高考：语文没那么难,数学题型创新看不懂-教学文档
高考首日文科生吐槽数学太难或为“文理不分科”作铺垫
高考首日文科生吐槽数学太难或为“文理不分科”作铺垫据《新闻晨报》报导，昨日下午，考生结束了数学高考，文理科学生的反响不一，许多文科生在网上集体“吐槽”，去年是理科数学难“哭”了一批人，今年是文科数学很“坑爹”。
理科生 :数学题比昨年简单“数学卷难题不多，基础题应当都能拿到分了吧。
”昨天下午5 点 05 分，走出古美高中考场的小陈同学，心情显得有点轻松。
考生们广泛反响，今年的理科数学卷子比昨年简单。
理科学霸们广泛信心满满。
可文科数学卷却让有些考生想飙泪。
昨日下午高考的数学试题，许多文科学生找老师倾吐 :数学要完了，难度比昨年高多了，本来认为会有半个小时以上的时间来检查，可最后都来不及做了。
一所中学老师反应，今年喊“难”的学生多半是文科生。
而与之形成激烈对照的是，理科生大多感触今年数学没昨年难。
“昨年的数学实在是太难了！”上外附中的赵小茜说，填空和选择做得十分顺利，没花太多的时间，可是真实的“拦路虎”却在后边，“最后两道大题仍是有点坡度要爬的，整体感觉没有想像的简单。
但幸亏前方简单，留给大题许多地思虑空间。
”今年数学降低了运算要求第1页/共3页学而思高考研究中心数学研究员梁俊朝老师剖析，今年的数学卷在突出基础，重申创新的命题特色整体上没变，试题命题方向较好反响了目前上海高考数学考试的趋向和方向。
关于文理卷难度的差别，梁老师说，文理要点观察方向都是一致的，但在难点观察重视点上会有不一样。
近几年上海高考理科试题逐渐趋难，文科难度比较平均。
只管部分文科考生反应难度提升了，但还要看整体考分的出炉，才能最后来定难易，但难易也是相对的。
“今年的数学考卷整体来说文理差别不大，前三道简答题几乎如出一辙，后边两道也不过几个小问题有所不一样，因此关于文科生来说可能比较费劲。
”华师大二附中的数学老师甄德文表示，这样的出卷企图很有可能是为未来数学“文理不分科”作铺垫。
一般说来，“教师”观点之形成经历了十分漫长的历史。
杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。
新高考数学题型改革
新高考数学题型改革全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：随着时代的进步和社会的发展，教育体制也在不断改革和创新。
作为学生们重要的考试科目之一，数学在新高考改革中也发生了一些变化，新高考数学题型改革备受关注。
数学是一门基础学科，也是一门具有科学性和逻辑性的学科。
新高考数学题型改革旨在提高学生的数学素养，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力，让学生更好地适应未来社会的需求。
一、背景在过去的高考制度中，数学题型主要分为选择题和填空题两种，注重考查学生的记忆能力和计算能力。
而新高考数学题型改革则更加注重考查学生的数学思维能力和解决问题的能力。
随着科技的发展和社会的进步，传统的数学教育模式已经无法满足学生发展的需求，因此有必要对数学教育进行改革和创新。
二、新高考数学题型改革的主要内容1. 多元化题型：新高考数学试卷不再固守传统的选择题和填空题，而是增加了更多的解答题和应用题。
通过引入多元化的题型，可以更好地考查学生的数学综合能力和解决问题的能力，培养学生的创新意识和实践能力。
2. 考查思维能力：新高考数学题型改革也更加注重考查学生的思维能力，例如通过设计思维导向的题型来考查学生的逻辑思维能力、推理能力和创新能力。
这种考察方式能够激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性。
4. 强化综合性评价：新高考数学题型改革强调综合性评价，考察学生在解决问题过程中的整体表现。
通过综合评价，可以更加客观地评估学生的数学学习水平和综合素质，帮助学生找到自身的不足之处，进一步提高学习水平。
1. 提高学生的数学素养：新高考数学题型改革更加注重考查学生的思维能力和解决问题的能力，有助于提高学生的数学素养。
通过解决更多的实际问题，可以让学生更好地理解数学知识的实际应用，提高学生的数学实践能力。
3. 促进教学改革：新高考数学题型改革也促进了教学模式的改革和创新。
教师在教学中需要更多地注重培养学生的思维能力和解决问题的能力，促进学生的综合素质发展。
高考数学(全国卷)分析
2019高考数学（全国卷）分析6月7日数学考试结束后，很多考生对本次全国二卷高考数学题难易程度有着不同的看法，以下通过2019年文、理试题的对比和2019年与2019年高考试题的对比对此次高考考题进行简洁分析。
一、2019年试题文、理差异扩大纵观2019全国二卷文、理两套题，理科卷的整体难度明显高于文科卷，文、理科考查的程度和思维类型显著不同，文科偏重于计算的条理性，大都是基础学问，通性通法，而理科侧重于运算的严谨性，在通法的基础上对抽象思维要求更高些。
第一，对同一学问点考查理科难于文科，如文科对于平面对量的考查仅仅是简洁的计算模长的问题，出现在试卷的第三题;而理科卷中平面对量则是作为选择的压轴题出现，不仅考查了平面对量数量积运算、向量加减法，而且与函数结合考查最值问题。
其次，我们还可以从题目设置可以看出文、理卷的难易，理科卷中的第3、4、5、6、9、11题在文科卷中的位置要靠后，从某种意义上来讲，理科要难于文科。
第三，今年全国二卷一个很大的亮点就是近几年首次出现了三角函数大题不一样的状况，这就说明文科、理科差异越来越大，这些差异说明白高考的试题的确是紧扣考纲的，也是紧承中学课程教化理念的，这不仅有利于树立文科学生学好数学的信念，也是对理科学生的一种思维促进。
二、高考试卷结构分析对比2019年考题从整体上来讲出题结构与历年一样，相对比较平稳，16道小题依旧考查了各个小点，6道大题依旧考查解三角形、数列、概率、立体几何、圆锥曲线和导数。
就题目本身来说，难易程度较去年有所下降，但是考查方式变得更加敏捷，让不少考生有一种上手简洁答对难的感觉。
如理科第7题排列组合问题，以往在考查此类安排问题的时候给出的是不同的元素，而2019年给出的却是相同的元素，就题目本身而言并不是很难，就是因为考生在形式某种定势思维后，突然遇到这种敏捷多变题型就会很简洁出错。
理科三角函数大题，其实从思路上来讲不并难，但是当依据已知条件找到想要的关系时，最终化简成为广阔考生的障碍，此时对考生的计算实力的要求就比较高了。
高考语文题目透露哪些新趋势
附：高考语文题目透露哪些新趋势第一，走向统一是大势所趋。
今年的高考语文试题没有那么厚实了，原因是一共只有八套题。
比起以往动辄十七八套来说，真是大大地瘦身了。
英语更是只有七套，可谓苗条了。
总之，全国有26个省市自治区直辖市使用了一张卷，这的确是一个盛举。
在这盛举的背后，将是势不可挡的走向统一。
第二，提升难度是不二之选。
循序渐进，全国一张卷，似乎也很有可能在2019、2020的高考中悄然实现，而万众瞩望的高考公平似乎也会离我们越来越近。
然而，事物都是辩证的，我们还应看到另一面：作为一名高中生与高中教师来说，我们则更应看到，全国一张卷给教学与考试带来的直接影响，只能是提升难度。
第三，展望难度则胜券在握。
结合全国高考改革进程，对于语文高考分值，目前可依的信心值是180分（另有300分的呼声尚待商榷）。
180——比现行的分数要多出30分——虽然要到2020年才会实现，但是，根据2017年高考中便已横空出世的两道大阅读必答题的残酷现实。
我们有理由相信，这种渐进式的小步改革一定会在接下来的两年中得到快速普及——乃至总分增至160或170也是完全有可能的。
因此，对有可能增值的空间进行精准预测，便可使考生在应对2019两年即将到来的高考中更加地胜券在握。
高考语文考试重点1、简单题目更要仔细认真。
尤其是，名句默写、字音、词语、病句、句子衔接等。
2、做文言文部分，应在通读基础上再去做断句和翻译。
断句时，注意实词和虚词相关联，断句断的是句，不是词。
3、认真审题。
比如一道题问的是春天的时节，答案是“早春”，而有考生错答为“春天”。
4、作文题目。
不要漏写，更不要擅自改变。
(数学)高考数学创新题的几个命题方向
高考数学创新题的几个命题方向在近几年各省市的高考试卷中都有几个创新题，无论是试题形式的设计，考试内容的选择，考查思维的深度，问题情景的创设等，都给人耳目一新之感，呈现了“重点突出，焦点集中，亮点璀璨”的特色，准确阐释了高考命题的思想和原则，具体来说，创新题有哪些命题方向呢？下面我们通过高考题或模拟题做个归类分析．创新题命题方向之一：定义“新概念”或“新运算”型新信息题成为高考试题改革的一个新的亮点，通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新的模型等创设一种全新的问题情境，主要考查学生独立提取信息、加工信息的能力，要求考生在阅读理解的基础上，紧扣条件，抓住关键的信息，实现信息的转化，达到灵活解题的目的，【例1】为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为),2,1,0}(1,0{,210=∈i a a a a i 传输信息为,12100h a a a h 其中⊕=00a h ⊕⊕=,,2011a h h a 运算规则为：,000=⊕,110=⊕,101=⊕,011=⊕例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是( )A ．11010B ．01100C ．10111D ．00011【解析】按题中新定义的新运算法则将给出数据信息进行转化．我们知道，传输信息之间的三个数是原信息，C 选项原信息为011，则,1100=⊕=h ,011201=⊕=⊕=a h h 所以应该接收信息10110．故选C ．【点评】在给出新定义或新运算问题中要摒弃原有的运算法则，以避免造成运算的紊乱．面对这类问题只需按给定的法则进行运算即可，此类问题虽然给出的条件信息比较多，而其实质却很简单，只需用简单的数学知识即可解决．【例2】已知函数,)2(2)(22a x a x x f ++-=--+-=x a x x g )2(2)(2.82+a 设)},(),(m ax {)(1x g x f x H =)},(),(m in{)(2x g x f x H =(max },{q p 表示q p ,中的较大者，min },{q p 表示q p ,中的较小值），记)(1x H 得最小值为)(,2x H A 得最大值为,B 则=-B A ( )A ．1622--a a B ．1622-+a a C ．16- D ．16【解析】)(x f 顶点坐标为,2(+a ),44--a )(x g 顶点坐标+--a a 4,2(),12并且每个函数顶点都在另一个函数的图像上，如下图所示，B A 、分别为两个二次函数顶点的纵坐标，所以.16)124()44(-=+----=-a a B A 选C ．【点评】深刻理解新概念是解题的关键，画出图像为我们的理解起到了举足轻重的作用，另外找到顶点的特征为解 题找到了突破口，还要注意A ，B 并非在同一个自变量取得.针对性练习：设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数)(x f y =满足：}|)({)(S x x f T i ∈=；)(ii 对任意,,21S x x ∈ 当21x x <时，恒有),()(21x f x f <那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是( )A ．NB N A ==*, B ．},31|{≤≤-=x x A }1008|{≤<-==x x x B 或C ．R B x x A =<<=},10|{D ．Q B Z A ==,【解析】根据题意可知，令,1)(-=x x f 则A 选项正确；令⎪⎩⎪⎨⎧-=-≤<-+=)1(,8)31(,2525)(x x x x f 则B 选项正确；令),21(tan )(-=x x f π则C 选项正确．故答案为D ．创新题命题方向之二：类比型给出几个在结构上类似的等式或不等式，通过应用其相似性把信息从一个对象转移到另一个对象获得对有关问题的结论或在其性质上有相同或相似的一种推理形式，实现信息的转化，达到求解的目的，类比是创造性的“模仿”，联想是“由此及彼”的思维跳跃，编制题目引导考生将所求的问题与熟知的信息相类比，进行多方位的联想，将式子结构、运算法则、解题方法，问题的结论等引申推广或迁移，可由已知探索未知，由旧知探索新知，这既有利于培养同学们的创新思维，又有利于提高同学们举一反三、触类旁通的应变能力.【例3】先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知,,21R a a ∈,121=+a a 求证.212221≥+a a 证明：构造函数,)()()(2221a x a x x f -+-= .22)(22)(222122221212a a x x a a x a a x x f ++-=+++-= 因为对一切,R x ∈恒,0)(≥x f 所以,0)(842221≤+-=∆a a 从而得⋅≥+212221a a (1)若,,,21 a a ,R a n ∈,121=+++n a a a 请写出上述结论的推广式； (2)参考上述解法，对你推广的结论加以证明．【解析】这是类比问题的推广，所以只需依照条件中给出的结论的结构特征及证明方法即可得到推广结论及其证明．(1)若,1,,,,2121=+++∈n n a a a R a a a 求证：na a a n 122221≥++ . (2)证明：构造函数22221)()()()(n a x a x a x x f -++-+-=22221212)(2n n a a a x a a a nx +++++++-= 2222122n a a a x nx ++++-=因为对一切,R x ∈都有,0)(≥x f 所以22121(44n a a a n +++-=∆ ,0)≤从而证得：na a a n 122221≥+++ 【点评】对于某些不等式证明题，我们若能根据其条件和结论，结合判别式的结构特征，通过构造二项平方和函数：=)(x f ,)()()(2222211n n b x a b x a b x a -++-+- 由,0)(≥x f得,0≤∆就可以使一些用一般方法处理较繁的问题，获得简捷、明快的证明，构造法解题的最大特点是调整思维视角，在更广阔的背景下考察问题中所涉及的代数、几何元素及其相互关系．所以应用构造法解题的关键有：(1)要有明确的方向，即为何构造；(2)要弄清条件的本质特点，以便进行逻辑组合.【例4】当,R x ∈1||<x 时，有如下表达式：=+++++ nx x x 21⋅-x11两边同时积分得：=+++++⎰⎰⎰⎰21212210211dx x dx x xdx dx n .11210dx x⎰- 从而得到如下等式：11)21(31)21(2121132+++⨯+⨯+⨯n .2ln )21(1=+⨯+ n 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：=⨯+++⨯+⨯+⨯+13221)21(11)21(31)21(2121n n n n n n C n C C C _____. 【解析】材料中是从一个原有的等式，对其等号两边同时积分得到一个新的等式，因此，要解决题中所给的问题，要先找到一个等式，使其等号两边积分后与题中所给的式子尽可能的相关，在这个过程中，观察和联想很重要．从题中观察到，+⨯210n C ⨯+⨯22131)21(21n n C C =⨯++++13)21(11)21(n n n C n ____和+⨯211.2ln )21(11)21(31)21(21132=+⨯+++⨯+⨯+ n n 等号左边的式子相比，只多了个系数,in C 再从式子的整体结构和各项中，联想到二项展开式,)1(12210n n n n n n n x x C x C x C C +=+++++ 对其等号两边同时积分，即得：由10n Cnn n nnn x x C x C x C )1(221+=+++++ 两边同时积分得：22102210121001x C xdx C dx C n nn ⎰⎰⎰++=+++⎰ (210)dx x C dx nn n.)1(210⎰+d x n 从而得到如下等式：+⨯+⨯210)21(2121n nC C 231n C ++⨯ 3)21( 11+n 11)21(1+=+n C n n n ].1)23[(1-+n 【点评】问题的材料本身就很有创新，我们要根据材料提供的方法应用到新问题中，这对我们是个考验，怎么运用呢？联想到我们熟知的等式：++++ 22101x C x C C n n n n n n x Cn x )1(+=+ 是解题的关键．针对性练习：在数学解题中，常会碰到形如“xyyx ++1”的结构，这时可类比正切的和角公式，如：设b a ,是非零实数，且满足,158tan 5sin5cos 5cos5sinπππππ=-+b a b a 则=a b ( )A ．4B ．15C ．2D ．3【解析】首先条件等式化成形如“xyyx -+1”的结构，然后利用两角和的正切公式来解题，将条件左式变形，得,5tan 15tan5sin 5cos 5cos5sinab a bb a b a ⋅-+=-+ππππππ联想两角和的正切公式，设,tan a b =θ则有=+)5t a n (θπ,158tan 5tan 15tanπππ=⋅-+ab a b 则,1585ππθπ+=+k 解得∈+=k k (3ππθ),Z 于是,3)3tan(=+=ππk a b 答案选D ．创新题命题方向之三：高等数学与初等数学的衔接型将高等数学问题下放，用初等方法来解决高等与初等数学的衔接问题，这是近年高考中的一个特点.【例5】定义如下运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nm m m m n n n xx x x xx x x x x x x x x x x 321333323122322211131211....................⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nk n n n kk k yy y y yy y y yy y y y y y y 321333323122322211131211.....................=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mk m m m k k k zz z z yz z z y z z z y z z z 321333323122322211131211..................., 其中*).,,1,1(332211N j i n j m i y x y x y x y x z nj in j i j i j i ij ∈≤≤≤≤++++=- 现有2n 个正数的数表A 排成行列如下：（这里用ij a 表示位于第i 行第j 列的一个正数，*),N j i ∈ln 131211a a a a ,n a a a a 2232221 ,n a a a a 3333231 ,..............，其中每横行的数成等差数列，每竖列的数成nn n n n a a a a 321等比数列，且各个等比数列的公比相同，若,124=a ,8142=a =43a ⋅163求ija 的表达式（用j i ,表示）．【解析】本题数列中的每一项都有两个下标，在}{ij a 中每横行的数成等差数列，每竖列的数成等比数列，要明确这一信息与下标间的关系，并利用这一信息源得出ij a 的表达式． 每一行的数成等差数列，444342,,a a a ∴成等差数列．,2444243a a a +=∴,4144=∴a 又每一列的数成等比数列，故,22444q a a = ,124=a ,412=∴q 且,0>n a ⋅=∴21q,16))(2(81)2(4243424ja a j d j a a j =--+=-+=∴.2)21(44i i j ij ja a ==∴-⋅【点评】新背景等比数列题型往往利用新定义或新概念将等比数列的知识点交汇于其中，该题型是高考命题的新动向．本题是等比数列与“行列式”相交汇的新背景题型，由于新型的定义式的出现，导致该题型又多了几分神秘的色彩，为我们接受新型问题开阔了眼界．针对性练习：定义},,,max{21n s s s 表示实数n s s s ,,,21 中的最大者．设),,,(321a a a A ==B ,321⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛bb b 记},,m ax {332211b a b a b a B A =⊗, 设,1(-=x A ),1,1+x =B ,|1|21⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x 若,1-=⊗x B A 则x的取值范围为( )A ．]1,31[-B ．]21,1[+C ．]1,21[-D ．]31,1[+【解析】由定义知：|}1|),2)(1(,1{},,{332211--+-=x x x x b a b a b a 若,1-=⊗x B A 则⎩⎨⎧-≥--+≥-|,1|1),2)(1(1x x x x x 解得.211+≤≤x 选B ．创新题命题方向之四：信息迁移型信息迁移题是指以考生已有的知识为基础，在此基础上设置一个新的数学情境，或把已有的知识进一步引申，设置一个简单而又熟悉的物理情境或生活情境或定义新的数学内容，要求考生读懂题目，并根据题目引入的新内容解题．【例6】已知数列}{n a 中．)1(211-++=n a a n 且,,(*R a N n ∈∈)0=/a .(1)若,7-=a 求数列}{n a 中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的*,N n ∈都有6a a n ≤成立，求a 的取值范围． 【解析】(1)当7-=a 时，,1921+-=n a n 令,1921)(+-=x x f 则函数)(x f 在)29,(-∞和),29(+∞上单调递减，画出图像知}{n a 的最大项为,25=a 最小项为.04=a(2)对任意的*,N n ∈都有6a a n ≤成立，即}{n a 的最大项是第6项，因为+=1n a22211)1(21a n n a --+=-+，所以要保证}{n a 的最大项是第6项，只需满足,6225<-<a 解得).8,10(--∈a【点评】,1921+-=n a n 1921)(+-=x x f 一个是数列，一个是函数，他们有联系，也有区别，适时转换（信息迁移）——转化为一次分式函数，并利用一次分式函数的图像和性质是解答本题的关键．针对性练习：规定密码把英文的明文（真实文）按分母分解，其中英文,a z c b ,,, 的26个字母（不论大小写）依次对应1，2，3，…，26，这26个正整数，见表格：并给你一个变换公式：='x ，为偶数为奇数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤∈+≤≤∈),261,(132),261,(2x x N x x x x N x 将明文转换成密文，若,1713288=+→则h 变为→8;q ,132125=+ 则y 变成m ，按上述规定，若将某明文译成的密文是,shxc 你能否得出原来的明文？ 【解析】字母s 在密码表中对应的数字是19．或，1921=+x 则,37=x 但原明文中只对应26个整数，从而,19132=+x所以=x ,12 因此s 的明文是l ．同理可求.,e c v o h →→→因此shxc 的明文是love .创新题命题方向之五：探索探究型探索性问题是开放性问题的一种，高考中的探索性问题主要考查考生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机融合，并赋予新的情境创设而成的．要求考生自己观察分析，创造性地运用所学知识和方法解决问题，【例7】已知射线OP ，作出点M 使得,3π=∠POM 且,8||=OM 若射线OP 上一点N能使得MN 与ON 的长度均为整数，则称N 是“同心圆梦点”. 请问射线OP 上的同心圆梦点共有________个．【解析】如图，过点M 作.OP MH ⊥ 因为,3π=∠POM 且,8||=OM 所以,4||=OH ,34||=MH 设,||a MB =n m b HB ,(||=是正整数)．显然，在MHB Rt ∆中，有 ,)34(222=-b a 即))((b a b a -+.48=因为b a +与b a -同奇偶，所以48的分解只能取下列三种：,6841222448⨯=⨯=⨯=得)1,7(),4,8(),11,13(),(=b a 时就对应有三个同心圆梦点.,,321B B B 另外，易知点3B 关于直线MH 对称的点4B 也是符合题意，故射线OP 上的同心圆梦点共有4个．【点评】本题以三角形边长为整数为背景来命题，考查考生对有关数论综合分析能力，以MN 与ON 的长度均为整数为突破口来寻找点N ，将本题转化为列方程求整数解的个数问题．针对性练习：已知定理：“若b a ,为常数，)(x g 满足,2)()(b x a g x a g =-++ 则)(x g y =函数的图像关于点),(b a 中心对称”，设函数=)(x f ,1xa ax --+定义域为A ．(1)试证明)(x f y =的图像关于点)1,(-a 成中心对称； (2)当]1,2[--∈a a x 时，求证：]0,21[)(-∈x f ； (3)对于给定的,A x i ∈ 设计构造过程：),(),(2312x f x x f x == ).(,1n n x f x =+ 如果),,3,2( =∈i A x i 构造过程将继续下去；如果,A x i ∉构造过程将停止．若对任意,A x i ∈构造过程可以无限进行下去，求a 的值. 【解析】(1),11)(axx f +-= +-+-+-=-++∴1()11()()(x x a f x a f ,2)1-=x由已知定理得，)(x f y =的图像关于点)1,(-a 成中心对称； (2)首先证明)(x f 在]1,2[--a a 上是增函数， 为此只要证明)(x f 在),(a -∞上是增函数． 设,21a x x <<<∞- 则=-)()(21x f x f ,0))((11212121<---=---x a x a x x x a x a )(x f ∴在),(a -∞上是增函数．再由)(x f 在]1,2[--a a 上是增函数，得当]1,2[--∈a a x 时，)],1(),2([)(--∈a f a f x f 即]0,21[)(-∈x f(3)∵构造过程可以无限进行下去，又)(x f 的定义域为R x ∈且,a x =/a xa ax x f =/--+=∴1)(对任意A x ∈恒成立，∴方程a xa ax =--+1无解，即方程1)1(2-+=+a a x a 无解或有唯一解,a x =，⎩⎨⎧=/-+=+∴01012a a a 或，⎪⎩⎪⎨⎧=--+=/+a a a a a 11012由此得到.1-=a另外，知识迁移型也是创新的一个方向．总之，数学创新题以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，是训练和考查考生的数学思维能力，分析问题和解决问题能力的好题型．它与新课标要求考生“对新颖的信息、情境和设问，选择有效的方法和手段收集信息，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立思考、探索和研究，才是解决问题的思路，创造性解决问题”的思想相吻合，体现出高考支持课改并服务于课改的指导思想．要求考生面对陌生情境，迅速提取有用信息，要善于挖掘创新试题的内涵与本质，并合理迁移运用已学的知识加以解决.【练练手】1．定义：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上存在),(00b x a x << 满足,)()()(0ab a f b f x f --=则称0x 是函数)(x f y =在区间],[b a 上的一个均值点，已知函数1)(2++-=mx x x f 在区间]1,1[-上存在均值点，则实数m 的取值范围是________.2．设)(x f y =为区间]1,0[上的连续函数，且恒有)(0x f ≤,1≤可以用随机模拟方法近似计算积分,)(1dx x f ⎰先产生两组（每组N 个）区间]1,0[上的均匀随机数N x xx ,,21和,,21 y y ,N y 由此得到N 个点),,,2,1)(,(N i y x i i =在数出其中满足≤i y =i x f i )((()),,2,1N 的点数,1N 那么由随机模拟方法可得积分dx x f )(1⎰的近似值为________.3．已知)(x f 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对任意实数b a 、满足=⋅)(b a f )(b af),(a bf +,2)2(=f *),()2(N n nf a n n ∈=有以下结论： ①)1()0(f f =；②)(x f 为偶函数；③数列}{n a 为等比数列；④数列}{n b 为等差数列． 其中正确结论的序号是________.4．已知集合},,,,,{321n a a a a A =其中>≤≤∈n n i R a i ,1()(),2A l 表示和)1(n j i a a j i ≤≤≤+ 中所有不同值的个数．(1)设集合},8,6,4,2{=P },16,8,4,2{=Q 分别求)(P l 和l );(Q (2)若集合},2,,8,4,2{nA = 求证：2)1()(-=n n A l ； (3))(A l 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？参考答案1．解析：本题等价于m mx x =++-12在)1,1(-∈x 有解，所以)2,0(1∈+=x m . 2．解析：由题意知本题是求,)(1dx x f ⎰而它的几何意义是函数)(x f （其中1)(0≤≤x f ）的图像与x 轴、直线0=x 和直线=x 1所围成图形的面积，均匀随机数所产生的点有N 个，也就是落在正方形1,0,1,0====y y x x 区域上的点有N 个，而满足≤1y )),,2,1)(((N i x f i =的点数有1N 个，相当于正方形,1,0==x x ,0=y1=y 区域上的围成的面积为N ，图像)(x y =与直线0=x 和直线1=x 及x 轴所围成图形的面积为,1N 所以≈NN11)(1⎰dx x f 即⋅≈⎰NN dx x f 11)( 3．解析：因为,,R b a ∈∀),()()(a bf b af b a f +=⋅ ∴取==b a ,1,1得,0)1(=f 取,2=a,2=b 得,8)2(4)4(==f f 取,2,0==b a 得)0(f ),0(2f =,0)0(=∴f 取,2-=a ,2-=b 得)2(4)4(--=f f ，)2(-∴f ,2-=取,2,21-==n b a 得)2(2)2(1-=n n f f∴+=+--,2)2(2)2(211nn n f f )1(12)2(2)2(11 +=--n n n n f f ，由*),()2(N n n f a n n ∈=得,)2(n nna f =代入(1)，得112)1(2---=n n n n a n na ,1+,2)2(1==f a ,2n na nn=∴ .2n n a =∴ 答案：①③④．4．解析：(1)由=+=+=+=+=+84,1064,1082,862,642,1486,12=+ 得.5)(=P l由,24168,20164,1284,18162,1082,642=+=+=+=+=+=+得.6)(=Q l(2)因为)1(n j i a a j i ≤<≤+最多有2)1(2-=n n C n 个值， 所以2)1()(-≤n n A l ，又集合},2,,8,4,2{nA = 任取≤≤<≤++1,1(,(n j i a a a a l k j i ),n l k ≤< 当l j =/时，不妨设,l j < 则,221l k i j j j i a a a a a a +<≤=<++即.l k j i a a a a +≠+11 当k i l j =/=,时，l k j i a a a a +≠+，因此，当且仅当l j k i ==,时，l k j i a a a a +=+ 即所有)1(n j i a a j i ≤<≤+的值两两不同， 所以⋅-=2)1()(n n A l (3))(A l 存在最小值，且最小值为.32-n 不妨设<<<321a a a ,n a < 可得,1213121n n n n a a a a a a a a a a +<<+<+<<+<+- 所以)1(n j i a a j i ≤<≤+中至少有32-n 个不同的数，即)(A l .32-≥n 事实上，设n a a a a ,,,,321 成等差数列， 考虑),1(n j i a a j i ≤<≤+根据等差数列的性质，当n j i ≤+时，11-++=+j i j i a a a a ；当n j i >+时，n n j i j i a a a a +=+-+因此每个和),1(n j i a a j i ≤<≤+等于)2(1n k a a k ≤≤+中的一个， 或者等于)12(-≤≤+n l a a n i 中的一个．所以对这样的,32)(,-=n A l A所以)(A l 的最小值为.32-n。
2024年高考数学19题新模式新结构新题型数学与阅读理解 解析版
2024年高考数学19题新模式新结构新题型1(2023上·北京朝阳·高三统考期中/24南通)已知A m =a 1,1a 1,2⋯a 1,m a 2,1a 2,2⋯a 2,m ⋮⋮⋱⋮a m ,1a m ,2⋯a m ,m(m ≥2)是m 2个正整数组成的m 行m 列的数表，当1≤i <s ≤m ,1≤j <t ≤m 时，记d a i ,j ,a s ,t =a i ,j -a s ,j +a s ,j -a s ,t ．设n ∈N *，若A m 满足如下两个性质：①a i ,j ∈1,2,3;⋯,n (i =1,2,⋯,m ;j =1,2,⋯,m )；②对任意k ∈1,2,3,⋯,n ，存在i ∈1,2,⋯,m ,j ∈1,2,⋯,m ，使得a i ,j =k ，则称A m 为Γn 数表．(1)判断A 3=123231312是否为Γ3数表，并求d a 1,1,a 2,2 +d a 2,2,a 3,3 的值；(2)若Γ2数表A 4满足d a i ,j ,a i +1,j +1 =1(i =1,2,3;j =1,2,3)，求A 4中各数之和的最小值；(3)证明：对任意Γ4数表A 10，存在1≤i <s ≤10,1≤j <t ≤10，使得d a i ,j ,a s ,t =0．【答案】(1)是；5(2)22(3)证明见详解【分析】(1)根据题中条件可判断结果，根据题中公式进行计算即可；(2)根据条件讨论a i +1,j 的值，根据d a i ,j ,a s ,t =a i ,j -a s ,j +a s ,j -a s ,t ，得到相关的值，进行最小值求和即可；(3)当r i ≥2时，将横向相邻两个k 用从左向右的有向线段连接，则该行有r i -1条有向线段，得到横向有向线段的起点总数，同样的方法得到纵向有向线段的起点总数，根据条件建立不等关系，即可证明.【详解】(1)A 3=123231312是Γ3数表，d a 1,1,a 2,2 +d a 2,2,a 3,3 =2+3=5.(2)由题可知d a i ,j ,a s ,t =a i ,j -a s ,j +a s ,j -a s ,t =1(i =1,2,3;j =1,2,3).当a i +1,j =1时，有d a i ,j ,a i +1,j +1 =(a i ,j -1)(a i +1,j +1-1)=1，所以a i ,j +a i +1,j +1=3.当a i +1,j =2时，有d a i ,j ,a i +1,j +1 =(2-a i ,j )(2-a i +1,j +1)=1，所以a i ,j +a i +1,j +1=3.所以a i ,j +a i +1,j +1=3(i =1,2,3;j =1,2,3).所以a 1,1+a 2,2+a 3,3+a 4,4=3+3=6,a 1,3+a 2,4=3,a 3,1+a 4,2=3.a 1,2+a 2,3+a 3,4=3+1=4或者a 1,2+a 2,3+a 3,4=3+2=5，a 2,1+a 3,2+a 4,3=3+1=4或者a 2,1+a 3,2+a 4,3=3+2=5，a 1,4=1或a 1,4=2，a 4,1=1或a 4,1=2，故各数之和≥6+3+3+4+4+1+1=22，当A 4=1111122212111212时，各数之和取得最小值22.(3)由于Γ4数表A 10中共100个数字，必然存在k ∈1,2,3,4 ，使得数表中k 的个数满足T ≥25.设第i 行中k 的个数为r i (i =1,2,⋅⋅⋅,10).当r i ≥2时，将横向相邻两个k 用从左向右的有向线段连接，则该行有r i -1条有向线段，所以横向有向线段的起点总数R =∑r i ≥2(r i -1)≥∑i =110(r i -1)=T -10.设第j 列中k 的个数为c j (j =1,2,⋅⋅⋅,10).当c j ≥2时，将纵向相邻两个k 用从上到下的有向线段连接，则该列有c j -1条有向线段，所以纵向有向线段的起点总数C =∑c j ≥2(c j -1)≥∑j =110(c j -1)=T -10.所以R +C ≥2T -20,因为T ≥25,所以R +C -T ≥2T -20-T =T -20>0.所以必存在某个k 既是横向有向线段的起点，又是纵向有向线段的终点，即存在1<u <v ≤10，1<p <q ≤10,使得a u ,p =a v ,p =a v ,q =k ，所以d a u ,p ,a v ,q =a u ,p -a v ,p +a v ,p -a v ,q =0，则命题得证.2(镇海高三期末)在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C ：y =f x 上的曲线段AB，其弧长为Δs ，当动点从A 沿曲线段AB运动到B 点时，A 点的切线l A 也随着转动到B 点的切线l B ，记这两条切线之间的夹角为Δθ(它等于l B 的倾斜角与l A 的倾斜角之差)．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义K =ΔθΔs为曲线段AB 的平均曲率；显然当B 越接近A ，即Δs 越小，K 就越能精确刻画曲线C 在点A 处的弯曲程度，因此定义K =lim Δs →0ΔθΔs =y 1+y 2 32(若极限存在)为曲线C 在点A 处的曲率．(其中y ＇，y ＇＇分别表示y =f x 在点A 处的一阶、二阶导数)(1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；(2)求椭圆x 24+y 2=1在3,12处的曲率；(3)定义φy =22y1+y3为曲线y =f x 的“柯西曲率”．已知在曲线f x =x ln x -2x 上存在两点P x 1,f x 1 和Q x 2,f x 2 ，且P ，Q 处的“柯西曲率”相同，求3x 1+3x 2的取值范围．【答案】(1)1(2)16749(3)2e ,1 【解析】【分析】(1)依据所给定义求解即可.(2)直接利用定义求解即可.(3)合理构造给定式子，转化为一元函数，结合高观点极限方法求解即可.【小问1详解】K =ΔθΔs=π3π3=1．【小问2详解】y =1-x 24，y=-x 41-x 24 -12，y =-141-x 24 -12-x 2161-x 24-32，故y x =3=-32，y x =3=-2，故K =21+3432=16749．【小问3详解】fx =ln x -1，fx =1x ，故φy =22y 1+y3=22x ln x 3=2233s ln s 3，其中s =3x ，令t 1=3x 1，t 2=3x 2，则t 1ln t 1=t 2ln t 2，则ln t 1=-t ln tt -1，其中t =t 2t 1>1(不妨t 2>t 1)令p x =x ln x ，p x =1+ln x ⇒p x 在0,1e 递减，在1e ,+∞ 递增，故1>t 2>1e>t 1>0；令h t =ln t 1+t 2 =ln t +1 -t ln tt -1，h 't =1t -1 2ln t -2t -1 t +1 ，令m (t )=ln t -2t -1 t +1(t >1)，则m(t )=t -1 2t (t +1)，当t >1时，m (t )>0恒成立，故m (t )在(1,+∞)上单调递增，可得m (t )>m (1)=0，即ln t -2t -1t +1>0，故有h t =1t -1 2ln t -2t -1 t +1>0，则h t 在1,+∞ 递增，又lim t →1h t =ln2-1，lim t →+∞h t =0，故ln t 1+t 2 ∈ln2-1,0 ，故3x 1+3x 2=t 1+t 2∈2e ,1．【点睛】关键点点睛：本题考查求导数新定义，解题关键是将给定式子合理转化为一元函数，然后利用极限方法求得关键函数值域，最终即可求解．3(合肥一中期末)同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设a ，b ∈Z ，m ∈N *且m >1．若m a -b 则称a 与b 关于模m 同余，记作a ≡b (mod m )(“|”为整除符号)．(1)解同余方程x 2-x ≡0(mod3)；(2)设(1)中方程的所有正根构成数列a n ，其中a 1<a 2<a 3<⋯<a n ．①若b n =a n +1-a n (n ∈N *)，数列b n 的前n 项和为S n ，求S 2024；②若c n =tan a 2n +1⋅tan a 2n -1(n ∈N *)，求数列c n 的前n 项和T n ．解：(1)由题意x x -1 ≡0(mod3)，所以x =3k 或x -1=3k (k ∈Z )，即x =3k 或x =3k +1(k ∈Z )．(2)由(1)可得a n 为3,4,6,7,9,10,⋯ ，所以a n =3×n +12n 为奇数3×n 2+1n 为偶数．①因为b n =a n +1-a n (n ∈N *)，所以b n =1n 为奇数2n 为偶数．S 2024=b 1+b 2+b 3+⋯+b 2024=3×1012=3036．②c n =tan a 2n +1⋅tan a 2n -1=tan3n ⋅tan3n +1 (n ∈N *)．因为tan3n ⋅tan3n +1 =tan3n +1 -tan3ntan3-1，所以T n =c 1+c 2+⋯c n =tan6-tan3tan3-1 +tan9-tan6tan3-1 +⋯+tan3n +1 -tan3n tan3-1=tan3n +1 -tan3tan3-n =tan3n +1 tan3-n -1．4(北京西城)给定正整数N ≥3，已知项数为m 且无重复项的数对序列A ：x 1,y 1 ,x 2,y 2 ,⋅⋅⋅,x m ,y m 满足如下三个性质：①x i ,y i ∈1,2,⋅⋅⋅,N ，且x i ≠y i i =1,2,⋅⋅⋅,m ；②x i +1=y i i =1,2,⋅⋅⋅,m -1 ；③p ,q 与q ,p 不同时在数对序列A 中.(1)当N =3，m =3时，写出所有满足x 1=1的数对序列A ；(2)当N =6时，证明：m ≤13；(3)当N 为奇数时，记m 的最大值为T N ，求T N .【答案】(1)A :1,2 ,2,3 ,3,1 或A :1,3 ,3,2 ,2,1(2)证明详见解析(3)T N =12N N -1【解析】【分析】(1)利用列举法求得正确答案.(2)利用组合数公式求得m 的一个大致范围，然后根据序列A 满足的性质证得m ≤13.(3)先证明T N +2 =T N +2N +1，然后利用累加法求得T N .【小问1详解】依题意，当N =3，m =3时有：A :1,2 ,2,3 ,3,1 或A :1,3 ,3,2 ,2,1 .【小问2详解】当N =6时，因为p ,q 与q ,p 不同时在数对序列A 中，所以m ≤C 26=15，所以1,2,3,4,5,6每个数至多出现5次，又因为x i +1=y i i =1,2,⋯,m -1 ，所以只有x 1,y m 对应的数可以出现5次，所以m ≤12×4×4+2×5 =13.【小问3详解】当N 为奇数时，先证明T N +2 =T N +2N +1.因为p ,q 与q ,p 不同时在数对序列A 中，所以T N ≤C 2N =12N N -1 ，当N =3时，构造A :1,2 ,2,3 ,3,1 恰有C 23项，且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1.对奇数N ，如果和可以构造一个恰有C 2N 项的序列A ，且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1，那么多奇数N +2而言，可按如下方式构造满足条件的序列A ：首先，对于如下2N +1个数对集合：1,N +1 ,N +1,1 ,1,N +2 ,N +2,1 ，2,N +1 ,N +1,2 ,2,N +2 ,N +2,2 ，⋯⋯N ,N +1 ,N +1,N ,N ,N +2 ,N +2,N ，N +1,N +2 ,N +2,N +1 ，每个集合中都至多有一个数对出现在序列A 中，所以T N +2 ≤T N +2N +1，其次，对每个不大于N 的偶数i ∈2,4,6,⋯,N -1 ，将如下4个数对并为一组：N +1,i ,i ,N +2 ,N +2,i +1 ,i +1,N +1 ，共得到N -12组，将这N -12组对数以及1,N +1 ,N +1,N +2 ,N +2,1 ，按如下方式补充到A 的后面，即A ,1,N +1 ,N +1,2 ,2,N +2 ,N +2,3 ,3,n +1 ,⋯,(N +1,N -1),(N -1,N +2),(N +2,N ),(N ,N +1),(N +1,N +2),(N +2,1).此时恰有T N +2N +1项，所以T N +2 =T N +2N +1.综上，当N 为奇数时，T N =T N -T N -2 +T N -2 -T N -4 +⋯+T 5 -T 3 +T 3 =2N -2 +1 +2N -4 +1 +⋯+2×3+1 +3=2N -2 +1 +2N -4 +1 +⋯+2×3+1 +2×1+1 =2N -3 +2N -7 +⋯+7+3=2N -3+32×N -2+12=12N N -1 .【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”--明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.5(如皋市)对于给定的正整数n ，记集合R n ={α |α=(x 1,x 2,x 3,⋅⋅⋅,x n ),x j ∈R ,j =1,2,3,⋅⋅⋅,n }，其中元素α称为一个n 维向量.特别地，0 =(0,0,⋅⋅⋅,0)称为零向量.设k ∈R ，α =(a 1,a 2,⋅⋅⋅,a n )∈R n ，β =(b 1,b 2,⋅⋅⋅,b n )∈R n ，定义加法和数乘：kα =(ka 1,ka 2,⋅⋅⋅,ka n )，α +β=(a 1+b 1,a 2+b 2,⋅⋅⋅,a n +b n ).对一组向量α1 ，α2 ，⋯，αs (s ∈N +,s ≥2)，若存在一组不全为零的实数k 1，k 2，⋯，k s ，使得k 1α1 +k 2α2+⋅⋅⋅+k s αs =0 ，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关．(1)对n =3，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由．①α=(1,1,1)，β =(2,2,2)；②α =(1,1,1)，β =(2,2,2)，γ=(5,1,4)；③α =(1,1,0)，β =(1,0,1)，γ=(0,1,1)，δ =(1,1,1).(2)已知α ，β ，γ 线性无关，判断α +β ，β +γ ，α +γ是线性相关还是线性无关，并说明理由．(3)已知m (m ≥2)个向量α1 ，α2 ，⋯，αm线性相关，但其中任意m -1个都线性无关，证明：①如果存在等式k 1α1 +k 2α2 +⋅⋅⋅+k m αm =0(k i ∈R ,i =1,2,3,⋅⋅⋅,m )，则这些系数k 1，k 2，⋯，k m 或者全为零，或者全不为零；②如果两个等式k 1α1 +k 2α2 +⋅⋅⋅+k m αm =0 ，l 1α1 +l 2α2 +⋅⋅⋅+l m αm =0 (k i ∈R ,l i ∈R ,i =1,2,3,⋅⋅⋅,m )同时成立，其中l 1≠0，则k 1l 1=k 2l 2=⋅⋅⋅=km l m.(1)解：对于①，设k 1α +k 2β =0 ，则可得k 1+2k 2=0，所以α ,β线性相关；对于②，设k 1α +k 2β +k 3γ =0，则可得k 1+2k 2+5k 3=0k 1+2k 2+k 3=0k 1+2k 2+4k 3=0 ，所以k 1+2k 2=0，k 3=0，所以α ,β ,γ线性相关；对于③，设k 1α +k 2β +k 3γ+k 4δ =0 ，则可得k 1+k 2+k 4=0k 1+k 3+k 4=0k 2+k 3+k 4=0 ，解得k 1=k 2=k 3=-12k 4，所以α ,β ,γ ,δ 线性相关；(2)解：设k 1(α +β )+k 2(β +γ )+k 3(α +γ)=0 ，则(k 1+k 3)α +(k 1+k 2)β +(k 2+k 3)γ =0，因为向量α ，β ，γ线性无关，所以k 1+k 3=0k 1+k 2=0k 2+k 3=0 ，解得k 1=k 2=k 3=0，所以向量α +β ，β +γ ，α +γ线性无关，(3)①k 1α1 +k 2α2 +⋅⋅⋅+k m αm =0，如果某个k i =0，i =1，2，⋯，m ，则k 1α1 +k 2α2 +⋯+k i -1αi -1 +k i +1αi +1 +⋅⋅⋅+k m αm =0 ，因为任意m -1个都线性无关，所以k 1，k 2，⋯k i -1，k i +1，⋅⋅⋅，k m 都等于0，所以这些系数k 1，k 2，⋅⋅⋅，k m 或者全为零，或者全不为零，②因为l 1≠0，所以l 1，l 2，⋅⋅⋅，l m 全不为零，所以由l 1α1 +l 2α2 +⋅⋅⋅+l m αm =0 可得α1 =-l 2l 1α2 -⋅⋅⋅-l m l 1αm，代入k 1α1 +k 2α2 +⋅⋅⋅+k m αm =0 可得k 1-l 2l 1α2 -⋅⋅⋅-l m l 1αm+k 2α2 +⋅⋅⋅+k m αm =0 ，所以-l 2l 1k 1+k 2 α2 +⋅⋅⋅+-lm l 1k 1+k mαm =0 ，所以-l 2l 1k 1+k 2=0，⋯，-lm l 1k 1+k m =0，所以k 1l 1=k 2l 2=⋅⋅⋅=km l m.6(江苏四校)交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用．设A ，B ，C ，D 是直线l 上互异且非无穷远的四点，则称AC BC ⋅BDAD(分式中各项均为有向线段长度，例如AB =-BA )为A ，B ，C ，D四点的交比，记为(A ,B ;C ,D )．(1)证明：1-(D ,B ;C ,A )=1(B ,A ;C ,D )；(2)若l1，l2，l3，l4为平面上过定点P且互异的四条直线，L1，L2为不过点P且互异的两条直线，L1与l1，l2，l3，l4的交点分别为A1，B1，C1，D1，L2与l1，l2，l3，l4的交点分别为A2，B2，C2，D2，证明：(A1,B1;C1,D1)= (A2,B2;C2,D2)；(3)已知第(2)问的逆命题成立，证明：若ΔEFG与ΔE F G 的对应边不平行，对应顶点的连线交于同一点，则ΔEFG与ΔE F G 对应边的交点在一条直线上．解：(1)1-(D,B;C,A)=1-DC⋅BABC⋅DA=BC⋅AD+DC⋅BABC⋅AD=BC⋅(AC+CD)+CD⋅ABBC⋅AD=BC⋅AC+BC⋅CD+CD⋅ABBC⋅AD =BC⋅AC+AC⋅CDBC⋅AD=AC⋅BDBC⋅AD=1(B,A;C,D)；(2)(A1,B1;C1,D1)=A1C1⋅B1D1B1C1⋅A1D1=SΔPA1C1⋅SΔPB1D1SΔPB1C1⋅SΔPA1D1=12⋅PA1⋅PC1⋅sin∠A1PC1⋅12⋅PB1⋅PD1⋅sin∠B1PD112⋅PB1⋅PC1⋅sin∠B1PC1⋅12⋅PA1⋅PD1⋅sin∠A1PD1=sin∠A1PC1⋅sin∠B1PD1sin∠B1PC1⋅sin∠A1PD1=sin∠A2PC2⋅sin∠B2PD2sin∠B2PC2⋅sin∠A2PD2=SΔPA2C2⋅SΔPB2D2SΔPB2C2⋅SΔPA2D2==A2C2⋅B2D2B2C2⋅A2D2=(A2,B2;C2,D2)；第(2)问图第(3)问图（3）设EF与E F 交于X，FG与F G 交于Y，EG与E G 交于Z，连接XY，FF 与XY交于L，EE 与XY交于M，GG 与XY交于N，欲证X，Y，Z三点共线，只需证Z在直线XY上．考虑线束XP，XE，XM，XE ，由第(2)问知(P,F;L,F )=(P,E;M,E )，再考虑线束YP，YF，YL，YF ，由第(2)问知(P,F;L, F )=(P,G;N,G )，从而得到(P,E;M,E )=(P,G;N,G )，于是由第(2)问的逆命题知，EG，MN，E G 交于一点，即为点Z，从而MN过点Z，故Z在直线XY上，X，Y，Z三点共线．7(高考仿真)已知无穷数列a n满足a n=max a n+1,a n+2-min a n+1,a n+2(n=1,2,3,⋯)，其中max {x,y}表示x，y中最大的数，min{x,y}表示x，y中最小的数.(1)当a1=1，a2=2时，写出a4的所有可能值；(2)若数列a n中的项存在最大值，证明：0为数列a n中的项；(3)若a n>0(n=1,2,3,⋯)，是否存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有a n≤M？如果存在，写出一个满足条件的M；如果不存在，说明理由.【答案】(1){1,3,5}(2)证明见解析(3)不存在，理由见解析【解析】【分析】(1)根据定义知a n≥0，讨论a3>2、a3<2及a3,a4大小求所有a4可能值；(2)由a n≥0，假设存在n0∈N*使a n≤a n0，进而有a n≤max{a n+1,a n+2}≤a n，可得min{a n+1,a n+2}=0，即可证结论；(3)由题设a n ≠a n +1(n =2,3,⋯)，令S ={n |a n >a n +1,n ≥1}，讨论S =∅、S ≠∅求证a n >M 即可判断存在性.【小问1详解】由a n =max a n +1,a n +2 -min a n +1,a n +2 ≥0，a 1=max {2,a 3}-min {2,a 3}=1，若a 3>2，则a 3-2=1，即a 3=3，此时a 2=max {3,a 4}-min {3,a 4}=2，当a 4>3，则a 4-3=2，即a 4=5；当a 4<3，则3-a 4=2，即a 4=1；若a 3<2，则2-a 3=1，即a 3=1，此时a 2=max {1,a 4}-min {1,a 4}=2，当a 4>1，则a 4-1=2，即a 4=3；当a 4<1，则1-a 4=2，即a 4=-1(舍)；综上，a 4的所有可能值为{1,3,5}.【小问2详解】由(1)知：a n ≥0，则min a n +1,a n +2 ≥0，数列a n 中的项存在最大值，故存在n 0∈N *使a n ≤a n 0，(n =1,2,3,⋯)，由a n 0=max {a n 0+1,a n 0+2}-min {a n 0+1,a n 0+2}≤max {a n 0+1,a n 0+2}≤a n 0，所以min {a n 0+1,a n 0+2}=0，故存在k ∈{n 0+1,n 0+2}使a k =0，所以0为数列a n 中的项；【小问3详解】不存在，理由如下：由a n >0(n =1,2,3,⋯)，则a n ≠a n +1(n =2,3,⋯)，设S ={n |a n >a n +1,n ≥1}，若S =∅，则a 1≤a 2，a i <a i +1(i =2,3,⋯)，对任意M >0，取n 1=Ma 1+2([x ]表示不超过x 的最大整数)，当n >n 1时，a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+...+(a 3-a 2)+a 2=a n -2+a n -3+...+a 1+a 2≥(n -1)a 1>M ；若S ≠∅，则S 为有限集，设m =max {n |a n >a n +1,n ≥1}，a m +i <a m +i +1(i =1,2,3,⋯)，对任意M >0，取n 2=M a m +1+m +1([x ]表示不超过x 的最大整数)，当n >n 2时，a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+...+(a m +2-a m +1)+a m +1=a n -2+a n -3+...+a m +a m +1≥(n -m )a m +1>M ；综上，不存在正实数M ，使得对任意的正整数n ，都有a n ≤M .【点睛】关键点点睛：第三问，首选确定a n ≠a n +1(n =2,3,⋯)，并构造集合S ={n |a n >a n +1,n ≥1}，讨论S =∅、S ≠∅研究存在性.8(高考仿真)若项数为k (k ∈N *，k ≥3)的有穷数列{a n }满足：0≤a 1<a 2<a 3<⋅⋅⋅<a k ，且对任意的i ，j (1≤i ≤j ≤k )，a j +a i 或a j -a i 是数列{a n }中的项，则称数列{a n }具有性质P ．(1)判断数列0,1,2是否具有性质P ，并说明理由；(2)设数列{a n }具有性质P ，a i (i =1，2，⋯，k )是{a n }中的任意一项，证明：a k -a i 一定是{a n }中的项；(3)若数列{a n }具有性质P ，证明：当k ≥5时，数列{a n }是等差数列．解析：(1)数列0,1,2具有性质P .理由：根据有穷数列a n满足：0≤a1<a2<a3<⋅⋅⋅<a k，且对任意的i,j(1≤i≤j≤k)，a j+a i或a j-a i是数列a n中的项，则称数列a n具有性质P，对于数列0,1,2中，若对任意的i,j(1≤i≤j≤k)，可得a j-a i=0或1或2，可得a j-a i一定是数列a n中的项，所以数列0,1,2具有性质P.⋯⋯⋯⋯⋯4分(2)证明：由a i(i=1,2,⋯,k)是数列a n中的任意一项，因为数列{a n}具有性质P，即a j+a i或a j-a i是数列a n中的项，令j=k，可得a k+a i或a k-a i是数列a n中的项，又因为0≤a1<a2<⋯<a k，可得a k+a i一定不是数列a n中的项，所以a k-a i一定是数列a n中的项. ⋯⋯⋯⋯⋯8分(3)由数列{a n}具有性质P，可得a k+a k∉a n，所以a k-a k∈a n，则0∈a n，且a1=0，又由a k+a i∉a n，所以a k-a i∈a n，又由0=a k-a k<a k-a k-1<a k-a k-2<⋯<a k-a2<a k-a1，①设2≤i≤k，因为0≤a1<a2<⋯<a k可得a k-a k=0,a k-a k-1=a2,a k-a k-2=a3,⋯,a k-a2=a k-1,a k-a1=a k，当k≥5时，可得a k-a k-i=a i+11≤i≤k-1， (∗)②设3≤i≤k-2，则a k-1+a i>a k-1+a2=a k，所以a k-1+a i∉a n，由0=a k-1-a k-1<a k-1-a k-2<⋯<a k-1-a3<a k-a3=a k-2，又由0≤a1<a2<⋯<a k-3<a k-2，可得a k-1-a k-1=a1,a k-1-a k-2=a2⋯<a k-1-a k-3=a3,a k-1-a3=a k-3，所以a k-1-a k-i=a i(1≤i≤k-3)，因为k≥5，由以上可知：a k-1-a k-1=a1且a k-1-a k-2=a2，所以a k-1-a1=a k-1且a k-1-a2=a k-2，所以a k-1-a k-i=a i(1≤i≤k-1)，(∗∗)由(∗)知，a k-a k-i=a i+11≤i≤k-1两式相减，可得a k-a k-1=a i+1-a i1≤i≤k-1，所以当k≥5时，数列a n为等差数列. ⋯⋯⋯⋯⋯17分.9(安徽)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中.阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点M与两定点Q,P的距离之比MQMP=λ(λ>0,λ≠1),λ是一个常数，那么动点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ上.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x2+y2=4，定点分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F与右顶点A，且椭圆C的离心率为e=1 2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，过右焦点F 斜率为k (k >0)的直线l 与椭圆C 相交于B ,D (点B 在x 轴上方)，点S ,T 是椭圆C 上异于B ,D 的两点，SF 平分∠BSD ,TF 平分∠BTD .①求BSDS的取值范围；②将点S ､F ､T 看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若△SFT 外接圆的面积为81π8，求直线l 的方程.【答案】(1)x 28+y 26=1(2)①13,1 ②y =52x -102【解析】(1)方法①特殊值法，令M ±2,0 ,c -2 a -2=c +2a +2，且a =2c ，解得c 2=2.∴a 2=8,b 2=a 2-c 2=6，椭圆C 的方程为x 28+y 26=1，方法②设M x ,y ，由题意MFMA =(x -c )2+y 2(x -a )2+y 2=λ(常数)，整理得：x 2+y 2+2c -2aλ2λ2-1x +λ2a 2-c2λ2-1=0，故2c -2aλ2λ2-1=0λ2a 2-c 2λ2-1=-4，又c a =12，解得：a =22,c = 2.∴b 2=a 2-c 2=6，椭圆C 的方程为x 28+y 26=1.(2)①由S △SBF S △SDF =12SB⋅SF ⋅sin ∠BSF 12SD⋅SF ⋅sin ∠DSF =SB SD ，又S △SBF S △SDF =BF DF ，∴BS DS=BF DF(或由角平分线定理得)，令BF DF=λ，则BF =λFD，设D x 0,y 0 ，则有3x 20+4y 20=24，又直线l 的斜率k >0，则x 0∈-22,2 ,x B =2λ+1 -λx 0y B =-λy 0代入3x 2+4y 2-24=0得：321+λ -λx 0 2+4λ2y 20-24=0，即λ+1 5λ-3-2λx 0 =0，∵λ>0,∴λ=35-2x 0∈13,1 .②由(1)知，SB SD=TB TD=BF DF，由阿波罗尼斯圆定义知，S ,T ,F 在以B ,D 为定点的阿波罗尼斯圆上，设该圆圆心为C 1，半径为r ，与直线l 的另一个交点为N ，则有BF DF =NB ND ，即BF DF =2r -BF 2r +DF ，解得：r =11BF-1DF.又S 圆C 1=πr 2=818π，故r =922,∴1BF -1DF=229又DF =x 0-2 2+y 20=x 0-2 2+6-34x 20=22-12x 0，∴1BF -1DF =1λDF -1DF =5-2x 0322-12x 0 -122-12x 0=2-2x 0322-12x 0=229.解得：x 0=-22,y 0=-6-34x 20=-3104,∴k =-y 02-x 0=52,∴直线l 的方程为y =52x -102.10(郑州外国语)记U ={1,2,⋯,100}．对数列a n n ∈N * 和U 的子集T ，若T =∅，定义S T =0；若T =t 1,t 2,⋯,t k ，定义S T =a t 1+a t 2+⋯+a tk ．例如：T =1,3,66 时，S T =a 1+a 3+a 66．现设a n n ∈N * 是公比为3的等比数列，且当T =2,4 时，S T =30．(1)求数列a n 的通项公式；(2)对任意正整数k 1≤k ≤100 ，若T 1,2,⋯,k ，求证：S T <a k +1；(3)设C ⊆U ,D ⊆U ,SC ≥SD ，求证：S C +S C ∩D ≥2S D ．解：(1)当T =2,4 时，S T =a 2+a 4=a 2+9a 2=30，因此a 2=3，从而a 1=a 23=1,a n =3n -1；(2)S T ≤a 1+a 2+⋯a k =1+3+32+⋯+3k -1=3k -12<3k =a k +1；(3)设A =∁C C ∩D ,B =∁D C ∩D ，则A ∩B =∅,S C =S A +S C ∩D ，S D =S B +S C ∩D ，S C +S C ∩D -2S D =S A -2S B ，因此原题就等价于证明S A ≥2S B ．由条件S C ≥S D 可知S A ≥S B ．①若B =∅，则S B =0，所以S A ≥2S B ．②若B ≠∅，由S A ≥S B 可知A ≠∅，设A 中最大元素为l ,B 中最大元素为m ，若m ≥l +1，则由第(2)小题，S A <a l +1≤a m ≤S B ，矛盾．因为A ∩B =∅，所以l ≠m ，所以l ≥m +1，S B ≤a 1+a 2+⋯+a m =1+3+32+⋯+3m -1=3m -12<a m +12≤a l 2≤S A 2，即S A >2S B ．综上所述，S A ≥2S B ，因此S C +S C ∩D ≥2S D ．11(福建模拟)2022年北京冬奥会标志性场馆--国家速滑馆的设计理念来源于一个冰和速度结合的创意，沿着外墙面由低到高盘旋而成的“冰丝带”，就像速度滑冰运动员高速滑动时留下的一圈圈风驰电掣的轨迹，冰上划痕成丝带，22条“冰丝带”又象征北京2022年冬奥会.其中“冰丝带”呈现出圆形平面、椭圆形平面、马鞍形双曲面三种造型，这种造型富有动感，体现了冰上运动的速度和激情这三种造型取自于球、椭球、椭圆柱等空间几何体，其设计参数包括曲率、挠率、面积体积等对几何图形的面积、体积计算方法的研究在中国数学史上有过辉煌的成就，如《九章算术》中记录了数学家刘徽提出利用牟合方盖的体积来推导球的体积公式，但由于不能计算牟合方盖的体积并没有得出球的体积计算公式直到200年以后数学家祖冲之、祖眶父子在《缀术》提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，才利用牟合方盖的体积推导出球的体积公式原理的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．(Ⅰ)利用祖暅原理推导半径为R 的球的体积公式时，可以构造如图所示的几何体M ，几何体M 的底面半径和高都为R ，其底面和半球体的底面同在平面α内.设与平面α平行且距离为d 的平面β截两个几何体得到两个截面，请在图中用阴影画出与图中阴影截面面积相等的图形并给出证明；(Ⅱ)现将椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 所围成的椭圆面分别绕其长轴、短轴旋转一周后得两个不同的椭球A ，B (如图)，类比(Ⅰ)中的方法，探究椭球A 的体积公式，并写出椭球A ，B 的体积之比．【答案】解： (Ⅰ)由图可知，图①几何体的为半径为R 的半球，图②几何体为底面半径和高都为R 的圆柱中挖掉了一个圆锥，与图①截面面积相等的图形是圆环(如阴影部分)证明如下：在图①中，设截面圆的圆心为O 1，易得截面圆O 1的面积为πR 2-d 2 ，在图②中，截面截圆锥得到的小圆的半径为d ，所以，圆环的面积为πR 2-d 2 ，所以，截得的截面的面积相等(Ⅱ)类比(Ⅰ)可知，椭圆的长半轴为a ，短半轴为b ，构造一个底面半径为b ，高为a 的圆柱，把半椭球与圆柱放在同一个平面上(如图)，在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，即挖去的圆锥底面半径为b ，高为a ；在半椭球截面圆的面积πb 2a2a 2-d 2 ，在圆柱内圆环的面积为πb 2-πb 2a 2d 2=πb 2a2a 2-d 2 ∴距离平面α为d 的平面截取两个几何体的平面面积相等，根据祖暅原理得出椭球A 的体积为：V A =2V 圆柱-V 圆锥 =2π⋅b 2⋅a -13π⋅b 2⋅a =4π3ab 2，同理：椭球B 的体积为V B =4π3a 2b 所以，两个椭球A ，B 的体积之比为b a． 【解析】本题考查新定义问题，解题的关键是读懂题意，构建圆柱，通过计算得到高相等时截面面积相等，考查学生的空间想象能力与运算求解能力，属于中档题．(Ⅰ)由题意，直接画出阴影即可，然后分别求出图①中圆的面积及图②中圆环的面积即可证明；(Ⅱ)类比(Ⅰ)可知，椭圆的长半轴为a ，短半轴为b ，构造一个底面半径为b ，高为a 的圆柱，把半椭球与圆柱放在同一个平面上，在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，即挖去的圆锥底面半径为b ，高为a ，证明截面面积相等，由祖暅原理求出出椭球A 的体积，同理求出椭球B 的体积，作比得出答案．12用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f 'x 是f x 的导函数，f ''x 是f 'x 的导函数，则曲线y =f x 在点x ,f x 处的曲率K =|f (x )|1+[f (x )]232．(1)若曲线f x =ln x+x与g x =x在1,1处的曲率分别为K1，K2，比较K1，K2的大小；(2)求正弦曲线h x =sin x(x∈R)曲率的平方K2的最大值．【答案】解：(1)由题意，得f'(x)=1x+1,f''(x)=-1x2,g'(x)=12x-12,g''(x)=-14x-32，∴K1=f''(1)1+f'(1)232=-11+2232=1125,K2=g''(1)1+g'(1)232=-141+12232=1412564=2125，∴K1<K2；(2)由h(x)=sin x(x∈R)，得h'(x)=cos x,h''(x)=-sin x，则K=-sin x1+cos2x32，K2=sin2x1+cos2x3=sin2x2-sin2x3，令t=2-sin2x，则t∈1,2,K2=2-tt3，设p t =2-tt3,t∈1,2，则p't =-t3-32-tt2t6=2t-6t4，所以p't <0，p t 在1,2上单调递减，则p(t)max=p1 =1，即当sin2x=1,cos x=0时，即x=nπ+π2,n∈Z时，K2取最大值1．【解析】本题考查了导数的运算、指数幂运算、三角函数的性质、利用导数求函数的最值，属于中档题．(1)利用曲率的定义分别求出K1，K2，然后比较即可；(2)利用曲率的定义求出K，再求出K2，然后利用正弦函数的性质结合利用导数求最值即可求解．13设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为1-12π(∠Q1PQ2+∠Q2PQ3+⋯+∠Q k-1PQ k+∠Q k PQ1)，其中Q i(i=1，2，⋯，k，k≥3)为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面Q 1PQ 2，平面Q 2PQ 3，⋯，平面Q k -1PQ k和平面Q k PQ 1遍历多面体M的所有以P为公共点的面．(1)任取正四面体的一个顶点，求该点处的离散曲率；(2)如图1，已知长方体A 1B 1C 1D 1-ABCD，AB=BC=1，AA1=22，点P为底面A 1B 1C 1D 1内的一个动点，则求四棱锥P-ABCD在点P处的离散曲率的最小值；(3)图2为对某个女孩面部识别过程中的三角剖分结果，所谓三角剖分，就是先在面部取若干采样点，然后用短小的直线段连接相邻三个采样点形成三角形网格．区域α和区域β中点的离散曲率的平均值更大的是哪个区域?(只需确定“区域α”还是“区域β”)【答案】解：记∠Q1PQ2+∠Q2PQ3+⋯+∠Q n PQ1=θ，则离散曲率为1-θ2π，θ越大离散曲率越小．(1)对于正四面体而言，每个面都是正三角形，所以∠Q1PQ2=∠Q2PQ3=∠Q3PQ1=60°，所以离散曲率为1-1 2ππ3×3=12；(2)P在底面ABCD的投影记为H，通过直观想象，当H点在平面ABCD中逐渐远离正方形ABCD的中心，以至于到无穷远时，θ逐渐减小以至于趋近于0.所以当H点正好位于正方形ABCD的中心时，θ最大，离散曲率最小．此时HA=HB=22=PH，所以PA=PB=1=AB，所以∠APB=60°，θ=4π3，离散曲率为1-12π×4π3=13；(3)区域β比区域α更加平坦，所以θ更大，离散曲率更小，故区域α和区域β中点的离散曲率的平均值更大的是区域α．【解析】本题考查空间几何体的性质以及新定义，正四面体的几何特征和曲率的计算公式，考查分析问题的能力以及空间想象能力，综合性较强，属于较难题．(1)利用离散曲率为1-θ2π，以及三角形的内角和公式求解；(2)记∠Q1PQ2+∠Q2PQ3+⋯+∠Q n PQ1=θ，于是θ越大离散曲率越小，进而求得结果；(3)区域β比区域α更加平坦，所以θ更大，离散曲率更小，进而得答案．14近些年来，三维扫描技术得到空前发展，从而催生了数字几何这一新兴学科.数字几何是传统几何和计算机科学相结合的产物.数字几何中的一个重要概念是曲率，用曲率来刻画几何体的弯曲程度.规定：多面体在顶点处的曲率等于2π与多面体在该点的所有面角之和的差(多面体的面角是指多面体的面上的多边形的内角的大小，用弧度制表示)，多面体在面上非顶点处的曲率均为零.由此可知，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正方体在每个顶点有3个面角，每个面角是π2，所以正方体在各顶点的曲率为2π-3×π2=π2，故其总曲率为4π．(1)求四棱锥的总曲率；(2)表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为D ，棱数为L ，面数为M ，则有：D -L +M =2.利用此定理试证明：简单多面体的总曲率是常数．【答案】解：(1)四棱锥有5个顶点，4个三角形面，1个凸四边形面，故其总曲率为2π×5-4×π-2π=4π.(2)设多面体有M 个面，给组成多面体的多边形编号，分别为1,2,⋯,M 号.设第i 号(1≤i ≤M )多边形有L i 条边．则多面体共有L =L 1+L 2+⋯+L M2条棱．由题意，多面体共有D =2-M +L =2-M +L 1+L 2+⋯+L M2个顶点．i 号多边形的内角之和为πL i -2π，故所有多边形的内角之和为π(L 1+L 2+⋯+L M )-2πM ,故多面体的总曲率为2πD -πL 1+L 2+⋯+L M -2πM=2π2-M +L 1+L 2+⋯+L M2 -πL 1+L 2+⋯+L M -2πM =4π所以满足题目要求的多面体的总曲率为4π．【解析】本题考查棱锥与简单组合体的结构特征，属于较难题．(1)利用总曲率定义即可得到结果；（1）利用总曲率定义及欧拉定理即可证明其为常数．。
数学高考数学创新题的几个命题方向
数学高考数学创新题的几个命题方向Modified by JEEP on December 26th, 2020.高考数学创新题的几个命题方向在近几年各省市的高考试卷中都有几个创新题，无论是试题形式的设计，考试内容的选择，考查思维的深度，问题情景的创设等，都给人耳目一新之感，呈现了“重点突出，焦点集中，亮点璀璨”的特色，准确阐释了高考命题的思想和原则，具体来说，创新题有哪些命题方向呢下面我们通过高考题或模拟题做个归类分析． 创新题命题方向之一：定义“新概念”或“新运算”型新信息题成为高考试题改革的一个新的亮点，通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新的模型等创设一种全新的问题情境，主要考查学生独立提取信息、加工信息的能力，要求考生在阅读理解的基础上，紧扣条件，抓住关键的信息，实现信息的转化，达到灵活解题的目的，【例1】为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为),2,1,0}(1,0{,210=∈i a a a a i 传输信息为,12100h a a a h 其中⊕=00a h ⊕⊕=,,2011a h h a 运算规则为：,000=⊕,110=⊕,101=⊕,011=⊕例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是( )A ．11010B ．01100C ．10111D ．00011【解析】按题中新定义的新运算法则将给出数据信息进行转化．我们知道，传输信息之间的三个数是原信息，C 选项原信息为011，则,1100=⊕=h ,011201=⊕=⊕=a h h 所以应该接收信息10110．故选C ．【点评】在给出新定义或新运算问题中要摒弃原有的运算法则，以避免造成运算的紊乱．面对这类问题只需按给定的法则进行运算即可，此类问题虽然给出的条件信息比较多，而其实质却很简单，只需用简单的数学知识即可解决．【例2】已知函数,)2(2)(22a x a x x f ++-=--+-=x a x x g )2(2)(2.82+a 设)},(),(m ax {)(1x g x f x H =)},(),(m in{)(2x g x f x H =(max },{q p 表示q p ,中的较大者，min },{q p 表示q p ,中的较小值），记)(1x H 得最小值为)(,2x H A 得最大值为,B 则=-B A ( )A ．1622--a aB ．1622-+a aC ．16-D ．16【解析】)(x f 顶点坐标为,2(+a ),44--a )(x g 顶点坐标+--a a 4,2(),12并且每个函数顶点都在另一个函数的图像上，如下图所示，B A 、分别为两个二次函数顶点的纵坐标，所以.16)124()44(-=+----=-a a B A 选C ．【点评】深刻理解新概念是解题的关键，画出图像为我 们的理解起到了举足轻重的作用，另外找到顶点的特征为解 题找到了突破口，还要注意A ，B 并非在同一个自变量取得. 针对性练习：设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数)(x f y =满足：}|)({)(S x x f T i ∈=；)(ii 对任意,,21S x x ∈ 当21x x <时，恒有),()(21x f x f <那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是( )A ．NB N A ==*, B ．},31|{≤≤-=x x A }1008|{≤<-==x x x B 或C ．R B x x A =<<=},10|{D ．Q B Z A ==,【解析】根据题意可知，令,1)(-=x x f 则A 选项正确；令⎪⎩⎪⎨⎧-=-≤<-+=)1(,8)31(,2525)(x x x x f 则B 选项正确；令),21(tan )(-=x x f π则C 选项正确．故答案为D ．创新题命题方向之二：类比型给出几个在结构上类似的等式或不等式，通过应用其相似性把信息从一个对象转移到另一个对象获得对有关问题的结论或在其性质上有相同或相似的一种推理形式，实现信息的转化，达到求解的目的，类比是创造性的“模仿”，联想是“由此及彼”的思维跳跃，编制题目引导考生将所求的问题与熟知的信息相类比，进行多方位的联想，将式子结构、运算法则、解题方法，问题的结论等引申推广或迁移，可由已知探索未知，由旧知探索新知，这既有利于培养同学们的创新思维，又有利于提高同学们举一反三、触类旁通的应变能力.【例3】先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知,,21R a a ∈,121=+a a 求证.212221≥+a a 证明：构造函数,)()()(2221a x a x x f -+-=.22)(22)(222122221212a a x x a a x a a x x f ++-=+++-= 因为对一切,R x ∈恒,0)(≥x f 所以,0)(842221≤+-=∆a a 从而得⋅≥+212221a a (1)若,,,21 a a ,R a n ∈,121=+++n a a a 请写出上述结论的推广式； (2)参考上述解法，对你推广的结论加以证明．【解析】这是类比问题的推广，所以只需依照条件中给出的结论的结构特征及证明方法即可得到推广结论及其证明．(1)若,1,,,,2121=+++∈n n a a a R a a a 求证：na a a n 122221≥++ . (2)证明：构造函数22221)()()()(n a x a x a x x f -++-+-=因为对一切,R x ∈都有,0)(≥x f 所以22121(44n a a a n +++-=∆ ,0)≤从而证得：na a a n 122221≥+++ 【点评】对于某些不等式证明题，我们若能根据其条件和结论，结合判别式的结构特征，通过构造二项平方和函数：=)(x f ,)()()(2222211n n b x a b x a b x a -++-+- 由,0)(≥x f得,0≤∆就可以使一些用一般方法处理较繁的问题，获得简捷、明快的证明，构造法解题的最大特点是调整思维视角，在更广阔的背景下考察问题中所涉及的代数、几何元素及其相互关系．所以应用构造法解题的关键有：(1)要有明确的方向，即为何构造；(2)要弄清条件的本质特点，以便进行逻辑组合.【例4】当,R x ∈1||<x 时，有如下表达式：=+++++ n x x x 21⋅-x11两边同时积分得：=+++++⎰⎰⎰⎰ 212122102101dx x dx x xdx dx n .11210dx x⎰- 从而得到如下等式：11)21(31)21(2121132+++⨯+⨯+⨯n .2ln )21(1=+⨯+ n 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：=⨯+++⨯+⨯+⨯+13221)21(11)21(31)21(2121n n n n n nC n C C C _____. 【解析】材料中是从一个原有的等式，对其等号两边同时积分得到一个新的等式，因此，要解决题中所给的问题，要先找到一个等式，使其等号两边积分后与题中所给的式子尽可能的相关，在这个过程中，观察和联想很重要．从题中观察到，+⨯210n C ⨯+⨯22131)21(21n n C C =⨯++++13)21(11)21(n n n C n ____和+⨯211.2ln )21(11)21(31)21(21132=+⨯+++⨯+⨯+ n n等号左边的式子相比，只多了个系数,inC 再从式子的整体结构和各项中，联想到二项展开式,)1(12210n nn n n n n x x C x C x C C +=+++++ 对其等号两边同时积分，即得：由10n Cnn n nnn x x C x C x C )1(221+=+++++ 两边同时积分得：22102210121001x C xdx C dx C n nn⎰⎰⎰++=+++⎰ (21)dx x C dx nn n.)1(210⎰+d x n 从而得到如下等式：+⨯+⨯210)21(2121n nC C 231n C 【点评】问题的材料本身就很有创新，我们要根据材料提供的方法应用到新问题中，这对我们是个考验，怎么运用呢联想到我们熟知的等式：++++ 22101x C x C C n n nn n n x C n x )1(+=+ 是解题的关键．针对性练习：在数学解题中，常会碰到形如“xyyx ++1”的结构，这时可类比正切的和角公式，如：设b a ,是非零实数，且满足,158tan 5sin5cos 5cos5sinπππππ=-+b a b a 则=a b ( )A ．4B ．15C ．2D ．3【解析】首先条件等式化成形如“xyyx -+1”的结构，然后利用两角和的正切公式来解题，将条件左式变形，得,5tan 15tan5sin 5cos 5cos5sinab a bb a b a ⋅-+=-+ππππππ联想两角和的正切公式，设,tan a b =θ则有=+)5tan(θπ,158tan 5tan 15tanπππ=⋅-+ab a b则,1585ππθπ+=+k 解得∈+=k k (3ππθ),Z 于是,3)3tan(=+=ππk a b 答案选D ． 创新题命题方向之三：高等数学与初等数学的衔接型将高等数学问题下放，用初等方法来解决高等与初等数学的衔接问题，这是近年高考中的一个特点.【例5】定义如下运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nm m m m n n n xx x x xx x x xx x x x x x x 321333323122322211131211....................⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nk n n n kk k yy y y yy y y yy y y y y y y 321333323122322211131211.....................=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mk m m m k k k zz z z yz z z yz z z y z z z 321333323122322211131211..................., 其中*).,,1,1(332211N j i n j m i y x y x y x y x z nj in j i j i j i ij ∈≤≤≤≤++++=- 现有2n 个正数的数表A排成行列如下：（这里用ij a 表示位于第i 行第j 列的一个正数，*),N j i ∈ln 131211a a a a ,n a a a a 2232221 ,n a a a a 3333231 ,..............，其中每横行的数成等差数列，每竖列的数成nn n n n a a a a 321等比数列，且各个等比数列的公比相同，若,124=a ,8142=a =43a ⋅163求ija 的表达式（用j i ,表示）．【解析】本题数列中的每一项都有两个下标，在}{ij a 中每横行的数成等差数列，每竖列的数成等比数列，要明确这一信息与下标间的关系，并利用这一信息源得出ij a 的表达式．每一行的数成等差数列，444342,,a a a ∴成等差数列．,2444243a a a +=∴,4144=∴a 又每一列的数成等比数列，故,22444q a a = ,124=a ,412=∴q 且,0>n a ⋅=∴21q【点评】新背景等比数列题型往往利用新定义或新概念将等比数列的知识点交汇于其中，该题型是高考命题的新动向．本题是等比数列与“行列式”相交汇的新背景题型，由于新型的定义式的出现，导致该题型又多了几分神秘的色彩，为我们接受新型问题开阔了眼界． 针对性练习：定义},,,max {21n s s s 表示实数n s s s ,,,21 中的最大者．设),,,(321a a a A ==B ,321⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛bb b记},,m ax {332211b a b a b a B A =⊗, 设,1(-=x A ),1,1+x =B ,|1|21⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x 若,1-=⊗x B A 则x 的取值范围为( )A ．]1,31[-B ．]21,1[+C ．]1,21[-D ．]31,1[+【解析】由定义知：|}1|),2)(1(,1{},,{332211--+-=x x x x b a b a b a 若,1-=⊗x B A 则⎩⎨⎧-≥--+≥-|,1|1),2)(1(1x x x x x 解得.211+≤≤x 选B ． 创新题命题方向之四：信息迁移型信息迁移题是指以考生已有的知识为基础，在此基础上设置一个新的数学情境，或把已有的知识进一步引申，设置一个简单而又熟悉的物理情境或生活情境或定义新的数学内容，要求考生读懂题目，并根据题目引入的新内容解题．【例6】已知数列}{n a 中．)1(211-++=n a a n 且,,(*R a N n ∈∈)0=/a .(1)若,7-=a 求数列}{n a 中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的*,N n ∈都有6a a n ≤成立，求a 的取值范围． 【解析】(1)当7-=a 时，,1921+-=n a n 令,1921)(+-=x x f 则函数)(x f 在)29,(-∞和),29(+∞上单调递减，画出图像知}{n a 的最大项为,25=a 最小项为.04=a(2)对任意的*,N n ∈都有6a a n ≤成立，即}{n a 的最大项是第6项，因为+=1n a22211)1(21a n n a --+=-+，所以要保证}{n a 的最大项是第6项，只需满足,6225<-<a 解得).8,10(--∈a【点评】,1921+-=n a n 1921)(+-=x x f 一个是数列，一个是函数，他们有联系，也有区别，适时转换（信息迁移）——转化为一次分式函数，并利用一次分式函数的图像和性质是解答本题的关键． 针对性练习：规定密码把英文的明文（真实文）按分母分解，其中英文,a z c b ,,, 的26个字母（不论大小写）依次对应1，2，3，…，26，这26个正整数，见表格：n o p q r s t u v w x y z14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26并给你一个变换公式：='x ，为偶数为奇数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤∈+≤≤∈),261,(132),261,(2x x N x x x x N x 将明文转换成密文，若,1713288=+→则h 变为→8;q ,132125=+ 则y 变成m ，按上述规定，若将某明文译成的密文是,shxc 你能否得出原来的明文 【解析】字母s 在密码表中对应的数字是19．或，1921=+x 则,37=x 但原明文中只对应26个整数，从而,19132=+x所以=x ,12 因此s 的明文是l ．同理可求.,e c v o h →→→因此shxc 的明文是love .创新题命题方向之五：探索探究型探索性问题是开放性问题的一种，高考中的探索性问题主要考查考生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机融合，并赋予新的情境创设而成的．要求考生自己观察分析，创造性地运用所学知识和方法解决问题，【例7】已知射线OP ，作出点M 使得,3π=∠POM 且,8||=OM 若射线OP 上一点N能使得MN 与ON 的长度均为整数，则称N 是“同心圆梦点”. 请问射线OP 上的同心圆梦点共有________个．【解析】如图，过点M 作.OP MH ⊥ 因为,3π=∠POM 且,8||=OM 所以,4||=OH ,34||=MH 设,||a MB =n m b HB ,(||=是正整数)．显然，在MHB Rt ∆中，有 ,)34(222=-b a 即))((b a b a -+.48=因为b a +与b a -同奇偶，所以48的分解只能取下列三种：,6841222448⨯=⨯=⨯=得)1,7(),4,8(),11,13(),(=b a 时就对应有三个同心圆梦点.,,321B B B 另外，易知点3B 关于直线MH 对称的点4B 也是符合题意，故射线OP 上的同心圆梦点共有4个．【点评】本题以三角形边长为整数为背景来命题，考查考生对有关数论综合分析能力，以MN 与ON 的长度均为整数为突破口来寻找点N ，将本题转化为列方程求整数解的个数问题． 针对性练习：已知定理：“若b a ,为常数，)(x g 满足,2)()(b x a g x a g =-++ 则)(x g y =函数的图像关于点),(b a 中心对称”，设函数=)(x f ,1xa ax --+定义域为A ． (1)试证明)(x f y =的图像关于点)1,(-a 成中心对称；(2)当]1,2[--∈a a x 时，求证：]0,21[)(-∈x f ；(3)对于给定的,A x i ∈ 设计构造过程：),(),(2312x f x x f x == ).(,1n n x f x =+ 如果),,3,2( =∈i A x i 构造过程将继续下去；如果,A x i ∉构造过程将停止．若对任意,A x i ∈构造过程可以无限进行下去，求a 的值. 【解析】(1),11)(axx f +-= 由已知定理得，)(x f y =的图像关于点)1,(-a 成中心对称； (2)首先证明)(x f 在]1,2[--a a 上是增函数， 为此只要证明)(x f 在),(a -∞上是增函数． 设,21a x x <<<∞- 则=-)()(21x f x f ,0))((11212121<---=---x a x a x x x a x a )(x f ∴在),(a -∞上是增函数．再由)(x f 在]1,2[--a a 上是增函数，得当]1,2[--∈a a x 时，)],1(),2([)(--∈a f a f x f 即]0,21[)(-∈x f(3)∵构造过程可以无限进行下去，又)(x f 的定义域为R x ∈且,a x =/a xa ax x f =/--+=∴1)(对任意A x ∈恒成立， ∴方程a xa ax =--+1无解，即方程1)1(2-+=+a a x a 无解或有唯一解,a x = ，⎩⎨⎧=/-+=+∴01012a a a 或，⎪⎩⎪⎨⎧=--+=/+a a a a a 11012由此得到.1-=a另外，知识迁移型也是创新的一个方向．总之，数学创新题以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，是训练和考查考生的数学思维能力，分析问题和解决问题能力的好题型．它与新课标要求考生“对新颖的信息、情境和设问，选择有效的方法和手段收集信息，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立思考、探索和研究，才是解决问题的思路，创造性解决问题”的思想相吻合，体现出高考支持课改并服务于课改的指导思想．要求考生面对陌生情境，迅速提取有用信息，要善于挖掘创新试题的内涵与本质，并合理迁移运用已学的知识加以解决.【练练手】1．定义：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上存在),(00b x a x << 满足,)()()(0ab a f b f x f --= 则称0x 是函数)(x f y =在区间],[b a 上的一个均值点，已知函数1)(2++-=mx x x f 在区间]1,1[-上存在均值点，则实数m 的取值范围是________.2．设)(x f y =为区间]1,0[上的连续函数，且恒有)(0x f ≤,1≤可以用随机模拟方法近似计算积分,)(10dx x f ⎰先产生两组（每组N 个）区间]1,0[上的均匀随机数N x x x ,,21 和,,21 y y ,N y 由此得到N 个点),,,2,1)(,(N i y x i i =在数出其中满足≤i y =i x f i )((( )),,2,1N 的点数,1N 那么由随机模拟方法可得积分dx x f )(10⎰的近似值为________. 3．已知)(x f 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对任意实数b a 、满足=⋅)(b a f )(b af),(a bf +,2)2(=f *),()2(N n nf a n n ∈=有以下结论： ①)1()0(f f =；②)(x f 为偶函数；③数列}{n a 为等比数列；④数列}{n b 为等差数列．其中正确结论的序号是________.4．已知集合},,,,,{321n a a a a A =其中>≤≤∈n n i R a i ,1()(),2A l 表示和)1(n j i a a j i ≤≤≤+ 中所有不同值的个数．(1)设集合},8,6,4,2{=P },16,8,4,2{=Q 分别求)(P l 和l );(Q(2)若集合},2,,8,4,2{n A = 求证：2)1()(-=n n A l ； (3))(A l 是否存在最小值若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由参考答案1．解析：本题等价于m mx x =++-12在)1,1(-∈x 有解，所以)2,0(1∈+=x m .2．解析：由题意知本题是求,)(10dx x f ⎰而它的几何意义是函数)(x f （其中1)(0≤≤x f ）的图像与x 轴、直线0=x 和直线=x 1所围成图形的面积，均匀随机数所产生的点有N 个，也就是落在正方形1,0,1,0====y y x x 区域上的点有N 个，而满足≤1y )),,2,1)(((N i x f i =的点数有1N 个，相当于正方形,1,0==x x ,0=y 1=y 区域上的围成的面积为N ，图像)(x y =与直线0=x 和直线1=x 及x 轴所围成图形的面积为,1N 所以≈N N 11)(10⎰dxx f 即⋅≈⎰NN dx x f 110)( 3．解析：因为,,R b a ∈∀),()()(a bf b af b a f +=⋅ ∴取==b a ,1,1得,0)1(=f 取,2=a,2=b 得,8)2(4)4(==f f 取,2,0==b a 得)0(f ),0(2f =,0)0(=∴f 取,2-=a ,2-=b 得)2(4)4(--=f f ，)2(-∴f ,2-=取,2,21-==n b a 得)2(2)2(1-=n n f f ∴+=+--,2)2(2)2(211nn n f f )1(12)2(2)2(11 +=--n n n n f f ，由*),()2(N n n f a n n ∈= 得,)2(n n na f =代入(1)，得112)1(2---=n n n n a n na ,1+,2)2(1==f a ,2n na nn =∴ .2n n a =∴ 答案：①③④． 4．解析：(1)由=+=+=+=+=+84,1064,1082,862,642,1486,12=+ 得.5)(=P l由,24168,20164,1284,18162,1082,642=+=+=+=+=+=+得.6)(=Q l(2)因为)1(n j i a a j i ≤<≤+最多有2)1(2-=n n C n 个值， 所以2)1()(-≤n n A l ，又集合},2,,8,4,2{n A = 任取≤≤<≤++1,1(,(n j i a a a a l k j i ),n l k ≤<当l j =/时，不妨设,l j < 则,221l k i j j j i a a a a a a +<≤=<++即.l k j i a a a a +≠+当k i l j =/=,时，l k j i a a a a +≠+，因此，当且仅当l j k i ==,时，l k j i a a a a +=+ 即所有)1(n j i a a j i ≤<≤+的值两两不同， 所以⋅-=2)1()(n n A l (3))(A l 存在最小值，且最小值为.32-n 不妨设<<<321a a a ,n a < 可得,1213121n n n n a a a a a a a a a a +<<+<+<<+<+- 所以)1(n j i a a j i ≤<≤+中至少有32-n 个不同的数，即)(A l .32-≥n 事实上，设n a a a a ,,,,321 成等差数列，考虑),1(n j i a a j i ≤<≤+根据等差数列的性质，当n j i ≤+时，11-++=+j i j i a a a a ；当n j i >+时，n n j i j i a a a a +=+-+因此每个和),1(n j i a a j i ≤<≤+等于)2(1n k a a k ≤≤+中的一个， 或者等于)12(-≤≤+n l a a n i 中的一个． 所以对这样的,32)(,-=n A l A所以)(A l 的最小值为.32-n。
高考数学命题创新的常见类型与解题方略
考前寄语：高考数学命题创新的常见类型与解题方略“命题创新”是历届高考数学试题命题者的永恒追求，“年年岁岁花相似，岁岁年年卷不同”。
“命题创新”是高考数学试题的灵魂与生命，“命题创新”型试题是历届高考数学试题的“靓点”，它能很好地考察学生进一步学习高等数学的潜能。
研究高考数学命题创新的常见类型，领会其解题的基本方略，对于提高数学创新思维能力，无疑大有脾益。
一．“概念创新”型1．直接取材于高等数学课程。
例1．（2007广东理8）设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”，（即对任意的a b S ∈，，对于有序元素对（a b ，），在S 中有唯一确定的元素*a b 与之对应）．若对任意的a b S ∈，，有()**a b a b =，则对任意的a b S ∈，，下列等式中不恒成立的是（A ） A ．()**a b a a = B ．[()]()****a b a a b a = C ．()**b b b b =D ．()[()]****a b b a b b =例2．(2008福建理)设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈R ，都有a +b 、a -b ， ab 、a b∈P（除数b ≠0），则称P 是一个数域.例如有理数集Q 是数域；数集{},F a b Q =+∈也是数域.有下列命题：①整数集是数域； ②若有理数集Q M ⊆，则数集M 必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个数域.其中正确的命题的序号是③④.（把你认为正确的命题的序号填填上）例3．(2006湖南文20). 在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中，若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数），则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1( -+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ，排列321的逆序数63=a . （Ⅰ）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式； （Ⅱ）令nn n n na a a ab 11+++=，证明32221+<++<n b b b n n ，n =1,2,….. 解 （Ⅰ）由已知得15,1054==a a ，2)1(12)1(+=+++-+=n n n n a n.（Ⅱ）因为,2,1,22222211==+⋅+>+++=+=++n nn n n nn n n a a a a b nn n n n ，所以n b b b n 221>+++ . 又因为,2,1,222222=+-+=+++=n n n nn n n b n ，所以)]211()4121()3111[(2221+-++-+-+=+++n n n b b b n=32221232+<+-+-+n n n n .综上， ,2,1,32221=+<++<n n b b b n n .解题方略与领悟：以上三个例题中定义的新概念直接取材于高等数学中的《高等代数》和《近世代数》等课程，这样的试题在历年的高考数学试卷中屡见不鲜，而且常考常新。
新高考数学命题特点及趋势
新高考数学命题特点及趋势
1. 新高考数学命题那可真是越来越灵活啦！就好比爬山，以前可能是走修好的路，现在啊，到处都是分岔口，得自己找路走！像今年的那道函数题，哎呀呀，不是死记硬背就能做出来的哟！
2. 大家发现没，新高考数学命题对应用能力的考查简直太突出啦！这不就像学游泳，光知道理论不行，得真的下水扑腾才能学会嘛！就说那道涉及实际生活场景的概率题，你不真会应用知识能行？
3. 新高考数学命题还特别注重思维的拓展呢！这就好比解开一团乱麻，得耐心又得有巧劲！比如那道几何证明题，不放开思维怎么可能做得出来呀！
4. 新高考数学命题对于创新的要求也越来越高啦！可以说是“不走寻常路”呀。
就像一场冒险，你得时刻准备迎接新的挑战！像那道创新题型，看到的时候是不是吓了一跳呢？
5. 新高考数学命题强调知识的综合呀！这就好像搭积木，不是一块一块堆起来就行，得相互搭配好！想想那道融合多个知识点的大题，是不是得综合考虑呀！
6. 新高考数学命题也很关注细节呢！真的是“细节决定成败”呀。
好比走钢丝，一点儿疏忽都不行！就考你细不细心，那道计算量大点的题，稍不注意就错啦！
7. 新高考数学命题趋势明显向着考查核心素养去啦！这简直就是在告诉我们要成为数学的“武林高手”啊！得有内功才行！像解决那道压轴题，没点真正的功夫可不行哦！
我的观点结论：新高考数学命题特点及趋势很明确，就是要让大家真正学懂数学、会用数学，所以我们得积极适应这些变化呀！。
2024届高考语文全国卷六大创新题型聚焦分析(付解析)
2024届高考语文全国卷六大创新题型聚焦分析教育部教育考试院2024年高考语文全国卷落实《深化新时代教育评价改革总体方案》中“改变相对固化的试题形式，增强试题开放性，减少死记硬背和‘机械刷题’现象”和《中国高考评价体系》中考查应体现基础性、应用性、综合性、创新性的要求，试题在考查高阶思维品质、鼓励学生个性回答、加强教考衔接等方面均有新的尝试。
下面是今年语文试题中六大创新题型介绍及其解析。
试题一：全国甲卷实用类文本阅读（二）实用类文本阅读（本题共3小题，12分）阅读下面的文字，完成4～6题。
“偷梁换柱”多指以假代真，用欺骗的手段改变事物的性质，然而在古建筑工程领域，“偷梁换柱”却属于一种科学实用的修缮加固方法。
梁是截面形状一般为长方形的木料，且木料的长度尺寸远大于截面尺寸。
梁为水平放置，两端的底部有支撑构件。
梁主要用于承担建筑上部构件及屋顶的全部重量，并把这些重量向下传给支撑构件。
柱为梁的支撑构件。
柱子截面形状一般为圆形，长度尺寸远大于截面直径。
柱子为竖向放置，主要用于承担上部梁传来的重量，并向下传递给下部的梁或直接传至地面。
梁与柱采用榫卯形式连接，形成稳固的大木结构体系。
位于屋架内的若干梁在竖向被层层往上“抬”，上下梁之间由短柱支撑，底部的梁由立于地面的立柱支撑。
梁、柱均为中国木结构古建筑的核心受力、传力构件，缺一不可。
对于古建筑而言，立于地面的立柱，或因长期承受上部结构传来的重量而产生开裂残损，或因柱底部位长期受到地面潮气影响而出现糟朽残损，这导致木柱强度下降，无法正常支撑梁。
此时可采用“偷梁换柱”的加固方法。
“偷梁换柱”实际就是“托梁换柱”。
其基本做法为：首先将“假柱”（即临时的竖向支撑构件）安装在梁底部、原柱（原有立柱）旁边；再抽去原柱，使梁传来的重量暂时由“假柱”承担；然后安装新柱，新柱的材料、尺寸及安装位置与原有立柱相同；最后将“假柱”移去。
完善的“偷梁换柱”加固方法具有科学性，其原理主要包括三个方面：其一，从梁的角度而言，它是水平受力构件，并把外力向下传给立柱。
数学技巧和语文技巧的区别
数学技巧和语文技巧的区别数学技巧和语文技巧都是在具体应用时才得以显现作用的一些能力和方法，二者有许多共同之处，如逻辑推理、思维训练、分析能力等等，但也存在着很多的不同点。
首先，数学技巧强调的是规则和运算，其运算符号往往具有精确定义和标准化的操作方式，而且这种运算往往是单向的、唯一的，因此在数学问题中很少存在二义性和主观性。
因为数学大多是以数字为基础的，因此在进行数学操作时，能够快速准确地计算出结果，而且可重复性极高。
相比较而言，语文技巧更强调灵活变通和个性化风格的表达。
语文是一种人类语言符号的体系，其中包含着丰富多彩的语义和文化内涵，而这些语义和内涵的传递和诠释却不可能简单地依靠一些规则和公式。
在语文中，每个词汇、每个句子、每个段落甚至每个文体都有着自己独特的含义和结构，因此要在语文中表达清晰、生动并富有感染力，需要具备更多的语感、想象力和创造力，并且对于语文的思维和表达要求会更加复杂和多样化。
其次，数学技巧重视的是准确和实用性。
数学问题往往需要精确地表述和计算，因此数学技巧的训练具有非常强的实用性，能够帮助我们更快更准确地解决各种数学难题。
此外，数学技巧在实际生活中也具有广泛的应用，如经济管理、自然科学、计算机技术等等，因此掌握好数学技巧将会带来很多实际的好处。
相比之下，语文技巧更注重的是思维深度和美感的表达。
在语文中，我们不仅要表达一个事情的本质和表面含义，还需要通过文学性的表达方式来展现出更加深层次的思想和情感。
这样的表达往往需要更加丰富的词汇、鲜明的形象、韵律感和美感。
此外，语文技巧也能够培养人们的思维深度和敏锐性，增强人们的人文素养和审美能力。
最后，数学技巧和语文技巧的训练方式也具有差异。
数学是一门需要大量练算的学科，因此它的训练是基于大量的计算和练习，需要有相当长的时间进行重复测试。
而在语文中，虽然也需要大量练习，但其练习方式往往更多地强调学生的感性认知和个性化表达，鼓励学生通过自己的想象和创造力来理解和表达语文的内涵和含义。
高考励志故事复读的贵州文科状元黄厚瀚
⾼考励志故事复读的贵州⽂科状元黄厚瀚 世上真的有“天才”这⼀说吗?也许我们认为只有爱因斯坦之类聪明绝顶的⼈，才算得上“天才”。
其实不然，每个普通的⾼三学⽣，都有“变⾝天才”的内在潜⼒，都有成为⾼考天才的渴望。
⾄于最后是否能成功跻⾝于“天才”⾏列，就要看你如何挖掘潜⼒了。
何不跟随下⾯这位“曾经笨蛋如今天才”的同学⼀起，去经历天才成长计划的每⼀步呢? 世间本没有天才，相信的⼈多了，也就有了天才。
庆幸我⼩时候看起来⼀副傻样，正因为如此，⾃⼰才不⾄于被⼀点点⾃以为是的⼩聪明毁掉⼈⽣。
2001年6⽉，鄙⼈参加六盘⽔市中考，语⽂和英语均未及格。
2001年11⽉，六盘⽔市重点中学⾼⼀年级的期中考试中，我考出了“惨不忍睹”的成绩：英语31分，地理41分，物理54分。
2003年1⽉的⾼⼆年级期末考试，鄙⼈英语才⾸次及格。
2004年6⽉⾼考之前，所有的⽉考中，我的总分都未超过540分。
…… 如今，关于⾼考技巧的演讲台上侃侃⽽谈的却是我。
但8年前，⼏乎⽐所有读者都要糟糕和失败的⼈，同样是我。
没有⼈相信我会是“天才”，没有任何⼈。
重要的是，我相信。
请允许我再强调⼀些让⾃⼰黯然神伤⽽⼜沾沾⾃喜的事实： 鄙⼈曾参加了2004年、2005年以及2006年三年⾼考。
2006年的⾼考中，英语136分，⽂科综合273分，总分是655分。
那年，我成为贵州省⽂科状元，进⼊⾃⼰梦寐以求的北京⼤学经济学院。
彼时，所有⼈才齐声惊叹我是⼀个天才，⼀个奇迹! 重要的是，我⼀直不认为⾃⼰是天⽣的天才，⽽是坚信：⾃⼰不会⽐任何所谓的天才逊⾊。
我⼀直都如此坚信。
天才锻造秘笈 第⼀招——⾃信 在湖北做⾼考演讲时，⼀个同学曾经问我：距离⾼考只剩下200多天，我还能考到600分吗? 但是现在没有⼈会问这个问题：⽕箭与马刺的⽐赛35秒后即结束，⽕箭队还落后6分，请问⽕箭队还能获胜吗?事实上，在那场篮球⽐赛中，麦蒂在这35秒内强势砍下13分，帮助⽕箭获得⼀场奇迹般的胜利。
数学新高考的教学反思
数学新高考的教学反思随着教育改革的不断推进，新高考模式逐渐在全国范围内推广开来。
数学作为高考中的重要学科，其教学也面临着新的挑战和机遇。
在经历了一段时间的新高考数学教学实践后，我进行了深入的反思，以期能够更好地适应新的教学要求，提高教学质量。
新高考数学在考试形式、考试内容和考查重点等方面都发生了较大的变化。
考试形式上，更加注重对学生综合能力的考查，题型更加灵活多样；考试内容上，增加了一些新的知识点和数学应用情境；考查重点从单纯的知识记忆和解题技巧转向了对数学思维、创新能力和解决实际问题能力的考察。
在教学目标方面，过去可能更侧重于知识的传授和学生的考试成绩，而新高考要求我们将培养学生的数学核心素养作为首要目标。
数学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。
这就需要我们在教学中不仅仅是让学生掌握数学知识，更要注重培养他们运用数学知识解决实际问题的能力，以及在解决问题过程中所展现出的思维品质和创新精神。
然而，在实际教学中，我发现还存在一些问题。
首先，教学方法的转变不够及时。
由于长期以来形成的教学惯性，在新高考的要求下，我有时仍然会过多地采用传统的讲授式教学，没有充分发挥学生的主体作用，导致学生的参与度不高，自主思考和探究的机会较少。
其次，对于新高考中新增的内容和题型，教学的针对性还不够强。
例如，数学建模相关的教学案例不够丰富，学生在面对这类问题时往往感到无从下手。
再者，对学生的分层教学做得还不够精细。
新高考背景下，学生的数学基础和学习能力差异较大，如果采用一刀切的教学方式，很难满足不同层次学生的需求。
针对以上问题，我认为在今后的教学中需要做出以下改进。
一是积极转变教学方法。
多采用问题驱动、小组合作探究等教学方式，引导学生主动参与到教学过程中来。
例如，在讲解函数的性质时，可以先提出一些实际问题，让学生通过自主探究和小组讨论来发现函数的特点和规律。
这样不仅能够提高学生的学习兴趣，还能培养他们的合作精神和探究能力。
高三数学学习中的困惑与解决
高三数学学习中的困惑与解决高三是每位学生学业重要的一年，也是备战高考的关键时期。
在高三数学学习过程中，许多同学不可避免地会遇到各种困惑与挑战。
本文将探讨高三数学学习中常见的困惑，并提供相应的解决方法。
一、概念理解困难在高中数学学习中，概念的理解是基础和关键。
然而，很多同学在学习过程中会感到对一些概念理解困难，尤其是一些抽象的概念。
对于这个问题，同学们可以采取以下解决方法：1. 夯实基础知识：在概念理解之前，首先要确保自己对前几年的数学知识有扎实的掌握。
对于不熟悉或有遗忘的概念，可以回顾相关的基础知识，通过做练习题来加深理解。
2. 寻求帮助：遇到概念理解困难时，不要孤立地去面对。
可以向老师请教，向同学交流讨论，或者寻找相关的教学资源进行辅助学习。
网上的数学学习平台、教学视频等都是很好的资源。
3. 实际应用：将概念应用到实际问题中有助于加深理解。
通过解决实际问题，可以更好地理解概念的本质和意义。
同时，还可以增加对数学的兴趣和学习动力。
二、解题方法不清晰解题方法的选择和运用是数学学习中的重要环节。
有时候，同学们可能会感到迷茫，不知道该如何选择和运用合适的解题方法。
以下是解决这个问题的几种途径：1. 规范化解题步骤：建立规范的解题思路和步骤，将复杂的问题拆解成多个易于处理的小问题。
通过按部就班的思考和解题过程，可以避免思路混乱和解题方法选择的困惑。
2. 多做典型例题：典型例题是数学学习中的重要资源。
通过多做典型例题，可以熟悉常见的解题思路和方法。
同时，也可以通过对典型例题的分析和归纳，总结出解题的一般性规律。
3. 直接求解与间接求解相结合：某些问题可以通过直接求解来得到答案，而另一些问题则需要通过间接求解的方式来解决。
在解题过程中，可以灵活运用直接求解和间接求解的方法，结合题目的具体要求选择合适的方法。
三、题目理解和条件判断困难数学题目通常涉及到对题目的准确理解和条件的正确判断。
在高三数学学习中，有时同学们可能会因为题目的表述方式复杂或条件的繁琐而感到困惑。
高考数学创新型试题的背景
高考数学创新型试题的背景一、教材背景(Ⅲ)求出满足等式3n+4n…+(n+2)n=(n+3)n的所有正整数n。
点评:(Ⅰ)中的不等式就是著名的贝努利不等式,它是以前人教社教材上的一个例题,2003年4月教育部颁布的《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称《标准》),已将它安排在选修系列4第5专题“不等式选讲”除以(n+3)n,再利用第(Ⅱ)问的结论,并排除n不小于6的情况,问题便可解决。
本题第(Ⅰ)问可看成源于教材(或课程标准),第(Ⅱ)问需要利用(Ⅰ)的结论,第(Ⅲ)问要利用(Ⅱ)的结论,三个问题逐步深入,其解题的主要方法是“套公式”。
从本质上讲,这个让考生感到很难的压轴题可以归结为用教材的知识和方法来解决。
二、高等数学背景高等数学的一些基本思想和基本问题为设计创新型试题提供了广阔而又深刻的背景,这是因为高等数学为背景试题能有效考查学生学习的潜能。
许多高考创新型试题都有比较深刻的高等数学背景,这类题目立意深远、形式新颖,在平常教学中很少碰到,考生遇到这类题目,会感到难以入手,一般需要自主学习和分析新的材料,并对新的数学信息进行迁移,才能解决问题。
例2(2006年全国卷Ⅰ理科第21题)已知函数f()=对任意的实数∈(0,1)恒有f()>1,求a的取值范围。
点评:本题(Ⅱ)小题含有拉格朗日中值定理的背景。
例3(2022年福建卷理科第16题)设P是一个数集,且至少含有两个数,若对任意a,b∈P都有a+b、a-b、ab、∈P(除数b≠0),则称P是一个数域。
例如有理数集Q是数域;数集F=a+│a,b∈Q也是数域,有下列命题:①整数集是数域;②若有理数集Q哿M,则数集M必为数域;③数域必为无限集;④存在无穷多个数域。
其中正确的命题的序号是_________。
(把你认为正确的命题的序号填上)点评:本题以近世代数中“域”的概念为背景,可谓背景深刻,能有效考查思维的抽象性、深刻性、发散性和创造性。
例4(2006年广东卷理科第20题)A是定义在[2,4]上且满足如下条件的函数渍()组成的集合:①对任意的∈(1,2),都有渍(2)∈(1,2);②存在常数l(0例5(2005年全国卷I理科第22题)(Ⅰ)设函数f()=log2+(1-)log2(1-)(0(Ⅱ)设正数P1,P2,P3,…,P2n满足P1+P2+P3+…+P2n,证明P1log2P1+P2log2P2+P3log2P3+…+P2nlog2P2n≥-n。
语文学习哪有那么难
语文学习哪有那么难——访国家课题“用数学思维学语文”组负责人、我省高级教师田昊明在线荐稿记者博客联系记者田昊明，高级教师,国家命题研究中心高级研究员，中国教育学会课研中心高级研究员，国家课题“用数学思维学语文”组负责人，该课题荣获2012年国家课题一等奖，河南省优质课大赛一等奖获得者。
在全国20多个省市做过百余次中高考语文专题报告的语文教改专家，被中国语文教育协会评为最具影响力十大名师之一。
□本报记者张舒娜通讯员秦兴华随着高考制度改革的推进，语文在各学科中的地位愈来愈高。
尽管从启蒙教育开始就一直在学语文，仍有一大批学生抱怨语文成绩提升慢，规律难掌握。
语文学习无从下手、效率低下的问题症结在哪？人们对语文教学有哪些错误的认识？语文教学的希望在哪里？近日，带着这些问题，记者采访了国家课题“用数学思维学语文”组负责人、我省高级教师田昊明。
语文学习“不泛”也“不慢”记者:人们习惯上认为语文学习是一个慢慢积累的过程，短期内不容易提升，您怎么看？田昊明：可总结如下三点：一是“泛”，语文学习茫无边际，无从下手；二是“慢”，学了一段时间，不会马上产生很好效果；三是“少”，主要指语文学习投入少。
其实，语文学习“不泛”也“不慢”。
语文学习“不泛”。
语文是较早划定考查的范围、能力要求的学科。
比如文言文需要掌握实词120个，虚词18个；语病题六大类15小类；背诵篇目是初中50篇，高中14篇，注意考察的是这些篇目中的名篇名句。
高考考查易错的成语共500个，高考考过的成语92.7%的不考，到目前为止，全国卷或新课标卷100%的不考，高考已考过的382个成语不是备考的重点，剩余的118个成语才是备考的重点,4个小时完成高考成语的积累任务；现代文阅读几乎不需要积累什么知识，所需的是答题规律和思维规律。
语文学习“不慢”。
语文同其他学科一样需要积累，但不能慢慢积累。
如何快呢？找规律，比如不会答诗歌赏析题说明没有套路，所有的题型只有一种答法，一种四字答题范式适合任何题型。
2025届新高考创新定义题型解密
创新定义题型命题解读考向考查统计1.高考对创新定义的考查，是新高考改革出现的题型，一般难度较大。
2024年九省联考出现了概率的新定义问题，而2025年新高考中出现了解析几何、数列的新定义问题。
解析几何创新问题2024·新高考Ⅰ卷，11数列新定义2024·新高考Ⅰ卷，19命题分析2024年高考新高考Ⅰ卷11题考查了解析几何的创新题型，主要是曲线方程的求法及性质。
Ⅱ卷虽然未考查新定义类型，但是压轴题将数列与双曲线相结合，也是一次独特的创新。
新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移达到灵活解题的目的;遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义照章办事”逐条分析、验证、运算，使问题得以解决，难度较难，需重点特训。
预计2025年高考还是主要考查数列、函数的新定义问题。
试题精讲一、多选题1(2024新高考Ⅰ卷·11)造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于-2，到点F (2,0)的距离与到定直线x =a (a <0)的距离之积为4，则()A.a =-2B.点(22,0)在C 上C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点x 0,y 0 在C 上时，y 0≤4x 0+2二、解答题2(2024新高考Ⅰ卷·19)设m为正整数，数列a1,a2,...,a4m+2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项a i和a j i<j后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a1,a2,...,a4m+2是i,j-可分数列．(1)写出所有的i,j，1≤i<j≤6，使数列a1,a2,...,a6是i,j-可分数列；(2)当m≥3时，证明：数列a1,a2,...,a4m+2是2,13-可分数列；(3)从1,2,...,4m+2中一次任取两个数i和j i<j，记数列a1,a2,...,a4m+2是i,j-可分数列的概率为P m，证明：P m>18．一、新定义问题“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.二、新定义问题的方法和技巧(1)可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；(2)可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；(3)发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；(4)如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.一、解答题1(2024·北京·三模)给定正整数n≥2，设数列a1,a2,...,a n是1,2,...,n的一个排列，对i∈1,2,...,n，x i表示以a i为首项的递增子列的最大长度，y i表示以a i为首项的递减子列的最大长度.(1)若n=4，a1=1，a2=4，a3=2，a4=3，求x1和y2；(2)求证：∀i∈1,2,...,n-1，x i-y i2+x i+1-y i+12≠0；(3)求ni=1x i-y i的最小值.2(2024·河南·三模)已知数列a n的前n项和为S n，若存在常数λ(λ>0)，使得λa n≥S n+1对任意n ∈N*都成立，则称数列a n具有性质P(λ)．(1)若数列a n具有性质P(3)；为等差数列，且S3=-9,S5=-25，求证：数列a n(2)设数列a n具有性质P(λ)．的各项均为正数，且a n①若数列a n是公比为q的等比数列，且λ=4，求q的值；②求λ的最小值．3(2024·河北保定·三模)在初等数论中，对于大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其它自然数整除的数叫做素数，对非零整数a和整数b，若存在整数k使得b=ka，则称a整除b.已知p，q为不同的两个素数，数列{a n}是公差为p的等差整数数列，b n为q除a n所得的余数，S n为数列{b n}的前n项和.(1)若a1=1，p=3，q=2，求S2024；(2)若某素数整除两个整数的乘积，则该素数至少能整除其中一个整数，证明：数列{b n}的前q项中任意两项均不相同；(3)证明：S8q+1为完全平方数.4(2024·海南·二模)设数列A :a 1,a 2,a 3,⋯,a n n ≥3,n ∈N * ，如果A 中各项按一定顺序进行一个排列，就得到一个有序数组Γ:b 1,b 2,b 3,⋯,b n ．若有序数组Γ:b 1 ,b 2,b 3,⋯,b n 满足b n -b 1 <b n -b i +1 (i ∈{1,2,3,⋯,n -2})恒成立，则称Γ:b 1,b 2,b 3,⋯ ,b n 为n 阶减距数组；若有序数组Γ:b 1,b 2,b 3,⋯,b n 满足b n -b i ≥b n -b i +1 (i ∈{1,2,3,⋯,n -2})恒成立，则称Γ:b 1,b 2,b 3,⋯,b n 为n 阶非减距数组．(1)已知数列A :-1,3,2,-3，请直接写出该数列中的数组成的所有4阶减距数组；(2)设Γ:b 1,b 2,b 3,⋯,b n 是数列A :1,3,5,⋯,2n -1n ≥4,n ∈N * 的一个有序数组，若Γ:b 1,b 2,b 3,⋯,b n 为n 阶非减距数组，且Γ :b 1,b 2,⋯,b n -1 为n -1阶非减距数组，请直接写出4个满足上述条件的有序数组Γ；(3)已知等比数列A :a 1,a 2,a 3,⋯,a n (n ≥3)的公比为q ，证明：当q >0时，Γ:a 1 ,a 2,a 3,⋯,a n 为n 阶非减距数组．5(2024·江西九江·三模)已知数列a n 共有m m ≥2 项，且a n ∈Z ，若满足a n +1-a n ≤11≤n ≤m -1 ，则称a n 为“约束数列”.记“约束数列”a n 的所有项的和为S m .(1)当m =5时，写出所有满足a 1=a 5=1,S 5=6的“约束数列”；(2)当m =2000,a 1=25时，设p :a 2000=2024;q :“约束数列”a n 为等差数列.请判断p 是q 的什么条件，并说明理由；(3)当a 1=1,a 2k =01≤k ≤m 2,k ∈N + 时，求S m 的最大值.6(2024·山东青岛·三模)在平面内，若直线l 将多边形分为两部分，多边形在l 两侧的顶点到直线l的距离之和相等，则称l 为多边形的一条“等线”，已知O 为坐标原点，双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1,F 2,E 的离心率为2，点P 为E 右支上一动点，直线m 与曲线E 相切于点P ，且与E 的渐近线交于A ,B 两点，当PF 2⊥x 轴时，直线y =1为△PF 1F 2的等线.(1)求E 的方程;(2)若y =2x 是四边形AF 1BF 2的等线，求四边形AF 1BF 2的面积;(3)设OG =13OP ，点G 的轨迹为曲线Γ，证明:Γ在点G 处的切线n 为△AF 1F 2的等线7(2024·浙江·三模)在平面直角坐标系中，如果将函数y=f(x)的图象绕坐标原点逆时针旋转α0<α≤π2后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称f x 为“α旋转函数”.(1)判断函数y=3x是否为“π6旋转函数”，并说明理由；(2)已知函数f x =ln2x+1x>0是“α旋转函数”，求tanα的最大值；(3)若函数g x =m x-1e x-x ln x-x22是“π4旋转函数”，求m的取值范围.8(2024·上海·三模)设t>0，函数y=f(x)的定义域为R．若对满足x2-x1>t的任意x1、x2，均有f(x2)-f(x1)>t，则称函数y=f(x)具有“P(t)性质”．(1)在下述条件下，分别判断函数y=f(x)是否具有P(2)性质，并说明理由；①f(x)=32x； ②f(x)=10sin2x；(2)已知f(x)=ax3，且函数y=f(x)具有P(1)性质，求实数a的取值范围；(3)证明：“函数y=f(x)-x为增函数”是“对任意t>0，函数y=f(x)均具有P(t)性质”的充要条件．9(2024·新疆喀什·三模)已知定义域为R 的函数f x 满足：对于任意的x ∈R ，都有f x +2π =f x +f 2π ，则称函数f x 具有性质P ．(1)判断函数g x =x ，h x =sin x 是否具有性质P ；(直接写出结论)(2)已知函数f x =sin ωx +φ 32<φ<52，ϕ <π2，判断是否存在ω，φ，使函数f x 具有性质P ？若存在，求出ω，φ的值；若不存在，说明理由；(3)设函数f x 具有性质P ，且在区间0,2π 上的值域为f 0 ,f 2π ．函数g x =sin f x ，满足g x +2π =g x ，且在区间0,2π 上有且只有一个零点．求证：f 2π =2π．10(2024·贵州六盘水·三模)若函数f x 在a ,b 上有定义，且对于任意不同的x 1,x 2∈a ,b ，都有f x 1 -f x 2 <k x 1-x 2 ，则称f x 为a ,b 上的“k 类函数”(1)若f x =x 2，判断f x 是否为1,2 上的“4类函数”；(2)若f x =2e ln x +a +1 x +1x为1,e 上的“2类函数”，求实数a 的取值范围；(3)若f x 为1,2 上的“2类函数”且f 1 =f 2 ，证明：∀x 1，x 2∈1,2 ，f x 1 -f x 2 <1.11(2024·江西南昌·三模)给定数列{A n}，若对任意m，n∈N*且m≠n，A m+A n是{A n}中的项，则称{A n}为“H数列”．设数列{a n}的前n项和为S n.(1)若S n=n2+n，试判断数列{a n}是否为“H数列”，并说明理由；(2)设{a n}既是等差数列又是“H数列”，且a1=6，a2∈N*，a2>6，求公差d的所有可能值；(3)设{a n}是等差数列，且对任意n∈N*，S n是{a n}中的项，求证：{a n}是“H数列”．12(2024·黑龙江·三模)如果n项有穷数列a n满足a1=a n，a2=a n-1，⋯，a n=a1，即a i=a n-i+1i=1,2,⋯,n为“对称数列”.，则称有穷数列a n(1)设数列b n是项数为7的“对称数列”，其中b1,b2,b3,b4成等差数列，且b2=3,b5=5，依次写出数列b n的每一项；(2)设数列c n是项数为2k-1(k∈N∗且k≥2)的“对称数列”，且满足c n+1-c n=2，记S n为数列c n 的前n项和.①若c1，c2，⋯，c k构成单调递增数列，且c k=2023.当k为何值时，S2k-1取得最大值?②若c1=2024，且S2k-1=2024，求k的最小值.13(2024·安徽·三模)已知数列a n 的前n 项和为S n ，若数列a n 满足：①数列a n 为有穷数列；②数列a n 为递增数列；③∀k ≥2，k ∈N *，∃p ,q ∈N *，使得a k =a p +a q ；则称数列a n 具有“和性质”.(1)已知S n =n 2+n 1≤n ≤100 ，求数列a n 的通项公式，并判断数列a n 是否具有“和性质”；(判断是否具有“和性质”时不必说明理由，直接给出结论)(2)若首项为1的数列a n 具有“和性质”.(ⅰ)比较a n 与S n +12的大小关系，并说明理由；(ⅱ)若数列a n 的末项为36，求S n 的最小值.14(2024·湖北荆州·三模)对于数列x n，如果存在一个正整数m，使得对任意n n∈N*，都有x n+m =x n成立，那么就把这样的一类数列x n称作周期为m的周期数列，m的最小值称作数列x n的最小正周期，简称周期.(1)判断数列x n=sin nπ和y n=2,n=13,n=2y n-1-y n-2+1,n≥3是否为周期数列，如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由.(2)设(1)中数列y n前n项和为S n，试问是否存在p,q，使对任意n∈N*，都有p≤(-1)n⋅S nn≤q成立，若存在，求出p,q的取值范围，若不存在，说明理由.(3)若数列a n和b n满足b n=a n+1-a n，且b1=1,b2=ab n+2=b n+1b nn≥1,n∈N，是否存在非零常数a，使得a n是周期数列？若存在，请求出所有满足条件的常数a；若不存在，请说明理由.15(2024·安徽芜湖·三模)若数列a n的各项均为正数，且对任意的相邻三项a t-1,a t,a t+1，都满足a t-1a t+1≤a2t，则称该数列为“对数性凸数列”，若对任意的相邻三项a t-1,a t,a t+1，都满足a t-1+a t+1≤2a t则称该数列为“凸数列”．(1)已知正项数列c n是一个“凸数列”，且a n=e c n，(其中e为自然常数，n∈N*)，证明：数列a n是一个“对数性凸数列”，且有a1a10≤a5a6；(2)若关于x的函数f x =b1+b2x+b3x2+b4x3有三个零点，其中b i>0i=1，2，3，4．证明：数列b1,b2, b3,b4是一个“对数性凸数列”：(3)设正项数列a0,a1，⋯,a n是一个“对数性凸数列”，求证：1n+1ni=0a i1n-1n-1j=1a j≥1 n n-1i=0a i1n nj=1a j16(2024·湖南·二模)直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如x=ty+1表示过点(1,0)的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.(1)若圆C1:x2+y2=1是直线族mx+ny=1(m,n∈R)的包络曲线，求m,n满足的关系式；(2)若点P x0,y0不在直线族：Ω:(2a-4)x+4y+(a-2)2=0(a∈R)的任意一条直线上，求y0的取值范围和直线族Ω的包络曲线E；(3)在(2)的条件下，过曲线E上A,B两点作曲线E的切线l1,l2，其交点为P.已知点C0,1，若A,B,C 三点不共线，探究∠PCA=∠PCB是否成立？请说明理由.17(2024·江苏南通·二模)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为63，直线l 与Γ相切，与圆O ：x 2+y 2=3a 2相交于A ，B 两点.当l 垂直于x 轴时，|AB |=26.(1)求Γ的方程；(2)对于给定的点集M ，N ，若M 中的每个点在N 中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为d (M ,N ).(ⅰ)若M ，N 分别为线段AB 与圆O 上任意一点，P 为圆O 上一点，当△P AB 的面积最大时，求d (M ,N )；(ⅱ)若d (M ,N )，d (N ,M )均存在，记两者中的较大者为H (M ,N ).已知H (X ,Y )，H (Y ,Z )，H (X ,Z )均存在，证明：H (X ,Z )+H (Y ,Z )≥H (X ,Y ).18(2024·新疆乌鲁木齐·二模)在平面直角坐标系xOy 中，重新定义两点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 之间的“距离”为AB =x 2-x 1 +y 2-y 1 ，我们把到两定点F 1-c ,0 ,F 2c ,0 c >0 的“距离”之和为常数2a a >c 的点的轨迹叫“椭圆”．(1)求“椭圆”的方程；(2)根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；(3)设c =1,a =2，作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为C ,C 的左顶点为A ，过F 2作直线交C 于M ,N 两点，△AMN 的外心为Q ，求证：直线OQ 与MN 的斜率之积为定值．19(2024·江西新余·二模)通过研究，已知对任意平面向量AB =x ,y ，把AB 绕其起点A 沿逆时针方向旋转θ角得到向量AP =x cos θ-y sin θ,x sin θ+y cos θ ，叫做把点B 绕点A 逆时针方向旋转θ角得到点P ，(1)已知平面内点A -3,23 ，点B 3,-23 ，把点B 绕点A 逆时针旋转π3得到点P ，求点P 的坐标：(2)已知二次方程x 2+y 2-xy =1的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 绕原点O 逆时针旋转π4所得的斜椭圆C ，(i )求斜椭圆C 的离心率；(ⅱ)过点Q 23,23 作与两坐标轴都不平行的直线l 1交斜椭圆C 于点M 、N ，过原点O 作直线l 2与直线l 1垂直，直线l 2交斜椭圆C 于点G 、H ，判断2MN +1OH2是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.20(2024·河南新乡·二模)定义：若函数f x 图象上恰好存在相异的两点P ，Q 满足曲线y =f x 在P 和Q 处的切线重合，则称P ，Q 为曲线y =f x 的“双重切点”，直线PQ 为曲线y =f x 的“双重切线”．(1)直线y =2x 是否为曲线f x =x 3+1x 的“双重切线”，请说明理由；(2)已知函数g x =e x -2e ,x ≤0,ln x ,x >0, 求曲线y =g x 的“双重切线”的方程；(3)已知函数h x =sin x ，直线PQ 为曲线y =h x 的“双重切线”，记直线PQ 的斜率所有可能的取值为k 1，k 2，⋯，k n ，若k 1>k 2>k i (i =3,4,5,⋅⋅⋅,n )，证明：k 1k 2<158．21(2024·上海长宁·二模)设函数y=f x 的定义域为D，若存在实数k，使得对于任意x∈D，都有f x ≤k，则称函数y=f x 有上界，实数k的最小值为函数y=f x 的上确界；记集合M n={f x y=f x x n在区间0,+∞上是严格增函数}；(1)求函数y=2x-1(2<x<6)的上确界；(2)若f x =x3-hx2+2x ln x∈M1，求h的最大值；(3)设函数y=f x 一定义域为0,+∞；若f x ∈M2，且y=f x 有上界，求证：f x <0，且存在函数y=f x ，它的上确界为0；。
高考新数学试卷分析论文
摘要：本文以2024年高考数学全国卷为例，从试卷结构、题型题量、考查内容、能力要求等方面进行分析，旨在探讨高考数学试卷改革的方向和趋势，为高中数学教学提供参考。
一、引言近年来，我国高考改革不断深入，高考数学试卷也在不断调整和优化。
2024年高考数学全国卷在保持稳定性的基础上，更加注重考查学生的数学核心素养和创新能力。
本文将从试卷结构、题型题量、考查内容、能力要求等方面对2024年高考数学全国卷进行分析。
二、试卷结构分析1. 题型题量：2024年高考数学全国卷题型题量保持稳定，共25题，其中选择题10题，填空题5题，解答题10题。
2. 难度分布：试卷难度适中，既有基础题，也有具有一定难度的题目。
选择题和填空题难度较低，主要考查学生的基本知识和基本技能；解答题难度较高，考查学生的综合运用能力。
三、考查内容分析1. 知识点覆盖：试卷涵盖了高中数学课程标准规定的所有知识点，包括集合、函数、三角函数、数列、立体几何、解析几何等。
2. 突出核心知识：试卷在考查基础知识的同时，更加注重考查学生的核心知识，如函数与导数、三角函数、数列等。
3. 注重实际应用：试卷中的情境设计引导学生关注现实问题和中华优秀传统文化，注重基础知识和技能的考查，同时也考查了学生的数学基本思想方法。
四、能力要求分析1. 思维能力：试卷注重考查学生的逻辑思维、抽象思维和创新能力，通过设置具有一定难度的题目，引导学生运用数学知识解决实际问题。
2. 解决问题的能力：试卷中的情境设计引导学生关注现实问题和中华优秀传统文化，考查学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 综合运用能力：试卷要求学生在解题过程中，综合运用多个知识点，解决综合性问题。
五、结论2024年高考数学全国卷在保持稳定性的基础上，更加注重考查学生的数学核心素养和创新能力。
试卷结构合理，题型题量适中，考查内容全面，能力要求较高。
这对高中数学教学提出了更高的要求，教师应注重培养学生的数学思维能力、解决问题的能力和综合运用能力，为学生的全面发展奠定基础。
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高考：语文没那么难，数学题型创新看不懂
今年，自主命题12年的广东高考重新回归“全国卷”，这对本届考生是一个巨大的挑战。
7日，广东73.3万考生迎接高考第一天语文和数学科的“征战”。
羊城晚报记者采访了解到，考生除了对作文题感到有些“出乎意料”之外，语文试题总体上比预想中简单。
而文科数学和理科数学则比广东卷难得多，不少考生大喊“题型没见过”，又有女生被考哭了。
语文简单到有点不敢相信
“第一年用全国卷，比我们预想的要简单！”7日上午考试结束，张同学第一个走出六中考点，春风满面。
她说，平时都做过类似的练习，看到卷子后还有点惊讶：“这么简单，有点不敢相信。
”
“诗歌比较简单，文言文翻译比较难，作文没有练过，感觉与往年的卷子差不多难度，题目有简单有难，这样大家考得也差不多的吧。
”广州市第四十七中学的陈同学说。
培正中学的钱同学也表示，今年的语文考试还好，难度跟平时差不多。
“阅读题放在前面对我没有影响，我是按照平时的做题习惯，先做默写题，然后依次是文言文、论述文、阅读题、基础题，再到古诗，最后写作文。
”
不过，被誉为学霸的刘同学则对语文考试结果预想不太乐观，他说：“市二模考了103分，估计这次有100分就不错
了。
”据了解，这次高考语文题中出现了一道新的类型题。
第十三题成语题分为七八个句子，为每一句话选出最适合它的成语。
普遍考生觉得给出的成语大多是平常不熟悉，所以还是有一定的难度。
卓越教育高中语文组负责人梁晓珺认为，今年高考语文全国卷的整体命题风格与难度保持稳定，与2019年相比没有大的波动。
如果考生之前认真研究过2019年的试题及答案，再做2019年的题目应该是得心应手。
作文：有人很蒙有人有话可说
至于面对第一次出现的漫画作文题，考生则有人欢喜有人忧。
“第一眼看到作文题我就蒙了，因为我们平时练的都是任务驱动型作文。
”西关培英中学的梁同学说，因为构思太久作文没有写完。
不过，也有不少考生觉得这个漫画的立意很熟悉，有话可说。
广州市第六中学的王同学表示，漫画呈现出来的是两种不同的教育方式，我觉得应该一分为二地看待分数问题，另外，家长在对待孩子的学习问题时要积极有为，不能为所欲为，也不能无所作为。
另一名四十七中考生的观点则是区别对待，落在耳光和唇印上面的，“我觉得这种情况不仅是教育的问题，还有对于不同结果的回应。
”
学而思高考研究中心语文研究刘老师认为，今年的高考题是赤裸裸的现实。
需要思考爱的方式。
虽没有出现家长的身影，
却隐含着家长的存在。
通过漫画可以看出家长的期望值。
期望目标不同，故态度不同。
分数背后是心态，是不同家长所展现出来对孩子的教育方式的差异。
考生可以从学生和家长两个角度进行思考。
文科数学：女生哽咽预感有复读
相对于早上语文比预想中简单，下午的数学考试则比预想中要难得多。
临近数学考试结束前，广州突然狂风大作，下起暴雨。
无数家长撑伞在校门口等待孩子，“早不下，晚不下，偏偏这个时候下。
”考试结束铃声响起，天空逐渐放晴，大多考生们却脸色阴沉地走出来。
“好难啊，只能听天由命了。
”西关培英中学的考生一见到老师就哭诉。
就连华师附中的汤同学，被问到考得怎样，也是表情凝重，连连摇头，只意味深长地说了一句“一言难尽”。
“难度比以往确实上升。
计算量又大，概率题都来把我绕晕了，时间特别紧。
”有考生直接调侃道：“上午漫画作文题的分数，就是在预示我的数学成绩。
”
采访了解到，由于全国卷的题目，即使之前已经进行了训练，但有些题型广州的考生还是看不懂。
考文科数学的刘同学表示，“难度确实比以往高，计算量比较大，好几道题第二问都不够时间写”。
据了解，往年文科数学的第一道大题一般是三角函数，但是今年换成了数列题，立体几何也有创新，
今年考了投影的知识点，概率题文字量也比较大。
“爸，我可能要复读了。
”六中的李同学考完对守候在门口多时的父亲说，她哽咽地说，连几何、概率这样普遍较好入手的题目都很不一样，难以读懂。
理科数学：比衡水中学的模拟题难
至于理科考生，对数学也是“哀嚎”一片。
“今年理科数学全国卷的难度总体上跟华附模拟卷差不多，但比衡水中学的模拟题难。
”有培正中学考生表示。
据了解，理科数学12道选择题和4道填空题比较容易，考基础知识。
5道大题分别考查解三角形，立体几何，概率，解析几何，导函数。
很多考生反映这次概率题看不懂，但平时喜欢数学的刘同学则认为，可能是题目文字较多，需要花费较多时间来分析，其实不算难。
”他认为，真正很难的是解析几何和函数导数。
“解析几何一般考查椭圆形，双曲线，抛物线和圆，需要自己画图，做完第一问，后面完全不会了。
有执信的考生反映，虽然试卷选择题部分的考点比较基础，但后面的大题却有点不按“套路”出牌。
“数学的难度系数与往年比简直提升了两个档次。
”执信考生范同学告诉记者，大题部分和平时相比题目很新。
“虽然选择题难度比想
象中简单，但其他题计算量偏大，尤其是后面几道大题，立体几何、概率和函数等，都不容易，很耗时间。
”。