2021届高三下学期第二次联考数学(理)试题含答案

一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{lg(2)}A x y x ==-∣，{}2120B x x x =--<∣，则A B ⋂=（ ） A ．()2,4 B ．()3,4- C ．()2,3 D ．()4,3- 2．若复数21iz i-=+，复数z 在复平面对应的点为Z ，则向量OZ （O 为原点）的模OZ =（ ）A ．2BC ．523．已知α，β表示不同平面，则//αβ的充分条件是（ ） A ．存在直线a ，b ，且,a b α⊂，//a β，//b β B ．存在直线a ，b ，且a α⊂，b β⊂，//a β，//b α C ．存在平面γ，αγ⊥，βγ⊥ D ．存在直线,a a α⊥，a β⊥4．《九章算术》大约成书于公元一世纪，是我国最著名的数学著作．经过两千多年的传承，它的贡献一方面是所解决生活应用问题的示范，另一方面是所蕴涵的数学思想，这对我国古代数学的发展起着巨大的推动作用．如在第一章《方田三七》中介绍了环田计算方法，即圆环的面积计算：即将圆环剪开拉直成为一个等腰梯形，如图，计算这个等腰梯形的面积就是圆环的面积．据此思想我们可以计算扇环面积．中国折扇扇面艺术也是由来已久，传承着唐宋以来历代书画家的诗情画意．今有一扇环折扇，扇面外弧长40cm ，内弧长20cm ，该扇面面积为2450cm ，则扇面扇骨（内外环半径之差）长为（ ）A ．10B ．15C ．20D ．255．612x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中含5x 项的系数为（ ）A ．12B ．12-C ．24D ．24-6．已知函数2()f x ax bx c =++，满足(3)(3)f x f x +=-，且(4)(5)f f <，则不等式(1)(1) f x f -<的解集为（ ）A ．(0,)+∞B ．(2,)-+∞C ．(4,0)-D ．(2,4)7．5G ，顾名思义是第五代通信技术．技术中信息容量公式就是著名的香农公式：2log 1S C B N⎛⎫=+⎪⎝⎭，它表示：在受噪声干扰的信息中最大信息传送速率C 取决于信道宽度B ，信道内信息的平均功率S 及信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比．按照香农公式，若不改变信道宽度B ，而将信噪比从1000提高到4000，则传送速率C 大约增加了（ ） A ．10% B ．20% C ．25% D ．50%8．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且22224810640a a d a a ++=+，则该数列{}n a 的前13项的和为（ ） A ．652B ．65C ．130D ．150 9．在四边形ABCD 中，(6,8)AB DC ==，且||||||AB AD ACAB AD AC +=，则||BD =（） A ．5 B ．10C ．D ．10．已知双曲线2222:1(0,0)x y T a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F 过1F 的直线与双曲线的左右两支分别交于A ，B 两点，120AB AF +=，210BF BF ⋅=，则双曲线的离心率为（） ABC 1 11．若函数()sin 2cos2f x x a x =-的一条对称轴为8x π=，则下列四个命题（ ）（1）函数()f x 的一个对称中心为,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭； （2）函数()f x 在5,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减； （3）将函数()f x 图象向右平移8π个单位，得到的函数为奇函数； （4）若函数()f x m =在区间[]0,π上有两个不同的实根1x ，2x ，则1254x x π+=． 其中正确的命题有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．若1x =是函数()4312*()1n n n f x a x a x a x n N ++=--+∈的极值点，数列{}n a 满足11a =，23a =，设31log n n b a +=，记[]x 表示不超过x 的最大整数．设12231202020202020n n n S b b b b b b +⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦，若不等式n S t 对N n +∀∈恒成立，则实数t 的最大值为（ ）A ．2020B ．2019C ．2018D ．1010二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若实数x ，y 满足不等式组20202x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪⎩，则42yx z =⋅的最大值为_________．14．抛物线22(0)x py p =>的准线l 被圆22610x y x +--=截得的弦长为4，则p =___________． 15．甲乙两个球队进行篮球决赛，采取五局三胜制(共赢得三场比赛的队伍获胜，最多比赛五局)，每场球赛无平局．根据前期比赛成绩，甲队的主场安排为“主客主主客”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛相互独立，则甲队以3:2获胜的概率为____________．16．三棱锥S ABC -的底面是边长为12的等边三角形SB SC ==，二面角S BC A --为60，则三棱锥S ABC -的外接球的表面积为____________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．（本题满12分）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且2sin 2cos 2B CB b +=． （1）求角A 的大小；（2）若BC 边上的中线2AD =，求ABC 面积的最大值．18．（本题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD 为等边三角形，E 为PC 中点．（1）求证：//PA 平面BDE ．（2）若4PA =，三棱锥C EBD -的体积为4，求二面角C DE B --的正弦值．19． (本题满分12分)某线上学习平台为保证老学员在此平台持续报名学习，以便吸引更多学员报名，从用户系统中随机选出200名学员，对该学习平台的教学成效评价和课后跟踪辅导评价进行了统计，并用以估计所有学员对该学习平台的满意度．其中对教学成效满意率为0.9，课后跟踪辅导的满意率为0.8，对教学成效和课后跟踪辅导都不满意的有10人．（1）完成下面22⨯列联表，并分析是否有99.9%把握认为教学成效满意度与跟踪辅导满意度有关．对课后跟踪辅导满意 90%，只对其中--项不满意的学员续签率为60%，对两项都不满意的续签率为10%．从该学习平台中任选10名学员，估计在学习服务终止时续签学员人数．附：22⨯列联表参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．临界值：20．（本题满分12分）已知直线l 与圆:8O x y +=相切，动点P 到1(2,0) F -与2(2,0)F 两点距离之和等于1F ，2F 两点到直线l 的距离之和．（1）设动点P 的轨迹为C ，求轨迹C 的方程；（2）对于椭圆22221x y a b +=，上一点()00,A x y ，以A 为切点的切线方程为00221xx yy a b+=．设G 为4x =上任意一点，过点G 作轨迹C 的两条切线GM ，GN ，M ，N 为切点． ①求证直线MN 过定点； ②求1F MN 面积的最大值．21．(本题满分12分)已知函数2()ln(1)f x x ax x =+--．a ∈R （1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 对,[0,1]m n ∀∈()m n ≠都有(1)(1)1f m f n m n+-+<-恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．【4-4坐标系与参数方程】已知在直角坐标系xOy 中曲线1C 的参数方程为2cos212sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为221(0)1(1)sin a a ρθ=>+-． （1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程； （2）曲线1C 与曲线2C 有两个公共点，求α的取值范围． 23．【4-5不等式选讲】已知实数0a >，函数1()|2|f x x a x a=-++． （1）若5(0)2f <，求实数a 的取值范围 （2）若()3f x 恒成立，求实数a 的取值范围．数学试题参考答案及命题意图(理科)一、选择题 1．A【解析】(2,)A =+∞，(3,4)B =-，(2,4)A B ⋂=【命题意图】本题主要考查函数定义域、一元二次不等式解法、集合运算等必备的基本知识． 2．C【解析】依题意2||||12i OZ z i -====+C ． 【命题意图】本题主要考查复数模与向量模的基本概念与运算，是必备的基础知识． 3．D【解析】对于A ，只有当a 与b 相交才满足条件，A 错：对于B ，//a b 时不符合条件，B 错：对于C 存在αβ⊥的情形，C 错：D 符合条件．故选D ．【命题意图】本题主要考查线面位置关系等基本知识与简单的直观想象与逻辑推理素养． 4．B【解析】依题意有扇骨即为等腰梯形的高，扇面内外弧长即为等腰梯形的两底，则可求得扇骨长为4504020152+=．选B【命题意图】本题主要介绍我国古代的《九章算术》的数学成就，并能运用其数学展开拉直等思想解决实际问题． 5．B【解析】12612x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，v 12112rr r T C -+⎛= ⎝，当1r =时1115221212112T C x x x⎛⎫⎪=-=- ⎪⎝⎭故选B ．【命题意图】本题主要考查二项式定理等基本知识，设置课程学习情境考查必要知识的掌握情况． 6．【答案】C【解析】依题意有二次函数开口向上，且关于3x =对称，22()(3),0,(1)(2),0,(1)(1)f x a x m a f x a x m a f x f =-+>-=++>-<即 22(2)4,0,(2)4,40a x m a m a x x ++<+>+<-<<，故选C【命题意图】本题主要考查二次函数的图象与性质及数学推理与运算能力． 7．B【解析】设前后传送速率分别为1C ，2C ，则()212224001log 4001log 1001log 21001C C B B B -=-=≈ 2122122log 4001log 10012log 1001log 1001C C C --=≈，∵222log 512log 1001log 1024<<，29log 100110<< ∴21122109C C C -<<，故选B 【命题意图】设置科技情境试题，考查学生数学应用素养与估算能力． 8．A【解析】∵22224681040a a d a a ++=+，∴()()()()2222559940a d a d d a d a d -+++=-++，即()()()22959595959520,420,5a a d a a a a d a a d a a -=+-=+=+=，∴()()121311359131365222a a a a a a a +++=+=+=，故选A 【命题意图】本题主要考查等差数列的性质及数学运算素养． 9．D【解析】四边形ABCD 为平行四边形，由||||||AB AD ACAB AD AC +=知120BAD ∠=，而10AB =，∴||BD AB ==∣D ．【命题意图】本题主要考查向量运算的几何意义及数形结合思想． 10．C【解析】设1F A t =， ||2AB t =，则有232BF t a =-，22AF t a =+，在2Rt ABF 中，22222||AB BF AF +=，即222(2)4(32)t a t t a +=+-，解得43t a =又在l 2Rt BF F 中，222l 2l 2BF BF FF +=即222(4)(2)4a a c +=，∴225a c =，∴e = C【命题意图】本题主要考查双曲线的定义及基本性质等必备的基本知识与数学结合能力． 11．B【解析】()sin2cos2)f x x a x x ϕ=-=-，其中tan 22a ππϕϕ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭因一条对称轴为8π，则282k ππϕπ⨯-=+，4πϕ=-，1a =-，()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，周期T π=．则(1)正确：(2)错误：函数()f x 图象向右平移8π个单位，得到的函数为2y x =，是奇函数，(3）正确:函数()f x 在区间[]0,π上有两个不同的对称轴8x π=和58x π=，若()f x m =有两个不同的实根1x ，2x ，则124x x π+=或54π，（4）错误．故选B ． 【命题意图】本题主要考查三角函数图象与性质及数形结合思想等基本知识和关键能力． 12．D【解析】3212()43n n n f x a x a x a '++=--，∴12(1)430n n n f a a a '++=--=，即有()2113n n n n a a a a +++-=-，∴{}1n n a a +-是以2为首项3为公比的等比数列，∴1123n n n a a -+-=⋅，1201111221123232313n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a --++---=-+-+-++-+=⋅+⋅++⋅+=∴31log n n b a n +==，∴122311202020202020111202020201223(1)1n n nbb b b b b n n n +⎛⎫+++=+++=⎪⨯⨯++⎝⎭ 又20201nn +为增函数，当1n =时，1010n S =，10102020n S ≤<，若n S t ≥恒成立，则t 的最大值为1010．选D【命题意图】本题结合函数导数与数列性质，主要考查探究意识与创新能力． 二、填空题 13．256【解析】点P x y （，）表示点(2,0),(0,2),(2,4)所围成三角形封闭区域内，2422x y x yz +=⋅=，由图知当2,4x y ==时8max max (2)8,2256x y z +=∴==.【命题意图】本题主要考查线性规划等基本知识.14．【解析】圆22(3)10x y -+=(3,0)到准线l 的距离为2p==，p = 【命题意图】本题主要考查圆与抛物线的基本性质． 15．0.18【解析】甲队以3:2获胜，则甲队第五场必胜，前四场“主客主主”中胜任两局，有两种情况：一种为三个主场胜两场，一种为客场胜一场主场胜一场，其概率为2212330.60.40.50.50.60.40.50.50.18C C ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=【命题意图】本题结合体育比赛，考查学生运用概率知识估计比赛的胜率． 16．208π【解析】如图，设D 为BC 中点，G 为正ABC 外心，依题意有6BD DC ==，SB SC ==，∴SD BC ⊥，∴6SD =， 则易证SDA ∠为二面角S BC A --的平面角，60SDA ∠=，设S 在底面ABC 的射影为E ，则可证E 在AD 上，则3ED =，AE =GD =AG =3GE =，设O 为三棱锥的外接球球心，可证//OG SE ，过O 点在面SAD 内作OF SE ⊥，F 为垂足，则3OF GE ==，AG =R ，OG d =，则222R OA OS ==，22223))d d +=+，解得2d =-，252R =．则球心O 在底面ABC 的下方，事实上当O 在底面ABC 的下方时22223))d d +=+ 解得2d =，252R =．三棱锥S ABC -的外接球的表面积为208π．【命题意图】本题以三棱锥外接球为背景主要考查学生的空间想象能力与创新能力． 三、解答题17．【解析】(1)2sin 2cos(1cos )2B CB b A b +==-．sin (1cos )sin A B A B =-，sin 0B ≠1cos A A =-解得sin A =，1cos 2A =-，∴23A π=． 6分 （2）||22AB ACAD +==，||4AB AC +=，即 22222||||2||||cos||||||||16||||3AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC π++=+-=≥ ∴max ()16AB AC =，当且仅当||||4AB AC ==时成立．故ABC面积的最大值为1||sin 2S AB AC A ==‖分 【命题意图】设置课程情境考查平面向量与解三角形基本知识的掌握情况．18．【解析】(1）设F 为底面菱形ABCD 的交点，连FE ，则F ，E 分别是AC ，PC 的中点，//FE PA ，又FE ⊂平面BDE ，∴//PA 平面BDE ． 4分（2）设O 为AD 中点，则PO AD ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，PO ⊥平面ABCD ，4PA =，PO =E，143C EBDE CBD DBCV V --===，∴DBCS=，又4BC CD ==，∴60DCB ∠=，即60DAB ∠=，则BO AD ⊥． 6分 以O 为原点，以OB ，OD ，OP 分别为x ，y ，z 轴建立直角坐标系，(0,2,0)A -，3,0,0)B ，C ，(0,2,0)D ，P ，E，(23,2,0)DC=，(3,0,DE =，(23,2,0)DB =-设平面CDE 的法向量为()111,,m x y z =，则111120y ⎧+=⎪+=可取(1,3,1)m =--，设平面BDE 的法向量为()222,,n x y z =，则2222200y ⎧-=⎪=可取(1,3,1)n =-,,m n θ=〈〉，1cos 5θ==-，则二面角C DE B --． 12分【命题意图】本题主要考查直线与平面位置关系及空间向量在空间图形中的测量． 19．【解析】(1)依题意有对课后跟踪辅导满意算得2k 的观测值为22200(150103010)12.510.8281802016040k ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯ 故有99.9%把握认为教学成效满意度与跟踪辅导满意度有关． 6分（2）在200人中对平台的双满意的续签人数为15090%=135⨯，仅一项满意的续签人数为4060%=24⨯，都不满意的续签人数为1010%=1⨯，所以该平台的续签率为1352410.8200++=依题意有~(10,0.8)X B ，所以任选10人，该平台续签人数为8人． 12分20．【解析】(1）依题意有O 为1F ，2F 中点，1F ，2F 两点到直线l 的距离之和为O 点到直线l 的距离的2倍，又l 与圆22:8O x y +=相切，d r ==，即动点P 到1(2,0)F -与2(2,0)F两点距离之和等于为，动点P 的轨迹方程为22184x y +=． 4分 （2）1．设(4,)G t ，()11,M x y ，()22,N x y ，过M ，N 的椭圆切线方程为11221,18484xx yy xx yy +=+=，则114184x ty +=，224184x ty +=，直线MN 方程为4184x ty +=，即24x ty +=，显然过定点()2,0． 4分 2．直线MN 方程为24x ty +=，联立椭圆方程2228x y +=得2222404t y ty ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭ 显然0∆>，12288t y y t +=+，122168y y t=-+，1228y y t -=+1MN F面积12121422S y y y y =⨯-=-=．令2)m m =≥，2284t m +=+，则2444S m m m==≤=++2m =，0t =时等号成立． 故1MN F面积的最大值为 12分【命题意图】本题设置数学探索情境，考查学生圆锥曲线的性质及其数学探究能力．21．【解析】(1)依题意有定义域为(1,)-+∞，1(221)()2111x ax a f x ax x x '++=--=-++ 当0 a ≥时，2(1)0a x +>，2210ax a ++>，∴当(1,0)x ∈-时()0f x '>，()f x 为增函数，当[0,)x ∈+∞时，()0f x '≤，()f x 为减函数；当0a <时，令()0f x '=，得10x =，2112x a =--（i ）当21x x <，1102a --<，即当1 2a <-时，1112a -->-，则11,1(0,)2x a ⎛⎫∈---⋃+∞ ⎪⎝⎭时()0f x '>，()f x 在11,12a ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，(0,)+∞上均为增函数；在11,02a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上为减函数； （ii ）当21x x =，1102a --=，即12a =-时，2()01x f x x '=≥+，()(1,)f x -+∞上为增函数； （iii ）当21x x >，1102a -->，即102a -<<时，则1(1,0)1,2x a ⎛⎫∈-⋃--+∞ ⎪⎝⎭时()0f x '>，()f x 在(1,0)-，11, 2a ⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭上均为增函数；在10,12a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上为减函数． 综上：当12a <-时，()f x 增区间为11,12a ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，(0,)+∞，减区间为11,02a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； 当1 2a =-时，()f x 增区间为(1,)-+∞； 当10 2a -<<时，()f x 增区间为(1,0) -和11,2a ⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭，减区间为10,12a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； 当0 a ≥时，()f x 增区间为(1,0) -，减区间为[0,)+∞． 5分（2）不妨令m n >，则(1)(1)(1)(1)f m f n m n m n +-+<-=+-+，即(1)(1)(1)(1)f m m f n n +-+<+-+，令()()g x f x x =-，则()g x 在[1,2]上为减函数．22221()()10,[1,2]1ax ax x g x f x x x ''----=-=≤∈+ 即2212x a x x+≥-+对12x ≤≤恒成立． 令221()x u x x x +=+，()()22222222(21)(21)221()0x x x x x x u x x x x x '+-++++==-<++ 当1 2 x ≤≤时53()62u x ≤≤，所以当12x ≤≤时2321526x x x +-≤-≤-+，∴512a ≥- 故a 的取值范围为5,12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭． 12分 22．【解析】（1）21:cos 212sin C x αα==-，∴2(11)x y x +=-≤≤， 2分2222:(1)sin 1C a ρρθ+-=，∴22222(1)1x y a y x ay ++-=+=， 4分曲线1C 的普通方程为2(11)x y x +=-≤≤，曲线2C 的直角坐标方程为221(0)x ay a +=>． 5分（2）由（1）知2(11)y x x =--≤≤代入221x ay +=得2(1)4410a x ax a +-+-=，若曲线1C 与2C 有两个公共点，令2()(1)441f x a x ax a =+-+-，则有 2164(1)(41)0(1)14410(1)144102111a a a f a a a f a a a a a ⎧∆=-+->⎪-=+++->⎪⎪⎨=+-+->⎪⎪-<<⎪+⎩，解得103a <<． 故a 的取值范围为10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭． 10分【命题意图】本题主要考查坐标系与参数方程、二次函数根的分布等必备知识与数形结合能力、数学运算等素养．23．【解析】（1）因为0a >，115(0)||2f a a a a =+=+<，根据图象有122a <<，a 的取值范围为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭5分 （2）因为0a >，11123,111()2,21123,2a x x a x x a a a a f x a x x a x x a a a a x a x x a x a a ⎧⎛⎫-+--=--<- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪=-++=+--≤<⎨⎪⎪-++=-+≥⎪⎩又122a a a a +<+，∴min 1(())2a f x a =+，132a a+≥，∴3a ≥+3a ≤-故实数a的取值范围为(0,3[3)⋃++∞ 10分【命题意图】本题主要考查绝对值不等式必备知识与数形结合能力、分类讨论数学运算等素养．。