2021届高三下学期第二次联考数学(理)试题含答案

一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合{lg(2)}A x y x ==-∣，{

}

2

120B x x x =--<∣，则A B ⋂=（ ） A ．()2,4 B ．()3,4- C ．()2,3 D ．()4,3- 2．若复数21i

z i

-=

+，复数z 在复平面对应的点为Z ，则向量OZ （O 为原点）的模OZ =（ ）

A ．2

B

C ．52

3．已知α，β表示不同平面，则//αβ的充分条件是（ ） A ．存在直线a ，b ，且,a b α⊂，//a β，//b β B ．存在直线a ，b ，且a α⊂，b β⊂，//a β，//b α C ．存在平面γ，αγ⊥，βγ⊥ D ．存在直线,a a α⊥，a β⊥

4．《九章算术》大约成书于公元一世纪，是我国最著名的数学著作．经过两千多年的传承，它的贡献一方面是所解决生活应用问题的示范，另一方面是所蕴涵的数学思想，这对我国古代数学的发展起着巨大的推动作用．如在第一章《方田三七》中介绍了环田计算方法，即圆环的面积计算：即将圆环剪开拉直成为一个等腰梯形，如图，计算这个等腰梯形的面积就是圆环的面积．据此思想我们可以计算扇环面积．中国折扇扇面艺术也是由来已久，传承着唐宋以来历代书画家的诗情画意．今有一扇环折扇，扇面外弧长

40cm ，内弧长20cm ，该扇面面积为2450cm ，则扇面扇骨（内外环半径之差）长为（ ）

A ．10

B ．15

C ．20

D ．25

5．6

12x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭

的展开式中含5

x 项的系数为（ ）

A ．12

B ．12-

C ．24

D ．24-

6．已知函数2

()f x ax bx c =++，满足(3)(3)f x f x +=-，且(4)(5)f f <，则不等式

(1)(1) f x f -<的解集为（ ）

A ．(0,)+∞

B ．(2,)-+∞

C ．(4,0)-

D ．(2,4)

7．5G ，顾名思义是第五代通信技术．技术中信息容量公式就是著名的香农公式：2log 1S C B N

⎛⎫=+

⎪⎝

⎭

，它表示：在受噪声干扰的信息中最大信息传送速率C 取决于信道宽度B ，信道内信息的平均功率S 及信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中

S

N

叫做信噪比．按照香农公式，若不改变信道宽度B ，而将信噪比从1000提高到4000，则传送速率C 大约增加了（ ） A ．10% B ．20% C ．25% D ．50%

8．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且2

2

2

2

4810640a a d a a ++=+，则该数列{}n a 的前13项的和为

（ ） A ．

65

2

B ．65

C ．130

D ．150 9．在四边形ABCD 中，(6,8)AB DC ==，且||||||

AB AD AC

AB AD AC +=

，则||BD =（

） A ．5 B ．10

C ．

D ．10．已知双曲线22

22:1(0,0)x y T a b a b

-=>>的左右焦点分别为1F ，2F 过1F 的直线与双曲线的左右两支分

别交于A ，B 两点，120AB AF +=，21

0BF BF ⋅=，则双曲线的离心率为（

） A

B

C 1 11．若函数()sin 2cos2f x x a x =-的一条对称轴为8

x π

=，则下列四个命题（ ）

（1）函数()f x 的一个对称中心为,08π⎛⎫

- ⎪⎝⎭

； （2）函数()f x 在5,88ππ⎡⎤

-

⎢⎥⎣⎦

上单调递减； （3）将函数()f x 图象向右平移

8

π

个单位，得到的函数为奇函数； （4）若函数()f x m =在区间[]0,π上有两个不同的实根1x ，2x ，则1254

x x π+=． 其中正确的命题有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

12．若1x =是函数()4312*()1n n n f x a x a x a x n N ++=--+∈的极值点，数列{}n a 满足11a =，23a =，设

31log n n b a +=，记[]x 表示不超过x 的最大整数．设1223120202020

2020n n n S b b b b b b +⎡⎤

=++

+⎢⎥⎣⎦

，若不等式n S t 对

N n +∀∈恒成立，则实数t 的最大值为（ ）

A ．2020

B ．2019

C ．2018

D ．1010

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若实数x ，y 满足不等式组20202x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪⎩

，则42y

x z =⋅的最大值为_________．

14．抛物线2

2(0)x py p =>的准线l 被圆2

2

610x y x +--=截得的弦长为4，则p =___________． 15．甲乙两个球队进行篮球决赛，采取五局三胜制(共赢得三场比赛的队伍获胜，最多比赛五局)，每场球赛无平局．根据前期比赛成绩，甲队的主场安排为“主客主主客”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛相互独立，则甲队以3:2获胜的概率为____________．

16．三棱锥S ABC -的底面是边长为12

的等边三角形SB SC ==，二面角S BC A --为60，则三棱锥S ABC -的外接球的表面积为____________．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．

17．（本题满12分）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c

，且

2

sin 2cos 2

B C

B b +=． （1）求角A 的大小；

（2）若BC 边上的中线2AD =，求ABC 面积的最大值．

18．（本题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD 为等边三角形，E 为PC 中点．

（1）求证：//PA 平面BDE ．

（2）若4PA =，三棱锥C EBD -的体积为4，求二面角C DE B --的正弦值．

19． (本题满分12分)某线上学习平台为保证老学员在此平台持续报名学习，以便吸引更多学员报名，从用户系统中随机选出200名学员，对该学习平台的教学成效评价和课后跟踪辅导评价进行了统计，并用以估计所有学员对该学习平台的满意度．其中对教学成效满意率为0.9，课后跟踪辅导的满意率为0.8，对教学成效和课后跟踪辅导都不满意的有10人．