一元一次方程单元精编讲义
(完整)一元一次方程复习讲义
一元一次方程复习讲义1．方程的有关概念2．等式的基本性质3．解一元一次方程的基本步骤：4.应用一元一次方程解决实际问题的一般步骤（1)审 （2）找 （3）设 （4)列 (5）解 （6）验 （7）答1．下列方程是一元一次方程的有哪些? x+2y=9 x 2－3x=111=x x x 3121=- 2x=1 3x –5 3+7=10 x 2+x=12、解下列方程:⑴ 103.02.017.07.0=--x x ⑵16110312=+-+x x⑶03433221=-+++++x x x ⑷2362132432⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+--x x x x x(5)｜5x 一2｜＝33、8=x 是方程a x x 2433+=- 的解，又是方程 ()[]b x b x x x +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---913131的解，求 b4、小张在解方程1523=-x a （x 为未知数)时，误将 - 2x 看成 2x 得到的解为3=x ，请你求出原来方程的解5、已知关于x 的方程 ()()x n x m 121232+=-+无穷多解，求m 、n1、(本题7分）按要求完成下面题目：323221+-=--x x x解:去分母，得424136+-=+-x x x ……① 即 8213+-=+-x x ……②移项，得 1823-=+-x x ……③合并同类项，得 7=-x ……④∴ 7-=x ……⑤上述解方程的过程中，是否有错误？答：__________；如果有错误，则错在__________步。
如果上述解方程有错误,请你给出正确的解题过程：2、（本题7分）请阅读下列材料:让我们来规定一种运算：bcad dc ba -=，例如：5432=2×5－3×4=10－12=－2. 按照这种运算的规定，若2121x x-=23，试用方程的知识求x 的值。
3、检修一处住宅区的自来水管,甲单独完成需要14天，乙单独完成需18天，丙单独完成需要12天。
3一元一次方程讲义
七年级数学《一元一次方程》一、本章学习指导1． 一元一次方程的解法（重点）2． 一元一次方程的应用（难点）3． 求解一元一次方程及其在实际问题中的应用(考点)二、知识点：(一)、从算式到方程1、（1）表示_______(相等，不相等)关系的式子叫做等式；如：5+3=8,32=9；含有未知数的_______(等式，不等式)叫做方程。
如x +2=16是方程。
（2）使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解．求方程的解的过程叫做解方程；（3）只含有_______未知数，并且未知数的_______的_______叫做一元一次方程．ax+b =0（x 是未知数，a 、b 是常数，且a ≠0）。
例题：1．在3x ＋1=9中，4＋x ﹥9，9＝2+7，5x 2+3x -6=0中等式的个数为( )；(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个2． 在方程6x ＋1＝1，,322=x 7x －1＝x －1，5x ＝2－x 中解为31的方程个数是( )． (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个3． 下列方程中，解是x ＝4的是( )． (A)2x ＋4＝9 (B)43223-=+x x (C)－3x －7＝5 (D)5－3x ＝2(1－x )4．下列方程中，是一元一次方程的是( ) (A)x 2－2x －3=0 （B ） 2x +y=5 (C) 112x x+= (D)x =1 6．方程2x +a －4=0的解是 x =－2，则a 等于（ ）(A) -8 （B ） 0 (C) 2 (D) 87．若关于x 的方程3x 4n －7＋5＝17是一元一次方程，求n ．2、等式的基本性质（1）等式的两边都加上（或减去） ，等式的两边仍然相等。
如：5=5→5+2=5+2; a=a →a －6=a －6。
（2）等式的性质2：等式两边都乘（或除以） ，等式的两边仍然相等。
如：5=5→5×2=5×2; a=a →a ×6=a ×6。
一元一次方程的讲义
一元一次方程的讲义-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1乐杰数理化教师辅导讲义基础知识回顾：有理数1．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程.2．一元一次方程的标准形式： ax+b=0（x 是未知数，a 、b 是已知数，且a ≠0）.3．一元一次方程解法的一般步骤： 整理方程 …… 去分母 …… 去括号 …… 移项 …… 合并同类项 …… 系数化为1 …… （检验方程的解）.4．列一元一次方程解应用题：（1）读题分析法:………… 多用于“和，差，倍，分问题”仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套-----”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.5．列方程解应用题的常用公式：（1）行程问题： 距离=速度·时间 时间距离速度= 速度距离时间=； （2）工程问题： 工作量=工效·工时 工时工作量工效=工效工作量工时=； （3）比率问题： 部分=全体·比率 全体部分比率= 比率部分全体=； （4）顺逆流问题： 顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；（5）商品价格问题： 售价=定价·折·101 ，利润=售价-成本， %100⨯-=成本成本售价利润率； （6）周长、面积、体积问题：C 圆=2πR ，S 圆=πR 2，C 长方形=2(a+b)，S 长方形=ab ， C 正方形=4a ， S 正方形=a 2，S 环形=π(R 2-r 2),V 长方体=abc ，V 正方体=a 3，V 圆柱=πR 2h ，V 圆锥=31πR 2h. 经典例题1、下列方程中，一元一次方程有几个① 2210x x --= ② 223x y -= ③ 11x --= ④120x -= 2、若关于x 的方程3x 4n －7＋5＝17是一元一次方程，求n ．3、．已知：y 1＝4x －3，y 2＝12－x ，当x 为何值时，(1)y 1＝y 2；(2)y 1与y 2互为相反数；(3)y 1比y 2小4．4、已知关于y 的方程y ＋3m ＝24与y ＋4＝1的解相同，则m 的值是( )．5、已知2232012x x +=，求代数式2466x x --+的值。
(完整版)一元一次方程讲义
去分母，得;根据等式的性质（ ）
去括号，得；
移 项,得;根据等式的性质（ ）
合并同类项，得；
系数化为 ,得；根据等式的性质（ ）
【例10】解方程：
（3）含有多层括号的一元一次方程的解法
【例11】解方程：
（4）一元一次方程的技巧解法
【例12】解方程：
五、一元一次方程的实际应用
（一）行程问题：
最简形式：方程 （ ， ， 为已知数）叫一元一次方程的最简形式．
注意：
（1）任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形为最简形式或标准形式来验证，如方程 是一元一次方程。如果不变形，直接判断就出会现错误。
(2）方程 与方程 是不同的，方程 的解需要分类讨论完成.
教学准备
课本,5年中考3年模拟,历年中考真题
教学过程
知识详解
一、等式的概念和性质小四
1、等式的概念
楷体五号用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式。
在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边。等式可以是数字算式,可以是公式、方程，也可以是用式子表示的运算律、运算法则。号
2、等式的性质
注意：定义中含有两层含义，即:方程必定是等式，即是用等号连接而成的式子；方程中必定有一个
待确定的数即未知的字母,二者缺一不可。
2、方程的次和元
楷体五号方程中未知数的最高次数称为方程的次，方程中不同未知数的个数称为元.号
3、方程的已知数和未知数
楷体五号已知数：一般是具体的数值，如 中（ 的系数是1，是已知数．但可以不说）。5和0
【例06】下列各式中:① ；② ；③ ;④ ；⑤ ；⑥ ;⑦ ；⑧ 。哪些是一元一次方程?
一元一次方程讲义
一元一次方程一、等式及其性质1、等式用等号表示相等关系的式子叫等式。
如：m+n=n+m,x+2x=3,3×3+1=5×2,3x+1=5y,等等。
注意：等式中一定含有等号。
2、等式的性质等式性质1 等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等。
a=b ，那么a ±c=b ±c等式性质2 等式两边乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
a=b ，那么ac=bc ；如果a=b ，那么a ／c=b ／c （c ≠０）。
注意：①等式两边除以一个数时，这个数必须不为０；②对等式变形必须同时进行，且是同一个数或式。
思考：回答下列问题：（１）从a+b=b+c ，能否能到a=c ，为什么？（2） 从a-b=b-c ，能否能到a=c ，为什么？（3） 从ab=bc ，能否能到a=c ，为什么？（4） 从a/b=c/b ，能否能到a=c ，为什么？（5）从xy=1，能否能到x=1/y ，为什么？二、解一元一次方程的步骤：①去分母； ⇐（没有分母的项不要漏乘；去掉分数线，同时要把分子加上括号） ②去括号； ⇐（当括号外面是负号，去掉括号后，要注意变号）③移项； ⇐（移项要注意变号）④合并同类项； ⇐（如果方程中有同类项，一定要合并同类项）⑤系数化为1； ⇐（记得每一项都要除系数） 例：解一元一次方程3122133---=+x x x三、一元一次方程解的实际应用1、列方程解应用题的步骤（1）审：明确已知什么，求什么及基本关系。
找出能表示题目全部含义的相等关系（2）设：设未知数。
可直接设，也可间接设，要尽量使列出的方程简单。
①直接设未知数：题目求什么就设什么。
②间接设未知数：设的未知数不是题目直接求的量。
③设辅助未知数：所设未知数仅作为题目中量与量之间关系的桥梁，它在解方程的过程中会自然消去（3）列：根据等量关系列方程。
（4）解：解方程（5）验：检验方程的解和解是否符合实际问题。
一元一次方程讲义
典型例题
题型三：列一元一次方程 例6：国庆期间,学校组织七年级学生参加“国庆专题展”，原计划租借42座客车 16辆，恰好坐满，但由于128名学生是骑自行车前往，所以学校改变了租车 方案： ⑴学校改变租车方案后，实际应租借多少辆客车？（已知每辆刚好坐满， 只列方程） ⑵若自行车的速度是10km/h，出发1h后，客车以40km/h的速度行驶，结果 全体同学同时到达指定地点，则客车行驶了多长时间？
c a b a b c
拔高题型
题型六：分类讨论
例15:⑴方程|x|=3的解是 ，|x-3|=0的解是 ，3|x|=-3的解是 若|x+3|=3,则x= 。 ⑵若|x+3|=x+3，则x的范围 . ⑶若关于x的方程|2x-3|-m=0只有一个解，则m的值是 。
例16已知关于x的一元一次方程kx=4-x的解是正整数，求k所能取得的整数值。 例17若m、n是有理数，关于x的方程3m(2x-1)-n=3(2-n)x有至少两个不同的解，求 另一个关于x的方程(m+n)x+3=4x+m的解。 例18关于x的方程mx-1=5x+3n有无数个解，求m,n的值。
一元一次方程
第一节 认识一元一次方程
认识一元一次方程
一、知识回顾： 1、等式：用运算符号和“=”连接，表示相等关系的式子，如1+2=3,3x+2=1等； 2、代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数字和字母连接而成的 式子，如y2+1,ab+c 3、整式：单项式和多项式的统称； 4、方程：含有未知数的等式叫做方程； 二、一元一次方程的概念： 在一个方程中，只含有一个未知数，而且方程中的代数式都是整式，未知数的 指数都是1，这样的方程叫做一元一次方程。 解读： ⑴对方程的理解： ①方程必须满足两个条件：a.是等式；b.含有未知数； ②方程是等式，但等式不一定是方程； ③方程中的未知数可以是多个； ⑵一元一次方程必须满足的条件： ①方程中各代数式都是整式（即分母中不含未知数）； ②只有一个未知数且未知数的指数都为1；
一元一次方程 讲义
【一元一次方程 讲义】第一节 一元一次方程1．一元一次方程的有关概念一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0，这样的方程叫做一元一次方程. 训练题：1.判断下列各式哪些是一元一次方程：（1）43x=21； （2）3x －2； （3）71y －51=32x －1； （4）5x 2－3x+1； （5）3x+y=1－2y ； （6）1－7y 2=2y. 2.若关于x 的方程3x3a+1－5=0是一元一次方程，则a=＿＿＿＿.3.写出一个解是－2的一元一次方程为＿＿＿＿.4.若2x －a=3,则2x=3+＿＿,这是根据等式的性质1,在等式两边同时＿＿. 若－6a=4.5,则＿＿＿=－1.5,这是根据等式的性质,在等式两边同时＿＿ ＿＿___.5.下列方程中以x=21为解的是（ ） A.－2x=4 B.－2x －1=－3 C.－21x －1=－43 D.－21x+1=43 6.已知5a －3b －1=5b －3a ，利用等式的性质比较a 、b 的大小.7.某钢铁厂今年5月份的某种钢产量是50吨，预计6月份产量是a 吨，比5月份增长x%，那么a 是（ ）A.50（1+x%）B.50x%C.50+x%D.50（1+x ）%8.已知关于x 的方程5x+3k=24的解为3，求k 2－1+k 的值9.利用等式性质解方程：－23x+3=－10.10.服装厂用355米布做成人服装和儿童服装,成人服装每套平均用布3.5米,儿童每套平均用布1.5米,现在已做了80套成人服装,用余下的布还可以做几套儿童服装?直通中考下列方程是一元一次方程的是（ ）．A ．-5x+4=3y 2B ．5（m 2-1）=1-5m 2C ．2-145n n -= D ．5x-32.解一元一次方法（1）等式的基本性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式。
用字母表示若a=b ，则a+m=b+m ,a-m=b-m（2）等式的两边都乘以同一个数或都除以同一个数（除数不为0），所得的 结果仍是等式.用字母表示：若a=b,则am=bm,n a =nb(n 不为0)（2）解一元一次方程的基本步骤：例1、解方程 （1）y-52221+-=-y y例2、由两个方程的解相同求方程中子母的值已知方程104x x =-的解与方程522x m +=的解相同，求m 的值.例3 、解方程知识与绝对值知识综合题型 解方程：73|12|=-x 训练题： 1.在1,－2,21这三个数中,是方程7x+1=10－2x 的解的是＿＿＿＿. 2.当k=＿＿＿＿时,方程5x －k=3x+8的解是－2. 3.若代数式21-x +612x +与31-x +1的值相等,则x=＿＿＿＿. 4.如果2x5a －4－3=0是关于x 的一元一次方程,那么a=＿＿＿＿,此时方程的解是＿＿＿＿.5.如果x ＝－2是方程3x ＋5＝4x －m 的解，那么m 2＝＿＿＿＿. 6.解方程:5x-|x|=8.7.今年儿子13岁,父亲40岁,多少年后父亲的年龄是儿子年龄的2.5倍?8.一群小孩分一堆梨,1人1个多1个,1人两个少2个,问有几个小孩、几个梨?9.一个三位数，三个数位上的和是17，百位上的数比十位上的数大7，个位上的数是十位上的3倍，求这个三位数.10.某市居民生活用电基本价格为每度0.40元，若每月用电量超过a 度，超出部分按基本电价的70%收费.（1）某户五月份用电84度，共交电费30.72元，求a.（2）若该户六月份的电费平均为每度0.36元，求六月份共用电多少度？应交电费多少元？ 直通中考[2010年辽宁中考]已知关于x 的方程ax ＋2＝2（a －x ），它的解满足|x ＋21|＝0，则a ＝＿。
一元一次方程复习讲义
第三章一元一次方程复习讲义知识点1．等式：用“=”号连接而成的式子叫等式.2．等式的性质：等式性质1：等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式性质2：等式两边都乘以(或除以)同一个不为零的数，所得结果仍是等式.例1(1)怎样从等式x-5=y-5得到等式x=y?(2)怎样从等式3+x=1得到等式x=-2?(3)怎样从等式4x=12得到等式x=3?例2利用等式的性质解下列方程：(1)x+7=26(2)-5x=203．方程：只含有一个未知数，未知数的次数是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程.4．方程的解：使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注意：“方程的解就能代入”！5．移项：改变符号后，把方程的项从一边移到另一边叫移项.移项的依据是等式性质1. 6．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程.7.一元一次方程的标准形式：ax+b=0(x是未知数，a、匕是已知数，且aW0).8．一元一次方程解法的一般步骤：化简方程分数基本性质去分母同乘(不漏乘)最简公分母去括号先去小括号,再去中括号,最后去大括号.依据是去括号法则和乘法分配律，注意符号变化移项把含有未知数的项移到一边,常数项移到另一边.“过桥变号”，依据是等式性质一合并同类项将未知数的系数相加，常数项相加.依据是乘法分配律合并后注意符号系数化为1在方程的两边除以未知数的系数.依据是等式性质二.例1解下列方程[1]用合并同类项的方法解一元一次方程(1)2x-£%=6-8;(2)7x—2.5x+3x-1.5x=-15x4—6x3.[2]用移项的方法解一元一次方程(1)7-2x=3-4x(2)4x+10=6x[3]利用去括号解一元一次方程去括号法则：去掉“+()”，括号内各项的符号不变.去掉“-()”，括号内各项的符号改变.用三个字母a、b、c表示去括号前后的变化规律：a+(b+c)=a+b+ca-(b+c)=a—b—c(1)2x-(x+10)=5x+2(x—1)(2)3x—7(x—1)=3—2(x+3)[4]利用去分母解一元一次方程(总结：像上面这样的方程中有些系数是分数，如果能化去分母，把系数化为整数，则可以使解方程中的计算更方便些.)2x+2x+7x+x=33(2)3x+x-1=3-2x-1(1)^要点归纳1.去分母时，应在方程的左右两边乘以分母的最小公倍数；2.去分母的依据是等式性质2，去分母时不能漏乘没有分母的项；3.去分母与去括号这两步分开写，不要跳步，防止忘记变号.10．列一元一次方程解应用题：(1)读题分析法:多用于“和，差，倍，分问题”仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出 未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.（2）画图分析法:…………多用于“行程问题”利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础.11.列方程（组）的应用题的一般步骤：审：审清题意，分清题中的已知量、未知量．设：设未知数，设其中某个未知量为x.列：根据题意寻找等量关系列方程．解：解方程．验：检验方程的解是否符合题意．答：写出答案（包括单位）．［注意］审题是基础，找等量关系是关键.11．解实际应用题：知识点1:市场经，^、打折销售问题（1）商品利润=商品售价一商品成本价（3）商品销售额=商品销售价X 商品销售量（4）商品的销售利润=（销售价一成本价）X 销售量例1一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏?变式1.某琴行同时卖出两台钢琴，每台售价为960元.其中一台盈利20%，另一台亏损20%.这次琴行是盈利还是亏损，或是不盈不亏？例2一件服装先将进价提高25%出售，后进行促销活动，又按标价的8折出售,此时售价为60元.请问商家是盈是亏，还是不盈不亏？例3.某商品的进价是1000元，售价是1500元，由于销售情况不好，商店决定降价出 售，但又要保证利润率不低于5%,那么商店最多可打几折出售此商品？（2） 商品利润率= 商品利润 商品成本价X 100%例4.某商场国庆节搞促销活动，购物不超过200元不给优惠，超过200元但不超过500元的优惠10%，超过500元，其中500元按9折优惠，超过的部分按8折优惠。
一元一次方程教学讲义
一元一次方程的解法一、知识梳理1．只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的一类方程叫做一元一次方程．（一个未知数，最高次数为1，整式方程）23．一元一次方程的标准形式ax+b=0（其中x 是未知数，a 、b 是已知数，并且a≠0） 4．等式的基本性质及用等式的性质解方程。
性质1：m b m a b a ±=±=,性质2：)0(;,≠=⋅=⋅=d dbd a m b m a b a 性质3：a b b a ==,性质4：)(,,传递性则c a c b b a ===（性质是解题的依据，在使用时注意等式性质成立的条件） 5搬硬套．为了检验解方程时的计算有没有错误，可以把求得的解代入原方程，看左、右两边的值是否相等，这叫验根，一元一次方程的验根过程可以不写出来． 6．一元一次方程的基本变形与它的解法（1）变形：同加、同减、同乘、同除（不为0），解不变。
（2）步骤：去分母; (2)去括号; (3)移项; (4)合并同类项; (5)系数化为1.（3）注意：过“桥”变号 7.方程ax=b 的解的讨论1）当a ≠0时，方程ax=b 有惟一解x=ba(此时方程为一元一次方程，ax=b(a ≠0))是一元一次方程的最简形式.2）当a=0,b ≠0时，方程ax=b 无解(此方程不是一元一次方程).3）当a=0,b=0时，方程ax=b 有无穷多解(此方程不是一元一次方程).二、典例剖析（一）概念问题 例1：（武汉二中模拟）下列方程中是一元一次方程的是（ ）。
A.3+7=10 B.2x-5 C.-x+3=1 D.2x+7y=0 变式1：下列各式中，是方程的个数为（ ）。
（1）－3－3＝－7 （2）3x －5＝2x ＋1 （3）2x ＋6 （4）x －y ＝0 （5）a ＋b>3 （6）a 2＋a －6＝0A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个变式2：下列说法中，正确的是。
（ ）A 、 代数式是方程B 、方程是代数式C 、等式是方程D 、方程是等式变式3：若2x 3-2k+2k=41是关于x 的一元一次方程，则k= （二）分母化整问题 例2：（1）解方程：43160.20.5x x +--=- （2）解方程：431625x x +--=-变式训练： 1.511241263x x x +--=+x x 238)4121(3443.2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3.x 41-132x 43=+ 4.[1－2x+（3x －5）]=x（三）方程的解问题例3：若x=0是方程2002x-a=2003x+3的解，那么代数式的值是-a 2+2变式1：已知关于x 的方程23()2,ax a x x a -=+=的解是求的值. 变式2：已知5x 61y ,1x 32y 21-=+-=,若12y +y 20=,则x=( ) A.-30 B.-48 C.48 D.301212（四）同解问题例4：如果方程6x+3a=22与方程3x+5=11的解相同，那么a=（ ）A. 103B. 310C. -103D.- 310 变式1：与方程3523=-x 的解相同的方程是（ ）A 、163=xB 、133=xC 、83=xD 、43=x变式2：已知关于x 的方程3[x-2（x-3a ）]=4x 和123a x +-851x-=1有相同的解，求这个解。
《一元一次方程的解法》 讲义
《一元一次方程的解法》讲义一、什么是一元一次方程在数学的世界里，一元一次方程是我们经常会遇到的一个重要概念。
那什么是一元一次方程呢？简单来说，一元一次方程就是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1 的整式方程。
例如：3x ＋ 5 ＝ 17 ， 2y 8 ＝ 10 ，这些都是一元一次方程。
它的一般形式可以表示为：ax ＋ b ＝ 0 （其中 a、b 为常数，且a ≠0 ）。
二、为什么要学习一元一次方程的解法学习一元一次方程的解法有着非常重要的意义。
首先，它是解决实际问题的有力工具。
在我们的日常生活中，很多问题都可以通过建立一元一次方程来解决。
比如计算购物时的折扣、计算行程中的速度和时间等。
其次，它为我们后续学习更复杂的数学知识打下了坚实的基础。
像二元一次方程、一元二次方程等，如果我们能够熟练掌握一元一次方程的解法，那么在学习这些新知识时就会更加轻松。
三、一元一次方程的解法步骤接下来，让我们详细了解一下一元一次方程的解法步骤。
1、去分母如果方程中存在分数，我们需要先去分母。
方法是在方程两边同时乘以分母的最小公倍数。
例如，方程：（x ＋ 1) ／ 2 ＋（x ＋ 2) ／ 3 ＝ 5 。
分母 2 和 3 的最小公倍数是 6 ，所以方程两边同时乘以 6 ，得到：3(x ＋ 1) ＋ 2(x ＋ 2) ＝ 302、去括号去掉方程中的括号，运用乘法分配律将括号外的数乘以括号内的每一项。
对于上面的例子，去括号后得到：3x ＋ 3 ＋ 2x ＋ 4 ＝ 303、移项把含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边。
继续上面的例子，移项后得到：3x ＋ 2x ＝ 30 3 44、合并同类项将方程中相同类型的项进行合并。
上式合并同类项后得到：5x ＝ 235、系数化为 1在方程两边同时除以未知数的系数，得到方程的解。
继续上面的例子，方程两边同时除以 5 ，得到：x ＝ 23 ／ 5四、例题讲解为了让大家更好地掌握一元一次方程的解法，我们来看几个具体的例题。
一元一次方程单元复习讲义
一元一次方程知识梳理一、主要概念1、方程：含有未知数的等式叫做方程。
2、一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的指数是1的方程叫做一元一次方程。
3、方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
4、解方程：求方程的解的过程叫做解方程。
二、等式的性质等式的性质1：等式两边都加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
三、解一元一次方程的一般步骤及根据1、去分母-------------------等式的性质22、去括号-------------------分配律3、移项----------------------等式的性质14、合并----------------------分配律5、系数化为1--------------等式的性质26、验根---把根分别代入方程的左右边看求得的值是否相等。
四、解一元一次方程的注意事项1、分母是小数时，根据分数的基本性质，把分母转化为整数；2、去分母时，方程两边各项都乘各分母的最小公倍数，此时不含分母的项切勿漏乘，分数线相当于括号，去分母后分子各项应加括号；3、去括号时，不要漏乘括号内的项，不要弄错符号；4、移项时，切记要变号，不要丢项，有时先合并再移项，以免丢项；5、系数化为1时，方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数，不要弄错符号；6、不要生搬硬套解方程的步骤，具体问题具体分析，找到最佳解法。
五、列方程解应用题的一般步骤1、审题2、设未数3、找相等关系4、列方程5、解方程6、检验7、写出答案 六、一元一次方程ax=b 的解的情况： （1）当a≠0时，ax=b 有唯一的解。
（2）当a=0，b≠0时，ax=b 无解。
（3）当a=0，b=0时，ax=b 有无穷多个解。
课堂练习1、选项中是方程的是（ ）A.3+2=5 B. a-1>2 C. a 2＋b 2－5 D. a 2+2a-3=5；2、下列各数是方程a 2+a+3=5的解的是（ ） A.2 B. -2 C.1 D. 1和-2；3、下列方程是一元一次方程的是（ ） A.x2+1=5 B. 3(m -1)-1=2 ； C. x-y=6 D.都不是 4、下列变形中，正确的是（ ）5、若=-=+++y x x y 则,0)5(22。
一元一次方程讲义
初一（上）数学第五章一元一次方程一、知识网络二、目标认知重点：一元一次方程的解法，列方程解应用题难点：列方程解应用题三、知识要点梳理知识点一：一元一次方程及解的概念1、一元一次方程：一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0)。
要点诠释：一元一次方程须满足下列三个条件：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的次数是1次；（3）整式方程．2、方程的解：判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边，看两边是否相等．知识点二：一元一次方程的解法1、方程的同解原理（也叫等式的基本性质）等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
如果，那么；(c 为一个数或一个式子)。
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
如果，那么；如果，那么cb c a = 要点诠释：分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。
即：mb ma bm amb a ÷÷==（其中m≠0） 特别须注意：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，如方程：6.12.045.03=+--x x ，将其化为：6.12401053010=+--x x 方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。
2、解一元一次方程的一般步骤：解一元一次方程的一般步骤 常用步骤 具体做法依据注意事项去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数等式基本性质2防止漏乘（尤其整数项），注意添括号；去括号一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号去括号法则、分配律 注意变号，防止漏乘；移项把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)等式基本性质1 移项要变号，不移不变号；合并同类项 把方程化成ax ＝b(a≠0)的形式合并同类项法则 计算要仔细，不要出差错；系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程 的解x ＝等式基本性质2 计算要仔细，分子分母勿颠倒要点诠释：理解方程ax=b 在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用: ①a≠0时，方程有唯一解ab x =； ②a=0，b=0时，方程有无数个解； ③a=0，b≠0时，方程无解。
《一元一次方程》 讲义
《一元一次方程》讲义一、什么是一元一次方程在数学的世界里，一元一次方程就像是一座基础的桥梁，连接着各种数学知识和实际问题。
那到底什么是一元一次方程呢？一元一次方程，简单来说，就是含有一个未知数，并且这个未知数的最高次数是 1 的等式。
比如，“3x ＋ 5 ＝14”就是一个典型的一元一次方程，其中“x”是未知数，只有一个，而且“x”的次数是 1。
这个定义虽然听起来简单，但它却有着非常重要的作用。
它能够帮助我们解决很多生活中的实际问题，比如计算购物时的折扣、计算行程中的速度和时间等等。
二、一元一次方程的形式一元一次方程一般可以写成“ax ＋ b ＝0”的形式，其中“a”和“b”是常数，“a”不能为 0 ，“x”是未知数。
当“a ＝1”，“b ＝－5”时，方程就是“x 5 ＝0”；当“a ＝2”，“b ＝3”时，方程就是“2x ＋ 3 ＝0”。
这种形式可以让我们更清楚地看到方程中各项的系数和常数，方便我们进行计算和分析。
三、一元一次方程的解既然有方程，那就必然有解。
那么，什么是一元一次方程的解呢？一元一次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值。
比如说，对于方程“2x ＋ 3 ＝7”，我们通过计算可以得出“x ＝2”，把“x ＝2”代入方程中，左边等于“2×2 ＋ 3 ＝7”，右边也是 7，方程左右两边相等，所以“x ＝2”就是这个方程的解。
那怎么求解一元一次方程呢？四、求解一元一次方程的步骤求解一元一次方程一般有以下几个步骤：1、去分母如果方程中存在分数，我们可以通过在等式两边同乘各分母的最小公倍数来去掉分母。
比如方程“（x ＋ 1)／2 ＋（x 1)／3 ＝6”，分母 2 和 3 的最小公倍数是 6，所以在等式两边同乘 6，得到“3(x ＋ 1) ＋ 2(x1) ＝36”。
2、去括号运用乘法分配律去掉括号。
对于上面得到的方程“3(x ＋ 1) ＋ 2(x 1) ＝36”，去括号后变为“3x ＋ 3 ＋ 2x 2 ＝36”。
3.1第三章一元一次方程(章节讲义)
一元一次方程章节讲义一、本章相关知识点(一)、一元一次方程的基本概念1、方程：含 的等式．．叫做方程. 2、方程的解：使方程的等号左右两边相等的 ，就是方程的解。
3、解 方 程：求． 的过程叫做解方程．．．。
4、一元一次方程:只．含有一个．．未知数（元），未知数的最高次数是．．．．．1．的整式方程叫做一元一次方程。
5、▲等式的基本性质·等式的性质1：等式的两边同时加（或减） （ ），结果仍相等。
即：如果a =b ，那么a ±c =b 。
等式的性质2：等式的两边同时乘 ，或除以 数，结果仍相等。
即：如果a =b ，那么ac =bc ； 或 如果a =b （ ），那么a/c =b/c 6、△分数的基本的性质分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。
即：b a=bm am =mb ma ÷÷（其中m ≠0）（二）、【解一元一次方程的一般步骤】1、上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤，但并不是说解每一个方程都必须经过五个步骤；2、解方程时，一定要先认真观察方程的形式，再选择步骤和方法；3、对于形式较复杂的方程，可依据有效的数学知识将其转化或变形成我们常见的形式，再依照一般方法解。
（三）、一元一次方程与应用问题及实际问题初中阶段几个主要的运用问题及其数量关系1、行程问题·基本量及关系：路程=速度×时间时间路程速度= 时间=速度路程[典型问题]·相遇问题中的相等关系：一个的行程+另一个的行程=两者之间的距离 ·追及问题中的相等关系：追及者的行程－被追者的行程=相距的路程 ·顺（逆）风（水）行驶问题 顺速=V 静＋风（水）速 逆速=V 静－风（水）速2、销售问题·基 本 量：成本（进价）、售价（实售价）、利润（亏损额）、利润率（亏损率） ·基本关系：利润=售价－成本、亏损额=成本－售价、成本利润利润率=、成本亏损额亏损率=利润=成本×利润率 亏损额=成本×亏损率3、工程问题·基本量及关系：工作总量=工作效率×工作时间工作效率工作总量工作时间=、工作时间工作总量工作效率=4、分配型问题此问题中一般存在不变量，而不变量正是列方程必不可少的一种相等关系。
一元一次方程教学讲义
一元一次方程的解法一、知识梳理1．只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的一类方程叫做一元一次方程．（一个未知数，最高次数为1，整式方程）23．一元一次方程的标准形式ax+b=0（其中x 是未知数，a 、b 是已知数，并且a≠0） 4．等式的基本性质及用等式的性质解方程。
性质1：m b m a b a ±=±=,性质2：)0(;,≠=⋅=⋅=d dbd a m b m a b a 性质3：a b b a ==,性质4：)(,,传递性则c a c b b a ===（性质是解题的依据，在使用时注意等式性质成立的条件） 5搬硬套．为了检验解方程时的计算有没有错误，可以把求得的解代入原方程，看左、右两边的值是否相等，这叫验根，一元一次方程的验根过程可以不写出来． 6．一元一次方程的基本变形与它的解法（1）变形：同加、同减、同乘、同除（不为0），解不变。
（2）步骤：去分母; (2)去括号; (3)移项; (4)合并同类项; (5)系数化为1.（3）注意：过“桥”变号 7.方程ax=b 的解的讨论1）当a ≠0时，方程ax=b 有惟一解x=ba(此时方程为一元一次方程，ax=b(a ≠0))是一元一次方程的最简形式.2）当a=0,b ≠0时，方程ax=b 无解(此方程不是一元一次方程).3）当a=0,b=0时，方程ax=b 有无穷多解(此方程不是一元一次方程).二、典例剖析（一）概念问题 例1：（武汉二中模拟）下列方程中是一元一次方程的是（ ）。
A.3+7=10 B.2x-5 C.-x+3=1 D.2x+7y=0 变式1：下列各式中，是方程的个数为（ ）。
（1）－3－3＝－7 （2）3x －5＝2x ＋1 （3）2x ＋6 （4）x －y ＝0 （5）a ＋b>3 （6）a 2＋a －6＝0A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个变式2：下列说法中，正确的是。
（ ）A 、 代数式是方程B 、方程是代数式C 、等式是方程D 、方程是等式变式3：若2x 3-2k+2k=41是关于x 的一元一次方程，则k= （二）分母化整问题 例2：（1）解方程：43160.20.5x x +--=- （2）解方程：431625x x +--=-变式训练： 1.511241263x x x +--=+x x 238)4121(3443.2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3.x 41-132x 43=+ 4.[1－2x+（3x －5）]=x（三）方程的解问题例3：若x=0是方程2002x-a=2003x+3的解，那么代数式的值是-a 2+2变式1：已知关于x 的方程23()2,ax a x x a -=+=的解是求的值. 变式2：已知5x 61y ,1x 32y 21-=+-=,若12y +y 20=,则x=( ) A.-30 B.-48 C.48 D.301212（四）同解问题例4：如果方程6x+3a=22与方程3x+5=11的解相同，那么a=（ ）A. 103B. 310C. -103D.- 310 变式1：与方程3523=-x 的解相同的方程是（ ）A 、163=xB 、133=xC 、83=xD 、43=x变式2：已知关于x 的方程3[x-2（x-3a ）]=4x 和123a x +-851x-=1有相同的解，求这个解。
005第三章___一元一次方程___讲义
第三章 一元一次方程一、重要知识点:(5个）1.从算式到方程（一元一次方程、等式的性质）2.解一元一次方程（合并同类项与移项）3.解一元一次方程（去括号与去分母）4.实际问题与一元一次方程二、例题讲解题型一：一元一次方程概念的问题1、下列方程中，是一元一次方程的有 ．（1）2x=x-（1-x ）； （2）2x - 12x+ 32=2x +1； （3）3y= 15x+ 34； （4）x+15-x-17=2； （5）3x- x1=2．2、已知05432=+-n x 是关于x 的一元一次方程，则.____________=n3、关于x 的方程()0521=+--k x k k 是一元一次方程，则k =____________.4、()0232=+++b ax x b a 是关于x 的一元一次方程，且x 有唯一解，则=x ______________.题型二：一元一次方程解的问题5、若2-是关于x 的方程a x x -=+243的解，则._________1100100=-aa6、方程23(1)0x -+=的解与关于x 的方程3222k x k x +--=的解互为倒数，求k 的值 .7、关于x 的方程824+=+x ax 无解，则a =________________.8、关于x 的方程()2153161xk x kx +=--有无数个解，则k =_______________.题型三：同类项，单项式的问题6、若79b a x与12437---y x b a 是同类项，则.___________,__________==y x7、12473--n ba 是五次单项式，则n= 。
题型四：相反数的问题8、当m= 时，32-m 与221--m 互为相反数。
9、x 、y 互为相反数，且(x+y+3)(x －y －2)=6，则x= 。
题型五：互为倒数、负倒数的的问题10.3x —2与21互为倒数，则x= 。
11 2341--x 与32与为负倒数，则x= 。
一元一次方程单元精编讲义
解一元一次方程（讲义）课前预习1. 含有_______的_______叫做方程．2. 等式的基本性质性质1：等式两边同时加上（或减去）___________，等式仍然成立．性质2：等式两边同时乘___________（或_____________________），等式仍然成立．3. 已知a ，b ，x ，y 都是未知数，给出下列式子：①21x +；②325+=；③231x +≠；④321a +=；⑤531a b +=；⑥23x y =；⑦251x x =+．其中是方程的有_________________． 4. 解下列方程：（1）192x -= （2）36248a +=知识点睛1. 一元一次方程的定义：在一个方程中，只含有___________，而且方程中的代数式都是________，_________________，这样的方程叫做一元一次方程．2. 使方程左右两边的值________的___________叫做方程的解．3. 等式的基本性质：①______________________________________________________________________________________；②_____________________________________________________________________________________________________．4. 解方程的五个步骤：①______________；②______________；③_____________；④______________；⑤_____________．5. 七个易错点：①________________；②_________________；③______________________；④______________________；⑤______________________；⑥______________________；⑦______________________．精讲精练1. 下列各式中，是一元一次方程的为_________（填序号）．①3+7=10；②3x -5；③211x +=；④21x x +=．2. 若(1)36a a x -+=-是关于x 的一元一次方程，则a =______．3. 如果x =5是方程5234ax a +=-的解，那么a =__________．4. 若2是关于x 的方程3x +a =0的一个解，则a 的值是______．5. 方程1273422-=--x x 去分母得（ ）A ．)7()42(42--=--x x B ．7)42(24-=--x xC ．)7()42(424--=--x xD ．7)42(424-=--x x 6. 方程13425=+--x x ，去分母可变形为________________． 7. 解下列方程：（1）25222323x x x --+=+； （2）151136x x +--=；（3）1337y y --=； （4）14126110312--=+--x x x ；（5）2235463y y +--=； （6）2(1)5(1)13812x x ++=-；（7）13(8)2(152)y y --=--；（8）30)72(2)115(9)13(8=-----x x x ；（9）4 1.550.8 1.230.50.20.1x x x ----=+；（10）0.89 1.33511.20.20.3x x x --+-=．8. m 为何值时，代数式3152--m m 的值与代数式27m -的值的和等于5？9. 已知21=x 是方程32142m x m x -=--的解，求代数式211(428)142m m m ⎛⎫-+--- ⎪⎝⎭的值．【参考答案】课前预习1. 未知数 等式2. 同一个数 同一个数 除以同一个不为0的数3. ④⑤⑥⑦4. （1）21x = （2）6a =知识点睛1. 一个未知数 整式 未知数的指数都是12. 相等 未知数的值3. 等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式等式两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式4. 去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为15. 去分母要乘以每一项；分数线有括号的作用；去括号要分配给每一项；去括号注意是否要变号；移项要变号；移项后总项数不变；系数化为1．精讲精练1. ③2.-1 3.2 4.-6 5.D 6. 3(5)2(4)6x x --+=7. （1）87x =-； （2）1x =-； （3）47y =； （4）12x =； （5）8y =-； （6）3x =-； （7）7y =； （8）3x =；（9）2x =-； （10）1x =-．8. 7m =-9. 26-解一元一次方程（随堂测试）要点回顾1. 使方程左、右两边的值______的__________叫做方程的解．2. 等式的基本性质①等式两边同时加上（或减去）同一个________，所得结果仍是等式；②等式两边同时乘同一个数（或除以同一个___________），所得结果仍是等式．3. 解方程的五个步骤：①______________；②_______________；③____________；④______________；⑤_______________．典型题测试1. 解方程312132x x -+=-的过程中，去分母正确的是（）A ．2(31)3(2)1x x -=+-B ．2(31)3(2)3x x -=+-C ．2(31)3(2)6x x -=+-D ．2(31)3(2)2x x -=+-2. 如果3x =是方程724x a x a --=-+的解，那么a =________．3. 解下列方程：（1）651143x x -+-=； （2）2151236x x +--=．【参考答案】要点回顾1. 相等 未知数的值2. ①代数式 ②不为0的数3. ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1． 典型题测试1. C2. -33. （1）x =-2；（2）x =-9解一元一次方程（习题）要点回顾1. 若(1)36a a x++=是关于x 的一元一次方程，则a =_____． 思路分析根据一元一次方程的定义：在一个方程中，只含有一个未知数，而且方程中的代数式都是整式，未知数的指数都是1，这样的方程叫做一元一次方程． 因此对于方程(1)36a a x ++=，要满足含有一个未知数，则需满足________≠0，即________；要使未知数的指数为1，则需满足__________，即_________．综上：a =_____．2. 解下列方程，并在括号内填上操作步骤的名称以及每一步操作的依据．2235463y y +--= 解：（ ）______________________（ ）（ ）______________________（ ）（ ）______________________（ ）（ ）______________________（合并同类项法则）（系数化为1）______________________（ ）巩固练习1. 下列是一元一次方程的是（ ）A ．23x +B ．32143x y +--=C ．2560x x -+=D ．27(3)32x x +-=- 2. 把方程12432x x +--=变形为2(1)243(2)x x +-=-的依据是（ ） A ．乘法法则B ．分数的基本性质C ．等式的基本性质D ．移项法则3. 把方程0.170.210.70.03x x --=中的分母化为整数，正确的是（ ） A ．172173x x --= B ．10172173x x --= C ．1017201073x x --= D ．101720173x x --= 4. 下列变形正确的是（ ） A ．4532x x -=+移项得4325x x -=-+B ．211332x x -=+去分母得46318x x -=+ C ．3(1)2(3)x x -=+去括号得3126x x -=+ D ．3223x -=系数化为1得1x =- 5. 当a =______时，关于x 的方程41210a x -+=是一元一次方程.6. 若2是关于x 的方程21x a -=的解，则a =_______.7. 若关于x 的方程24(1)2x m x +=-的解是3x =，则m =______． 8. 若代数式415+m 与154m ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值互为相反数，则m =______． 9. 当x =___________时，单项式2125x a b +与428x a b +是同类项．10. 在梯形面积公式1()2S a b h =+中，若S =24，b =5，h =4，则a =_________． 11. 解方程：（1）12(23)3(21)x x -+=-+；（2）2(2)3(41)9(1)x x x---=-；（3）421134y y-+-=；（4）22+223x xx---=；（5）2125671 236y y y-+--=-；（6）3 1.521 1.210.30.50.2x x x----=+；（7）1.42.110.70.2x xx---=．思考小结1. 把方程0.170.210.70.03x x --=变形为101720173x x --=的依据是（ ） A ．乘法法则 B ．分数的基本性质C ．等式的基本性质D ．移项法则2. 阅读下面解方程的过程 211012113644(21)2(101)3(21)18420163182063141800x x x x x x x x x x x x x x -+--=---+=-----=----=--+-==（）（）（）（）（）解：第一步第二步第三步第四步第五步 请回答：上面的解题过程中出现了3处错误，第1处是第______步，错误的原因是______________________________；第2处是第_____步，错误的原因是____________________；第3处是第_____步，错误的原因是____________________．【参考答案】要点回顾1. 1；(1)a +，1a ≠-；1a =，1a =±，12. （去分母）3(2)2(23)20y y +--=（等式的基本性质2）（去括号）364620y y +-+=（去括号法则）（移项）342066x y -=--（等式的基本性质1）（合并同类项）8y -=8y =-（等式的基本性质2）巩固练习1.D 2.C 3.D 4. B5. 126.1 27.108.1 109. 310.711.（1）x=1；（2）x=-10；（3）y=110；（4）x=2；（5）y=0；（6）1011x=；（7）12x=．思考小结1. B2.一，去分母要乘以每一项；二，括号前为负，去括号要变号；三，移项后项数应不变．一元一次方程应用题（讲义）课前预习1.几折表示_____________或____________．例如，打九折出售表示按原价的______出售．2.长方形的面积公式：______________________．3.圆柱的体积公式：________________________．4.随着市场经济的不断发展，人们经营的理念在不断地增强，“打折销售”是一个很流行的概念．如果你是一个商人，如何打折，这其中都是有学问的．一家商店以成本150元每件购进了一批服装，为了促销，商店准备打出8折优惠的政策，还想每件仍获利50元，请问商店应该给每件服装标价多少元？我们知道，每件商品的利润是商品售价与商品成本价的差，如果设每件服装的标价为x元，那么每件服装的实际售价为__________元；每件服装的利润为__________元；因此，列出方程为________________．解方程，得x=_______．因此，这种服装每件的标价为______元．知识点睛1.经济问题：六个概念：________________________________________；一个公式：________________________________________．2.应用题的思考步骤：①理解题意，找关键词；②梳理信息，列表，提取数据；③根据等量关系列方程．精讲精练1.一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本是多少元？2.某商店开张，为了吸引顾客，所有商品一律优惠20%出售，已知某种运动鞋进价为每双120元，优惠后商家想使所获取的利润率为40%，问这种运动鞋标价是每双多少元？3.某商店将一种书包按成本价提高40%进行标价，由于促销，决定打八五折处理，为吸引更多顾客又降价9元，这时每个书包仍可获利10%，则每个书包的成本为多少元？4.某商场购进某种商品的进价是每件8元，销售价是每件10元．现为了扩大销售量，决定打折出售，但要求卖出一件商品所获得的利润是打折前所获得利润的50%，请问打了几折？5.某商人在一次买卖中均以120元卖出两件衣服，一件赚25%，一件赔25%，在这次交易中，该商人（）A．赚16元B．赔16元C．不赚不赔D．无法确定6.某居民区楼顶有一个底面直径和高均为4 m的圆柱形蓄水箱．现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有蓄水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4 m减少为3.2 m．那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原来的4 m增高为多少米？7.如图，小强将一个正方形纸片剪去一个宽为4 cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5 cm的长条．如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的面积为多少？8.某影院5月份热映了一部电影《复仇者联盟2》，某天共售出800张票，销售额为37 000元，已知学生票每张25元，成人票每张50元，则成人票和学生票各售出多少张？9.七年级（3）班有40位同学，新年时开晚会，班主任到超市花了115元买果冻与巧克力共40个，若果冻每2个5元，巧克力每块3元，问班主任分别买了多少果冻和巧克力．10.已知今年母女二人年龄之和是53，如果10年前母亲的年龄是女儿年龄的10倍，那么今年女儿和母亲的年龄分别是多少岁？11.儿子今年13岁，父亲今年40岁，是否有哪一年父亲的年龄恰好是儿子年龄的4倍？【参考答案】课前预习1.十分之几百分之几十90%2.长方形面积=长⨯宽3.圆柱体积=底面积⨯高x⋅-=250 2504.80%x⋅50 80%15050知识点睛1.标价、成本、售价、折扣、利润、利润率售价-成本=利润精讲精练1.+⋅=+x x(140%)80%15x=解得125答：这种服装每件的成本是125元．2.120%x -（）=120+120×40% 解得 210x =答：这种运动鞋标价是每双210元． 3.解：设每个书包的成本价为x 元，根据题意得(140%)85%910x x x+⨯-=+⋅ 解得 100x =答：每个书包的成本为100元． 4.解：设打了x 折，根据题意得50%(108)10810x⋅-=⋅-解得 9x =答：打了九折． 5. B6. 254m ，表格略7. 面积为80 cm 2，表格略8. 成人票售出680张，学生票售出120张，表格略 9. 班主任分别买了10个果冻，30个巧克力，表格略 10. 今年女儿的年龄为13岁，母亲的年龄为40岁． 11. 当儿子9岁时，父亲的年龄是儿子年龄的4倍．一元一次方程应用题（随堂测试）要点回顾1.经济问题：六个概念：______、_______、______、______、______、______；一个公式：______________________．2.应用题的思考步骤：①理解题意，找______________；②梳理信息，_______，提取数据；③根据_______________列方程．典型题测试1.某商场将某种商品按标价的8折出售，此时商品的利润率为10%，已知这种商品的进价为1 800元，那么这种商品的标价是多少元？2.一个书架宽88 cm，某一层上摆满了第一册的数学书和语文书，共90本．小红量得一本数学书厚0.8 cm，一本语文书厚1.2 cm．你知道这层书架上数学书和语文书各有多少本吗？【参考答案】 要点回顾1. 标价、成本、售价、折扣、利润、利润率售价-成本=利润2. ①关键词；②列表；③等量关系典型题测试1. 这种商品标价是2 475元，表格略2. 书架上有数学书50本，语文书40本，表格略一元一次方程应用题（习题）要点回顾3. 经济问题的六个概念：_________、__________、__________、__________、__________、__________． 其中，售价=标价×__________=成本+_________； 利润=________×__________；( )( )( )( )-==利润利润率． 4. 应用题的思考步骤：①理解题意，找__________； ②梳理信息，_______，提取数据； ③根据____________列方程．例题示范例：某车间有28名工人生产螺栓和螺母，平均每人每天生产螺栓12个或螺母18个，螺栓和螺母个数比为1:2时刚好配套．求有多少名工人生产螺栓时，螺栓和螺母刚好配套？ 思路分析设有x 名工人生产螺栓． 根据题意列表如下：18(28)x -．过程书写解：设有x 名工人生产螺栓，根据题意得21218(28)x x ⨯=- 解得12x =答：有12名工人生产螺栓时，螺栓和螺母刚好配套．巩固练习1. 某商店同时卖出两件上衣，每件都以135元售出，其中一件盈利25%，另一件亏本25%，则该商店在这次买卖中（ ） A ．赚了9元 B ．赔了18元 C ．不赚不赔D ．赚了18元2. 如果代数式183x+与1x -的和为0，那么x =__________. 3. 若12是关于x 的方程432x ax +=-的解，则a =________. 4. 若2(1)80m m x ++=是关于x 的一元一次方程，则m =______.5. 一个两位数个位上的数字的3倍加1等于十位上的数字，个位上的数字与十位上的数字的和等于9，这个两位数是多少？6. 小新出生时父亲28岁，今年父亲的年龄是小新年龄的3倍，求今年小新的年龄．7. 某商品的进价是100元，原定售价为180元，由于该商品积压，商店准备打折销售，若要保持利润率为8%，则商店应打几折？8. 某商店购进一批商品，每件成本是500元，商店决定按成本提高60%来标价．由于天气的缘故，需要尽早处理这批商品，于是决定打折后再降价20元销售，此时得到的利润是打折前的40%．请问商家打了几折？9.某商厦为了迎接“元旦”，提出元旦当天可以打八折优惠，持贵宾卡可在八折基础上继续打折．元旦当天小丽看中了一件标价1 000元的大衣，借用了朋友的贵宾卡，并请朋友吃饭花了40元，结果还节省120元．请问持贵宾卡可以打几折？10.有一块棱长为4厘米的正方体铜块，要将它熔化后铸成长4厘米、宽2厘米的长方体铜块，则铸成后的铜块的高是多少厘米（不计损耗）？11.在一次猜谜抢答赛上，每人需要回答30道题目，答对1题加20分，答错1题扣10分，小明共得了120分，则小明答对了几道题？12.制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，1 m3木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿．现有12 m3木材，应该怎样计划用材，才能制作尽可能多的桌子？思考小结用一元一次方程解决实际问题的一般步骤是什么？实际问题的解数学问题的解（一元一次方程的解）数学问题（一元一次方程）实际问题【参考答案】 要点回顾1. 标价、成本、售价、折扣、利润、利润率；售价=标价×折扣=成本+利润； 利润=成本×利润率；==利润售价-成本利润率成本成本2. 关键词；列表；等量关系巩固练习1. B2. 154-3. 32-4. 15. 726. 14岁7. 商店应打六折，表格略 8. 商家打了八折，表格略 9. 持贵宾卡可以打八折． 10. 铸成后的铜块高为8厘米． 11. 小明答对了14道题．12. 用10 m 3的木材制作桌面，2 m 3的木材制作桌腿．思考小结 略行程问题（讲义）课前预习1. 小学我们已经学过行程问题，那么行程问题中的基本关系是_________=________×________．2. 已知小明家离学校2千米，一天小明在下午5:00放学之后开始步行回家，同时爸爸骑自行车从家出发去接小明，已知小明步行的速度是60米/分钟，爸爸骑自行车的速度是140米/分钟，请问小明爸爸从家出发几分钟后接到小明？设小明爸爸从家出发x 分钟后接到小明，分别用含x 的代数式表达小明和爸爸所走的路程．学校家爸爸3. 上题中的等量关系是：_______________+_____________=从家到学校的距离． 可列方程为：_________________________．知识点睛行程问题：①理解题意，找关键词，即________、________、________；②分析运动过程，通常采用____________或____________的方法来进行； ③梳理信息，列表，提取数据，列表时要按照运动状态或者运动过程进行分类；④根据等量关系列方程．精讲精练1. 一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以35千米/时的速度前进，突然，1号队员以45千米/时的速度独自行进，行进10千米后掉转车头，仍以45千米/时的速度往回骑，直到与其他队员会合．1号队员从离队开始到与队员重新会合，经过了多长时间？2.启明中学举行了一次路程为60千米的远足活动，八年级学生步行，七年级学生乘一辆汽车，两个年级的学生同地出发，这辆汽车开到目的地后，再回头接八年级的学生．若八年级学生的速度为5千米/时，比汽车提前一小时出发，汽车的速度为60千米/时，问八年级学生出发后经过多长时间与回头接他们的汽车相遇？3.王力骑自行车从A地到B地，陈平骑自行车从B地到A地，两人都沿同一公路匀速前进，已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36 km，到中午12时，两人又相距36km．求A，B两地间的路程．4.汽车上坡时每小时走28千米，下坡时每小时走35千米，去时下坡路程比上坡路程的2倍少14千米，原路返回比去时多用12分钟，则去时上、下坡路程各多少千米？5.某人在上午8时从甲地出发到乙地，按计划在中午12时到达．在上午10时汽车发生故障而停车修理15分钟，修好后司机为了能及时赶到，把每小时的车速又提高了8千米前进，结果在11时55分提前到达乙地，求汽车原来的速度．6.一列火车匀速行驶，经过一条长300 m的隧道需要20 s的时间；隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10 s．根据以上数据，你能否求出火车的长度？7.甲、乙两人分别后，沿着铁轨反向而行，此时，一列火车匀速地向甲迎面驶来，火车在甲身旁开过，用了15秒，然后在乙身旁开过，用了17秒．已知两人的步行速度都是3.6千米/时，请计算这列火车的长度．8.铁路旁的一条平行小路上有一行人和一骑车人同时向东行进，行人速度为3.6 km/h，骑车人速度为10.8 km/h，如果有一列火车从他们背后开过来，它通过行人用了22秒，通过骑车人用了26秒，问这列火车的车长和火车的速度．【参考答案】 课前预习1. 路程 速度 时间2. 140x 60x3. 爸爸所走路程 小明所走路程 14060200x x += 知识点睛① 路程速度时间② 示意图 线段图精讲精练1.解：设经过了t 小时，根据题意得 45t +35t =10×2解得 14t =答：1号队员从离队开始到与队员重新会合，经过了14小时． 2.根据题意得 5x +60(x -1)=2×60解得 3613x =答：八年级学生出发后经过3613小时与回头接他们的汽车相遇．3.36108x --=36128x +- 解得 108x =答：A ，B 两地路程为108 km ． 4. 上坡42千米，下坡70千米 5. 40 km/h6. 火车长为300米．7. 火车长为255米．8. 火车长为286米，车速为14 m/s ．行程问题（随堂测试）要点回顾行程问题处理步骤：①理解题意，找关键词，即_______，_______，________． ②分析运动过程，通常采用__________或__________的方法来进行； ③梳理信息，_______，提取数据，列表时要按照运动状态或者运动过程进行分类；③ 据________________列方程．典型题测试1.暑假期间，小张和小李决定骑自行车外出旅游，两人相约一早从各自家中出发直奔目的地，已知两家相距10千米，小张出发必过小李家．（1）若两人同时出发，小张车速为20千米/时，小李车速为15千米/时，经过多少小时两人能相遇？（2）若小李的车速为10千米/时，小张提前20分钟出发，两人商定小李出发后半小时二人相遇，则小张的车速应为多少？【参考答案】要点回顾①路程，速度，时间②列表，画线段图③列表④等量关系典型题测试1.（1）经过2小时两人相遇；（2）小张车速应为18千米/时．行程问题（习题）要点回顾1.行程问题处理步骤：①理解题意，找关键词，即_______，______，_______；②分析运动过程，通常采用____________或___________的方法来进行；③梳理信息，_______，提取数据，列表时要按照运动状态或者运动过程进行分类；④根据______________列方程．巩固练习1.小明每天要在8:00前赶到学校上学．一天，小明以70米/分的速度出发去上学，11分钟后，小明的爸爸发现儿子忘了带数学作业，于是爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且与小明同时到达学校．请问小明家距学校有多远的距离？2.一个邮递员骑自行车要在规定时间内把特快专递送到某单位．他如果每小时行15千米，可以早到10分钟；如果每小时行12千米，就会迟到10分钟，则规定的时间是多少小时？他行驶的路程是多少千米？3.家住郑州的李明和家住开封的好友张华分别沿郑开大道匀速赶往对方家中．已知两人在上午8:00时同时出发，到上午8:40时，两人还相距12 km，到上午9:00时，两人正好相遇．求两家之间的距离．4.小明和小刚从两地同时同向而行，两地相距2 km，小明每小时走7 km，小刚每小时走6 km，如果小明带一只狗和他同时出发，狗以每小时10 km的速度向小刚方向跑去，遇到小刚后又立即回头跑向小明，遇到小明后又立即回头跑向小刚，这样往返直到二人相遇，问：①两个人经过多少小时相遇？②这只狗共跑了多少千米呢？5.一队学生去校外进行训练，他们以5千米/时的速度行进，走了18分的时候，学校要将一个紧急通知传给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去，则通讯员追上学生队伍时行进了多少千米？通讯员用了多长时间？（用两种不同的方法）6.某商品的成本价是1 000元，标价是2 000元．（1）为了增加销售量，商店准备打折出售，如果打折之后商品的利润率为10%，那么商店应打几折出售此商品？（2）若市场销售情况不好，商店要求在不赔本的情况下打折出售，则最低可以打几折出售此商品？7.丢番图（Diophantus）是古希腊亚历山大学后期的重要学者和数学家．丢番图是代数学的创始人之一，对算术理论有深入研究，他完全脱离了几何形式，在希腊数学中独树一帜．你知道他的寿命有多长吗？他的墓上有以下文字，运不济，只活到父亲寿数的一半，就匆匆离去．这对他是一个沉重的打击，后来4年，丢番图因为失去爱子而伤悲，终于告别数学，离开了人世．请你根据以上文字记载，算一算丢番图的寿命．思考小结1.行程问题中会出现的关键词有______________________．2.分析行程问题的运动过程通常采用______________来进行，梳理数据通常采用_______________来进行．【参考答案】要点回顾1.①路程，速度，时间；②列表，画线段图；③列表；④等量关系巩固练习1. 1 260米2.规定时间是32小时，行驶的路程为20千米3.36 km4.①2小时②20千米5.通讯员追上学生队伍时行进了73千米，通讯员用了16小时6.（1）五五折；（2）五折7.84岁思考小结1.路程，速度，时间2.画线段图，列表方案设计问题（讲义）课前预习阅读下面的文字，弄清楚以下几个问题：小宁的爸爸新买了一部手机，他从移动公司了解到现在有两种计费方式：最正确的选择吗？请根据上述材料信息解答下面的问题：（1）话费=________+___________．（2）如果爸爸一个月在本地通话200分钟，按方式一需交费_______元，按方式二需交费______元．（3）如果爸爸一个月在本地通话350分钟，该选择方式___．（4）本地通话多少分钟时，按这两种计费方式需交费用一样多？请列方程解决这个问题．知识点睛1.理解题意，找关键词，确定方案类型或者分段标准．2.梳理信息，列表，确定目标量．3.表达或计算目标量，比较、选择适合方案．精讲精练1.为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，各地采用价格调控手段达到节约用水的目的，某市规定如下用水收费标准：每户每月的用水量不超过6立方米时，水费按每立方米a元收费；超过6立方米时，不超过的部分每立方米仍按a元收费，超过的部分每立方米按b元收费．该市某户今年4，5月份的用水量和所交水费如下表所示：设某户每月用水量为x（立方米）．（1）求a，b的值；（2）请用含x的表达式表示出用户应该缴纳的水费；（3）若该户6月份用水量为8立方米，求该户6月份水费是多少元？2.甲、乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价20元，乒乓球每盒定价5元．现两家商店搞促销活动，甲店：每买一副球拍赠一盒乒乓球；乙店：按定价的9折优惠．某班级需购球拍4副，乒乓球若干盒（不少于4盒）．（1）设购买乒乓球盒数为x（盒），请用含x的代数式分别表示出在甲店和在乙店购买时付的钱数；（2）当x=20时，到哪家购买比较划算？（3）当x取何值时，到两家店购买花的钱数一样多？3.在“节能减排，做环保小卫士”的活动中，小王对两种照明灯的使用情况进行了调查，得出如下表所示的数据：灯的售价+电费）请你解决以下问题：（1）在普通灯的使用寿命内，设照明时间为x小时，请用含x的式子分别表示用一盏普通灯的费用和用一盏节能灯的费用；（2）在普通灯的使用寿命内，照明多少小时时，使用这两种灯的费用相等？（3）如果计划照明4 000小时，购买哪一种灯更省钱？请你通过计算说明理由．咨询电话：400-811-66884.某地的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1 000元；若经粗加工后销售，每吨利润为4 000元；若经精加工后销售，每吨利润为7 000元．当地一家公司现有这种蔬菜140吨，已知该公司的生产加工能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果对蔬菜进行精加工，每天可加工6吨，但每天两种方式不能同时进行．受季节等条件的限制，必须用15天时间将这批蔬菜全部销售或者加工完毕．为此，公司研制了三种方案：方案一：将蔬菜全部进行粗加工；方案二：尽可能的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜，在市场上直接出售；方案三：将一部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并刚好15天完成．如果你是公司经理，你会选择哪一种方案，并说明理由．回顾复习1. 阅读下面的解题过程．计算：11(15)13632⎛⎫-÷--⨯ ⎪⎝⎭．解：原式=2918(15)6666⎛⎫-÷--⨯ ⎪⎝⎭（第一步）=25(15)66⎛⎫-÷-⨯ ⎪⎝⎭（第二步）=(15)(25)-÷-（第三步） 35=-（第四步）请回答：（1）上面的解题过程中出现了两处错误，第1处是第____步， 错误的原因是_______________________________________； 第2处是第______步，错误的原因是____________________． （2）写出正确的解题过程．2. 在学习一元一次方程的解法时，我们经常遇到这样的试题：“解方程：030521023.x .x .+-=．” （1）请根据解题过程，在后面的括号内写出变形依据． 解：变形，得352123x x +-=（_________________） 去分母，得3(35)2(21)x x +=- （_________________）去括号，得91542x x +=- （_________________） 移项，得94152x x -=--（_________________）合并，得517x =- （__合并同类项法则_）系数化为1，得175x =- （_________________）（2）请你写出在进行运算时容易出错的地方（至少写出三个）．3.解方程：（1）3221211245x x x+-+-=-；（2）12120305x x...-+-=；（3）5215523412y y y+--+=-．【参考答案】 课前预习1. （1）月租费 本地通话费 （2）90 80 （3）一（4）设本地通话x 分钟时，两种计费方式交费一样多， 由题意得：300.30.4x x += 解得：300x =答：本地通话300分钟时，按这两种计费方式需交费用一样多精讲精练1. （1） 1.5a =，6b =（2）当0≤x ≤6时，用户应缴纳的水费是1.5x 元；当x >6时，用户应缴纳的水费是(6x -27)元． （3）21元2. （1）在甲店购买时的费用为(5x +60)元；在乙店购买时的费用为(4.5x +72)元（2）甲店划算 （3）x =243. （1）一盏普通灯的费用：3+0.56×0.1x =(3+0.056x )元；一盏节能灯的费用：31+0.56×0.02x =(31+0.0112x )元 （2）根据题意得 3+0.056x =31+0.0112x解得 x =625所以，照明625小时时，这两种灯的费用相等． （3）照明4 000小时时，普通灯的费用：2×3+0.56×0.1×4 000=230元 节能灯的费用：31+0.56×0.02×4 000=75.8元 ∵75.8<230 ∴节能灯更省钱．4. 解：方案一获利：4 000×140=560 000元方案二获利：15×6×7 000+(140-15×6)×1 000=680 000元 方案三：设精加工用x 天，则粗加工有（15-x ）天， 根据题意得 6x +16(15-x )=140 解得 x =10则方案三获利：7 000×6×10+4 000×16×5=740 000元 ∵740 000>680 000>560 000 ∴选择方案三．回顾练习1. （1）三运算顺序出错，应该从左往右依次运算 四同号两数相除，结果为正。
一元一次方程单元精编讲义
第三章一元一次方程第一节一元一次方程的基本概念一、课标导航1．方程的相关概念（1）方程：含有未知数的等式叫做方程．（2）方程的已知数和未知数．已知数：一般是具体的竖直，如x＋5＝0中（x的系数是1，是已知数．但可以不说）．5和0是已知数，如果方程中的已知数需要用字母表示的话，习惯上用a、b、c、m、n等表示．未知数：是指要求的数，未知数通常用x、y、z等字母表示，如：关于x、y的方程ax－2by ＝c中，a、－2b、c是已知数，x、y是未知数．（3）方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．（4）解方程：求方程的解的过程叫做解方程．（5）方程解的检验要验证某个数是不是一个方程的解，只需将这个数分别代入方程的左边和右边，如果左、右两边竖直相等，那么这个数就是方程的解，否则就不是．2．一元一次方程的定义（1）一元一次方程的概念只含有一个未知数，未知数的最高次数是1，这样的方程叫做一元一次方程．（2）一元一次方程的形式标准形式：ax＋b＝0（其中a≠0，a，b是已知数）．最简形式：ax＝b（其中a≠0，a，b是已知数）．三、全能突破基础演练1．判断下列各式是不是方程，如果是，指出已知数和未知数．（1）5x －9＝x ；（2）2|y |－2＝3x ；（3）15x 2＋1；（4）－1－1＝－2；（5）4x －2＝－x ；（6）52x y －＝1．2．下列各式中：①x ＋3；②2＋5＝3＋4；③x ＋4＝4＋x ；1x＝2；⑤x 2＋x ＋1＝3；⑥x －4＝4－x ；⑦2|x |＝3；⑧x 2＋x ＝x (x ＋2)＋3．关于x 的一元一次方程有 ． 3．已知等式3a ＝2b ＋5，则下列等式中不一定成立的是（ ）A ．3a －5＝2bB ．3a ＋1＝2b ＋6C ．3ac ＝2bc ＋5D ．a ＝23b ＋534．下列等式是由5x －1＝4x 根据等式性质变形得到的，其中正确的有（ ）个①5x －4x ＝1；②4x －5x ＝1；③52x －12＝2x ；④6x －1＝3x ． A ．0B ．1C ．2D ．35．下列一元一次方程中，解为－3的是（ ）A ．4x －5＝3xB ．5x －1＝3x ＋4C ．3x ＋2＝2x －1D ．7x －3＝3x ＋1能力提升6．若(m －5)x ＝6是关于x 的一元一次方程，则m 的取值为（ ）A ．不等于5的数B ．任何数C ．5D ．－57．已知x |m－1|＋3＝0是关于x 的一元一次方程，则m ＝（ ）A ．0B ．1C ．2D ．0或28．若(5a ＋1)x 2－5bx －c ＝0是关于x 的一元一次方程，则一定有（ ）A ．a ＝－15，b ≠0，c 为任意数B ．a ＝－15，b ，c 为任意数C ．a ＝－15，b ≠0，c ＝0D ．a ＝15，b ＝0，c ≠09．若有公式M ＝2D dL－，用含有D 、L 、M 的代数式表示d 时，正确的是（ ） A ．d ＝D －2LM B ．d ＝2LM －D C ．d ＝LM －2DD ．d ＝2LM D－10．如图3—1—1所示，下列四个天平中，相同形状的物体的重量是相等的，其中第（a）个天平是平衡的，根据第（a）个天平，后三个天平仍然平衡的有（）个A．0 B．1 C．2 D．311．若关于x的方程(m－2)x|m－1|＝5是一元一次方程，则m＝．12．用等式的性质求未知数x：（1）8－x＝6 （2）12x＝8（3）x＋5＝6x（4）13x＋32＝013．已知m≠n且m＋n＝2012(m－n)，则()()18045m nm n＋－＝．14．根据题意，列出方程：(1) x的20%与15的差的一半等于－2．(2) x的3倍比x的一半多15，求这个数．(3) 某数的3倍与2的差等于16，求这个数．(4) 笼子里有鸡和兔子共12只，共有40条腿，求鸡有多少只．(5) 用绳子量井深，把绳子三折来量，井外余4尺；把绳子四折来量，井外余1尺．求绳子的长．(6) 一块长方形的场地周长为310米，长比宽长25米，求这个场地的长和宽．(7) 一次劳动中，先安排31人去拔草，18人去植树，后又派20人支援他们，结果拔草的人数是植树的人数的两倍，求支援拔草的人数．15．已知：y1＝4x－2，y2＝8－x，当x为何值时，（1）y1＝y2；（2）y1与y2互为相反数；（3）y1比y2小4．16．已知(m2－1)x2＋(m＋1)x＋8＝0是关于x的一元一次方程，它的解为n．（1）求代数式200(m＋n)(n－2m)－3m＋5的值；（2）求关于y的方程－m|y|＝n的解．17．已知(m2－9)x2－(m－3)x＋6＝0是以x为未知数的一元一次方程，如果|a|≤|m|，求|a＋m|＋|a－m|的值．18．若p、q都是质数，以x为未知数的方程px＋5q＝97的根为1，求p2－q的值．中考链接19．（2011•江津区）已知3是关于x的方程2x－a＝1的解，则a的值是（）A．－5 B．5 C．7 D．2 20．（2010•淄博）下列结论中不能由a＋b＝0得到的是（）A．a2＝－ab B．|a|＝|b|C．a＝0，b＝0 D．a2＝b221．（2011•邵阳）请写出一个解为x＝2的一元一次方程：．巅峰突破22．已知x＝2是关于x的方程3x－2m＝4的解，则m的值是（）A．5 B．－5 C．1 D．－123．已知5是关于x的方程3mx＋4n＝0的根，那么nm＝．24．若方程(m2－1)x2－mx＋8＝x是关于x的一元一次方程，则代数式m2008－|m－1|的值为．第二节一元一次方程的解法一、课标导航二、核心纲要1．解一元一次方程的一般步骤（1）去分母：在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数．注：不要漏乘分母为1的项，分子是个整体，含有多项式时应加上括号．（2）去括号：一般地，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．注：不要漏乘括号里的项，不要弄错符号．（3）移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，不含未知数的项移到方程的另一边．注：①移项要变号；②不要丢项．（4）合并同类项：把方程化为ax＝b的形式．注：字母和其指数不变．（5）系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数a（a≠0），得到方程的解x＝ba．注：不要把分子、分母位置颠倒．2．解一元一次方程常用的方法技巧解一元一次方程常用的方法技巧有：整体思想、换元法、裂项、拆添项等．3．含字母系数的一次方程（1）当方程中的系数用字母表示时，这样的方程叫做含字母系数的方程，也叫含参数的方程．（2）方程ax＝b的解的情况①当a≠0时，x＝ba，原方程有唯一解；②当a＝0且b＝0时，原方程有无数解；③当a＝0且b≠0时，原方程无解．4．同解方程如果方程①的解都是方程②的解，并且方程②的解都是方程①的解（即方程①与方程②的解都相同），那么这两个方程是同解方程．本节重点讲解：一个步骤，一个方法技巧，一个解的讨论（含字母系数的方程解的讨论），两个概念．三、全能突破基础演练1．下列解方程步骤正确的是（）A．由2x＋4＝3x＋1，得2x＋3x＝1＋4B．由7(x－1)＝2(x＋3)，得7x－1＝2x＋3C．由0.5x－0.7＝5－1.3x，得5x－7＝5－13xD．由1236x x－＋－＝2，得2x－2－x－2＝122．将方程0.9＋0.50.2 1.550.20.5x x－－＝变形正确的是（）A．9＋52155025x x－－＝B．0.9＋5215525x x－－＝C．9＋5215525x x－－＝D．0.9＋522x－＝3－10x3．已知：|m－2|＋(n－1)2＝0，则方程2m＋x＝n的解为（）A．x＝－4 B．x＝－3 C．x＝－2 D．x＝－14．与方程32x－5＝3的解相同的方程是（）A．3x＝16 B．3x＝13 C．3x＝8 D．3x＝45．已知关于x的方程ax＋b＝0与bx＋a＝0的解相同，则a、b的关系为（）A．a＝b B．a＋b＝0 C．a＝b或a＋b＝0 D．a＝b≠0 6．（1）方程|x|＝3的解是，|x－3|＝0的解是，3|x|＝－3的解是，若|x＋3|＝3，则x＝．（2）若|x＋3|＝x＋3，则x的范围为．（3）若关于x的方程|2x－3|－m＝0只有一个解，则m的值是．7．已知关于x的一元一次方程kx＝4－x的解为正整数，求k所能取得的整数值．能力提升8．某书中有一道解方程的题：13x＋□＋1＝x，□处在印刷时被墨盖住了，查后面的答案，得知这个方程的解是x＝－2，那么□处应该是数字（）A．7 B．5 C．2 D．－29．若m、n是有理数，关于x的方程3m(2x－1)－n＝3(2－n)x有至少两个不同的解，则另一个关于x的方程(m＋n)x＋3＝4x＋m的解的情况是（）A．有至少两个不同的解B．有无限多的解C．有一个解D．无解10．要使方程6x＋5y－2＋3kx－2ky－5k＝0中不含有y，那么k的值应是（）A．0 B．25C．－52D．5211．关于x的方程mx－1＝5x＋3n有无数多个解，那么m＝，n＝．12．若a，b为定值，关于x的一元一次方程236ka x bx－－＝2，无论k为何值时，它的解总是x＝1，则a＝，b＝．13．若关于x的方程3x－4＝－1与ax－b＋1＝－c有相同的解，则(a－b＋c)2012＝．14．若关于x的方程13x－－1＝3x－212x＋与关于x的方程x＋63x a－＝2ax的解互为倒数，求a的值．15．已知关于x的方程2x－3t(x＋3)＝－t＋3x2的一个解是x＝－1，求关于x的方程3x＋2t(x－1)＝5x－t2的解．16．小明解方程215x－＋1＝2x a＋时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘以10，由此求得的解为x＝4，试求a的值，并正确地求出方程的解．17．解方程：（1）0.10.41.2x －－1＝0.210.3x ＋ （2）0.20.450.0150.010.250.015x x＋＋－＝0.5x －2.518．解方程：（1）12[12(14y －32－3)－3]＝1 （2）1－13(x －13x ＋)＝12x －12(2x －1073x －)19．解方程：2018161412357911x x x x x －－－－－＋＋＋＋＝520．解方程：13352007200920092011x x x x⨯⨯⨯⨯＋＋＋＋＝201021．解方程：112x＋－－1＝213x－＋22．关于x的方程||x＋3|－1|＝a有三个解，求a的值．中考链接23．（2008•十堰）把方程3x＋213x－＝3－12x＋去分母正确的是（）A．18x＋2(2x－1)＝18－3(x＋1)B．3x＋(2x－1)＝3－(x＋1) C．18x＋(2x－1)＝18－(x＋1)D．3x＋2(2x－1)＝3－3(x＋1)24．（2011•滨州）依据下列解方程0.30.5210.23x x＋－＝的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据．解：原方程可变形为352123x x＋－＝（）去分母，得3(3x＋5)＝2(2x－1)．（）去括号，得9x＋15＝4x－2．（）（），得9x－4x＝－15－2．（）合并，得5x＝－17．（）（），得x＝－175．（）25．（2011•台湾）若(a－1)︰7＝4︰5，则10a＋8之值为何（）A．54 B．66 C．74 D．80巅峰突破26．若3a 的倒数与293a －互为相反数，则a ＝（ ） A ．32B ．－32C ．3D ．927．解方程：x a b x b c x c ac a b－－－－－－＋＋＝3，(111a b c ＋＋≠0)28．已知关于x 的方程3x ＋a ＝2a x －16(x －6)（1）当a 取什么值时，方程无解？ （2）当a 取什么值时，方程有无穷多个解？ （3）当a 取3时，方程的解是多少？（4）如果方程的解是－2，那么a 的值是多少？第二节一元一次方程的解法一、课标导航二、核心纲要1．解一元一次方程的一般步骤（1）去分母：在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数．注：不要漏乘分母为1的项，分子是个整体，含有多项式时应加上括号．（2）去括号：一般地，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．注：不要漏乘括号里的项，不要弄错符号．（3）移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，不含未知数的项移到方程的另一边．注：①移项要变号；②不要丢项．（4）合并同类项：把方程化为ax＝b的形式．注：字母和其指数不变．（5）系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数a（a≠0），得到方程的解x＝ba．注：不要把分子、分母位置颠倒．2．解一元一次方程常用的方法技巧解一元一次方程常用的方法技巧有：整体思想、换元法、裂项、拆添项等．3．含字母系数的一次方程（1）当方程中的系数用字母表示时，这样的方程叫做含字母系数的方程，也叫含参数的方程．（2）方程ax＝b的解的情况①当a≠0时，x＝ba，原方程有唯一解；②当a＝0且b＝0时，原方程有无数解；③当a＝0且b≠0时，原方程无解．4．同解方程如果方程①的解都是方程②的解，并且方程②的解都是方程①的解（即方程①与方程②的解都相同），那么这两个方程是同解方程．本节重点讲解：一个步骤，一个方法技巧，一个解的讨论（含字母系数的方程解的讨论），两个概念．三、全能突破基础演练1．下列解方程步骤正确的是（）A．由2x＋4＝3x＋1，得2x＋3x＝1＋4B．由7(x－1)＝2(x＋3)，得7x－1＝2x＋3C．由0.5x－0.7＝5－1.3x，得5x－7＝5－13xD．由1236x x－＋－＝2，得2x－2－x－2＝122．将方程0.9＋0.50.2 1.550.20.5x x－－＝变形正确的是（）A．9＋52155025x x－－＝B．0.9＋5215525x x－－＝C．9＋5215525x x－－＝D．0.9＋522x－＝3－10x3．已知：|m－2|＋(n－1)2＝0，则方程2m＋x＝n的解为（）A．x＝－4 B．x＝－3 C．x＝－2 D．x＝－14．与方程32x－5＝3的解相同的方程是（）A．3x＝16 B．3x＝13 C．3x＝8 D．3x＝45．已知关于x的方程ax＋b＝0与bx＋a＝0的解相同，则a、b的关系为（）A．a＝b B．a＋b＝0 C．a＝b或a＋b＝0 D．a＝b≠0 6．（1）方程|x|＝3的解是，|x－3|＝0的解是，3|x|＝－3的解是，若|x＋3|＝3，则x＝．（2）若|x＋3|＝x＋3，则x的范围为．（3）若关于x的方程|2x－3|－m＝0只有一个解，则m的值是．7．已知关于x的一元一次方程kx＝4－x的解为正整数，求k所能取得的整数值．能力提升8．某书中有一道解方程的题：13x＋□＋1＝x，□处在印刷时被墨盖住了，查后面的答案，得知这个方程的解是x＝－2，那么□处应该是数字（）A．7 B．5 C．2 D．－29．若m、n是有理数，关于x的方程3m(2x－1)－n＝3(2－n)x有至少两个不同的解，则另一个关于x的方程(m＋n)x＋3＝4x＋m的解的情况是（）A．有至少两个不同的解B．有无限多的解C．有一个解D．无解10．要使方程6x＋5y－2＋3kx－2ky－5k＝0中不含有y，那么k的值应是（）A．0 B．25C．－52D．5211．关于x的方程mx－1＝5x＋3n有无数多个解，那么m＝，n＝．12．若a，b为定值，关于x的一元一次方程236ka x bx－－＝2，无论k为何值时，它的解总是x＝1，则a＝，b＝．13．若关于x的方程3x－4＝－1与ax－b＋1＝－c有相同的解，则(a－b＋c)2012＝．14．若关于x的方程13x－－1＝3x－212x＋与关于x的方程x＋63x a－＝2ax的解互为倒数，求a的值．15．已知关于x的方程2x－3t(x＋3)＝－t＋3x2的一个解是x＝－1，求关于x的方程3x＋2t(x－1)＝5x－t2的解．16．小明解方程215x－＋1＝2x a＋时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘以10，由此求得的解为x ＝4，试求a 的值，并正确地求出方程的解． 17．解方程：（1）0.10.41.2x －－1＝0.210.3x ＋ （2）0.20.450.0150.010.250.015x x＋＋－＝0.5x －2.518．解方程：（1）12[12(14y －32－3)－3]＝1 （2）1－13(x －13x ＋)＝12x －12(2x －1073x －)19．解方程：2018161412357911x x x x x －－－－－＋＋＋＋＝520．解方程：13352007200920092011x x x x⨯⨯⨯⨯＋＋＋＋＝201019．解方程：112x ＋－－1＝213x －＋22．关于x 的方程||x ＋3|－1|＝a 有三个解，求a 的值．中考链接23．（2008•十堰）把方程3x ＋213x －＝3－12x ＋去分母正确的是（ ） A ．18x ＋2(2x －1)＝18－3(x ＋1) B ．3x ＋(2x －1)＝3－(x ＋1) C ．18x ＋(2x －1)＝18－(x ＋1) D ．3x ＋2(2x －1)＝3－3(x ＋1) 24．（2011•滨州）依据下列解方程0.30.5210.23x x ＋－＝的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据． 解：原方程可变形为352123x x ＋－＝（ ） 去分母，得3(3x ＋5)＝2(2x －1)．（ ） 去括号，得9x ＋15＝4x －2．（ ） （ ），得9x －4x ＝－15－2．（ ） 合并，得5x ＝－17．（ ） （ ），得x ＝－175．（ ） 25．（2011•台湾）若(a －1)︰7＝4︰5，则10a ＋8之值为何（ ）A ．54B ．66C ．74D ．80巅峰突破26．若3a 的倒数与293a －互为相反数，则a ＝（ ） A ．32B ．－32C ．3D ．927．解方程：x a b x b c x c ac a b－－－－－－＋＋＝3，(111a b c ＋＋≠0)28．已知关于x 的方程3x ＋a ＝2a x －16(x －6)（1）当a 取什么值时，方程无解？ （2）当a 取什么值时，方程有无穷多个解？ （3）当a 取3时，方程的解是多少？（4）如果方程的解是－2，那么a 的值是多少？第三节 一元一次方程的应用1．设未知数的三种方法 （1）直接设未知数直接设未知数题目问什么就设什么，它多适用于要求设的未知数只有一个的情况。
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4. 去分母 去括号 移项
合并同类项 系数化为 1
5. 去分母要乘以每一项；分数线有括号的作用；去括号要分配给每一项；去括 号注意是否要变号；移项要变号；移项后总项数不变；系数化为 1．
精讲精练
1. ③
2. 1
3. 2
4. 6
5. D
6. 3(5 x) 2(4 x) 6
7. （1） x 8 ； （2） x 1 ； （3） y 4 ； （4） x 1 ；
②__________________________________________________
___________________________________________________．
4. 解方程的五个步骤：①______________；②______________；③
_____________；④______________；⑤_____________．
精讲精练
1. 下列各式中，是一元一次方程的为_________（填序号）． ①3+7=10；②3x5；③ 2x 1 1；④ x2 x 1 ．
2. 若 (a 1)x a 3 6 是关于 x 的一元一次方程，则 a=______．
3. 如果 x=5 是方程 ax 5 23 4a 的解，那么 a=__________．
4. 若 2 是关于 x 的方程 3x+a=0 的一个解，则 a 的值是______．
5. 方程 2 2x 4 x 7 去分母得（ 3 12
）A． 2 4(2x 4) (x 7)
B． 24 (2x 4) x 7
C． 24 4(2x 4) (x 7) D． 24 4(2x 4) x 7
典型题测试
1. 解 方 程 3x 1 x 2 1的 过 程 中 ， 去 分 母 正 确 的 是 （
）
3
2
A． 2(3x 1) 3(x 2) 1
B． 2(3x 1) 3(x 2) 3
C． 2(3x 1) 3(x 2) 6
m
1
的值．
【参考答案】
课前预习
1. 未知数 等式
2. 同一个数 同一个数 除以同一个不为 0 的数
3. ④⑤⑥⑦ 4. （1） x 21 （2） a 6
知识点睛
1. 一个未知数 整式 未知数的指数都是 1 2. 相等 未知数的值
3. 等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式 等式两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为 0 的数），所得结果仍是等式
3. 已知 a，b，x，y 都是未知数，给出下列式子： ① 2x 1 ；② 3 2 5 ；③ 2x 3 1；④ 3a 2 1；
⑤ 5a 3b 1；⑥ 2x 3y ；⑦ 2 5x ． x 1
其中是方程的有_________________．
4. 解下列方程：
（1） x 19 2
（2） 36 2a 48
7
7
2
（5） y 8 ； （6） x 3 ； （7） y 7 ； （8） x 3 ；
（9） x 2 ； （10） x 1 ．
8. m 7 9. 26
4
解一元一次方程（随堂测试）
要点回顾
1. 使方程左、右两边的值______的__________叫做方程的解． 2. 等式的基本性质
①等式两边同时加上（或减去）同一个________，所得结果仍是等式； ②等式两边同时乘同一个数（或除以同一个___________），所得结果仍是等 式． 3. 解方程的五个步骤： ①______________；②_______________；③____________； ④______________；⑤_______________．
6. 方程 5 x 4 x 1，去分母可变形为________________． 23
7. 解下列方程：
（1） 2x 2 5x 3 2x 2 ； （2） x 1 5x 1 1；
2
3
36
2
（3） y 1 y 3 ； 37
（4） 2x 1 10x 1 2x 1 1；
3
6
0.2
0.1
（10） 0.8 9x 1.3 3x 5x 1 ．
1.2
0.2 0.3
3
8. m 为何值时，代数式 2m 5m 1 的值与代数式 7 m 的值的和等于 5？
3
2
9. 已知 x 1 是方程 2x m 1 x m 的解，求代数式
2
4 23
1 4
(4m2
2m
8)
1 2
1
知识点睛
1. 一元一次方程的定义：在一个方程中，只含有___________，而且方程中的
代数式都是________，_________________，这样的方程叫做一元一次方
程．
2. 使方程左右两边的值________的___________叫做方程的解．
3. 等式的基本性质：①___________________________________ ___________________________________________________；
5. 七个易错点：①________________；②_________________；
③______________________；④______________________；⑤ ______________________；⑥______________________；⑦ ______________________．
4
（5） y 2 2 y 3 5 ； （6） 2(x 1) 5(x 1) 1 ；
4
63
3
8 12
（7）1 3(8 y) 2(15 2 y) ；
（8） 8(3x 1) 9(5x 11) 2(2x 7) 30 ；
（9） 4x 1.5 5x 0.8 1.2 x 3；
0.5
解一元一次方程（讲义）
课前预习
1. 含有_______的_______叫做方程．
2. 等式的基本性质 性质 1： 等式两边同时加上（或减去）___________，等式仍然成立．
性质 2：
等 式 两 边 同 时 乘 ___________ （ 或 _____________________ ）， 等 式 仍 然 成 立．