数的图形，则它的极值情况和许多其它特性是一目了然的。
而借助MA TLAB的作图功能，我们很容易做到这一点。
例3.6.2画出上例中函数的图形解syms x ↙y=(3*x^2+4*x+4)/( x^2+x+1); ↙得到如下图形ezplot(y) ↙如何用MATLAB求函数的极值点和最大值比如说y=x^3+x^2+1，怎样用matlab来算它的极值和最大值？求极值：syms x y>> y=x^3+x^2+1>> diff(y) %求导ans =3*x^2 + 2*x>> solve(ans)%求导函数为零的点ans =-2/3极值有两点。
求最大值，既求-y的最小值：>> f=@(x)(-x^3-x^2-1)f =@(x)(-x^3-x^2-1)>> x=fminunc(f,-3,3)% 在-3；-3范围内找Warning: Gradient must be provided for trust-region method;using line-search method instead.> In fminunc at 354Optimization terminated: relative infinity-norm of gradient less than options.TolFun.x =-0.6667>> f(x)ans =-1.1481在规定范围内的最大值是1.1481由于函数的局限性，求出的极值可能是局部最小（大）值。
matlab计算函数最大值及最小值
matlab计算函数最大值及最小值MATLAB是一种集成开发环境(IDE)，用于计算、数据分析、数据可视化和数学模型。
它是专为工程和科学计算而设计的，可以帮助用户轻松地进行复杂数学计算和可视化。
在MATLAB中，计算函数的最大值和最小值是一个非常基本的操作，本文将详细介绍如何在MATLAB中计算函数的最大值和最小值。
步骤一：打开MATLAB首先，打开MATLAB工作环境。
这可以通过在计算机的搜索栏中输入“MATLAB”并单击“打开”按钮来完成。
如果计算机上没有安装MATLAB，则需要从Mathworks网站下载和安装MATLAB。
步骤二：选择并输入要计算的函数在MATLAB中，可以通过符号表达式或函数句柄来表示一个函数。
例如，我们要计算函数y = 2x^2 - 3x + 4在取值范围为[-2,2]时的最大值和最小值。
为了实现这个目标，可以使用MATLAB自带的fplot 函数。
输入以下命令：fplot(@(x)2*x^2-3*x+4,[-2,2])命令中的“@”符号用于定义一个匿名函数，也可以使用符号表达式或函数句柄表示要计算的函数。
[-2,2]则是要计算函数的取值范围。
运行这个命令，MATLAB会生成y值随x变化的图表。
步骤三：计算函数的最大值和最小值在MATLAB中，可以使用max和min函数来计算函数的最大值和最小值。
例如，我们可以使用以下命令计算函数y = 2x^2 - 3x + 4在取值范围为[-2,2]时的最大值和最小值：syms x y(x)y(x)=2*x^2-3*x+4;xmax=fminbnd(-y,-2,2); #最大值xmin=fminbnd(y,-2,2); #最小值运行这些命令，MATLAB会输出函数的最大值和最小值。
至此，我们完成了计算函数的最大值和最小值的过程。
以上步骤也可以通过matlab自带的3D画图工具箱实现更快捷的展示方式。
这只是MATLAB功能的一部分，MATLAB的强大功能可以帮助用户在数学计算、数据分析和数据可视化方面取得更好的成果。
MATLAB鲍威尔算法
MATLAB鲍威尔算法鲍威尔算法（Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno, BFGS）是用于非线性优化问题的一种数值优化算法。
它是一种拥有全局收敛性和快速收敛速度的准牛顿法。
BFGS算法的基本思想是通过近似二次函数来逼近原函数的局部结构，并利用此近似函数来求解极值。
它通过建立二次模型来估计目标函数的海森矩阵的逆（或近似逆），然后使用逆海森矩阵来更新方向。
算法的基本步骤如下：1.初始化参数：给定初始点x_0，设定精度要求ε，设置迭代次数k=0，以及初始H_0=I。
2.计算梯度：计算目标函数在当前点x_k的梯度g_k。
3.求解方向：计算方向d_k=-H_k*g_k，其中H_k表示当前的逆海森矩阵。
4.一维：在方向上进行一维线，求解最优步长α_k。
5.更新参数：更新参数x_{k+1}=x_k+α_k*d_k。
6.判断停止条件：如果，g_{k+1}，<ε，则停止迭代。
7. 更新逆海森矩阵：更新逆海森矩阵H_{k+1} = H_k + \frac{y_k* y_k^T}{y_k^T * s_k} - \frac{H_k * s_k * s_k^T * H_k}{s_k^T *H_k * s_k}，其中y_k = g_{k+1} - g_k，s_k = x_{k+1} - x_k。
8.如果迭代次数k超过预设迭代次数或者步长α_k小于预设步长，则停止迭代。
BFGS算法通过逆海森矩阵的更新来逼近目标函数的局部曲率，从而实现更快的收敛速度。
在每一次迭代中，BFGS算法更新逆海森矩阵，使其逐渐收敛到目标函数的真实海森矩阵的逆。
由于逆海森矩阵的计算复杂度为O(n^2)，其中n为变量的维度，BFGS算法在高维问题中的计算效率较低。
需要注意的是，BFGS算法只适用于无约束的非线性优化问题。
对于带有线性等式约束或者线性不等式约束的优化问题，需要使用相应的约束处理方法来进行求解。
总之，BFGS算法是一种拥有全局收敛性和快速收敛速度的准牛顿法。
(整理)用MATLAB求极值
用MATLAB求极值灵活的运用MATLAB的计算功能，可以很容易地求得函数的极值。
例3.6.1 求223441x xyx x++=++的极值解首先建立函数关系：s yms s ↙y=(3*x^2+4*x+4)/( x^2+x+1); ↙然后求函数的驻点：dy=diff(y); ↙xz=solve(dy) ↙xz=[0] [-2]知道函数有两个驻点x1=0和x2=-2，考察函数在驻点处二阶导数的正负情况：d2y=diff(y,2); ↙z1=limit(d2y,x,0) ↙z1=-2z2=limit(d2y,x,-2) ↙z2=2/9于是知在x1=0处二阶导数的值为z1=-2,小于0，函数有极大值；在x2=-2处二阶导数的值为z2=2/9，大于0，函数有极小值。
如果需要，可顺便求出极值点处的函数值：y1=limit(y,x,0) ↙y1=4y2=limit(y,x,-2) ↙y2=8/3事实上，如果知道了一个函数的图形，则它的极值情况和许多其它特性是一目了然的。
而借助MA TLAB的作图功能，我们很容易做到这一点。
例3.6.2画出上例中函数的图形解syms x ↙y=(3*x^2+4*x+4)/( x^2+x+1); ↙得到如下图形ezplot(y) ↙如何用MATLAB求函数的极值点和最大值比如说y=x^3+x^2+1，怎样用matlab来算它的极值和最大值？求极值：syms x y>> y=x^3+x^2+1>> diff(y) %求导ans =3*x^2 + 2*x>> solve(ans)%求导函数为零的点ans =-2/3极值有两点。
求最大值，既求-y的最小值：>> f=@(x)(-x^3-x^2-1)f =@(x)(-x^3-x^2-1)>> x=fminunc(f,-3,3)% 在-3；-3范围内找Warning: Gradient must be provided for trust-region method;using line-search method instead.> In fminunc at 354Optimization terminated: relative infinity-norm of gradient less than options.TolFun.x =-0.6667>> f(x)ans =-1.1481在规定范围内的最大值是1.1481由于函数的局限性，求出的极值可能是局部最小（大）值。
matlab鲍威尔法求二元二次函数的极小值
matlab鲍威尔法求二元二次函数的极小值鲍威尔法（Powell's method）是一种用于求解无约束优化问题的迭代算法。
在MATLAB中，你可以使用内建函数，比如fminunc 或fminsearch，或者手动实现鲍威尔法来求解二元二次函数的极小值。
不过，MATLAB并没有直接提供鲍威尔法的内建函数，因此你需要自己实现它。
下面是一个简化的鲍威尔法实现，用于求解二元二次函数的极小值。
假设我们的二元二次函数是f(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f。
matlabfunction [xmin, fmin] = powell_method(func, x0, tol, max_iter) % func: 目标函数句柄% x0: 初始点% tol: 收敛容忍度% max_iter: 最大迭代次数n = length(x0); % 变量的维数x = x0;B = eye(n); % 初始基矩阵为单位矩阵for k = 1:max_iter% 在当前基方向上进行一维搜索for i = 1:n% 定义搜索方向d = B(:, i);% 一维线搜索确定步长alpha = linesearch(func, x, d);% 更新当前点x_new = x + alpha * d;% 检查收敛性if norm(x_new - x) < tolreturnend% 更新xx = x_new;% 更新基矩阵B(:, n) = x_new - x;B = B(:, 1:n-1);end% 使用QR分解更新基矩阵[Q, R] = qr(B);B = Q(:, 1:n);endxmin = x;fmin = func(x);endfunction alpha = linesearch(func, x, d)% 简单的线搜索实现（这里假设函数是凸的）alpha = 0.1; % 初始步长c1 = 1e-4; % 足够小的正数while func(x + alpha * d) > func(x) + c1 * alpha * d' * grad(func, x)alpha = alpha / 2;endendfunction g = grad(func, x)% 计算梯度（这里需要func的梯度信息）% 对于二次函数ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f% 梯度是[2ax + by + d, bx + 2cy + e]'% 这里只是一个示例，你需要根据实际的func来计算梯度% 假设a = 1;b = 2;c = 1;d = -4;e = -6;g = [2*a*x(1) + b*x(2) + d; b*x(1) + 2*c*x(2) + e];end% 示例：求解函数f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2 - 4x - 6y 的极小值func = @(x) x(1)^2 + 2*x(1)*x(2) + x(2)^2 - 4*x(1) - 6*x(2);x0 = [0; 0]; % 初始点tol = 1e-6; % 容忍度max_iter = 1000; % 最大迭代次数% 调用鲍威尔法[xmin, fmin] = powell_method(func, x0, tol, max_iter);% 显示结果disp(['极小值点:', mat2str(xmin)]);disp(['函数极小值:', num2str(fmin)]);请注意，上面的代码片段中有几个地方需要特别注意：grad 函数需要根据你的目标函数来计算梯度。
导数的应用 3.7 利用MATLAB求一元函数的极值与最值
例1 求函数 y 2x3 6x2 18x 7 在 [4, 4] 上的极值，并作图对照
解：作图输入
>> x=-4:0.1:4;y=2*x.^3-6*x.^2-18*x+7；plot(x,y) 输出图形，由图可知，显然函数y 在[-4,4] 上有极 大值和极小值
。
求极小值输入： >>[x1,y1]=fminbnd('2*x^3-6*x^2-18*x+7',-4,4) 输出： x1 = 3.0000 y1 = -47.0000 求极大值输入： >>[x2,y2]=fminbnd('-(2*x^3-6*x^2-18*x+7)',-4,4) x2 = -1.0000 y2 = -17.0000 即函数在 x 3 处取得极小值-47；在 x 1 输出：
MATLAB7.1提供fminbnd函数求一元函数
的极小值点与最小值点，其调用格式如下：
f=‘f(x)’；[xmin,ymin]=fminbnd(f,a,b)
表示求函数 在区间 上的极小值，但它只能
给出连续函数的局部最优解；
f=‘-f(x)’；[xmax,ymax]=fminbnd(f,a,b)
表示求函数 在区间 上的极大值，这里极大 值要取出输出量ymax的相反数。
处取得极大值为17。
例题 例2 用一块边长为24cm的正方形铁皮，在其四角各截 去一块面积相等的小正方形，做成无盖的铁盒． 问截 去的小正方形边长为多少时，做出的铁盒容积最大？ 第一步 建模：设截去的小正方形的边长为x cm
V x(24 2 x) 2 (0 x 12)
第二步 优化： >>f='-x*(24-2*x)^2'; >> fminbnd(f,0,12) >>ans = 4．0000
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基于MATLAB的鲍威尔法求极值问题：xxx 学号：xxx（理工大学机械与车辆学院车辆工程，100081）摘要：无约束优化方法主要有七种，按照求导与否把这些方法分为间接法和直接法。
牛顿法的成败与初始点选择有极大关系，其可靠性最差；坐标轮换法、单纯形法和最速下降法对于高维优化问题计算效率很低，有效性差；由于编制变尺度法程序复杂，其简便性不足。
综合考虑后，鲍威尔法、共轭梯度法具有较好的综合性能。
本文首先对鲍威尔法的原理进行阐述，根据其迭代过程给出流程图，并编写MATLAB程序。
最后用此MATLAB程序求解实际的极值问题，并对求解结果进行简要分析。
1.鲍威尔法的基本思想1.1其他优化方法对鲍威尔法形成的影响通过对鲍威尔法的学习，可以很明显看出来其迭代思想中汲取了其他几种优化方法的核心思想。
为了更全面、更深入的学习鲍威尔法，很有必要对其他有影响的优化思想进行学习和梳理。
由最基本的数学基础知识可知，梯度方向是函数增加最快的方向，负梯度方向是函数下降最快的方向，于是，利用这个下降最快方向产生了最速下降法。
每次迭代都沿着负梯度方向进行一维搜索，直到满足精度要求为止。
其特点是相邻两个搜索方向互相正交，所以很明显的一个现象就是刚开始搜索步长比较大，愈靠近极值点其步长愈小，收敛速度愈慢，特别当二维二次目标函数的等值线是较扁的椭圆时，迭代速度更慢。
这时，倘若目标函数是等值线长、短轴都平行于坐标轴的椭圆形，则通过坐标轮换法可以很高效的解决问题。
通过两次分别沿坐标轴进行一维搜索，便可达到极值点。
但对于目标函数的等值线椭圆的长、短轴倾斜于坐标轴时，坐标轮换法的搜索效率也显得极低。
抛开这两种特殊情况，对于一般形态的目标函数，如果在某些明显可以直达最优点的情况下（一般为靠近极值点区域），迭代过程完全可以不沿负梯度方向搜索，取而代之的是找到直达最优点的方向，一步到位。
但这样的直达方向应该如何去找呢？共轭梯度法由此产生。
其基本原理是：任意形式的目标函数在极值点附近的特性都近似一个二次函数，其等值线在极值点附近为近似的同心椭圆簇，而同心椭圆簇有一个特性便是任意两条平行线与椭圆簇切点的连线必通过椭圆的中心。
而这个连线方向便是所寻找的直达方向。
通过对其迭代过程的分析，很明显可以看出需大量的求目标函数的一阶和二阶偏导数。
对于一些实际的机械优化问题，目标函数可能复杂到难以求取其偏导数或者根本就不存在，求取极值问题就显得无从下手。
所以，一个效率高的、适应性强的优化方法急需出现，而鲍威尔法便是这么一种综合的方法。
1964年，鲍威尔提出了对共轭方向法的改进方法——鲍威尔共轭方向法。
一维搜索法、共轭方向和坐标轮换法的思想在鲍威尔法中体现的淋漓尽致。
下面就对鲍威尔法的基本原理进行阐述。
1.2鲍威尔法的数学原理通过前文可知，鲍威尔法也算一种共轭方向法，但与共轭梯度法相比，不需要对函数求导，而是在迭代过程中逐次构造出用于搜索的共轭方法。
1). 对于二维无约束优化问题，采用鲍威尔法求解的迭代过程如图1-1所示。
任选一初始点0X ,令00X X =，按照坐标轮换法，选择两个单位向量1110d e ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦和2201d e ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，以此作为搜索方向进行第一轮搜索得到02X 点。
2). 用00X 和02X 的连线方向构成新的搜索方向1d 。
从02X 点出发，沿1d 方向一维搜索得到10X 点，作为下一轮搜索的初始点。
3). 从10X 出发，依次沿1201d e ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦和12d d =方向进行一维搜索，得到点11X 和点12X 。
4). 用点10X 和点12X 的连线方向21120d X X =-构成新的搜索方向。
10X 和12X 是从两个不同点出发沿相同方向1d 搜索得到的，所以1d 与10X 和12X 的连线方向2d 互为共轭方向。
从12X 点出发，沿2d 方向一维搜索得到20X 点。
因20X 是从02X 点出发依次沿两个互为共轭的方向1d 和2d 进行两次一维搜索得到的，所以20X 就是该二维二次函数的极小点*X 。
图1-1 二维情况下鲍威尔法的迭代过程将上述二维优化问题扩展到n 维的情况，得到鲍威尔法的基本迭代过程：从初始点出发依次沿n 个线性无关的方向组进行一维搜索得到一个终点，沿初始点和终点的连线方向一维搜索得到下一轮迭代的初始点，并以这个方向作为下一轮迭代方向组中的最后一个方向，同时去掉第一个方向，组成的新方向组进行第一轮迭代。
若目标函数是个n 维的正定二次函数，则经过这样的n 轮迭代以后，就可以收敛到最优点。
但是这种方法有一个缺陷，通过这种方法产生的n 个新方向，有可能是线性相关或近似线性相关的。
因为新方向01nkk k i ni i d X X d α==-=∑，如果其中出现了0i α=，则k d 就可以表示为2d ，3d ，…，n d 的线性组合，这样用新方向kd 替换1d 后，新的坐标轮换方向组就成为线性相关的一组向量，以后的各轮迭代计算将在维数下降了的空间进行，这将导致算法收敛不到真正的最优点。
针对此现象，通过适当改进，产生了新的鲍威尔法。
1.3改进的鲍威尔法由上一小节讨论可知，如果对新方向组的形成加以适当的选择，防止其线性相关，则可以避免鲍威尔法的“退化”。
在这里直接给出是否用kd 方向替代m d 来组成新的搜索方向组的判别条件，供后面编程所用。
设()10k f f X =，()2k n f f X =，()302k k n f f X X =-。
其中最大者11max k k k m i m m i nf f -<<∆=∆=-。
若31f f <且221231213(2)()0.5()k k m m f f f f f f f -+--∆<∆-成立，则用kd 方向替代m d 方向，否则仍用原来的n 个搜索方向。
这样，改进后的鲍威尔法保证了对于非线性函数计算时收敛的可靠性。
2. 迭代过程和算法流程图2.1迭代过程1). 给定初值点0X ，n 个线性无关的初始向量组0100[,,,]n D d d d =及精度0ε>，置0k =。
2). 从0k k X X =点出发沿01[,,,]n k k D d d d =中的方向进行一维搜索：111111110()min ()k k j k kj j j j j k k j j j t X X X X d f X d f X d ααα--------≥⎧=⎪⎪=+⎨⎪+=+⎪⎩，其中1,2,,;j n =3). 判断是否满足收敛准则，若0k kn X X ε-<成立，则迭代停止，输出*k n X X =，*X 即为最优点；否则跳至第4步。
4). 计算第k 轮迭代中相邻两点目标函数值的下降量，并找出下降量最大者。
1k k k i i i f f -∆=-11max k k km i m m i nf f -<<∆=∆=-相应的方向：1kk km m m d X X -=-5). 沿共轭方向10kk kn n d X X +=-计算反射点。
102k k kn n X X X +=-6). 检验判别条件。
令()10kf f X =，()2k n f f X =，()31k n f f X +=，若同时满足：31f f <221231213(2)()0.5()k k m m f f f f f f f -+--∆<∆-则转第6步；否则转第7步。
7). 由k n X 出发沿1kn d +方向进行一维搜索，求出此方向极小点k X ，并令下一轮迭代初始点10k kX X +=。
同时令1111212111[,,,][,,,,,,]k k k kkkkkn m m n d d d d d d d d +++-++=，同时置1k k =+。
并转第2步。
8). 若32f f <，则101k k n X X ++=；否则10k kn X X +=。
置1k k =+，转第2步。
2.2算法流程图鲍威尔法的算法流程图如图2-1。
kki i d α沿方向一维搜索求最优步长kk k k X X d α=+1kk km m m d X X -=-n+1kd 沿方向一维搜索求最优步长1kn d X +=+1kk k kX X dα=+11(,1,,)k kii d d i m m n ++⇐=+1(1,2,,1)k k iidd i m +⇐=-图 2-1 鲍威尔法的算法流程图3. 鲍威尔法的MATLAB 程序function [x,minf,k,allX,allY] = Powell_Graphic(f,x0,D,var,eps)format long;if nargin == 4 %默认精度为1.0e-2 eps = 1.0e-2;endn = length(var)+1;k = 0;syms l;while 1tx = zeros(size(D));tx(:,1) = x0;for i=1:n-1 %在每个方向上开始一维搜索xv = tx(:,i) + l*D(:,i);fx = Funval(f, var,xv);[a,b] = minJT(fx,0,0.1); %一维搜索进退法确定搜索区间tl = minHJ(fx,a,b); %黄金分割法求最优点tx(:,i+1) = tx(:,i) + tl*D(:,i);endD(:,n) = tx(:,n) - tx(:,1); %判断收敛性是否满足精度要求if norm(D(:,n)) <= epsx = tx(:,n);allX(:,k*n+1:(k+1)*n) = tx(:,1:n);for j=1:nallY(:,k*n+j) = Funval(f, var,tx(:,j));endbreak;elsefor j=1:nFX(j) = Funval(f, var,tx(:,j));endmaxDF = -inf;m = 0;for j=1:n-1df = FX(j) - FX(j+1);if df > maxDFmaxDF = df;m = j+1;endendtmpF = Funval(f, var,2*tx(:,n)-tx(:,1));fl=(FX(1)-2*FX(n-1)+tmpF)*(FX(1)-FX(n-1)-maxDF)^2;if fl<0.5*maxDF*(FX(1)-tmpF)^2 && tmpF<FX(1)%检验判断条件决定换方向xv = tx(:,n) + l*D(:,n);fx = Funval(f, var,xv); [a,b] = minJT(fx,0,0.1); tl = minHJ(fx,a,b); x0 = tx(:,n) + tl*D(:,n); D(:,m:(n-1)) = D(:,(m+1):n); elseif tmpF < FX(n-1) x0 = 2*tx(:,n)-tx(:,1); elsex0 = tx(:,n); end end k=k+1;allX(:,(k-1)*n+1:k*n) = tx(:,1:n); for j=1:nallY(:,(k-1)*n+j) = Funval(f, var,tx(:,j)); end end endminf = Funval(f,var,x); format short;程序中用到的函数minJT 、minHJ 和Funval 分别为进退法确定搜索区间函数、黄金分割法求极值函数和计算函数值函数，直接调用即可，由于篇幅限制，故不在此列出其代码。