钉板上的正方形.
《钉子板上的多边形》说课稿
《钉子板上的多边形》说课稿《钉子板上的多边形》说课稿这是一次研究平面图形面积的活动，安排在形成了面积概念，掌握了常用面积单位，能计算简单图形面积的基础上进行，是很恰当的。
这是一次既有趣又有挑战性的活动。
在钉子板上围图形、数钉子的枚数、算图形的面积，这些都是学生喜欢做、能够做的事情，他们会乐意参与这次活动。
然而，钉子板上围出来的图形大多数不是规则图形，也不是简单图形，求它们的面积没有现成的方法可以使用，得出图形的面积比较难。
而且，这次活动要探索围成的图形面积与图形边上的钉子枚数之间的关系，还要用含有字母的式子表达这种关系，有相当的难度。
但也正是这些“趣”与“难”，有助于体现活动的教育价值，培养学生探索精神和数学思维能力。
在钉子板上用线围图形，围成的平面图形一定是多边形，顶点一定是钉子板的钉子。
每个小正方形都表示1平方厘米，围成图形的面积是几平[内容来于斐—斐_课—件_园FFKJ。
Net]方厘米能够数出来或者算出来。
围成的多边形边上有几枚钉子，与图形的面积是否有关，如果有关，是什么关系，这些都是要探索的规律。
教材分四段安排探索活动：围成的图形内只有1枚钉子的规律；围成的图形内有2枚钉子的规律；围成的图形内有3枚或4枚钉子的规律；回顾探索和发现规律的过程，交流体会、积累经验。
（一）给出内部有1枚钉子的图形，逐步开展探索活动，发现这种情形下的规律，并用字母公式表示教材画出钉子板上的四个图形，依次是三角形、直角梯形、有3个直角的五边形、平行四边形，它们内部各有1枚钉子，安排学生进行以下几项活动。
首先，分别算出每一个图形的面积，数出各个图形边上的钉子枚数，把这些数据填入教材的表格里：接着，根据直观的图形和表格里的数据，说说自己的想法，交流各人的发现。
如，这些图形的面积不相等，边上的钉子枚数也不相同；边上的钉子枚数多，图形的面积就越大；三角形边上有4枚钉子，面积是2平方厘米，钉子枚数是面积单位个数的2倍；每一个图形面积的平方厘米数都是它边上钉子枚数的.一半？学生应该有话可说，在广泛的交流中会越来越有兴趣、越来越有思考，由此就能逐步明确相应的规律。
五年级上册数学教案2,钉子板上多边形丨苏教版（共五则）
五年级上册数学教案2,钉子板上多边形丨苏教版（共五则）第一篇：五年级上册数学教案2,钉子板上多边形丨苏教版《钉子板上的多边形》教学设计教学目标：1．理解钉子板上的多边形的定义，掌握求钉子板上多边形面积的一般方法；2．培养学生观察能力；进一步提高学生推理、归纳能力；3．体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，培养学生勇于创新的科学精神。
教学重点：钉子板上的多边形面积公式的理解与探索过程。
教学难点：钉子板上的多边形面积公式的探索过程。
教学过程：一、课前预习，精彩两分（呈自学之慧现尝试之雅）学生展示课前复习与整理的有关多边形面积计算的方法（包括公式计算、割补法和数方格的方法），以及在点子图上画出的多边形。
二、观察异同，引发猜想。
（促互学之慧显探索之雅）1.点子图与钉子板的比较：方格图和钉子板之间相同的地方：上面都有点，每两个点之间的距离是相等的，都是1厘米，每四个相邻的点组成了正方形，利用点作为多边形的顶点可以围出多边形。
2.眼力大比拼：（1）在方格图上画了三个多边形，看看哪个图形是和刚才钉子板上的多边形完全相同的。
说说你是根据什么来判断的？引出：图形的面积大小不同，图形边上的钉子数不同，图形中间的钉子数也不同。
（2）思考：观察这三个多边形，你觉得钉子板上多边形的面积与什么有关？ 3.引发猜想：到底多边形的面积与边上的钉子数还有中间的钉子数有没有关系，有怎样的关系，大胆的猜想一下。
三、活动操作，探索规律（理导学之慧展交流之雅）1．探究研究问题的方法：（1）四人小组为单位，交流交流研究其中的规律到底碰到了什么问题？有什么难处？（2）全班交流遇到的问题，探索解决问题的办法。
引出：中间的钉子数设置为0颗，边上钉子数从3颗开始研究起。
2.探究中间钉子数为0的多边形（1）组长拿出1号学习单，先填一填，再交流交流你有什么发现？（2）课件展示表格中的数据。
观察表格中的数据，你有什么发现？（3）根据学生的汇报，相机引导。
《钉子板上的多边形》(教学设计)苏教版五年级数学上册
《钉子板上的多边形》教学设计（公开课）教学内容：苏教版五年级上册第108～109页教学目标：1.使学生在操作、观察、猜测、验证等活动中,发现在钉子板上围出的多边形与它的边所经过的钉子数,以及多边形内部钉子数的关系,会用含有字母的式子表示发现的规律。
2.使学生在探索规律、发现规律和表达规律的过程中,进一步感受数学抽象的意义,培养比较、分析和简单推理的能力,增强发现问题、提出问题的意识,积累数学活动经验。
3.在探索交流的过程中养成乐于思考、勇于质疑、言必有据、团结合作等良好的品质,对数学产生强烈的好奇心和求知欲。
学情分析：学生已经形成面积的概念,掌握了常用的面积单位,能计算简单图形面积。
在钉子板上围图形、数钉子数、算图形的面积,这些是学生喜欢做、能够做的事情,他们会乐意参与。
然而,钉子板上围出的图形大多数不是规则图形,也不是简单图形,求它们的面积没有现成的方法可以使用,得出的图形面积比较困难。
教学重点：发现多边形的面积与边上钉子数和多边形内部钉子数之间的规律。
教学难点：学会“比较、猜想、验证、结论”的探索方法,得出计算面积的一般规律。
教学过程：一、初步感受多边形的钉子数和面积的关系1.认识钉子板谈话:这是一块钉子板,相邻两枚钉子的距离是1cm,围一个正方形,面积是多少?(板书:面积)围出一个三角形和一个五边形呢?你是怎样想的?小结:钉子板上的多边形,如果是一些基本图形,可以用面积公式计算；如果是一些组合图形,可以用割补的方法来数一数或者算一算。
2.初步建构联系问:你能围出一个面积更大的多边形吗?试着围一围,并想一想面积可能和什么有关?预设:(1)和钉子数有关 (2)内部的钉子数、边上的钉子数(板书) (3)其他3.认识区分内部的钉子数、边上的钉子数问:这是一个三角形,谁来指一指内部的钉子数、边上的钉子数。
4.揭题谈话:钉子板上多边形的面积与内部的钉子数、边上的钉子数到底存在怎么样的关系呢?今天这节课我们一起来研究钉子板上的多边形。
钉板上的正方形.
釘板上的正方形
研究結果
說明書
6.斜漏空第Ｐ型釘板上缺漏正方形總數為： 當格數為偶數時： ＳＥＳＰ＝(Ｐ×2＋1)×Ｎ－2×Ｐ×Ｐ Ｐ＝1,2，Ｎ＝4,6,8,10……Ｐ＝3，Ｎ＝6,8,10,12…… Ｐ＝4， Ｎ＝8,10,12,14…… Ｐ＝1,2,3,4……… 餘此類推 ----公式八 當格數為奇數時： ＳＯＳＰ＝8×(Ｐ＋1)×Ｎ－15－16×(1+2+3＋…＋Ｐ) Ｐ＝1， Ｎ＝3,5,7,9… Ｐ＝2， Ｎ＝5,7,9,11… Ｐ＝3， Ｎ＝7,9,11,13…Ｐ＝4， Ｎ＝9,11,13,15… Ｐ＝1,2,3,4……… 餘此類推 --公式九
偏漏空型釘板
不 漏 空 型 釘 板
正中空型釘板
頂漏空型釘板 邊漏空型釘板
斜漏空型釘板
釘板上的正方形
研究結果
1.不漏空型釘板上正方形總數為：
ＮＳ＝1×Ｎ2＋2×(Ｎ－1)2＋3×(Ｎ－2)2 ＋……＋ (Ｎ－1)×22＋Ｎ×12 ，Ｎ＝3,4,5…… --------公式一 2.正中空型釘板上正方形缺漏的總數為： 當格數為偶數時： ＣＥＳ＝(1＋2＋3＋……＋Ｎ/2)×4，Ｎ＝4,6,8…--公式二 當格數為奇數時： ＣＯＳ＝[1+2+3＋……＋(Ｎ-1)/2]×16＋4×Ｎ－11 ，Ｎ＝3,5,7…… ---------公式三
釘板上的正方形
總共可套出多少個正方形？
邊線正方形有幾個： 26個 對角線正方形有幾個： 22個
釘板上的正方形
總共可套出多少個正方形？
邊線正方形有幾個：
１×１邊線正方形 16個
３×３邊線正方形
４×４邊線正方形
5個
4個
５×５邊線正方形
1個
《认识正方形》教案优秀15篇
《认识正方形》教案优秀15篇（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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钉板上的正方形
钉板上的正方形
在2×2、3×3、4×4、…8×8的钉板上，你能作出多少不同形状的正方形？将结果记录下来．
在8×8的钉板上按大小顺序作出正方形并记录其面积．
答案钉板上的正方形
钉板大小正方形的数目
2×2 1
3×3 3
4×4 5
5×5 8
6×6 11
7×7 15
8×8 18
你可能认为在8×8钉板上，所能作出的不同形状正方形的数目为19，但其实你忽略了在作对角线正方形时，有一个是以3、4、5为3边的直角
三角形为基础的正方形，而这个正方形的边长为5，所以与6×6钉板的边界正方形重叠．
正方形数目N与钉板一边的钉子数n的关系如下：
在8×8钉板上所作成的正方形面积为：
1 2 4 5 8 9 10 13 16 17
18 20 25 26 29 37 49
观察其间的差，似乎看不出任何可以使数列继续下去的明显模式．。
苏教版五年级数学上册公开课《钉子板上的多边形》教案(定稿)
钉子板上的多边形教学内容：五年级上册p108-109探索规律“钉子板上的多边形”教学目标：1.使学生探索并发现钉子板上围成的多边形的面积，与围成的多边形边上的钉子数、多边形内部钉子数之间的关系，并尝试用字母式子表示关系。
2.使学生经历探索钉子板上围成的多边形面积与相关钉子数间的关系的过程，体会规律的复杂性和全面性，体会归纳思维，体会用字母表示关系的简洁性，发展观察、比较、推理、综合和抽象、概括等思维能力。
3.使学生获得探索规律成功的体验，树立学习数学的自信心，感受数学规律的奇妙，对数学产生好奇心，提高学习数学的兴趣和积极性。
教学重点：探索钉子板上多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系.教学难点：综合、归纳多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系.教学过程：一、问题引入，揭示课题师：同学们，你们认识这是什么吗?老师已经上面围了一些多边形，今天这节课我们就来研究钉子板上的多边形。
为了研究的方便，我们通常用这样的点子图代替钉子板。
这里每相邻两个钉子之间的距离都是1cm，相邻4个点围成的一个正方形的面积是1cm²。
师：这些都是在钉子板上围成的多边形，你想研究多边形的哪些内容呢？师：好的，今天这节课我们就先来研究一下和钉子板上这些多边形的面积有关的知识。
你们猜想一下，这些多边形的面积会和哪些什么因素有关？师：是否和你们说的这些因素有关呢？下面我们就借助这些多边形来研究。
二、分层探索，发现规律（一）引导尝试，初步感知。
1.课件出示图，引导学生观察。
引导：请大家观察多边形，按要求数一数，算一算，在教材第108页的表格里填一填。
（1）数一数或算一算每个多边形的面积各是多少平方厘米；（2）数一数每个多边形上的钉子各有多少枚；（3）想一想多边形的面积和边上的钉子数有怎样的关系。
2.学生交流，板书完成下面表格。
3.观察数据，比较发现。
引导：你能看出这些多边形的面积和边上钉子数的关系吗？同桌先说一说。
钉子板上的多边形课件及课后思路
钉子板上的多边形教案及教学课件教学目标：1、经历画图、填表、分析数据、探究规律的过程，发觉皮克公式。
2、初步感想通过固定某些变量的值来探求其余变量的变化规律的科学思维方法。
3、猎取由简单到复杂的探究问题的方法和经验。
4、能类比迁移探求问题的方法，尝试拓展研究同类新问题。
教学重点：发觉、得出多边形的面积与边上钉子数和多边形中间钉子数之间的规律。
教学难点：类比推导出一般规律。
教学打算：作业纸多媒体课件教学过程：一、激趣生疑，直观感知。
1、呈现一个钉子板上的多边形说明：每相邻的四个钉子构成一个正方形，边长是1，面积是1个面积单位。
提问：这个图形有几个面积单位？你是怎么了解的？组织交流：〔1〕面积公式计算；〔2〕分割数方格。
2、启发：你能再围一个面积和刚刚不一样的多边形吗？在围过程中想一想多边形的面积可能跟什么有关呢？学生动手围一围，同桌相互说一说怎样求出面积的。
3、追问：跟哪里的钉子数有关？4、揭题：面积与钉子数之间是否存在肯定的规律呢？我们这节课就来研究钉子板上的多边形面积与钉子数之间的关系。
提问：想一想，我们可以怎样来研究？提出猜测——验证猜测——概括结论二、简单入手，探究多边形内有一枚钉子的情况。
1、个例发觉，形成猜测出示：一组钉子板上的多边形。
提问：每个多边形各有多少个面积单位？边上的钉子数各有多少枚？先数一数、算一算，把结果填入表中，再和同桌说说你的发觉。
生独立计数，完成表格出示资源：提问：〔1〕校对结果〔2〕你有什么发觉？全班交流：〔1〕多边形边上的钉子数越多，面积越大。
〔2〕多边形的面积等于多边形边上钉子数的一半。
如果用S表示面积单位的个数，n表示多边形边上的钉子数，你能用字母表达式表示这一发觉吗？动手写一写。
2、举例验证，明确前提。
引导：由刚刚这四个图形，有了这样的发觉，这一发觉是否也适用于钉子板，我们还要举例验证。
要求：在钉子板上画一些多边形，验证刚刚的发觉。
并列呈现学生资源，引导观察。
五年级上册数学教案-8-《钉子板上的多边形》苏教版(2023秋)
1.理论介绍：首先，我们要了解多边形的基本概念。多边形是由三条以上的线段首尾相连形成的封闭平面图形。它在我们的生活中无处不在，从简单的三角形到复杂的六边形，都有其独特的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过钉子板上的操，我们能够构建出各种多边形，并了解它们在实际中的应用，比如在建筑、艺术和设计等领域。
3.培养学生的动手操作能力和团队协作意识，通过在钉子板上拼搭多边形，提高学生解决实际问题的能力。
4.培养学生的数据分析观念，能够运用所学知识，如计算多边形周长和面积，解决生活中的数学问题，增强数学应用意识。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解多边形的基本概念，包括边的数量、角的个数以及它们之间的关系。
我还观察到，在小组讨论环节，学生们积极参与，提出了不少有创意的想法。这说明他们在团队合作中能够相互启发，共同解决问题。不过，我也注意到有些学生在讨论中较为沉默，我应该在以后的课堂中更加注意平衡每个学生的参与度，鼓励那些不太主动的学生也发表自己的见解。
另外，我发现案例分析这一环节对学生们的吸引力很大，他们对于将多边形知识应用到实际生活中的例子表现出浓厚的兴趣。这启发我，在未来的教学中，可以更多地引入实际案例，让学生们看到数学知识的实用性和趣味性。
五年级上册数学教案-8-《钉子板上的多边形》苏教版（2023秋）
一、教学内容
《钉子板上的多边形》选自苏教版五年级上册数学教材第八章，本节课主要内容包括：
1.认识钉子板，并能在钉子板上进行实际操作。
2.探索并了解多边形的概念，能通过观察和操作，识别钉子板上的多边形。
3.学习多边形的特征，如边的数量、角的个数以及它们的关系。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和构建的多边形。
小奥 85 奥数 一年级 教案 第5讲.精英班.教师版数数游戏
第五讲 数数游戏本节课主要是给学生介绍一些不规则图形的计数方法，比如跳棋孔有多少个，蜘蛛网上有多少个点等问题。
把数数和生活联系起来，让学生在练习的过程中，能根据不同的情况，找到最简便的计数方法，这里也巧妙的巩固了前面所学的乘法，让学生进一步理解了乘法的意义。
1、教学点为各位老师提供了本节课挂图。
第五讲数数游戏【教学思路】课前通过这两个题的铺垫，让学生很块融入到学习中．第一道题，我们要注意引导学生在数图形的时候不重复、不遗漏，那么在这个图形中包含苹果的正方形一共有6个，包含在1个小正方形里面的有1个，包含在4个小正方形里面的有3个，包含在9个小正方形里面的有2个，一共有6个．第二道题中要求我们数出我们看不见的小正方体，主要培养学生的空间想象能力．在这三个图形中第一个图形看不见的小正方体有3个，第二个图形看不见的小正方体有4个，第三个图形看不见的小正方体有6个．下图是由14个小正方形组成的图形。
在这个图形中包含有苹果的正方 形，共有多少个？猜一猜下图每个图中看不见的小方块有几个？小朋友们都是数数的小能手，在生活中有很多需要我们通过数数来解决的问题，在解决问题时数数的方法有很多，你会用什么方法来数呢？今天这节课就让我们这些小能手们再次来比试一下吧！你还背得这首诗吗？去掉标点后，这首诗一共有几个字？【教学思路】第一排有3个字，后面的三排每排有5个字，我们这样数比较简单：53318⨯+=（个）或35318⨯-=⨯+=（个）．还这样把第一排也看成5个，然后把多数的两个减掉．54218（个）或45218⨯-=（个），在这道题中，引导学生把变加为乘的速算方法，灵活的应用到计数中来．小朋友们，请你数一数下面的图形里面有多少个．【教学思路】在数的过程中，我们要按顺序来计数．首先我们来看横行，每一横行能数出3个，4横行一共能数出，3412⨯=个．再来看竖行，每一竖行能数出3个，4竖行一共能数出，3412⨯=个．这样在这个图形中，一共能数出121224+=个．通过这道题进一步巩固乘法的意义．像下图这样摆出一个长方形，一共用了多少根小棒？摆出一个正方形，一共用了多少根小棒？【教学思路】摆出一个长方形，一共用了多少根小棒？可以这样数横着的小棒有8216⨯=（根）竖着的小棒一共有9根，合起来一共有16925+=（根），第二个图中摆出一个正方形，一共用了多少根小棒？可以这样数横着的小棒一共有3412⨯=（根），竖着的小棒一共有⨯=（根），合起来一共有1212243412+=（根）．一蓝一白两海龟，全用三角形来拼．小朋友们数一数，两只海龟共用几个三角形？【教学思路】我们先思考一个小海龟用了几个三角形，可以拿白色的海龟来观察．方法一：把中间的正方形分成三角形然后来数一数．分层数：第一层有6个小三角形；第二层有10个小三角形；第三层有2个小三角形．一共有610218++= (个)小三角形． 方法二：数一数，这个小海龟是由6个正方形和6个三角形组成．一个正方形可以分成两个三角形，那么6个正方形就是12个小三角形，一共有多少个小三角形可以列式：62618⨯+=（个）一只小海龟用了18个小三角形，两只就海龟就用了181836+=（个）小三角形．【教学思路】首先我们可以把这8个数进行分组：18275436+=+=+=+，每一组中的两个数相加都得9，有这样的四组数（1，8）、（2，7）、（3，6）、（4，5），我们只需要把任意的两组幼儿园老师带领8个小朋友做游戏，他先用粉笔在8个孩子的背上写上了号码，然后把他们分成两组，一组的号码为：1、2、3、4；另一组的号码为5、6、7、8。
五年级上册数学教案2钉子板上的多边形丨苏教版
五年级上册数学教案2钉子板上的多边形丨苏教版教学目标：1. 理解多边形的概念，了解多边形的分类。
2. 观察并探究钉子板上的多边形的特点。
3. 掌握计算多边形的边数和角数的方法。
4. 进一步培养学生观察、分析和解决问题的能力。
教学重点：1. 多边形的概念和分类。
2. 钉子板上多边形的特点。
教学难点：1. 多边形的边数和角数的计算。
教学准备：钉子板，小铁圈，一次性竹签，直尺，铅笔，橡皮。
教学过程：Step 1：导入新知1. 引导学生回忆并复习图形的知识，与学生谈论学过的平面图形，如正方形、长方形、三角形等。
2. 提问：你们还记得多边形是什么吗？请举例说明。
3. 回答：多边形是由线段构成的封闭图形。
四边形、五边形、六边形等都是多边形。
Step 2：学习多边形的分类1. 出示图片，介绍不同边数的多边形，并简单解释多边形的命名规则。
2. 引导学生观察并区分不同边数的多边形。
Step 3：观察钉子板上的多边形1. 准备一个钉子板和一些小铁圈，将小铁圈固定在钉子上，形成一个多边形。
2. 让学生观察多边形的形状、边数和角数，并回答以下问题：a. 这个多边形有几条边？b. 这个多边形有几个角？c. 这些角的和是多少度？d. 这个多边形是否是凸多边形？Step 4：计算多边形的边数和角数1. 引导学生总结计算多边形边数的方法：n个角的多边形有n条边。
2. 引导学生总结计算多边形角数的方法：n条边的多边形有(n-2)*180度的内角和。
3. 给学生一些练习题，让他们计算多边形的边数和角数。
Step 5：探究多边形的特点1. 在钉子板上固定一次性竹签，形成一个多边形。
2. 让学生观察并描述多边形的特点，如各边的长度是否相等，各角的大小是否相等。
3. 引导学生探究正多边形和不规则多边形的特点，并总结规律。
Step 6：小结与展示1. 请几位同学模仿钉子板上的多边形向全班展示，并回答相关问题。
2. 给学生总结本节课所学的知识点，并展示在课堂上制作的多边形图形。
钉子板上的多边形 教学设计(详案)
钉子板上的多边形------连云港市院前小学李吉爱教学内容：义务教育教科书数学五年级上册第108-109页。
教学目标：1．探索并初步发现钉子板上多边形内有1、2、3枚以以上钉子的多边形的面积与多边形边上的钉子数之间的关系，激发进一步探索钉子板上的多边形面积与钉子数关系的兴趣。
2．经历探索过程，积累探索经验，体验成功乐趣。
3．通过小组合作，类比迁移探索问题的方法，尝试探索研究同类问题。
教学重点：探索钉子板上的多边形面积与边上钉子数和中间钉子数之间的规律。
教学难点：在有限的课堂时间内类比推导出一般规律。
教具准备：钉子板、钉子板套管（橡皮泥替代）、板贴、多媒体课件。
学具准备：钉子板、作业纸等教学过程：课前交流对话：（预设3分钟）主要围绕“会观察、敢猜想”这两个关键词。
1.孩子们，认识老师吗？老师姓啥名啥？你是怎么知道的？（在学生猜想后点击课件全部显示）只显示一半你就能猜出来，你属牛的吧！你太牛了！可见你善于观察，敢于猜想（磁板分别贴出观察、猜想），这两点是我们学习数学时，很优秀的品质。
2.你知道今天将要学习什么知识吗？（在学生回答后点击课件出示课题）你是怎么知道的？看来咱们班会观察，敢猜想的同学真不少！老师希望这节课中能看到更多的同学具有这种品质！准备好了吗？下面我们开始上课！一、激趣生疑，直观感知（预设：3分钟）1.复习学过的平面图形的面积，引出一道稍难的问题，埋下伏笔，引出课题。
a.过渡引入：我们学过好多平面图形，老师考考你，谁能在20秒之内答出它的面积是多少吗？（点击课件出示例题中平行四边形的那道题）b.看来这种题目难不倒大家！老师再出一道，考考你！（点击出示），在20秒后，点击课件消失，问：怎么没有刚才那么迅速呢？预设：学生会说出关于“割补”的字眼。
教师板书“割补”二字。
教师用课件配合进行点拨。
（揭示答案17.5平方厘米）c.过渡：老师想告诉你，只要你用心上完这节课，保你在20秒之内就能解答出来！你们想学习这个绝招吗？（想）告诉你吧，解决这个难题的奥妙就藏在这个小小的钉子板中。
小学数学竞赛第三讲 钉板趣题
一、钉板与皮筋所谓钉板，就是把钉按一定的要求钉在木板上，这样带有钉的木板叫钉板。
钉板与皮筋所讨论的问题是：以钉板上的某些钉为顶点，然后用皮筋将这些顶点依次连起来（以后简称去套这些钉），就可以得出一些不同的多边形来，再计算某种多边形的个数，下面举几个例题来说明一下做这类问题的思路和注意事项。
例1 用20枚铁钉按图3－1所示，钉成相邻的横、竖两排距离都相等的4×5矩形钉阵，现在给你许许多多的皮筋，以这些钉为顶点，你能套出多少个正方形来。
分析与解此题与第一分册中讲到的数正方形个数的问题有些相似。
为方便起见，我们假定相邻两行、两列钉之间的距离为“1”，用皮筋去套这些钉，首先可以得到图3－2那样的图形。
在图3－2中，边长为“1”的正方形有（4×3）12个，边长为“2”的正方形有（3×2）6个，边长为“3”的正方形有2个。
除了上面那些正方形外，还有其它的正方形。
如果把图3－1中某些小正方形相对顶点上的钉用皮筋连起来，便可得图3－3。
在图3－3中，因为AB、BC、CD、DA都是边长为“1”的正方形的对角线，所以AB＝BC ＝CD＝DA。
另外角A、B、C、D都正好是两个45°角的和，故它们都等于90°，这一来四边形ABCD是个正方形。
图3－3中和ABCD一样的正方形有（3×2）＝6个。
另外，如果把某些两个相邻的正方形拼成的长方形相对顶点上的顶点也用皮筋连接起来便得图3－4。
在图3－4中，因为AB、BC、CD、DA都是相同长方形的对角线，所以AB＝BC＝CD＝DA。
通过图形的拼补可以算出角A、B、C、D都等于90°，因此四边形ABCD也是正方形，图2－4中和ABCD一样的正方形有（2×2）4个通过仔细观察，边长比图3－4中AB线段还长，位置又不太正规的正方形不存在。
故共可套出正方形：4×3＋3×2＋2＋3×2＋2×2＝30（个）通过例1可以发现，解这类所谓“钉板与皮筋”问题时，分类计算这种想法是很重要的。
钉子板上的多边形(教案)2023-2024学年数学五年级上册 苏教版
教案：钉子板上的多边形课程名称：数学年级：五年级上册教材版本：苏教版授课时间：2023-2024学年教学目标：1. 让学生了解多边形的概念，掌握多边形的特征。
2. 培养学生运用钉子板进行多边形创作的技能。
3. 培养学生的观察能力、动手能力和创新能力。
教学重点：1. 多边形的概念和特征。
2. 钉子板上多边形的创作方法。
教学难点：1. 多边形的特征及其应用。
2. 钉子板上多边形的创作技巧。
教学准备：1. 教师准备：钉子板、图钉、绳子、直尺、圆规等。
2. 学生准备：钉子板、图钉、绳子、直尺、圆规等。
教学过程：一、导入1. 教师出示一个钉子板，引导学生观察钉子板的形状和特点。
2. 学生分享观察到的钉子板的特点，如：钉子板的形状、钉子的排列等。
二、新课内容1. 教师讲解多边形的概念，引导学生了解多边形的特征，如：边数、角度、对角线等。
2. 教师通过实例，展示多边形的创作方法，如：正方形、长方形、三角形等。
3. 学生跟随教师，动手在钉子板上创作多边形，体验创作的乐趣。
三、课堂实践1. 教师出示一个钉子板，要求学生在钉子板上创作一个多边形。
2. 学生根据自己的喜好，选择合适的材料，如：绳子、图钉、直尺、圆规等，进行多边形的创作。
3. 教师巡回指导，解答学生在创作过程中遇到的问题。
四、作品展示与评价1. 学生展示自己的作品，分享创作心得。
2. 教师对学生的作品进行评价，给予鼓励和建议。
3. 学生互相评价，学会欣赏和尊重他人的作品。
五、课堂小结1. 教师引导学生回顾本节课所学内容，总结多边形的概念和特征。
2. 学生分享自己在课堂实践中的收获和感受。
教学延伸：1. 教师引导学生思考：如何利用钉子板进行更复杂的多边形创作？2. 学生回家后，尝试在钉子板上创作一个复杂的多边形，下次课分享创作过程和成果。
教学反思：本节课通过钉子板上的多边形创作，让学生了解多边形的概念和特征，培养学生的观察能力、动手能力和创新能力。
在教学过程中，要注意关注每一个学生，及时发现并解答他们在创作过程中遇到的问题。
指向核心概念，感悟数学思想——“钉子板上玩面积”实验课教学实录
学生在系统学习五年级上册的“多边形的面积”时，需要具备哪些经验和数学思想？在前期学习过程中，教材是否有意识地渗透割补、转化、等积变形等思想？据我们对教材的系统研究，除三年级下册学习面积单元时有所渗透外，间隔一年半的时间，学生几乎没有再触碰过这些“核心概念”与“核心思想”，可想而知学生系统学习“多边形的面积”时会遇到的困难。
开发“钉子板上玩面积”这一实验项目，目的就是弥补学生的“经验与思想”被长时间割裂留下的空白。
该数学实验借助4×4钉子板，让学生经历围出面积为8平方厘米图形的活动，感悟割补、转化、等积变形等思想，培养学生的空间想象与推理能力。
同时在数学活动中，经历猜想、推理、验证等过程，建立“一半”模型。
借助学具与实验活动，激发学生的探究兴趣，感悟“玩面积”的美与奇。
该节实验课可以安排在四年级上学期或下学期，具体实验探究过程呈现如下。
师：平常我们都说，学要学得扎实，玩要玩出名堂。
这节数学实验课我们就来玩一玩钉子板。
（出示图1）请看，钉子板上有什么？图1生：有钉子，有橡皮筋，还有格子。
师：大家观察得很仔细，我们把相邻的两枚钉子之间的长度看作1厘米，那么1格代表几平方厘米？这块钉子板一共有多少平方厘米？生：每格代表1平方厘米，一共有16平方厘米。
师：（出示图2左图）老师在钉子板上围成一个直角三角形，想一想：它的面积是多少？你是怎么验证的？生1：直角三角形的面积是1平方厘米，我用割补的方法来证明。
首先在这里割一刀，然后把这个小的直角三角形旋转一下，补到下面，（如图2右图）就变成了一个小正方形，小正方形正好是1格，也就是1平方厘米。
➡图2生2：我有不同的验证方法，首先把直角三角形补成一个长方形，（图略）因为长方形占2格，就是2平方厘米，长方形由两个完全相同的直角三角形组成，所以直角三角形是长方形面积的一半，也就是1平方厘米。
师：知其然，还知其所以然，把道理说得有理有据，非常好。
刚才两位同学，分别用到了哪些数学思想方法？生：割补、转化。
苏教版数学五年级上册 ● 钉子板上的多边形(12)(教案)
《钉子板上的多边形》教学设计教学目标：1、使学生经历探索并初步发现钉子板上围成的多边形的面积，与围成的多边形边上的钉子数、多边形内部钉子数之间的关系，并尝试用字母式子表示关系。
2、使学生经历探索钉子板上围成的多边形面积与相关钉子数之间的关系的过程，体会规律的复杂性和全面性，体会归纳思想，发展观察、比较、推理、综合和抽象概括能力。
3、使学生获得探索规律成功的体验，树立学习数学的信心，感受数学的奇妙，提高学习数学的兴趣和积极性。
教学重点：探索钉子板上多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系。
教学难点：综合、归纳多边形面积与多边形上钉子数、内部钉子数之间的关系。
教学准备：课件教学过程：一、情景导入（课件出示）师：这是一块钉子板，大家认识它吗？每相邻的两个钉子之间的距离是一厘米，那么课件上围成的这个正方形面积是多少呢？出示一组我们已经学过的图形，老师将它们围在了钉子板上，你能算出它们的面积吗？学生先独立思考计算，再指名回答交流算法。
师再出示一个图形，问：现在你还能既准确又快速的算出这个图形的面积吗？师提问：是不是还有其他办法求出多边形的面积吗？同学们想一想，多边形是在钉子板上围成的，那么它的面积有可能和钉子数有关系吗？这节课我们就来探究多边形面积和钉子数之间的关系。
（板书课题）二、分层探索，发现规律（一）探究内部钉子数为0的规律1、出示一组大家熟悉的长方形，师生共同数出第一个长方形边上的钉子数。
同桌两人合作数出剩下三个长方形边上的钉子数，再算出长方形面积。
看哪组算的又对又快。
指明汇报填表。
师：下面同学们思考观察边上的钉子数和长方形面积之间有什么关系呢，再和同桌交流下自己的想法。
2、全班交流，怎样根据边上的钉子数求出长方形的面积呢？指名学生说说自己的猜想。
师引导学生发现面积等于边上的钉子数除以二再减一。
3、提问：如果用n表示长方形边上的钉子数，用S表示长方形的面积，那么S=？哪个同学来试一试。
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＋(12＋16×Ｐ)×{[(Ｎ-1)/2)]- Ｐ }
＋8×{1＋2＋3＋……＋[((Ｎ-1)/2)- Ｐ]}
Ｐ＝1， Ｎ＝3,5,7,9……； Ｐ＝2， Ｎ＝5,7,9,11……
Ｐ＝3，Ｎ＝7,9,11,13…；Ｐ＝4，Ｎ＝9,11,13,15……
Ｐ＝1,2,3,4……… 餘此類推
--公式七
釘板上的正方形
研究結果
說明書
6.斜漏空第Ｐ型釘板上缺漏正方形總數為：
當格數為偶數時：
ＳＥＳＰ＝(Ｐ×2＋1)×Ｎ－2×Ｐ×Ｐ Ｐ＝1,2，Ｎ＝4,6,8,10……Ｐ＝3，Ｎ＝6,8,10,12……
Ｐ＝4， Ｎ＝8,10,12,14…… Ｐ＝1,2,3,4……… 餘此類推
----公式八
當格數為奇數時：
ＳＯＳＰ＝8×(Ｐ＋1)×Ｎ－15－16×(1+2+3＋…＋Ｐ) Ｐ＝1， Ｎ＝3,5,7,9… Ｐ＝2， Ｎ＝5,7,9,11…
頂漏空型釘板
也就是缺漏釘子的位置， 恰在釘板的四個頂角，頂 漏空第一型缺漏釘子的數 目為1個；頂漏空第四型 缺漏釘子的數目為4個； 釘板上釘子的總數，恰等 於不漏空型釘板釘子數目 減去型號數。
五格頂漏空第三型釘板
釘板上的正方形
各種類形釘版
邊漏空型釘板
也就是缺漏釘子的位置， 恰在釘板的旁邊，而且只 缺了1個釘子，釘板上釘 子的總數，恰等於不漏空 型釘板釘子數目減1。
五格邊漏空第一型釘板
釘板上的正方形
各種類形釘版
偏漏空型釘板
也就是缺漏釘子的位置， 恰在正中空型釘板往正上、 正下、正左、正右偏如十 字的位置。
五格偏漏空第一型釘板
釘板上的正方形
各種類形釘版
斜漏空型釘板
也就是缺漏釘子的位置， 恰在正中空型釘板往頂點 偏的位置。
五格斜漏空第一型釘板
釘板上的正方形
各種類型釘版發展表
釘板上的正方形
所有釘子可圈出多少個正方形？（５格釘板）
５×５邊線正方形
1個
合計
４×４邊線正方形
4個
55個邊線正方形
３×３邊線正方形
9個
２×２邊線正方形 １×１邊線正方形
16個 25個
釘板上的正方形
所有釘子可圈出多少個正方形？（５格釘板）
１×１對角線正方形
16個 合計
２×２對角線正方形
4個
50個對角線正方形
五格不漏空型釘板
釘板上的正方形
各種類形釘版
正中空型釘板
也就是缺漏釘子的位置 ，恰在釘板的中間，這可 分成兩種情形：奇數格釘 板時，其缺漏的釘子為4 個，偶數格釘板時，其缺 漏的釘子為 1 個，釘板上 釘子的總數，恰等於不漏 空型釘板釘子數目減去上 述的數字。
五格正中空型釘板
釘板上的正方形
各種類形釘版
釘板上的正方形
研究緣起
右面是一片漏 掉中間四個釘子的 釘板﹐用橡皮筋在 這些釘子上套出正 方形。問總共可套 出多少個正方形？
釘板上的正方形
圈出的正方形，有那些類？
ｎ×ｎ邊線正方形： 指正方形的邊是由原來
小正方形的邊線所形成。
ｍ×ｐ對角線正方形： 指由長ｍ個、寬ｐ個小正方形
所組成長方形的對角線，當成大 正方形邊長所形成的大正方形。
１×２對角線正方形
8個×2
釘板上的正方形
正中空五格釘板正方形數
一、先算所有釘子都在時，
可圈出105個正方形？
二、再算漏掉釘子可圈出 57個正方形？
三、兩者相減即為我們所要 的答案：48個。
釘板上的正方形
各種類形釘版
不漏空型釘板
也就是釘板上的釘子都 沒有缺掉的情形，釘板上 釘子的總數，恰等於每邊 小正方形數目加 1 後的平 方。
不
正中空型釘板
漏
空
頂漏空型釘板
型
釘
板
邊漏空型釘板
偏漏空型釘板 斜漏空型釘板
釘板上的正方形
研究結果
1.不漏空型釘板上正方形總數為：
ＮＳ＝1×Ｎ2＋2×(Ｎ－1)2＋3×(Ｎ－2)2 ＋……＋ (Ｎ－1)×22＋Ｎ×12 ，Ｎ＝3,4,5…… --------公式一
2.正中空型釘板上正方形缺漏的總數為：
當格數為偶數時： ＣＥＳ＝(1＋2＋3＋……＋Ｎ/2)×4，Ｎ＝4,6,8…--公式二 當格數為奇數時： ＣＯＳ＝[1+2+3＋……＋(Ｎ-1)/2]×16＋4×Ｎ－11
，Ｎ＝3,5,7…… ---------公式三
釘板上的正方形
研究結果
3.頂漏空第Ｐ型釘板上缺漏正方形總數為：
ＴＳＰ＝Ｐ×Ｎ－Ｐ＋１，Ｎ＝3,4,5…Ｐ＝1,2,3----公式四 4.邊漏空第Ｐ型釘板上缺漏正方形總數為：
１×２對角線正方形
9個×2 全部合計
１×３對角線正方形 １×４對角線正方形 ２×３對角線正方形
4個×2 1個×2 1個×2
105個正方形
釘板上的正方形
缺漏中間的四個釘子可圈出多少個正方形？（５格釘板）
１×１邊線正方形
9個
合計
２×２邊線正方形
16個
57個正方形
３×３邊線正方形
4個
１×１對角線正方形
12個
ＥＳＰ＝Ｎ×(Ｐ+1)－Ｐ×Ｐ Ｐ＝1， Ｎ＝3,4,5,6……；Ｐ＝2， Ｎ＝4,5,6,7……
Ｐ＝3，Ｎ＝6,7,8此類推
----公式五
釘板上的正方形
研究結果
5.偏漏空第Ｐ型釘板上缺漏正方形總數為：
當格數為偶數時：
ＰＥＳＰ＝4×(1+2+……+Ｐ)＋(1+4×Ｐ)×[(Ｎ/2)－Ｐ] ＋2×{1＋2＋3＋……＋[(Ｎ/2)- Ｐ]}
總共可套出多少個正方形？
對角線正方形有幾個：
１×１對角線正方形
4個
２×２對角線正方形
4個
１×２對角線正方形
2個
１×３對角線正方形
8個
１×４對角線正方形
2個
２×３對角線正方形
2個
釘板上的正方形
研究方法
一、先算所有釘子都在時，
可圈出多少個正方形？
二、再算漏掉釘子可圈出多 少個正方形？
三、兩者相減即為我們所要 的答案。
ｍ×ｐ對角線正方形和ｐ×ｍ對角 線正方形有沒有一樣？
釘板上的正方形
總共可套出多少個正方形？
邊線正方形有幾個： 26個
對角線正方形有幾個： 22個
釘板上的正方形
總共可套出多少個正方形？
邊線正方形有幾個：
１×１邊線正方形
16個
３×３邊線正方形
5個
４×４邊線正方形
4個
５×５邊線正方形
1個
釘板上的正方形
Ｐ＝1,2，Ｎ＝4,6,8,10……
Ｐ＝3，Ｎ＝6,8,10,12…；Ｐ＝4，Ｎ＝8,10,12,14……
Ｐ＝1,2,3,4……… 餘此類推
----公式六
釘板上的正方形
研究結果
5.偏漏空第Ｐ型釘板上缺漏正方形總數為：
當格數為奇數時：
ＰＯＳＰ＝17＋24×(Ｐ－1) ＋16×[0＋1＋2＋……＋(Ｐ－1)]